UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIAFACULTAD DE INGENIERÍA

MEDICIÓN DE UNA DIMENSIÓN FRACTAL

Ramírez,Esteban; Serrano, AimethFacultad de ingeniería

Universidad de AntioquiaMedellín 2015

RESUMEN

El presente artículo se muestra el contenido del estudio teórico-práctico realizado para analizar el concepto de dimensión fractal, el cual relaciona el espacio que ocupa un objeto con su masa. El propósito de la práctica se basó en el cálculo de la dimensión fractal a partir de los parámetros morfológicos obtenidos de la experimentación. Por lo cual, se realizó un montaje experimental que consistió en la medición del diámetro y la masa de bolas de papel y acero. Finalmente, se hizo un estudio matemático de los datos obtenidos y un posterior análisis comprobando que las bolas de acero al ser objetos regulares poseían una dimensión fractal aproximada de 3 y que las bolas de papel al ser fractales poseían una dimensión fractal aproximada de 2,4.

PALABRAS CLAVES: Fractal, Dimensión topológica, Dimensión fractal, bolas de papel, bolas de acero.

ABSTRACT

Thisarticle shows thecontent of thetheoretical-practicalstudytoanalyzethe concept of fractal dimension, which relates thespaceoccupiedbyanobjectwithitsmass. Thepurpose of thepracticewasbasedonthecalculation of the fractal dimensionfromthemorphologicalparametersobtainedfromexperimentation. Itwasan experimental set-up consisting in measuringthediameter and mass of paper and steelballs. Finally, became a mathematicalstudy of the data obtained and a subsequentanalysisprovingthattheballs of steelto be regular objectspossessed a fractal dimension of 3 and that fractal balls of paperbeingpossessed a fractal dimensionapproximately 2.4.

KEY WORDS:TopologicalDimension, fractal, fractal Dimension, paperballs, balls of steel.

INTRODUCCIÓN

La geometría euclidiana es la geometría clásica, es punto de partida para las otras clases de geometría y la primera en orden cronológico. Sin embargo las formas y figuras que estudia la geometría euclidiana son bastante ideales, es decir alejadas de las que realmente se encuentra en la naturaleza. Como afirma B. Mandelbrot, considerado padre de los fractales(Sobogal & Arenas,2001):

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no soncircunferencias y la corteza de un árbol no es lisa, como tampoco es cierto que la luz viaje en línea recta. (B. Mandelbrot).

Un fractal, según Mandelbrot, es un objeto semi-geométrico cuya estructura básica, fragmentada, irregular se repite a diferentes escalas. Por consiguiente, a fin de estudiar los fractales, es necesario encontrar una expresión matemática que nos permita caracterizar la dimensión de un objeto de forma general.

En el presente estudio se pretende hacer un acercamiento a la teoría y poder comprender un poco su importancia en el mundo de la ciencia e ingeniería. Por lo cual, el principal objetivo de la práctica es comenzar por lo básico y comprender su teoría y las maneras de calcular la dimensión fractal.

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Se extenderán conceptos familiares sobre dimensiones topológicas aplicadas a una esfera, al caso de bolas o balines macizos de acero; donde sabemos que la masa de los balines es proporcional a la longitud característica D, su diámetro, elevado a una potencia que es la dimensión 3(Ayala,2009).

m= πρ6

D3

El primer objetivo específico de esta actividad es verificar que esta relación se cumple para las esferas de acero macizas.

Por otro lado, una bola de papel arrugado, a pesar de tener forma tridimensional, es una superficiecompactada (fragmentada), aunque tenga una fragmentación conocida. Nos interesa aplicar el análisis gráfico para conocer la relación funcional entre la masa m y eldiámetro D de las bolas y comprobar que se cumple la relación alométrica(Ayala,2009):

m=k D1d

Determinando el coeficiente k y el exponente 1/d que corresponde a la lagunaridad, de donde d sería la dimensión fractal.

METODOLOGÍA

Parte 11- Tomar 2 pliegos de papel periódico de

100x80cm. 2- Doblar uno de los pliegos a la mitad y

cortar. Uno de las mitades volverla a doblar y cortar a la mitad y realizar el proceso sucesivas veces hasta obtener 6 pedazos de papel (ver figura 1).

3- Tomar el segundo pliego de papel y formar una bola compacta, al igual que con los 6 pedazos obtenidos del otro pliego.

4- Medir los diámetros de las 7 bolas de papel obtenidas. La masa de cada bola de papel está dada en la figura 1.

Figura 1.Forma de cortar 2 hojas grandes de papel. Tomada de: Práctica para la medición de un fractal, Universidad de Antioquia.

Parte 2

Se tomaran esferas de acero de tamaños ascendentes, así como se hizo con las de papel, y se les medirá su masa y diámetro.

CÁLCULOS

Gráfica

Por geometría sabemos que la dependencia de la masa M con el diámetro d de un objeto esférico, obedece la relación alometrica:

1) D=k m1d

Por tratarse de una relación de potencia, sabemos que el cambio de variable logarítmico nos permite obtener una relación lineal, así que podemos graficar en papel log-log la dependencia de la masa con el diámetro debe producir una recta o tomar el logaritmo de la expresión anterior y obtener(Ayala, 2009):

2) ln ( D )=1d

ln (m )−ln (k )

Donde:

3)1d=Pendiente (lagunaridad )

4) ln (k )=Intercepto de la gráfica

Realizando una extrapolación de los datos y ajustando a una ecuación lineal se podrá obtener 3) y 4).

Propagación de incertidumbre

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Despejando la dimensión fractal de la ecuación 2) obtenemos:

5)d=

ln (m )

ln(Dk )

Para el cálculo de la propagación de error se utiliza la derivada con respecto a cada una de sus variables y se suman de la siguiente forma:

6) ∆ f ( x , y )= ∂ f∂ x

∆ x+ δfδy

∆ y

7) ∆ d= ∂ d∂ m

∆ m+ ∂ d∂ D

∆ D

8)

∆ d= 1

mLn( Dk )

∆ m− 1

D( ln(Dk ))

2∆ D

9)

∆ d= 1

mLn( Dk )

∆ m+ 1

D (ln( Dk ))

2∆ D

Donde ∆m es la incertidumbre del instrumento utilizado para medir la masa y el ∆D es la incertidumbre del instrumento utilizado para medir los diámetros.

RESULTADOS

Tabla 1. Incertidumbre de los instrumentos

Incertidumbre de la balanza 0,01gIncertidumbre del pie de rey

0,05mm

Parte 1

Tabla 2. Datos de las bolas de papel

D.prom (mm) ±0,05

Masa (g)

±0,01

Log D.pro

Log masa

78,37 64 1,89 1,8159,11 32 1,77 1,5046,63 16 1,67 1,2034,72 8 1,54 0,90

25,34 4 1,40 0,6019,19 2 1,28 0,3013,33 1 1,12 0,00

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.51

1.52

Esferas de papel

Figura 2. Ln(D) vs Ln(m) para las bolas de papel

De la extrapolación de los datos de las esferas de papel se obtuvo lo siguiente:

ln ( D )=0,42 ln (m )+1,1 5

1d=0,42−→ d=2,3 7

ln (k )=1,15−→k=3,1 5

De la ecuación 9) y los datos de las tablas 1 y 2 obtenemos que la propagación de error para la dimensión fractal de las bolas de papel es: ∆d=0,09.

Parte 2

Tabla 3. Datos de las bolas de acero

D.prom (mm) ±0,05

Masa (g)

±0,01

Log D.pro

m

Log masa

25,20 67,97 1,40 1,8319,68 32,17 1,29 1,5114,97 14,31 1,17 1,1611,77 7,00 1,07 0,849,28 3,50 0,97 0,54

3

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0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

Esferas de acero

Figura 3. Ln(D) vs Ln(m) para las bolas de acero.

De la extrapolación de los datos de las esferas de acero se obtuvo lo siguiente:

ln ( D )=0,34 ln (m )+0,7 8

1d=0,34−→ d=2,9 6

ln (k )=0,78−→ k=2,1 9

De la ecuación 9) y los datos de las tablas 1 y 3 obtenemos que la propagación de error para la dimensión fractal de las bolas de acero es: ∆d=0,09

El error relativo para la dimensión fractal de las bolas de acero, considerando que las bolas son esferas de dimensión topológica igual a 3, es:

% error=3−2,963

∗100 %=1,3 %

Tabla 4.Longitud fractal de las bolas

Dimensión fractal para las bolas de papel

2,37±0,09

Dimensión fractal para las bolas de acero

2,96+0,09

ANÁLISIS

En la tabla 4 se observan la longitud fractal calculada para ambas experimentaciones. La dimensión fractal para las bolas de papel es de 2,37 con una incertidumbre muy pequeña de 0,09. Demostrando así que los huecos producidos por las arrugas son de todos los tamaños y no alcanzan a “llenar” el espacio tridimensional, por lo que se trata

de un objeto que puede ser clasificado como fractal.

La dimensión fractal para las bolas de acero es de 2,96 con una incertidumbre de 0,09 y un error relativo del 1,3%, lo cual comprueba la confiabilidad de los datos tomados. Esta dimensión fractal nos muestra que efectivamente el objeto regular llena casi todo el espacio tridimensional, mostrando así que la dimensión fractal de un objeto regulares aproximada o congruente con la dimensión topológica; a pesar de que se muestren huecos en los balines de acero. Esto es debido a que todos los agujeros son de un mismo tamaño aproximado y los balines se pueden aproximar a esferas de dimensión topológica igual a 3.

Por otro lado, cabe resaltar que objetos con idénticas dimensiones fractales pueden poseer distintas constantes de proporcionalidad que dependerán de la densidad del objeto. Por ejemplo, esferas de acero y de oro poseen un d=3; no obstante, el mismo diámetro de ambas esferas nos proporcionan masas distintas debido a que sus densidades son diferentes. A medida que aumente la densidad la constante será mayor. Así que indirectamente, la constante nos proporciona una medida sobre la masa de los constituyentes atómicos que forman nuestro sistema y su densidad de empaquetamiento.

Consecuentemente, se demuestra entonces que la dimensión fractal nos relaciona de forma general la masa de los objetos con el espacio que este ocupa.

CONCLUSIONES

El estudio llevo a cabo todos los objetivos propuestos, calculando de manera satisfactoria las dimensiones fractales para las bolas de papel y las de acero.

Llevar a cabo una adecuada metodología de la experimentación proporciona una buena confiabilidad de los datos. En el caso de las bolas de papel, es indispensable

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compactarlas muy bien para evitar errores en el cálculo del diámetro de las bolas ya que esto podría producir errores en la determinación de la constante de proporcionalidad y la dimensión fractal.

De la experimentación se ha comprobado que la dimensión fractal para las bolas de papel es de aproximadamente 2,37 y este resultado es cercano al obtenido en la experimentación, arrojándonos así un error relativo muy pequeño que verifica la confiablidad de los datos obtenidos en la práctica.

REFERENCIAS

Ayala, M. (2009). Método Experimental II . Obtenido de Propiedades de objetos con diferente geometría : http://docencia.izt.uam.mx/dav/MetodoExperII/practicas/Objdifgeo.pdf

Sobogal, S., & Arenas, G. (2001). Introducción a la geometría fractal. Bucaramanga: Universidad Industrial de Santander.

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