REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL.38, No.2, 2006

MODELO MATEMATICO DE UN TUBO INTERCAMBIADOR DECALOR

D. Bravo-Montenegro 1, M. Lopez-Ortega 1

1Grupo DSC, Programa de Ingenierıa Fısica, Universidad del Cauca, Popayan, Colombia.Recibido xx de Feb.2006; Aceptado xx de Abr.2006; Publicado xx de Jun.2006

RESUMENEl estudio de la transferencia de calor es de vital importancia en los procesos industriales,involucra parametros que son de difıcil medicion ya que dependen de la dinamica delsistema, su geometrıa y de las propiedades fısicas de los materiales que lo constituyen.Basandose en las teorıas de Nusselt se encuentra el modelo matematico de un tubointercambiador de calor para obtener el valor promedio del coeficiente de transferenciade calor y el volumen de condensado; estos parametros se determinan en funcion de lastemperaturas del vapor y del tubo.

Palabras claves: Dinamica, Intercambiador, Modelo, Transferencia de Calor, Tempera-

tura.

ABSTRACTThe study of the heat transference is of vital importance in the industrial processes,involves parameters that are of difficult measurement since they depend on the dynamicsof the system, his geometry and of the physical properties of the materials that constituteit. Being based on the theories of Nusselt is the mathematical model of a tube heatexchanger to obtain the value average of the coefficient of heat transference and thecondensed volume of; these parameters are determined based on the temperatures of thesteam and the tube.

Keywords: Dynamics, Interchanger, Model, Heat transference, Temperature.

1. Introduccion

Todo sistema fısico puede ser descrito mediante ecuaciones matematicas y/o ecuacionesdiferenciales que rigen su comportamiento, las cuales se pueden utilizar para ejercercontrol sobre alguna variable determinada queriendo lograr un desempeno adecuado oespecificado por el usuario. Existen sistemas demsiado complejos, cuyas ecuaciones des-criptivas son funciones no-lineales y se hace necesario utilizar metodos numericos para susolucion; al determinar ciertas suposiciones de diseno, los modelos se pueden simplificarpara un cierto rango de operacion. El modelado es entonces, encontrar las relacionesmatematicas entre las variables de entrada de salida.

La clave para un buen modelo es determinar las variables de peso en el sistema a modelar,ya que hay variables que son imposibles de eliminar (senales espurias, por ejemplo: ruidotermico) estas generan errores en el modelo del sistema en funcion de la variable medida.Se puede tomar el sistema como un todo, al cual le corresponde, en este caso, una funcionde transferencia1, o se pueden tomar subsistemas con funciones de transferencia locales,de las cuales se puede obtener la funcion de transferencia global del sistema.

2. Balance Energetico en un Intercambiador

Primero se debe determinar la relacion de energıa utilizada o cedida por el vapor al areade contacto para condensar una cierta cantidad de masa de agua.

1Ya que se trata de un sistema de una entrada una salida

1

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TT11

T2

T1

∆T

V1

D

L

∆Q1 ∆Q2

Figura 1: Nomenclatura para el balance energetico del sistema de transferencia de calordentro del condensador.

La cantidad de calor necesaria para vaporizar o condensar una masa m dada de un fluidoa la temperatura de saturacion es [1]:

QL = mhfg (1)

Aquı: QL es la cantidad de energıa [J], m es la masa [kg] y hfg es el calor latente devaporizacion [J/kg]. El intercambiador de calor tiene forma cilindrica y asumiendo unadensidad constante, la masa contenida en el tubo se puede expresar como:

m = ρπLD2

4El vapor que esta dentro del intercambiador de calor esta en capacidad de entregar calorhacia el medio externo a traves del tubo, a este calor se le conoce como calor cedido porel vapor, el cual esta dado por:

Qs = mc∆T (2)

Donde: m es la masa de vapor dentro del tubo [kg], c es el calor especıfico del vapor[J/kgoC] y ∆T es el cambio de temperatura [oC].

El sensor de temperatura TT–11 capta la diferencia de temperatura entre el vapor y elmedio a traves del vidrio del intercambiador de calor, es decir, nos da directamente el valorde ∆T . En el area de un tubo condensante ocurren dos fenomenos de transferencia decalor, ∆Q1, el cual describe la transferencia de calor del vapor hacia el tubo (transferenciade calor con cambio de fase) y Q2, el cual describe la transferencia de calor del tubo haciael medio, en este caso el medio esta compuesto por una corriente de aire con una velocidadv y un flujo de agua el cual humedece la pared del tubo. En la transferencia de calor concambio de fase nos interesa es el espesor del condensado, el cual esta dado por:

δ(x) =[4µlkl(Tv − Tw)x

g(ρl − ρv) ρl hfg

] 14

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Asumiendo una distancia x = L constante (largo del tubo del intercambiador de calor),temperatura de vapor Tv=100 oC, nos queda el espesor de la pelıcula de condensado enfuncion de la temperatura Tw, que es, en nuestro caso, la temperatura ∆T medida pornuestro sensor TT–11:

δ(∆T ) =[4µlkl(100 − ∆T )L

g(ρl − ρv) ρl hfg

] 14

De esta manera podemos calcular la masa efectiva de condensado.

r1r2

dA

V1 = dAL

dA = π(r2 − r1)2

δ = r2 − r1

m = ρπδ2L

Figura 2: Nomenclatura para el calculo de la masa del condensado

Como δ es funcion de ∆T , se puede tener informacion sobre la masa del condensado enel tubo intercambiador de calor, el intercambio de calor ∆Q2 se realiza por conveccionforzada, haciendo circular una pelıcula de agua con una velocidad vl. La bomba pararecircular el agua tiene un caudal de 35 L/min, y la tuberia seleccionada es de 1 pulgada,por lo que se tiene un valor promedio de velocidad vl = 1,15 [m/s].Se deben resolver las ecuaciones de conveccion, los calculos se simplifican mucho si segarantiza que hay un regimen laminar en el flujo, este parametro lo confirma el Numerode Reynolds, factor que depende de la velocidad del fluido y en nuestro caso [3]:

Re =ρLvl

µ=

Lvl

υ=

0,30 1,151,006 × 10−6

= 342,94 × 103

En donde: ρ es la densidad del fluido [kg/m3], L es el largo de la placa [m],vl es la veloci-dad del fluido [m/s], µ es la viscosidad del fluido [kg/m s] y υ es la Difusividad moleculardel momentum [m2/s].

Por lo tanto el resultado obtenido esta contenido dentro del regimen laminar, resolviendo2

las ecuaciones de momentum, energıa y de continuidad, teniendo en cuenta el regimenlaminar sobre una placa plana, se obtiene el coeficiente de transferencia de calor promedioy de esta manera se puede determinar la cantidad de calor cedido al medio en funcionde la velocidad y temperatura del fluido. Podemos ahora calcular la cantidad de calordisipada por el tubo intercambiador de calor hacia un medio de pelıcula de agua. Latemperatura maxima que alcanza el tubo teniendo un suministro constante de calor esde 63.53oC, determinado por (2), en contacto con el aire.

2El desarrollo de estas ecuaciones es mediante el metodo integral

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Supongamos que en ese instante hacemos circular agua por su superficie a 20oC, cal-culamos el calor disipado por el tubo, para el agua tenemos [2]: k = 0,597 [W/moC],Pr = 7,02 y Re = 342,94 × 103.Entonces el coeficiente de transferencia de calor con el agua es:

h = 0,664[

k

L

]Re1/2Pr1/3 = 1481,63 [W/m2oC (3)

El calor disipado por el tubo por lo tanto es:

q = 64495 [W/m2]

Se tiene que, para condensar 1 g/s el vapor cede al tubo una calor de 2225 W/m2, porlo que el sistema es estable y si se puede considerar disenar un control de temperaturapara mantener el ∆T constante para un maximo rendimiento.

El proceso de transferencia de calor del tubo condensante al agua hace que esta se calientegradualmente, cambiando la temperatura de referencia y por lo tanto disminuyendo lacapacidad de absorber calor del condensador lo que se traduce en un bajo rendimientoen la obtencion de condensado, se necesita un proceso auxiliar de cambio termico entreel agua y el medio para asegurar que el agua se mantenga en un regimen de temperaturaaceptable para que el sistema funcione de una manera adecuada. Es claro que la transfe-rencia de calor es directamente proporcional al area de contacto, por lo que aumentandoeste factor podemos aumentar la cantidad de calor cedida al medio. Para acelerar el pro-ceso termico se puede utilizar un ventilador axial, con el cual se le imprime velocidad alaire circundante, lo cual acelera el proceso de transferencia de calor.

3. Conclusiones

El modelo de un proceso, es la parte mas importante para disenar un sistema de control,a partir de este es posible obtener la estrategia de control mas sencilla posible que cumplacon los requerimientos de desempeno.Del modelado del sistema se obtuvo informacion acerca de los detalles del proceso (canti-dad de condensado, coeficiente promedio de transferencia de calor), que, de ser necesario,se pueden implementar en la visualizacion del sistema.

Referencias

[1] Dossat, Roy. Principios de refrigeracion. 1aEdicion. Mexico Continental S.A, 1986.

[2] Manrique, Jose. Transferencia de Calor.2a Edicion. Mexico Oxford University Press,2002.

[3] Marlekar, B. V. y Desmond, R.M. Transferencia de Calor. 2a Edicion. MexicoInteramericana, 1985.

[4] Creus, Antonio. Instrumentacion Industrial. 6a Edicion. Mexico Alfaomega, 2000.

[5] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto. 2a Edicion. Mexico Pear-son Educacion, 1996.

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