FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

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Presentación Axiomática de los Reales

Axiomas de Cuerpo: Se postula la existencia de un conjunto denotado por , cuyos

elementos se llaman números reales, que está provisto de dos operaciones, una adición y

una multiplicación que satisfacen:

A1) ( ) ( )a b c a b c+ + = + + , , ,a b c∀ ∈

A2) a b b a+ = + , ,a b∀ ∈

A3) Existe 0∈ tal que 0 ,a a+ = a∀ ∈

A4) Para cada elemento a∈ existe un elemento b∈ tal que 0a b+ =

M1) ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , , ,a b c∀ ∈

M2) a b b a⋅ = ⋅ , ,a b∀ ∈

M3) Existe 1∈ , 1 0≠ , tal que 1 ,a a⋅ = a∀ ∈

M4) Para cada elemento a∈ , no nulo, existe un elemento c∈ , tal que

1a c⋅ =

D) ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ , , ,a b c∀ ∈

Definición: ( )a b a b− = + − , ,a b∀ ∈

1a a bb

−= ⋅ , , , 0a b b∀ ∈ ≠

Consecuencias de los axiomas de cuerpo de

1.- Unicidad del 0 y del 1

2.- Unicidad de los opuestos e inversos.

3.- a c b c a b+ = + ⇔ =

4.- 0,c a c b c a b≠ ⋅ = ⋅ ⇔ =

5.- ( )1 a a− ⋅ = −

6.- ( )a a− − =

7.- ( ) ( ) ( )a b a b a b− ⋅ = ⋅ − = − ⋅ ; ( ) ( )a b a b− ⋅ − = ⋅

8.- Si 0,a ≠ la ecuación a x b c⋅ + = tiene solución única en .

9.- ( ) ( ) ( )a b a b a b− + = − + − = − −

10:- ( )a b a b− + = − − , ( )a b a b− − = − +

11.- 0 0 0a b a b⋅ = ⇔ = ∨ =

12.- Si 0a ≠ , entonces ( ) 11a a−− =

13.- Si , 0,a b ≠ entonces ( ) 1 1 1a b a b− − −⋅ = ⋅

14.- Si , 0b d ≠ , a c a d b cb d= ⇔ ⋅ = ⋅

15.- Si , 0b c ≠ , a a cb b c

⋅=⋅

16.- Si 0,c ≠ a b a bc c c

±± =

17.- Si , 0,b d ≠ a c a cb d b d

⋅⋅ =⋅

18.- Si , , 0,b c d ≠ a c a db d b c÷ = ⋅

19.- Si , 0b d ≠ , a c a d b cb d b d

⋅ ± ⋅± =⋅

Axiomas de Orden

Postulamos la existencia de un subconjunto IP de , cuyos elementos llamaremos números positivos, que verifica: O1) , , ,a b a b IP a b IP∀ ∈ ∈ ⇒ + ∈ O2) , , ,a b IR a b IP a b IP∀ ∈ ∈ ⇒ ⋅ ∈ O3) Dado a∈ , se verifica una y sólo una de las alternativas:

, 0,a IP a a IP∈ = − ∈

Definición.- Dados ,a b∈ , a b b a IP< ⇔ − ∈

a b a b a b≤ ⇔ < ∨ =

a b b a> ⇔ <

a b b a≥ ⇔ ≤

Consecuencias de los axiomas de orden:

1.- a∀ ∈ , 0a a IP> ⇔ ∈

2.- a∀ ∈ 0 0a a< ⇔ − >

3.- Para cada 0,a ≠ 2 0a > . En particular, 1 0> .

4.- Para , ,a b c∈ , a b

a cb c<

⇒ <<

5.- Para , ,a b c∈ , a b a c b c< ⇔ + < +

6.- Para , , , ,a b c d ∈ a b

a c b dc d

<⇒ + < +

<

7.- Para , , , 0,a b c c∈ > a b a c b c< ⇔ ⋅ < ⋅

8.- Para , , , 0,a b c c∈ < a b a c b c< ⇔ ⋅ > ⋅

9.- 10 0a a−> ⇔ > ; 10 0a a−< ⇔ <

10.- ( )( )

0 00

0 0a b

a ba b

> ∧ >⋅ > ⇔ ∨

< ∧ <

11.- ( )( )

0 00

0 0a b

a ba b

> ∧ <⋅ < ⇔ ∨

< ∧ >

12.- Para , 0a b > , 1 1a b a b− −< ⇔ >

Definición de Intervalos.-

Si ,a b∈ , ,a b< se definen los intervalos:

{ }, :a b x IR a x b = ∈ < <

{ }, :a b x IR a x b = ∈ ≤ ≤

{ }, :a b x IR a x b = ∈ ≤ <

{ }, :a b x IR a x b = ∈ < ≤

{ }, :a x IR x a +∞ = ∈ >

{ }, :a x IR x a +∞ = ∈ ≥

{ }, :a x IR x a −∞ = ∈ <

{ }, :a x IR x a −∞ = ∈ ≤

Consideramos la correspondencia entre el conjunto de los números reales y los puntos de

una recta, mediante la elección de un sistema coordenado en la recta.-

Valor Absoluto.-

Definición Geométrica.- Si a es un elemento de , su valor absoluto, a , se define

como la distancia del punto de coordenada a al origen del sistema.

Definición.- Si a∈ , definimos:

, si 0, si 0

a aa

a a

≥=

− <

Propiedades del Valor Absoluto.-

1.- 0 ,a a≥ ∀ ∈

2.- , 0 0a IR a a∀ ∈ = ⇔ =

3.- ,a IR a a∀ ∈ − =

4.- , ,a b∀ ∈ a b a b⋅ = ⋅

5.- , ,a b∀ ∈ 0,b ≠ aa

b b=

6.- , ,a b∀ ∈ a b a b± ≤ +

7.- , ,a b∀ ∈ a b a b− ≤ ±

8.- , ,a b∀ ∈ a b a b a b= ⇔ = ∨ = −

9.- Si 0c > , entonces :x∀ ∈ x c x c x c= ⇔ = ∨ = −

x c c x c< ⇔ − < <

x c x c x c> ⇔ > ∨ < −

Los Números Naturales.- Definición.- Un subconjunto S ⊆ se dice inductivo si verifica las siguientes

condiciones:

i) 1 S∈

ii) ,x∀ ∈ 1x S x S∈ ⇒ + ∈ .

Por axioma, se postula la existencia de un menor subconjunto inductivo de , que se

llama conjunto de los números naturales, .

De la definición de resulta el:

Principio de Inducción Matemática: Si S ⊆ es un subconjunto inductivo de , es

decir, si: i) 1 S∈

ii) ,x∀ ∈ 1x S x S∈ ⇒ + ∈ ,

entonces S = .

Consecuencias:

1.- 1 es el menor elemento de

2.- Dado n∈ , no existe un natural k tal que 1n k n< < + .

3.- Todo subconjunto no vacío, S de , tiene un menor elemento. (Principio del

Buen Orden de ).

Conjunto de los números enteros: { } { }0 :n n= ∪ ∪ − ∈

Conjunto de los números racionales: { }: , , 0p q qpq

= ∈ ≠

Potencias de exponente entero.- Sea a∈ .

Se define: 1a a=

Y si para n ∈ , na ∈ está definido, se define: 1n na a a+ = ⋅ .

Si 0a ≠ , se define: 0 1a =

( )1 1nnna a

a− −= = , para cada n∈ .

Propiedades.- Si ,a b∈ (no nulos si es necesario) y si ,p q∈ , se tiene:

1.- p q p qa a a +⋅ = 2.- p

p qq

aa

a−=

3.- ( )qp p qa a= 4.- ( ) p p pa b a b⋅ = ⋅

5.- p p

p

a ab b

=

6.- p pa b

b a

−

=

7.- p q

q p

a bb a

−

− =

8.- Si ,a b ∈ son positivos y n ∈ , se tiene

n na b a b< ⇔ <

n na b a b− −< ⇔ >

9.- Si 1a > y si ,m n ∈ , se tiene: m n> ⇒ m na a>

Si 0 1a< < y si ,m n ∈ , se tiene: m n> ⇒ m na a<

Indicación: Para 1a > se prueba que 1, na n> ∀ ∈ .

Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo.-

Sea S ⊆ .

Definición.- Diremos que un número real b es una cota superior de S , si

,b x x S≥ ∀ ∈ .

Observaciones: Si b∈ es una cota superior de S entonces cualquier número real

mayor que b también es cota superior de S.

Si existen cotas superiores para un conjunto S decimos que S tiene cotas superiores o

que S es acotado superiormente.

Definición.- La menor de todas las cotas superiores de un conjunto S (si existe) se llama

supremo de S: sup( S ).

Definición.- Un número real c es cota inferior de S si

,c x x S≤ ∀ ∈

Si c∈ es una cota inferior para un subconjunto S de , entonces todo número menor

que c también es cota inferior de S.

Si existen cotas inferiores para un conjunto S decimos que S tiene cotas inferiores o que

S es acotado inferiormente.

La mayor de todas las cotas inferiores de S, si existe, se llama ínfimo de S: ( )ínf S .

Definición.- Si S es acotado superior e inferiormente decimos que es acotado.

Observaciones.-

Si S ⊆ tiene un mayor elemento, es decir si existe u S∈ , tal que ,u x x S≥ ∀ ∈ ,

entonces este mayor elemento es el supremo de S.

Si S ⊆ tiene un menor elemento, es decir si existe v S∈ , tal que ,v x x S≤ ∀ ∈ ,

entonces este menor elemento es el ínfimo de S.

Recíprocamente, si el supremo de un conjunto S pertenece al conjunto, entonces él es el

mayor elemento de S.

Análogamente si el ínfimo de S pertenece a S, él es el menor elemento de S.

El ínfimo o el supremo de un conjunto S, si existen, pueden no pertenecer al conjunto.

El conjunto vacío no tiene supremo ni ínfimo, pero es acotado.

Axioma del Supremo.-

Todo subconjunto acotado superiormente y no vacío, tiene supremo.

Consecuencias.-

1.- Todo subconjunto acotado inferiormente y no vacío tiene ínfimo.

Basta mostrar que ( ) ( )supínf S S= − − .

2.- El conjunto IN de los naturales no es acotado superiormente.

Esta propiedad es la Propiedad Arquimedeana de

Es equivalente a afirmar que:

Dado 0ε > existe n∈ tal que 1n

ε<

3.- Existencia de elementos en que no son racionales, es decir, existencia de

números irracionales.

4.- Existencia de raíces n-ésimas de números reales.

5.- Definición de potencias de exponentes racionales y bases positivas.

6.- Definición de potencias de exponentes reales (irracionales) y bases positivas.

7.- Densidad de los racionales y de los irracionales en .

8.- Identificación de los reales con los puntos de una recta. Completitud de .

El conjunto provisto de las operaciones algebraicas y el orden que verifican todos los

axiomas presentados en este capítulo, se dice que es un campo o cuerpo conmutativo,

ordenado, arquimedeano y completo, y por su identificación con los puntos de una recta

graduada, nos referimos a diciendo que es la recta real, y a los números reales como

puntos de la recta real.

Propiedades de las raíces.-

Sean ,a b reales positivos y ,m n∈ . Se tienen las siguientes propiedades:

1) n n na b a b⋅ = 2) n

nn

a ab b=

3) m n mna a= 4) mn m nm na a a +⋅ =

5) m

mn n mn

a aa

−= 6) .mn n mm na b a b=

7) n na b a b< ⇒ < 8) ( ) y 1 m nm n a a a> > ⇒ <

9) ( ) y 1 m nm n a a a> < ⇒ >

Definición.- Si r∈ es un racional, lo escribimos prq

= con , p q∈ ∈ , primos

entre sí y para 0a > definimos:

( )1 p

pqr qa a a

= =

Propiedades de las potencias de exponente racional.- Para , , , 0r s a b∈ > , se tiene:

1) r s r sa a a +⋅ = 2.- r

r ss

aa

a−=

3.- ( )sr r sa a= 4.- ( )r r ra b a b⋅ = ⋅

5.- r r

r

a ab b

=

6) ( )0 r rr a b a b> ∧ < ⇒ < , ( )0 r rr a b a b< ∧ < ⇒ >

7) ( )1 y r sa r s a a> > ⇒ >

8) ( )1 y r r sa s a a< > ⇒ < .

Observación.- Con ayuda del axioma del supremo es posible extender la noción de

potencias de base positiva y exponentes racionales a exponentes irracionales y estas

potencias tienen todas las propiedades mencionadas para las de exponente racional.