1. DISEO BSICO DE CONTROLADORES Prof. Paolo Castillo Rubio

2. INTRODUCCIN Dado un modelo de un sistema, es posible sintetizar un controlador tal que los polos a lazo cerrado tengan ubicaciones predeterminadas? Veremos, ahora, que la respuesta es afirmativa. Llamado a esto, mtodo deasignacin de polos , que es una idea fundamental en la sntesis de controladores. 3. ENFOQUE POLINOMIAL Consideramos el lazo de control nominal de la figura: Figura 1. Lazo de control de un grado de libertad 4. donde las funciones transferencia de la planta y el controlador estn dadas por los cuocientes de polinomios: definidas, a su vez, por los polinomios: 5. Supongamos que tenemos unpolinomio caracterstico a lazo cerrado deseado , dado por: que puede elegirse a partir de la respuesta deseada del sistema a lazo cerrado, cumpliendo, por ejemplo, con cierto tiempo de respuesta, sobrevalor, etc. 6. OBJETIVO Nuestro objetivo es ver si, dados los polinomiosB 0 yA 0 que definen la planta, se pueden disearPyLde modo que el polinomio caracterstico de lazo cerrado seaA lc . Vamos a ver que, bajo ciertas condiciones, esto es ciertamente posible. Veamos primero un problema simple para ilustrar las ideas principales. 7. Ejemplo 1.Sea el modelo nominal de la planta Consideremos un controlador con estructura atraso-adelanto: 8. El polinomio caracterstico a lazo cerrado satisface la relacin: que resulta de orden3 . Supongamos que queremos que este polinomio sea: Igualando los coeficientes anteriores, obtenemos la ecuacin matricial lineal: 9. Puede verse fcilmente que la matriz de4 x 4de esta ecuacin es no singular, y as la ecuacin tiene solucin nica: 10. En conclusin, el polinomio caracterstico de lazo cerrado deseado, se obtiene con el controlador: La asignacin de polos es posible siempre que la funcin de transferencia de la planta no tenga factores comunes entre numerador y denominador. 11. Ejemplo 2.Sea el modelo nominal de segundo orden de la planta: El mtodo requiere elegirA lc ( s )de grado por lo menos2 n- 1 =3 . Tomemos: 12. Los polinomiosP ( s )yL ( s )son entonces de gradon - 1 = 1 . La ecuacin, resulta en este caso: que, igualando coeficientes de igual potencia, lleva a: El controlador obtenido resulta: 13. Ajuste de PI y PID mediante asignacin de polos Los controladores PI y PID, tienen la forma: Comenzamos notando que cualquier controlador de la forma: pertenece a la familia de controladores PID, donde: 14. Por lo tanto, todo lo que necesitamos para ajustar un PID, es tomar un modelo de segundo orden de la planta y luego aplicar el mtodo de asignacin de polos. 15. Resumiendo, debemos elegir los rdenes de los polinomios del modelo nominal de la planta y del controlador como: Si la planta tuviera un retardo puro , entonces debemos primero obtener un modelo aproximado de segundo orden antes de aplicar el mtodo. 16. Una forma de hacerlo es aproximar el retardo por un sistema de primer orden (usando la aproximacin de Pad), en la forma: 17. EL PREDICTOR DE SMITH Los retardos puros son muy comunes en la prctica, por lo que es importante analizar si es posible mejorar el desempeo alcanzable con un simple controlador PID. La aproximacin propuesta para el retardo en la seccin anterior puede ser muy cruda, especialmente cuando el retardo es la dinmica dominante en el sistema. 18. Una estrategia muy til en el caso deplantas estables a lazo abierto , es elPredictor de Smith . La idea bsica es construir un modelo paralelo de la planta que cancele el efecto del retardo puro. Usamos la estructura ilustrada en la Figura 2, donde asumimos el modelo de la planta en la forma: 19. Figura 2: Esquema de controlador con Predictor de Smith 20. El controlador en la Figura 2 se puede disear en base a: La partesin retardodel modelo de la planta, ya que el retardo se cancela (si el modelo corresponde con el sistema real) por el modelo paralelo de la planta. As, se puede disear el controlador para alcanzar una pseudo-funcin de sensibilidad complementaria: entre R ( s )yZ ( s )usando un modelo de la plantasin retardo . 21. Podramos hacer este diseo, por ejemplo, usando un PID estndar para obtener una determinada: La sensibilidad complementaria real alcanzada, entreR ( s )eY ( s )ser: Consideracin:No puede utilizarse la estructura de la Figura 2 si la plantaes inestable a lazo abierto.