Asignacion N2

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El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar delmomento angular longitudinal de un sólido rígido. MOMENTO DE INERCIA: En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma , donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). y dA 2 Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano.

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Inercia

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El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar delmomento angular longitudinal de un sólido rígido.

MOMENTO DE INERCIA: En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ∫ , donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). y dA 2 Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano.

Ejemplo: 1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga.

Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura. En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes, ∆F=Ky∆A, varían linealmente con la distancia “y” que hay

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entre el elemento de área ∆A y un eje que pasa a través el centroide de la sección.

Nota : El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro ó Eje centroidal. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a tracción, mientras que en el otro lado del eje neutro son fuerzas a compresión, lo cual permite decir que la resultante de las fuerzas sobre el eje neutro es cero. En forma general la magnitud de la resultan de las fuerzas ∆F, que actuan en un diferencial de área ∆A, es R

En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las ∆F se reduce a un par, cuya magnitud M es la suma de los momentos dM=y*∆F=y2 *∆F de las fuerzas elementales. ∫ ∫ ∫ M = dM = Ky dA = k y dA

La integral define el segundo momento del área o momento de inercia de la sección de la viga con respecto al eje horizontal (x). ∫ y dA 2 El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto del área dA por el cuadrado de la distancia “y”existente entre el eje (x) y el diferencial de área. Como cada producto y2 dA es positivo la integral ∫ y dA 2 será positiva, independientemente del valor y signo de la distancia “y”.

2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada elemento diferencial de área una presión proporcional a la profundidad del elemento P=γy. El momento respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dA es dM = dF*y =PdAy =(γydA)y = γy2 dA = γ(y2 dA). El momento total sobre la superficie ABCD, M, es la suma de todos los momentos diferenciales dM.

donde la integral representa la inercia del área “A” respecto al eje AB, se denota por Iab, siendo el subíndice el nombre del eje sobre el cual se toma el momento.

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER.

La integral y dA = YA ∫ 1 , representa el primer momento del área con respecto al eje C. Si el centroide del área se localiza en el Eje C, dicha integral será nula. La integral, representa el área total. ∫ dA = A La integral, define el momento de inercia de un área con respecto del eje C, finalmente el segundo momento del área total se consigue mediante:

El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, IA, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los

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dos ejes. Dicho en otras palabras la distancia d es la distancia existente entre el eje centroidal (Eje C) hasta el eje donde se desea calcular el momento de inercia (Eje A).

LOS EJES A Y C DEBEN SER PARALELOS (Eje A // Eje C) LIMITANTE: el teorema de Steiner sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes paralelos pasa a través del centroide del área.

Para comprender los términos de la ecuación que define el teorema de los ejes paralelos, se ilustra a continuación un área A (figura morada) con su centroide en el punto C y el origen de coordenadas pasando por el punto “o”.

dónde: Jo: momento polar de inercia de un área con respecto de un punto O. Jc es el momento polar de inercia de un área respecto a su centroide C. d3: distancia entre el polo o y el centroide C.

En las cuatro expresiones precedentes, la distancia d debe interpretarse como la distancia entre los dos eje paralelos involucrados; dependiendo el caso, se tomará como la distancia (d2) entre los ejes X y Xcentroidal, o se razonará como la distancia (d1) entre los eje Y e Ycentroidal

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PRODUCTO DE INERCIA Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:

Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva, negativa ó cero.

Cuando uno ó ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de inercia será nulo.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

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El producto de inercia ( ) respecto a los ejes x ∧ y ubicados en el plano del área será equivalente a la suma del producto de inercia respecto a los ejes centroidales ( xy I I xy ) más el producto del área A por las distancias x e y desde los ejes x y hasta los ejes centroidales.

Producto de inercia de un rectángulo

De acuerdo al teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es I xy = I xy + xyA, aplicando dicho teorema a un diferencial de área se tiene: dI xy = dI xy + xydA . Como el diferencial de área (dA=h*dx) (rectángulo rayado) es simétrico respecto a sus ejes centroidales (Xce,xce), el valor del producto diferencial de inercia centroidal es nulo, = 0. xy d I Los valores de x e y se definen mediante las siguientes expresiones:

Finalmente para obtener el producto de inercia del rectángulo (área amarilla) respecto a los ejes X,Y se plantea la siguiente integral:

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La ductilidad es una propiedad que presentan algunos materiales, como las aleaciones metálicas o materiales asfálticos, los cuales bajo la acción de una fuerza, pueden deformarse sosteniblemente sin romperse,1 permitiendo obtener alambres o hilos de dicho material. A los materiales que presentan esta propiedad se les denomina dúctiles. Los materiales no dúctiles se califican como frágiles. Aunque los materiales dúctiles también pueden llegar a romperse bajo el esfuerzo adecuado, esta rotura sólo sucede tras producirse grandes deformaciones.

En otros términos, un material es dúctil cuando la relación entre el alargamiento longitudinal producido por una tracción y la disminución de la sección transversal es muy elevada.

En el ámbito de la metalurgia se entiende por metal dúctil aquel que sufre grandes deformaciones antes de romperse, siendo el opuesto al metal frágil, que se rompe sin apenas deformación.

No debe confundirse dúctil con blando, ya que la ductilidad es una propiedad que como tal se manifiesta una vez que el material está soportando una fuerza considerable; esto es, mientras la carga sea pequeña, la deformación también lo será, pero alcanzado cierto punto el material cede, deformándose en mucha mayor medida de lo que lo había hecho hasta entonces pero sin llegar a romperse.

En un ensayo de tracción, los materiales dúctiles presentan una fase de fluencia caracterizada por una gran deformación sin apenas incremento de la carga.

Desde un punto de vista tecnológico, al margen de consideraciones económicas, el empleo de materiales dúctiles presenta ventajas:

En la fabricación: ya que son aptos para los métodos de fabricación por deformación plástica.

En el uso: presentan deformaciones notorias antes de romperse. Por el contrario, el mayor problema que presentan los materiales frágiles es que se rompen sin previo aviso, mientras que los materiales dúctiles sufren primero una acusada deformación, conservando aún una cierta reserva de resistencia, por lo que después será necesario que la fuerza aplicada siga aumentando para que se provoque la rotura.

La ductilidad de un metal se valora de forma indirecta a través de la resiliencia.

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La ductilidad es la propiedad de los metales para formar alambres o hilos de diferentes grosores. Los metales se caracterizan por su elevada ductilidad, la que se explica porque los átomos de los metales se disponen de manera tal que es posible que se deslicen unos sobre otros y por eso se pueden estirar sin romperse.

 La ductilidad de los materiales se puede modificar mediante tratamientos térmicos, estirando en frío y mediante aleaciones con otros elementos. La maleabilidad está asociada con los esfuerzos de compresión; así, hay algunos materiales maleables que se utilizan para obtener hojas delgadas mediante un proceso de laminación.

ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGAS

Hasta este momento nos hemos ocupado de estudiar las tensiones y deformaciones producidas por las cargas estáticas, es decir, cargas que insumen un tiempo considerable en aplicarse. Las cargas estáticas varían su magnitud de cero a los valores definitivos tan lentamente, que las aceleraciones que en estas condiciones reciben los elementos de las estructuras son despreciablemente pequeñas.

Un ejemplo claro de este tipo de carga es la que soporta una columna de un edificio de viviendas, la cual tarda en recibir el total de las cargas gravitacionales aproximadamente dos años, que es el tiempo que usualmente media entre la construcción de la propia columna y la habilitación del edificio. Cuando una carga se aplica en un período relativamente corto recibe el nombre de “carga dinámica”, la misma puede tomar muchas formas, algunas cargas se aplican y suprimen de modo repentino, son las cargas de impacto, otras actúan por períodos más prolongados de tiempo y varían de intensidad, son las denominadas cargas fluctuantes.

Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos colisionan, o cuando un objeto cae sobre otro. Las cargas fluctuantes en general son producidas por maquinaria rotatoria, tránsito pedestre o vehicular, ráfagas de viento, olas marinas, sismos. Las cargas dinámicas se distinguen de las

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estáticas por el hecho de originar modificaciones tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que dan lugar, afectando también la forma y límite de rotura de los materiales.

En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de rotura se reduce en forma considerable. Asimismo, las experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de fluencia y de la tensión de rotura.

Muchos materiales que frente a cargas estáticas tienen un comportamiento dúctil, en el caso de cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil. Las cargas dinámicas producidas por el impacto de un cuerpo en movimiento pueden originar en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios. Si la carga dinámica se repite en forma periódica, y su frecuencia coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes que conducen al colapso de la estructura.

La determinación en forma rigurosa de las tensiones que se originan como consecuencia de las cargas dinámicas resulta compleja y en cierto modo, un tanto indefinida.

En el caso de solicitaciones estáticas las cargas actuantes pueden determinarse en forma mucho más cierta que en el caso de solicitaciones dinámicas, dónde ocurre una transferencia de una cierta cantidad de energía cinética, la cual en la práctica es muy difícil de cuantificar.

La determinación del estado tensional también depende de la zona de contacto en el impacto y del proceso de variación, en función del tiempo, de las fuerzas de contacto. Un ejemplo de esta situación se presenta en el caso de la colocación de material granular en una tolva, En el instante inicial de contacto la masa granular tiene una forma bastante diferente de la que adquiere cuando ha terminado de caer.

Otro efecto que juega un papel importante en el proceso de choque es la disipación de la energía, lo que es muy difícil de cuantificar. En este sentido, el amortiguamiento que pudieran proveer los vínculos es sumamente importante. En base a lo que hemos dicho, en la mayoría de

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los casos se tratan de cuantificar los efectos dinámicos en forma experimental. Para que los cálculos de solicitaciones resulten sencillos se utilizan “cargas estáticas equivalentes”, que no son sino cargas ficticias que actuando estáticamente producen el mismo efecto que las cargas verdaderas actuando en forma dinámica. Las cargas estáticas equivalentes se obtienen multiplicando las cargas verdaderas por un “coeficiente de impacto o dinámico”.

Este coeficiente depende de numerosas variables, y en la mayoría de los casos se determina en forma experimental. Para ciertos problemas tipo quedan establecidos por los correspondientes reglamentos de cálculo en función de las variables más significativas. A continuación estudiaremos algunos problemas simples dónde podrá determinarse analíticamente el coeficiente de impacto, pero para ello deberemos realizar varias hipótesis simplificativas.

Algunas estructuras, y especialmente en elementos de máquinas, los esfuerzos actuantes no son estáticos sino que actúan en forma dinámica, variable con el tiempo. En algunos casos particulares de piezas de máquina, si bien las cargas no varían, el movimiento de la pieza hace que las tensiones varíen a través del tiempo. Ejemplo clásico de esto último es el eje de un vagón de ferrocarril el cual por su rotación produce la inversión del signo de las tensiones internas. Consideremos el caso de un eje de dicho vagón que soporta dos cargas iguales en los extremos.

Estas cargas son transmitidas a la tierra mediante dos ruedas. Una sección como la a-a soporta un momento flector M y para un cierto instante, un punto como el A, ubicado en el borde superior de la sección, tendrá una tensión normal que será máxima: r I M máx (11.27) Transcurrido un cierto tiempo, si el eje gira con una velocidad angular , el punto A pasará a la posición A’ de ordenada y = rsen(90-t).

La tensión será entonces: r sen(90 t) sen(90 t) I M máx máx cost (11.28) La ecuación 11.28 nos muestra que la tensión en el punto A varía cíclicamente según una función cosenoidal de amplitud máx . Otro ejemplo de solicitación cíclica corresponde al mecanismo biela-manivela, donde la biela está sujeta a solicitaciones alternadas de tracción y compresión.

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En determinados casos las solicitaciones alternadas ocurren en forma continuada durante períodos largos de tiempo, como en el caso de ejes de locomotoras, cigüeñales, bielas, dientes de engranajes, resortes de válvulas, etc. En otras circunstancias, como en los puentes ferroviarios, la variación de tensiones ocurre en períodos de tiempo cortos y el aumento de las tensiones por sobre el valor de las correspondientes a las cargas estáticas es relativamente reducido.

Cuando sobre un elemento estructural actúan sistemáticamente cargas repetidas o cíclicas, en los lugares donde existen fuertes concentraciones de tensiones, cuyo origen obedece a irregularidades superficiales, a cambios bruscos de forma, a la existencia de fisuras internas microscópicas o a inclusiones también microscópicas (granos de escoria en el caso de los metales), pueden aparecer Grietas que conducen a la destrucción frágil del elemento, aún cuando el material tenga un comportamiento dúctil bajo cargas estáticas.

Por ejemplo para el caso del eje de, si en función del momento actuante en la sección y las características del material dimensionáramos el eje en base a la tensión admisible correspondiente a las cargas estáticas, al someter la pieza a un ensayo veríamos que esta rompe al cabo de un cierto número de ciclos.

La existencia de una discontinuidad en una pieza, sea ésta un orificio, una entalladura, etc., hecho muy común en la práctica, da origen a perturbaciones en la distribución de tensiones. Aparecen así las denominadas concentraciones de tensiones, y sus correspondientes diagramas presentan los llamados picos de tensión, originados por grandes deformaciones localizadas en pequeñas zonas de la sección.

El proceso de surgimiento y desarrollo de las grietas en el material sólido, originado por las cargas cíclicas, se denomina “fatiga del material”. El análisis teórico de la resistencia a la fatiga presenta grandes dificultades. La naturaleza de la destrucción por fatiga se determina por las particularidades de la estructura molecular y cristalina de la materia. Por lo tanto, el esquema de la materia continúa que se aplicó en los temas que hasta ahora se analizaron, en este caso concreto no puede servir de base satisfactoria para la investigación.

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Es por esto que resulta necesario, manteniendo todas las suposiciones de la mecánica del cuerpo continuo, ir por el camino de la acumulación de datos experimentales que, permitan elaborar las reglas pertinentes para orientar los cálculos. La agrupación y sistematización de los datos experimentales constituye en la actualidad el contenido de la teoría de la resistencia a la fatiga.

Tipos de tensión en la solicitación por fatiga – Definiciones Las solicitaciones repetidas pueden clasificarse dentro de dos categorías: a) Pulsatorias (las tensiones varían entre dos extremos sin cambiar de signo) b) Cargas oscilantes (los valores extremos de las tensiones son de distinto signo) A su vez, las cargas pulsatorias se denominan intermitentes si una de las tensiones extremas es nula, y las cargas oscilantes se dicen alternadas si las tensiones extremas son opuestas. En la figura 11.6 podemos ver ejemplos gráficos de los distintos tipos de cargas recientemente definidas. Llamaremos máx , o tensión superior a la máxima tensión en valor absoluto, y mín a la mínima tensión también en valor absoluto. pico medio Fig.

Definiremos como tensión media al siguiente valor: 2 máx mín m (11.29) y definiremos como amplitud de la tensión dinámica a: 2 máx mín a (11.30) Esta última también se conoce como tensión variable o revertida. Llamaremos coeficiente de ciclo a: máx mín r Los ciclos con igual valor de r se denominan ciclos semejantes. Para ciclo intermitente r = 0 Para ciclo alterno simétrico r = -1 Cualquiera de las cargas que hemos mencionado recientemente puede ser considerada como resultante de la superposición de dos tensiones: una constante de valor m y otra alternada de amplitud a.

La experiencia indica que la resistencia a la fatiga depende sólo de la amplitud de la tensión dinámica a y del valor de la tensión media, influyendo muy poco la ley de variación entre las tensiones extremas. Para un cierto material dado, la resistencia a la rotura será la misma para cualquiera de las leyes de variación de la figura 11.7 Quiere decir que para juzgar sobre la resistencia a la fatiga en el caso del ciclo dado, es suficiente conocer los valores de máx y mín o bien m y a máx m mín t Carga pulsatoria máx m mín t Carga Oscilante máx m

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mín = 0 t Carga pulsatoria Intermitente máx m = 0 mín t Carga Oscilante

Resistencia a la fatiga. Curva de Wöhler Definiremos como “resistencia a la fatiga” a la máxima amplitud de la tensión dinámica que superpuesta en ambos sentidos a la tensión media puede actuar un número ilimitado de reiteraciones, sin provocar la rotura del material ni una deformación plástica superior a la admisible. Existen algunos casos particulares de resistencia a la fatiga: a) Resistencia de oscilación. Corresponde al caso de m = 0 y máx = mín, La designaremos A. b) Resistencia de pulsación. En este caso una de las tensiones extremas es nula.

La designaremos con U. La determinación de la resistencia a la fatiga se efectúa experimentalmente, y resulta ser siempre inferior a la resistencia determinada en un ensayo estático. Para obtener la resistencia a la fatiga se realiza el trazado del denominado Diagrama de Wöhler. Para ello se somete una probeta del material a una carga variable de amplitud a y tensión m prefijadas, determinándose el número N de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga. El ensayo se repite para otros valores de a .

Para cada caso se representa en un diagrama el valor de N que ha conducido a la rotura (en escala logarítmica) y la tensión máxima correspondiente al mismo. Se obtiene así una curva asintótica a un valor de máx que es precisamente la resistencia de fatiga.

Para N=0 el valor de la resistencia a la fatiga coincide con el valor de la resistencia estática R. Debido a que algunos materiales son capaces de resistir un número ilimitado de ciclos, se adopta una resistencia de fatiga convencional, que corresponde a la tensión para la cual el material resiste una cantidad determinada de ciclos, por ejemplo 108 . Hay numerosos factores que influyen en la resistencia a la fatiga. Ya hemos visto que la influencia de los ciclos de carga es muy importante, otros factores significativos son la posibilidad de corrosión, la temperatura de trabajo, el endurecimiento en frío, los tratamientos térmicos, la forma de las probetas

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que se utilizan en los ensayos, etc. Un resultado importante a tener en cuenta es el siguiente: R U A 11.2.4

Diagramas de fatiga La mayor parte de los valores experimentales obtenidos en ensayos de flexión corresponden a cargas oscilantes alternadas, para las cuales m = 0, pero en realidad, para una mejor interpretación de los resultados interesa conocer la influencia de m. Para ello deben disponerse de numerosos resultados experimentales que contemplen la mayor cantidad posible de combinaciones.

Numerosos investigadores han realizado estos ensayos y han obtenido diferentes interpretaciones. Las interpretaciones gráficas de los resultados han dado lugar a la definición de los denominados diagramas de fatiga, de los cuales uno muy difundido es el Diagrama de Smith. Para su construcción se procede de la forma siguiente: sobre un par de ejes coordenados ortogonales se llevan en abscisas las tensiones medias m y en ordenadas las tensiones máx y mín . Correspondientes a las respectivas tensiones medias. Las ordenadas definidas por una recta a 45º que pasa por el origen corresponden, lo mismo que las respectivas abscisas, a las tensiones medias m, y dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud a. Es decir, que la distancia de cada curva límite a la recta mencionada corresponde al valor de la tensión variable a, que es la que define a las distintas resistencias de fatiga.

En la figura 11.9 hemos reproducido un diagrama de Smith que obedece a las características de un acero de límite de rotura estática R = 37 kN/cm2 , límite de fluencia F = 26 kN/cm2 y resistencia de fatiga bajo carga oscilante alternada A = 12 kN/cm2 .

Para un material como el indicado, el diagrama es simétrico, para el tercer cuadrante en relación al primero, por lo que sólo hemos graficado una parte. En la figura además hemos ubicado las cargas tipos ya estudiadas y se indicaron las zonas de validez para cada una. Si se entra en el diagrama con un valor de la tensión media m , del mismo se puede obtener el valor de la resistencia a la fatiga a .

En el diagrama puede verse que en la medida que m crece, disminuye la resistencia a la fatiga, hasta m = R dónde no se admite ninguna carga repetida. Para el dimensionamiento de elementos estructurales sometidos a fatiga, la experiencia indica que no es conveniente superar el valor del

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límite de fluencia del material, así es que el diagrama de Smith queda limitado a la zona rayada del dibujo. La corrección se realiza en base a lo anterior y manteniendo la simetría debida.

M m t *m Carga oscilante Carga pulsatoria Carga Estática Carga oscilante alternada Carga pulsatoria intermitente *min *a *máx *a Co C´ máx = mín = m = R u= máx A = máx A = máx B O A A' C

Finalmente podemos ver que el diagrama queda definido entre dos rectas y dos curvas de reducida curvatura, las cuales pueden ser reemplazadas sin error, por dos rectas. Esto simplifica el trazado del diagrama. Admitiendo que a correspondiente a la resistencia pulsatoria intermitente es del orden del 80% de la resistencia A, bastará conocer F y A para poder trazar el diagrama aproximado, el cual queda definido como en el esquema.

En forma normal se piensa que las deflexiones dentro del límite elástico varían en forma lineal con la carga, sin embargo ocurren varias excepciones notables, como la falla por estabilidad o pandeo cuando se aplican cargas de compresión.

Se entiende por estabilidad la propiedad del sistema de mantener su estado durante las acciones exteriores. Si el sistema no tiene esta propiedad se dice que el sistema es inestable. En la misma medida se puede afirmar que su estado es inestable.

En las condiciones reales siempre existen causas que pueden conducir a la perturbación del estado original de equilibrio. Es decir, que siempre se realiza la posibilidad del paso del sistema inestable a un nuevo estado. En este caso se dice que no tiene lugar la pérdida de estabilidad.

Al perder la estabilidad, el sistema se puede comportar de diversas formas. Generalmente, tiene lugar el paso a un nuevo estado estado de equilibrio,

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lo que, en la mayoría de los casos va acompañado de grandes deformaciones, de deformaciones plásticas o de una rotura completa. En algunos casos, después de perder la estabilidad, la estructura sigue trabajando y cumple, como antes, sus funciones principales. Pueden ocurrir, por fin, casos cuando el sistema perdió estabilidad, al no tener una posición estable de equilibro, pasa al régimen de las oscilaciones no amortiguadas.

Es necesario destacar que el fenómeno de la pérdida de estabilidad se manifiesta de la forma más clara en las estructuras ligeras de paredes delgadas: en las cáscaras comprimidas y en las paredes delgadas. Tal vez los más comunes son las columnas largas esbeltas trabajando a la compresión. Los ejemplos incluyen columnas en edificios, eslabones estructurales a la compresión (como en puentes), bielas conectadas a pistones, resortes helicoidales a la compresión y tornillos de gatos; también los tubos de paredes delgadas solicitado por una presión exterior es capaz de perder estabilidad. En este caso, la forma circular de la sección pasa a ser elíptica y el tubo se aplasta, a pesar de que, en el momento de perder la estabilidad, las tensiones están lejos de alcanzar el límite de fluencia.

En las siguientes figuras se muestran algunos elementos con falla por pandeo:

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Presiones externas sobre un cilindro de pared delgada.

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Elementos que fallaron por Pandeo.

En el caso de barras esbeltas, debemos tener en cuenta que si la fuerza aplicada sobre una barra “perfecta” sigue la dirección exacta del lugar geométrico de los centros de gravedad de la sección no se producirá el pandeo. Pero en las condiciones reales en que actúa el sistema pueden existir una o más de las siguientes causas que determina el pandeo, como por ejemplo:

Irregularidades en la forma.

Irregularidades en la estructura.

Excentricidad de la carga respecto al centroide geométrico.

Pequeña flexión del eje.

En el caso de barras esbeltas sometidas a fuerzas axiales de compresión, éstas corresponden al caso general tratado por Leonard Euler en 1744 cuando publicó el primer tratado conocido sobre la estabilidad elástica.

La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se conoce como carga crítica de pandeo del elemento o carga de Euler. Para el análisis de Euler se considera que la barra está articulada en ambos extremos. Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin imperfecciones del material ni de alineación del elemento, con una longitud L, de sección constante A e inercia I, constituido por un material lineal elástico cuyo módulo de

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elasticidad es E. En uno de sus extremos se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo deslizante longitudinal.

Al elemento mencionado se lo somete a una carga axial de compresión en el extremo del apoyo deslizante, y se le proporciona una elástica de deformación flexionante continua similar a la que se observa en piezas de libre rotación en sus extremos (elementos articulados- articulados), debido a la inestabilidad por pandeo.

Para determinar esta cuantía de acero es necesario calcular el régimen de deformaciones que se genera en la

Sección de concreto armado en condición de rotura. Conocidas las deformaciones se pueden determinar las Tensiones de los materiales las

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fuerzas generadas en cada uno de ellos y las solicitaciones internas sobre la Sección. Para ello haremos uso de las ecuaciones de equilibrio, y el método del bloque de tensiones de Whitney.

Las Ecuaciones de Equilibrio a utilizar son las siguientes:

Donde:

Procedimiento de cálculo.

Los pasos para resolver el problema planteado son los siguientes: 1. Se fijan las características mecánicas de los materiales. Para el concreto:

Para el acero:

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2. Se fija la geometría de la sección transversal (el método acepta cualquier forma de sección transversal que tenga trazado poligonal). Se ubican las cabillas dentro de la sección definida.

3. Fijar un valor para la cuantía mecánica,

Donde:

Se calcula el centroide plástico de la sección. Entendiéndose como el punto en el cual se debe ubicar P0 de tal forma que las tensiones en el concreto y en el acero sea la misma en todos los puntos, generando así, sólo, solicitaciones axiales, se plantea que:

Siendo

Donde:

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Si tomamos en cuenta para el cálculo el acero embutido en el concreto a compresión se hará:

Donde:

Luego:

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Donde:

Estos valores corresponden a las coordenadas d centroide plástico, cp, (ver figura 1). 4. Ubicamos los nuevos ejes X'-Y' sobre el centroide plástico.

La carga, Es la fuerza exterior que actua sobre un cuerpo.

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Clasificación de los esfuerzos

Fuerza. Son esfuerzos que se pueden clasificar debido a las fuerzas. Generan desplazamiento. Dependiendo si están contenidos (o son normales) en el plano que contiene al eje longitudinal tenemos:

Contiene al eje longitudinal:

Tracción. Es un esfuerzo en el sentido del eje. Tiende a alargar las fibras.

Compresión. Es una tracción negatia. Las fibras se acortan.

Normal al plano que contiene el eje longitudinal:

Cortadura. Tiende a cortar las piezas mediante desplazamiento de las secciones afectadas.

Momento. Son esfuerzos que se pueden clasificar debido a los momentos. Generan giros. Dependiendo si están contenidos (o son normales) en el plano que contiene al eje longitudinal tenemos:

Contiene al eje longitudinal:

Flexión. El cuerpo se flexa, alargándose unas fibras y acortándose otras.

Normal al plano que contiene el eje longitudinal:

Torsión. Las cargas tienden a retorcer las piezas.

Otros:

Esfuerzos compuestos. Es cuando una pieza se encuentra sometida simultáneamente a varios esfuerzos simples, superponiéndose sus acciones.

Esfuerzos variables. Son los esfuerzos que varían de valor e incluso de signo. Cuando la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo es 0, el esfuerzo se denomina alternado. Pueden ocasionar rotura por fatiga.

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2.3. Ensayo de tracción

A menudo se realizan una serie de pruebas a los materiales (fundamentalmente metales) para ver su comportamiento, a estas prueba se les llama ensayos. A partir de estos, se puede determinar:

Sus características para una posible utilización Los defectos de las piezas ya terminadas.

El ensayo de tracción es el más importante y el más empreado de todos. Se realliza con probetas de dimensiones normalizadas, que se someten a esfuerzos de tracción progresivamente crecientes, en dirección longitudinal, hasta producir su rotura.

El ensayo de tracción permite estudiar el alargamiento de la probeta en función de la fuerza o carga actuante. La forma del diagrama depende del material a ensayar. En la imagen podemos ver un diagrama característico de un material dúctil y

maleable, como el acero extrasuave.

Período 1. ALARGAMIENTOS ELÁSTICOS. Los alargamientos son pequeños y proporcioales a los esfuerzos. Cuando el esfuerzo cesa la probeta recupera su estado inicial. ZONA ELÁSTICA.

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Período 2. ALARGAMIENTOS PERMANENTES. Los alargamientos son grandes, cuando cesa la fuerza, la deformación permanece. ZONA PLÁSTICA.

Período 3. ALARGAMIENTOS LOCALIZADOS. Cuando la carga llega a cierto valor, el alargamiento se localiza en una zona concreta (hacia el centro de la probeta) llamada ZONA DE ESTRICCIÓN. Finaliza en rotura.

Puntos y conceptos:

1. Límite de elasticidad (E). Es la máxima tensión que se puede producirse sin que haya deformación permanente.

2. Límite de proporcionalidad (P). Es la máxima tensión que se puede producir en la zona donde la tensión es una función lineal. Suele coincidir con el anterior.

3. Límite de fluencia (B), también llamado límite aparente de elasticidad. Es una medida arbitraria tomada por acuerdo internacional. Surge a partir del punto donde se produce una deformación de 0,2%.

4. Carga de rotura (R) o límite de rotura. Es la carga máxima por unidad de sección que resiste el material antes de romperse.

5. Rotura efectiva (U). Punto donde rompe la probeta.6. Alargamiento de rotura. Es el alargamiento que sufre el material antes

de romperse.7. Estricción. Es la reducción de la sección que sufre la probeta en la

zona de rotura. El alargamiento y la estricción se usan para ver el grado de ductibilidad de los materiales.

Ampliación de contenidos

2.4. Tipos de esfuerzo (cuadro)

Page 27: Asignacion N2

Caso 1: Viga simplemente apoyada (Isostática) con carga puntual en

el centro de la luz.

Page 28: Asignacion N2

Las reacciones son idénticas, debido a la posición simétrica de la

carga respecto de los apoyos (que además actúan de igual manera, es

decir, absorbiendo cargas verticales), recibiendo cada una de ellas la mitad

de la carga puntual.

Nótese como los diagramas son lineales en ambos casos (FCy MF),

esto es debido al tipo de carga (puntual).

El diagrama de FC es una función lineal constante, con expresión:

V(x) = P/2 = 0,5P

Hasta la mitad de la luz; de ahí en adelante y debido a la posición y

magnitud de la carga P, se produce una discontinuidad de la función

de FC, que seguirá siendo constante pero con con signo negativo, según

la expresión:

V(x) = - P/2 = -0,5P

Page 29: Asignacion N2

El diagrama de MF, es una función lineal discontinua por tramos, con

discontinuidad en x = L/2, donde hay un cambio de signo de la pendiente

(de 0,5 a -0,5). La pendiente de la recta será positiva en la mitad izquierda

de la viga y negativa en la derecha, con las expresiones:

M(x) =  Px/2 = 0,5Px (mitad izquierda)

M(x) = - Px/2 = - 0,5Px (mitad derecha)

En el punto de cambio de signo de la pendiente se produce un

máximo valor de la variable MF, que será el mayor en toda la longitud de la

viga AB, y tiene el valor:

Mmax = PL/4 = 0,25PL

Caso 2: Viga con empotramiento y rodillo (Hiperestática de Grado 1)

con carga puntual en el centro de la luz.

Es notable cómo al cambiar uno de los apoyos (en este caso el

empotramiento en B), las reacciones verticales no son iguales entre sí. El

Page 30: Asignacion N2

empotramiento, por tener mas capacidad de absorción de carga, toma un

68,75% de la carga total (carga puntual en centro de luz), mientras el

rodillo sólo toma un 31,25% de la carga total (menos de la mitad de lo que

toma el empotramiento).

Los diagramas son lineales, tanto para FC como para MF, pero se

diferencian del Caso 1, en que las cantidades son diferentes. Analizando la

variación de la Fuerza Cortante, es evidente que la función constante en la

primera mitad de la viga (mitad izquierda) tiene la expresión:

V(x) = 5P/16 = 0,3125P

Esta función constante tiene menor valor que la producida en el

mismo tramo de la viga en el Caso 1.

Al entrar en juego la carga puntual P,  la función de la cortante tiene

la expresión:

V(x) = -11P/16 = -0,6875P

El valor absoluto de la FC es mayor en la mitad derecha de la viga, y

además será también mayor (en valor absoluto) que la función de FC en

su homólogo del Caso 1.

Con respecto al diagrama de MF, se puede observar que el

empotramiento introduce un momento negativo en el extremoB, que será

mayor (en valor absoluto) que el momento en el centro de la luz. Sin

embargo, la diferencia entre los dos valores (absolutos) de MF no es muy

grande. Al comparar con el mayor valor absoluto de MF en la viga

Page 31: Asignacion N2

del Caso 1,  es evidente que el mayor valor absoluto del Caso 2, es una

fracción de este:

[MF1] = PL/4 = 0,25PL

[MF2] = 3PL/16 = 0,1875PL

Dónde:

[MF1] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso1, y 

[MF2] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso2

De manera que:

[MF2] = 0,75[MF1]

Esto significa que el momento flector máximo absoluto en elCaso

2 es un 25%  menor que el momento flector máximo absoluto en el Caso 1.

La conclusión inmediata de esta comparación es que:

La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye en

momento flector máximo de una viga.

Caso 3: Viga biempotrada (Hiperestática de Grado 2) con carga

puntual en el centro de la luz.

Page 32: Asignacion N2

Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetría

vuelve a la distribución de las reacciones y a los diagramas de FC y MF.

Nótese cómo las reacciones verticales son idénticas a las delCaso 1.

Así mismo, en los empotramientos en A y B, existen sendos momentos

reaccionantes de igual magnitud.

El diagrama de FC será idéntico al del Caso 1. Por otro lado, el

diagrama de MF es algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma,

es decir, idénticas pendientes para cada tramo, con punto de

discontinuidad en x = L/2, el diagrama se ha desplazado sobre el eje

de M = 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en

los extremos, es decir,PL/8.

Si comparamos estos valores con aquellos del Caso 2, es notable

que los valores máximos (absolutos) del momento son menores. Aplicando

relaciones similares a las del Caso2, tenemos:

[MF2] = 3PL/16 = 0,1875PL [MF3] =  PL/8 = 0,125PL

Page 33: Asignacion N2

Dónde:

[MF2] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso2, y 

[MF3] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso3

De manera que:

[MF3] = 0,6667[MF2]

Esto significa que el momento flector máximo absoluto en elCaso

3 es una tercera parte  menor que el momento flector máximo absoluto en

el Caso 2.

La conclusión inmediata de esta comparación es nuevamente:

La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye en

momento flector máximo de una viga.

Tabla Comparativa De Los Máximos Valores Absolutos De Mf Para

Los Casos 1, 2 Y 3

Y 3

Casos [MFN] [MFN]/[MF1]Caso 1 0,25PL 1Caso 2 0,1875PL 0,75Caso 3 0,125PL 0,5

En la TABLA 1 se presentan los valores máximos absolutos

de  Momento Flector para cada uno de los casos, y en la columna de la

extrema derecha, la relación normalizada de los momentos flectores con

respecto al máximo valor absoluto del Caso 1.

Page 34: Asignacion N2

Queda claro entonces, que los tipos de apoyo juegan un papel

importante en la variación del momento flector a lo largo de una viga.

Así mismo, la inclusión de apoyos tipo empotramiento reducen

considerablemente los máximos valores absolutos de momento flector en

una viga. Podemos ver entonces cómo el máximo valor absoluto de MF en

el Caso 2 es un 75% de aquel del Caso 1:

[MF2]/[MF1] = 0,75 y el del Caso 3 un 50%: [MF3]/[MF1] = 0,5

Caso 4: Viga simplemente apoyada con carga uniformemente

distribuida.

En este caso, al igual que en el Caso 1 las reacciones, así como los

diagramas de FC y MF presentan simetrías, es decir, las reacciones

verticales son idénticas en A y en B (ya que los apoyos reaccionan de igual

manera, es decir, absorbiendo cargas verticales),  en el diagrama de FC se

verifica una simetría central respecto de un punto en el centro de la luz de

la viga, y en el de MF una simetría respecto de un eje vertical por el centro

de la luz de la viga.

Las funciones de FC y MF son, respectivamente, lineal (de primer

grado) y cuadrática (de segundo grado). Dichas funciones tienen la forma:

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V(x) = qL/2 - qx (Fuerza Cortante)

M(x) = qLx/2 - qx2/2 (Momento Flector)

Es importante hacer notar que la FC tiene dos máximos absolutos:

en A y en B, mientras que el MF sólo tiene un máximo en el centro de la

luz.

Caso 5: Viga con empotramiento y rodillo con carga uniformemente

distribuida.

Las reacciones verticales no serán idénticas puesto que el

empotramiento tiene la capacidad de tomar más carga que el rodillo, se

verifica entonces como el apoyo en B reacciona tomando 62,5% de la

carga total sobre la viga, mientras el apoyo en A toma un 37,5%. Al

comparar con las reacciones del Caso 4, es notable como la reacción

en B es mayor que la de su homóloga y la reacción en A es menor.

Además se debe tener en cuenta que por el empotramiento en B se

genera una reacción en forma de momento.

Vemos nuevamente (similar al Caso 2) cómo la introducción de un

Page 36: Asignacion N2

empotramiento (en el extremo B de la viga) induce asimetría en los

diagramas de FC y MF.

Los máximos valores absolutos de FC y MF se encuentran en el

extremo B (empotramiento). 

Caso 6: Viga biempotrada con carga uniformemente distribuida.

Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetría

vuelve a la distribución de las reacciones y a los diagramas de FC y MF.

Nótese cómo las reacciones verticales son idénticas a las del Caso

4. Así mismo, en los empotramientos en A y B, existen sendos momentos

reaccionantes de igual magnitud.

El diagrama de FC será idéntico al del Caso 4. Por otro lado, el

diagrama de MF es algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, el

diagrama se ha desplazado sobre el eje de M= 0 (hacia arriba), una

distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es

decir, QL/12.

Page 37: Asignacion N2

Si comparamos estos valores con aquellos de los Casos 4 y 5, es

notable que los valores máximos (absolutos) del momento (en esta

viga: Caso 6) son menores. Aplicando relaciones similares a las del Caso

5, tenemos:

[MF5] = qL/8 = 0,125qL

[MF6] =  qL/12 = 0,0833qL

Dónde:

[MF5] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 5, y 

[MF6] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 6

De manera que:

[MF6] = 0,6667[MF5]

Esto significa que el momento flector máximo absoluto en elCaso

6 es una tercera parte  menor que el momento flector máximo absoluto en

el Caso 5.

La conclusión inmediata de esta comparación es nuevamente:

http://html.rincondelvago.com/resistencia-de-materiales_ensayo-de-pandeo.html

http://servicio.bc.uc.edu.ve/ingenieria/revista/a8n1/8-1-2.pdf