ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADA Curso Acad´emico ...

ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADATitulacion: Ingenierıa Tecnica Agrıcola

Curso Academico: 2006/2007Profesora: Marıa del Carmen Bueso Sanchez

• Programa de la asignatura

• Relaciones de problemas

• Formulario

• Examenes

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

PROGRAMA DE TEORIA

BLOQUE I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

Tema 1. Estadıstica Descriptiva Unidimensional.

Generalidades.

Tabla de frecuencias.

Representacion grafica.

Sıntesis numerica de una variable estadıstica unidimensional.

Tema 2. Estadıstica Descriptiva Bidimensional.

Concepto de variable estadıstica bidimensional.

Distribuciones marginales y condicionadas.

Dependencia e independencia estadıstica.

Tema 3. Regresion y Correlacion.

Planteamiento del problema de regresion. Criterio de mınimos cuadrados.

Regresion lineal mınimo-cuadratica.

Varianza residual y coeficiente de correlacion lineal.

Otros tipos de ajustes.

BLOQUE II: CALCULO DE PROBABILIDADES.

Tema 4. Fundamentos de la Probabilidad.

Concepto de probabilidad. Definicion axiomatica.

Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos.

Teorema de la Probabilidad Total. Teorema de Bayes.

Tema 5. Variable Aleatoria.

Concepto de variable aleatoria.

Funcion de distribucion. Propiedades.

Tipos de variables aleatorias: variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua.

Caracterısticas de una variable aleatoria.

Variables aleatorias bidimensionales.

Tema 6. Algunas Distribuciones Discretas de Probabilidad.

Distribucion uniforme discreta.

Distribucion de Bernoulli. Distribucion binominal.

Distribucion de Poisson.

Tema 7. Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad.

Distribucion uniforme.

Distribucion exponencial.

Distribucion normal.

Distribuciones asociadas a la distribucion normal: Distribucion χ2 de Pearson, distribucion t de Student ydistribucion F de Snedecor.

BLOQUE III: INFERENCIA ESTADISTICA.

Tema 8. Muestreo y Distribuciones de Muestreo.

Introduccion a la Inferencia Estadıstica.

Muestra aleatoria simple. Distribucion de la muestra.

Concepto de estadıstico. Estudio de la media y la varianza muestrales.

Muestreo en poblaciones normales.

Tema 9. Estimacion.

Generalidades y fundamentos. Conceptos basicos.

Estimacion puntual.

Estimacion por intervalos de confianza. Construccion de intervalos de confianza.

Intervalos de confianza para los parametros de distribuciones normales.

Tema 10. Contraste de Hipotesis.

Planteamiento general de un problema de contraste de hipotesis. Conceptos basicos.

Relacion entre contrastes de hipotesis y regiones de confianza.

Contrastes de hipotesis sobre los parametros de las distribuciones mas usuales.

PROGRAMA DE PRACTICAS DE ORDENADOR

Practica 1: Introduccion al programa Statistix. Manejo de ficheros de datos.

Practica 2: Estadsitica descriptiva. Tablas de frecuencias, representaciones graficas, medidas de centralizaciony dispersion.

Practica 3: Ajuste por mınimos cuadrados. Regresion lineal y no lineal.

Practica 4: Exploracion de datos con Statistix.

Practica 5: La distribucion Normal. Calculo de probabilidades.

Practica 6: Simulacin de variables aleatorias.

Practica 7: Muestreo. Estimacion puntual y por intervalos de confianza.

Practica 8: Contrastes de hipotesis parametricas.

Las practicas se realizaran en el aula de informatica asignada por la direccion de la Escuela.

BIBLIOGRAFIA

DeGroot, M. (1988). Probabilidad y Estadıstica. Ed. Addison Wesley, 1988.

Guillamon, A., Franco, M., Navarro, J. (1998). Probabilidad y Estadıstica. Problemas. Diego Marın.

Guillamon, A., Navarro, J. (1998). Probabilidad y Estadıstica. Fundamentos. Diego Marın.

Martin-Pliego, Montero, J.M., Ruiz-Maya, L. (1998). Problemas de Probabilidad. Editorial AC, Madrid.

Martin-Pliego, Montero, J.M., Ruiz-Maya, L. (2005). Problemas de Inferencia Estadıstica. Thomson-Paraninfo.

Martin-Pliego, Ruiz-Maya, L. (1998). Fundamentos de Probabilidad. Editorial AC, Madrid.

Martin-Pliego, Ruiz-Maya, L. (2005). Fundamentos de Inferencia Estadıstica. Editorial AC, Madrid.

Montgomery, D.C., Runger, G.C. (1996). Probabilidad y Estadıstica Aplicadas a la Ingenierıa. McGraw-Hill, Mexico.

Pena Sanchez-Rivera, D. (1992). Estadıstica. Modelos y Metodos I. Fundamentos. Alianza Editorial, Madrid.

CRITERIOS DE EVALUACION

En cada convocatoria, se realizara un examen final que constara de dos partes. La primera consistira en laresolucion de problemas y cuestiones teorico-practicas, con una puntuacion maxima de 8.5 puntos. En la segundase resolveran problemas mediante el uso del ordenador, con una puntuacion maxima de 1.5 puntos.

Al principio del cuatrimestre se propondra, con caracter voluntario, la presentacion de los problemas propuestosen cada leccion, la resolucion de los problemas propuestos en practicas de ordenador, la realizacion de un trabajoteorico-practico sobre algun tema relacionado con la asignatura (este trabajo podra realizarse individualmente oen grupos pequenos y sera presentado y expuesto a final del curso), ası como la realizacion de pruebas escritasdespues de finalizar cada bloque tematico. En el caso en que el alumno opte por realizar estas actividades, lacalificacion final de la asignatura se obtendra utilizando el siguiente criterio:

Presentacion de los problemas propuestos en cada leccion: 5 % de la calificacion final.

Resolucion de los problemas propuestos en practicas de ordenador: 5 % de la calificacion final.

Realizacion de un trabajo teorico-practico: 2 % de la calificacion final.

Nota media obtenida en las pruebas escritas: 18% de la calificacion final.

Examen final: 70% de la calificacion final.

En otro caso, la calificacion final de la asignatura correspondera con la puntuacion obtenida en el examen final.

La puntuacion mınima para superar la asignatura sera de 5 puntos sobre un maximo de 10.

HORARIO DE TUTORIAS

Dıa Hora Lugar

Martes 10:00-12:00 Despacho B015, Dpto. de Matematica Aplicada y EstadısticaPlanta Baja, Antiguo Hospital de Marina, Campus Muralla del Mar

Miercoles 10:00-12:00 Despacho B015, Dpto. de Matematica Aplicada y EstadısticaPlanta Baja, Antiguo Hospital de Marina, Campus Muralla del Mar

Jueves 10:00-11:00 Despacho de usos multiples, Dpto. de Matematica Aplicada y Estadıstica13:00-14:00 Planta Segunda, Edificio de Minas, Campus Alfonso XIII

Telefono: 968 33 89 06

Correo electronico: [email protected]

Espacio web: http://filemon.upct.es/∼mcbueso/

RELACIONES DE PROBLEMAS

Relacion de problemas 1. Estadıstica Descriptiva Unidimensional.

1. Los trabajadores de una empresa se clasifican atendiendo al cargo que desempenan de la siguiente forma:

Categorıa profesional Operarios Ayudantes Tecnicos DirectivosNumero de trabajadores 745 127 45 15

Representar estos datos mediante un diagrama de rectangulos y un diagrama de sectores.

2. Las calificaciones obtenidas en un examen por 32 alunmos fueron las siguientes:

1 3 6 5 1 4 2 4 7 5 8 6 2 1 4 79 5 2 3 5 7 8 6 8 10 8 2 6 1 6 2

a) Agrupar los datos en una tabla estadıstica representando las frecuencias absolutas y relativas.

b) Representar graficamente la distribucion de frecuencias mediante un diagrama de barras, polıgono defrecuencias y curva acumulativa o de distribucion.

3. La suma de las notas de los ejercicios de practicas realizadas por 50 alumnos fueron las siguientes:

11 18 48 45 28 35 31 70 2 8229 92 59 42 8 1 15 32 12 4743 69 43 33 15 11 46 31 22 7152 60 57 32 62 41 10 51 59 8120 43 40 36 44 3 65 40 17 80

a) Construir una tabla estadıstica agrupando los datos en intervalos de amplitud 10.

b) Representar graficamente la distribucion mediante un histograma, polıgono de frecuencias y curvaacumulativa o de distribucion.

4. Se ha medido la viscosidad de 20 fluidos y los resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla:

Viscosidad Numero de fluidos0-2 72-4 84-7 5

Calcular:

a) La viscosidad media.

b) La viscosidad mediana.

c) La viscosidad mas frecuente. Representar el histograma de frecuencias.

d) ¿Que tanto por ciento de fluidos tienen una viscosidad superior a 5?

5. El salario medio anual pagado a todos los empleados de una compania fue de 5000$. Esta compania tiene500 empleados de los cuales 400 son hombres. Si el salario medio anual pagado a los hombres fue de 5200$,¿cual fue el salario medio de las mujeres?

6. En una determinada zona del interior terrestre y de interes geologico se han medido las temperaturasmaximas por dıa durante 43 dıas, obteniendose los siguientes datos:

Temperatura (oC) ni

70-75 375-80 780-85 1085-90 1290-95 895-100 3

Calcular:

a) La temperatua mas habitual.

b) La temperatura media.

c) La temperatura tal que la mitad de los dıas tiene una temperatura superior a ella.

d) La temperatura maxima del 30 % de las temperaturas mas bajas.

e) La temperatura mınima del 40 % de las temperaturas mas elevadas.

f ) El intervalo donde se encuentra el 50 % de las temperaturas centrales.

g) El numero de dıas en que la temperatura es inferiror a 92oC.

h) El numero de dıas en que la temperatura es superior a 82oC.

i) El numero de dıas en que la temperatura oscila enttre 82oC y 92oC.

j) El numero de dıas en que la temperatura oscila enttre 79oC y 87oC.

k) La varianza, desviacion tıpica y coeficiente de variacion.

Relacion de problemas 2. Estadıstica Descriptiva Bidimensional.

1. En una cierta region se ha realizado una serie de sondeos a distintas profundidades y se ha estudiado elpeso de los sedimentos de un determinado tipo extraıdos en ellos. La informacion obtenida se recoge en lasiguiente tabla:

X/Y 0-20 20-50 50-100 100-1302 5 4 1 03 2 6 5 24 0 2 10 85 0 0 10 15

donde X representa la profundidad del sondeo en metros e Y el peso del sedimento en gramos.

a) ¿Cual es el peso mas habitual de los sedimentos extraıdos? ¿Y el de los extraıdos solo a 2 metros?

b) ¿Cual es la profundidad media de los sondeos realizados? ¿Y la profundidad media de los sondeos enlos que el peso de los sedimentos encontrados oscila entre 20 y 100 gramos?

c) ¿Cual es el porcentaje de sedimentos que extraıdos a mas de 3 metros pesan mas de 85 gramos? ¿Cuales la profundidad mınima a la que han sido extraıdos el 20 % de los sedimentos mas alejados de lasuperficie supuesto que su peso ha oscilado entre 50 y 100 gramos?

d) Determinar el grado de dispersion de la distribucion de las profundidades a las que han sido extraıdoslos sedimentos cuyo peso oscila entre 20 y 50 gramos.

e) ¿Cual es la profundidad maxima del 50 % de los sondeos menos profundos?

2. En una encuesta realizada a 100 familias se han obtenido los siguientes datos sobre sus ingresos por nomina(X) y gastos de consumo del ultimo mes (Y ), ambos en euros:

X / Y (360-600] (600,900] (900,1200](600,750] 11 4 0(750,1000] 8 16 5(1000,1200] 10 22 24

a) En las familias cuyos ingresos no superen los 750 euros, calcular la cantidad que se gasta con mayorfrecuencia en bienes de consumo.

b) Una entidad bancaria pretende que el 40% central de las nominas sean domiciliadas en su oficina.Hallar la nomina mınima y maxima que pretenderan ser captadas.

c) La directiva de una empresa ubicada en la zona va a desarrollar una campana de promocion entre lasfamilias que mas consumen, y se decide que sea dirigida a las que superen un consumo superior a 1000euros. Calcular el % de familias que seran el objetivo de la campana.

3. Los siguientes datos muestran el tiempo de servicio y los gastos anuales de mantenimiento de un cierto tipode maquinaria.

Maquina Anos de servicio Costo anual de reparacionA 1 25000B 3 18750C 4 31250D 2 25000E 5 37500F 8 50000G 9 50000H 10 62500I 13 100000J 15 100000

Representar el diagrama de dispersion. ¿Existe relacion lineal entre los anos de servicio y el coste anual dereparacion? Justificar la respuesta.

4. Un analista informa, basandose en datos observados, que, a medida que crece la inversion extranjera, esmenor el valor del ındice de la Bolsa. Si se consideran los siguientes datos:

Inversion extranjera Indice de Bolsa(miles de millones de dolares)

3000 1103500 1153700 1173600 1133400 1203800 1223900 1213700 118

Determinar la validez del informe del analista.

5. Se ha observado el contenido en carbono (X) y el ındice de permeabilidad (Y ) de una serie de mezclas,obteniendose la siguiente informacion:

Y /X 3.0-4.0 4.0-4.5 4.5-5.514 0 2 118 2 5 422 3 3 326 2 1 4

donde los valores de Y representan las marcas de las clases (todas de igual amplitud).

a) Representar el histograma y la curva acumulativa de la variable X.

b) Obtener las medias y varianzas marginales. ¿Que distribucion marginal es mas homogenea con respectoa su media? Razonar la respuesta.

c) Calcular el ındice de permeabilidad medio para aquellas mezclas con un contenido en carbono superiora 4.

d) ¿Que porcentaje de mezclas tienen un contenido en carbono superior a 3.25?

e) ¿Cual es el contenido mınimo de carbono que contienen el 40 % de las mezclas con mayor concentracionen carbono?

Relacion de problemas 3. Regresion y Correlacion.

1. En la estimacion de un modelo de regresion lineal, se obtuvieron los siguientes datos:

x = 5, y = 8, Sxy = 15, σ2y = 20, r2 = 0.9.

a) Calcular la varianza de X.

b) Obtener las rectas de regresion.

2. Supongamos una distribucion bidimensional con rectas de regresion

x + 4y = 1 y x + 5y = 2.

Calcular el coeficiente de correlacion lineal.

3. Se ha estimado la siguiente recta de regresion de Y /X: y = 5 + 3x.

a) Obtener la recta de X/Y sabiendo que r = 1. ¿ Y si r = 0.9 y x = 1?

b) ¿Serıa posible que en este modelo el coeficiente de correlacion fuera negativo?

4. La siguiente tabla informa sobre los ındices (en %) de los compuestos A y B que presentan 6 muestras deaguas subterraneas recogidas en diferentes puntos. Se supone que el ındice que una muestra puede presentarde compuesto B depende del ındice de compuesto A, sin embargo, no se conoce una funcion que expliqueaceptablemente este tipo de dependencia.

X 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-11.5 11.5-18.5 18.5-23.5Y 0.15-0.45 0.45-0.55 0.55-0.65 0.65-0.95 0.95-1.05 1.05-1.75

X: ındice de compuesto A, Y : ındice de compuesto B.

a) Explicar el comportamiento de la variable Y a partir de la variable X mediante una funcion:

1) Lineal.

2) Hiperbolica.

3) Exponencial.

4) Potencial.

b) ¿Que ajuste es mas adecuado?

5. Se cree que el numero de apagones en una ciudad depende exponencialmente del numero de tormentaselectricas que se producen. Para estudiar este fenomeno, se recogen durante 6 meses los siguientes datos:

X (numero de tormentas) 3 7 10 6 5 2Y (numero de apagones) 1 4 8 5 3 4

a) Ajustar una funcion del tipo y = abx.

b) Estudiar la bondad del ajuste.

6. En una determinada region se sabe que las precipitaciones caıdas dependen de la cantidad de vegetacionen la zona. Se tienen los siguientes datos:

X Y50 20100 70150 100200 150300 200

X: numero de arboles por Ha., Y : numero de l/m2 caıdos.

a) Ajustar a los datos una funcion del tipo y = axb.

b) Calcular la bondad del ajuste realizado. Compararlo con el ajuste lineal.

Relacion de problemas 4. Probabilidad.

1. Un sistema contiene dos componentes A y B, y se conecta de manera que este funciona si cualquiera delas dos componentes funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione e 0.9, la de B es 0.8 y la deque ambos funcionen es 0.72. Determinar la probabilidad de que el sistema funcione.

2. A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el proposito de determinar el numero delectores de ABC y El Paıs. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: el 20 % de los habitantes leeABC, el 16% lee El Paıs y un 1% leen ambos periodicos. Si se selecciona al azar a un lector de ABC, ¿cuales la probabilidad de que tambien lea El Paıs?

3. Demostrar que se verifica la igualdad

P (A/B) + P (A/B) = 1

para sucesos A y B cualesquiera, con P (B) 6= 0.

4. Sean A y B sucesos del espacio muestral tales que P (A) 6= 0 y P (B) 6= 0. Si A y B son incompatibles,demostrar que no pueden ser independientes.

5. El 5 % de las unidades producidas en una fabrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricacionse encuentra fuera de control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidadesdefectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se seleccionaaleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿cual es la probabilidad de que el proceso seencuentre fuera de control?

6. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2/3 de que el resultado sea cara. Si aparece cara, se extraeuna pelota aleatoriamente de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz, seextrae una pelota de otra urna, que contiene dos pelotas rojas y dos pelotas verdes. ¿Cual es la probabilidadde extraer una pelota roja?

7. Una planta armadora recibe microcircuitos procedentes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50 %del total se compra a B1, mientras que a B2 y B3 se les compra un 25 % a cada uno. El porcentaje decircuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5 %, 10 % y 12 %, respectivamente. Los circuitos se almacenanen la planta sin importar quien fue el proveedor.

a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso.

b) Si un circuito no esta defectuoso, ¿cual es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedorB2?

8. En un proceso de tratamiento de cierto mineral se utilizan tres tecnicas T1, T2 y T3. Las probabilidades decometer algun fallo en su aplicacion son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. Determinar la probabilidad de queel proceso no se realice de forma correcta.

9. Las probabilidades de que ciertas muestras de interes A y B no pierdan su ındice de humedad durante elperiodo de observacion son respectivamente 3/5 y 2/3. Calcular la probabilidad de que:

a) Ambas muestras no pierdan el ındice de humedad.

b) Solo una de las muestras pierda su ındice de humedad.

c) Al menos una muestra conserve su ındice de humedad.

10. Los sucesos A y B verifican que P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 y P (A ∩B) = 1/4.

a) Calcular P (A/B), P (B/A), P (A ∪B), P (A/B) y P (B/A).

b) Calcular las probabilidades anteriores considerando que P (A ∩B) = 1/6.

11. El 50 % de un grupo de muestras de rocas de interes presentan en su composicion la sustancia A, el 20 %la sustancia B y el 10% las sustancias A y B. Se selecciona una muestra al azar. Calcular la probabilidadde que:

a) La muestra presente la sustancia A si presenta la sustancia B.

b) La muestra presente la sustancia B si presenta la sustancia A.

c) La muestra presente las sustancias A o C si presenta la sustancia B.

Se sabe que el 25 % de las muestras presentan en su composicion la sustancia C, incompatible con Ay el 3 % de las muestras, las sustancia B y C.

d) La muestra tenga un ındice medio de dureza o permeabilidad, si esta presenta la sustancia B en sucomposicion.

Se sabe que de entre las muestras que tienen la sustancia B, el 15 % presentan un ındice medio dedureza, el 20% un ındice medio de permeabilidad y el 10% un ındice medio de dureza y permeabilidad.

12. En una determinada zona, el 20 % de los dıas llueve, en el 40 % de los dıas la temperatura oscila alrededorde los 20 grados y en el 35 % de lo dıas en que llueve, la temperatura es aproximadamente de 20 gradoscentıgrados. Calcular la probabilidad de que en un dıa seleccionado al azar:

a) Llueva o la temperatura oscile alrededor de los 20 grados.

b) Llueva y la temperatura oscile alrededor de los 20 grados.

c) Se presente solo una de las dos caracterısticas senaladas.

13. En un proceso de control de calidad aplicado a tecnicas de refinamientos de hidrocarburos, las muestrasescogidas aleatoriamente deben someterse a 5 pruebas selectivas. La probabilidad de que las muestras queprovienen de una cierta planta industrial superen la primera prueba es de 1/6. La probabilidad de superarla i-esima prueba, habiendo pasado las anteriores, es de 1/(7 − i), para i = 2, 3, 4 y 5. Determinar laprobabilidad de que la planta industrial pase positivamente el control de calidad.

14. Los tipos A y B de sedimentos se encuentran, respectivamente, en el 50 % y en el 20% de los suelos de unacierta region. Si el tipo A aparece en el 75% de los suelos en los que hay sedimentos de tipo B, calcular laprobabilidad de no encontrar ninguno de esos dos tipos de sedimentos en un suelo de dicha region elegidoal azar. ¿Es independiente la aparicion de sedimentos del tipo A con la de los del tipo B?

15. Basandose en varios estudios, un grupo de investigadores han clasificado las formaciones geologicas en trestipos I, II y III, de acuerdo con la posibilidad de encontrar petroleo. Se sabe por experiencia que el petroleo seencuentra en un 40 % de las formaciones del tipo I, en un 20% de las del tipo II y en un 30% de las del tipoIII. El grupo pretende perforar un pozo en una determinada zona donde el 35 % de su extension correspondea formaciones del tipo I, el 40 % a las del tipo II y el 25 % a las del tipo III. Calcular la probabilidad de:

a) No encontrar petroleo.

b) Que se haya perforado en una formacion del tipo II, supuesto que se ha encontrado petroelo.

c) Que se descubra petroleo si se realiza la perforacion donde no existen formaciones del tipo II.

16. Se realizan una serie de sondeos a tres profundidades distintas P1, P2 y P3. Con la profundidad P1 se realizan300 sondeos, con la profundidad P2 se realizan 600 sondeos y 100 con la profundidad P3. La probabilidadde que a la profundidad P1 se encuentren sedimentos del tipo A es de 0.2 y de 0.15 a la profundidadP2. Se desconoce cual es esta probabilidad a la profundidad P3. Se han establecido dos hipotesis sobre laprobabilidad de que tomando un sedimento y siendo este del tipo A se hubiese extraıdo a una profundidadP3. Estas probabilidades son 0.5 y 0.3, respectivamente.

a) Determinar la hipotesis correcta.

b) Calcular la probabilidad de que elegido al azar uno de los sedimentos extraıdos en los sondeos, este nosea del tipo A.

Relacion de problemas 5. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad.

1. Dada una variable con la siguiente distribucion de probabilidad:

i P [X = i]1 1c2 2c3 3c4 4c

a) Determinar el valor de c.

b) Obtener la funcion de distribucion y representarla graficamente.

c) Calcular la esperanza y la varianza de esta variable.

2. Dada la siguiente distribucion, correspondiente a una variable aleatoria discreta,

xi P [X = xi]10 0.120 a30 0.340 0.1

a) Obtener el valor de a.

b) Obtener la funcion de distribucion y representarla graficamente.

c) Calcular la esperanza y la varianza de esta variable.

3. Se sabe que en una determinada zona fluvial la probabilidad de encontrar sedimentos con la composicionA es 0.35. Obtener las siguientes probabilidades:

a) Encontrar 8 sedimentos con la composicion A en 10 examenes.

b) Encontrar como maximo 5 y como mınimo 2 sedimentos con la composicion A en 9 examenes.

c) Econtrar como mınimo 3 sedimentos con la composicion A en 7 examenes.

Si en otra zona la probabilidad de encontrar estos sedimentos es de 0.75, determinar la probabilidad de:

a) Encontrar en 6 examenes 4 sedimentos con la composicion A.

b) Encontrar en 7 examenes menos de 5 sedimentos con la composicion A.

4. Un club nacional de automovilistas comienza una campana telefonica con el proposito de aumentar elnumero de miembros de su club. Por experiencias anteriores se sabe que una de cada 20 personas quereciben la llamada se unen al club. Si en un dıa 11 personas reciben la llamada telefonica,

a) ¿Cual es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban al club?

b) ¿Cual es el numero esperado de personas que se uniran al club?

c) ¿Cual es la probabilidad de que mas de tres se inscriban?

d) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente dos se inscriban?

5. La probabilidad de que un nino de cierta familia herede una determinada enfermedad es 1/5. Si se sabe queal menos un nino de una familia que tiene 6 ha heredado la enfermedad, ¿cual es la probabilidad de que lahereden al menos tres ninos?

6. Una campanıa de seguros descubre que alrededor del 5 % de la poblacion tiene un cierto tipo de accidentecada ano. Si se seleccionan 8 asegurados al azar en la poblacion,

a) ¿Cual es la probabilidad de que no mas de 2 de ellos tengan un accidente de este tipo el proximo ano?

b) ¿Cual es la probabilidad de que no haya accidentes?

c) ¿Cual es la probabilidad de que haya mas de tres accidentes?

7. Estudiando la desintegracion de una sustancia radioactiva, se ha comprobado que el numero de partıculasα que llegan a un contador es por termino medio de 10 partıculas cada segundo. Calcular la probabilidadde que en un experimento con esta sustancia se obtengan en un segundo:

a) 4 partıculas.

b) Menos de 4 partıculas.

c) Mas de 3 partıculas.

Obtener la desviacion tıpica del numero de partıculas α desintegradas por segundo.

8. La probabilidad de que un satelite, despues de colocarlo en orbita, funcione de manera adecuada es de 0.9.Supongase que cinco de estos se colocan en orbita.

a) ¿Cual es la probabilidad de que, por lo menos, el 80 % funcione adecuadamente?

b) ¿Cual es la probabilidad de que ninguno funcione?

c) Responder a las preguntas anteriores si el numero de satelites que se ponen en orbita es n = 10.

d) Responder a las preguntas anteriores si el numero de satelites que se ponen en orbita es n = 20.

9. Se sabe que, por termino medio, el numero de llamadas telefonicas a una centralita es de tres cada cincominutos. Si se supone que el nuemro de llamadas es una variable aleatoria que sigue una distribucion dePoisson, calcular la probabilidad de que:

a) Se efectuen seis llamadas en cinco minutos.

b) Tres en diez minutos.

c) Dos en un minuto.

10. Un promedio de 4 personas acuden a una oficina de informacion de un supermercado cada hora. Obtenerla probabilidad de que:

a) Exactamente 2 personas acudan durante una hora seleccionada al azar.

b) Menos de 3 acudan durante una hora seleccionada al azar.

c) Exactamente 4 personas acudan durante una hora seleccionada al azar.

11. Un cajero automatico es utilizado por un promedio de 6 personas cada hora. Calcular la probabilidad deque:

a) Exactamente 6 personas utilicen el cajero durante una hora seleccionada al azar.

b) Menos de 5 personas utilicen el cajero durante una hora elegida al azar.

c) Nadie utilice el cajero durante un intervalo de 10 minutos.

d) Nadie utilice el cajero durante un intervalo de 5 minutos.

12. Supongase que en un cruce transitado ocurren un promedio de dos accidentes por semana. Determinar laprobabilidad de que:

a) Ocurra un accidente en una semana.

b) Ocurran tres accidentes en una semana.

13. Se sabe que el 1 % de los artıculos fabricados por cierta empresa son defectuosos. Si se selecciona unamuestra de 30 artıculos, obtener la probabilidad de que dos o mas sean defectuosos.

14. Un grupo de investigadores sabe que la probabilidad de que los individuos afectados por un cierto virusfallezcan es de 0.035. Determinar, para una poblacion de 100 enfermos,

a) El numero esperado de fallecidos.

b) La probabilidad de que fallezcan mas de tres.

15. Una maquina automatica dedicada a la fabricacion de comprimidos produce defectuosos a razon del 1%. Silos comprimidos se colocan en tubos de 25 comprimidos, ¿cual es la probabilidad de que en un tubo todoslos comprimidos sean buenos?

16. Se X una variable aleatoria con distribucion N (µ, σ2 = 4).

a) Obtener el valor de µ para que se cumpla que P [X > 3] = 0.8.

b) Obtenido el valor de µ, calcular el percentil 75.

17. Sea X una variable aleatoria normal con media 50 y varianza 100. Obtener el valor x0 tal que P [X < xo] =0.95.

18. El salario anual (en miles de euros) de un grupo de trabajadores sigue una distribucion normal de media 15y desviacion tıpica 3.

a) Determinar la probabilidad de que el salario anual de un individuo elegido al azar sea superior a 18,000euros.

b) ¿Cual es el salario mınimo que cobra el 45 % de los trabajadores mejor pagados?

19. Un grupo de cientıficos interesados en la investigacion de restos antiguos estudian las dimensiones de unaserie de craneos encontrados en cierta region. El ındice de longitud-anchura de los craneos se sabe que sedistribuye segun una ley normal de media 76.2 y desviacion tıpica 3. Los craneos son clasificados segundicho ındice en dodicacefalos, cuando el ınidice es menor que 75, mesocefalos, si esta comprendido entre75 y 80, y branquicefalos si es superior a 80.

a) Calcular las probabilidades de que un craneo elegido al azar sea dodicacefalo, mesocefalo o bran-quicefalo.

b) Calcular la probabilidad de que, elegido aleatoriamente un craneo, su ındice difiera de la media en dosunidades como maximo.

c) ¿Cual es el valor mınimo del ındice longitud-anchura del 25 % de los craneos con mayor ındice?

20. Si se supone que la profundidad de la superficie oceanica (sin considerar el zocalo continental), se aproximaa una distribucion normal de media 4,000 metros y desviacion tıpica 1,000 metros,

a) Calcular el porcentaje de extension oceanica que ocupan las areas cuya profundidad es como mınimo3,500 metros.

b) Si la profundidad del talud continental puede oscilar entre 200 y 3,000 metros, calcular la probabilidadde que elegida aleatoriamente un area oceanica, esta pertenezca al talud.

c) Si los abismos oceanicos suponen el 1.7 % de la extension oceanica con mas profundidad, determinarla profundidad mınima de una zona para que sea considerada abismo.

d) Calcular la probabilidad de que la profundidad de un area oceanica arbitraria difiera de la media porlo menos en 1,500 metros, y por lo tanto pertenezca al fondo marino.

21. La media de las temperaturas obtenidas en una region durante un ano es de 250C y la desviacion tıpica de100C. Si las temperaturas obedecen a una ley normal, calcular:

a) La probabilidad de que en un dıa elegido aleatoriamente la temperatura oscile entre 20 y 320C.

b) La probabilidad de que en un dıa elegido aleatoriamente la temperatura difiera de la media en mas de50C.

22. En una determinada zona fluvial se ha estudiado la composicion de cobre soluble de un conjunto de sedi-mentos elegidos aleatoriamente. Se ha obtenido que el logaritmo de la cantidad de cobre soluble, expresadaen p.p.m., del 10 % de los sedimentos elegidos es inferior a -0.134 y el del 20 % superior a 0.502. Supuestoque el logaritmo de la cantidad de cobre soluble que forma parte de los sedimentos de dicha zona se ajustaa una ley normal:

a) Determinar los parametros de la distribucion.

b) Elegido al azar un sedimento, determinar con probabilidad 0.95 el valor maximo que puede diferir ellogaritmo de la cantidad de cobre soluble, que forma parte de su composicion, de la media.

23. El peso medio de un grupo de personas es de 76.5 Kg. y el 95.05 % de la poblacion tiene un peso inferiora 80 Kg. Sabiendo que el peso sigue una distribucion normal, calcular:

a) La desviacion tıpica de la distribucion.

b) El porcentaje de personas que tienen un peso inferior a 70 Kg.

c) El peso mınimo del 30 % de las personas con mayor peso.

d) El porcentaje de personas cuyo peso difiere del peso medio en 10 Kg. como mınimo.

e) El peso que verifica que entre este y 78 Kg. se encuentra el 15 % de la poblacion.

24. Un dado se lanza 720 veces. Sea X el numero de veces que sale el 6.

a) Determinar la distribucion de probabilidad de X.

b) Obtener la media y la varianza de la distribucion.

c) Calcular las siguientes probabilidades: P [X = 0], P [X = 130], P [X = 720], P [100 ≤ X ≤ 125] yP [X > 150].

25. Si el numero de piezas defectuosas en un proceso de fabricacion se distribuye segun una distribucion dePoisson y el numero medio de defectuosas es de 16, determinar:

a) La distribucion que sigue aproximadamente la variable aleatoria.

b) La media y la varianza de la distribucion.

c) La probabilidad de que el numero de piezas defectuosas sea 8.

d) La probabilidad de que el numero de piezas defectuosas oscile entre 24 y 28.

e) El numero de piezas defectuosas que como maximo se puede encontrar con probabilidad 0.9772.

f ) El numero de piezas defectuosas que como mıninmo se puede encontrar con probabilidad 0.1588.

26. Un grupo de investigacion pretende introducir una nueva tecnica para el tratamiento de hidrocarburos. Estosafirman que utilizando los medios optimos, el 70 % de las aplicaciones dan resultados satisfactorios.

a) Si se realizan 10 experiencias, calcular:

1) El numero medio de estas que resultan positivas.

2) La probabilidad de que solo entre 4 y 6 experiencias sean positivas.

b) Si por la no utilizancion de determinados dispostivos, el porcentaje de resultados positivos disminuyeal 8% y se realizan 50 experiencias, calcular:

1) La probabilidad de que el numero de resultados positivos sea como mınimo 5.

2) El numero maximo de experiencias positivas que pueden producirse con probabilidad 0.9489.

c) Si por introduccion de ciertas mejoras el porcentaje dado en el apartado anterior se eleva al 20 % y serealizan 100 pruebas, calcular:

1) La probabilidad de que como maximo sean 31 las experiencias satisfactorias.

2) El numero mınimo de resultados positivos que se pueden obtener con probabilidad 0.75.

27. En una determinada zona, se sabe que el 25 % de los dıas se registran movimientos sısmicos de intensidadbaja y que el porcentaje de dıas en los que se producen movimientos sısmicos de intensidad media es del10%. Calcular:

a) El numero medio de dıas durante una semana en que se producen movimientos sısmicos de pocaintensidad.

b) La probabilidad de que en una semana el numero de dıas en que se producen movimientos sısmicos deintensidad baja sea superior a 2 y como maximo 4.

c) El numero maximo de dıas en un mes en que se registraran seısmos de intensidad media con probabilidadde al menos 0.98.

d) La probabilidad de que en un trimestre se presenten como mınimo 4 dıas con movimientos sısmicos deintensidad media.

Relacion de problemas 6. Distribuciones muestrales.

1. Se supone que la altura de los alumnos de una determinada universidad se distribuye normalmente conmedia 174 cm. y desviacion tıpica 8 cm. Si se va a extraer una muestra de tamano 25,

a) Calcular el valor esperado y la desviacion tıpica de la distribucion en el muestreo de la media de lamuestra.

b) ¿En que porcentaje de muestras cabrıa esperar una altura media comprendida entre 172 y 175?

c) ¿En que porcentaje de muestras habrıa una altura media menor que 170?

2. La longitud de determinada poblacion de fosiles es una variable aleatoria que sigue una distribucion normalcon media 185.6 mm. y desviacion tıpica 12.7 mm. ¿Cual es la probabilidad de que una muestra aleatoriasimple de tamano 20 de esa poblacion tenga media mayor que 190 mm.?

3. Se sabe que la concentracion de calcio de determinado mineral sigue una distribucion normal de desviaciontıpica 2.

a) Calcular la probabilidad de que la media muestral de una muestra aleatoria simple de tamano 10 y lamedia poblacional difieran en mas de 0.5 unidades.

b) ¿De que tamano mınimo habrıa que seleccionar la muestra para poder afirmar, con probabilidad 0.9,que la media muestral diferira de la poblacional en menos de 0.1?

4. Sea X una variable aleatoria con ditribucion normal N (µ, σ2 = 16). Se selecciona una muestra aleatoriade tamano n. Obtener el valor de n tal que P (X > µ + 1) = 0.1.

5. La longitud en cm. de las piezas fabricadas por una maquina se distribuye segun una normal de media 10 ydesviacion tıpica 0.5. Para muestras de tamano 25, calcular:

a) P (9.68 < X < 10.1).

b) P (S2 < 0.45).

6. Se considera una muestra aleatoria de 100 empleados de una gran companıa americana. La desviacion tıpicade los salarios es de 1,500$.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la media de la muestra no difiera en mas de 200$ de la verdaderamedia salarial?

b) ¿Que probabilidad hay de obtener una muestra de media mayor que 8,500$ si el promedio verdaderode la companıa fuera de 8,200$?

7. Se toman muestras de tamano 11 de una poblacion N (100, 400). ¿A partir de que valor de la cuasivarianzamuestral estan situados el 5 % de los valores mas altos de dicho estadıstico?

8. Se va a seleccionar una muestra aleatoria de tamano n de una distribucion normal con media µ y desviaciontıpica σ = 2. Determinar el mınimo valor de n tal que P (|X − µ| < 0.1) > 0.9.

9. Obtener la probabilidad que en 120 lanzamientos de una moneda la frecuencia muestral del suceso {salircara}:a) Este comprendida entre 0.4 y 0.6.

b) Sea superior a 5/8.

10. Dos maquinas producen tornillos cuyas longitudes en mm. siguen distribuciones N (150, 10) y N (100, 5).Se toman muestras de tamano 10.

a) ¿Cual es la distribucion de la diferencia media de longitudes?

b) Calcular la probabilidad de que la longitud media de la muestra de la primera maquina no sea superioren mas de 45 mm. a la longitud media de la muestra de la segunda maquina.

c) Calcular la probabilidad de que la longitud media de la muestra de la primera maquina supere en 53mm. a la longitud media de la muestra de la segunda maquina.

11. Las bombillas electricas de un fabricante A tienen una duracion media de 1,400 horas con una desviaciontıpica de 200, mientras que las de otro fabricante B tienen una duracion media de 1,200 horas con unadesviacion tıpica de 100 horas. Si se toman muestras al azar de 125 bombillas de cada fabricante.

a) ¿Cual es la probabilidad de que las bombillas de A tengan una duracion media que sea al menos 160horas superior a la duracion promedio de las de B?

b) ¿Cual es la probabilidad de que las bombillas de A tengan una duracion media que sea mayor que 250horas la duracion promedio de las de B?

Relacion de problemas 7. Estimacion puntual. Intervalos de confianza.

1. En una encuesta de tamano 16 de una poblacion normal con varianza 100 se ha obtenido una media muestralde 12.

a) Obtener un intervalo de confianza al 90 % para la media poblacional.

b) Calcular el tamano muestral necesario para obtener un error de 5 en un intervalo de confianza al 95%para la media.

2. Se ha seleccionado una muestra aleatoria simple de una variable que sigue una distribucion normal, obte-niendose los siguientes datos:

5.46 5.1 1.9 2.12 3.25 5.35 7.46 6.63 0.44 5.93

a) Calcular una estimacion puntual de la media.

b) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza del 90 % para la media.

c) ¿Que nivel de confianza reduce la amplitud del intervalo a la mitad?

3. La longitud de determinados fosiles sigue una distribucion con desviacion tıpica 0.075. Si en una muestraaleatoria simple de tamano 12 de dicha poblacion se obtuvo una media muestral x = 1.75, determinar unintervalo de confianza para µ a un nivel de confianza del 95 %. ¿Que tamano muestral serıa necesario paraque el intervalo de confianza del mismo nivel tuviese longitud menor que 0.01?

4. De un cierta poblacion se ha extraıdo una muestra de 64 individuos, cuyo valor medio ha resultado serx = 1, 012. Se sabe por otras experiencias del mismo tipo, que la desviacion tıpica vale 25. Obtenerintervalos de confianza para el valor medio de la poblacion a los niveles de confianza de 0.90, 0.95 y 0.99.

5. Una encuesta de 100 votantes para conocer sus opiniones respecto a dos candidatos muestra que 55 apoyana A y 45 a B. Se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza para la proporcion de votos de cada candidato.

b) ¿Cual serıa el tamano muestral necesario para que una fraccion 0.55 de partidarios de A permitaasegurar que sera elegido al 99 %?

6. Una urna contiene una proporcion desconocida de bolas rojas y blancas. En una muestra al azar de 60 bolasextraıdas con remplazamiento de la urna se obtuvieron 42 bolas rojas. Hallar lımites de confianza al 95 %y 99 % para la proporcion real de bolas rojas en la urna.

7. Se selecciono una muestra de 300 tornillos fabricados en una cierta industria, para conocer la proporcion detornillos con una longitud superior a 6 mm. De los 300 tornillos seleccionados solo 100 tenıan un diametrosuperior a 6 mm. Construir a un nivel de confianza del 95% un intervalo confianza para la verdaderaproporcion en la poblacion.

8. Se realizan por los laboratorios A y B determinaciones de nicotina en 4 unidades de tabaco, con los siguientesresultados:

Laboratorio A 16 14 13 17Laboratorio B 18 21 18 19

Suponiendo que las dos poblaciones examinadas son normales independientes y con igual varianza, construirun intervalo de confianza al 95% para la diferencia del contenido medio en nicotina del tabaco.

9. Una muestra de tamano 10 de una N (µ1, 225) tiene como media x = 170.2 y una muestra de tamano 12de una N (µ2, 256) tiene como media y = 176.7. Calcular un intervalo de confianza para µ1 − µ2 al nivelde confianza del 95 %.

10. Una companıa contrata 10 tubos de filamentos del tipo A y 10 con filamentos del tipo B. Las duracionesde vida observadas han sido las siguientes:

Tipo A 1614 1094 1293 1643 1466 1270 1340 1380 1028 1497Tipo B 1383 1138 1092 1143 1017 1061 1627 1021 1711 1065

Suponiendo que las duraciones de vida se comportan como variables normales independientes y con varianzasiguales, encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de medias.

11. Se espera que dos operarios produzcan, en promedio, el mismo numero de unidades de un determinadoproducto, en el mismo tiempo. La siguiente tabla refleja los resultados obtenidos en cinco semanas:

Operario A 48 44 62 58 50Operario B 56 66 66 60 55

Si se supone que el numero de unidades terminadas semanalmente por ambos operarios son variablesnormales independientes y con varianzas iguales, se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de confianza del 90 %.

b) ¿Existen diferencias significativas entre la produccion media de los dos operarios?

Relacion de problemas 8. Contrastes de hipotesis.

1. Se considera una poblacion descrita por una variable N (µ, σ2 = 25), y el contraste H0 : µ = 12 frentea H1 : µ = 15. Con una muestra aleatoria simple de tamano 25 se determina una region crıtica x > 14.Determinar la probabilidad de cometer un error tipo I, la probabilidad de cometer un error tipo II y lapotencia del contraste.

2. Se espera que la dureza de cierto mineral que se extrae de un yacimiento se distribuya normalmente conmedia 220. Se toma una muestra de 9 elementos, obteniendose los siguientes valores:

203 229 215 220 223 233 208 228 209

Al nivel de significacion 0.05, contrastar la hipotesis de que la muestra proviene de una poblacion con media220.

3. Un laboratorio farmaceutico sostiene que uno de sus productos tiene una efectividad del 90 % para reduciruna alergia en ocho horas. En una muestra de 200 personas con esa alergia, el medicamento dio buenresultado en 160. Determinar si la afirmacion del laboratorio es legıtima.

4. Se supone que los resultados de una cierta medicion fısica se distribuyen segun una ley normal. Dos personasrealizan dicha medicion a una muestra de 9 elementos, con los siguientes resultados:

Primera persona 132 139 126 114 122 132 142 119 126Segunda persona 124 141 118 116 114 132 145 123 121

Contrastar al nivel de significacion 0.01 si la media de las mediciones realizadas por la primera personasupera en al menos una unidad a la media de las realizadas por la segunda.

5. Con el fin de probar un fertilizante, se tomaron 24 parcelas de la misma area, de las que la mitad se trataroncon dicho fertilizante y las otras no; por lo demas, las condiciones fueron identicas para todas ellas. Laproduccion media de trigo en las parcelas sin tratar fue de 4.8 bushels (bu.) con desviacion tıpica de 0.40bu., y en las tratadas fue de 5.1 bu. con desviacion tıpica de 0.36 bu.¿Podemos concluir que se produjomejora a causa del fertilizante al nivel de significacion del 0.01? ¿Y al nivel de significacion del 0.05?

6. En una empresa de fundicion se recibe periodicamente mineral de hierro procedente de dos yacimientosdistintos A y B. Para estudiar la calidad del mineral recibido se extraen dos muestras y se analiza la riquezaen hierro, obteniendo los siguientes resultados en tanto por ciento:

A 43 45 42 35 37 38 33 38 41 43B 39 36 35 37 40 39 40 38 35 39 38 34

Suponiendo normal la distribucion de la riqueza del mineral en ambos yacimientos, ¿se puede admitir quela diferencia, en lo que a calidad del mineral se refiere, es significativa al 0.05?

7. Dos sistemas de cultivo, aplicados a una serie de parcelas identicas, han producido los siguientes rendimien-tos, en toneladas:

Grupo I 50 85 7 0 0.6 -5 0 3 6 90Grupo II 24 0 66 -3 43 13 425 30

Supuesto que los rendimientos obtenidos por uno u otro procedimiento siguen distribuciones normales convarianzas distintas, ¿puede inferirse que el segundo sistema es mas eficaz que el primero?

8. Para comparar dos programas OCR de digitalizacion de letra impresa, se sometio cada uno a 50 pruebas. Elprimero cometio 4 fallos y el segundo 6. ¿Puede afirmarse que el primero es significativamente mas fiableque el segundo.

9. Se desea averiguar si existe una diferencia significativa en la velocidad de una impresora al utilizar ficherosPLC o ficheros Post-Script. Para ello se imprimieron treinta documentos, primero con lenguaje PLC yluego con lenguaje Post-Script, obteniendose los siguientes tiempos en segundos:

Documento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15PCL 2.4 12 3.5 4 2.5 9 6.7 3 3.5 7 6.6 9 69 55 60Post-Script 3.2 25 3.5 4.2 2.5 9.2 6.6 3.1 3.8 8 6.6 10 70 56 60

Documento 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30PCL 6.5 9 2.5 5 5.7 7 6 6.4 5 8.1 5 5.5 34 120 2Post-Script 7.5 9.1 2.5 4.8 6 7 6.2 6.4 5.2 9 5 6 40 200 2

¿Se aprecia un tiempo mayor de impresion con Post-Script?

FORMULARIO

Distribuciones de probabilidad

Distribuciones discretas de probabilidad Funcion de probabilidad Esperanza Varianza

Distribucion de Bernoulli P [X = x] = px(1− p)1−x p p(1− p)X −→ B(p) x = 0, 1

Distribucion binomial P [X = x] =(

nx

)px(1− p)n−x np np(1− p)

X −→ B(n, p) x = 0, . . . , n

Distribucion de Poisson P [X = x] = e−λ λx

x! λ λX −→ P(λ) x = 0, 1, 2, . . .

Distribuciones continuas de probabilidad Funcion de densidad Esperanza Varianza

Distribucion uniforme f(x) ={

1b−a si a ≤ x ≤ b

0 en otro casoa+b2

(b−a)2

12

X −→ U(a, b)

Distribucion exponencial f(x) ={

1β e−

xβ si x ≥ 0

0 en otro casoβ β2

X −→ exp(β)

Distribucion normal f(x) = 1σ√

2πe−

12 ( x−µ

σ )2

, ∀x ∈ R µ σ2

X −→ N (µ, σ2)

Estadısticos muestrales mas usuales

Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. X, se define la media muestral X y la cuasivarianza muestral S2

como

X =1n

n∑

i=1

Xi S2 =1

n− 1

n∑

i=1

(Xi −X)2

Distribuciones muestrales

Distribuciones muestrales asociadas a una poblacion normal. Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a.X → N (µ, σ2), entonces

X − µ

σ/√

n−→ N (0, 1)

(n− 1)S2

σ2−→ χ2

n−1

X − µ

S/√

n−→ tn−1

Distribuciones muestrales asociadas a dos poblaciones normales independientes. Sea X1, X2, . . . , Xn1

una m.a.s. de una v.a. X → N (µ1, σ21) y sea Y1, Y2, . . . , Yn2 una m.a.s. de una v.a. Y → N (µ2, σ

22). X e Y vv.

aa. independientes. Sea X y S21 la media y la cuasivarianza muestral de X, e Y y S2

2 la media y la cuasivarianzamuestral de Y , respectivamente.

Si σ21 y σ2

2 conocidas, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)√σ21

n1+ σ2

2n2

−→ N (0, 1)S2

1/σ21

S22/σ2

2

−→ Fn1−1,n2−1

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, pero iguales, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)

Sp

√1

n1+ 1

n2

−→ tn1+n2−2 S2p =

(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S2

2

n1 + n2 − 2

Si σ21 y σ2

2 desconocidas y distintas, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)√S2

1n1

+ S22

n2

−→ tk k = inf{n1 − 1, n2 − 1} (distribucion aproximada)

Distribuciones muestrales aproximadas asociadas a una poblacion con media y varianza finitas paramuestras de tamano suficientemente grande (n > 30). Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. X conmedia µ y varianza σ2 finitas, entonces

X − µ

σ/√

n−→ N (0, 1)

X − µ

S/√

n−→ N (0, 1)

Caso particular: Sea X1, X2, . . . , Xn (n > 30) una m.a.s. de una v.a. X con distribucion de Bernoulli B(p),entonces

P − p√p(1− p)/n

−→ N (0, 1)

donde P =1n

n∑

i=1

Xi es el estadıstico proporcion muestral.

Distribuciones muestrales aproximadas asociadas a dos poblaciones independientes con medias y vari-anzas finitas para muestras de tamano suficientemente grande (n1 > 30 y n2 > 30). Sea X1, X2, . . . , Xn1

una m.a.s. de una v.a. X con media µ1 y varianza σ21 finitas y sea Y1, Y2, . . . , Yn2 una m.a.s. de una v.a. Y con

media µ2 y varianza σ22 finitas. X e Y vv. aa. independientes. Sea X y S2

1 la media y la cuasivarianza muestralde X, e Y y S2

2 la media y la cuasivarianza muestral de Y , respectivamente.

Si σ21 y σ2


(X − Y )− (µ1 − µ2)√σ21

n1+ σ2

2n2

−→ N (0, 1)

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, entonces

(X − Y )− (µ1 − µ2)√S2

1n1

+ S22

n2

−→ N (0, 1)

Caso particular: Sea X1, X2, . . . , Xn1 una m.a.s. de una v.a. X con distribucion de Bernoulli B(p1) y seaY1, Y2, . . . , Yn2 una m.a.s. de una v.a. Y con distribucion de Bernoulli B(p2)(n1, n2 > 30). X e Y vv. aa.

independientes. Sean P1 =1n1

n1∑

i=1

Xi y P2 =1n2

n2∑

i=1

Yi, entonces

(P1 − P2)− (p1 − p2)√p1(1− p1)/n1 + p2(1− p2)/n2

−→ N (0, 1)

Intervalos de confianza (1− α, nivel de confianza)

Intervalos de confianza para la media µ de una poblacion normal N (µ, σ2)

Si σ2 conocida, entonces

(x− z1−α

2

σ√n

, x + z1−α2

σ√n

)

Si σ2 desconocida, entonces

(x− tn−1,1−α

2

s√n

, x + tn−1,1−α2

s√n

)

Intervalos de confianza para la varianza σ2 de una poblacion normal N (µ, σ2)

Si µ conocida, entonces

n∑

i=1

(xi − µ)2

χ2n,1−α

2

,

n∑

i=1

(xi − µ)2

χ2n, α

2

Si µ desconocida, entonces

((n− 1)s2

χ2n−1,1−α

2

,(n− 1)s2

χ2n−1, α

2

)

Intervalos de confianza para la diferencia de medias µ1−µ2 de dos poblaciones normales independientes

Si σ21 y σ2

2 conocidas, entoncesx− y − z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2, x− y + z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, pero iguales, entonces

(x− y − tn1+n2−2,1−α

2sp

√1n1

+1n2

, x− y + tn1+n2−2,1−α2sp

√1n1

+1n2

)

Si σ21 y σ2

2 desconocidas y distintas, entoncesx− y − tk,1−α

2

√s21

n1+

s22

n2, x− y + tk,1−α

2

√s21

n1+

s22

n2

Intervalos de confianza para el cociente de varianzas σ21/σ2

2 de dos poblaciones normales independientes

Si µ1 y µ2 conocidas, entonces

n1∑

i=1

(xi − µ1)2/n1

n2∑

j=1

(yj − µ2)2/n2

1Fn1,n2,1−α

2

,

n1∑

i=1

(xi − µ1)2/n1

n2∑

j=1

(yj − µ2)2/n2

1Fn1,n2, α

2

Si µ1 y µ2 desconocidas, entonces(

s21

s22

1Fn1−1,n2−1,1−α

2

,s21

s22

1Fn1−1,n2−1, α

2

)

Intervalo de confianza para la diferencia de medias µD = µ1 − µ2 de dos poblaciones normales noindependientes (datos apareados)

(d− tn−1,1−α

2

sD√n

, d + tn−1,1−α2

sD√n

)

donde di = xi − yi

Intervalo de confianza para la media µ de una poblacion con media y varianza finitas para muestras detamano suficientemente grande (n > 30)

Si σ2 conocida, entonces (x− z1−α

2

σ√n

, x + z1−α2

σ√n

)

Si σ2 desconocida, entonces

(x− z1−α

2

s√n

, x + z1−α2

s√n

)

Caso particular: Intervalo de confianza para la proporcion p de una caracterıstica

(p− z1−α

2

√p(1− p)

n, p + z1−α

2

√p(1− p)

n

)

Intervalos de confianza para la diferencia de medias µ1 − µ2 de dos poblaciones independientes conmedias y varianzas finitas para muestras de tamano suficientemente grande (n1 > 30 y n2 > 30)

Si σ21 y σ2


x− y − z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2, x− y + z1−α

2

√σ2

1

n1+

σ22

n2

Si σ21 y σ2

2 desconocidas, entonces

x− y − z1−α

2

√s21

n1+

s22

n2, x− y + z1−α

2

√s21

n1+

s22

n2

Caso particular: Intervalo de confianza aproximado para la diferencia de proporciones p1 − p2 para muestras detamano suficientemente grande e independientes (n1 > 30 y n2 > 30)

p1 − p2 − z1−α

2

√p1(1− p1)

n1+

p2(1− p2)n2

, p1 − p2 + z1−α2

√p1(1− p1)

n1+

p2(1− p2)n2

Contrastes de hipotesis (α, nivel de significacion)

Contrastes sobre los parametros de una poblacion normal

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : µ 6= µ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 zexp = x−µ0σ/√

nzexp ≥ z1−α

σ2 conocida H1 : µ < µ0 zexp ≤ zα

H1 : µ 6= µ0 |texp| ≥ tn−1,1−α2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 texp = x−µ0s/√

ntexp ≥ tn−1,1−α

σ2 desconocida H1 : µ < µ0 texp ≤ tn−1,α

H1 : σ2 6= σ20

χ2exp ≥ χ2

n,1−α2

oχ2

exp ≤ χ2n, α

2

H0 : σ2 = σ20 H1 : σ2 > σ2

0 χ2exp =

n∑

i=1

(xi − µ)2

σ20

χ2exp ≥ χ2

n,1−α

µ conocida H1 : σ2 < σ20 χ2

exp ≤ χ2n,α

H1 : σ2 6= σ20

χ2exp ≥ χ2

n−1,1−α2

oχ2

exp ≤ χ2n−1,1−α

2

H0 : σ2 = σ20 H1 : σ2 > σ2

0 χ2exp = (n−1)s2

σ20

χ2exp ≥ χ2

n−1,1−α

µ desconocida H1 : σ2 < σ20 χ2

exp ≤ χ2n−1,α

Contrastes sobre los parametros de dos poblaciones normales independientes

Hipotesis nula Estadıstico de contraste Hipotesis alternativa Region crıticaH1 : µ1 − µ2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 zexp = x−y−δ0√σ21/n1+σ2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 zexp ≥ z1−α

σ21 y σ2

2 conocidas H1 : µ1 − µ2 < δ0 zexp ≤ zα

H1 : µ1 − µ2 6= δ0 |texp| ≥ tn1+n2−2,1−α2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 texp = x−y−δ0

sp

√1/n1+1/n2

H1 : µ1 − µ2 > δ0 texp ≥ tn1+n2−2,1−α

σ21 y σ2

2 desconocidas e iguales H1 : µ1 − µ2 < δ0 texp ≤ tn1+n2−2,α

H1 : µ1 − µ2 6= δ0 |texp| ≥ tk,1−α2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 texp = x−y−δ0√s21/n1+s2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 texp ≥ tk,1−α

σ21 y σ2

2 desconocidas y distintas H1 : µ1 − µ2 < δ0 texp ≤ tk,α

H1 : σ21 6= σ2

2

fexp ≥ Fn1,n2,1−α2

ofexp ≤ Fn1,n2, α

2

H0 : σ21 = σ2

2 fexp =

n1∑

i=1

(xi − µ1)2/n1

n2∑

j=1

(yj − µ2)2/n2

H1 : σ21 > σ2

2 fexp ≥ Fn1,n2,1−α

µ1 y µ2 conocidas H1 : σ21 < σ2

2 fexp ≤ Fn1,n2,α

H1 : σ21 6= σ2

2

fexp ≥ Fn1−1,n2−1,1−α2

ofexp ≤ Fn1−1,n2−1, α

2

H0 : σ21 = σ2

2 fexp = s21

s22

H1 : σ21 > σ2

2 fexp ≥ Fn1−1,n2−1,1−α

µ1 y µ2 desconocidas H1 : σ21 < σ2

2 fexp ≤ Fn1−1,n2−1,α

Contraste sobre la diferencia de medias µD = µ1 − µ2 de dos poblaciones normales no necesariamenteindependientes (datos apareados)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : µD 6= δ0 |texp| ≥ tn−1,1−α

2

H0 : µD = δ0 H1 : µD > δ0 texp = d−δ0sD/

√n

texp ≥ tn−1,1−α

H1 : µD < δ0 texp ≤ tn−1,α

Contrastes sobre la media de una poblacion cualquiera (n > 30)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : µ 6= µ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 zexp = x−µ0σ/√

nzexp ≥ z1−α

σ2 conocida H1 : µ < µ0 zexp ≤ zα

H1 : µ 6= µ0 |zexp| ≥ z1−α2

H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 zexp = x−µ0s/√

nzexp ≥ z1−α

σ2 desconocida H1 : µ < µ0 zexp ≤ zα

Caso particular: Contrastes sobre una proporcion p (n > 30)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : p 6= p0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : p = p0 H1 : p > p0 zexp = p−p0√p0(1−p0)/n

zexp ≥ z1−α

H1 : p < p0 zexp ≤ zα

Contrastes sobre la diferencia de medias de dos poblaciones independientes (n1, n2 > 30)

Hipotesis nula Estadıstico de contraste Hipotesis alternativa Region crıticaH1 : µ1 − µ2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 zexp = x−y−δ0√σ21/n1+σ2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 zexp ≥ z1−α

σ21 y σ2

2 conocidas H1 : µ1 − µ2 < δ0 zexp ≤ zα

H1 : µ1 − µ2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α2

H0 : µ1 − µ2 = δ0 zexp = x−y−δ0√s21/n1+s2

2/n2H1 : µ1 − µ2 > δ0 zexp ≥ z1−α

σ21 y σ2

2 desconocidas H1 : µ1 − µ2 < δ0 zexp ≤ zα

Caso particular: Contrastes sobre la diferencia de proporciones p1 − p2 (n1, n2 > 30)

Hipotesis nula Hipotesis alternativa Estadıstico de contraste Region crıticaH1 : p1 − p2 6= δ0 |zexp| ≥ z1−α

2

H0 : p1 − p2 = δ0 H1 : p1 − p2 > δ0 zexp = p1−p2−δ0√p1(1−p1)/n1+p2(1−p2)/n2)

zexp ≥ z1−α

H1 : p1 − p2 < δ0 zexp ≤ zα

Para δ0 = 0 se utiliza como estadıstico de contraste

P1 − P2√P (1− P ) · (1/n1 + 1/n2)

donde P =n1P1 + n2P2

n1 + n2

EXAMENES

Examen de junio de 2001.

1. Responder razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) ¿Que indica la mediana de una variable estadıstica? ¿Puede superar el valor de la mediana al valor deltercer cuartil?

b) ¿Puede tener una variable estadıstica mas de una moda?

c) ¿Pueden tener las pendientes de las rectas de regresion de una variable estadıstica bidimensional signosopuestos?

d) ¿Cual es la probabilidad de la interseccion de dos sucesos incompatibles?

2. En la siguiente tabla estan representados los datos relativos a la produccion anual de naranjas en unadeterminada region durante 50 anos:

Produccion de naranjas Numero de anos(millones de toneladas)

4-5 85-6 126-8 258-10 5

a) Representar graficamente la variable mediante un histograma.

b) Calcular la produccion que se obtuvo con mayor frecuencia durante ese periodo de tiempo.

c) ¿En cuantos anos la produccion supero a los 6.5 millones de toneladas?

d) ¿Que cantidad de naranjas se obtuvo el 30 % de los anos mas productivos?

3. Una companıa de productos quımicos desea estudiar los efectos que el tiempo de extraccion tiene en laeficiencia de una operacion de extraccion, obteniendo los siguientes resultados:

Eficiencia de extraccion Tiempo de extraccion(%) (minutos)27 5745 6441 8019 4635 6239 7219 5249 7715 5731 68

a) Calcular la eficiencia media de extraccion y el tiempo medio de extraccion. ¿En que distribucion esmas representativa la media?

b) Predecir mediante un ajuste lineal la eficiencia de extraccion para una operacion de extraccion de 75minutos. ¿Es fiable la prediccion realizada?

4. En una determinada explotacion agraria dedicada al cultivo de cierta fruta tropical se utilizan tres metodosdiferentes de riego por goteo: M1, M2 y M3. En el 20 % de la explotacion se utiliza el metodo M1, en el30% el metodo M2 y en el resto el metodo M3. Se sabe que la probabilidad de que el metodo M1 funcioneadecuadamente es 0.85, la probabilidad de que el metodo utilizado se M2 y que no funcione adecuadamentees 0.2 y la probabilidad de que el metodo M3 no funcione adecuadamente es 0.05.

a) Calcular la probabilidad de que cada metodo de goteo funcione adecuadamente.

b) Calcular la probabilidad de que el sistema de goteo funcione adecuadamente.

c) Si se sabe que el sistema de goteo no ha funcionado adecuadamente, ¿cual es la probabilidad de que elfallo en el goteo se haya producido por el metodo M2? ¿Y la de que se haya producido por el metodoM3?

5. Un investigador estudia las plantas de una determinada zona de un rıo donde se sospecha que existen nivelesde contaminacion elevados. Se considera que una planta esta contaminada si el nivel de sales supera el nivel3.1. Se sabe que el nivel de sales se comporta segun una distribucion normal de media 4 y varianza 9.

a) Calcular la probabilidad de que una planta elegida al azar este contaminada.

b) Obtener el nivel de salinidad mınimo del 75 % de las plantas con mayor nivel de sales.

c) Si el investigador selecciona al azar una muestra formada por 8 plantas, ’cual es la probabilidad deencontrar al menos dos plantas contaminadas?

6. Dos laboratorios A y B analizan muestras de agua para estudiar el contenido de un determinado contami-nante. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Laboratorio A 22.38 15.85 25.21 22.25 21.97 19.40Laboratorio B 19.40 21.22 16.09 16.45

Suponiendo que las dos poblaciones examinadas son normales con varianzas 9 y 4, respectivamente, construirintervalos de confianza para la diferencia entre los contenidos medios de contaminante a los niveles deconfianza del 90 % y 95%. Comparar las amplitudes de los intervalos obtenidos. ¿Que factores influyen enla amplitud de un intervalo de confianza?

Examen de septiembre de 2001.

1. La cantidad de fanegas de trigo recolectadas en 86 explotaciones agrıcolas durante un determinado periodode tiempo esta recogida en la siguiente tabla:

Fanegas de trigo Numero de explotaciones0-100 22

100-150 18150-250 34250-300 12

a) Representar graficamente los datos mediante un histograma.

b) Obtener el numero medio de fanegas de trigo cosechadas.

c) ¿Que cantidad maxima de fanegas de trigo fue recogida por el 75 % de las explotaciones menosproductivas?

d) ¿Que cantidad mınima de fanegas de trigo fue recolectada por el 20 % de las explotaciones masproductivas?

e) ¿Que porcentaje de explotaciones recolecto menos de 160 fanegas de trigo?

2. En la tabla adjunta se encuentran los valores experimentales de la presion P de una masa dada de gascorrespondientes a diferentes valores de su volumen V . Segun los principios de Termodinamica existe unarelacion entre las variables que tiene la forma PV a = b, donde a y b son constantes.

Volumen V Presion P(en pulgadas cubicas) (en libras por pulgada cuadrada)

54.3 61.261.8 49.572.4 37.688.7 28.4118.6 19.2194.0 10.1

a) Calcular los valores de a y b.

b) Estimar P cuando V = 100 pulgadas cubicas.

3. En una determinada region se encuentran tres tipos de formaciones geologicas diferentes I, II y III quedividen a la region en tres zonas. La empresa de aguas de la region pretende hacer diferentes pozos de aguaque permitan abastecer a toda la region. Se sabe que la probabilidad de encontrar agua en la primera zonaes 0.15, en la segunda 0.20 y en la tercera 0.05. El 20 % de la region tiene formaciones geologicas del tipoI, el 35% del tipo II y el 45 % del tipo III.

a) Obtener la probabilidad de encontrar agua en la region.

b) Si no se ha obtenido agua, ¿cual es la probabilidad de que el pozo se haya construido en la zonacon formaciones geologicas del tipo I? ¿Y de que se haya construido en una zona con formacionesgeologicas del tipo II o del tipo III?

c) ¿Cual es la probabilidad de que se obtenga agua y de que se haya realizado la perforacion en una zonacon formaciones geologicas del tipo III?

4. Se observa una fuente radioactiva durante un intervalo de tiempo de 8 segundos de duracion. Las partıculasson emitidas segun una ley de Poisson con una media de 0.5 partıculas por segundo y registradas en uncontador. Hallar la probabilidad de que

a) se cuenten 4 o mas partıculas,

b) no se cuente ninguna partıcula.

Responder a las preguntas anteriores si el contador es defectuoso y cada partıcula tiene solo una probabilidadde ser registrada.

5. La Concejalıa de Medio Ambiente del Ayuntamiento de una gran ciudad europea mide el grado de conta-minacion de la ciudad por un parametro X. Despues de una serie de investigaciones se ha concluido queeste parametro se comporta como una variable aleatoria normal. Para controlar el grado de contaminacionse toman medidas diarias, obteniendose los siguientes datos durante 10 dıas:

10.2 11.1 10.5 9.9 10.2 10.8 11.2 9.7 10.1 10.3

a) A partir de estos datos obtener estimaciones puntuales de la media y la varianza de la distribucion deX.

b) Construir un intervalo de confianza para el grado medio de contaminacion al nivel de confianza del95%.

Examen de diciembre de 2001.

1. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar la tasa de germinacion de semillas. Para ello, seconsideraron semillas de alfalfa y se colocaron en una camara de germinacion. Once horas despues, seexaminaron las semillas y se registro el cambio de energıa libre (una medida de la tasa de germinacion). Enla tabla adjunta se presentan los resultados para semillas germinadas a diferentes temperaturas.

X/Y 5-7 7-10 10-1220-25 5 5 325-35 2 4 635-40 1 4 4

X: temperatura en 0C, Y : cambio de energıa libre.

a) ¿Que porcentaje de semillas fue germinado a una temperatura superior a 350C? ¿Y a 270C?

b) ¿Cual es la temperatura mas frecuente en la que las semillas germinaron? ¿Y la temperatura media?

c) Calcular el porcentaje de semillas que, germinadas a una temperatura superior a 250C, tienen uncambio de energıa libre superior a 8 unidades.

d) ¿En que distribucion marginal el valor medio de las medidas observadas es mas representativo? Razonarla respuesta.

2. La hidrolisis de un cierto ester tiene lugar en medio acido segun un proceso cinetico de primer orden.Partiendo de una concentracion inicial desconocida del ester, se han medido las concentraciones del mismoa diferentes tiempos, obteniendose los siguientes resultados:

Tiempo en minutos 3 5 10 15 20 30 40 50 60 75 90Concentracion (103m) 25.5 23.4 18.2 14.2 11 6.7 4.1 2.5 1.5 0.7 0.4

a) Representar graficamente estos datos mediante un diagrama de dispersion. ¿Que conclusiones sepueden extraer?

b) La teorıa cinetica de este tipo de reacciones indica que la evolucion de la concentracion del ester enfuncion del tiempo se rige por Ct = C0e

−kt, donde C0 es la concentracion inicial y k la velocidad dedesaparicion del ester. ¿Que transformacion de los datos conduce a un modelo lineal? Realizar estatransformacion y obtener los valores de C0 y k.

c) Obtener una prediccion de la concentracion del ester a los 45 minutos de empezar el proceso.

3. La produccion de una finca depende de la produccion de cuatro parcelas que la constituyen P1, P2, P3 yP4. Anualmente la produccion de cada parcela en Kg. es la siguiente: 600 para P1, 500 para P2, 350 paraP3 y 250 para P4. Se sabe que en dichas producciones anuales, el 4% de los frutos estan en mal estado enP1, el 3.5% en P2, el 4.6% en P3 y el 2 % en P4.

a) Si la cosecha anual se recoge conjuntamente en las cuatro parcelas, ¿cual es la probabilidad de que alseleccionar un fruto al azar, este se encuentre en mal estado?

b) Si se han recogido frutos en mal estado, ¿cual es la probabilidad de que se hayan recogido en la parcelaP2?

c) Obtener la probabilidad de que los frutos se encuentren en mal estado si no se han recogido en laparcela P2.

d) Si los frutos se han recogido en las parcelas P3 y P4, ¿cual es la probabilidad de que los frutos seencuentren en buen estado?

4. En un conjunto de invernaderos se ha observado el aumento en la produccion segun la cantidad de fertilizanteempleada. Se sabe que la cantidad exacta de fertilizante que ha de utilizarse es de 20 unidades y se observaque en el 97.72 % de los invernaderos se han utilizado menos de 19 unidades y que en el 6.68% menos de12 unidades. Se supone que la variable que mide la cantidad de fertilizante empleada se distribuye segununa distribucion normal.

a) Calcular la media y la varianza de dicha variable.

b) La produccion obtenida en un invernadero no rentabiliza la inversion si se utiliza una cantidad defertilizante inferior a las 16.8 unidades. Calcular la probabilidad de que elegido un invernadero al azar,la produccion obtenida no sea rentable.

c) Si las parcelas estan divididas por sectores de 100 invernaderos cada uno. Calcular la probabilidad deque en una parcela haya al menos dos invernaderos no rentables.

5. Se desea construir un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribucion normal condesviacion tıpica σ conocida. Se fija un margen de error maximo permitido y se busca el tamano muestralnecesario para garantizar este margen de error con una confianza del 95%. Para cada una de las afirmacionessiguientes, indicar cual es verdadera o falsa, razonando la respuesta.

a) El tamano muestral necesario aumentara si disminuye σ.

b) El tamano muestral necesario disminuira si se fija la confianza del 99%.

c) Si el margen de error permitido aumenta, el tamano muestral necesario disminuye.

6. Se realiza un estudio sobre el nivel de contaminacion en cierto espacio natural. Se sabe por experienciaque la variable que la determina es normal. Se ha extraıdo una muestra de tamano 10, obteniendose que lamedia es 2.216 y la desviacion tıpica 0.63.

a) Obtener un intervalo de confianza para el nivel medio de contaminacion al 95 % de nivel de confianza.

b) Calcular el tamano muestral necesario para reducir a la mitad el error de muestreo del intervalo deconfianza obtenido en el apartado anterior si la desviacion tıpica poblacional es 1.5.


1. El volumen maximo de agua alcanzado en un embalse durante 30 anos hidrologicos se recoge en la siguientetabla:

50 60 74 80 90 100 110 51 61 7481 93 101 75 54 62 80 93 70 5768 73 74 84 86 75 69 77 55 63

a) Agrupar los datos en intervalos de amplitud 10 y representar la distribucion de frecuencias en una tablaestadıstica.

b) Representar graficamente la distribucion de frecuencias.

2. El grado de humedad que presenta cierta especie de algas tiene relacion con la profundidad a la que crecenlas plantas. Se han recogido los siguientes datos:

X / Y 0.5-0.75 0.75-0.8 0.8-0.980-10 6 4 010-30 5 7 330-40 5 10 15

X: profundidad en metros, Y : grado de humedad.

a) ¿A que profundidad fueron encontradas la mayorıa de las algas que presentaron un grado de humedadmenor que 0.8?

b) Esta especie de algas presenta propiedades curativas contra cierta enfermedad si el grado de humedadse encuentra entre 0.6 y 0.85. ¿Cuantas de las muestras recogidas no presentan estas propiedadescurativas?

c) ¿En que distribucion marginal la media es mas representativa?

3. De un determinado gas se ha medido, bajo ciertas condiciones, el volumen ocupado al someterlo a distintaspresiones, obteniendose la siguiente tabla:

Presion (P ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3Volumen (V ) 1.62 1 0.76 0.62 0.52 0.46

a) Representar los datos graficamente. ¿Existe relacion entre ellos?

b) Ajustar a estos datos una funcion del tipo V = aP b, donde a y b son constantes.

c) A partir de la funcion ajustada en el apartado anterior obtener una prediccion para el volumen ocupadopor el gas cuando se le somete a una presion de 1.75.

4. Un problema tiene que ser resuelto por tres alumnos, A, B y C, separadamente. La probabilidad de que losolucione A es 1/2, la de que lo solucione B es 1/3, y la de que lo haga C es 1/4.

a) ¿Cual es la probabilidad de que lo solucione uno cualquiera de los tres alumnos?

b) ¿Cual es la probabilidad de que el problema sea resuelto solamente por uno de los alumnos?

5. Una empresa de aguas contrata a dos ingenieros, A y B, para realizar diferentes estudios hidrogeologicosen una determinada zona. La probabilidad de que el ingeniero A entregue los estudios en la fecha impuestapor la empresa es 0.90 y 0.98 para el ingeniero B.

a) Si los honorarios exigidos por el ingeniero B duplican a los exigidos por A y la empresa desea reduciral maximo el coste de contratacion, ¿que tanto por ciento de estudios debe asignarle a cada uno de losingenieros que piensa contratar para que la probabilidad de que la empresa disponga de los estudiosen la fecha convenida sea como mınimo de 0.96?

b) Se selecciona al azar uno de los estudios contratados y se comprueba que no ha sido presentado en lafecha impuesta por la empresa, ¿cual es la probabilidad de que el ingenierio B estuviera contratadopara realizar dicho estudio?

6. Un grupo de investigadores sabe por propia experiencia que la altura de cierta variedad de arbustos en unadeterminada zona se comporta como una variable normal con media 2.5m. y desviacion tıpica 0.5m.

a) Calcular la probabilidad de encontrar arbustos en la zona con una altura superior a 3m.

b) Si se seleccionan aleatoriamente 9 arbustos de la zona, ¿cual es la probabilidad de encontrar comomaximo 7 arbustos con altura superior a 3m.? ¿Cual sera el numero esperado de arbustos que seencontraran con una altura inferior o igual a 3m.?

c) Si se realiza una seleccion de 1000 arbustos, ¿que probabilidad existe de encontrar mas de la terceraparte con una altura inferior o igual a 3m.?

7. En una granja avıcola se utilizan dos tipos de pienso, A y B. Se esta interesado en comparar la media deengorde de las aves con ambos piensos. Para ello se seleccionan 40 aves y se les alimenta durante ciertotiempo con el pienso A y se obtiene una ganancia media de peso por ave de 0.78Kg. con una desviaciontıpica de 0.0186Kg. Simultaneamente a otras 40 aves se les alimenta con el pienso B y se obtiene un engordemedio de 0.79Kg. con una desviacion tıpica de 0.0172Kg.

Construir intervalos de confianza para la diferencia entre las ganancias medias de peso para los dos tiposde pienso a los niveles de confianza del 95% y 99 %. ¿Que conclusiones pueden extraerse?


1. Se realizaron pruebas de laboratorio para el estudio de la tension de vapor de agua (ml de Hg) a distintastemperaturas (oC). Para ello se realizaron 20 medidas, obteniendose los siguientes resultados:

X / Y 0.5-1.5 1.5-2.5 2.5-5-51-15 4 1 015-25 1 4 225-30 0 3 5

X: temperatura e Y :tension de vapor de agua.

a) Construir e interpretar el diagrama de Box-Whisker para la variable Y .

b) Calcular el porcentaje de pruebas que, realizadas a una temperatura superior a 15oC, presentaron unatension de vapor de agua superior a 2ml de Hg.

c) ¿En que distribucion marginal el valor medio de las medidas observadas es mas representativo?

2. Una empresa vitivinıcola desea realizar un estudio sobre la influencia de las campanas publicitarias en suscifras de ventas. Para ello dispone del gasto destinado a publicidad y de las ventas en los ultimos seis anos.

Anos Gastos en publicidad Ventas(en millones de pts.) (en millones de pts.)

1996 2.5 2001997 2.8 2211998 2.9 2301999 3.1 2392000 3.5 2482001 3.9 256

a) Realizar un ajuste lineal mınimo-cuadratico que explique la evolucion de las ventas en funcion de losgastos en publicidad. Obtener una medida de la bondad del ajuste realizado.

b) Utilizando el modelo ajustado, predecir las ventas que habra para este ano si se tiene previsto invertiren publicidad 24,000 euros. ¿Es fiable la prediccion obtenida?

3. En una poblacion de moscas de fruta, el 25 % presentan mutacion en los ojos, el 50 % presentan mutacionen las alas y el 40% de las que presentan mutacion en los ojos presentan mutuacion en las alas.

a) Se selecciona al azar una mosca de la poblacion, ¿cual es la probabilidad de que presente simultanea-mente las dos mutaciones? ¿Y la probabilidad de que presente al menos una de las mutuaciones?

b) Obtener la probabilidad de que la mosca seleccionada presente mutuacion en los ojos pero no en lasalas.

4. En una granja avıcola se utilizan dos tipos de pienso, A y B, para alimentar a las aves. El 20 % de las avesse alimenta exclusivamente con el pienso del tipo A, el 35% exclusivamente con el pienso del tipo B y elresto de las aves con ambos tipos de pienso. Se sabe que la probabilidad de que el engorde de las aves seasuperior a 1Kg. cuando se utiliza solamente el pienso A es de 0.86, cuando se utiliza solamente el piensoB es de 0.58 y cuando se utilizan ambos es de 0.95.

a) Si se selecciona aleatoriamente una de las aves de la granja, ¿cual es la probabilidad de que el engordesea superior a 1Kg.?

b) Se selecciona al azar una de las aves de la granja y se comprueba que el engorde no ha superado a1Kg., ¿cual es la probabilidad de que haya sido alimentada con los dos tipos de pienso?

c) ¿Cual es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente una de las aves de la granja se hayaalimentado con el pienso A exclusivamente y el engorde supere a 1Kg.?

5. Se estudian las plantas de una determinada zona en donde se sospecha que ha atacado un cierto virus. Sesabe que la probabilidad de que una planta este contaminada es 0.35.

a) ¿Cual es el numero medio de plantas contaminadas que se pueden esperar en 5 analisis? ¿Y en 150analisis?

b) Calcular la probabilidad de encontrar 8 plantas contaminadas en 10 examenes de las plantas de la zonacontaminada.

c) Calcular la probabilidad de encontrar entre 2 y 5 plantas contaminadas en 9 examenes.

d) Hallar la probabilidad de que en 250 analisis se encuentren entre 155 y 175 plantas no contaminadas.

6. Un grupo de investigadores sabe por propia experiencia que el contenido de celulosa en una determinadavariedad de alfalfa tiene una distribucion normal con desviacion tıpica de 12mg/g. En una muestra de 48cortes de alfalfa se obtuvo que el contenido medio de celulosa era de 152mg/g.

a) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza del 99 % para el contenido medio de celulosade toda la poblacion.

b) Un estudio afirma que el contenido medio de celulosa en la poblacion es de 150mg/g, ¿corroboran losdatos muestrales esta impresion? Razonar la respuesta.

c) ¿Cuantos cortes de alfalfa se tendrıan que considerar como mınimo para conseguir un margen de errorde 2mg/g en un intervalo de confianza al 98 % para el contenido medio de celulosa de la poblacion?


1. En una determinada region se sabe que las precipitaciones caıdas dependen de la cantidad de vegetacionen la zona. Se dispone de los siguientes datos:

X Y50 20100 70150 100200 150300 200

X: numero de arboles por Ha, Y : numero de litros caıdos por m2.

a) Ajustar a los datos una funcion del tipo y = abx.

b) Utilizando la funcion ajustada en el apartado anterior, predecir el volumen de agua caıdo cuando elnumero de arboles por Ha. en la zona es 175.

2. La edad de un arbol se estudia atendiendo al numero de anillos en la seccion transversal del tronco. Sesabe por experiencias anteriores que la edad de cierta especie de conıferas se distribuye segun una normalde media 20 y varianza 16.

a) Un arbol se considera anciano si el numero de anillos es superior a 30. Calcular la probabilidad de queun arbol elegido al azar sea considerado anciano.

b) Se toma una muestra de arboles de tamano 10. Calcular la probabilidad de que haya como mınimo 8arboles ancianos.

c) ¿Cual es el numero medio de arboles no ancianos en un bosque con 1,375 arboles? Dar una medidade dispersion del numero de arboles no ancianos en el bosque.

3. La longitud de determinada poblacion de fosiles es una variable aleatoria que sigue una distribucion normalcon desviacion tıpica 13.2mm.

a) Se ha extraıdo una muestra de 15 fosiles, cuyo valor medio ha resultado ser 186.5mm. Construir unintervalo de confianza para la longitud media de los fosiles al nivel de confianza del 99 %.

b) ¿Que nivel de confianza reduce a la mitad la amplitud del intervalo anterior?

c) ¿De que tamano mınimo habrıa que seleccionar la muestra para obtener un margen de error de 3 enun intervalo de confianza al nivel de confianza del 98 %?


1. Un grupo de investigadores quiere estudiar la relacion existente entre el volumen de agua alcanzado en unembalse y la precipitacion caıda en la zona durante 30 anos. Para ello dispone de los siguientes datos:

X \ Y 100-150 150-200 200-30050-70 5 2 270-80 1 3 380-90 2 4 190-100 0 5 2

X: volumen de agua (en miles de l), Y : precipitacion (en l/m2).

a) Calcular el porcentaje de anos en los que el volumen de agua esta por encima del volumen medio.

b) Se considera un ano seco cuando el numero de litros por m2 caıdos es inferior a 155. ¿Cual es elporcentaje de anos en los que no hubo sequıa?

c) De entre todos los anos en los que el numero de litros por m2 caıdos es superior a 150, ¿cual es elvolumen de agua mas frecuente? Representar el histograma de dicha distribucion.

d) ¿En que distribucion marginal la media es mas representativa?

2. EL grado de humedad que presenta cierta especie de algas tiene relacion con la profundidad a la que crecenlas plantas. Se dispone de los siguientes datos:

X 5 9 12 16 20 22Y 0.54 0.65 0.67 0.75 0.81 0.78


a) Realizar un ajuste lineal mınimo-cuadratico para predecir el grado de humedad en funcion de la pro-fundidad. Calcular una medida de la bondad del ajuste realizado.

b) Utilizando la recta ajustada en el apartado anterior, predecir el grado de humedad para plantas quecrecen a 15 metros de profundidad. ¿Es fiable esta prediccion? Razonar la respuesta.

3. Una empresa contrata a tres ingenieros, A, B y C, para realizar diferentes estudios hidrologicos en unadeterminada zona. Se sabe que la probabilidad de que el ingeniero A entregue los estudios en la fechaimpuesta por la empresa es 0.90, 0.85 para el ingeniero B y 0.95 para el ingeniero C.

a) Calcular la probabilidad de que la empresa disponga de todos los estudios contratados a los ingenierosen la fecha convenida.

b) ¿Cual es la probabilidad de que solamente uno de los ingenieros presente los estudios contratados enla fecha impuesta por la empresa?

c) Obtener la probabilidad de que alguno de los ingenieros presente los estudios contratados en la fechaestipulada por la empresa.

4. Se sabe que el 35 % de los alumnos que empiezan determinados estudios acaban.

a) Si en un curso se encuentran 10 alumnos, ¿cual es la probabilidad de que mas de tres finalicen?

b) ¿Cual sera el numero esperado de alumnos que acaben?

5. La Concejalıa de Medio Ambiente del Ayuntamiento de una gran ciudad mide el nivel de contaminacion decada uno de los sectores en los que se encuentra dividida la ciudad. Se observa que en el 84.13% de lossectores el nivel de contaminacion es inferior a 2.5 y que en el 93.32% superior a 1.25.

Se sabe por experiencia que la variable que determina el nivel de contaminacion se comporta como unadistribucion normal.

a) Determinar los parametros de la distribucion normal en estudio.

b) En aquellos sectores de la ciudad en los que se encuentre un nivel de contaminacion superior a 2.75la Concejalıa desarrollara un plan de emergencia para prevenir los posibles efectos del elevado nivel decontaminacion. ¿Que porcentaje de sectores estaran afectados por el plan de emergencia?

6. Se pretende seleccionar una muestra de tamano n de una poblacion con varianza 25. Obtener el valor mınimode n para poder afirmar, con probabilidad 0.95, que la media muestral diferira de la media poblacional enmenos de 2 unidades.

7. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar si existe incremento en la produccion de una nuevavariedad de maiz. Para ello planta 10 parcelas con la nueva variedad, obteniendose las siguientes cantidadescosechadas:

138 139 132 158 135 142 151 136 140 148

a) Bajo la hipotesis de normalidad de la poblacion en estudio, obtener estimaciones puntuales para lamedia y la varianza poblacionales.

b) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza del 90 % prara la produccion media porparcela. ¿Cual es el efecto del incremento del nivel de confianza sobre el intervalo de confianza?


1. El encargado de obra de cierta companıa constructora esta interesado en estudiar si existe alguna relacionentre la edad de los obreros y los dıas de baja que solicitan al ano. Para ello, con los datos referentes a 100de los trabajadores ha construido la siguiente tabla de doble entrada:

Edad / Dıas 0-5 5-10 10-2018-30 28 2 030-40 26 13 140-50 6 12 250-60 0 3 7

a) Representar graficamente la distribucion de frecuencias de las variables en estudio. ¿Que conclusionesse pueden extraer de las variables?

b) ¿Cual es el porcentaje de trabajadores que solicitaron mas de 7 dıas de baja al ano?

c) Obtener la edad media de los trabajadores de la companıa.

d) Calcular el numero de dıas de baja al ano que se solicitan con mayor frecuencia.

2. Se han estudiado en 5 probetas la dureza (X) y el desgaste por abrasion de cierto tipo de materiales,obteniendo los siguientes resultados:

X 2 2.5 3.25 4.5 5.75Y 1.20 1 0.8 0.65 0.55

a) Ajustar a estos datos una funcion potencial del tipo Y = aXb, donde a y b son constantes.

b) Estimar mediante el ajuste anterior el desgaste que sufrira un material que posee una dureza de 3.

c) Se realizo otro tipo de ajuste a estos datos obteniendose una varianza residual de 0.00025. ¿Cual delos ajustes realizados se adapta mejor a los datos? Razonar la respuesta.

3. El 35 % de un grupo de muestras de rocas de interes presentan en su composicion la sustancia A, el 45 %la sustancia B y el 15 % las sustancias A y B. Se selecciona una muestra al azar.

a) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia A si presenta la sustancia B.

b) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia A si no presenta la sustancia B.

c) Se sabe que el 20 % de las muestras presentan en su composicıon la sustancia C, incompatible con By el 2% de las muestras las sustancias A y C. Calcular la probabilidad de que la muestra presente lasustancia B o C si presenta la sustancia A.

4. Una empresa de aguas contrata a 3 ingenieros, A, B y C, para realizar diferentes estudios hidrogeologicosen una determinada zona. El 25 % de los estudios son realizados por el ingeniero A, el 35 % por el ingenieroB y el resto por el ingeniero C. La probabilidad de que el ingeniero A presente los estudios en la fechaimpuesta por la empresa es 0.9, la probabilidad de que el ingeniero B no realice los estudios en la fechaimpuesta es 0.03 y la probabilidad de que el ingeniero C presente los estudios en la fecha estipulada es 0.95.

a) Se selecciona al azar uno de los estudios contratados. Calcular la probabilidad de que la empresadisponga del estudio seleccionado en la fecha impuesta.

b) Si se sabe que el estudio seleccionado no ha sido presentado en la fecha impuesta, ¿cual es la proba-bilidad de que el ingeniero A estuviera contratado para realizar dicho estudio?

c) El ingeniero C tiene mucho trabajo y decide contratar a dos ingenieros para realizar los estudios, C1 yC2. La probabilidad de que el ingeniero C1 entregue los estudios en la fecha convenida es 0.90 y 0.96para el ingeniero C2. ¿Que tanto por ciento de estudios debe asignarle el ingeniero C a C1 y C2 paraque la probabilidad de que el ingeniero C presente los estudios en la fecha impuesta por la empresa semantenga en 0.95?

5. El diametro de cierto tipo de vigas en un proceso de fabricacion sigue una distribucion normal. En unadeterminada empresa se producen diariamente 2000 vigas. Se sabe que el 67 % de las vigas tienen undiametro superior a 199.12 mm. y el 95 % lo tienen inferior a 203.3 mm.

a) Obtener los parametros que determinan la distribucion de los diametros de las vigas.

b) Una empresa esta interesada en estudiar la calidad del suministro de las vigas. Para ello determina queel diametro mınimo admisible es de 194.36 mm. y decidira suspender su contrato si en la producciondiaria encuentra 10 o mas vigas no admisibles. Calcular la probabilidad de que se suspenda el contrato.

6. Una empresa conservera esta interesada en investigar si sus empleados cumplen el horario de descansovespertino convenido, que es de 20 minutos. Para ello realiza un seguimiento a 50 empleados seleccionadosaleatoriamente observando el tiempo en minutos que tardan los empleados en reincorporarse a su puesto detrabajo. Los datos obtenidos son los siguientes:

x = 20.483 s2 = 9.546

a) Construir un intervalo de confianza para el tiempo medio de descanso vespertino al nivel de confianzadel 98%. ¿Que conclusion se puede extraer?

b) Calcular el tamano muestral necesario para reducir a la mitad el margen de error del intervalo deconfianza obtenido en el apartado anterior si se supone que la varianza poblacional es de 9.

c) ¿Que factores influyen en la amplitud de un intervalo de confianza? ¿En que se traduce un aumentoo una reduccion de la amplitud de un intervalo de confianza?


1. Un grupo de investigadores quiere estudiar la relacion existente entre el volumen de agua alcanzado en unembalse y la precipitacion caıda en la zona durante 50 anos. Para ello dispone de los siguientes datos:

X \ Y 100-150 150-200 200-30050-70 8 4 570-80 2 5 680-90 2 6 290-100 0 7 3


a) ¿En que porcentaje de anos el volumen de agua esta por encima del volumen medio?

b) Se considera un ano seco cuando el numero de litros por m2 caıdos es inferior a 160. ¿Cual es elporcentaje de anos en los que hubo sequıa?

c) De entre todos los anos en los que el numero de litros por m2 caıdos es inferior a 200, ¿cual es elvolumen de agua mas frecuente? Representar el histograma de dicha distribucion.

d) ¿En que distribucion marginal la media es mas representativa?

2. Galton estudio en 1877 la relacion entre el diametro de los guisantes y el diametro medio de sus descendientescon los resultados siguientes:

Diametro padres 21 20 19 18 17 16 15Diametro medio descendientes 17.26 17.07 16.37 16.40 16.13 16.17 15.98

Los datos estan en pulgadas x 100 (1 pulgada=2.54 cm). Se pide:

a) Calcular la recta de regresion. ¿Que conclusiones pueden extraerse?

b) Obtener una medida de la bondad del ajuste realizado. Interpretar el resultado.

c) Predecir el diametro medio en milımetros de los descendientes de guisantes con diametro 5 milımetros.

3. El 15 % de los tomates recolectados en cierta region presenta en la piel una sustancia toxica A, el 10 % lasustancia toxica B y el 2% las sustancias toxicas A y B. Se selecciona una muestra al azar.

a) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia toxica A si presenta la sustancia toxicaB.

b) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia toxica A si no presenta la sustanciatoxica B.

c) Se sabe que el 20 % de las muestras presentan en su piel una sustancia C, incompatible con B y el 5 %de las muestras las sustancias A y C. Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustanciaB o C si presenta la sustancia A.

4. La media de las temperaturas obtenidas en una region durante un ano es de 25oC y la desviacion tı pica de10oC. Si las temperaturas obedecen a una ley normal, calcular la probabilidad de que en un dıa elegido alazar la temperatura este comprendida entre 20 y 30oC.

5. Se esta probando un nuevo pienso con determinados animales. En el 70 % de los casos los animales mejoranen peso, en el 20 % no varıan de peso y en el 10 % pierden peso.

a) Si se administra el nuevo pienso a 10 animales, calcular las probabiliades de que i) 7 mejoren en peso,ii) al menos 3 mejoren en peso, iii) 4 sigan igual, iv) como maximo 3 pierdan peso.

b) Si se administra a 100 animales, calcular las probabilidades de que mejoren en peso i) entre el 60 y el65% de los animales, ii) mas del 80 %.

6. Se pretende seleccionar una muestra de tamano 100 de una poblacion normal con varianza 25. Calcular laprobabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en mas de una unidad.

7. Un estudio demostro que los tiempos de vida de cierta clase de baterıas de automovil se distribuye normal-mente con una desviacion tıpica de 52 dıas. Se considero una muestra formada por 10 baterıas, obteniendoselas siguientes duraciones observadas:

1456 1478 1467 1350 1460 1376 1410 1330 1421 1423

a) Obtener una estimacion puntual y un intervalo de confianza al nivel de confianza del 90 % para lamedia de la poblacion.

b) Determinar el tamano muestral necesario para reducir a la mitad el error de muestreo del intervalo deconfianza obtenido en el apartado anterior. ¿Cual es el efecto de un incremento del tamano muestralsobre el intervalo de confianza? ¿Y del nivel de confianza?


1. En la tabla adjunta estan recopilados los datos relativos a la cantidad de hectareas de cereal recolectadasen 90 explotaciones agrıcolas durante un determinado periodo de tiempo.

Hectareas de cereal Numero de explotaciones0-120 24

120-170 18170-250 35250-300 13

a) Representar graficamente los datos mediante un histograma.

b) Calcular el numero medio de hectareas de cereal cosechadas.

c) Obtener la cantidad maxima de hectareas de cereal fue recogida por el 75 % de las explotaciones menosproductivas.

d) ¿Que cantidad mınima de hectareas de cereal fue recolectada por el 20% de las explotaciones masproductivas?

e) ¿Que porcentaje de explotaciones recolecto menos de 200 hectareas de cereal?

2. El Departamento de Materiales del Instituto Politecnico de cierta Universidad diseno un experimento paraestudiar las propiedades del Hidrogeno a partir de mediciones de la presion electrolıtica. La solucion utilizadafue 0.1 N en NaOH sobre un tipo de acero inoxidable. En la tabla adjunta se muestran los datos obtenidosen diez pruebas para la densidad de corriente de carga catodica (X) y para la presion efectiva de Hidrogeno(Y ).

Prueba X Y1 0.52 86.12 0.55 92.13 0.45 64.74 0.47 74.75 1.65 223.66 1.55 202.17 1.25 132.98 3.5 413.59 2.5 231.510 3.75 466.7

Para explicar la presion efectiva de Hidrogeno en funcion de la densidad de corriente de carga catodica seconsidera un modelo de regresion lineal, y = a + bx.

a) Determinar los parametros a y b involucrados en el modelo utilizando el criterio de mınimos cuadrados.

b) Calcular una medida de la bondad del ajuste realizado. Interpretar su valor.

c) Suponiendo como valido el modelo estimado, predecir la presion efectiva de Hidrogeno para una cargacatodica de 1.

3. Una empresa dedicada a la recoleccion de fruta en cierta region detecta que la fruta recolectada puedepresentar las sustancias toxicas A y B. El 5 % de la fruta presenta en la piel exclusivamente la sustancia A,el 8 % exclusivamente la sustancia B y el 2 % las sustancias A y B. Se selecciona una muestra al azar.

a) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia A si presenta la sustancia B.

b) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustancia A si no presenta la sustancia B.

c) Se sabe que el 15 % de las muestras presentan en su piel una sustancia C, incompatible con B y el 3 %de las muestras las sustancias A y C. Calcular la probabilidad de que la muestra presente la sustanciaB o C si presenta la sustancia A.

4. Una empresa del sector de alimentacion infantil recibe diariamente 100 lotes de materia prima de unproveedor. Se sabe que el peso de los lotes se comporta como una distribucion normal.

a) Obtener los parametros que determinan la distribucion de los pesos de los lotes sabiendo que el 67 %de las lotes tienen un peso superior a 195.6 Kg. y el 88 % lo tienen inferior a 211.75 Kg.

b) La empresa sospecha que los lotes enviados por el proveedor tienen un peso inferior al estipulado encontrato. Por ello, decide suspender su contrato si se reciben diariamente 5 o mas lotes con un pesoinferior a 220 Kg. Calcular la probabilidad de que se suspenda el contrato.

5. La longitud media de los tornillos fabricados por una empresa debe ser de 30 mm. Periodicamente seseleccionan al azar 36 tornillos y se mide su longitud. Se considera que el proceso esta fuera de controlcuando la longitud media muestral x < 29.8 o bien x >30.2 mm. Se supone que la longitud de los tornillosse comporta como una distribucion normal con desviacion tıpica 0.6 mm.

a) Enunciar las hipotesis nula y alternativa propias de esta situacion.

b) Obtener la probabilidad de error de tipo I.

c) Calcular los nuevos puntos crıticos para x si se aumenta el tamano de la muestra a n = 49 manteniendoel mismo nivel de significacion.

d) Representar graficamente la funcion potencia para los valores de las longitudes medias 29.6, 29.8, 30,30.2 y 30.4.

6. Se pretende comparar la duracion de dos tipos de pilas alcalinas que se presentan en el mercado. Para ellose mide la duracion (en horas) de cinco pilas de cada marca elegidas al azar. Los datos recogidos se recogenen la siguiente tabla:

Marca 1 Marca 299 10896 10092 10596 10292 100

Se supone que la duracion de las pilas se comporta como una distribucion normal.

a) Construir un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de las duraciones medias de las pilas delas dos marcas. ¿Existen diferencias significativas entre las distintas marcas?

b) En caso afirmativo, ¿puede admitirse que la duracion media de la segunda marca supera a la de laprimera marca? (Realizar un contraste de hipotesis para responder a esta pregunta).


1. En un estudio sobre la resistencia de un cierto tipo de aleaccion se selecciona una muestra de barrasconstruidas con diferentes concentraciones de un determinado metal y se anota el numero de torsionesnecesarias hasta que se rompen, obteniendose los siguientes resultados:

X/Y 25-55 55-65 65-955 4 2 210 1 4 015 5 2 0

donde X representa la concentracion del material e Y el numero de torsiones hasta la ruptura.

a) ¿Cual es el numero medio de torsiones necesarias hasta que se rompan las barras? ¿Y el mas frecuente?

b) Determinar el numero mınimo de torsiones que requiere el 50 % de las barras mas resistentes a laruptura.

c) De entre las barras con una concentracion superior a 5, calcular el porcentaje de estas que necesita 50torsiones como maximo para romperse.

d) ¿Que distribucion es mas homogenea respecto a su valor medio?

2. Se ha observado el crecimiento de una poblacion de bacterias, obteniendose los datos siguientes, referidosa una unidad de volumen:

Dıas de cultivo (t) 1 2 3 4 5 6Millones de bacterias (y) 1.6 4.5 13.8 40.2 125 300

a) Determinar la curva exponencial y = aebt que representa dicho crecimiento.

b) Para estos datos se le ajusta otra funcion no lineal con varianza residual 155.67 ¿Es este ajuste mejorque el ajuste exponencial?

3. Se considera una poblacion en la que el 68.5 % de las familias tienen automovil, el 20 % tienen ingresossuperiores a 3,000 euros y el 50 % tienen ingresos entre 1,500 y 3,000 euros. De las que tienen automovil,el 23.35% tienen ingresos superiores a 3,000 euros, y de las que no tienen automovil, el 39.68% tieneningresos entre 1,500 y 3,000 euros. Se realiza una encuesta al azar en dicha poblacion. Se pide:

a) Probabilidad de que se seleccione una familia que tenga automovil o sus ingresos sean superiores a3,000 euros.

b) Probabilidad de que se seleccione una familia con automovil y con ingresos entre 1,500 y 3,000 euros.

c) ¿Que tanto por ciento de familias que no tienen automovil poseen ingresos superiores a 3,000 euros?

d) Obtener el porcentaje de familias con ingresos inferiores a 1,500 euros que tienen automovil.

4. En una determinada granja se sabe por experiencias anteriores que el 40% de las gallinas ponen menos de3 huevos al dıa. Se ha tomado una muestra de 10 gallinas.

a) Determinar la distribucion de probabilidad del numero de gallinas que ponen menos de 3 huevos aldıa. Obtener la media y la varianza de dicha distribucion.

b) ¿Cual es la probabilidad de que 4 de ellas pongan menos de 3 huevos al dıa?

c) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de gallinas que ponen menos de 3 huevos al dıa sea superioral numero medio de gallinas que ponen mas de 2 huevos al dıa?

d) Si se hubiera considerado una muestra de 100 gallinas, ¿cual serıa la probabilidad de que menos de 35gallinas pongan menos de tres huevos al dıa?

5. Una central lechera recibe diariamente leche de dos granjas A y B. Se quiere estudiar la calidad de losproductos recibidos para lo cual se eligen dos muestras al azar de la leche suministrada para cada una delas granjas, se analiza el contenido de grasa y se obtienen los siguientes resultados:

Granja A n1 = 12 x= 0.305 s21=0.034

Granja B n2 = 16 y= 0.318 s22=0.027

¿Se puede considerar, bajo la hipotesis de normalidad, que los datos provienen de la misma poblacion conun nivel de significacion α=0.02?

Examen de febrero de 2006.

1. Se han observado 24 muestras de cierta especie de algas y se ha medido su grado de humedad, obteniendoselos siguientes resultados:

0.55 0.76 0.87 0.56 0.85 0.88 0.99 0.780.57 0.65 0.92 0.92 0.74 0.84 0.79 0.520.73 0.81 0.76 0.79 0.87 0.90 0.71 0.83

a) Agrupar los datos en intervalos de amplitud 0.1 y representar la distribucion de frecuencias en unatabla estadıstica.

b) Representar graficamente la distribucion de frecuencias. ¿Cual es el intervalo modal?

2. En un estudio sobre la resistencia de un determinado material se seleccionan 10 muestras de dicho materialcon diferentes concentraciones de una componente quımica. En la tabla adjunta se presentan los valoresobtenidos para las variables observadas.

Muestra Porcentaje de componente Resistencia1 25 67.352 21 59.583 19 55.44 41 89.45 26 70.56 22 62.57 24 66.598 39 87.59 35 82.6910 32 76.8

a) ¿En que distribucion la media es mas representativa? Razonar la respuesta.

b) Representar los datos en un diagrama de dispersion. ¿Existe relacion entre ambas variables? Razonarla respuesta.

c) Determinar la recta de mınimos cuadrados para predecir la resistencia en funcion del porcentaje decomponente quımica.

d) Estimar la resistencia cuando el material contenga un 23% de dicha componente quımica. ¿Es fiablela estimacion obtenida? Razonar la respuesta.

3. En una determinada explotacion agraria dedicada al cultivo de cierta fruta tropical se utilizan tres metodosdiferentes de riego por goteo, M1, M2 y M3. La probabilidad de que el metodo M1 funcione correctamentees 0.84. Si el metodo M1 falla empieza a funcionar el metodo M2 y si este falla entrara en funcionamientoel metodo M3. La probabilidad de que funcione correctamente el metodo M2 si M1 no funciona es 0.79 yla de que funcione M3 si M1 y M2 no funcionan es 0.94.

a) Determinar la probabilidad de que no funcione el riego por goteo.

b) Determinar la probabilidad de que al menos uno de los metodos funcione correctamente.

4. En una empresa vitivinıcola se utilizan tres maquinas para cortar el corcho destinado a usarse en las botellasde vino. La maquina A produce el 25% de los corchos, la maquina B el 45% y la maquina C el resto. Laprobabilidad de que la maquina A produzca corchos con un diametro aceptable es 0.9, la probabilidad deque en la maquina B no se obtengan corchos con diametro aceptable es 0.03 y la probabilidad de que elcorcho producido por la maquina C tenga un diametro aceptable es 0.95.

a) Se selecciona al azar un corcho producido por las tres maquinas. Calcular la probabilidad de que elcorcho seleccionado tenga un diametro aceptable.

b) Si se sabe que el corcho seleccionado no ha tenido un diametro aceptable, ¿cual es la probabilidad deque haya sido producido por la maquina A?

c) La maquina C se averıa y deben utilizarse las maquinas A y B para la produccion de corcho. Sila produccion asignada a la maquina C se reparte de manera homogenea entre A y B, ¿cual serıala probabilidad de que seleccionado un corcho al azar de la produccion total tenga un diametro noaceptable?

5. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar la edad de cierta especie de conıferas atendiendo alnumero de anillos en la seccion transversal. Se sabe por experiencias anteriores que el numero de anillos sedistribuye segun una distribucion normal de media 20.

a) Sabiendo que el 95 % de los arboles en estudio presenta menos de 40 anillos, calcular la varianza dela distribucion.

b) Si un arbol se considera anciano si el numero de anillos es superior a 33, calcular la probabilidad deque un arbol elegido al azar sea considerado anciano.

c) Se extrae una muestra de arboles de tamano 12. Calcular la probabilidad de que 3 de ellos no seanancianos.

d) ¿Cual es el numero medio de arboles no ancianos en un bosque con 1,750 arboles? Dar una medidade dispersion del numero de arboles no ancianos en el bosque.

6. La longitud media de los tornillos fabricados por una empresa debe ser de 30 mm. Periodicamente seseleccionan al azar 36 tornillos y se mide su longitud. Se supone que la longitud de los tornillos se comportacomo una distribucion normal con desviacion tıpica 0.6 mm.

a) Calcular la probabilidad de que la longitud media de los tornillos seleccionados y la longitud mediapoblacional difieran en menos de 0.08 mm.

b) Si en una muestra de 36 tornillos se obtuvo una longitud media x = 29.78, determinar un intervalo deconfianza para la verdadera longitud media de los tornillos a un nivel de confianza del 95 %. ¿Puedesuponerse que dicha longitud es de 30 mm.?

c) Utilizando los datos muestrales del apartado anterior, ¿puede admitirse que dicha longitud mediaes inferior a 30 mm.? Para responder a esta pregunta realizar un contraste de hipotesis al nivel designificacion α =0.01. Si se considera el nivel de significacion α =0.02, ¿que conclusion se obtiene?

d) ¿De que tamano mınimo habrıa que seleccionar la muestra para poder afirmar, con probabilidad 0.9,que la longitud media muestral diferira de la verdadera longitud media en menos de 0.2 mm.?


1. En la tabla adjunta se presentan los datos relativos al consumo de agua de 35 viviendas de una urbanizaciondurante la temporada estival.

Consumo (en m3) Numero de viviendas0-25 425-35 1035-50 850-60 1060-65 3

a) Representar graficamente la distribucion de frecuencias mediante un histograma. ¿Que consumo seobtuvo con mayor frecuencia?

b) Calcular el consumo medio de agua.

c) ¿En cuantas viviendas el consumo supero los 57 m3 de agua?

2. Se analizaron los datos relativos a dos variables X e Y , obteniendose la recta de regresion de Y /X:y = 1.2x + 4.6.

a) Obtener la recta de X/Y sabiendo que r2 = 0.8 y x = 2.

b) ¿Serıa posible que en este modelo el coeficiente de correlacion fuera negativo? Justificar la respuesta.

3. En una determinada explotacion agraria de 10,000 hectareas se cultivan tres variedades de remolacha R1,R2 y R3; 4,500 hectareas con la variedad R1, 3,500 con la variedad R2 y 2,000 con la variedad R3. Se sabeque la probabilidad de que en la variedad R1 aparezca un tipo de parasito es 0.85, la probabilidad de quela variedad sea R2 y que no tenga este tipo de parasito es 0.15 y la probabilidad de que en la variedad R3no aparezca este tipo de parasito es 0.04.

a) Calcular la probabilidad de que en cada variedad aparezca este tipo de parasito.

b) Calcular la probabilidad de que en la explotacion se reproduzca este tipo de parasito.

c) Se recolecto parte de la cosecha y se detecto la presencia de este tipo de parasito, ¿cual es la proba-bilidad de que la remolacha recolectada proceda de la variedad R3?

4. El numero de solicitudes presentadas en la ventanilla de un banco durante un dıa se comporta como unadistribucion de Poisson de media 5.

a) ¿Cual es la probabilidad de que al menos se presenten 7 solicitudes durante un dıa?

b) Calcular la probabilidad de que se reciban 10 solicitudes exactamente en dos dıas.

5. La longitud de los tornillos fabricados por una empresa se comporta como una distribucion normal condesviacion tıpica 0.6 mm. Sabiendo que el 97.5 % de los tornillos tiene una longitud inferior a 31.176 mm.

a) Obtener la longitud media de los tornillos.

b) Si se consideran inaceptables aquellos tornillos con una longitud inferior a 29.4 mm., ¿que porcentajede tornillos fabricados por la empresa se consideran inaceptables?

c) Se selecciono una muestra formada por 10 tornillos. Calcular la probabilidad de que haya al menos untornillo inaceptable en la muestra.

d) Si se hubiera considerado una muestra de 100 tornillos, ¿cual serıa la probabilidad de que al menossean inaceptables el 20 % de los tornillos seleccionados?

6. El diametro de la fruta recolectada en una explotacion agraria se comporta aproximadamente normal condesviacion tıpica 2.85 cm.

a) Se seleccionan 25 piezas de fruta y se considera su diametro medio. Determinar la probabilidad de queel diametro medio de la muestra difiera del verdadero diametro medio de la poblacion en menos de1.14 cm.

b) Determinar el tamano muestral necesario para obtener un error de estimacion del diametro medio dela poblacion inferior a 0.5 cm., a un nivel de confianza del 95 %.

7. Para revisar la calibracion de una bascula se pesa 10 veces repetidas un patron cuyo peso es igual a 5 Kg.Suponiendo que los resultados de los diferentes pesos son independientes entre sı y que el peso en cadarepeticion se distribuye segun una distribucion normal con desviacion tıpica de 0.15 kg.

a) Construir un procedimiento de prueba para contrastar la hipotesis de que la bascula esta correctamentecalibrada a un nivel de significacion de α =0.05.

b) Para las siguientes mediciones:5.02 5.14 5.13 5.1 5.11 5.19 5.37 5.02 4.97 5.01

¿Que se puede concluir?

c) Obtener el p-valor e interpretarlo.


1. Se desea estudiar la relacion existente entre el volumen de agua alcanzado en un embalse y la precipitacioncaıda en la zona durante 100 anos. Para ello se dispone de los siguientes datos:

X \ Y 100-150 150-200 200-30050-60 16 8 1060-80 4 10 1280-100 4 12 4100-110 0 14 6


a) Calcular el porcentaje de anos en que el volumen de agua esta por encima del volumen medio.

b) Si se considera un ano seco cuando el numero de litros por m2 caıdos es inferior a 160, ¿en cuantosanos hubo sequıa?

c) De entre todos los anos en los que el numero de litros por m2 caıdos es inferior a 200, ¿cual es elvolumen de agua mas frecuente? Representar el histograma de dicha distribucion.

2. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar el crecimiento de una poblacion de bacterias. Paraello, consideraron los datos de la tabla adjunta, referidos a una unidad de volumen.

Dıas de cultivo (t) 1 2 3 4 5 6Millones de bacterias (y) 1.6 4.5 13.8 40.2 125 300

a) Ajustar a estos datos una funcion exponencial del tipo y = AeBt.

b) Para estos datos, se realizo otro ajuste, obteniendose una varianza residual de 155.67 ¿Es este ajustemejor que el ajuste exponencial?

3. Una determinada explotacion agraria dedicada al cultivo de cierta fruta tropical dispone de tres metodosdiferentes de riego por goteo, M1, M2 y M3. En primer lugar, se activa el metodo M1. Si este falla, empiezaa funcionar el metodo M2 y si fallara este ultimo entrarıa en funcionamiento el metodo M3. Se sabe quela probabilidad de que el metodo M1 funcione correctamente es de 0.84. La probabilidad de que funcionecorrectamente el metodo M2 si M1 no funciona es 0.79 y la de que funcione M3 si M1 y M2 no funcionanes 0.94.

a) Calcular la probabilidad de que no funcione el sistema del riego por goteo.

b) ¿Cual es la probabilidad de que al menos uno de los metodos funcione correctamente?

4. De campanas anteriores, una cooperativa agrıcola dedicada al cultivo de naranjas sabe que el 5 % delas naranjas que llegan a la cooperativa no se puede utilizar para la exportacion porque su diametro esexcesivamente pequeno.

a) Determinar el numero medio de naranjas no destinadas a la exportacion que se pueden esperar en unamuestra de 10 naranjas. ¿Y en una muestra de 150 naranjas?

b) ¿Cual es la probabilidad de encontrar 5 naranjas no destinadas a la exportacion cuando inspeccionamosun lote de 20 naranjas?

c) Calcular la probabilidad de que en 250 naranjas se encuentren entre 227 y 244 naranjas que se puedanutilizar para la exportacion.

5. En la publicidad de un producto dietetico lıquido se afirma que si se emplea durante un mes se produce unaperdida promedio de 3 kg. Ocho personas utilizaron el producto durante un mes, obteniendose los siguientesvalores para el peso antes y despues de utilizar dicho producto.

Peso inicial 63 101 95 98 55 43 50 87Peso final 61 95 92 97 50 41 46 83

a) Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 % para la perdida de peso promedio.

b) ¿Los datos apoyan la afirmacion realizada en la publicidad? (Para responder a esta pregunta formularun constraste de hipotesis).

Examen de febrero de 2007.

1. Un grupo de investigadores esta interesado en estudiar la relacion que existe entre el grado de humedad quepresenta cierta especie de algas y la profundidad a la que crecen las plantas. Para ello se tomaron muestrasen las que se observaron las dos caracterısticas en estudio, obteniendose los siguientes datos:

X / Y 0.5-0.75 0.75-0.8 0.8-0.980-5 6 4 05-15 5 7 315-20 5 10 1520-30 2 5 13


a) Esta especie de algas presenta propiedades curativas contra cierta enfermedad si el grado de humedades superior a 0.75.

1) Representar mediante un histograma la distribucion de las algas con esta propiedad.

2) Determinar la profundidad mas frecuente a la que fueron encontradas las algas con dichaspropiedades curativas.

b) ¿En que porcentaje de muestras se obtuvo un grado de humedad superior a 0.70?

2. Una empresa desea realizar un estudio sobre la influencia de las campanas publicitarias en sus cifras deventas. Para ello dispone del gasto destinado a publicidad y sus ventas en los ultimos seis anos.

Anos Gastos en publicidad Ventas2001 5 10002002 5.6 12702003 6.4 23102004 6.6 29002005 7.2 44002006 7.6 5500

X: gastos en publicidad (en miles de euros), Y : ventas (en miles de euros).

a) Ajustar a estos datos una funcion del tipo Y = aebx.

b) Utilizando el modelo ajustado en el apartado anterior, obtener una prediccion para las ventas que seobtendran en un ano cuyo gasto en publicidad fue de 7000 euros.

3. En una empresa vitivinıcola se utilizan dos maquinas de prensado, A y B. La probabilidad de que la maquinaA funcione correctamente es 0.93. Si se produce una averıa en la maquina A empieza a funcionar la maquinaB. La probabilidad de que la maquina B funcione correctamente si la maquina A no funciona es de 0.86.

a) Calcular la probabilidad de que no funcione la maquinaria para el prensado.

b) Calcular la probabilidad de que al menos una de las maquinas funcione adecuadamente.

c) Si el proceso de prensado se realiza satisfactoriamente se obtiene una ganancia de 25,000 euros.Sabiendo que la puesta en marcha y el mantenimiento de cada maquina de prensado tiene un costede 5,000 euros, obtener

1) La funcion de probabilidad del beneficio del proceso.

2) El beneficio esperado del proceso.

4. El diametro de las naranjas producidas en una determinada explotacion agrıcola sigue aproximadamenteuna distribucion normal con desviacion tıpica 0.85 cm. Para una muestra aleatoria simple de tamano 40de la produccion se obtuvo un diametro medio x=8.25 cm. Determinar un intervalo de confianza para eldiametro medio de las naranjas de la produccion al nivel de confianza del 98 %. ¿Que tamano muestralserıa necesario para reducir a la mitad la amplitud del intervalo obtenido considerando el mismo nivel deconfianza?

5. Para distintos contrastes de hipotesis realizados con Statistix se han obtenido los p-valores siguientes:

a) 0.00014

b) 0.53

c) 0.026

d) 0.19

Para cada uno de estos casos, determinar si se rechaza la hipotesis nula H0 para los niveles de significaciondel 10 %, 5 % y 1%.

6. En una explotacion agrıcola estudian introducir un nuevo sistema de abono para mejorar su produccionmedia establecida actualmente en 42 Tn por parcela. Se estima que el cambio no sera rentable si dichaproduccion media no supera las 50 Tn. Se utilizo el nuevo sistema de abono en 36 parcelas y se obtuvouna produccion media de 50.5 Tn, no observandose ningun cambio apreciable en la dispersion que estabaestablecida en σ=1.25 Tn. ¿Se debe efectuar el cambio del sistema de abono?

ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADA Curso Acad´emico ...

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