SALINAS AQUIJE T.W.

ASÍNTOTAS

Definición de una asíntota Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y

tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas.

Las asíntotas de una función pueden ser:

Verticales Horizontales Oblicuas

Asíntotas curvilíneas

Tipos de asíntotas

x = cy

x

Asíntotas Verticales

x = cy

x

Tipos de asíntotas

y = L

y = f(x)

y

x

y = L

y = f(x)

y

x

Asíntotas Horizontales

Tipos de asíntotas

Asíntotas Oblicuas

y

x

y = ax + b

Asíntotas verticales

)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

)(lim xfcx

Ejemplo:

2

1lim

2 xx

2

1lim

2 xx

2

1)(

xxf

La recta x = 2 es una asíntota vertical

Asíntotas horizontales

Lxfx

)(lim Lxfx

)(lim

La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

Ejemplo:

1

2)(

x

xxf

21

2lim

x

xx

21

2lim

x

xx

La recta y = 2 es una asíntota horizontal

Asíntotas oblicuas

ax

xfx

)(lim

ax

xfx

)(lim

baxxfx

))((lim

La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

a)

b) baxxfx

))((lim

Ejemplo:

1

2)(

2

x

xxf

22

lim)(

lim2

2

xx

x

x

xfxx

2)21

2(lim))((lim

2

xx

xaxxf

xx

La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua

Asíntotas de funciones racionales

Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.

Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador.

Asíntotas Verticales

Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales

x

xxf

22

52

Dada la función

Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador:

2 + 2x = 0 x = -1

La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.

Asíntota verticalx = -1

Primero simplicamos la función.

9

121022

2

x

xxxf

3

42

33

423

9

121023

2

x

x

xx

xx

x

xx

La(s) asíntota(s) aparecen cuando el denominator (después de simplificar) es igual a 0.

x – 3 = 0 x = 3La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función.

Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales

6

52

xx

xxg

32

5

6

52

xx

x

xx

x

El denominador es igual a 0 cuando

x + 2 = 0 x = -2o

x - 3 = 0 x = 3

Esta función tiene dos asíntotas verticales, una x = -2 y la otra x = 3

Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):

El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.

El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b es el del denominador.

Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales

027

53lim

3

2

x

xxx

27

533

2

x

xxxf

027

53lim

3

2

x

xxx

Tiene una asíntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3).

La recta horizontal y = 0 es la asíntota horizontal.

Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales

5

6

975

536lim

2

2

xx

xxx

975

5362

2

xx

xxxg

El grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), luego la recta y = 6/5 es una asíntota horizontal.

La recta y = 6/5 es la

asíntota horizontal.

Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales

1

9522

3

x

xxxf

No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador.

Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas

1

9522

23

xx

xxxxf

Tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno más que el grado del denominador (2).

1952

lim)(

lim23

23

xxx

xxx

x

xfxx

31

943lim))((lim

2

2

xx

xxxxf

xx

La recta y = x + 3 es asíntota oblicua

Problemas

Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones:

2

2

2 15

7 10

x xf x

x x

Vertical: x = -2Horizontal : y = 1Oblicua: no tiene

22 5 7

3

x xg x

x

Vertical: x = 3Horizontal : no tieneOblicua: y = 2x +11