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ASOCIACION DE VARIABLESCONCEPTO DE ASOCIACION ENTRE VARIABLESEl anlisis estadstico de la asociacin (relacin, covarianza, correlacin) entre variables representa una parte bsica del anlisis de datos en cuanto que muchas de las preguntas e hiptesis que se plantean en los estudios que se llevan a cabo en la prctica implican analizar la existencia de relacin entre variables.

La existencia de algn tipo de asociacin entre dos o ms variables representa la presencia de algn tipo de tendencia o patrn de emparejamiento entre los distintos valores de esas variables. ejemploLa presencia de asociacin entre 2 variables, una, la puntuacin en un test de aptitud lingstica [0 a 150] y, la otra, la variable sexo [A: hombre; B: mujer]. Para un conjunto de datos de estas dos variables, la diferencia existente entre las distribuciones de frecuencias de la variable Aptitud lingstica condicionada a la variable Sexo:

Las puntuaciones en el test de aptitudes numricas sera el caso en que ambas distribuciones aparecieran superpuestas, poniendo de manifiesto que no hay diferencias en la distribucin de las puntuaciones del test en funcin del sexo.Midiendo la asociacin entre 2 variablesEL CASO DE DOS VARIABLES CATEGRICASQu se puede decir acerca de la asociacin entre las dos variables de la tabla de contingencia (Estado de nimo y Vivir en residencia)?

Para evaluar si ambas variables estn relacionadas hay que observar si la distribucin de los valores de una de las variables difiere en funcin de los valores de la otra, esto es, hay que comparar las distribuciones condicionadas de una de las dos variables agrupada en funcin de los valores de la otra. Si no hay relacin entre las variables estas distribuciones deberan ser iguales. Por ejemplo, podemos comparar las distribuciones de frecuencias absolutas de Estado de nimo condicionadas a vivir en una residencia (48, 42, 60) y a no vivir en una residencia (70, 105, 175).Midiendo la asociacin entre 2 variablesEL CASO DE DOS VARIABLES CATEGRICASQu se puede decir acerca de la asociacin entre las dos variables de la tabla de contingencia (Estado de nimo y Vivir en residencia)?

Para evaluar si ambas variables estn relacionadas hay que observar si la distribucin de los valores de una de las variables difiere en funcin de los valores de la otra, esto es, hay que comparar las distribuciones condicionadas de una de las dos variables agrupada en funcin de los valores de la otra. Si no hay relacin entre las variables estas distribuciones deberan ser iguales. Por ejemplo, podemos comparar las distribuciones de frecuencias absolutas de Estado de nimo condicionadas a vivir en una residencia (48, 42, 60) y a no vivir en una residencia (70, 105, 175).EL CASO DE DOS VARIABLES CATEGRICASEn nuestro ejemplo sobre Estado de nimo y Vivir en residencia, dado que la relacin es asimtrica y la variable explicativa es Vivir en residencia debemos comparar las distribuciones de Estado de nimo condicionadas a Vivir en residencia:Si no hubiera relacin entre ambas variables, las distribuciones de frecuencias relativas de Estado de nimo condicionadas a Vivir en residencia seran iguales a la distribucin marginal de la variable Estado de nimo, esto es:

EL CASO DE DOS VARIABLES CATEGRICASExisten diferentes ndices estadsticos orientados a resumir de forma cuantitativa la asociacin entre dos variables categricas. Aqu nos vamos a centrar en los dos siguientes:- El ndice ji-cuadrado de Pearson (2):El ndice 2 toma el valor 0 cuando dos variables son independientes, siendo mayor que 0 cuando exista asociacin entre ellas, tanto mayor cuanto ms intensa sea esa correlacin. Ahora bien, no tiene un lmite mximo, lo cual supone una dificultad a nivel interpretativo.S que puede utilizarse para comparar la asociacin entre variables en tablas de contingencia del mismo tamao (I x J) y con el mismo n.Muchos de los estadsticos que se han propuesto a posteriori a fin de evaluar la asociacin entre variables categricas se basan en el ndice 2.

EL CASO DE DOS VARIABLES CATEGRICAS- El coeficiente phi de Pearson ():Puede oscilar entre 0 y q1, siendo q el nmero de modalidades de la variable que tenga menos de ellas.En tablas de contingencia de 2 x 2 oscila entre 0 y 1, por lo que suele utilizarse en esta circunstancia principalmente en la prctica, caso en el que se han extendido las normas interpretativas sugeridas por Cohen a la hora de evaluar la intensidad de la asociacin (tamao del efecto) para este coeficiente: 0,3 => nivel bajo de asociacin; 0,3 < 0,5 => nivel medio de asociacin; > 0,5 => nivel alto de asociacin.

EL CASO DE DOS VARIABLES CATEGRICAS- El coeficiente de contingencia de Cramer (V de Cramer):El coeficiente V de Cramer oscila entre 0 (independencia) y 1, de modo que cuanto ms prximos a 1 sean los valores, ello indicar mayor intensidad en la asociacin de las variables.

Midiendo la asociacin entre 2 variablesEL CASO DE UNA VARIABLE CATEGRICA Y UNA CUANTITATIVA

De nuevo, el anlisis de este tipo de asociacin supone comparar las distribuciones condicionales de una variable para los distintos valores que toma la otra. Normalmente, se suele tomar como condicionada a la cuantitativa y como condicionante a la categrica, si bien, las conclusiones a las que llegaramos seran las mismas si se hiciese al revs. Si no hay diferencias entre las distribuciones condicionales, ello indicar que no hay asociacin entre ambas variables.ejemploEjemplo del caso en que se quiera analizar la asociacin entre las variables Nota en un examen de una asignatura [0 a 10] y Grupo en el que se est matriculado [1 a 6], disponindose de los datos de un total de 768 estudiantes de 6 grupos:

EL CASO DE UNA VARIABLE CATEGRICA Y UNA CUANTITATIVAA modo de ejemplo, las dos siguientes obtenidas para los datos anteriores con el paquete estadstico SPSS o, tambin, el diagrama de dispersin.

EL CASO DE UNA VARIABLE CATEGRICA Y UNA CUANTITATIVAEjemplo de diagrama de caja y bigotes con la distribucin de la variable Nota en un examen de una asignatura condicionada a la variable Grupo en el que se est matriculado:

EL CASO DE UNA VARIABLE CATEGRICA Y UNA CUANTITATIVAEjemplo de polgono de frecuencias superpuesto de las distribuciones de la variable n de bajas laborales en un grupo de trabajadores durante los ltimos 12 meses condicionadas al tipo de relacin laboral de los trabajadores. Recurdese que cuando el tamao de los grupos de la variable condicionante es desigual no se deben representar las frecuencias absolutas sino las frecuencias relativas o porcentajes condicionados, es decir, dividiendo la frecuencia absoluta por el tamao de cada uno de los grupos. Vase en este ejemplo que el grfico de la izquierda puede resultar engaoso al dar la sensacin de que ambas distribuciones son bastante diferentes, sin embargo, este efecto es debido a que el n de trabajadores fijos es muy superior al de trabajadores temporales. En el grfico de la derecha, donde se representan las distribuciones de frecuencias relativas condicionadas, se puede comprobar que ambas distribuciones son, en realidad, bastante similares.

EL CASO DE UNA VARIABLE CATEGRICA Y UNA CUANTITATIVA- El diagrama de medias:Ejemplo de diagrama de medias de la variable Nota en un examen de una asignatura condicionada a las variables Grupo en el que se est matriculado [1 a 6] y Asistencia regular a las clases [Si, No]:Existen diferentes ndices estadsticos orientados a cuantificar la intensidad de la asociacin entre una variable categrica y una variable cuantitativa. Aqu nos vamos a centrar en los siguientes:

EL CASO DE UNA VARIABLE CATEGRICA Y UNA CUANTITATIVA(1) Dada una variable categrica X dicotmica [a, b] y una variable cuantitativa Y, el ndice de asociacin d de Cohen se obtiene a travs de la siguiente expresin:Los valores que puede tomar d no estn acotados a un rango, pudiendo ser tanto positivos como negativos. Si las dos variables consideradas son independientes entonces d ser igual a 0, mientras que cuanto mayor sea la asociacin entre ellas, mayor ser el valor de d en trminos absolutos. Cohen sugiere las siguientes normas interpretativas, aunque el propio autor afirma que se deben utilizar slo en el caso que no se tenga ningn criterio sustantivo que sirva de base interpretativa: valores absolutos de d entre 0,2 y 0,5 indicaran una intensidad de la asociacin (tamao del efecto) baja; entre 0,5 y 0,8 media; mientras que a partir de 0,8, alta.

Midiendo la asociacin entre 2 variablesEL CASO DE DOS VARIABLES CUANTITATIVASSin embargo, dado el nmero tan amplio de distribuciones condicionales que se pueden llegar a obtener en este caso, es ms habitual analizar la asociacin directamente sobre un diagrama de dispersin, observando la disposicin de la nube de puntos que representa la distribucin conjunta de ambas variables. As, qu podramos decir acerca de la asociacin entre los 4 pares de variables cuyos diagramas de dispersin se muestran a continuacin?

EL CASO DE DOS VARIABLES CUANTITATIVASEn la cuantificacin de la asociacin entre 2 variables cuantitativas nos vamos a ceir al supuesto de que un modelo de relacin lineal subyace a la asociacin entre ambas. Subrayar que con frecuencia se obvia en los textos estadsticos que la relacin que se analiza es en realidad una relacin de tipo lineal. Los ndices ms utilizados en la prctica estadstica a la hora de analizar la intensidad o tamao del efecto de la relacin lineal entre dos variables son los tres siguientes:

- Al numerador de esta expresin se le conoce en la literatura estadstica como suma de productos cruzados (SPXY), por lo que la anterior expresin queda como: sXY = SPXY / n- Desarrollando algebraicamente la frmula de la covarianza se puede llegar a una frmula que se considera ms conveniente cuando el clculo de la misma se ha de realizar de forma manual:

EL CASO DE DOS VARIABLES CUANTITATIVASEjemplo para las variables Calificaciones en msica (X) y Calificaciones en matemticas (Y) obtenidas por un grupo de 10 nios.

EL CASO DE DOS VARIABLES CUANTITATIVAS(2) El coeficiente de correlacin producto-momento de Pearson (rXY)- Los inconvenientes de la covarianza por una parte, no tiene valores mximo y mnimo y, por otra parte, depende de las unidades de medida de las variables- se resuelven estandarizando este ndice al dividirlo por el producto de las desviaciones tpicas de ambas variables. Se obtiene as el conocido como coeficiente de correlacin de Pearson:

El coeficiente de correlacin de Pearson se interpreta de modo anlogo a la covarianza pero, al oscilar entre -1 y 1 como mximo, la interpretacin del mismo resulta ms intuitiva a la vez que facilita el establecimiento de comparaciones entre los coeficientes obtenidos para conjuntos de datos distintos.