Aspectos Da Matemática Chinesa_O Nove Capítulos

A MATEMTICA NO MUNDO RABE

Profa. Ana Carolina C. Pereira

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EXPANSO RABE

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O IMPRIO BIZANTINO (IMPRIO ROMANO DO ORIENTE)

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Aps a diviso do Imprio Romano, o imperador Constantino, do Imprio Oriental, escolheu Bizncio para se tornar a capital romana. Bizncio estava localizada entre a Europa e a sia, prxima do Mar Negro e do Mediterrneo.

O IMPRIO BIZANTINO (IMPRIO ROMANO DO ORIENTE)

Constantino trouxe arquitetos, artesos e obras de arte de vrias regies do Imprio para dar cidade uma impresso de esplendor: A cidade de Constantino Constantinopla.

Constantinopla foi formada pela fuso de elementos gregos, orientais, latinos e cristos, apresentando uma populao heterognea e um grande nmero de imigrantes estrangeiros.

A cidade adotou a lngua grega e a religio crist. O fim do Imprio Romano do Oriente veio em 1453,

com a invaso de Constantinopla pelos turcos otomanos.

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MUNDO RABE

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A MATEMTICA RABE

Os rabes tiveram um papel importantssimo no campo da cultura e da cincia, especialmente na Matemtica.

A grande extenso do Imprio Islmico permitiu aos estudiosos rabes entrar em contato com as mais variadas culturas.

Seus sbios estudaram e traduziram as obras dos filsofos e matemticos gregos, preservadas na clebre Biblioteca de Alexandria, no Egito.

Se no fossem as tradues para o rabe, essas obras teriam sido perdidas para sempre com a destruio daquela Biblioteca, no final do sculo VII.

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A MATEMTICA RABE

Normalmente considera-se a Matemtica rabe no como a matemtica do povo rabe, mas a Matemtica escrita em rabe.

Mas o rabe s passou a ser a lngua oficial de todo o imprio islmico, quando, em 762, o califa abssida al-Mansur (754-775), transferiu a capital para Bagd, cidade por ele criada.

Tanto al-Mansur como o califa Harun ar-Rasid(786-809) promoveram o desenvolvimento das cincias da natureza e da matemtica.

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CASA DA SABEDORIA

Sob o reinado de ar-Rasid uma importante biblioteca, contendo diversos manuscritos provenientes do imprio Bizantino.

Nessa altura numerosos sbios e tradutores, de diversas religies, e vindos de diversas regies, agruparam-se em Bagd.

Fundou uma espcie de academia, Bayt al-Hikma, a Casa da Sabedoria, cuja principal funo era a traduo, pelos sbios, dos textos gregos e indianos.

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CASA DA SABEDORIA

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Casa da Sabedoria ou Casa do Saber, Bagd, Iraque. Teve seu auge em meados do sculo IX, onde se fazia a traduo das obras dos grandes

filsofos gregos e das obras vindas da Europa e da sia. Os estudiosos, desta poca, vinham para se especializar em medicina, fsica, astronomia,

meteorologia, matemtica e todos os outros domnios.

Casa da Sabedoria (Bayt al-Hikma)

Comparvel ao antigo museu de Alexandria;

Segundo alguns registros, deve ter sido uma das primeiras instituies especializadas em tradues;

A casa da Sabedoria, alm da biblioteca, possua um observatrio astronmico, muito bem equipado;

Durou durante cerca de 200 anos;

Foi destruda durante o cerco de Bagd, em 1258, pelos mongis. Perto de 400 000 manuscritos foram resgatados por Nasir al-Din al-Tusi antes do cerco,9 e levados para Maragheh.

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Os conhecimentos astronmicos eram,

alis, de grande importncia para a

religio islmica, no s porque permitiam a determinao do incio

do Ramad, como permitiam saber a

direo de Meca, para onde os muulmano

deveriam virar-se para rezar.


O Ramad o nono ms do calendrio islmico no qual se acredita que o profeta Maom recebeu a revelao da parte de Deus, ou Al, dos primeiros versos do Alcoro.

TRADUES RABES

Inmeros trabalhos de astronomia, medicina e matemtica gregos foram laboriosamente traduzidos para o rabe e assim preservados at que posteriormente intelectuais europeus tivessem condies de retraduzi-los para o latim ou outras lnguas;

As primeiras tradues para rabe so de medicina e de astronomia.

Se no fora o trabalho dos intelectuais rabes a grande parte da cincia grega e hindu teria se perdido irremediavelmente ao longo da baixa idade mdia;


TRADUES RABES

Muhammad ibn Ms al-Khowrizm escreveu um tratado de lgebra e um livro sobre os nmeros hindus;


Califa Harun al-Rashid (reinado 786 a 808) patrocinou a traduo de vrios clssicos gregos para o rabes entre eles parte dos Elementos de Euclides;

TRADUES RABES

Califa al-Mmn (reinado 809 a 833) o Almagesto foi convertido para o rabe e se completou a traduo dos Elementos de Euclides;

Tbit ibn Qorra (826-901) a primeira traduo rabe realmente satisfatria dos Elementos; Tradues de Apolnio, Arquimedes, Ptolomeu, e Teodsio

figuram entre as melhores que j se fizeram. De importncia especial so suas tradues dos livros V, VI,

VII das Seces Cnicas de Apolnio, pois somente atravs delas esses Livros se preservaram.

Escreveu sobre astronomia, cnicas, lgebra elementar, quadrados mgicos e nmeros amigveis.

Entre outros personagens rabes.


ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO VIII IX)

AL-FARGHANICorrigiu construes geomtricas doastrolbio e escreveu um comentrio sobre oAlmagesto, possibilitando, em rabe, umrelato completo da astronomia Ptolomaica.

THABIT IBN QURRAMatemtico e astrnomo, escreveu sobre orelgio de sol e fez um cuidadoso estudosobre o movimento aparente do Sol atravsdo cu, observando sua acelerao edesacelerao em diferentes pocas do ano.


ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO IX)

AL-BATTANI Fez observaes astronmicas s margens do

Eufrates, observou eclipses e - seu trabalho mais importante formulou o Kitab al-Zij, ou Livro de tabelas astronmicas.

Al-Battani se preocupava essencialmente com a acurcia de suas observaes, deixando suas explanaes sobre a teoria planetria, por vezes, incompleta.


Props que Ptolomeu se equivocara ao supor que o ngulo formado entre a eclptica e o equador celeste (a obliqidade da eclptica) permanecia sempre o mesmo e que o apogeu solar era fixo. Suas correes de erros de observao do Almagesto foram apreciveis.

ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO X)

AL-HAYTHAM Novamente o uso, por Ptolomeu, do equante, foi posto em xeque. Al-Haytham criticou a teoria de Ptolomeu sobre o movimento da Lua, alegando que no fazia sentido e sustentou a idia de que os equvocos de Ptolomeu deviam-se ao fato de ele imaginar o movimento em crculos perfeitos como base de todos os movimentos astronmicos.


ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO X)

ABUL IBN-YUNUS Lembrado principalmente por seu Zij,

As grandes tabelas astronmicas de Al-Hakim, o qual contava com 81 captulos e continha duas vezes mais tabelas que o Zij de Al-Battani.

Produziu um guia astronmico para as horas de prece com alta preciso e contendo mais de 10000 entradas da posio do Sol por todo o ano.

Suas tabelas foram utilizadas no Cairo at o sculo XIX.


ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO XI)

OMAR KHAYYAM Astrnomo e matemtico,

trabalhou no observatrio local em Ispahan, na Prsia, onde produziu seu prprio conjunto de Zij, as Tabelas Malikshah.

Khayyam props uma reforma no calendrio que apresentaria um erro de no mais que um dia em 5000 anos.


Esta uma pgina de um manuscrito da lgebra ( Maqalah fi al-jabra wa-al muqabalah ) de Omar Khayyam(1048-1131).


ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO XI)

AL-ZARQALI

Astrnomo e artfice, fabricava relgios e instrumentos astronmicos.

Ficou conhecido por seu Zij, As tabelas de Toledo, por seu livro sobre o efeito de trepidao, mas principalmente por seus tratados sobre projeo da esfera em superfcie plana.


ASTRONOMIA ISLMICA (SCULO VIII IX)

NASIR AL-DIN AL-TUSI (1201 1274)Astrnomo e matemtico, lembrado principalmente porter inventado o astrolbio linear, que consistia numa vara demadeira graduada com uma linha chumbada e uma cordaum astrnomo e matemtico persa. Ele conhecido por terescrito o primeiro grande trabalho sobre trigonometriapuro, bem como para seus comentrios sobre obras gregas.dupla. Com seu invento, mediu as altitudes das estrelas,bem como a direo de Meca.

JABIR IBN-AFLAH - GEBERConhecido por ter publicado a obra Correo ao Almagesto,no qual comenta principalmente sobre as posies deMercrio e Vnus.


Esta uma pgina de uma edio rabe depois de seu comentrio sobre o de Euclides

Elements, uma pgina de lidar com mtodo da exausto de Euclides. Nasir al-

Din al-Tusi(1201 -1274)


ASTROLBIO LINEAR, CRIADO POR AL-TUSI, NO SCULO XII


MATEMTICA ISLMICA

A matemtica islmica foi o principal meio pelo qual os algarismos hindus foram transmitidos para o Ocidente.

Foi atravs da cincia rabe que foi introduzida no estudo da matemtica duas tcnicas fundamentais para o desenvolvimento cientfico: a lgebra e a trigonometria.

Thabit ibn Qurra traduziu para o rabe todos os trabalhos de Arquimedes e escreveu um livro sobre geometria, intitulado Livro dos dados.

Al Battani inseriu a proporo trigonomtrica seno, bem como a sua proporo inversa, cosseno. Por sua simplicidade de notao, tais propores viriam a revolucionar a trigonometria. Fez o uso da trigonometria e da projeo de figuras de uma esfera para um plano para solucionar problemas astronmicos e topolgicos.


AL-KHWARIZMI

Sabe-se muito pouco da vida de Abu Abdullah Mohammed ben Musa al-Khwarizmi.

No se sabe ao certo quando nasceu, provavelmente por volta de 780 e ter morrido entre 830 e 850.


AL-KHWARIZMI

O seu nome significa Mohammed, pai de Abdullah e filho de Moiss, de Khwarizmi. Tal fornece-nos a indicao de que ele, ou a sua famlia, era originrio de Khowarezm, a regio a sul do mar Aral, na altura parte da Prsia ocupada pelo rabes, atualmente parte do Uzbequisto.

Certo que foi um dos primeiros matemticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, em Bagd, durante o reinado do califa, rabe, al-Mamum(813-833).


AL-KHWARIZMI

Al-Khwarizmi escreveu tratados sobre Aritmtica, lgebra, Astronomia, Geografia e sobre o calendrio.

possvel que tenha escrito um tratado sobre o astrolbio e outro sobre relgios de sol, mas estes dois ltimos no chegaram aos nossos dias.

Tanto o tratado sobre a aritmtica como o sobre a lgebra constituram o ponto de partida para trabalhos posteriores e exerceram uma forte influncia no desenvolvimento da matemtica, principalmente da aritmtica e da lgebra.


AL-KHWARIZMI

A verso original do pequeno tratado de aritmtica de al-Khwarizmiencontra-se perdida, mas este chegou a Espanha e existem tradues, do sculo XII, para latim.

No seu texto al-Khwarizmi introduz os nove smbolos indianos para representar os algarismos e um crculo para representar o zero.

Depois explica como escrever um nmero no sistema decimal de posio utilizando os 10 smbolos.


Uma pgina da obra lgebra de al-Khwrizm

AL-KHWARIZMI

Descreve as operaes de clculo (adio, subtrao, diviso e a multiplicao) segundo o mtodo indiano e explica a extrao da raiz quadrada.

Depois do clculo com nmeros inteiros trata o clculo com fraes. No entanto, expressa-as, tal como os Egpcios, como a soma de fraes unitrias.

De acordo com Youschkevitch, existem trs textos, em latim, do sculo XII, que podem ser tradues do tratado de aritmtica de al-Khwarizmi.


HISAB AL-JABR W'AL-MUQABALA

tratado de lgebra escrito por Al-Khwarizmi data de cerca de 830;

uma possvel traduo seria o clculo por completao (ou restaurao) e reduo;

Al-jabr a operao que consiste em adicionar termos iguais a ambos os membros da equao de forma a eliminar os termos com coeficiente negativo e al-muqabala a operao que se faz de seguida e que consiste em adicionar os termos semelhantes.


Al-Khwarizmi diz-nos, na introduo da sua lgebra, com o ttulo , que o califa al-Mamum o encorajou a escrever um pequeno trabalho sobre o clculo pelas regras de completao e reduo, confinando-o ao que mais simples e mais til na aritmtica, tais como as que os homens constantemente necessitam no caso das heranas, partilhas, processos judiciais, e comrcio, e em todas os seus negcios com outros, ou quando a medio de terras, a escavao de canais, clculos geomtricos, e outros coisas de vrias espcies e tipos esto envolvidos ...


CARACTERSTICAS

Seu livro composto por trs partes.

A primeira sobre a lgebra, que precede um breve captulo sobre os transaes comerciais;

A segunda sobre a geometria e a terceira parte sobre as questes de heranas.

No seu livro al-Khwarizmi no usa qualquer smbolo, nem sequer os smbolos que descrever posteriormente na sua aritmtica.


O livro foi, tambm, traduzido para latim, no sculo XII, mas essas tradues no incluam a segunda e a terceira partes.

Robert de Chester, na sua traduo para latim, de 1140, traduz o tratado de lgebra de al-Khwarizmi com ttulo Liber algebrae et almucabala, portanto lgebra deriva da traduo latina de al-jarb.


Excerto de uma pgina da lgebra

da edio de Rosen, 1831

ARITMTICA E LGEBRA

Escreviam todos os nmeros em palavras;

No se descobriu nenhum trao do uso do baco entre os rabes antigos;

A primeira aritmtica rabe que se conhece a de al-Khowrizm; Essa aritmtica geralmente ensinavam regras para

efetuar clculos modeladas nos algoritmos hindus.

Regra de trs

Outros trabalhos


GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA

O papel importante desempenhado pelos rabes em geometria foi mais a preservao do que descoberta;

Abl Wef mostrou como localizar os vrtices do poliedro regular na esfera que o circunscreve, com um compasso de abertura fixa.

Omar Khayyam reduo geomtrica de equaes cbicas; Nasr ed-dn o postulado das paralelas Al-Battn chegou lei dos cossenos para um triangulo

esfrico obliqungulo, ou seja, cos a = cos b.cos c + sem b.sen c.senA E a frmula cos B = cos b.sen A


OBSERVAES

Como refere Victor Katz, no possvel escrever uma histria completa da matemtica rabe, uma vez que muitos manuscritos ainda no foram estudados ou mesmo nunca foram lidos.

Esta situao ainda mais complicada quando o que se pretende estudar a transmisso e a originalidade de problemas do quotidiano, uma vez que alguns dos manuscritos j estudados contm partes com problemas deste tipo que no foram estudados.


OBSERVAES

Katz referia, ainda, como uma dificuldade suplementar, as dificuldades polticas que no permitiam o acesso a muitas colees importantes.

Espera-se que, com a guerra no Iraque e o conseqente saque e destruio da biblioteca em Bagd, estas colees no tenham desaparecido para sempre.


RESOLUO DA FRMULA DE

RABE

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A MATEMTICA INDIANAProfa. Dra. Ana Carolina C Pereira

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Taj Mahal Uma das 7 maravilhas do mundo

CINCIA NA NDIA

Pouco se sabe sobre o desenvolvimento da matemtica hindu Falta registros histricos autnticos;

Fonte mais antiga: Runas de uma cidade de 2500 anos, encontrada em Mohenjo Daro, um stio localizado a nordeste da cidade de karachino Paquisto;

No temos documentos matemticos da poca.

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RUNA MOHENJO-DARO

CIVILIZAO HARAPPA

A evidencias do surgimento de uma civilizao na ndia, por volta de 2500 a.C. foram fornecidas pela descoberta das runas de duas cidades da regio: Mohenjo-Daro e Harappa, cidades-estado mais importantes deste perodo.

Uma de suas invenes pode ser sido a fabricao de tijolos cozidos, material que utilizava na construo das cidades e que tambm podia ser utilizado na construo de represas, galerias e canais.

CIVILIZAO HARAPPA

Possua uma escrita pictogrfica;

possvel que tenha havido a padronizao de pesos e medidas e a construo de grandes celeiros pblicos.

No se sabe o fim que esse povo teve, pois, aparentemente foi totalmente dizimado;

OS ARIANOS

Os arianos no possuam uma cultura to avanada quanto cultura Harappa, e eram pastores.

A escrita desaparece nesta regio e s reaparece em meados do primeiro milnio a.C. quando as cidades-estados foram reconstrudas.

Cultivo de arroz. A cultura ariana deste perodo estabeleceu a base da

religio hindu que era centrada na realizao de sacrifcios.

Para agradar os deuses tudo tinha que ser feito de forma precisa a exatido matemtica era vista como de extrema importncia.

RELIGIO ARIANA

Informao sobre os deuses hindus vm do Vedas, textos sagrados, usados nos rituais de sacrifcio que contm recitaes e cnticos executados durante os sacrifcios

Tambm contm explicaes de como utiliz-los nestas cerimnias alm das informaes sobre a importncia dos rituais.

Transmitida inicialmente pela tradio oral. Registro escrito por volta de 1000 a.C. Maior centro da populao indiana - por volta do

sculo VII a.C. 16 reinos se espalhavam pelo vale do Ganges.

O CONHECIMENTO MATEMTICO E AS FONTES

Perodo Pr-ariano

Perodo Vdico

Perodo Sulbasutras

PERODO PR-ARIANO

O modo como as cidades eram planejadas e as cermicas encontradas nas runas apresentam uma srie de crculos que se interceptam, quadrados, tringulos unidos pelo vrtice, retngulos com os quatro lados encurvados... So evidencias do conhecimento geomtrico deste povo.

PERODO VDICO

Os Vedas (por volta de 1500 a.C), conjunto de textos sagrados, os primeiros textos cientficos.

A matemtica desta poca designa-se por matemtica Vdica.

Por volta 500 a.C. a religio vdica comea a entrar em decadncia devido ao desenvolvimento das religies budista e jainista, acompanhada pelo declnio da Matemtica

Os matemticos desta escola, estudaram teoria dos nmeros, permutaes e combinaes e desenvolveram uma teoria do infinito.

PERODO VDICO

Altar do sacrifcio vdico, o Mahavedi que tem a forma de retngulos com os lados encurvados.

As regras ditadas pelo videntes vdicos para a construo dos vedi (altar de sacrifcio) e do agni (local do fogo sagrado) foram registrados nos Sulbasutras.

Tudo o que se conhece como matemtica Vdica est contido nos Sulbasutras.

SULBASUTRAS

A palavra Sulbasutra deriva das palavras sulba-sutra que significa regras da corda.

Eram escritos religiosos de interesse da histria da matemtica, pelo fato de abarcarem regras geomtricas para construo de altares que revela que eles tinham conhecimento dos ternos pitagricos.

Os sulbasutras, apndice dos Vedas, continham instrues de carter religioso para a construo de altares, utilizando cordas e palitos de bambu.

PERODO SULBASUTRAS

Os autores do Sulbasutras eram os sulbakaras e pouso se sabe sobre eles excetos que no foram apenas escribas, mas tambm sacerdotes-arteses que realizaram mltiplas tarefas.

Coleo conhecida no incio de sculo XIX.

As construes eram para desenhar figuras de uma rea dada, bem como figuras de rea igual a de outra.

As reas eram bem grandes, como por exemplo, se a altura de uma pessoa era a unidade, a rea dos altares era de cerca de 7,5 unidades quadradas - cerca de 25m2

PERODO SULBASUTRAS

Figuras dos altares Tartaruga e de um pssaro voando ou as de um pssaro voando com a cauda inclinada.

A rea dessas figuras eram calculadas por decomposio em partes, cujas formas geomtricas eram conhecidas e suas reas simples de calcular,

ALTARES

ALTAR DO FALCO

ALTARES CIRCULARES E QUADRADOS

ALTAR SARARATHACAKRACIT ALTAR SAMNHAYA

IMPORTANTES SULBASUTRAS

Os Sulbasutras mais importantes, do ponto de vista matemtico , so os Baudhayana, Manava, Apastamba e o Katyayana e foram escritos em versos, sendo o Apastamba mais conhecido. Baudahayana Subasutra (~800 a.C.)

Mnava Subasutra (~750 a.C.)

Apastamba Subasutra (~600 a.C)

Katyayana Subasutra(~200 a.C.)

CONTEDO GEOMTRICO CONTIDO NOS SULBASUTRAS

Resultados e teoremas geomtricos explicitamente formulados;

Procedimentos para construir diferentes formas de alteres;

Dispositivos algortmicos;

POSTULADOS DE EUCLIDES PRESENTES DO SULBASUTRAS

Uma reta pode ser desenhada de um ponto A a qualquer, para um ponto B qualquer;

Uma reta pode ser prolongada arbitrariamente alm de B;

Um crculo pode ser desenhado com algum ponto como centro e algum comprimento como raio.

Os Sulbasutras no contm provas das regras descritas neles.

CINCIA HINDUS

Do sculo V at ao XII vai o perodo clssico da civilizao hindu. Nesta poca deu-se um desenvolvimento do estudo das cincias, da filosofia, da medicina, da literatura e em particular da matemtica.

A matemtica e astronomia hindu chegaram aos rabes que a absorveram, refinaram e aumentaram antes de a transmitir Europa.


MATEMTICOS NOTVEIS HINDUS

Aryabata I (476-550)

Bramagupta (598-670)

Mahavira (800-870)

Bhaskara II (1114-1185)

ARYABHATA I (476-550)

Aryabhata nasceu na ndia em 476. foi o primeiro dos grandes

astrnomos e matemticos da era clssica da matemtica e astronomia indiana.

tambm conhecido por Aryabhata I, para o destingir de outro matemtico hindu como o mesmo nome que nasceu cerca de 400 anos mais tarde.

Aryabhata tinha 23 anos quando escreveu o seu tratado Aryabhatiya terminando-o no ano de 499.


TRATADO ARYABHATIYA

O livro contm 118 versos, e est dividido em quatro partes: i. As constantes astronmicas e a tabela do seno;

ii. Matemtica utilizada na computao (contagem);

iii. Diviso de tempo e regras para calcular as longitudes de planetas usando excntricos e epiciclos;

iv. A esfera armilar, regras relacionadas a problemas de trigonometria e a computao de eclipses.


MATEMTICA DA ARYABHATIYA

Aryabhata descreve o algoritmo kuttaka para resolver equaes indeterminadas.

Em tempos recentes, este algoritmo tambm tem sido chamado de algoritmo de Aryabhata.

Ele tambm criou um cdigo alfabtico singular para representar nmeros que agora chamado de cifra de Aryabhata.

Sua obra Aryabhata-Siddhanta, primeiro definiu o seno como o relacionamento moderno entre meio ngulo e meio corda, enquanto tambm definindo o cosseno, verseno, e seno inverso.

Uma das frmulas de trigonometria que Aryabhata desenvolveu foi sen(n + 1)x - sen nx = sen nx - sen(n - 1)x - (1/225)sen nx.

BRAHMAGUPTA (598?-670?)

Brahmagupta nasceu, provavelmente, em 598 a noroeste da ndia.

Foi astrnomo da escola de Ujjain.

Brahmagupta escreveu o seu tratado BrahmasphutaSiddhanta (sistema astronmico correto segundo Brahma), em cerca de 628, em Bhillamala (atual Bhinmal).


BRAHMASPHUTA SIDDHANTA

Este livro, que contm cerca de 20 captulos, sobretudo sobre astronomia (eclipses solares e lunares, conjugaes planetrias e posies dos planetas, ...), dois captulos so dedicados inteiramente matemtica: o dcimo segundo dedicado ao clculo aritmtico

(patiganita), incluindo neste captulo o estudo de sries e alguns tpicos sobre geometria, como o teorema de Pitgoras, reas (como a rea de um quadriltero cclico) e volumes;

o dcimo oitavo dedicado lgebra (kuttaka), contm solues de equaes indeterminadas do 1. e 2. graus.


BRAHMASPHUTA SIDDHANTA

Este seu trabalho foi traduzido para rabe no sculo VIII, em Bagd, e ficou famoso no mundo rabe como Sindhind.

Escreveu outro tratado sobre astronomia, em 665, Khanda Khadyaka, este foi igualmente traduzido para rabe no sculo VIII, e foi muito popular durante sculos.


MAHAVIRA (800-870)

Escreveu sobre Matemtica Elementar.

Escreveu o tratado Ganita-Sra-Sangraha.


TRATADO DE GANITA-SRA-SANGRAHA

Mahavira escreveu, no sculo IX, o tratado Ganita-Sra-Sangraha (Compndio do clculo essencial), o qual est dividido em 9 captulos: Terminologia (samguya) Operaes aritmticas (parikarma) Operaes com fraes (kalasavarna) Exemplos diversos (prakirnaka) Operaes envolvendo a regra de trs simples (thri-rasika) Problemas diversos (misraka) Operaes relacionadas com o clculo de reas (kshetra-vis-

thirma) Operaes relacionadas com escavaes (khata) Operaes relacionadas com sombras (chaya)


TRATADO DE GANITA-SRA-SANGRAHA - Captulo 1

PROBLEMA 3Diz-me, meu amigo, quanto ter uma pessoa por 3/8 de uma pala de gengibre seco, se obtm 4/9 de uma pana por 1 pala de gengibre?

PROBLEMA 10Quanto recebe uma pessoa por uma pala de madeira de sndalo se ela recebe 20/3 uma pana por 3/8 de uma pala?


TRATADO DE GANITA-SRA-SANGRAHA

CAPTULO 5: Operaes envolvendo a regra de trs simples (thri-rasika)PROBLEMA 19300 peas de seda Chinesa, de 6 hastas de comprimento, assim como de largura; do 0; tu que sabes o mtodo da proporo inversa, quantas peas so a medida de 5 por 3 hastas.

CAPTULO 9: Operaes relacionadas com sombras (chaya)PROBLEMA ??A sombra de um pilar de 12 hastas 1 [de altura], tem 24 hastas de medida. Nessa altura, aritmtico, qual ser a medida da sombra de um homem?


BHASKARA II (1114-1185)

Bhaskara nasceu em 1114, na ndia, numa terra chamada Vijalavida (da qual se desconhece a localizao) e morreu, provavelmente, em 1193, aos 79 anos.

O seu pai, Mahervara (1078 -?), foi astrnomo e o seu professor.

Depois de Bhskara, a matemtica hindu fez apenas progressos irregulares at os tempos modernos.


SIDDHANTA SIROMANI

Bhaskara escreveu o Siddhanta Siromani, aos 36 anos, em 1150.

As duas partes mais importantes do trabalho de Bhskara so Lilvati (bela) e Vjaganita (extrao de razes) que tratam de aritmtica e lgebra, respectivamente;

O seu manuscrito est dividido em quarto partes i. Lilavati (A Bela) sobre aritmtica;

ii. Bijaganita sobre a lgebra;

iii. Goladhyaya sobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste

iv. Grahaganita sobre a matemtica dos planetas.


SIDDHANTA SIROMANI

O seu livro foi usado em toda a ndia, tendo substitudo maior parte dos textos que eram utilizados at ento, como o do astrnomo indiano Lalla (720 - 790), mas s saiu as fronteiras da ndia no sculo XVI.

Nessa altura foi traduzido para persa por Faizi(1587). Foi este tradutor que introduziu a histria de que Lilavati era o nome da filha de Bhaskara.


HISTRIA DE LILAVATI

De acordo com essa histria, a partir do seu horscopo, Bhaskara tinha previsto o dia e a hora propcia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exata tinha

construdo um relgio, colocando um copo com um pequeno orifcio, por onde entrava gua, numa vasilha cheia de gua.

De tal forma que ao incio da hora exata do casamento o copo afundar-se-ia. Quando tudo estava pronto, Lilavati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a vasilha e uma perola do seu

vestido caiu no copo e bloqueou o orifcio. A hora do casamento passou sem que o copo se afundasse. Lilavati

nunca se casou. Para consolar a sua filha Bhaskara prometeu escrever-lhe um livro de matemtica!


LILAVATI - 278 VERSOS

Definies e tabelas; O sistema de numerao; Oito operaes numricas com

nmeros inteiros (adio, subtrao, multiplicao, diviso, quadrados, razes quadradas, cubos, razes cbicas);

As oito operaes com fraes; Oito regras relativas ao zero; Descobrir quantidades

desconhecidas; Equaes quadrticas;

Regra de trs, proporo inversa, regra de cinco;

Juros, Combinaes e Progresses;

Medies (teorema de Pitgoras) e Volumes;

Problemas geomtricos de sombras (trigonometria);

Modificao da Kuttaka (a equao ax + c = by), da varga prakrit;

Permutaes e parties.

[email protected] 38Fim

LILAVATI DE BHASKARA

MANUSCRITO DE BAKHSHALI

O manuscrito foi descoberto por um agricultor numas runas preto da aldeia de Bakhshali, atualmente no Paquisto, em 1881.

Grande parte do manuscrito foi destrudo e apenas cerca de 70% das suas folhas (em casca de vidoeiro) sobreviveram.

No se sabe ao certo a sua data de origem alguns autores apontam como sendo de entre 200 a 400 d.C. manuscrito contm diferentes regras e problemas que ilustram a aplicao das regras, juntamente com as suas solues.

Os problemas dizem respeito sobretudo a aritmtica, "lgebra", e alguns problema de geometria e medida.


MANUSCRITO DE BAKHSHALI

1. Um certo rei deu a trs dos seus servos sessenta e cinco dinares, numa razo de metade, um tero e um quarto. Quanto deu a cada um?

2. Oh sbio homem! Um certo rei deu a cinco cavaleiros 57 moedas. Cada pessoa, por ordem, obtm o dobro e mais uma moeda do que o seu antecessor. Quanto que obteve o primeiro e cada um dos outros?

3. Onze pssaros comem um prasrti de gro. Diz-me, amiga, quantos pssaros comem oito kharis. Diz-me, Oh encatadorasenhora!Nota: 720 prasrti = 1 khari


RESOLUO DA FRMULA DEBHASKARA

A MATEMTICA NA ANTIGUIDADEIMPRIO ROMANO

Profa. Ana Carolina C. Pereira

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O que se fala sobre a Matemtica Romana?

O que encontramos nos Livros de Histria da Matemtica sobre a Matemtica Romana?

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IMPRIO ROMANO

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CARACTERSTICAS

Lenda da Fundao de Roma- A lenda de Rmulo e Remo;

Sociedade Romana formada por: Patrcios Plebeus Escravos

A Expanso romana e as conquistas- poder do exrcito romano: fora, organizao e disciplina - saques, respeito a cultura dos dominados e cobrana de impostos.

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FORMAS DE GOVERNO EM ROMA

MONARQUIA: (753-509-A.C).

REPBLICA: (509-27-A.C).

IMPRIO: (27-A.C-476-D.C).

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CARACTERSTICAS

Cultura Romana -influncia grega: vesturio, alimentao e cultura-Religio politesta (mesmos deuses dos gregos)

Fim do Imprio : Invaso dos Brbaros (476 d.C.) - Enfraquecimento do Imprio: rebelies, falta de dinheiro- Destruio de cidades romanas e invases brbaras

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Onde est a Matemtica? Nos Algarismos Romanos que utilizamos

atualmente?

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BACO ROMANO

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MONUMENTOS ROMANOS

O Frum Romano foi o epicentro do desenvolvimento de Roma.

a velha praa republicana, cuja primeira sistematizao ocorreu no sculo VI a.C. e que permaneceu por sculos o centro poltico, religioso e econmico da cidade.

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Coliseu - anfiteatro construdo em Roma h dois milnios.

Pantheon (construdo em 27 a.C., durante a Repblica Romana);


O Arco de Constantino um arco triunfal em Roma, a curta distncia para oeste do Coliseu. Foi erigido para comemorar a vitria de Constantino sobre Maxntio

na Batalha da Ponte Mlvio, 312 AD.


Observando esses monumentos histricos, podemos dizer ainda que

os romanos no produziram Matemtica?


Marcus Vitruvius Pollio(~ 90-20 a.C.)

Engenheiro

Arquiteto romano

Viveu no sculo I a.C.

Escreveu uma obra em 10 volumes, aos quais deu o nome de De Architectura (aprox. 40 a.C.);

Os seus padres de propores e os seus princpios arquiteturais: utilitas, venosas e firmitas (utilidade, beleza e solidez), inauguraram a base da teoria classicista.


De Architectura (ou Dez livros sobre a arquitetura de Vitrvio)

Constitui o nico tratado europeu do perodo grego-romano que chegou aos nossos dias e serviu de fonte de inspirao a diversos textos sobre construes e Arquitetura desde a poca do Renascimento;

Est dividido em dez volumes (chamados "dez livros"), cada qual abordando um determinado aspecto da arquitetura;

O tratado possui grande importncia histrica pois o nico tratado clssico sobre o tema que sobreviveu at os dias atuais;


o nico tratado conhecido pelos estudiosos da Renascena, influenciando a arquitetura produzida no perodo;

Atualmente h mais de 80 manuscritos;

Vitrvio faz ainda distino dentro de um trabalho artstico, dizendo que ele composto pela prpria obra em si e tambm pela dimenso terica que a constitui.


O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As idias de proporo e simetria aplicadas concepo da beleza humana.


Dez Livros de ArquiteturaDe Architectura Libri Decem

Vitruvius


Livro I

1. A formao do mestre de obras;

2. Os conceitos bsicos da esttica na construo civil;

3. A construo civil;

4. Sobre a escolha de lugares saudveis;

5. A disposio de torres e muros;

6. A orientao das ruas em considerao ao vento;

7. Escolha de lugares para o Frum e a Igreja.


Livro II

1. A origem dos edifcios2. A opinio dos filsofos naturais sobre a matria

prima;3. Sobre tijolo;4. Sobre a areia;5. Sobre o cal;6. Sobre a mistura (massa);7. Sobre as pedreiras;8. Os tipos de construes (do pedreiro);9. Sobre as madeiras (para construes);10. Sobre algumas madeiras especficas.


Livro III

1. A simetria dos Templos;

2. Formas diferentes de templos;

3. Cinco Templos especficos;

4. As fundaes dos Templos;

5. O estrilo Jnico.


Livro IV

1. Sobre a construo de colunas ordenadas e sobre as medidas de seu coroamento;

2. Sobre a construo dos ornamentos das colunas;

3. O estilo drico

4. Sobre o interior do Templo;

5. Sobre a posio do Templo;

6. Sobre as Torres

7. O Templo turco;

8. Sobre os Templos circulares;

9. Sobre a disposio do Altar.


Livro V

1. Sobre a disposio do Mercado e da Baslica;

2. Sobre a localizao da casa do tesouro, do

Crceres e da Prefeitura;

3. Um lugar para o Teatro;

4. Teorias sobre Harmonia de Aristoxenos;

5. Sobre a acstica no Teatro;

6. Escolha do lugar para o Teatro segundo as relaes

acsticas


Continuao Livro V

7. Sobre a construo do Teatro;

8. Divergncias na construo em relao ao Teatro Grego;

9. Arcadas e Vesturios atrs do palco;

10. Sobre a localizao dos toiletes;

11. Sobre a localizao da sala de Conferncias;

12. Sobre as posies dos Postos.


Livro VI

1. Relaes climticas relativas localizao das moradias;

2. Sobre a simetria dos edifcios;

3. Sobre a localizao do Ptio;

4. Posicionamento das edificaes com relao ao cu;

5. Sobre a ordenao dos edifcios;

6. Sobre as localidades rurais;

7. As moradias gregas;

8. Sobre construes subterrneas e construes sobre pilares.


Livro VII

1. Especficas massas (construo);

2. Sobre a mistura do cal;

3. Preparao da massa (reboco)

4. Reboco em paredes midas;

5. Sobre a pintura das paredes;

6. Mrmore

7. Cores naturais

8. Zinabre e Mercrio


Continuao Livro VII

9. Preparao do Zinabre, e outras cores;

10. Sobre cores artificiais (preto);

11. Azul e Amarelo;

12. Branco, Verde e Vermelho;

13. Prpura;

14. Preparao de cores artificiais.


Livro VIII

1. Como encontrar gua;

2. gua da chuva

3. Fontes de gua quente;

4. Exames nas guas;

5. Mtodos de nivelamento;

6. Localizao dos Aquedutos, Poos e Reservatrios;


Livro IX

1. O universo e os Planetas;

2. A lua;

3. Como o movimento do Sol encurta e alonga o dia;

4. As estrelas do Norte;

5. As estrelas do Sul;

6. Astrologia;

7. Tipos de Relgios de Sol

8. Sobre diferentes tipos de relgios e seus inventores.


Livro X

1. Mquina e suas diferenas com as Ferramentas;

2. Maquinas para levantar coisas;

3. Sobre as linhas relas e os crculos como elementos bsicos para mecnica;

4. Diferentes tipos de bomba de gua;

5. Roda dgua nos rios e moinhos;

6. Especial Bomba de dgua;

7. Especial Bomba dgua a presso


Continuao Livro X

8. rgo que funciona atravs da gua;

9. Instalao de medidores de gua

10. Catapultas;

11. Instalao de Ballisten

12. Revestimento de Catapultas e Ballisten;

13. Especfica arma de Cartagos;

14. Sistemas de proteo

15. Outros sistemas de proteo;

16. Sistema de defesa.


Qual foi a Matemtica produzida

pelos Romanos? Teve

importncia?


HERANA ROMANA

IDIOMA: LATIM;

DIREITO: LEIS;

FORMAS DE GOVERNO: REPBLICA, SENADO, ETC;

MATEMTICA?????????

ARQUITETURA.


ALGUMAS SUGESTES DE FILMES NA GRCIA ANTIGA

Profa. Dra. Ana Carolina Costa Pereira

Disciplina de Histria da Matemtica

300 (2007) Sinopse Grcia, 480 AC. Na Batalha de Termpilas, o rei Lenidas (Gerard Butler) e seus 300 guerreiros de Esparta lutam bravamente contra o numeroso exrcito do rei Xerxes (Rodrigo Santoro). Aps trs dias de muita luta, todos os espartanos so mortos. O sacrifcio e a dedicao destes homens uniram a Grcia no combate contra o inimigo persa. Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=78

Alexandre (2004) Sinopse Junho de 323 A.C., Babilnia, Prsia. Quando faltava um ms para completar 33 anos, morre precocemente Alexandre, o Grande (Colin Farrell), que tinha conquistado 90% do mundo conhecido. Alexandria, Egito, 40 anos depois. Ptolomeu (Anthony Hopkins), um general de Alexandre que o conhecia bem, narra para Cadmo, um escriba, que se tornou o guardio do corpo de Alexandre, que ali est embalsamado moda egpcia (Ptolomeu se tornou fara, pois ficou com o Egito quando o imprio foi dividido). Tristemente Ptolomeu frisa que as grandes vitrias dos exrcitos de Alexandre foram esquecidas e diz para Cadmo que Alexandre era um deus, ou a pessoa mais perto disso, que j vira. Apesar de ser chamado de tirano, Ptolomeu diz que s os fortes governam, mas Alexandre era mais, pois mudou o mundo. Antes dele havia tribos e depois dele tudo passou a ser possvel. Surgiu a idia que o mundo poderia ser governado por um s rei. Era um imprio no de terras e de ouro, mas da mente, uma civilizao helnica aberta a todos. No oriente, o vasto imprio persa dominava quase todo o mundo conhecido. No ocidente, as outroras cidades-estado gregas, Tebas, Atenas, Esparta, haviam perdido o orgulho. Os reis persas subornavam os gregos com ouro, para us-los como mercenrios. O pai de Alexandre, Felipe, o Caolho (Val Kilmer), comeou a mudar tudo isso, unindo tribos de pastores ignorantes das terras altas e baixas. Com sua coragem e seu sangue criou um exrcito profissional, que subjugou os traioeiros gregos. Ento voltou-se para a Prsia, onde se dizia que o rei Dario, em seu trono na Babilnia, temia Felipe. Foi dessa viril guerreira que nasceu Alexandre, em Pela, Macednia. A me, a rainha Olmpia (Angelina Jolie), era chamada por alguns de feiticeira e diziam que Alexandre era filho de Dionsio ou Zeus. Mas no havia um homem na Macednia que, vendo pai e filho juntos, no tivesse dvidas, mas nenhum poderia imaginar o fabuloso destino de Alexandre. Assistir pelo site: http://www.filmesonlinegratis.net/assistir-alexandre-o-grande-dublado-online.html

Tria (2004) Sinopse Na Grcia antiga, a paixo de um dos casais mais lendrios da Histria, Pris, prncipe de Tria (ORLANDO BLOOM), e Helena (DIANE KRUGER), rainha de Esparta, desencadeia uma guerra que ir devastar uma civilizao. Pris rouba Helena de seu marido, o rei Menelau (BRENDAN GLEESON), e este um insulto que no pode ser tolerado. A honra da famlia determina que uma afronta a Menelau seja considerada uma afronta a seu irmo Agamenon (BRIAN COX), o poderoso rei de Micenas, que logo une todas as tribos da Grcia para trazer Helena de volta, em defesa da honra do irmo. Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=21830

Alexandria (2011) Sinopse Sob o domnio Romano, a cidade de Alenxadria palco de uma das mais violentas rebelies religiosas de toda histria antiga. Judeus e cristos disputam a soberania poltica, econmica e religiosa da cidade. Entre o conflito, a bela e brilhante astrnoma Hypatia (Rachel Weisz) lidera um grupo de discpulos que luta para preservar a biblioteca de Alexandria. Dois deles disputam o seu amor: o prefeito Orestes (Oscar Isaac) e o jovem escravo Davus (Max Minghella). Entretanto, Hypatia ter que arriscar a sua vida em uma batalha histrica que mudar o destino da humanidade Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=21861

QUESTIONAMENTOS

1. Tente observar o desenvolvimento da Matemtica e os questionamentos da poca sobre cincia.

2. Existe algum fato, no filme, o nascimento da Matemtica como cincia?

ALGUMAS SUGESTES DE FILMES NO MUNDO ROMANO


Disciplina de Histria da Matemtica

Germanus (2003) Sinopse Aps ter quase toda a famlia dizimada por soldados do Imprio Romano, o nobre Germanus capturado como escravo. Humilhado e torturado pelos poderosos de Roma, obrigado a suportar as mais terrveis provaes. Nos sangrentos combates que trava como gladiador nas arenas romanas, Germanus acaba perdendo o nico irmo, que morre nas mos do cruel Lagos. Mas Germanus no desistir e agora ter de usar todo seu esprito de luta e liderana para comandar as massas contra a opresso rumo liberdade. Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=68883

Gladiador (2000) Sinopse Aps vencer vrias batalhas, o general romano Maximus (Russell Crowe) quer apenas voltar para casa e rever sua famlia. Mas com a morte do Imperador Marcus Aurelius (Richard Harris), que desejava faz-lo seu sucessor, Maximus perseguido por Commodus (Joaquin Phoenix), filho do soberano. Ao escapar da morte, o ex-general torna-se escravo de um ambicioso e velho gladiador, que o leva a participar dos jogos violentos no Coliseu e a vingar o assassinato de sua mulher e filho. Vencedor de cinco Oscars, incluindo Melhor Filme e Melhor Ator (Crowe). Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=32591

Spartacus (2004) Sinopse Condenado a passar o resto de sua vida trabalhando sob o sol do deserto, o escravo Spartacus j havia perdido toda a esperana de liberdade. Comprado por um agente de gladiadores, obrigado a lutar at a morte para divertimento da elite. Revoltado com sua condio, ele lidera uma revoluo de escravos que vai ameaar o Imprio Romano e lhe render poderosos inimigos. Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=21830

Augustus - o primeiro imperador (2003) Sinopse Em Tria, Peter OToole faz o papel de Priamo, o Rei de Tria, que apesar de ser o maior inimigo do invencvel Aquiles tambm o nico Rei que Aquiles admira! Em Augustus, Peter O'Toole consegue ser ainda mais carismtico de que em Tria e prova ser um dos mais completos atores de todos os tempos! Brutus, Marco Antonio, Clepatra e Augustus fazem parte do contexto de guerras e tramas que rodeiam o poder e so magnificamente espelhados neste surpreendente pico. Augustus, O Primeiro Imperador uma historia envolvente, emocionante e que mostra de forma fascinante como todos os picos comearam! Assistir pelo site:

Jlio Cesar (2002) Sinopse General feroz. Orador qualificado. Poltico compreensivo. Este Jlio Csar, um dos maiores lderes do mundo e smbolo do Imprio romano. Sua ascenso ao poder foi marcada por sacrifcio, assassinato e traio. Com a bela Clepatra em um dos braos e uma espada no outro, Csar tomou o controle de um vasto territrio, legies premiadas de seguidores, colhendo inimigos e criando histria, antes de cair nas mos de Brutus, at ento seu maior aliado. Esta uma histria de um homem notvel que se tornou uma lenda inesquecvel. Assistir pelo site:

Nero (2004) Sinopse Mais do que uma biografia, Nero a recriao de um perodo de mudanas radicais vividas por Roma durante o governo de um dos seus mais famosos e enigmticos lderes. Durante os 31 anos em que comandou o imbatvel Imprio Romano, Nero enfrentou poderosos inimigos externos, alm da inveja dentro da sua prpria famlia, que fez de tudo para destru-lo. Cresceu entre homens e mulheres escravos e se apaixonou por uma delas. Mas, quando chamado pelo dever, o jovem obrigado a abrir mo do seu amor, para assumir o poder e se casar com algum a altura de suas razes nobres. Depois de proclamado imperador, a loucura passa a tomar conta do novo lder, colocando em risco todo o Imprio Romano. Assistir pelo site:

Bem Hur (2011) Sinopse

Nesta nova adaptao do incrivel clssico, Ben Hur, traz mais ao, paixo e vingana que nunca. A eterna histria acompanha dois amigos que se tornaram grandes inimigos, mais os eventos histricos da poca, contados atravs da viso de Judah Ben-Hur. Filho de um rico mercador judeu, ele est destinado a viver muitas vidas: de um poderoso comerciante, de um escravo submisso, de um gladiador impetuoso, de um nobre romano e finalmente de um heri conquistador. Esta extraordinria saga cheia de aventura o pico histrico de uma nova gerao.

Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=26849

Pompeia (2011) Sinopse Pompeia conta a histria pica de Milo (Kit Harington Game of Thrones), um escravo que tornou-se um gladiador e se encontra em uma corrida contra o tempo. Ele precisa salvar seu verdadeiro amor Cassia (Emily Browning Sucker Punch: Mundo Surreal), a bela filha de um comerciante rico que foi prometida a um corrupto senador romano, em meio a destruio da cidade de Pompeia causada pela erupo do Monte Vesvio. Assistir pelo site: http://www.armagedomfilmes.biz/?p=114343

QUESTIONAMENTOS

1. Tente observar o desenvolvimento da Matemtica e os questionamentos da poca sobre cincia.

2. Existe algum fato, no filme, sobre a Matemtica produzida pelos Romanos?


UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEAR Centro de Cincias e Tecnologia CCT

Licenciatura Plena em Matemtica Profa. Ana Carolina Costa Pereira

EXERCCIOS DE HISTRIA DA MATEMTICA MESOPOTMIA, EGITO E GRCIA

1. Inmeras circunstncias da vida, at mesmo do homem mais primitivo,

levavam acerto montante de descobertas geomtricas subconscientes. Quais so elas?

2. Quais so as deficincias da matemtica mesopotmia? Explique.

3. Quais so as trs mais importantes contribuies do Egito ao desenvolvimento da matemtica? Explique porque as considera importantes.

4. Usando a ideia que

=

1

/ onde vale a desigualdade

1

/>

1

desde que

< ,

escreva cada frao abaixo como soma de duas fraes unitrias.

a) 2

15 b)

2

27 c)

2

9

5. (a) Quais so nossas principais fontes de informaes a respeito da geometria

egpcia antiga? (b) muito provvel que conhecimentos sobre geometria, semelhantes as do Egito e da Babilnia antigos, tenham ocorrido tambm na ndia e na China antigas, mas na verdade pouco se sabe a respeito delas com algum grau de certeza. Que explicao pode ser dada a esse respeito?

6. Efetue a multiplicao de 17 por 132, usando o antigo sistema dos Egpcios.

Justifique matematicamente o que foi feito.

7. Analise a demonstrao visual creditada a Pitgoras utilizando seus conhecimentos matemticos atuais.

8. Transforme em linguagem simblica as proposies abaixo expostas nos livros Os

Elementos de Euclides.


a) LIVRO I - PROPOSIO 47: Nos tringulos retngulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ngulo reto igual aos quadrados sobre os lados que contm o ngulo reto.

b) LIVRO II - PROPOSIO 01: Caso existam duas retas, e uma delas seja cortada em segmentos, quantos quer que sejam, o retngulo contido pelas duas retas igual aos retngulos contidos tanto pela no cortada quanto por cada um dos segmentos.

9. Quais dos treze livros de Os Elementos voc considera os mais importantes e quais

voc julga mais dispensveis? Justifique sua resposta.

10. Quais matemticos gregos esto envolvidos com o desenvolvimento da trigonometria na antiguidade? Cite suas contribuies.

11. Em cada um dos itens a seguir, assinale V se a afirmativa dada for verdadeira e F se for falsa.

Todos os resultados geomtricos que so creditados a Thales de Mileto no se basearam em dedues lgicas; foram obtidos via raciocnios intuitivos e experimentais. Considerado como o continuador da sistematizao da geometria iniciada por Thales, cerca de cinquenta anos antes, Pitgoras nasceu por volta do ano 572 a.C., na ilha de Samos, uma das ilhas do mar Egeu prximas de Mileto, a cidade natal de Thales. E bem possvel, ento, que Pitgoras tenha estudado com ele.

Durante os trs primeiros sculos de sua matemtica, os egpcios desenvolveram a noo de discurso lgico como uma seqncia de afirmaes obtidas por raciocnio dedutivo a partir de um conjunto aceito de afirmaes iniciais. Os trs gemetras gregos mais importantes da antiguidade foram Euclides (c. 300 a.C.), Arquimedes, (287-212 a.C.) e Apolnio (c. 225 a.C.). De acordo com Howard Eves, no exagero dizer que quase tudo o que se fez de significativo em geometria, at os dias de hoje, e ainda hoje, tem sua semente original em algum trabalho desses trs grandes eruditos.

12. Arquimedes foi a primeira pessoa a construir e a utilizar um sistema de roldanas para deslocar grandes massas aplicando pequenas foras. Conta-se que, para mostrar a eficincia desse dispositivo, preparou uma espetacular demonstrao experimental: um navio da frota real foi retirado da gua, com grande esforo, por um grupo de soldados que o puxaram por uma corda e o colocaram sobre a areia da praia. A seguir, o mesmo navio retornou gua e foi ligado a um sistema de roldanas. Arquimedes convidou, ento, o rei Hieron para puxar o navio pela extremidade livre da corda e, sem realizar grande esforo, o rei conseguiu, sozinho, arrastar o navio sobre a areia, causando surpresa geral e fazendo aumentar, ainda mais, o prestgio de Arquimedes junto ao rei. No sistema de roldanas descrito no texto, o rei Hieron conseguiu sozinho retirar o navio da gua e, para isso, teve de puxar


(A) a corda com fora igual fora utilizada por seus soldados. (B) maior quantidade de corda do que a puxada por seus soldados. (C) menor quantidade de corda do que a puxada por seus soldados. (D) a corda com fora maior do que a fora utilizada por seus soldados. (E) a corda com velocidade menor do que a velocidade com que o navio se deslocava.

Aspectos Da Matemática Chinesa_O Nove Capítulos

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