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1. Formacin de profesores de matemticas y estudios sobre el profesor

MEMORIA DE LA XV ESCUELA DE INVIERNO EN MATEMTICA EDUCATIVA, 201 2 3

ASPECTOSDELATEORAEUCLIDIANADELAPROPORCINQUE

FAVORECENLAEDUCACINDELPROFESORDEMATEMTICAS

Edgar Alberto Guacaneme [email protected]

Universidad Pedaggica Nacional (Colombia), Universidad del Valle (Colombia)Avance de investigacinSuperior

ResumenEn un intento de identificar y caracterizar el papel de la Historia de las Matemticas (HM) en elconocimiento del profesor de Matemticas (CPM), hemos desarrollado un estudio sobre el potencialformativo de la historia de la teora euclidiana de la proporcin e identificado usos no instrumentales de laHM en el CPM. Para dar cuenta de algunos aspectos de tales usos, se presentan algunos de los resultadosde la investigacin histrica-epistemolgica sobre las ideas matemticas de razn y proporcin expuestasel Libro V deElementosde Euclides; asimismo se resean posibles usos de tales planteamientos.

Palabras Clave:Historia, matemticas, conocimiento, profesor, razn, proporcin.

1.

INTRODUCCIN

A travs del proyecto de tesis doctoral Potencial formativo de la historia de la teora euclidianade la proporcin en la constitucin del conocimiento del profesor de matemticas, orientado enel marco del Doctorado Interinstitucional en Educacin nfasis en Educacin Matemtica(Sede Universidad del Valle Colombia) por el doctor Luis Carlos Arboleda, nos hemosinteresado por el estudio de la relacin Historia de las Matemticas Educacin Matemtica(HM-EM) (Guacaneme, 2007). Bajo este inters y a partir del estudio de una amplia gama dedocumentos que abordan tal relacin, hemos advertido una tradicin en innovacin e

investigacin en torno al uso de la HM en la enseanza de las matemticas, en la investigacin enEM y en la formacin de conocimiento de los profesores de matemticas. Sin embargo, hemosreconocido en ste ltimo (i.e., el relativo a la relacin Historia de las Matemticas -Conocimiento del profesor de Matemticas (HM-CPM)) un potente mbito de investigacin y deintervencin, en tanto que consideramos que el conocimiento del profesor constituye una de lasvariables fundamentales que orientan la accin educativa de las clases, las instituciones y lasociedad, y que la HM merece ocupar un lugar destacado en la constitucin de dichoconocimiento (Guacaneme, 2008b), lugar un tanto subvalorado en algunos programas deformacin inicial de profesores de Matemticas (Torres & Guacaneme, 2011a, 2011b).

Ahora bien, dado que la HM resulta tan extensa y profunda, y guiados por trabajos investigativos

y de innovacin previos (Guacaneme, 2001, 2002; Perry, Guacaneme, Andrade, & Fernndez,2003), hemos optado por asumir el estudio de la historia de la razn y la proporcin y, dentro delos mltiples hitos que esta devela, hemos escogido el contexto griego clsico y, de este, la teoraeuclidiana de la proporcin expresada en el Libro V de Elementos (Guacaneme, 2008a). Laeleccin responde, entre otras justificaciones, a la abundante investigacin histrica sobre estelibro, al hecho de que en s mismo el Libro V es una teora matemtica y a lo extico que resultaun discurso general sobre magnitudes geomtricas que no incorpora tratamiento numrico algunode las mismas.


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2. UN MARCO DE REFERENCIA EN CONSTRUCCIN Y USO

Ubicar el asunto de la potencialidad de la historia de un objeto matemtico a favor delconocimiento del profesor de Matemticas conlleva a intentar identificar un campo que le acojacomo problema de investigacin. Si bien la Educacin Matemtica aparece inicialmente comocampo de investigacin natural, pues su carcter interdisciplinar incluye la HM y, hasta cierto

punto, el asunto del CPM ha sido atendido por esta, nos ha parecido ms apropiado ubicar laproblemtica en cuestin en el campo de investigacin de la Educacin del profesor deMatemticas, el cual distinguimos de la EM misma, aunque le reconocemos proveniente de sta,pero no agotada por ella (Guacaneme & Mora, 2012).

En efecto, desde una aproximacin a este campo advertimos que existe una lnea de investigacinque aborda el asunto de la constitucin del conocimiento del profesor y, particularmente, de loque, siguiendo la lnea de accin clsica propuesta por Shulman (1986, 1987), se ha dado enllamar los componentes del conocimiento del profesor. Entendemos que para el caso de laeducacin de los profesores de Matemticas, hoy en da esta lnea an acoge el estudio de, entreotros, el conocimiento disciplinar (subjetc matter knowledge) y del conocimiento didctico del

contenido (pedagogical content knowledge) incluso bajo nuevas conceptualizaciones ydenominaciones (v.g.,Mathematics for teaching, oKnowledge Quartet). Sin embargo, an en laspropuestas ms innovadoras (v.g., Stacey, 2009), si bien la HM se tiene en cuenta como un meta-discurso matemtico, nos parece que sta, figura de manera poco trascendente; adems, y quizcomo causa y evidencia de ello, no hemos encontrado un marco de referencia adecuado para laproblemtica que abordamos.

Bajo tal condicin, nos hemos dado a la tarea de ir decantando unos marcos de referencia que demanera dialctica estamos construyendo y usando. De manera particular, hemos caracterizadodiez tipologas de la HM (Guacaneme, 2010) y para cada una de ellas hemos establecidocategoras descriptivas; as, por ejemplo, una de las tipologas resea las fuentes primarias,

secundarias y terciarias de la HM y estamos discutiendo si las fuentes primarias son Historia delas Matemticas o Matemticas en la historia, o si las terciarias no son otra cosa que el resultadode la transposicin didctica de las primarias o secundarias. Asimismo, hemos sintetizado laracionalidad e intencionalidades de la apropiacin de la HM por parte de los profesores deMatemticas (Guacaneme, 2011). La racionalidad alude a: la existencia personas con inters deintegrar el conocimiento histrico a la educacin del profesor, la valoracin social de lahistoricidad de las Matemticas y el reconocimiento de la Historia de las Matemticas como unafuente de artefactos para la actividad docente. La intencionalidad se refiere a potenciar el

recurso a instrumentos que puedan participar del ejercicio docente; la mayora de stos serelaciona con los artefactos y los otros con la transformacin de la enseanza de las

matemticas a travs de la participacin de la Historia, la potencialidad de sta como fuente de

recursos para la enseanza y las posibilidades de fortalecer la concepcin de la profesin docente.3. ALGUNOS ASPECTOS METODOLGICOS DEL ESTUDIO

De manera un tanto simultnea a la ubicacin de la problemtica en el campo de investigacin yla construccin de los estados de arte sobre la relacin general HM-EM y la particular HM-CPMy la construccin de los marcos tericos alrededor de las respuestas a las preguntas sobre laracionalidad (los por qu), las intenciones (los para qu) y los objetos (los qu) de la HM en elCPM, hemos ido identificando y seleccionando documentos, resultados de la investigacin


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histrica en Matemticas, que versan sobre la teora euclidiana de la razn y la proporcin.Igualmente nos hemos dado a la tarea de estudiarlos para decantar sus contenidos, a partir de locual estamos clasificndolos en las tipologas y categoras que hemos establecido respecto de lapregunta sobre el qu y hemos desarrollado parcialmente la tarea de identificar los potencialesusos que tales contenidos pueden llegar a tener en relacin con los para qu. Como es natural

suponer, esta actividad est realimentando la configuracin de los marcos de referencia y susresultados constituirn elementos resultados especficos de la tesis doctoral.

4. ALGUNAS REFLEXIONES/CONCLUSIONES

En lo que sigue, presentaremos algunos aspectos de la historia de la teora euclidiana de laproporcin, que pueden resultar pertinentes para la educacin del profesor de matemticas, enuna direccin que pretende superar el mbito de utilidad pragmtica del conocimiento exigido aalguien que asume la educacin como un oficioy llevar la discusin al mbito de funcionalidaddel conocimiento del profesor, entendido comoprofesionalde la educacin.

Un de la teora euclidiana de la proporcin

Acorde con la poca histrica de la Grecia dorada, a continuacin presentaremos brevemente yordenados con literales griegos, algunos de los aspectos que hemos considerado importantes de lateora euclidiana de la proporcin, en relacin con el CPM.

.Sealemos que los Libros V y VI de Elementosde Euclides pueden ser entendidos como hitodel desarrollo histrico de una teora hipottica-deductiva de la proporcin para magnitudesgeomtricas, desde su particularidad cuantitativa no numrica, en tanto que los Libros VII y X dela obra clsica citada, abordan aspectos de la teora de la proporcin para nmeros. La anteriordeclaracin deja entrever algunos resultados interesantes. De un lado, permite reconocer que noslo existe (o existi) una teora de la proporcin en donde las razones se dan entre nmeros omedidas de magnitudes, sino que adems pueden establecerse razones entre cantidades de unamisma magnitud geomtrica, sin que se requiera medir dichas cantidades (aunque s a su tamao)y sin que la razn exprese la medida de una cantidad respecto de la otra. Este hecho puedesorprender al profesor de Matemticas, en tanto que el discurso escolar reconoce en esencia slola teora aritmtica de la proporcin, pero no la proporcionalidad geomtrica (Quintero &Molavoque, 2012), conllevando la idea de que no puede existir proporcionalidad estrictamentegeomtrica, sino, en el mejor de los casos, proporcionalidad aritmtica que refiere a medidas demagnitudes geomtricas. Este resultado puede llevar al profesor de matemticas a reconocer laexistencia de un razonamiento cuantitativo no numrico (usual y errneamente identificado comorazonamiento cualitativo), de presencia exigua en las matemticas escolares, cuya constitucin atravs de las matemticas escolares constituye un nuevo reto para la comunidad de educadoresmatemticos.

Por otra parte, el tratamiento euclidiano diferenciado para magnitudes y nmeros, evidencia quela propuesta euclidiana no logra solucionar el problema de la inconmensurabilidad que afect a lateora pitagrica de la proporcin, sino que quiz sencillamente lo soslaya. Este hecho puedepermitir que el profesor de Matemticas reconozca que la va de solucin de un problema nosiempre ha sido la nica transitada por los matemticos, o que existen teoras matemticas cuyarespuesta a un problema es esquivarlo, a la vez que lo enfrenta a la pregunta de si el problema dela inconmensurabilidad se ha resuelto y a indagar por la manera en que se hizo.


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. Una mirada a lo expresado por los historiadores de las Matemticas respecto de las dieciochodefiniciones de la teora del Libro V, revela que asignan un lugar notable a la definicin 5(proporcin), y junto con ella a las definiciones 3 (razn) y 7 (desproporcin). Observemos unatraduccin de dos de ellas:

Definicin V.3: Una razn es determinada relacin con respecto a su tamao entre dosmagnitudes homogneas. (Puertas, 1994, p. 9)

Definicin V.5: Se dice que una primera magnitud guarda la misma razn con unasegunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimltiplos de la primeray la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, quecualesquiera equimltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en elorden correspondiente. (Puertas, 1994, pp. 11-12)

Ahora bien, a pesar de que coinciden en que la definicin de razn es general, vaga y slo precisaque las magnitudes geomtricas implicadas deben ser del mismo tipo, los historiadores reportanvarias interpretaciones de este concepto en una gama de acepciones que incluyen concebir larazn como: una cantidad (adicional a los nmeros y las magnitudes), una comparacin o

relacin binaria de primer orden, o bien un nmero real.

Las interpretaciones de la definicin de proporcin tampoco generan mucho consenso pues lasopiniones se dividen entre: una relacin binaria de segundo orden, un nmero real y hasta unarreglo o secuencias ordenadas de magnitudes. Veamos esta ltima:

Ya que segn la Definicin 5 la condicin para que A, B, X, Y sean proporcionaleses que: Si los mltiplos A, 2A, 3A, y B, 2B, 3B, son dispuestos en un arregloen una sola secuencia en el orden de tamao, y de la misma manera se disponen losmltiplos X, 2X, 3X, y Y, 2Y, 3Y, , la ley de distribucin de los mltiplos de A

entre aquellos de B debe ser la misma que la de los mltiplos de X entre aquellos de

Y. De ah que la identidad de las razones A:B y X:Y significa la identidad de estasdos leyes de distribucin, y la razn A:B en s misma significa la relacin de tamaoentre A y B que es indicada por la manera en que los mltiplos de A estndistribuidos entre aquellos de B. (Fine, 1917, p. 73)

Otro aspecto que genera diversidad de opiniones se refiere a la expresin simblica implicada enla definicin 5. As, se proponen, entre otras, las siguientes, no equivalentes desde la lgica:

a:b=c:d, si para todo par de enteros m, n, se tiene ma>nc (o mand (o mbnb) y(mc>nd)) o ((ma=nb) y (mc=nd)) o ((mand) y (si ma=nb, entonces mc=nd) y (si ma


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No obstante esta condicin sobre lo impreciso y nebuloso de las definiciones centrales de lateora euclidiana de la proporcin, nadie desconoce su hegemona durante muchos siglos. Enconsecuencia, puede resultar extrao para el profesor de Matemticas, la posibilidad de existenciade una robusta teora matemtica, descansado sobre objetos matemticos difusos. La causa de talextraeza puede radicar en la concepcin acerca del rigor intrnseco a las teoras matemticas y la

sobrevaloracin de las definiciones como garantes de la inexistencia de ambigedad o comoenunciados que capturan plenamente al objeto.

.Varios historiadores coinciden en reconocer un casi inquebrantable estilo de pruebaen la obraeuclidiana, caracterizado no solo por el carcter sinttico del razonamiento, sino adicionalmentepor la existencia de seis etapas, a saber: enunciado (prtasis), exposicin (kthesis),determinacin o delimitacin (diorisms), preparacin o construccin (kataskeu), demostracin(apdeixis) y conclusin (symprasma).

A los ojos de un profesor de Matemticas, quien como parte de su conocimiento de la pruebaposee el esquema de dos columnas (proposicin | justificacin), este esquema puede mostrarsenovedoso, pues ordena y estructura la prueba de una proposicin o teorema, haciendo evidentes

los momentos de enunciacin y argumentacin empleados. Ello tiene el suficiente potencial paraconstituirse en una herramienta para aportar a la comprensin de la actividad demostrativadesplegada en los libros de texto, en las clases de Matemticas y en las tareas de los estudiantes.

. Si bien se cuestiona que Elementos sea un objeto de la Historia de las Matemticas y seprefiere referir como una obra Matemtica en la historia (Vardi, 1999) (y en consecuencia que elestudio del contenido del Libro V pueda concebirse como un estudio matemtico y no histrico),no deja de ser interesante avivar, con las reflexiones histricas, la experiencia de un lector queaborda la lectura de un discurso esencialmente retrico, alimentado de una notacin y unosdiagramas o dibujos aparentemente elementales, como el extractado de la prueba de laproposicin V.3. (Puertas, 1994)

En esta figura se advierten hechos que han sido discutidos por quienes se dedican al anlisishistrico-epistemolgico. Sealemos, en primer lugar, que las letras griegas maysculas se usanaparentemente para representar lo que llamaremos un segmento (preferimos referirlo comotrazo); sin embargo ese uso es dual pues en ocasiones se emplea un par de letras para nombraruna magnitud (v.g., , , , , , ), en cuyo caso parecera que cada letra representael extremo del segmento, o una sola para nombrar otra magnitud (v.g., , , , ). A propsitode esto, advertimos que tal uso est relacionado con la operatoria de las magnitudes; as,Euclides nota una magnitud con una letra cuando sta ser multiplicada o constituye un mltiplode otra magnitud, en tanto que usa las dos letras, cuando la magnitud ser dividida en sus partes o


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cuando sta ser objeto de una resta (o ser restada de otra) (Guacaneme, 2008a). Bajo estaconsideracin emerge el hecho de que la notacin tiene una intencin adicional a la de nominar.

Un segundo hecho no menos interesante se refiere a la discusin de si los trazos(i.e., los trazosrectilneos con pequeos trazos en sus extremos o en su interior) representan nicamentesegmentos. A propsito de esta discusin y atendiendo a que coincidimos con el matemticoitaliano/argentino, recapitulemos una de sus citas:

y el hecho de que la figuracin que acompaa las demostraciones se hace todavaexclusivamente por segmentos, mientras que los comentaristas se esfuerzanfrecuentemente en acentuar el nuevo punto de vista con el dibujo de objetosdiferentes, slo demostrar ms claramente el pensamiento ms puramente abstractodel autor antiguo, desvinculado de la representacin material; pues estos segmentosno tienen diferente significacin que las letras en nuestras demostracionesalgebraicas (Levi, 2003).

En efecto, entendemos que una expresin de la generalidad del tratamiento euclidiano del Libro

V se expresa en los dibujos usados, pues a travs de ellos se habla de todos los tipos demagnitudes geomtricas (longitudes, superficies, volmenes y amplitudes angulares).

Un tercer hecho se refiere a la ausencia de notacin para las razones y proporciones; en efecto, enninguna parte del Libro V, y por tanto tampoco en las figuras, aparece una notacin como o

cuyo uso es relativamente reciente, pues, por ejemplo se resea que el smbolo

:: procede de William Oughtred, en el siglo XVII, ministro anglicano a quien se le atribuye el

invento de la regla de clculoy de otros smbolos matemticos (, , sin, cos). A pesar de laausencia de una notacin, el autor euclideo se las arregla para presentar retricamente una teoraque incluye pruebas altamente rigurosas.

Estos tres hechos pueden llegar a ser llamativos a un profesor de Matemticas quien reconoce lanotacin algebraica convencional como la nica en la que los smbolos son operables u orientanuna operacin y mucho ms para quien slo advierte en el uso de la notacin el carcternominativo o de designacin de la misma. Igualmente a quien a pesar de haber dibujado unsinnmero de planos cartesianos para representar funciones entre dos magnitudes (nonecesariamente lineales o geomtricas) no ha advertido la linealizacinde la magnitud que estarepresentacin implica.

Por otra parte, si el profesor se da a la tarea de enfrentar el estudio de un discurso matemticoexpresado de manera inusual, como el Libro V de Elementos, encontrar que ello le ofrece unaexperiencia sin igual de lectura de un lenguaje diferente al suyo, hecho que constituye una

referencia para entender de mejor manera lo que le sucede a sus estudiantes cuando se sumergenen un proceso de enculturacin del lenguaje matemtico, usual para el profesor, pero nada naturalpara el estudiante; en ltimas, le ofrece la posibilidad de descentrarse o, en trminos coloquiales,ponerse en los zapatos del otro.

La otra cara de la moneda?

El estudio de los aspectos histricos relacionados con el Libro V, puede llegar a generar unacierta sensacin de frustracin o de decepcin, sobre todo si ste se efecta para procurar


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herramientas que orienten de manera directa e inmediata la enseanza de la proporcionalidad.Veamos de manera breve algunas posibles limitaciones del uso efectivo de la Historia de lasMatemticas en la enseanza de la proporcionalidad.

Recordemos, en primer lugar, que la teora euclidiana de la proporcin del Libro V no refiere alas cantidades numricas sino a las no numricas y que en la escuela la proporcionalidad tiene enesencia un tratamiento numrico. Sealemos adicionalmente que en el Libro VII y X s se abordael estudio de la teora de la proporcin para nmeros. Parecera entonces que estos dos ltimoslibros citados son ms propicios que el V e incluso el VI. Pues bien, desde nuestra perspectiva elestudio de lo que se ha dado en llamar la teora de la proporcionalidad geomtrica (Libro V y VI)ofrece la posibilidad de: evidenciar que el pensamiento cuantitativo no numrico se ha desterradode las intenciones curriculares, experimentar las demandas cognitivas que un discurso nonumrico hace al razonamiento matemtico, disponer de un mbito legtimamente matemticoque oriente la innovacin curricular, entre otras. Ello seguramente ser valorado positivamentepor un profesor que procura lograr una conciencia profesional sobre sus objetos y objetivos detrabajo y por quin est dispuesto a afrontar el reto del diseo curricular desde la innovacin.

En segundo lugar, resaltemos que la definicin de razn excluye la posibilidad de que se puedanponer en relacin dos magnitudes de diferente tipo; este hecho rie con la naturalidad escolar altrabajar razones como la velocidad o la aceleracin, y de efectuar la razn entre el crculo y elradio (o debiramos decir entre la superficie del crculo y la longitud de su radio). Talnaturalizacin del trabajo de magnitudes heterogneas, particularmente en las ciencias naturales,puede ubicarse histricamente de manera tarda en los siglos XVI y XVII. Desde nuestraperspectiva, este asunto debera llamar la atencin del profesor de Matemticas pues larestriccin impuesta en la definicin de razn debe tener una racionalidad que luego se muestraanacrnica; o si se prefiere, la racionalidad que permite las razones entre magnitudesheterogneas, soluciona un problema anclado en el tiempo de los griegos clsicos.Consustancialmente, le permite al profesor cuestionarse acerca de su conocimiento de tales

racionalidades y, probablemente, le ponga en evidencia es estado de su conocimiento respecto delo que ensea y del sustento de ello.

En tercer y ltimo lugar, el estudio de la obra euclidiana muestra un tratamiento discreto para lasrazones y una exigua o inexistente relacin con las funciones de proporcionalidad, lo cual generauna cierta sensacin de frustracin, la cual quiz se incrementa cuando se observa que hacealgunas dcadas el estudio de las razones y proporciones desapareci del currculo escolar yaunque an se identifica como ttulos en los libros de texto, lo que hay es un trabajo confracciones y con fracciones equivalentes (Guacaneme, 2001). Lo anterior seguramente seconvierte en acicate para la curiosidad que acompae al docente de matemticas al permitirse elplacer de plantearse preguntas sobre la diferencia fundamental entre las razones y las fracciones,

o sobre la relacin efectiva entre la teora de la proporcin y la proporcionalidad, entendida estaltima desde la perspectiva funcional. Pero sobre todo al permitirse el placer de no conformarsecon las respuestas inmediatas y, en una actitud ms profesional, cuestionar la validez de stas.

5.

APERTURA A UNA REFLEXIN.UNA INVITACIN

Si bien el estudio de la Historia de la Matemtica se muestra muy potente para la configuracindel conocimiento del profesor de Matemticas, existen en Colombia algunos programas deformacin inicial y continuada de profesores que se resisten a asignarle de facto el lugar que


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parece merecer (Torres & Guacaneme, 2011a, 2011b). Tal resistencia obedece a una variedad detensiones (Vasco, 2002) que una vez identificadas, se convierten en un reto para las institucionesy profesionales formadores de profesores. La invitacin es entonces a asumir el reto y cohesionarlos esfuerzos para que cada vez ms y de mejor manera los profesores de Matemticas incorporenla Historia de las Matemticas como parte sustancial de su formacin profesional.

6.

REFERENCIAS

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