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Astronaut As
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TEMA 4. TOPOLOGIAS FINALES IDENTIFICACION Y SUMA TOPOLOGICA Proposición 7.4.4. Sean X, Y espacios topológicos y sea ƒ: X → Y una aplicación. Entonces la topología sobre Y es la topología imagen directa por ƒ si y solo si el conjunto de cerrados de Y es { CYƒ −1 ( C ) Xes cerrado }. DEFINICION 7.4.5 Diremos que una aplicación ƒ: (X, T x ) → (Y, T y ) es una identificación si ƒ es suprayectiva y T y =¿ ƒ T x . Vamos a ver la relación que hay entre proyecciones en espacios cocientes e identificaciones. PROPOSICION 7.4.6. Sea X E.T y R relación de equivalencia en X, entonces la proyección π R : X→ X/R es una identificación. Análogamente, se tiene una especie de reciproco de este resultado. Obsérvese que si ƒ: (X, T x ) → (Y, T y ) es una identificación, entonces podemos definir la siguiente relación de equivalencia si x,y X, entonces x R f ⏟ y ❑ ⇔ ƒ(x) = ƒ(y). En tal caso tenemos el espacio cociente X/ R f y ƒ factoriza por dicho espacio obteniéndose el siguiente diagrama X → Y, X/ R f Donde f= h ° π f PROPOSICION 7.4.7. La aplicación h: X/ R f → Y descrita es un homeomorfismo. Por tanto, toda identificación puede verse como la proyección sobre una topología cociente y toda proyección cociente es una identificación. ƒ h π f
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TEMA 4. TOPOLOGIAS FINALES IDENTIFICACION Y SUMA TOPOLOGICAProposicin 7.4.4. Sean X Y espacios !opo"#icos $ sea %& X ' Y (na ap"icacin.En!onces "a !opo"o#)a so*re Y es "a !opo"o#)a i+a#en ,irec!a por % si $ so"o si e"con-(n!o ,e cerra,os ,e Y es {CY 1(C) X es cerrado}.DEFINICION 7.4.. Dire+os /(e (na ap"icacin %& 0XTx1 ' 0Y Ty1 es (nai,en!i2icacin si % es s(pra$ec!i3a $ Ty=%Tx.4a+osa3er "are"acin/(e5a$en!repro$eccionesenespacioscocien!esei,en!i2icaciones.P6OPOSICION 7.4.7. Sea X E.T$ 6 re"acin ,e e/(i3a"encia en X en!onces "apro$eccin R & X' X86 es (na i,en!i2icacin. An9"o#a+en!e se !iene (na especie ,e reciproco ,e es!e res("!a,o. O*s:r3ese/(e si %& 0XTx1 ' 0Y Ty1 es (na i,en!i2icacin en!onces po,e+os ,e2inir "asi#(ien!e re"acin ,e e/(i3a"encia si ;$ X en!onces ;Rf$ %0;1 < %0$1. En !a" caso !ene+os e" espacio cocien!e X8Rf$ % 2ac!ori=a por ,ic5o espacioo*!eni:n,ose e" si#(ien!e ,ia#ra+aX ' YX8RfDon,e 2< 5 fP6OPOSICION 7.4.7. La ap"icacin 5& X8Rf' Y ,escri!a es (n5o+eo+or2is+o.Por !an!o !o,a i,en!i2icacin p(e,e 3erse co+o "a pro$eccin so*re (na !opo"o#)acocien!e $ !o,a pro$eccin cocien!e es (na i,en!i2icacin.P6OPIEDADES 7.4.> 0I,en!i2icaciones1. Consi,ere+os f1& X'Y $ f 2& Y'?ap"icaciones con!in(as&hf@1 Sif1$f 2son i,en!i2icaciones en!oncesf 2 f1es (nai,en!i2icacin.A1 Si "aco+posicinf 2 f1es(nai,en!i2icacin en!oncesf 2esi,en!i2icacin.B1 Sif1es(nai,en!i2icacinen!oncesf 2 f1esi,en!i2icacinsi $so"o si f 2 es i,en!i2icacin.41 Una ap"icacin con!in(a so*re$ec!i3a $ a*ier!a 0o cerra,a1 es (nai,en!i2icacin..1 Si % es (na ap"icacin *i$ec!i3a en!onces es i,en!i2icacin si $ so"o si es5o+eo+or2is+o.ECE6CICIO7.BA. Sean X YE.T. %& X'Yi,en!i2icacin. Sean D YA &< f10D1 X $ %& A ' D "a ap"icacin in,(ci,a por %. De+os!rar /(e si D esa*ier!o 0resp. cerra,o1 en!onces % es i,en!i2icacin .Ter+ina+os es!e !e+a con o!ro e-e+p"o i+por!an!e ,e !opo"o#)a 2ina".CONST6UCCION 7.4.E. La s(+a !opo"#ica ,e (na 2a+i"ia ,e espacios!opo"#icos se,e2ineco+osi#(e. Consi,ere+os(na2a+i"iaF0X
T1GA,eE.T.$e" con-(n!os(+aX&.@.@>. $a/(ea(n/(eescerra,o0E-ercicio B.41 no es aco!a,o.ODSE64ACION>[email protected]. Enpar!ic("ar !o,a2(ncincon!in(a,e(ncerra,o$aco!a,o ,e R" en 6 a,+i!e +9;i+os $ +)ni+os a*so"(!os.
