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Juan Martín García – Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas 148

Análisis de sensibilidad

Es muy común en los ejercicios o problemas que los cálculos se efectúen de una

manera determinista, es decir, tratando a la totalidad de las variables como constantes

conocidas. Sin embargo, la realidad es que pocas veces se conocen los valores exactos de

las variables: en la mayoría de las situaciones, se trabaja con estimaciones de las

condiciones medias o conservadoras, e inclusive, del peor de los casos.

Cuando se mide repetidamente un parámetro físico o químico, o cuando se efectúan

estudios de campo sobre fenómenos de naturaleza económica o social, lo que en realidad

se obtiene es un conjunto de valores más o menos parecidos, con un rango de variación que

depende de muchos factores, tales como la precisión del instrumental, la pericia del

analista, el tamaño de la muestra etc. De este modo, el valor obtenido se convierte en un

evento fortuito o aleatorio. Así que en rigor, al repetir la medición o el ensayo, más que el

valor exacto de una variable se obtiene un conjunto de valores que puede adoptar esa

variable, cada uno de ellos con una probabilidad asociada, la cual indica cuan posible es

que ese valor se obtenga si se repiten las mediciones. Decimos entonces que se trata de una

variable aleatoria. Es posible construir tablas o gráficas donde se coloquen los distintos

valores de “x” y sus probabilidades asociadas, e inclusive construir fórmulas que permitan

vincular el valor y su probabilidad. Esas tablas, gráficas o fórmulas se conocen como

distribuciones de probabilidad.

No por simple y conocido deja de ser útil el ejemplo de la moneda: si arrojo al aire

una moneda legal y descarto que caiga de canto, tendré un 50% de probabilidades de caiga

cara o cruz. Así que tengo dos resultados posibles para el experimento, cada uno con su

probabilidad asociada.

Lamentablemente, los acontecimientos reales son mucho más complejos y difíciles

de representar a través de modelos teóricos con simples cálculos de probabilidad. El

estadístico razona desde la población conocida a la muestra desconocida. En cambio, quien

intenta representar el mundo real parte normalmente de muestras, e intenta sacar

conclusiones acerca de la población. Por ejemplo se hace una muestra de la intención de

voto con la idea de predecir los resultados de las elecciones.

La extrapolación desde una pequeña realidad conocida a un mundo desconocido

debe fundamentarse de alguna manera que supere a la mera intuición, y es ahí donde se

hace necesaria la intervención de la Estadística, una ciencia que suele resultar de difícil

abordaje y más bien antipática a menos que se realice un decidido esfuerzo por entender el

significado de las herramientas de análisis que brinda.

Ante todo es importante tener en claro para que se la emplea, evitando caer en el error de aplicar mecánicamente fórmulas o “recetas” que validen el resultado de

experiencias o ensayos sin saber muy bien que se está haciendo.

Si se acumula un gran número de datos que luego se utilizan para describir y

extraer información, estamos frente a la estadística descriptiva, relativamente sencilla de


utilizar y comprender. Pero si se usan las herramientas que permiten formular inferencias

acerca de una población partiendo de una muestra estamos frente a la estadística

inferencial que es la que suele generar mayores problemas de comprensión. Sin embargo

su utilidad es enorme y permite que innumerables decisiones se tomen sobre bases más

sólidas que la sola experiencia práctica.

Una herramienta de uso casi permanente en la estadística inferencial son las

distribuciones de probabilidad teóricas las cuales son en definitiva funciones

matemáticas presentadas en forma de gráficos o tablas que establecen una relación entre un

valor x y su probabilidad f(x) de producirse.

Estas distribuciones, aunque teóricas, no son caprichosas. No se desarrollaron

porque sí, ni se las elige sin análisis previo. Tienen que ver con el patrón de

comportamiento que quieren representar.

Antes que nada debemos tener claro el tipo de variable a utilizar: si el número de

valores que puede tomar es contable, se trata de una variable discreta; en cambio, si la

variable puede tomar un infinito número de valores dentro de un cierto rango, es una

variable continua. El número de personas dentro de un avión o el número de pedidos

nuevos recibidos en una fábrica son ejemplo de variables discretas. Por el contrario, los

tiempos de espera en la caja de un supermercado o en el peaje de una autopista, así como la

altura o el peso de una persona son variables continuas porque tienen infinitos decimales.

En cuanto a la naturaleza del evento analizado, también hay diferencias.

Supongamos que al realizar una encuesta de mercado, buscando determinar las

preferencias de la población por la bebida A en competencia con la B, obtendremos como

resultado un cierto número de personas que optan por A, y el resto optan por B. Se parece

al caso de tirar la moneda. Hay muchos sondeos a nivel social, industrial y en educación

que presentan este comportamiento. O sea: n ensayos con dos posibles resultados: éxito

(favorable a mis intereses), fracaso (desfavorable). En este caso la distribución teórica

aplicable es la Binomial.

Consideremos ahora el caso de medir la estatura de todos los empleados de una

empresa. Dependiendo de la precisión con que se lo haga, la distribución de valores

obtenidas se acercará a una variable continua, que presenta una tendencia central, y cierta

dispersión en los resultados obtenidos, ya que son menos frecuentes las personas muy bajas

o muy altas. Lo mismo ocurre con los resultados de los análisis de laboratorio, las

mediciones de rendimiento o calidad de equipos, los ingresos medios de la población etc.

Para estos casos, la más conocida y utilizada es la Distribución de Probabilidad Normal,

cuyo gráfico es una curva en forma de campana, simétrico a ambos lados del valor central.

Muchos acontecimientos de la vida real se comportan aproximadamente en forma

“normal”.

La forma más común de medir el valor central es la media (promedio de todos los

datos), y la dispersión a través de la desviación estándar, cuyas formas de cálculo figuran

en cualquier texto de estadística. Estos datos son los necesarios para calcular los límites de

confianza del valor estimado, que serán más distantes cuanto mayor sea el grado de

certidumbre que pretendo tener.


Hasta aquí se han desarrollado conceptos estadísticos básicos que luego aparecerán

en la aplicación de algunas herramientas del software utilizado.

Pero no nos olvidemos que los parámetros que se utilizan en un modelo de

simulación dinámica constituyen las mejores estimaciones de sus valores reales. Por

ejemplo, el margen de rentabilidad de un producto puede estar basado en las mejores

estimaciones del precio de venta y del costo variable por unidad, lo cual supone ciertos

costes salariales, tiempos esperados de proceso y costos de materiales. Por otra parte, la

calidad de la información tiene un costo que, lógicamente, es mayor cuanto más exactitud

se pretenda. Y las empresas tienen límites a veces bastante modestos en cuanto a lo que

quieren invertir en estudios de mercado, sondeos o recopilación de datos históricos.

Nuestro problema es que tenemos un modelo construido, probado e incluso

calibrado. Ahora bien, ¿cómo responde ante cambios en los parámetros utilizados? Es decir

¿cuán sensibles resultan los resultados del modelo a los cambios en esos parámetros sobre

los cuales tenemos dudas?. Este análisis posterior a la construcción y ajuste del modelo se

conoce como Análisis de Sensibilidad.

Si tenemos un modelo con parámetros que son variables continuas distribuidas en

forma normal, podemos preguntarnos si será necesario ejecutar el programa un número

infinito de veces, cambiando cada vez los valores. Esto es imposible de llevar a la práctica.

Por suerte la respuesta a esa pregunta es negativa. Lo que si se puede hacer, con menos

costo y en tiempos razonables es simular el proceso un gran número de veces (aunque

finito) adoptando cada vez valores diferentes en los parámetros. A la técnica de simular un

proceso que contiene elementos aleatorios repitiendo el proceso una y otra vez para ver

cómo se comporta se le llama Método de Montecarlo y es de aplicación usual en estudios

empresariales y científicos.

En el caso concreto de los modelos de simulación dinámica, el análisis de

sensibilidad por el Método de Montecarlo está incorporado como una herramienta del

software, de modo que lo importante es saber que datos alimentar a la simulación y cómo

interpretar los resultados.

Consideremos la siguiente situación: un fabricante de cervezas se encuentra con

problemas para programar su producción. No conoce su participación exacta en el

mercado, lo afecta la estacionalidad del consumo, desconoce la capacidad máxima de

consumo del mercado al cual dirige su producto. Encarga un estudio, y le informan que el

máximo consumo ronda el 1.000.000 de litros diarios, y que un estudio sobre 500 personas

que probaron la bebida comparando con su principal competidor, 350 han elegido su

producto. Sus asesores le dicen que sería adecuado formular un modelo de simulación

sobre el cual se haga un análisis de sensibilidad considerando que la variable “consumo” se

comporta según una Distribución Binomial. Así que un muy sencillo modelo de

simulación dinámica, que considere una producción, un nivel de stock y un consumo le darán una primera aproximación rápida de cómo programar su producción. Este mismo

modelo podrá luego ir completándose a efectos de considerar otras variables que afecten el

consumo (estacionalidad, poder adquisitivo, aparición de nuevos productos, búsqueda de

nuevos mercados...).


Una vez que se ha construido y probado el modelo, la elección de la herramienta de

Análisis de Sensibilidad abre un cuadro que requiere definir algunos datos, dependiendo de

la distribución que se elija. Las opciones son varias, si bien las más comunes son la

distribución uniforme, que asigna a todos los valores igual probabilidad, y la distribución

normal. En este ejemplo hemos elegido la binomial. Seleccionamos como variables

aleatorias las que creemos que influyen de forma más decisiva en el comportamiento del

sistema. Donde debemos poner mayor cuidado es cuando elegimos la distribución. En el

caso de la binomial hemos de definir 6 parámetros. Se nos pide un valor mínimo, uno

máximo, una probabilidad, el número de simulaciones, la media y la desviación estándar.

Los dos primeros tienen que ver con la situación real, y pueden elegirse aprovechando los

datos del ensayo. Los cuatro últimos tienen que ver con la distribución y para nuestro

ejemplo del fabricante de cerveza serían 0.7, 500, 350 y 10.25.

Así que completados los datos y ejecutado el análisis, veremos un gráfico que cubre

una superficie y además presenta en su parte superior una referencia que dice 50%, 75%,

95% y 100%.

25% 50% 75% 100%

Estos son los límites de confianza. Sin entrar en detalles estadísticos, estos límites

nos dan idea de la probabilidad de acertar en el análisis, razón por la cual el gráfico

correspondiente a un 50% es más estrecho que el de 75%, y éste que el de 95%. Es decir,

con un menor porcentaje obtenemos una predicción más centrada y precisa, pero tenemos

mayor riesgo de equivocarnos.

Más allá de la exactitud de las estimaciones, un análisis de sensibilidad, que podría

también efectuarse simplemente cambiando varias veces el valor de un parámetro y

observando lo que ocurre, nos muestra aquellas variables cuyos cambios afectan más el

comportamiento del sistema, razón por la cual serán las que reciban mayor atención.


Caso 13. El equipo de ventas

El modelo de ventas que se comenta a continuación contiene un ciclo de

realimentación positivo principal, en el que un mayor número de vendedores pueden

generar más ventas, incrementando el beneficio y permitiendo contratar más vendedores.

Existe además un ciclo de realimentación negativo que ajusta la fuerza de ventas mediante

la contratación o los despidos. Crear el modelo ventas.mdl .


Para dibujar el signo + del ciclo, pulsar en el icono Comment y en la

ventana que se abre desplegar el menú a la derecha de Image (en blanco) y seleccionar el

símbolo +. Después marcar la opción de Loop Clkwse.

Para dibujar un flujo de doble sentido, activar el

icono de la mano, pulsar en el pequeño círculo del flujo

con el botón derecho del ratón y marcar la opción

Arrowhead

Ecuaciones Los parámetros temporales se pueden definir al hacer File – New Model o bien

desde Model – Settings, son: INITIAL TIME = 0 FINAL TIME = 60

TIME STEP = 0.25 Unidades de Tiempo: Mes

(01)contratación neta= (vendedores deseados - Vendedores) /

plazo de ajuste

Units: personas/Mes

(02)pedidos= Vendedores * productividad de vendedores

Units: unidad/Mes

(03)Facturación= pedidos * precio del artículo

Units: $/Mes

(04)plazo de ajuste= 6

Units: Mes

(05)precio del artículo=100+step(10,20)

Units: $/unidad

(06)presupuesto de ventas=Facturación * % a ventas

Units: $/Mes

(07)productividad de vendedores = Vendedores

lookup (10,200),(50,200),(100,120)

Units: unidad/(personas*Mes)

(08)salarios= 2000

Units: $/(personas*Mes)


(09) Vendedores= contratación neta

initial value = 50

Units: personas

(10) vendedores deseados= presupuesto de ventas / salarios

Units: personas

(11) % a ventas= 0.1

Units: Dmnl (Dmnl= sin dimensiones)

Simulación base

Primero simularemos el modelo que se comporta de forma estable hasta el periodo

20 en el que incrementamos el precio del artículo de 100 a 110 para observar su

comportamiento.

- En la caja de edición del nombre de la simulación escribir baserun y pulsar Intro.

- Pulsar en el icono Simulate.

- Pulsar dos veces en Vendedores y pulsar después en el icono de Gráfico. Repetir esta

operación para la variable Facturación . Se observa que ambas variables crecen a

partir del periodo 20 y luego se estabilizan.

ATENCION: Revisar el signo, que

puede ser negativo si el flujo de dos

direcciones se dibujó de salida y luego

se añadió la flecha de entrada


- Pulsar alternativamente en los iconos para ver el diagrama del modelo o

bien las dos salidas graficas.

- Seleccionar en el Panel de Control el icono de Datasets y pulsar dos veces en baserun

para dejarlo inactivo.

Incertidumbre en múltiples parámetros Este modelo contiene cuatro constantes que podemos variar para examinar su

efecto en la salida de la simulación. Son: precio del artículo, plazo de

ajuste, salarios, y el % a ventas.

Supongamos que conocemos los valores exactos para dos constantes: precio

del artículo y % a ventas, porque son decisiones políticas que los gerentes

pueden realmente definir. Los parámetros inciertos son plazo de ajuste y

salarios. Seleccionaremos estos dos últimos elementos y les asignaremos los valores

máximos y mínimos que creemos pueden tener, y también la distribución de probabilidad

que pueden tener, para finalmente observar su impacto en el comportamiento del modelo.

Observe que podríamos seleccionar sólo un parámetro si quisiéramos observar la

sensibilidad del comportamiento del modelo a ese parámetro en especial.

Inicio del análisis de sensibilidad - En la caja de nombre de la simulación teclear sensibilidad como el nombre de la nueva

simulación (actualmente es baserun).

- Pulsar en el icono Monte Carlo para que se abra el menú:


- Asegúrese que está señalada la opción de Multivariate y que el número de simulaciones

(Number of Simulations) esté en 200. El Método de Montecarlo trabaja probando un

conjunto de números dentro de un cierto rango. Para realizar un análisis multivariable hace

una muestra aleatoria de valores de la distribución para cada elemento especificado y los

valores resultantes son el resultado de una simulación. Cuando el Número de

Simulaciones es 200 este proceso se repetirá 200 veces.

- Pulsar en el botón Parameter y se abrirá una caja de diálogo que mostrará todos los

parámetros (elementos que son constantes) del modelo, que son los elementos que pueden

seleccionarse para el análisis. Pulsar en plazo de ajuste y después en OK.

Distribuciones estadísticas

Distribución Uniforme Aleatoria Para hacer un análisis de sensibilidad es necesario definir qué tipo de distribución

de probabilidad se elije para cada parámetro. La distribución más simple es la Distribución

Uniforme Aleatoria, en la que existe la misma probabilidad de que ocurra cualquier

número entre el valor mínimo y máximo. Esta distribución es aplicable para la mayoría de

los análisis de sensibilidad y se selecciona por omisión. Otra distribución comúnmente

usada es la Distribución Normal (Campana de Gauss) en la que los valores cercanos a la

media son más probables que ocurran que los valores lejos de la media.


Las distribuciones normalmente usadas son Uniforme, Normal y las distribuciones

Triangulares. Si no tiene ningún motivo para seleccionar una distribución determinada, es

conveniente elegir una Distribución Uniforme.

Los valores mínimo y máximo se escogen para limitar el rango de cada parámetro.

Observe que el valor real del esta variable en el modelo, que es 6, se indica debajo del

botón Parameter – Model Value.

- Pulsar en la caja Minimum Value (Valor Mínimo) y teclear 3. Pulsar en la caja

Maximum Value (Valor Máximo) y teclear 12. Estos números son asimétricos alrededor

del valor 6 del modelo; creemos que el valor podría ser un poco más bajo o mucho más

grande. Pulsar en el icono Add Editing (Añadir Edición).

- Pulsar en el icono Parameter (Parámetro), escoger salarios y pulsar en OK.

Distribución Aleatoria Normal

Para salarios escogeremos una distribución RANDOM NORMAL cuyos

valores se obtienen según una Distribución Normal y se han de indicar los límites máximo

y mínimo, así como una media y desviación estándar.

- En la caja de Distribution seleccionar la opción RANDOM NORMAL de la lista.

- Pulsar en la caja del Minimum Value (Valor Mínimo) y teclear 1800. Pulsar en la caja

de Maximum Value (Valor Máximo) y teclear 2200. Pulsar en la caja Mean (Media) y

teclear 2000. Pulsar en la caja Standard Deviation (Desviación Estándar) y teclear 100.

Pulsar en la caja Add Editing (Añadir Edición). La pantalla debe aparecer similar a la

imagen siguiente.

- Pulsar en el

icono Next

(Siguiente).


Resultados. Variables de especial interés Los análisis de sensibilidad generan una cantidad muy grande de datos, por lo que

es necesario limitar los datos guardados a esas variables en las que estamos muy

interesados. Debemos guardar sólo valores para las variables que son de interés real;

intentar guardar los valores del análisis sensibilidad para todas las variables en el modelo

consume mucho tiempo y una gran cantidad de espacio en disco.

- Pulsar en el botón Select (Seleccionar), se abrirá un menú mostrando todas las variables

del modelo. Escoja Facturación y pulse en OK. Pulsar en el botón Add Editing

(Añadir Edición).

- Pulse en el icono Select (Seleccionar) y escoger Vendedores luego pulse en el icono

de OK. Pulse en el icono Add Editing (Añadir Edición).

NOTA podríamos simplemente teclear estos nombres individualmente en la caja de

edición y pulsar en el icono Add Editing (Añadir Edición).

El resultado debe ser como el siguiente:

- Pulsar en el icono de Finish (Terminar).


Análisis de sensibilidad

El modelo se simulará y luego realizará 200 simulaciones adicionales mientras

cambia automáticamente los parámetros plazo de ajuste y salarios. La

simulación contiene el comportamiento estándar para todas las variables con los valores de

las constantes originales del modelo, y un rango de valores para las variables

Facturación y Vendedores generada por las 200 simulaciones.

- Pulsar dos veces en la variable Facturación en la pantalla para seleccionarla.

Límites de confianza - Pulsar en el icono Sensitivity Graph (Gráfico de Sensibilidad). Se genera un

gráfico que muestra los límites de confianza para todos los valores de Facturación

que se generaron cuando los dos parámetros se modificaron al azar alrededor de sus

distribuciones estadísticas.

Los límites exteriores de incertidumbre (100%) muestran los valores máximos de

aproximadamente 1,2 millones y un valor del mínimo de aproximadamente 750.000 al

final de la simulación. Observe la posibilidad de una disminución en el Facturación.

La simulación original (con los valores de las constantes definidos en el modelo) se dibuja

como una línea azul indicada en la parte superior con el nombre de baserun.


Escalas de los gráficos Se puede ajustar la escala para mostrar con más detalle el rango inferior de los

valores de la incertidumbre. Vamos a ver ampliada la zona de Facturación entre

500.000 y 1.5 M.

- Poner el puntero en la línea horizontal del gráfico que muestra el Facturación en 1.5

M. Mantenga apretada la tecla Ctrl y luego pulse con el botón del ratón. Arrastre el ratón

para que el cursor se mueva a la línea que muestra el Facturación igual a 500.000.

Suelte el botón del ratón. No se observa ningún cambio en la pantalla hasta que pulsa

en el icono Sensitivity Graph Percentiles. Obtenemos una gráfica con la zona 500.000 a

1.500.000 ampliada.

- Poner el puntero en la línea vertical del gráfico que muestra el periodo 15. Mantener

apretada la tecla Mayúsculas y luego pulsar con el botón del ratón. Arrastrar el ratón para

que el cursor se mueva a la línea del periodo 24. Soltar el botón del ratón. No se observa

ningún cambio en la pantalla hasta que pulsa el icono Sensitivity Graph Percentiles.

Obtenemos una grafica similar a la siguiente en función de los puntos exactos donde

hayamos pulsado en la gráfica y donde hayamos soltado el ratón.

Pulsando el icono Sensitivity podemos ver una representación de las

200 trayectorias que se han simulado.


Los resultados del análisis de sensibilidad pueden mostrarse en forma de

histograma. Éstos proporcionan una sección transversal de valores en un periodo de tiempo

en particular. Los histogramas muestran el número de simulaciones para los que la variable

estaba en un rango dado en el momento determinado. Los histogramas proporcionan un

mecanismo para observar la distribución de los valores de una variable sobre todas las

simulaciones realizadas y en un momento determinado.

En Vensim PLE Plus el gráfico de barras está configurado para mostrar la

sensibilidad en un periodo determinado. En otras versiones es posible definir los

parámetros de la gráfica.


Ejercicio práctico. Kaibab El de modelo de los ciervos de la reserva del Kaibab (*) se presta a realizar un

análisis de sensibilidad centrado en la evolución del número de ciervos. Tómelo para

realizar un análisis de sensibilidad con total libertad en la selección de parámetros y en el

tipo de distribución estadística.

Considere que podemos modificar el área de la Reserva entre 500.000 y 1.200.000

acres, dividiéndola en dos y confinando los ciervos en una parte, o bien ampliando el

parque con una zona adyacente. Considere una distribución Random Uniform.

Realice ambas simulaciones por separado. En una de ellas, tomando entre 500.000

y 1.000.000 acres, que es el valor inicial, ha de obtener este resultado.

Comente los resultados obtenidos, y analice el impacto de utilizar otras

distribuciones estadísticas.

(*) Libro “Teoría y ejercicios Prácticos de Dinámica de Sistemas” ISBN 84-607-9304-4 Capitulo 5.2

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