Átomo de hidrógeno, continuación Funciones radiales Las seis primeras funciones radiales se presentan en la siguiente tabla:

Favor de notar: 1) Las funciones s no valen cero para r = 0 2) Las funciones p, d, f, … valen cero para r = 0 3) Las funciones se ven dominadas por una función exponencial negativa

con exponente –Zr/na0 Debido a ello, decaen más lentamente conforme n crece.

Funciones angulares Las funciones angulares puras del átomo de hidrógeno se presentan en la siguiente tabla:

Favor de anotar lo siguiente: 1) La única función que no depende de los ángulos θ y φ es la función s 2) De las tres funciones p dependen de un polinomio trigonométrico lineal

de θ y sólo la pz es una función de valor real 3) Las otras dos funciones p dependen de eimφ 4) Las cinco funciones d dependen de un polinomio trigonométrico

cuadrado de θ y también de eimφ, razón por la cual sólo la dz2 (con m = 0) es una función de valor real.

Funciones radiales Las gráficas de las primeras funciones radiales de tipo s se dan en los siguientes diagramas:

Función radial y su cuadrado para los orbitales 1s, 2s y 3s del hidrógeno, en unidades atómicas.

Funciones radiales Las gráficas de las siguientes funciones radiales, de tipo p y d se dan en los siguientes diagramas:

Función radial y su cuadrado para los orbitales 2p, 3p y 3d del hidrógeno, en unidades atómicas.

Funciones angulares reales A partir de las funciones angulares originales, pueden obtenerse mediante combinaciones lineales adecuadas funciones de valor real. Ello se logra a partir de la ecuación:

φφφ mime im sen cos ±=±

De la que podemos obtener las funciones trigonométricas a partir de combinaciones de funciones exponenciales imaginarias:

2cos

φφ

φimim eem

−+=

ieem

imim

2sen

φφ

φ−−

=

De aquí que las siguientes combinaciones de las funciones angulares originales sean de valor real, llamadas armónicos esféricos, Y(θ,φ)

( ) ( ) ( ) ( )2

,,cos,

φθφθ mmlmmlmlY −− ΦΘ+ΦΘ

=

( ) ( ) ( ) ( )i

Y mmlmmlml 2

,,,sen

φθφθ −− ΦΘ−ΦΘ=

Así por ejemplo, con l=1, obtenemos las funciones de valor real:

( ) ( )x

ii

peeY =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−

φθπ

θπθπ φφ

cossen43

2sen8/3sen8/3 2/12/12/1

1cos,1

Funciones angulares reales Las funciones angulares de valor real más empleadas son las siguientes:

Armónicos esféricos reales normalizados.

Átomo de hidrógeno Funciones angulares reales Vamos a graficar los armónicos esféricos Y1,0(θ,φ) = pz

Y2,0(θ,φ) = dz2

sobre un plano que contenga al eje z, ya que sólo dependen de θ Luego vamos a graficar los armónicos esféricos Y1

1,cos(θ,φ) = px

Y 12,cos(θ,φ) = dxz

sobre el plano xz, o sea con φ=0, valor para el cual cosφ = 1 Y los armónicos esféricos Y2

2,cos(θ,φ) = dx2-y2

Y22,sen(θ,φ) = dxy

Sobre el plano xy, o sea con θ=90°, valor para el cual sen2 θ = 1

Gráficas de las partes angulares

En la figura presentamos la gráfica de la función s: (1/4π)1/2

La función s es un círculo porque siempre vale (1/4π)1/2 independientemente del valor de los ángulos θ y φ. La siguiente función es la pz y su cuadrado. La función es positiva para los valores de θ que van de 0 a 90º, y negativa para los valores de θ que van de 90 a 180º,

Gráficas de las partes angulares Las funciones px y py deben graficarse con más cuidado. Por ejemplo, la px = A senθ cosφ, puede graficarse sobre el plano xz, haciendo φ = 0 y φ = π, o sobre el plano xy, haciendo θ = 90º.

Por su parte, la py = A senθ senφ, puede graficarse sobre el plano xz, haciendo φ = π/2 y φ = 3π/2, o sobre el plano xy, haciendo θ = 90º.

Gráficas de las partes angulares Se muestran las gráficas de las cinco funciones d sobre diferentes planos

Gráficas en coordenadas esféricas polares de las funciones angulares tipo «d», en algunos planos selectos. (a) dz

2, (b) dxz, (c) dyz, (d) dx2-y

2, (e) dxy.

Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares Hay forma de graficar las funciones de onda completas, con parte radial y parte angular tomadas en cuenta. Una de ellas es a través de “curvas de nivel”, que son los puntos del espacio para los cuales se da el mismo valor de la función a graficar, por ejemplo la altura de una montaña:

Curvas de nivel para la altura h de los puntos de una montaña. La aplicación de este concepto para el átomo de hidrógeno es graficar los puntos para los cuales el cuadrado de la función de onda 1s, por ejemplo, vale 0.1, o 0.01, o 0.001, etc.

( ) 0

23

01

1,, aZr

s eaZr

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=π

φθρ

Se iguala esta expresión a 0.1, 0.01, 0.001 y se procede a despejar el valor de r en cada caso, obteniéndose

ρ1s r/a0

0.1 0.58 0.01 1.73 0.001 2.88 0.0001 4.03 0.0001 5.18

Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares Así, podemos obtener la figura para las curvas de nivel de la densidad de probabilidad 1s como:

Curvas de nivel de densidad electrónica 1s, en unidades atómicas. De forma similar, aunque más complicada de hacer, resulta la gráfica de las curvas de nivel de la función de densidad 2pz

Cuatro contornos de densidad de probabilidad constante para el orbital 2pz.

Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares En la siguiente figura presentamos la curva de nivel para la función de densidad de probabilidad 2pz graficada conjuntamente con los valores de la función de densidad sobre el eje z, donde puede observarse la similitud con las curvas de nivel graficadas para una altura de una montaña.

Diagrama de contornos de la magnitud de la función 2pz. Debajo de éste se ha graficado la función sobre el eje z. Los puntos sólidos corresponden a los valores máximo y mínimo de la función.

Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares Las siguientes son curvas de nivel de probabilidad acumulativa para los orbitales 2pz, 3pz, 3dxy y 3dz2. La primera corresponde al 10% de la probabilidad de encontrar al electrón, la segunda al 20%, y así sucesivamente hasta el 90% Se ha marcado como una zona más obscura la que representa el 40% de la probabilidad de encontrar al electrón.

Diagramas de contorno de probabilidad acumulativa. (a) Orbital 2pz. (b) Orbital 3pz. (c) Orbital dxy. (d) Orbital 3dz

2. Los contornos engloban 10, 20, 90 % de probabilidad. La distancia entre cada par de marcas en los ejes corresponde a una unidad atómica. Se ha sombreado el interior del contorno que engloba el 40% de la probabilidad electrónica. Estos son los contornos tridimensionales para la probabilidad acumulativa del 90% en los orbitales 1s a 3d.

Contornos de probabilidad acumulativa que encierran el 90% de la carga electrónica para los orbitales 1s y 3d del hidrógeno. Las marcas sobre los ejes y y z están separadas cada 2Å.

Valor de la energía en la ecuación de Schroedinger El valor de la energía del átomo de hidrógeno que se obtiene al resolver la ecuación de Schroedinger es exactamente la misma que en el modelo de Bohr:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= 2

2

22

4222

aJ18.22

4nZ

hneZEnµκπ

Lo anterior es un magnífico resultado, pues la ecuación de Schroedinger resulta igual de predictiva del espectro del hidrógeno que el modelo de Bohr.

Valor de la cantidad de movimiento angular en la ecuación de Schroedinger Las funciones de onda del hidrógeno resultan ser propias también de los operadores asociados tanto al cuadrado de la magnitud del momentum angular orbital como a su componente en z, de donde pueden obtenerse los valores correspondientes a estas magnitudes como:

( )h1+= llL

hmLz = Pauli agregó una función del espín a la función de onda del hidrógeno, de tal forma que también el cuadrado de la magnitud del momentum angular del espín como su componente en z fueron operadores bajo los cuales la función de onda era una función propia. De esta manera,

( ) 2/1con 1 =+= sssS h

2/1,2/1con −== ssz mmS h

Estos valores del momentum angular estaban de acuerdo con las predicciones más refinadas de los multipletes espectrales y del efecto normal y anormal de Zeemann.