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ATRACCION Y POTENCIAL DR. ARMANDO MINAYA LIZARRAGA 2015

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ATRACCION Y POTENCIAL

ATRACCION Y POTENCIALDR. ARMANDO MINAYA LIZARRAGA2015INTRODUCCIONUn cuerpo rotando adherido a la Tierra se ve sometido a la fuerza gravitatoria de la Tierra y la del resto de los cuerpos celestes, y a una aceleracin centrifuga provocada por el mismo movimiento de rotacin de la Tierra.

El resultado de ambas fuerzas se conoce como fuerza de la gravedad.

Gravitacin, Potencial Gravitacional De acuerdo con la ley de gravitacin de Newton, dos puntos de masa m1 y m2, separados por una distancia l, se atraen uno a otro con una fuerza F.

Gravitacin, Potencial GravitacionalSiendo G la constante gravitacional y l la distancia entre los puntos de masa y m1 y m2 .

Si ahora consideramos que m1 es igual a la unidad y m2 se halla sobre P podemos reescribir la ecuacin (2.1) en la ecuacin (2.2).

En esta el punto P experimenta una aceleracin gravitacional debido al elemento de masa atrayente situado en P, la fuerza segn hemos visto tendra el sentido de P hacia P, la distancia l se puede representar en el sistema cartesiano comoGravitacin, Potencial Gravitacional

La fuerza de la gravedad F se puede resolver en sus diferentes componentes, Fx, Fy y Fz:

F = (Fx,Fy,Fz) (2.4)Gravitacin, Potencial Gravitacional

Si consideramos que la masa P se halla en el origen del sistema de referencia segn la figura las frmulas (2.5), (2.6) y (2.7) se pueden simplificar convirtindose en las ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.10).Gravitacin, Potencial GravitacionalSiendo , y los ngulos que forma r con los diferentes ejes del sistema cartesiano.

La composicin cuadrtica de las tres componentes de la fuerza nos da el mdulo del valor de la fuerza gravitatoria.

Gravitacin, Potencial GravitacionalComo la suma cuadrtica de los cosenos directores (es un vector ortonormalizado) de un vector es 1, se puede resolver finalmente que el mdulo de la fuerza gravitatoria (que es un valor escalar) se corresponde con la ecuacin (2.11).

Siendo esta la expresin ms conocida de la ley de la Gravitacin Universal de Newton.Funcin Potencial GravitatoriaSeguidamente introducimos el concepto de funcin potencial gravitatoria, siendo esta una funcin escalar (V es funcin de la posicin del punto P).

Las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza gravitatoria F se obtienen derivando V respecto la direccin considerada, esto es as debido a que V es un campo conservativo

Funcin Potencial Gravitatoriaesto puede verificarse fcilmente derivando (2.13), para el caso de la componente Fx obtenemos

Esta ltima propiedad se puede escribir formalmente como

es decir, el vector fuerza es el vector gradiente de la funcin escalar VFuncin Potencial GravitatoriaEs una ventaja importante el hecho de poder remplazar las tres componentes de F por la funcin V ya que es mucho ms sencillo manejar la funcin V que las tres componentes de F.

En el caso de que nos encontremos ante una distribucin de masas puntual en el espacio y pretendamos resolver la influencia generada por esta distribucin, basta con resolver la contribucin de cada elemento de masa, siendo la suma de todas las contribuciones el campo gravitatorio de la distribucin de masas (2.17)

Funcin Potencial GravitatoriaCuando la masa no son puntuales y si adems estas no tienen una forma regular como se plantea en el estudio de la atraccin gravitatoria de la Tierra, el clculo de la aceleracin y del potencial se vuelve ms complejo.

Para estos casos conviene abordar el problema calculando la suma de las contribuciones de los elementos diferenciales que componen la masa tal como se considera en la Figura

Funcin Potencial GravitatoriaPara ello ahora consideramos que los puntos materiales estn distribuidos continuamente sobre un volumen v con densidad

Donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Entonces la suma (2.17) se transforma en la integralDonde r es la distancia entre el elemento de masa dm y el punto que sufre la atraccin P.

Funcin Potencial GravitatoriaPara resolver el potencial del punto P hay que calcular la contribucin al potencial que ejerce cada elemento dm, lo cual se puede escribir como la expresin (2.21).

En esta se considera la triple integral extendida sobre v, ya que hay que considerar el potencial de toda la masa que se halla en el volumen v. El elemento de volumen considerado ser

Funcin Potencial GravitatoriaPara el caso de una distribucin de masas las componentes de la fuerza gravitatoria se puede resolver segn la expresin (2.16), que para el caso de la componente Fx es

En la cual sustituyendo finalmente obtenemosLa fuerza Centrifuga y su PotencialLa fuerza de la gravedad influye sobre los objetos que se encuentran sobre la superficie de la tierra y no es debido nicamente a la fuerza gravitatoria provocada por la masa de la tierra, si no que la gravedad tiene una componente debido a la rotacin de la Tierra que realiza respecto al eje conformado por los polos.

Si le asignamos a la Tierra una velocidad de rotacin constante alrededor del eje que en un principio consideraremos fijo, se puede establecer que el valor de la aceleracin centrfuga es

z = 2p (2.24)

La fuerza Centrifuga y su PotencialSiendo la velocidad angular de rotacin de la Tierra, = 2 /86164.10s =7.292115 10-05 rad s-1 esta es conocida con gran precisin por astronoma.

La fuerza Centrifuga y su PotencialEl parmetro p es la distancia desde el punto considerado al eje de rotacin, si hacemos coincidir el eje z de nuestro sistema de referencia con el eje de rotacin de la Tierra entonces p toma el valor

Ahora introduzcamos el potencial centrifugo de z,

z = grad (2.26)

La fuerza Centrifuga y su PotencialSiendo la expresin del potencial centrfugo

Si realizamos la diferencial al cuadrado respecto de x e y, y aplicamos el operador Laplaciano obtendramos = 2 2

En virtud de lo cual finalmente se resuelve que no es armnica.En el caso de que calculemos el Potencial Centrfugo en el Ecuador donde este es mximo obtendremos un valor de =1.1 E-05 m2 s-2 y una aceleracin centrfuga es z = 0.03 m s-2 (0.3 % de la gravitacional) y en los polos =0 m2 s-2 y z= 0 m s-2.Aceleracin de la Gravedad y Potencial de la Gravedad

La aceleracin de la gravedad o gravedad g es el resultado de la composicin de la aceleracin gravitacional F y de la aceleracin centrfuga z:

g =F + z (2.29)

Aceleracin de la Gravedad y Potencial de la GravedadLa direccin de g se conoce como la direccin de la lnea de la plomada, la magnitud g=g es llamada intensidad de la gravedad o aceleracin de la gravedad aunque por lo general se suele utilizar el trmino de gravedad de forma ms general.

En la figura vemos una representacin de la composicin cuadrtica de las dos aceleraciones F y z cuyo resultado es la aceleracin de la gravedad g.

Finalmente podemos resolver que la funcin potencial de la gravedad ser igual a la suma de los potenciales de las componentes de la gravedad, para ello acudimos a las ecuaciones (2.27) y (2.19).

Aceleracin de la Gravedad y Potencial de la Gravedad

Para resolver el valor de la aceleracin de la gravedad aplicamos el gradiente a la funcin potencialEl potencial de la gravedad W y sus primeras derivadas presentan valores finitos y continuos, esto es as por las propiedades heredadas de las funciones V y , solo en el caso de que r o l tienda a infinito entonces grad W presentara discontinuidades.

Aceleracin de la Gravedad y Potencial de la GravedadLas segundas derivadas de la funcin potencial son las que presentan discontinuidades, ya que la funcin potencial de la gravedad hereda las discontinuidades de la funcin potencial gravitatoria, al igual que en esta las discontinuidades aparecen con las variaciones abruptas de la densidad.

La variacin ms acusada de la densidad nos la encontramos en el cambio entre la atmsfera y la corteza superior, en la cual se pasa de un valor de densidad 0.0013 g cm-3 a 2.7 g cm-3.

De V = 4G y (2.28) obtenemos la ecuacin diferencial generalizada de Poisson cumplindose esta en el interior de las masas.

W = 4 G + 2 2 (2.31)

Aceleracin de la Gravedad y Potencial de la GravedadEn el espacio exterior (a partir de ahora consideraremos despreciable la densidad del aire), el potencial de la gravedad cumple la ecuacin diferencial generalizada de Laplace.

W = 2 2 (2.32)

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaVamos a resolver la forma geomtrica que presentara un campo potencial en el caso que fuese generado por una Tierra completamente esfrica.

En un primer paso resolvemos el valor de la atraccin gravitatoria para un punto P que se halla sobre la superficie de esta Tierra terica.

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaComo posteriormente vamos a sumar las aceleraciones gravitatoria y centrifuga, tenemos que descomponer las aceleraciones en unas direcciones determinadas comunes a ambas fuerzas para poderlas sumar.

En este caso en vez de elegir una descomposicin respecto de los 3 ejes cartesianos, optamos por una descomposicin respecto a las coordenadas esfricas (r,,). Esta descomposicin solo presenta la componente del radio (r) que es la direccin en la que acta la fuerza de la gravedad.El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaSiendo M la masa de la Tierra, r la distancia del centro al punto P.

Donde es la velocidad angular de rotacin de la tierra y r es el radio de la Tierra.

Finalmente para resolver el valor de la aceleracin de la gravedad realizamos la suma componente a componente de la aceleracin gravitatoria y centrfuga.

El campo de la Gravedad en una Tierra Esfrica

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaComo ya hemos visto estas componentes pueden deducirse a travs de las funciones potenciales de cada aceleracin, el potencial gravitatorio de V y el de la fuerza centrfuga .

La suma de estos dos potenciales nos da el potencial de la gravedad U (no confundir con W que sera el potencial real de la Tierra).

El campo de la Gravedad en una Tierra Esfrica

Podramos resolver el valor de la aceleracin a travs del gradiente del potencial U.

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaPara el caso de las coordenadas esfricas nos encontramos que la aplicacin del gradiente no es tan inmediata, ya que los elementos diferenciales que consideramos tienen diferentes unidades, con lo cual hay que realizar ciertas consideraciones para homogeneizarlos.

Para resolver elementos diferenciales homogneos, se divide la diferencial respecto de por r y la diferencial respecto de por r.sen. (fig.2.12) (2.47)

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaEn vez de utilizar en las ecuaciones el argumento colatitud , lo sustituimos por

Siendo a equivalente a r ya que es el radio de la Tierra esfrica y m esEl campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaEn el segundo trmino de (2.49) se aprecia claramente que m es el cociente entre las fuerzas centrifuga y gravitacional sobre la tierra esfrica en el ecuador, el cual lo utilizaremos ms haca adelante para resolver la forma real de la Tierra.

Si resolvemos g a travs del gradiente de su funcin potencial U llegamos a la misma solucin resuelta en (2.45).

Calculemos en un primer lugar la componente de g respecto r.

El campo de la Gravedad en una Tierra Esfrica

Para el caso de la componente g respecto de

Ahora veamos la forma que tiene o genera el potencial que hemos calculado a partir de una Tierra esfrica, U en (2.47)El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaEste anlisis se puede realizar fijando un valor del potencial U y resolviendo a diferentes latitudes como ha variado la distancia de esa superficie equipotencial al origen del SR, en el caso de que fuese constante no encontraramos que dicha superficie equipotencial sera una esfera (fig.2.13), como el que aparece en la figura y se deducira finalmente que la forma de la tierra es una esfera ya que la superficie de los mares se cie a la forma de una superficie equipotencial-

Sin embargo el caso del potencial generado por una Tierra esfrica no coincide con el caso arriba planteado. En primer lugar establezcamos el valor de la superficie equipotencial, en este caso adoptamos el valor del potencial en el Polo =90, el cual aplicndolo a (2.48) se obtiene

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaSi este valor lo establecemos como constante en (2.48) y despejamos el valor de r obtenemos que

Donde observamos que r conforme vare la latitud ira variando tambin su valor, la ecuacin (2.55) coincide con el valor del radio vector de una elipse lo cual establece que el potencial generado por la Tierra es el de un elipsoide de revolucin de achatamiento m/2.El campo de la Gravedad en una Tierra Esfrica

Si establecemos unos valores aproximados de los parmetros que configuran las ecuaciones (2.50) y (2.51) podemos resolver los valores de la gravedad a diferentes latitudes.El campo de la Gravedad en una Tierra Esfricaa=6371 km; G= 6.67259 E-11 m3 kg s-2; M=5.976 E24 kg; =2/24 h= 7.2722E-5 rad s-1obtenindose los valores de:

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaEn estos valores se observa que la componente en la direccin del radio es mucho mayor que la componente de la colatitud y para este caso en concreto se puede considerar prcticamente despreciable.

Por lo que se refiere a la componente radial vemos que el valor en los polos es mayor que en el Ecuador que en este caso se explica por la existencia de la fuerza centrfuga la cual es mayor en el Ecuador favoreciendo la disminucin del valor de la gravedad ya que esta se opone a la gravitatoria.

Si comparamos los valores reales de la gravedad medidos sobre la superficie, con los tericos que hemos obtenido:

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaEn este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es menor que el terico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor el real que el terico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la terica presentara un radio ecuatorial mayor que el terico (ya que cuanto ms nos alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los polos la distancia real sea menor que la establecida en el terico (si nos acercamos aumenta el valor de la gravedad).

El campo de la Gravedad en una Tierra Esfrica

El campo de la Gravedad en una Tierra EsfricaSe llama potencial gravitatorio en un punto de un campo gravitatorio al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta dicho punto. Tambin se puede definir el potencial gravitatorio en un punto como la energa potencial por unidad de masa colocada en ese punto del campo gravitatorio..

POTENCIAL GRAVITATORIOSe llama potencial gravitatorio en un punto de un campo gravitatorio al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta dicho punto. Tambin se puede definir el potencial gravitatorio en un punto como la energa potencial por unidad de masa colocada en ese punto del campo gravitatorio..

44Principio de superposicin

La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partculas y sumando los resultados parcialesm1m2m3P

siendo

Tambin se puede aplicar al clculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la accin de un conjunto discreto de ellas

Si un cuerpo est sometido a la accin de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza

r = RT+hPAhRT

Variacin de con la altura

Cuando nos elevamos a una altura h sobre la superficie terrestre, el mdulo del campo gravitatorio en ese nuevo punto ser:

el valor de la gravedad en la superficie terrestre Variacin de con la altura

Variacin de con la profundidad

Para calcular el valor de a una profundidad p desde la superficie de la Tierra, tenemos que tener en cuenta que la masa que crea el campo es la porcin de masa de la Tierra que est por dentro. Para eso expresamos la masa en funcin de la densidad:

Variacin de con la profundidad

Si representamos grficamente el valor de la gravedad en funcin de la profundidad, obtendremos lo siguiente:

Variacin de con la profundidad