Aula 01 - Estatistica - Icms Sp

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CURSO ON-LINE ESTATSTICA PARA ICMS/SP 1 PROFESSOR: VTOR MENEZES

AULA 1

I INTRODUO............................................................................................................................................ 2

1 Estatstica descritiva e inferencial ............................................................................................................ 2

2 Populao e amostra................................................................................................................................. 2

3 Amostragem aleatria ............................................................................................................................... 3

II MEDIDAS DE POSIO PARA DADOS EM ROL. .............................................................................. 3

1 Dados brutos ............................................................................................................................................. 3

2 Rol ............................................................................................................................................................. 4

3 Medidas de posio................................................................................................................................... 6

4 Mdia Aritmtica....................................................................................................................................... 7

5 Mdia Geomtrica e Harmnica ............................................................................................................. 20

6 Mdia ponderada .................................................................................................................................... 24

7 Propriedades da mdia aritmtica .......................................................................................................... 26

8 Mediana .................................................................................................................................................. 34

9 Moda ....................................................................................................................................................... 38

III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS ................................................................................................... 40

LISTA DAS QUESTES DE CONCURSOS UTILIZADAS ......................................................................... 43

GABARITO DAS QUESTES DE CONCURSOS ......................................................................................... 50

ANEXO ................................................................................................................................................................ 51

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I INTRODUO

1 Estatstica descritiva e inferencial

A estatstica usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial.

Nos concursos, a estatstica descritiva geralmente aparece como Estatstica Bsica. Ela busca descrever um conjunto de dados por meio de algumas medidas. Acho que a melhor maneira de entender por meio de um exemplo.

Desejamos pesquisar o salrio das pessoas de um bairro. Entrevistamos diversos moradores e anotamos seus salrios. Um trecho de nossas anotaes poderia ser representado assim:

Salrios dos moradores bairro Nova Vila:

R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00...

E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salrios. S que simplesmente pegar esta listagem e apresentar para algum no permite, de imediato, tirar concluses sobre as pessoas deste bairro. So predominantemente de classe mdia, baixa, alta? O bairro mais ou menos homogneo ou abriga pessoas ricas e pobres?

Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salrio mdio das pessoas pesquisadas no bairro Nova Vila de R$ 3.600,00, a sim j podemos comear a tirar algumas concluses. Esta mdia descreve, de maneira sucinta, todo o nosso conjunto de dados. uma medida tpica na estatstica descritiva.

J a estatstica inferencial tem outro propsito. Se quisermos, a partir da mdia obtida nesta nossa pesquisa, calcular qual a provvel mdia salarial de TODOS os moradores do bairro, usaremos ferramentas de estatstica inferencial. Seu intuito fazer generalizaes, a partir de alguns valores conhecidos.

2 Populao e amostra

Voltemos ao exemplo da seo anterior, em que queramos pesquisar o salrio das pessoas do bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salrios de TODAS as pessoas do bairro a nossa populao.

Populao: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada caracterstica em comum.

No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salrios de pessoas que moram no bairro Nova Vila. Esta a caracterstica de interesse.

Se entrevistarmos TODAS as pessoas do bairro, estamos realizando um CENSO. Agora, dependendo da populao, fica invivel entrevistar todo mundo. Imagine se for um bairro muito grande. De repente no se tem tempo suficiente para esperar que todo mundo seja entrevistado. Ou no se tem dinheiro para pagar toda a quantidade de pessoal que seria necessria para coletar tais dados. Nestes casos, em vez de entrevistarmos todo mundo, trabalhamos com uma AMOSTRA.

Amostra: qualquer subconjunto no vazio da populao.



Apesar de eu ter dito qualquer subconjunto, este qualquer tem exceo. O conjunto de todos os salrios dos moradores (= populao) um subconjunto de si mesmo. Ento uma definio mais correta de amostra seria: qualquer subconjunto no vazio da populao, exceto a prpria populao. Mas isto j preciosismo...

H diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo da pesquisa salarial com os moradores do bairro Nova Vila, j demos algumas razes (tempo, custo). H outras. Suponha que se deseje testar a resistncia de uma dada mercadoria, produzida em srie por uma empresa. O teste consiste em submeter esta mercadoria a presses cada vez maiores, at que ele arrebente. No podemos testar todas as mercadorias produzidas. Se no, no sobra nenhum produto e o teste fica sem o menor sentido. Seria o caso daquela piada comum do portugus (com todo respeito aos portugueses) que risca todos os fsforos da caixa para ver se esto funcionando. Neste caso, testando toda a populao, temos uma situao absurda.

EC 1

Analista de Regulao Economista ARCE/2006 [FCC]

O processo estatstico que consiste em uma avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao, denomina-se:

a) amostragem

b) estimao

c) censo

d) parametrizao

e) correlao

Quando temos acesso a todos os elementos da populao, estamos realizando um censo. Resposta: C.

3 Amostragem aleatria

H diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatria simples a mais cobrada em provas de concursos. De forma bem resumida, podemos dizer que se trata da amostragem feita de forma que cada elemento da populao tem a mesma chance de ser escolhido. Por exemplo: queremos escolher algumas pessoas de uma empresa para realizar uma entrevista. Escrevemos os nomes de todos os funcionrios em pedaos de papel de mesmo tamanho. Colocamos todos os nomes em um saco. Misturamos bem todos os papis. Feito isto sorteamos 5 nomes. Este um exemplo de amostragem aleatria simples. Todos os funcionrios tm a mesma chance de serem escolhidos. Alm disso, qualquer combinao de cinco pessoas tem a mesma chance de ser sorteada. Falamos mais sobre isso na aula 5.

II MEDIDAS DE POSIO PARA DADOS EM ROL.

Vamos falar agora de medidas de posio para dados em rol. Precisamos, portanto, saber o que um rol e o que so medidas de posio. Comecemos pelo rol. S que para chegarmos a ele, vejamos os chamados dados brutos.

1 Dados brutos

Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro. Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram:



Salrio dos moradores da Nova Vila amostra com dez salrios: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.

O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro morador e perguntamos: qual o seu salrio? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente pega e anota este valor. Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 2.000,00. A gente pega e anota este valor. E assim por diante.

A estes dados desorganizados, chamamos de DADOS BRUTOS. Eles esto simplesmente na ordem em que foram coletados. No receberam qualquer tratamento.

2 Rol

Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL. Geralmente em concurso s aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria assim:

Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

O rol j uma primeira forma de organizar nossos dados. tambm uma maneira de apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante algum tempo ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o smbolo R$ e indicar apenas as unidades de milhar.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Ento rol apenas isto. Nada mais que um conjunto de nmeros (resultados de uma pesquisa, de um experimento, etc), colocados em ordem crescente (ou decrescente).

muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa srie de dados. Uma notao muito usual : X i (l-se xis, ndice i). utilizada para nos referimos ao i-simo elemento. Vamos dar um exemplo.

Quem o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como:

Qual o valor de

X 3 ?

Resposta: o terceiro elemento 2 ( X 3 = 2)

Para chegar resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro elemento o 1, o segundo elemento o 2 e o terceiro elemento tambm 2.

Abaixo seguem mais valores de

X i :

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7.



Somatrio

Conhecendo esta notao, podemos apresentar uma ferramenta muito importante em estatstica: o SOMATRIO.

O smbolo de somatrio :

A utilidade do somatrio possibilitar uma escrita mais compacta.

Desejamos saber qual o salrio total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos somar todos os valores de salrios das dez pessoas entrevistadas.

Precisamos fazer o seguinte:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.

Ou seja, o salrio total das dez pessoas entrevistadas de R$ 36.000,00.

Em vez de escrever desta forma, poderamos escrever:

10

X i =36 i =1

O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de Xi. Quais valores de Xi? Aqueles para os quais i vai de 1 at 10.

10

A expresso X i =36 nada mais que uma forma compacta de escrever X1 + X2 + X3 + i =1

X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.

Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma srie de dados, vamos calcular 5

X i . i =2

Sabemos que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Queremos somar valores de Xi para os quais i vai de 2 at 5. Assim, queremos calcular a seguinte soma:

X2 + X3 + X4 + X5

Substituindo os valores, ficamos com:

5

X i = X2 + X3 + X4 + X5 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. i =2

EXERCCIOS PROPOSTOS

EP 1

Considere a seguinte seqncia de dados:

2, 6, 1, 4, 6.

Obtenha o rol correspondente



EP 2

Considere a seguinte seqncia de dados:

3, 1, 4, 2, 7, 3

3

Obtenha o valor de X i i =1

EP 3

Para a mesma seqncia de dados do exerccio anterior, obtenha

4

( )2 X i .

i =1

RESOLUO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

Resoluo - EP 1

ROL: 1, 2, 4, 6, 6

Resoluo EP 2

Primeiro passo: obtendo o ROL.

ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7

Identificando os termos.

X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7

Fazendo a soma:

3

X i i 1=

= X 1 + X 2 + X 3 = 1 + 2 + 3 = 6

Resoluo EP 3

Fazendo a soma:

4

( )2 = 21X

i

+ 2 2 + 32 + 32 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23 .

i =1

3 Medidas de posio

Medidas de posio nos fornecem informaes acerca de posies que os dados ocupam. Podem ser de dois tipos:

Medidas de tendncia central (mdia, mediana e moda).

Medidas separatrizes.

As medidas de tendncia central indicam valores em torno dos quais os dados giram. Um exemplo a mdia. Se dissermos que a nota mdia dos alunos em uma prova foi 6, razovel esperar que as notas giraram em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma nota intermediria, uns 4, 5, 6 ou 7.


Se dissermos que a nota mdia desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, razovel esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10.

As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz o quartil. Uma srie de dados possui trs quartis que separam a srie de dados em quatro partes.

Devido a algumas dificuldades que surgem no estudo de medidas separatrizes, vamos deix-las para depois. Nesta aula s estudaremos a principal medida separatriz: a mediana. As demais estudaremos na aula 3.

4 Mdia Aritmtica

A MDIA ARITMTICA dos dados dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total de observaes. Voltemos nossa pesquisa sobre o salrio dos moradores do bairro. Relembrando o nosso rol:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Calculando a soma dos dados, temos:

10

X i = 36 i 1=

S relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Quais valores? Valores de X para os quais i vai de 1 at 10. Ou seja, queremos somar todos os 10 valores observados.

A mdia fica:

= 36 = 3 6, ___

X 10

Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salrio mdio de R$ 3.600,00.

Mdia apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo nmero de dados.

Este smbolo adotado para mdia ( X ) muito comum. Muitos autores o utilizam. importante saber isto porque s vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e no explicam que se trata da mdia.

Para um conjunto de n dados, a mdia pode ser representada por:

___

X

n

X i = 1 n

A frmula acima indica que, para obter a mdia aritmtica, somamos todos os dados e dividimos por n.

Uma coisa que muita gente confunde o seguinte. Muitas pessoas acham que a mdia precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto falso. No exemplo acima, a mdia foi 3,6. E na nossa amostra no h nenhuma pessoa que ganhe um salrio de R$ 3.600,00.

Este valor 3,6 s um indicativo de que os salrios das pessoas entrevistadas devem girar em torno de R$ 3.600,00.



Antes de irmos para os exerccios, s um comentrio. Alm da mdia aritmtica, h outras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmtica a mais importante (porque a mais cobrada). Portanto, se o exerccio falar apenas mdia, sem mencionar que a aritmtica, pode supor que se trata dela. Vamos a alguns exerccios sobre o assunto.

EP 4

EXERCCIOS PROPOSTOS - MDIA

Calcule a mdia da seguinte seqncia de nmeros: {1, 3, 8}.

EP 5

Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A mdia salarial dos homens de R$ 825,00. A mdia salarial das mulheres R$ 600,00. Qual a mdia geral, de homens e mulheres?

EP 6

Numa empresa, temos 6 homens e 4 mulheres. A mdia salarial dos homens de R$ 2.000,00. A mdia salarial geral (considerando homens e mulheres) R$ 1.600,00. Qual a mdia salarial das mulheres?

EP 7

Numa empresa, temos 100 funcionrios. A mdia do salrio dos homens de R$ 1.000,00. A mdia do salrio das mulheres de R$ 900,00. A mdia geral, considerando homens e mulheres, R$ 960,00. Quantas mulheres h na empresa?

Resoluo - EP 4


X = 1 + 3 + 8 = 4 3

Resoluo - EP 5

Vamos chamar o salrio dos homens de H.

Como assim??

Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salrios:

725,00; 800,00; 850,00; 925,00.

Pronto, a mdia desses salrios de 825,00.

Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte:

O salrio do primeiro homem 725. Portanto:

O salrio do segundo homem 800. Portanto:

E assim por diante.

H1 = 725

H 2 = 800



Pois bem, somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

= H 825 4

Multiplicando cruzado:

H = 4 825 = 3300

Ou seja, a soma dos salrios de todos os homens igual a R$ 3.300,00.

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:

600 = M 5

M = 5 600 = 3000

Ou seja, a soma dos salrios de todas as mulheres igual a R$ 3.000,00.

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

Mdia _

geral = H + M 9

Substituindo os valores:

Mdia _ geral = 3300 + 3000 = 700 9

A mdia geral, incluindo homens e mulheres, de R$ 700,00.

Note que na empresa h mais mulheres do que homens. Portanto, a mdia geral est mais prxima da mdia das mulheres.

Resoluo - EP 6

Exerccio bem parecido com o anterior.

Vamos chamar de H o salrio dos homens e de M o salrio das mulheres.

A mdia salarial dos homens igual a R$ 2.000,00. E para obter esta mdia, somamos os salrios de todos os homens e dividimos por 6 (so seis homens).

Portanto:

= H 2000 6


H = 6 2000 = 12000

Assim, a soma dos salrios dos homens igual a R$ 12.000,00.



A mdia salarial geral obtida somando o salrio de todos os homens, de todas as mulheres, e dividindo por 10 (so 10 pessoas ao todo).

= H + M 1600 10


H + M = 16000

A soma dos salrios de todos os homens e todas as mulheres igual a R$ 16.000,00.

Mas j sabemos que a soma dos salrios dos homens igual a R$ 12.000,00. Substituindo o valor da soma dos salrios dos homens:

12000 + M = 16000

M = 4000

A soma dos salrios das mulheres igual a R$ 4.000,00. Como so quatro mulheres, a mdia salarial das mulheres fica:

Mdia _ mulheres = 4000 = 1000 4

As mulheres ganham em mdia R$ 1.000,00.

Como h mais homens na empresa, a mdia geral mais prxima da mdia masculina.

Resoluo - EP 7

Este exerccio um pouco mais difcil que os anteriores.

Como no sabemos o nmero de homens e de mulheres, vamos dizer que so a homens e b mulheres.

Portanto:

a + b = 100 (h 100 funcionrios na empresa).

Esta a primeira equao.

a + b = 100 (I)

Vamos, como de costume, chamar o salrio dos homens de H e o das mulheres de M.

A mdia dos salrios dos homens R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salrios dos homens e dividindo por a (so a homens), temos a mdia salarial masculina (=1000).

1000 = H a


H = 1000 a

A soma dos salrios de todos os homens igual a mil vezes o nmero de homens.



A mdia dos salrios das mulheres R$ 900,00. Portanto, somando o salrio de todas as mulheres e dividindo por b (so b mulheres), temos a mdia salarial feminina (=900):

900 = M b


M = 900 b

A soma dos salrios de todas as mulheres igual a 900 vezes o nmero de mulheres.

A mdia geral R$ 960,00. Ou seja, somando o salrio de todos os homens e de todas as mulheres, dividindo pelo nmero de pessoas (=a+b), temos a mdia geral.

960 = H +

M

a + b


H + M = 960 (a + b)

A soma de salrios de homens e mulheres igual a 960 vezes o nmero de pessoas.

Substituindo as somas de salrios de homens e mulheres:

1000 a + 900 b = 960 (a + b) (II)

Esta a equao II. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de resolver. Aqui, vamos fazer o seguinte:

1000 a + 900 b = 960 (a + b)

Substitumos 1000 a por 100 a + 900 a

1000 a + 900 b = 960 (a + b )

Continuando:

100 a + 900 a + 900 b = 960 (a + b )

100 a + 900 a + 900 b = 960 (a + b)

Colocando 900 em evidncia:

100 a + 900 (a + b) = 960 (a + b)

Lembrando que a + b = 100

100 a + 900 100 = 960 100

Dividindo todos os termos por 100:

a + 900 = 960

a = 60 b = 40

So quarenta mulheres na empresa.



Para quem tem facilidade com contas, esta resoluo rpida. J outras pessoas preferem, em vez de ficar montando essas equaes, decorar uma frmula que d direto o percentual de homens (ou de mulheres). Esta frmula nada mais que uma combinao das duas equaes vistas acima. A vai de cada um. Eu, particularmente, prefiro decorar o menos possvel. J tem tanta coisa pra decorar pra um concurso. Quanto mais eu puder aliviar a memria, melhor. De todo modo, vamos passar a frmula, para quem assim preferir.

Vamos chamar a mdia dos salrios das mulheres de M . A mdia dos salrios dos homens de H . A mdia geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e mulheres no conjunto fica:

perc _ de _ hom ens = X M

= 960 900 = 60 = %60

H M 1000 900 100

perc _ de _ mulheres =

X H = 960 1000 =

40 100

= %40

M H 900 1000

EC 2

Fiscal ICMS/SC - 1998

EXERCCIOS DE CONCURSOS - MDIA

Uma empresa possui dois tcnicos em informtica recebendo salrios, mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por ms, um diretor de recursos humanos com salrio mensal de R$ 7.000,00 e trs outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por ms. A mdia, mensal, destes salrios :

a) 5.830,00

b) 6.830,00

c) 2.830,00

d) 3.830,00

e) 4.830,00

O nosso rol pode ser escrito assim:

Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000.

So 10 dados (n = 10)

A mdia fica:

___ X

n

X i = 1 n

___

400. = 3X

+ 3 400.

+ 4 500.

+ 4 500.

+ 4 500.

10

+ 4 500.

+ 5 500.

+ 5 500.

+ 7 000.

___

X

= 48 300. = 4 830. 10



Resposta: letra E.

EC 3

Analista Contbil-Financeiro- SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova : {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, mdia e mediana deste conjunto so, respectivamente:

a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

Para treinar, vamos primeiro fazer o rol.

ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

Ainda no estudamos o que moda e mediana.

Vamos calcular s a mdia.

= X (dividimos por 10 porque so dez notas). X i 10

X = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10

A mdia vale 6.

EC 4

Auditor do Tesouro Municipal Recife 2003 [ESAF]

Em uma amostra, realizada para se obter informao sobre a distribuio salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta.

a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.

b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.

c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.

d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.

e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

Repare que a mdia de homens de 1300. A mdia de mulheres de 1100.

Se no conjunto tivssemos mais homens, a mdia geral (considerando homens e mulheres) estaria mais prxima de 1300.

Do contrrio, se tivssemos mais mulheres, a mdia geral estaria mais prxima de 1100.



Contudo, a mdia geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o nmero de homens igual ao nmero de mulheres. Nem precisou fazer conta.

De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resoluo.


Vamos chamar o salrio das mulheres de M.

Vamos supor que so a homens e b mulheres.

A mdia dos salrios dos homens igual a R$ 1.300,00.

O que isto significa? Significa que, se somarmos os salrios de todos os homens e dividirmos por a (so a homens), obtemos R$ 1.300,00.

H = 1300 a

Ou ainda:

H = 1300 H = 1300 a a

Isto quer dizer que a soma dos salrios de todos os homens igual a 1300 vezes o nmero de homens.

O mesmo vale para as mulheres. A mdia dos salrios da mulheres de R$ 1.1000.

Portanto:

M = 1100 M = 1100 b b

Por fim, a mdia geral, de homens e mulheres, igual a R$ 1.200.

Mas o que a mdia geral? somarmos o salrio de todos os homens, de todas as mulheres e dividirmos pelo nmero de pessoas.

Fica:

H + M a + b

= 1200




H + M

= (a + b) 1200

Substituindo os valores dos somatrios:

1300 a + 1100 b = (a + b) 1200

1300 a + 1100 b = 1200 a + 1200 b

1300 a 1200 a = 1200 b 1100 b

100 a = 100 b

a = b

Resposta: A. O nmero de homens igual ao nmero de mulheres.

EC 5

Fiscal ISS/SP 2007 Questo adaptada. [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o percentual de homens entre os funcionrios da empresa.

A questo da Fundao Carlos Chagas. Est adaptada. O enunciado original, este ns veremos ainda nesta aula.

A questo bem parecida com a anterior.

A mdia dos homens de 600. A das mulheres de 500. Note que a mdia geral est mais prxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

Vamos supor que so 100 funcionrios no total. Na verdade nem precisava supor isto. Poderamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro nmero. Ou ento, falar simplesmente que so n funcionrios. O resultado seria o mesmo.




Portanto:

a + b = 100 (pois supusemos que so 100 funcionrios).

a + b = 100 (EQUAO I)

A mdia dos salrios dos homens igual a R$ 600,00.

O que isto significa? Significa que, se somarmos os salrios de todos os homens e dividirmos por a (so a homens), obtemos R$ 600,00.

H = 600 a



Ou ainda:

H = 600 H = 600 a a


O mesmo vale para as mulheres. A mdia dos salrios das mulheres de R$ 500.

Portanto:

M = 500 M = 500 b b

Por fim, a mdia geral, de homens e mulheres, igual a R$ 530.


Fica:

H + M a + b

= 530


H + M

= (a + b) 530


600 a + 500 b = (a + b) 530 (EQUAO II)

Pronto. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de encontrar os valores de a e b.

Vamos fazer o seguinte:

Vamos substituir

600 a por 100 a + 500 a

600 a + 500 b = (a + b ) 530

100 a + 500 a + 500 b = ( a + b ) 530

Continuando a resoluo:

100 a + 500 a + 500 b = (a + b) 530




100 a + 500 (a + b) = (a + b) 530

Lembrando que a + b = 100 :

100 a + 500 100 = 100 530


a + 500 = 530

a = 30

Portanto, de cada 100 funcionrios, 30 so homens. Logo, o percentual de homens de 30%.

Outra opo usar as frmulas que vimos l no EP 7.

perc _ de _ hom ens =

X M

H M

= 530 500 = %30 600 500

perc _ de _ mulheres =

X H = 530 600 =

70 100

= %70

M H 500 600

EC 6

Fiscal ICMS/DF 2001 [FCC]

Em determinado ms, a mdia aritmtica dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a mdia passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de:

a) 140,00

b) 990,00

c) 5.820,00

d) 7.420,00

e) 9.900,00

Questo da Fundao Carlos Chagas.

Antes de fazer a questo, olhemos atentamente as alternativas. D pra descartar alguma sem precisar fazer contas? Sim! possvel descartar as letras a e b.

Com as 53 empresas, a mdia era de R$ 2.340,00. Depois, uma qinquagsima quarta empresa se juntou s 53 iniciais. E a mdia AUMENTOU para R$ 2.480,00.

Ora, se a mdia aumentou, porque o tributo pago por esta ltima empresa foi maior que a mdia anterior. Ou seja, o tributo pago pela ltima empresa foi maior que R$ 2.340,00.

E antes mesmo de resolver a questo, podemos j arriscar um chute. Uma nica empresa aumentou a mdia em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem alto. Portanto, se fssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas D e E. A letra E melhor que a D. Isto porque a letra B igual letra E dividido por 10, possivelmente esperando um erro de conta do candidato.



Vamos resoluo. No incio, quando eram apenas 53 empresas, a mdia podia ser escrita como:

53

X i X = 1 53

Substituindo o valor de X por 2.340, temos:

53

X i 53 2340 = 1 X i = 53 2340 (I) 53 1

O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o total obtido ser 53 x 2340.

Depois que a ltima empresa pagou seu tributo, a mdia passa a ser escrita como:

54

X i X ' = 1 54

Modifiquei o smbolo da mdia s para diferenciar da mdia anterior.

Substituindo o valor de

X ' por 2.480, temos:

54

X i 54 2480 = 1 X i = 54 2480 (II) 54 1

Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53 empresas iniciais e mais a ltima empresa a pagar tributo), o resultado obtido ser 54 x 2480.

Na equao (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equao (I) eu tenho o total pago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? Obtemos o tributo pago pela ltima empresa (X54). Ficamos com:

54 53

X i X i = X 54 1 1

Caso tenha ficado difcil de entender, como se estivssemos fazendo a seguinte conta:

(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54.

Continuando:

54 53

X i X i = X 54 1 1

54 2480 53 2340 = X 54

Se voc quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo.

S vou dar uma sugesto. Na conta acima, temos duas multiplicaes envolvendo nmeros de quatro dgitos. So trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Alm das multiplicaes, temos uma subtrao. Seria timo se eu pudesse primeiro fazer a



subtrao, diminuir os valores, e depois fazer a multiplicao. Com esta idia, podemos fazer o seguinte:

X 54

= 54 2480 53 2340

X 54

= 2480 + 53 2480 53 2340

Continuando a soluo:

X 54 = 2480 + 53 2480 53 2340

Colocando o 53 em evidncia:

X 54 = 2480 + 53 (2480 )2340

X 54 = 2480 + 53 ( )140

Pronto, agora temos apenas uma multiplicao e envolvendo nmeros menores.

X 54 = 9900

Resposta: letra E.

EC 7

Perito Criminal Federal (Engenharia Qumica) PF/2004. [CESPE] Concentrao em

g/g Elemento Casaco Vidraa

Desvio padro

As 132 122 9,7 Co 0,54 0,61 0,026 La 4,01 3,60 0,20 Sb 2,81 2,77 0,26 Th 0,62 0,75 0,044

Um perito criminal recebeu em seu laboratrio, como principal evidncia em um caso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um suspeito de assassinato. Esses fragmentos so idnticos em composio a uma rara vidraa belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu ento determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraa belga. A tcnica escolhida para essas determinaes foi a espectroscopia de absoro atmica. As mdias e os desvios- padro das anlises em triplicata desses cinco elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a vidraa belga so mostrados na

tabela acima. Considerando essa situao hipottica, que 3 = 1 73,

e que o parmetro t

de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiana igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem s tcnicas espectroscpicas de anlise e anlise estatstica de dados.

[...]

A mdia da concentrao de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 g/g, 130 g/g e 143 g/g.



Prova do CESPE, de perito da PF de 2004. Para o elemento As, foram obtidas trs amostras. A mdia da concentrao dessas trs amostras foi de 132.

A questo diz que esta mdia pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e 143.

Fazendo a mdia destes trs valores, temos:

X = 121 + 130 + 143 = 131 33, . 3

Portanto a alternativa est incorreta.

5 Mdia Geomtrica e Harmnica

Este assunto no muito cobrado em concursos. Mas no custa nada comentar.

Aqui, tambm estamos interessados em calcular um valor mdio, assim como feito com a mdia aritmtica. S que a conta que fazemos outra.

Por definio, a mdia geomtrica de n valores no negativos (X1, X2, ..., Xn) :

G = n

X 1 X 2 ... X n

n

= n X i i =1

Por definio, a mdia harmnica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) :

n

H = 1 n i 1=

1

iX 1

Frmulas meio complicadas, no?

Vamos ver alguns exemplos que fica mais fcil.

Suponhamos que nossos dados so apenas: 3 e 12. Apenas dois nmeros (pra facilitar as contas).

Para calcular a mdia aritmtica, conforme vimos na seo anterior, ficamos com:

X = 3 + 12 = 7 5, 2

A mdia geomtrica diferente. Para obt-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramos a raiz ensima. Como neste caso so apenas dois valores, ser a raiz quadrada.

G = 2 3 12 = 6

A mdia harmnica um pouco mais complicada. Vamos dividir em trs passos.

Primeiro passo: achamos os recprocos de cada valor.

Para obter o recproco de um nmero, basta inverter seu numerador com seu denominador. Vamos a um exemplo.

Tomemos o nmero

2 3

. Seu recproco . 3 2

No nosso caso, os valores so 3 e 12.

1

O recproco de 3 . 3



1 O recproco de 12 .

12

Segundo passo: calculamos a mdia aritmtica dos recprocos.

Ficamos com:

1 1 + 4 + 1 3 12 = 12 = 5 22 24

Terceiro passo: calculamos o recproco do valor obtido acima. Pronto. Esta a mdia harmnica.

H = 24 5

H = 4 8,

Se resumirmos todos esses trs passos numa frase, podemos dizer que a mdia harmnica o recproco da mdia aritmtica dos recprocos dos valores.

Agora o que mais cai em concurso no essa parte de contas. simplesmente saber o seguinte:

Para qualquer conjunto de n nmeros no negativos, a mdia harmnica menor ou igual mdia geomtrica e esta menor ou igual mdia aritmtica. A igualdade s ocorre se todos os nmeros forem iguais entre si.

Vamos olhar no caso dos nmeros 3 e 12. A mdia aritmtica foi de 7,5. Foi a maior das mdias. A mdia harmnica foi de 4,8. Foi a menor das trs. E a mdia geomtrica foi de 6, o valor intermedirio.

Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, a teramos:

X = G = H = 12 Quando todos os valores so iguais, as mdias coincidem.

Resumindo, o que geralmente cai em prova saber que:

H G X (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

Resumo: comparao das mdias.

H G X (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

EXERCCIOS PROPOSTOS

EP 8

Para a seqncia (4,6,9), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.



EP 9

Para a seqncia (4,4,4), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

Resoluo - EP 8

Mdia aritmtica:


X = X i = 4 + 6 + 9 = 19

33 3

Mdia geomtrica:

G = 3 4 6 9 = 3 216 = 6

Mdia harmnica:

Primeiro passo: encontrando os recprocos:

1 1, 1, 64 9

Segundo passo: mdia dos recprocos:

1 + 1 + 1 64 9 9 + 6 + 4= 1 =

19

3 108 3 36

Terceiro passo: recproco do valor acima:

H = 108 19

Resoluo EP 9

Como todos os valores so iguais, todas as mdias so iguais a 4.

EXERCCIOS DE CONCURSOS - MDIAS GEOMTRICA E HARMNICA

EC 8

Analista Contbil - SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

Indicando por:

- X : a mdia aritmtica de uma amostra;

- mg : a mdia geomtrica da mesma amostra; e

- mh : a mdia harmnica tambm da mesma amostra.

E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, verdadeiro afirmar que a relao entre estas mdias :

a) X < mg < mh .

b) X > mg > mh .

c) mg < X < mh .



d) X < mg = mh .

e) X = mg = mh .

Esta uma questo da ESAF. Aplicao direta do nosso resumo visto acima. Como o enunciado informou que todos os valores so diferentes entre si, ento a igualdade entre as mdias fica excluda.

Resposta: B.

EC 9

AFRF 2005 [ESAF]

Assinale a opo que expresse a relao entre as mdias aritmtica ( X ), geomtrica (G) e harmnica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) G H X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.

b) G X H , com G = X

= H somente se os n valores forem todos iguais.

c) X G H , com

X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.

d) H G X , com

H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.

e) X H G , com

X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.

Outra questo da ESAF. Aplicao direta do resumo visto acima.

Resposta: D.

EC 10

Estatstico ENAP 2006 [ESAF]

O valor mais prximo da mdia harmnica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} igual a a) 6.

b) 6,5.

c) 4,794.

d) 10.

e) 3,9.

Questo da ESAF.

Os recprocos so:

1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3.

Fazendo a mdia desses valores, temos:

1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + =

10 10 5 3 54 10 83 9 3



1 1 + 1 + 3 1 1 + 1 + 2 +

1 2 =

10 4 8 9

3 5

1

10

1 1 + 1 + 1 + 3 1 + 2 1 + = 10 4 8 9 3 5 5

0 375, 1 1 2 + 1 + 1 + 3 1 + 3 1 = 1 + + 1 + 0 6,

10 8 8 9 3 5 10 9

Observe que 1/9 uma frao mais complicada. D uma dzima peridica. Vamos aproximar 1/9 por 0,11.

1 0 375,

+ 1 + 1 + 0 6,

1 ( ,2 )085

10 9 10

E a mdia harmnica fica:

H 10 2 085,

Outra diviso complicada de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 2,085 por 2

H 10 10 = 52 085, 2

Quando ns trocamos o denominador 2,085 por 2, ns aumentamos um pouco a nossa frao. Portanto, na verdade, a mdia harmnica um pouco menor que 5.

O nmero mais prximo disto o 4,794.

Resposta: C.

Esta ltima questo j foi mais complicada por causa das contas. Mas no se preocupem. Notem que foi tirada de uma prova especfica para a rea de estatstica.

Isso bem que s vezes a ESAF exagera nas questes e coloca contas muito trabalhosas de fazer. O ltimo AFRF foi exemplo disso.

6 Mdia ponderada

A mdia ponderada uma variao da mdia aritmtica. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo.

Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final a mdia dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6.

A nota final fica:

NF = 10 + 9 + 7 + 6 = 8 4

Ok, at aqui nenhuma novidade. Fizemos a mdia aritmtica normal, a mesma que vimos no comeo da aula.

Esse mesmo aluno faz um outro curso, em que so aplicadas apenas duas provas. Suas notas so: 9,5 e 7,5.

A mdia dessas notas fica:


9 5,

+ 7 5, = 8 5, 2

S que, nesse segundo curso, a nota final no calculada simplesmente por meio da mdia aritmtica. Isso porque a primeira prova de mltipla escolha. A segunda discursiva. Como a segunda prova mais complicada, mais difcil, ela vale mais. Ela tem peso trs. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso?

Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale trs vezes mais.

A nota final, nesse segundo curso, igual a:

NF ' = 1 9 5,

+ 3 7 5, = 8 4

como se a segunda prova fosse triplicada. como se estivssemos, na verdade, fazendo uma mdia aritmtica entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3.

peso da primeira nota

peso da segunda nota

NF ' =

1 4

( )1

9 , 5 + 3 7 , 5

soma dos pesos (=1+3)

primeira nota

segunda nota

Essa nota final, neste segundo curso, uma mdia ponderada das notas das duas provas. uma modificao da mdia aritmtica. Na mdia ponderada, cada valor tem um peso diferente.

Vamos relembrar do EP 5. Seu enunciado era:

Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A mdia salarial dos homens de R$ 825,00. A mdia salarial das mulheres R$ 600,00. Qual a mdia geral, de homens e mulheres?

Vamos reescrever a soluo? Ficou assim:

Chamamos os salrios dos homens de H.

Somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

= H 825 4




H = 4 825

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:

600 = M 5

M = 5 600

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

Mdia _

geral = H + M 9

Substituindo os valores:

Mdia _ geral = 4 825 + 5 600 = 700 9

Observe que a mdia geral uma mdia ponderada entre as mdias dos homens e das mulheres. O peso da mdia dos homens o nmero de homens. O peso da mdia das mulheres o nmero de mulheres.

peso da mdia dos homens peso da mdia das

mulheres

Mdi _a

geral = 1 ( )4 825+ 5 600

= 700

9

soma dos pesos (=4+5)

mdia dos homens

mdia das mulheres

Ainda nesta aula veremos mais exerccios parecidos com este.

7 Propriedades da mdia aritmtica

Voltemos nossa pesquisa de salrios dos moradores do bairro Nova Vila.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. Agora, seus salrios so:

Salrios aps o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Qual a nova mdia?

A nova mdia ser:



X = 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4 6, 10

O salrio mdio agora de R$ 4.600,00.

Antes, com os salrios antigos, a mdia era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram somados em R$ 1.000,00. E a mdia tambm foi somada de R$ 1.000,00.

Suponhamos agora que todos esses funcionrios, alm do salrio normal (j reajustado em R$ 1.000,00), vo receber em dezembro o dcimo terceiro integral. Assim, no ms de dezembro, os salrios vo ficar:

Salrio mais dcimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.

A nova mdia fica:

X = 4 + 6 + 6 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 14 + 16 = ,9 2 10

Note que todos os valores foram dobrados. A mdia, que era de R$ 4.600,00, passou a R$ 9.200,00. Portanto, a mdia tambm dobrou.

Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a mdia do novo conjunto fica aumentada ou diminuda de c.

multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a mdia do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.

Outras duas propriedades da mdia so:

a mdia aritmtica o valor em relao ao qual mnima a soma dos quadrados dos desvios.

a soma de todos os desvios em relao mdia aritmtica igual a zero.

Sobre essas duas ltimas propriedades, por enquanto vai ficar s o registro de que elas existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de disperso.

EXERCCIOS PROPOSTOS PROPRIEDADES DA MDIA

EP 10

Calcule a mdia aritmtica da seguinte seqncia: {1, 3, 5}

EP 11

Calcule a mdia aritmtica da seguinte seqncia: {3, 5, 7} (observe que esta foi obtida a partir da seqncia anterior, somando 2 a todos os elementos).

EP 12

Calcule a mdia aritmtica da seguinte seqncia: {6, 10, 14} (observe que esta seqncia foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2).



Resoluo EP 10


X = 1 + 3 + 5 = 3 3

Resoluo EP 11

X = 3 + 5 + 7 = 5 . 3

Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relao seqncia anterior), a mdia tambm foi adicionada de 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelos dados.

Resoluo EP 12

X = 6 + 10 + 14 = 10 3

Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relao seqncia anterior), a mdia tambm foi multiplicada por 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelos dados.

EXERCCIOS DE CONCURSOS PROPRIEDADES DA MDIA

EC 11

Auditor Fiscal ICMS/BA 2004 [FCC]

Uma administradora de locao de imveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua regio, procedeu s seguintes operaes:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a mdia aritmtica de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, ento a mdia aritmtica dos valores dos alugueis em reais :

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

Questo da FCC.

Vamos chamar a mdia dos aluguis de X .



Primeiro, todos os valores so dobrados. Ou seja, a mdia desses novos valores tambm ser dobrada.

Mdia dos valores obtidos no item I: 2 X

Depois, todos os valores so subtrados por R$ 1.200,00. Ou seja, a mdia desses novos valores tambm ser reduzida de R$ 1.200,00.

Mdia dos valores obtidos no item II:

2 X 1200

Por fim, todos os valores so divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a mdia tambm ficar dividida por mil.

2 X 1200

Mdia dos valores obtidos em III: 1000

O enunciado me disse que a mdia dos valores obtidos no item III de 3/10. Portanto:

2 X 1200 3= X = 750

1000 10

Resposta: E.

EC 12

Fiscal ISS/SP 2007 [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No prximo ms, todos os homens recebero um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salrios atuais. Supondo que o quadro de funcionrios no se alterou, aps esses reajustes, o salrio mdio mensal de todos os funcionrios passar a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

L no EC 5 ns vimos que, nesta empresa, de cada 100 funcionrios, 30 so homens. Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionrios. Inicialmente, temos que a mdia dos homens de R$ 600,00 e a mdia das mulheres R$ 500,00.

Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens tm seus salrios acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a mdia dos homens sofrer a mesma alterao. A nova mdia dos homens ficar igual a R$ 620,00.

Ok, a mdia dos salrios dos homens igual a 620. Significa que, somando todos os salrios dos homens (aps o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620.

620 = H 30

H = 620 30



Todas as mulheres tero seu salrio multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a mdia dos salrios das mulheres sofrer a mesma alterao. Ser tambm multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, somando os salrios das mulheres (aps o aumento) e dividindo por 70, obtemos 550.

550 = M 70

M = 550 70

A mdia geral simplesmente somar todos os salrios dos homens, todos os salrios das mulheres, e dividir por 100.

Mdia _ geral = H + M 100

= 620 30 + 550 70 = 62 3 + 55 7 = 186 + 385 = 571 100

Resposta: C.

Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 186 + 385

O algarismo das unidades da soma ser igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, s a j d para marcar letra C.

Outra opo para calcular a mdia geral lembrar que ela uma mdia ponderada entre as mdias dos homens e das mulheres (conforme vimos l na pgina 24). E os pesos so, respectivamente, o nmero de homens e o nmero de mulheres.

Ficaria assim:

Mdia _ geral = 1 ( )30 620 + 70 550

100

= 571

EC 13

Assessor especializado IPEA/2004 [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 463,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so, respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No prximo ms, todos os homens recebero um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 25% sobre os salrios atuais. Supondo que o quadro de funcionrios no se alterou, aps esses reajustes o salrio mdio mensal de todos os funcionrios passar a ser igual a:

a) R$ 525,00

b) R$ 530,00

c) R$ 535,00

d) R$ 542,00

e) R$ 545,00

Vamos primeiro nos concentrar na situao inicial, antes dos reajustes.

A mdia dos homens de 580. A das mulheres de 400. Note que a mdia geral est mais prxima de 400. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

Vamos novamente supor que so 100 funcionrios no total. Lembrando que nem precisava supor isto. Poderamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro nmero. Ou ento, falar simplesmente que so n funcionrios. O resultado seria o mesmo.






Portanto:

a + b = 100 (pois supusemos que so 100 funcionrios).

a + b = 100 (EQUAO I)

A mdia dos salrios dos homens igual a R$ 580,00.

O que isto significa? Significa que, se somarmos os salrios de todos os homens e dividirmos por a (so a homens), obtemos R$ 580,00.

H = 580 a

Ou ainda:

H = 580 H = 580 a a


O mesmo vale para as mulheres. A mdia dos salrios das mulheres de R$ 400.

Portanto:

M = 400 M = 400 b b

Por fim, a mdia geral, de homens e mulheres, igual a R$ 463.


Fica:

H + M a + b

= 463


H + M

= (a + b) 463




580 a + 400 b = (a + b) 463 (EQUAO II)

Pronto. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de encontrar os valores de a e b.

Vamos fazer o seguinte:

Vamos substituir 580 a por 180 a + 400 a

180 a + 400 a + 400 b = (a + b) 463


180 a + 400 (a + b) = (a + b) 463

Lembrando que a + b = 100 :

180 a + 400 100 = 100 463


1 8, a + 400 = 463

a = 35

Portanto, de cada 100 funcionrios, 35 so homens. Logo, o percentual de homens de 35%.

Outra opo de resoluo usar as frmulas que vimos l no EP 7.

perc _ de _ hom ens = X M

= 463 400 = 63 = %35

H M 580 400 180

perc _ de _ mulheres = %100

%35

= %65

Pronto, j sabemos qual o percentual de homens e de mulheres na empresa.

Vamos agora para a segunda situao, aps os reajustes.

Os homens recebem R$ 20,00 a mais. Ou seja, estamos aumentando todos os salrios dos homens em R$ 20,00. Consequentemente, a mdia dos salrios dos homens tambm aumenta. Vai para R$ 600,00 (=580 + 20).

As mulheres tm um reajuste de 25%. Consequentemente, a mdia feminina sofre a mesma variao. Tambm aumenta 25%. Vai para R$ 500,00 (=400 + 25% de 400).

A nova mdia geral simplesmente a mdia ponderada entre a mdia dos homens e a mdia das mulheres. Os pesos so o percentual de homens e o percentual de mulheres.

35 600 + 65 500 = 535 100

Resposta: C.



EC 14

Analista rea documentao. Especialidade Estatstica MPU/2007 [FCC]

Dados os conjuntos de nmeros P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da mdia, que a mdia dos elementos de Q igual a:

a) constante 220 somada ao produto da mdia dos elementos de P por 5.

b) mdia dos elementos de P mais a constante 220.

c) mdia dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrria.

d) mdia dos elementos de P mais a constante 220 e esse ltimo resultado multiplicado por 5.

e) mdia dos elementos de P mais a constante 200

Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma: I

multiplicamos por 5

II somamos 220.

Vamos pegar os primeiros valores.

P1 = 0 1Q

= 0 5 + 220 = 220

Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q:

P2 = 1 Q2 = 1 5 + 220 = 225

Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q:

P2 = 2 3Q

= 2 5 + 220 = 230

E assim por diante.

Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q:

Q = P 5 + 220

J vimos que sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtramos uma constante de cada um dos dados, a mdia sofre a mesma alterao.

Ento a mdia de Q fica:

Q = P 5 + 220 A mdia de Q igual mdia de P, multiplicada por 5 e somada com 220.

Esse procedimento est descrito na letra A.

Resposta: A.

EC 15

Analista BACEN/2006 rea 5 [FCC]

A mdia aritmtica dos salrios dos 100 empregados em uma empresa de R$ 1.500,00. Na hiptese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salrio de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salrios remanescentes, a nova mdia aritmtica dos salrios ser de:

a) R$ 1.375,00 b) 1.350,00 c) R$ 1.345,00 d) 1.320,00 e) 1.300,00


A mdia inicial era de R$ 1.500,00. E como obtemos essa mdia? Somamos todos os 100 salrios e dividimos por 100.

100

X i 100

1500 = i 1= X i = 150.000 100 i 1=

A soma de todos os 100 salrios de R$ 150.000,00.

Foram demitidos 20 funcionrios que ganhavam, cada um, o salrio de R$ 2.500,00. A soma dos salrios desses 20 funcionrios :

20 2.500 = 50.000

Agora, a soma dos salrios dos oitenta funcionrios remanescentes fica:

150.000 50.000 = 100.000

E a nova mdia fica:

80

X i i 1= = 100 000. = 1 25 0.80 80

00,

A nova mdia de 1.250,00.

Depois disso, todos os funcionrios ganham um reajuste de 10%. Portanto, a mdia sofre a mesma alterao, e tambm aumentada em 10%.

1 250.

1 1,

= 1 375.

Resposta: A.

8 Mediana

Mediana outra medida de posio. Assim como a mdia aritmtica, tambm uma medida de tendncia central. O smbolo que vamos adotar para mediana D.

Mediana nada mais que o termo do meio da minha seqncia de dados. Imaginemos o seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13.

So cinco elementos. O do meio o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de dados :

D = 8

Repare que a mediana divide a srie em duas partes com a mesma quantidade de dados. esquerda do nmero 8 temos dois valores (2 e 7). direita do nmero 8 tambm temos dois valores (11 e 13).

Para o exemplo que estamos trabalhando desde o incio da aula, o rol :

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quem a mediana?

Neste rol, o nmero de dados par. Ou seja, no tem um termo que seja o do meio. Nestes casos, adotamos o seguinte procedimento:

1 tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento)

2 fazemos a mdia entre eles.

O quinto elemento 3 (X5 = 3). O sexto elemento 4 (X6 = 4).



A mediana fica:

D = 3 + 4 = 3 5, 2

Quando a srie tem um nmero mpar de elementos, fatalmente a mediana far parte do conjunto de dados. Como existir um termo do meio, ele ser a mediana.

Quando a srie tem um nmero par de elementos, a mediana no necessariamente far parte do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta.

A mediana, alm de ser uma medida de tendncia central, tambm uma medida separatriz. Ela separa a srie de dados de forma bem especfica, em duas partes com mesmo nmero de elementos.

Por falar em medidas separatrizes, a mediana a nica que ns veremos (ao menos por enquanto). As demais ficam para a aula 3, quando falarmos de dados em classes.

EP 13

EXERCCIOS PROPOSTOS

Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 2, 8, 5, 1

c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

Resoluo do EP 13

a) A seqncia tem nove termos. A mediana simplesmente o termo central, ou seja, o quinto termo. O quinto termo o seis. Portanto:

D = 6

Certo???

ERRADO!

Antes de fazermos qualquer coisa com a srie de dados, temos que pass-la para um ROL, colocando os termos em ordem crescente. ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6

Pronto. Agora a seqncia est ordenada. O quinto termo o 3.

D = 3

b) Primeiro, achemos o ROL.

ROL: 1, 2, 5, 8.

A seqncia tem quatro termos (nmero par). No h termo central. Fazemos a mdia dos dois termos centrais.

D = 2 + 5 = 3 5, 2



c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

So vinte e um termos. O do meio o dcimo primeiro.

D = 3

Apenas por curiosidade, vamos calcular a mdia deste conjunto.

X = X i = 158 = 7 52,

21 21

A mediana deu 3. uma medida de tendncia central. Ns vimos l na pgina 6 desta aula que medidas de tendncia central nos do um indicativo de valores em torno dos quais os dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em torno de 3.

Mas a mdia tambm uma medida de tendncia central. Tomando apenas a mdia, dizemos que os dados giram em torno de 7,52.

Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52???

Na verdade, as medidas de tendncia central no precisam necessariamente coincidir. Elas coincidem quando a seqncia for simtrica. O conceito de assimetria cobrado em alguns concursos ( o caso do concurso da Receita Federal). No caso do ltimo ICMS/SP, assimetria no fez parte do edital. Mas falamos um pouquinho a respeito posteriormente. Mdia e mediana so obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os valores, dividido pelo nmero de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que tomamos o termo do meio.

Cada uma delas procura expressar a tendncia central, mas de forma distinta.

Suponha que esta srie de dados da letra C represente os salrios dos funcionrios de uma dada empresa, em nmeros de salrios mnimos.

Assim, os quatro primeiros funcionrios ganhariam 1 salrio mnimo. Os seis seguintes, dois salrios mnimos. E assim por diante, at os dois ltimos, que ganham quarenta salrios mnimos.

Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos funcionrios recebe um salrio mais baixo. So operrios, tcnicos, secretrias, etc. E poucos funcionrios recebem um salrio muito alto. So diretores, gerentes, etc.

Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que um timo lugar para trabalhar, dir que o salrio mdio por ela pago de mais de 7 salrios mnimos. que, mesmo com a grande maioria dos funcionrios ganhando um salrio muito baixo, temos uns poucos felizardos que ganham um salrio to alto a ponto de fazer com que a mdia no seja assim to baixa.

Por outro lado, se os funcionrios quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, podero dizer que o salrio mediano na empresa de apenas 3 salrios mnimos.

Olha que interessante. Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os dois funcionrios que ganham 40 salrios mnimos. Ficaramos com o seguinte conjunto:

1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19.

A mediana agora igual a 2. E a mdia passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos que a mdia. Isso porque a mediana menos influenciada por valores extremos. A mdia, contrariamente, mais influenciada por valores muito grandes (ou muito pequenos).



Por isso, em pesquisas de distribuio de renda, muitas vezes utilizada a mediana como medida de tendncia central. Geralmente poucas pessoas tm renda extremamente alta. Estas pessoas contribuiriam para aumentar a renda mdia, num quadro em que grande parte da populao tem renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, que descrevem melhor a populao pesquisada. Retomaremos o assunto quando falarmos brevemente em assimetria. De todo modo, mesmo sem saber exatamente o que assimetria, com essa noo dada d para ver um exerccio de concurso.

EC 16

Analista MPU rea Pericial Especialidade: Estatstica. [ESAF]

A mediana uma medida de posio usualmente utilizada na anlise de distribuies de renda porque as distribuies de renda

a) tm intervalos de classe distintos.

b) sempre so normais.

c) tipicamente so do tipo uniforme.

d) geralmente se mostram bastante assimtricas.

e) sempre so bimodais.

Questo da ESAF.

Resposta: D.

EC 17

AFC/CGU - 2008. rea: Estatstica e clculos atuariais. [ESAF]

Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:

58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.

a) 28.

b) 31.

c) 44.

d) 50.

e) 56

A questo sobre mediana. Basta fazer o ROL e achar o termo do meio.

ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95.

So quinze valores. O do meio o oitavo. A mediana igual a 44.

D = 44

Resposta: C.



9 Moda

A moda mais uma medida de tendncia central. A moda o termo que mais se repete. Fcil, no? Podemos at nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que est na moda o que todo mundo usa.

Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa srie de dados ser a moda. Pra variar um pouco, voltemos aos moradores do nosso bairro Nova Vila:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Qual o salrio que mais se repetiu? Foi o salrio de R$ 2.000,00. Trs pessoas ganham um salrio de R$ 2.000,00. Este valor justamente a moda.

M = 2 (valor em R$ 1.000,00)

EP 14

Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 1, 2, 2, 3, 3, 4

c) 2, 8, 5, 1

d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20

Resoluo do EP 14

a) O termo que mais se repete o trs.

M = 3

b) H dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. Dizemos que o conjunto tem duas modas. bimodal.

Um conjunto no precisar ter uma nica moda. Pode ter duas, trs, quatro, ou mais modas.

c) Note que todos os termos da seqncia ocorrem com a mesma freqncia. Dizemos que o conjunto amodal. No tem moda.

d) O termo que mais se repete o 2. Ocorre cinco vezes.

M = 2 .



EC 18

AFRF/98 [ESAF]

EXERCCIOS DE CONCURSOS

Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatria, de 50 preos (Xi) de aes, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetria o dlar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. Assinale a opo que corresponde ao preo modal:

a) 7

b) 23

c) 10

d) 8

e) 9

Questo da ESAF.

Temos uma srie de dados em rol. O exerccio pede que determinemos a moda. A moda ser o termo que mais se repete. Contemos alguns deles.

O nmero 4 aparece uma vez. O nmero 5 aparece duas vezes. O nmero 6 aparece quatro vezes. E assim por diante. Voc ver que o nmero que mais se repete o oito (so nove vezes). Resposta: D.

EC 19



a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

Outra questo da ESAF. Ns at j comeamos a resolv-la na pgina 13

Relembrando: vamos primeiro fazer o rol.

ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

A mdia fica:

= X (dividimos por 10 porque so dez notas). X i 10

X = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10 60= = 6 .10 10



A mdia vale 6.

A moda o termo que mais se repete. O termo que mais se repete o 3.

M = 3

So dez termos. No h um termo central. A mediana ser dada pela mdia dos dois termos centrais (no caso, o quinto e o sexto elementos).

=D X 5 + X 6 = 5 + 5 = 5 2 2

Resposta: A.

III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS

Nesta aula inteira ns estudamos uma primeira forma de apresentao dos dados. Foi o ROL. Esta j uma primeira forma de se organizarem os dados.

Pois bem, existe uma outra forma de apresentao de dados que guarda perfeita correspondncia com o ROL. Costumo dizer que um ROL modificado. o diagrama de ramos e folhas.

Vamos a algumas questes de concurso para ver do que se trata.

EC 20

Gestor Fazendrio MG/2005 [ESAF]

Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente seqncia de observaes (91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opo que d a mediana das observaes de X.

9 11

9 9

10 002234

10 57778

11 013

11 66

12 00012

12 558

13 004

13 555

14 0

14 5

15

15 8

a) 110

b) 120

c) 116



d) 113

e) 111

Vamos analisar a primeira linha. Nela temos um 9. Depois um espao. Depois dois nmeros 1.

Isto quer dizer que, no rol original, temos dois nmeros 91.

9 11, num diagrama de ramos e folhas, representa: 91, 91.

Na segunda linha temos 9 9 (nove, espao, nove). Isto representa o nmero 99.

Na terceira linha temos 10 002234. Isto significa que, no rol original, temos os nmeros 100, 100, 102, 102, 103, 104.

Na quarta linha temos 10 57778. Isto significa que, no rol original, temos os nmeros 105, 107, 107, 107 e 108. E assim por diante.

como se separssemos cada nmero em duas partes. O algarismo das unidades de um lado. Os demais do outro. Os algarismos das unidades seriam folhas que se prendem nos ramos, representados pelas dezenas/centenas.

Na primeira linha se representam apenas os nmeros de 90 at 94. Na segunda, os nmeros de 95 at 99. Na terceira, de 100 at 104. Na quarta, de 105 at 109. E assim por diante.

Um detalhe para a penltima linha. Nela temos apenas 15. Depois do 15 no tem nada. Isto significa que no h nenhum nmero entre 150 e 154.

Sabendo disto, vamos questo.

Pede-se a mediana. Temos na verdade um rol (s que representado de forma diferente). Se contarmos quantos valores so, chegamos a 36.

um nmero par de valores. No h um termo do meio. A mediana ser a mdia dos termos centrais.

Vejamos quem so eles:

X 18 = 116

X 19 = 116

A mediana fica:

D = 116 + 116 = 116 2

Resposta: C.

Para treinar mais um pouco, outra questo de ramos e folhas:

EC 21

Analista IRB 2004 [ESAF]

O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde seqncia de observaes amostrais (34, 38, ..., 97) de um atributo X. Assinale a opo que d a mediana amostral de X.

3 4



3 8

4 22

4 57

5 124

5 7889

6 013

6 5597899

7 0112334

7 556679

8 1123344

8 57

9 0133

9 7

a) 69,5

b) 71,0

c) 70,5

d) 72,0

e) 74,0

O diagrama de ramos e folhas acima representa o seguinte ROL:

34, 38, 42, 42, 45, 47, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 59, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 69, 69, 70, 71, 71, 72, 73, 73, 74, 75, 75, 76, 76, 77, 79, 81, 81, 82, 83, 83, 84, 84, 85, 87, 90, 91, 93, 93, 97.

So 50 valores. No h um termo central. Os dois termos centrais so o 25 e o 26.

O 25 valor 71. O 26 valor tambm 71.

A mediana :

71 + 71 = 71 2

Resposta: B.

claro que voc no precisa escrever o ROL inteiro para depois realizar a contagem dos dados para descobrir quem so o 25 e o 26 valores. Voc pode fazer a contagem direto no diagrama de ramos e folhas.

Em relao ao ROL, o diagrama de ramos e folhas tem a vantagem de permitir uma visualizao mais rpida de como os dados se distribuem. J numa primeira olhada d pra ter uma idia de como se comportam os valores. Os ramos com mais folhas geralmente contm as medidas de tendncia central (nem sempre). E pelos tamanhos dos ramos d para ter uma idia se a seqncia de dados simtrica ou assimtrica. Falamos mais sobre assimetria na aula 3.



LISTA DAS QUESTES DE CONCURSOS UTILIZADAS

EC 1

Analista de Regulao Economista ARCE/2006 [FCC]

O processo estatstico que consiste em uma avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao, denomina-se:

a) amostragem

b) estimao

c) censo

d) parametrizao

e) correlao

EC 2

Fiscal ICMS/SC - 1998

Uma empresa possui dois tcnicos em informtica recebendo salrios, mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por ms, um diretor de recursos humanos com salrio mensal de R$ 7.000,00 e trs outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por ms. A mdia, mensal, destes salrios :

f) 5.830,00

g) 6.830,00

h) 2.830,00

i) 3.830,00

j) 4.830,00

EC 3



a) 3, 6 e 5

b) 3, 4 e 5

c) 10, 6 e 5

d) 5, 4 e 3

e) 3, 6 e 10

EC 4

Auditor do Tesouro Municipal Recife 2003 [ESAF]

Em uma amostra, realizada para se obter informao sobre a distribuio salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio



observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta.

a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.

b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.

c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.

d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.

e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

EC 5

Fiscal ISS/SP 2007 Questo adaptada. [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o percentual de homens entre os funcionrios da empresa.

EC 6

Fiscal ICMS/DF 2001 [FCC]

Em determinado ms, a mdia aritmtica dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a mdia passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de:

f) 140,00

g) 990,00

h) 5.820,00

i) 7.420,00

j) 9.900,00

EC 7

Perito Criminal Federal (Engenharia Qumica) PF/2004. [CESPE] Concentrao em

g/g Elemento Casaco Vidraa

Desvio padro

As 132 122 9,7 Co 0,54 0,61 0,026 La 4,01 3,60 0,20 Sb 2,81 2,77 0,26 Th 0,62 0,75 0,044

Um perito criminal recebeu em seu laboratrio, como principal evidncia em um caso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco de um suspeito de assassinato. Esses fragmentos so idnticos em composio a uma rara vidraa belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu ento determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraa belga. A tcnica escolhida para essas determinaes foi a espectroscopia de absoro atmica. As mdias e os desvios-



padro das anlises em triplicata desses cinco elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a vidraa belga so mostrados na

tabela acima. Considerando essa situao hipottica, que 3 = 1 73,

e que o parmetro t

de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiana igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem s tcnicas espectroscpicas de anlise e anlise estatstica de dados.

[...]

A mdia da concentrao de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 g/g, 130 g/g e 143 g/g.

EC 8

Analista Contbil - SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

Indicando por:

- X : a mdia aritmtica de uma amostra;

- mg : a mdia geomtrica da mesma amostra; e

- mh : a mdia harmnica tambm da mesma amostra.

E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, verdadeiro afirmar que a relao entre estas mdias :

a) X < mg < mh .

b) X > mg > mh .

c) mg < X < mh .

d) X < mg = mh .

e) X = mg = mh .

EC 9

AFRF 2005 [ESAF]

Assinale a opo que expresse a relao entre as mdias aritmtica ( X ), geomtrica (G) e harmnica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) G H X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais.

b) G X H , com G = X

= H somente se os n valores forem todos iguais.

c) X G H , com

X = G = H somente se os n valores forem todos iguais.

d) H G X , com

H = G = X somente se os n valores forem todos iguais.

e) X H G , com

X = H = G somente se os n valores forem todos iguais.

EC 10

Estatstico ENAP 2006 [ESAF]

O valor mais prximo da mdia harmnica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} igual a a) 6.



b) 6,5.

c) 4,794.

d) 10.

e) 3,9.

EC 11

Auditor Fiscal ICMS/BA 2004 [FCC]

Uma administradora de locao de imveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua regio, procedeu s seguintes operaes:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a mdia aritmtica de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, ento a mdia aritmtica dos valores dos alugueis em reais :

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

EC 12

Fiscal ISS/SP 2007 [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No prximo ms, todos os homens recebero um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salrios atuais. Supondo que o quadro de funcionrios no se alterou, aps esses reajustes, o salrio mdio mensal de todos os funcionrios passar a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

EC 13

Assessor especializado IPEA/2004 [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 463,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so, respectivamente, iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No prximo ms, todos os homens recebero um abono de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 25% sobre



os salrios atuais. Supondo que o quadro de funcionrios no se alterou, aps esses reajustes o salrio mdio mensal de todos os funcionrios passar a ser igual a:

a) R$ 525,00

b) R$ 530,00

c) R$ 535,00

d) R$ 542,00

e) R$ 545,00

EC 14

Analista rea documentao. Especialidade Estatstica MPU/2007 [FCC]

Dados os conjuntos de nmeros P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da mdia, que a mdia dos elementos de Q igual a:

a) constante 220 somada ao produto da mdia dos elementos de P por 5.

b) mdia dos elementos de P mais a constante 220.

c) mdia dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrria.

d) mdia dos elementos de P mais a constante 220 e esse ltimo resultado multiplicado por 5.

e) mdia dos elementos de P mais a constante 200

EC 15

Analista BACEN/2006 rea 5 [FCC]

A mdia aritmtica dos salrios dos 100 empregados em uma empresa de R$ 1.500,00. Na hiptese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salrio de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salrios remanescentes, a nova mdia aritmtica dos salrios ser de:

a) R$ 1.375,00 b) 1.350,00 c) R$ 1.345,00 d) 1.320,00 e) 1.300,00

E 16

Analista MPU rea Pericial Especialidade: Estatstica. [ESAF]

A mediana uma medida de posio usualmente utilizada na anlise de distribuies de renda porque as distribuies de renda

a) tm intervalos de classe distintos.

b) sempre so normais.

c) tipicamente so do tipo uniforme.

d) geralmente se mostram bastante assimtricas.

e) sempre so bimodais.

EC 17

AFC/CGU - 2008. rea: Estatstica e clculos atuariais. [ESAF]

Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:


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