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Aula 10

Grafos Planares

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Planaridade

• É possível levar gás, luz e água às três residências sem cruzamento de tubulações?

• Grafo planar: um grafo G é planar se existir uma representação gráfica de G no plano sem cruzamento de arestas.

GÁS LUZ ÁGUA

K4 é planar?

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Planaridade

• Grafos de Kuratowski: K5 e K3,3

K5: grafo não planar com o menor número de

vértices

K3,3: grafo não planar com o menor número

de arestas

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Planaridade

Propriedades em comum entre K5 e K3,3:

1. Ambos são regulares

2. Ambos são não planares

3. A remoção de uma aresta ou um vértice torna o grafo planar

4. K5 é o grafo não-planar com o menor número de vértices e o K3,3 com o menor número de arestas

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Planaridade

• TEOREMA: Qualquer grafo planar simples pode ter sua representação planar utilizando apenas linhas retas

• Região (ou face): uma representação gráfica planar de um grafo divide o plano em regiões ou faces. Cada região é caracterizada pelas arestas que a contornam.

• Região infinita: é a porção infinita do plano que não é contornada por arestas

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Planaridade

• TEOREMA (Fórmula de Euler): Seja G um grafo conexo planar com n vértices e e arestas. O número de faces do grafo é

• COLORÁRIO: Em um grafo simples, conexo e planar com n vértices, e arestas e f faces, tem-se que:

Condição necessária, mas não suficiente para um grafo ser

planar

2nef

6n3ef23

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Homeomorfismo

• Dizemos que um grafo H é homeomorfo a G se H puder ser obtido de G pela inserção de vértices de grau 2 em pontos intermediários de suas arestas

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Detecção de Planaridade

• Um grafo é planar sss nenhum de seus subgrafos puder ser contraído em K5 ou em K3,3 (WAGNER)

• Exemplo: Grafo de Petersen pode ser contraído em K5.

• Um grafo é planar sss nenhum de seus subgrafos for homeomorfo a K5 ou em K3,3 (KURATOWSKI)

• Exemplo: Grafo de Peterson

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Complemento vs. Planaridade

• Seja G um grafo não dirigido com n vértices e C(G) o seu complemento.

• Se n < 8, então G ou C(G) é planar

• Se n > 8, então G ou C(G) é não planar

• Se n = 8, nada pode ser dito

– K4,4: Não-planar com Complemento Planar

– K3,3 + {x,y}: Não-planar com Complemento Não-planar

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Planar e Hamiltoniano

• Todo grafo planar 4-conexo é hamiltoniano (Tutte)– Exemplo: icosaedro

• Grafo Planar Maximal: todas as faces são triângulares

• Triângulo separador: triângulo de arestas no grafo que não constitui uma face

• Todo grafo planar maximal que não possui triângulo separador é hamiltoniano (Whitney)

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Grafos Periplanares

• Um grafo é periplanar (opg) se todos os seus vértices estiverem na fronteira de uma mesma face

• Um grafo é um periplanar sss não possuir subgrafo homeomorfo a K4 ou a K2,3.

• Todo gpp 2-conexo é hamiltoniano

• MOP: todas as faces internas são triangulares: leque, serpentina, coroa

• K(mop) = 2