GPEFE

Gravitação

Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque

diego.albuquerque@msn.com

Aula 10:

Gravitação

Gravitação

A galáxia chamada Via Láctea é umaglomerado de poeira, planetas e bilhõesde estrelas, em forma de disco, incluindo onosso Sol e o sistema solar. A força que amantém unida é a mesma que mantém aLua orbitando em torno da Terra e vocêpreso à Terra. Esta força foi denominadaForça Gravitacional.

Universo e a Física

Infinitesimalmente minúsculo

Infinitamente denso.

Nessas condições, as leis convencionais da física não podem

ser aplicadas, pois quando se tem a dimensão nula e a

massa infinita, qualquer evento antes desta singularidade não

pode afetar o tempo atual, pois ao iniciar o universo,

expandindo a massa e ao mesmo tempo se desenvolvendo

em todas as direções, indica que o tempo também esteve

nesta singularidade, logo o tempo era nulo.

Gamow, a Explosão e a Teoria da Expansão

Segundo Gamow, naexpansão do universo... Ouniverso era extremamentepequeno e sobre uma altacompressão, mas numaexplosão repentina, oresultado foi umaviolentíssima redução dedensidade e temperatura;após este ímpeto inicial, amatéria passou apredominar sobre aantimatéria.

Formação dos Primeiros Átomos

Desde o tempo de Planck, 10-43

segundos, até cerca de 10-12 ou 10-

10 s, a energia do Universo está

dominada pela radiação.

Formação dos Primeiros Átomos

Formação dos quarks: comoexistem mais quarks do queantiquarks no Universo, adestruição de matéria-antimatériadeixa mais quarks do queantiquarks (10-11 s)

Formação dos Primeiros Átomos

Transição eletro-fraca: quebraespontânea de simetria formandoos bósons massivos quetransmitem a força fraca: W+, W-,Z. Abaixo destas energias a forçafraca só age a distâncias menoresque 10-16 cm, mil vezes menor queo tamanho de um núcleo (10-10 s)

Formação dos Primeiros Átomos

Confinamento dos quarks emmésons e prótons e nêutrons:transição quarks-hádron - QCDCromodinâmica Quântica(10-5 s)

Formação dos Primeiros Átomos

Formação prótons e nêutrons.(1 s)

Formação dos Primeiros Átomos

Nucleossíntese: formação dehidrogênio e hélio. A força forteque atrai os prótons e nêutrons sóé efetiva para distâncias da ordemde 10-13 cm. (100 seg)

Formação dos Primeiros Átomos

Matéria passa a dominar: com oesfriamento do Universo,adensidade de energia em forma dematéria passa a ser maior do que adensidade em forma de radiação(10 000 anos)

Formação dos Primeiros Átomos

Formação de átomos. O Universoé agora frio o suficiente para queos elétrons fiquem ligados aosnúcleos, formando hidrogênio,hélio e lítio (t = 300 000 anos,T=3000 K)

Formação dos Primeiros Átomos

O Formação de estrelas egaláxias (1 bilhão de anos)

À medida que se expandia a matéria, a radiação que permeava o meio seexpandia simultaneamente pelo espaço, porém em velocidade muito maior,deixando a primeira para trás. Daquela energia irradiada sobraram algunsresquícios em forma de microondas, que foram detectadas em 1965 por ArnoA. Penzias e Robert W. Wilson, tendo sido chamada de radiação de fundo.

Formação dos Primeiros Átomos

O satélite COBE,em 1992,descobriuflutuações naradiação de fundorecebida, aquelasexplicariam aformação dasgaláxias logo apósa GrandeExplosão.

Formação dos Primeiros Átomos

Carbono e outros átomos começama ser formados nas estrelas eejetados ao meio interestelaratravés de supernovas (1,1 bilhãode anos)

Formação de Estrelas

Com sucessivas concentrações dematéria e consequentes explosõesuniversais , o processo contínua formandodiferentes galáxias, até chegarmos ànossa galáxia e ao sistema solar

Formação de Estrelas

Nebulosas são nuvens de gás e poeira, resultadode uma supernova, que é o processo de “morte”das estrelas.

De um modo simples, a origem do sistema solar éuma nuvem de gás e poeira (nebulosa) resultadoda explosão (morte) de outras estrelas(supernova). No interior dessas formações acontração gravitacional atua para formar uma (oumais) estrelas.

Sistema Solar

Sistema Solar

Havia apenas uma nuvem de gás e poeira. A força de atraçãogravitacional das partículas e gás desta nuvem causou umcolapso gravitacional reunindo a maior parte deste material noseu centro de massa.

Sistema Solar

“Funcionamento do Sol”

Sistema Solar

Mais precisamente:

Introdução

Sistema Solar

Formação da Lua!

Vídeo:http://www.youtube.com/watch?v=P4h9lPA0iYk

Então...

Lei da Gravitação Universal

A Lei da Gravitação Universal de Newton: Em

1665, Isaac Newton, então com 23 anos, deu

uma contribuição enorme a Física, propondo a

Lei da Gravitação Universal, que pode ser

enunciada como:

Toda partícula atrai qualquer outra com umaforça gravitacional cujo módulo é dado por:

rr

mmGF ˆ

221

r

r=

Onde: m1 e m2 são as massas das partículas , r é a distância

entre elas e G é uma constante, denominada Constante deGravitação Universal cujo valor é: G = 6,67 × 10-11 Nm2/Kg2

Então...

Lei da Gravitação Universal

Embora a Lei da Gravitação Universal de Newton só se

aplique, rigorosamente falando a partículas, podemos

aplicá-la a objetos reais, desde que as suasdimensões sejam pequenas quando comparadas adistância de separação.

“Uma casca esférica, uniforme, de matéria atraiuma partícula que está fora dela, como se toda asua massa estivesse concentrada no seu centro.”

Principio da Superposição: Dado um grupo de partículas,

encontramos a força gravitacional resultante sobre qualquer uma

delas, somando vetorialmente a força individual que cada partícula

produz.

Aceleração da Gravidade Próxima a Superfície

Desprezando-se a rotação da Terra e supondo que

ela é uma esfera uniforme de massa M e raio R, a

aceleração gravitacional ag sobre uma partícula de

massa m, situada a uma certa altura h acima da

superfície terrestre, pode ser obtida como:

2)( hR

mMGF

+= gmaPF ==ou

Igualando as

duas equações

chegamos a:

2)( hR

MGag +

=

Sendo:

G (Const. Gravitacional) = 6,67 × 10-11 Nm2/Kg2

M (Massa da Terra) = 5,9742 × 1024 Kg

R (Raio da Terra) = 6,378 × 106 m

Aceleração em altitudes típicas

Obs. Se considerarmos a rotação da

Terra, devemos subtrair de ag o valor da

aceleração centrípeta (ac=v2/r) produzida

pela Terra, sobre a partícula, ou seja:

R

v

R

MGag

2

2−=

Energia Potencial Gravitacional

A relação entre Força e Energia Potencial é dada

por:

dr

dUF −=

r

GMmU −=Com isso a função energia potencial

pode ser deduzida como:

Obs. Na dedução acima deve-se lembrar que a força gravitacional

é sempre atrativa, portanto um sinal negativo deve ser colocado na

equação da força. Na equação acima estamos supondo ainda que

a energia potencial é nula quando a separação entre os corpos for

infinita.

Velocidade de Escape

Velocidade de Escape: Se você jogar um objeto

para cima, normalmente ele perderá velocidade

até parar por um instante e retornar a Terra. Há no

entanto, uma certa velocidade inicial que fará com

que ele suba para sempre, atingindo o repouso,

teoricamente, só no infinito. Esta velocidade inicial

é chamada de Velocidade de Escape.

000 =+UK

R

GMmUemvK e −== 0

20 2

1Na superfície da Terra temos:

No infinito temos, Kf= 0 e Uf = 0, daí vem:

R

GMv

R

GMmmv ee

20

2

1 2 ==−

K0 + U0 = Kf + Uf

Leis de Kepler

♦ JOHANNES KEPLER (1571-1630) - Astrônomoalemão que foi o primeiro a descreverprecisamente que as órbitas dos planetas nãoeram circulares e sim elípticas. Kepler usando asanotações e tabelas feitas pelo astrônomo TychoBrahe formulou as conhecidas Leis de Kepler. Osignificado físico dessas leis só veio com aformulação da lei da Gravitação Universal deIsaac Newton.

Leis de Kepler

Sol de massa M encontra-se em um dos focos Fda elipse. F’ é o outro foco. Cada um dos focos

está a uma distância ea do centro, onde e é a

excentricidade da órbita. Mostramos também na

figura o semi-eixo maior a da elipse, o periélio Rp

(distância de maior aproximação do Sol) e o afélio

Ra (posição mais afastada do Sol).

Órbita da Terra

Questão: Você sabe que toda vez que fazaniversário é porque se passou mais um ano paravocê, certo? Isto significa que o planeta Terra deumais uma volta ao redor do Sol desde o seu últimoaniversário. Muito bem, esperamos que você já tenhaestudado a forma do movimento da Terra ao redor doSol. Uma das figuras abaixo é a que melhorrepresenta o movimento da Terra ao redor do Sol.

Observação: Não existe nenhum efeito deperspectiva nas figuras.

Órbita da Terra

Órbita da Terra

Leis de Kepler

As três leis de Kepler são:1º- A órbita de um planeta em torno do Sol é umaelipse com o Sol localizado em um de seus focos;2º- O raio vetor ou linha imaginária que une oplaneta ao Sol, varre áreas iguais em intervalos detempo iguais;3º- O quadrado do período de revolução dosplanetas é proporcional ao cubo de sua distânciamédia ao Sol (semi-eixo maior da elipse), ou seja:

32

2 )4

( rGM

Tπ=

Leis de Kepler

Teorema das Cascas Esféricas

Terra

Quais grandezas são relevantes?

Dados da Terra

Dados do Sol

Raio R 6,38.106 m

Massa M 5,98.1024 kg

Distância Terra-Sol Dsol 1,5.1011 m

Raio Rʘ 6,96.108 m

Massa Mʘ 1,99.1030 kg

Sistema Solar

Planeta Massa

1024 kg

Densid.

103 kg/m³

Diâmetro

(km)

Dist.

Sol 106

km

Duração

do “dia”

(horas)

Duração

do “ano”

(anos)

Temp.

Superf.

(K)

Mercúrio 0,3302 5,48 4880 58 1416 0,24 440

Vênus 4,871 5,24 12104 108 5832 0,62 730

Terra 5,9723 5,52 12756 150 24 1 288

Marte 0,6421 3,97 6787 228 24,5 1,88 218

Júpiter 1899,7 1,33 142800 778 9,8 11,86 165

Saturno 568,8 0,61 120000 1427 10,2 29,5 140

Urano 89,9 1,31 51800 2870 17,2 84 85

Netuno 103,0 1,65 49500 4497 16,1 164,9 57

Sistema Solar

Planeta Massa rel. Densid.

rel.

Diâmetro

rel.

Dist. Sol

Mercúrio 0,055 0,993 0,382 0,387

Vênus 0,815 0,95 0,940 0,723

Terra 1,000 1,000 1,000 1,000

Marte 0,108 0,727 0,533 1,523

Júpiter 318 0,242 11,21 5,20

Saturno 5,2 0,129 9,45 9,55

Urano 14,4 0,273 3,98 19,18

Netuno 17,2 0,364 3,81 30,11