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Eletromagnetismo Newton Mansur

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  • EletromagnetismoNewton Mansur

  • Cargas em movimento

  • πΆπ‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝑖 =Ξ”π‘ž

    Δ𝑑

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝑗 =𝑖

    𝑆

    𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑑Γͺπ‘›π‘π‘–π‘Ž π‘œβ„Žπ‘šπ‘–π‘π‘Ž 𝑅 =Δ𝑉

    𝑖

    Δ𝑙

    𝑆

    π‘£π‘œπ‘™ = 𝑆Δ𝑙

    Ξ”π‘ž = πœŒπ‘£π‘†Ξ”π‘™

    Δ𝑙

    𝑒

    𝑒 =Δ𝑙

    Δ𝑑

    𝑖 =Ξ”π‘ž

    Δ𝑑=πœŒπ‘£π‘†Ξ”π‘™

    Δ𝑑= πœŒπ‘£π‘†u = jS

    𝑗 = πœŒπ‘£u

    πœŒπ‘£ = 𝑛𝑒

    𝑗 = 𝑛𝑒u

    πΈπ‘“π‘’π‘–π‘‘π‘œ π½π‘œπ‘’π‘™π‘’ 𝑃 = 𝑉𝑖

    π‘‰π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Žπ‘ π‘‘π‘œ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Ž 𝑒

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 πΆπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž πœŒπ‘£

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 Γπ‘‘π‘œπ‘šπ‘œπ‘  π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘œπ‘›π‘  𝑛

  • πΆπ‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝑖 =Ξ”π‘ž

    Δ𝑑

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝑗 =𝑖

    𝑆

    𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑑Γͺπ‘›π‘π‘–π‘Ž Γ΄β„Žπ‘šπ‘–π‘π‘Ž 𝑅 =Δ𝑉

    𝑖

    πΈπ‘“π‘’π‘–π‘‘π‘œ π½π‘œπ‘’π‘™π‘’ 𝑃 = 𝑉𝑖

    π‘‰π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Žπ‘ π‘‘π‘œ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Ž 𝑒

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 πΆπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž πœŒπ‘£

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 Γπ‘‘π‘œπ‘šπ‘œπ‘  π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘œπ‘›π‘  𝑛

    𝑗 = 𝑛𝑒u

    π‘šπ‘’

    Ο„= 𝐹 = 𝑒𝐸

    𝑒 =𝑒τ

    π‘šπΈ =

    𝑗

    𝑛𝑒

    𝑗 =𝑛𝑒2Ο„

    π‘šπΈ

    𝑗 = 𝜎𝐸

    𝜎 =𝑛𝑒2Ο„

    π‘š

    πΆπ‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž 𝜎

    𝑖 =Δ𝑉

    𝑅

    𝑖

    𝑆= 𝑗 =

    Δ𝑉

    𝑆𝑅

    𝑖

    𝑆= 𝑗 =

    𝑙

    𝑆𝑅

    Δ𝑉

    𝑙=

    𝑙

    𝑆𝑅𝐸

    𝑗 =𝑙

    𝑆𝑅𝐸 = 𝜎𝐸

    𝜌 =𝑆𝑅

    𝑙

    𝜌 =1

    𝜎

    π‘…π‘’π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž 𝜌

  • πΆπ‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝑖 =Ξ”π‘ž

    Δ𝑑

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘‘π‘’ 𝑗 =𝑖

    𝑆

    𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑑Γͺπ‘›π‘π‘–π‘Ž Γ΄β„Žπ‘šπ‘–π‘π‘Ž 𝑅 =Δ𝑉

    𝑖

    πΈπ‘“π‘’π‘–π‘‘π‘œ π½π‘œπ‘’π‘™π‘’ 𝑃 = 𝑉𝑖

    π‘‰π‘’π‘™π‘œπ‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Žπ‘ π‘‘π‘œ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Ž 𝑒

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 πΆπ‘Žπ‘Ÿπ‘”π‘Ž πœŒπ‘£

    π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 Γπ‘‘π‘œπ‘šπ‘œπ‘  π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘œπ‘›π‘  𝑛

    𝑗 = 𝑛𝑒u

    𝑗 = 𝜎𝐸

    πΆπ‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž 𝜎

    𝜌 =1

    𝜎

    π‘…π‘’π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž 𝜌

    πΆπ‘œπ‘π‘Ÿπ‘’

    π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘šπ‘Žπ‘ π‘ π‘Ž 8920 π‘˜π‘”/π‘š3

    π‘€π‘Žπ‘ π‘ π‘Ž π‘Žπ‘‘Γ΄π‘šπ‘–π‘π‘Ž 64

    π‘ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑑𝑒 π΄π‘£π‘œπ‘”π‘Žπ‘‘π‘Ÿπ‘œ 6,022π‘₯1023

    64 π‘˜π‘” 𝑑𝑒 π‘π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’ βˆ’ 6,022π‘₯1026 Γ‘π‘‘π‘œπ‘šπ‘œπ‘ 

    π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘  =8920

    64= 139 π‘šπ‘œπ‘™π‘’π‘ /

    π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 Γ‘π‘‘π‘œπ‘šπ‘œπ‘  = 139π‘₯6,022π‘₯1026

    𝑛 = 8,37π‘₯1029 Γ‘π‘‘π‘œπ‘šπ‘œπ‘ /π‘š3

    𝑒 =𝑗

    𝑛𝑒

    𝑖 = 1𝐴 𝑆 = 1π‘šπ‘š2 𝑗 = 1π‘₯106𝐴/π‘š2

    =1π‘₯106

    8,37π‘₯1029π‘₯1,602π‘₯10βˆ’19= 7,5π‘₯10βˆ’6π‘š/𝑠

    𝑒 = 2,7π‘π‘š/β„Ž

  • Ԧ𝑣𝐡

    Ԧ𝐹

    Ԧ𝐹 ∝ π‘ž Ԧ𝑣 𝐡

    Ԧ𝐹 βŠ₯ 𝐡

    Ԧ𝐹 βŠ₯ Ԧ𝑣

    Ԧ𝐹 = π‘š Ԧ𝑔

    Ԧ𝐹 = π‘žπΈ

    Ԧ𝐹 = π‘ž Ԧ𝑣 Γ— 𝐡

  • Ԧ𝑣𝐡

    Ԧ𝑣 Γ— 𝐡

    Ԧ𝑣

    Ԧ𝐹

    Ԧ𝐹+ Τ¦πΉβˆ’

    Ԧ𝐹 = π‘ž Ԧ𝑣 Γ— 𝐡

    𝐹𝑀 = π‘žπ‘£π΅ = π‘šπ‘£2

    𝑅

    𝑅 =π‘šπ‘£

    π‘žπ΅π‘…

  • 𝐡

    𝐼

    𝒅𝒒

    𝒗

    𝑑 Ԧ𝐹 = π‘‘π‘ž Ԧ𝑣 Γ— 𝐡

    𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍

    Ԧ𝑣 =𝑑Ԧ𝑙

    𝑑𝑑𝑑 Ԧ𝐹 = π‘‘π‘ž

    𝑑Ԧ𝑙

    𝑑𝑑× 𝐡 𝑑 Ԧ𝐹 =

    π‘‘π‘ž

    𝑑𝑑𝑑Ԧ𝑙 Γ— 𝐡

    𝑑 Ԧ𝐹 = 𝐼𝑑Ԧ𝑙 Γ— 𝐡 π‘‘π‘ž Ԧ𝑣 ≑ 𝐼𝑑Ԧ𝑙

  • 𝐡𝐼

    𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍

    𝑑 Ԧ𝐹 = 𝐼𝑑Ԧ𝑙 Γ— 𝐡

    𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍𝐿

    Ԧ𝐹 = 𝐼𝐿 Γ— 𝐡

  • 𝐡

    𝐼

    𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍

    𝑑 Ԧ𝐹 = 𝐼𝑑Ԧ𝑙 Γ— 𝐡

    𝑑 Ԧ𝐹𝐻

    𝑑 Ԧ𝐹𝑉 𝑑Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍𝑑 Ԧ𝐹𝐻

    𝑑 Ԧ𝐹𝑉

    𝑑𝐹 = 𝐼𝑑𝑙𝐡 𝑑𝐹𝐻 = πΌπ‘‘π‘™π΅π‘π‘œπ‘ πœƒ

    πœƒ

    πœƒ

    𝑑𝐹𝑉 = πΌπ‘‘π‘™π΅π‘ π‘’π‘›πœƒ

    π‘‘πœƒ

    𝑑𝑙 = π‘…π‘‘πœƒ

    𝑑𝐹𝑉 = πΌπ‘…π΅π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘‘πœƒ

    𝐹𝑉 = 𝐼𝑅𝐡ࢱ0

    πœ‹

    π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘‘πœƒ 𝐹𝑉 = 2𝐼𝑅𝐡

    𝑅

  • 𝐡

    𝐼

    𝑑 Ԧ𝐹

    𝒅Ԧ𝒍

    𝑑 Ԧ𝐹 = 𝐼𝑑Ԧ𝑙 Γ— 𝐡

    𝑑 Ԧ𝐹𝐻

    𝑑 Ԧ𝐹𝑉

    𝑑𝐹 = 𝐼𝑑𝑙𝐡 𝑑𝐹𝐻 = πΌπ‘‘π‘™π΅π‘π‘œπ‘ πœƒ

    πœƒ

    πœƒ

    𝑑𝐹𝑉 = πΌπ‘‘π‘™π΅π‘ π‘’π‘›πœƒ

    π‘‘πœƒ

    𝑑𝑙 = π‘…π‘‘πœƒ

    𝑑𝐹𝑉 = πΌπ‘…π΅π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘‘πœƒ

    𝐹𝑉 = 𝐼𝑅𝐡ࢱ0

    𝛼

    π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘‘πœƒ 𝐹𝑉 = 𝐼𝑅𝐡(1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ π›Ό)

    𝛼

    𝐹𝐻 = 𝐼𝑅𝐡𝑠𝑒𝑛𝛼

  • 𝐼

    𝐼

    𝐼

    𝐼

    𝐡

    Ԧ𝐹1

    βˆ’ Ԧ𝐹1

    Ԧ𝐹2βˆ’ Ԧ𝐹2

    π‘Ž

    𝑏

    Ԧ𝐹 = 𝐼𝐿 Γ— 𝐡 𝐹1 = πΌπ‘Žπ΅

    𝐹2 = 𝐼𝑏𝐡

    𝐹𝑇 = 0

  • 𝐼

    𝐼𝐡

    Ԧ𝐹1

    βˆ’ Ԧ𝐹1

    Ԧ𝐹2

    Ԧ𝐹 = 𝐼𝐿 Γ— 𝐡 𝐹1 = πΌπ‘Žπ΅

    𝐹2 = πΌπ‘π΅π‘ π‘’π‘›πœƒ

    𝐹𝑇 = 0

    πœƒ

    Τ¦π‘Ÿ

    Ԧ𝜏 = Τ¦π‘Ÿ Γ— Ԧ𝐹

    𝛼

    𝜏 = π‘ŸπΉπ‘ π‘’π‘›π›Ό =𝑏

    2𝐹1𝑠𝑒𝑛𝛼 =

    1

    2πΌπ‘Žπ‘π΅π‘ π‘’π‘›π›Ό

    πœπ‘‡ = πΌπ‘Žπ‘π΅π‘ π‘’π‘›π›Ό = 𝐼𝑆𝐡𝑠𝑒𝑛𝛼

    Ԧ𝑆

    𝛼

    Τ¦πœπ‘‡ = 𝐼 Ԧ𝑆 Γ— 𝐡 Τ¦πœ‡ = 𝐼 Ԧ𝑆 Τ¦πœπ‘‡ = Τ¦πœ‡ Γ— 𝐡

    Τ¦πœ‡ βˆ’ π‘€π‘œπ‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘‘π‘–π‘π‘œπ‘™π‘œ π‘šπ‘Žπ‘”π‘›Γ©π‘‘π‘–π‘π‘œ

    Τ¦πœ‡

    π‘ƒπ‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘‘π‘–π‘π‘œπ‘™π‘œ π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘œ ࢻ𝐸𝑑 Ԧ𝑆 = 0 𝛻. 𝐸 = 0

    π‘ƒπ‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘‘π‘–π‘π‘œπ‘™π‘œ π‘šπ‘Žπ‘”π‘›Γ©π‘‘π‘–π‘π‘œ ࢻ𝐡𝑑 Ԧ𝑆 = 0 𝛻. 𝐡 = 0

  • 𝐼

    𝐼

    𝐼

    𝐼

    𝐡

  • 𝐼

    𝐼𝐡

    Ԧ𝐹1

    βˆ’ Ԧ𝐹1

    Ԧ𝐹2

    πœƒ

    Τ¦π‘Ÿ

    𝛼

    𝐡

    𝛼

    Τ¦πœπ‘‡ = Τ¦πœ‡ Γ— 𝐡

  • 𝐡

  • 𝐡

    𝐡

  • 𝑡

    𝑺

    𝑡

    𝑺

    𝑡

    𝑺

    𝑺

    𝑡

    𝑡

    𝑺

    𝑡

    𝑺

    𝑭

    𝑭

  • 𝐼

    𝑰

    𝐼

    𝑡

    𝑺

    𝑡

    𝑡

    𝑡

    𝑺

    𝑺

    𝑺

  • 𝐡

    𝐼

    𝐡

    𝐡

    𝐡

    𝐡

    𝐡

    𝑰

  • 𝑑𝐡𝐼

    𝒅𝒒

    𝒗

    𝑑𝐡𝛼 π‘‘π‘ž Ԧ𝑣 Γ— Τ¦π‘Ÿ

    𝒅Ԧ𝒍

    Τ¦π‘Ÿ

    𝑰

    X

    𝐡 βŠ₯ Ԧ𝑣

    𝐡 βŠ₯ Τ¦π‘Ÿ

    ΖΈπ‘Ÿ

    𝑑𝐡𝛼 π‘‘π‘ž Ԧ𝑣 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘‘π΅π›Όπ‘‘π‘ž Ԧ𝑣 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2

    𝑑𝐡 =πœ‡04πœ‹

    π‘‘π‘ž Ԧ𝑣 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2

    π‘‘π‘ž Ԧ𝑣 ≑ 𝐼𝑑Ԧ𝑙

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑Ԧ𝑙 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2𝑑𝐡 =

    πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑Ԧ𝑙 Γ— Τ¦π‘Ÿ

    π‘Ÿ3

    𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 π΅π‘–π‘œπ‘‘ βˆ’ π‘†π‘Žπ‘£π‘Žπ‘Ÿπ‘‘

  • 𝐡

    𝐼𝒅Ԧ𝒍

    𝛼

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑Ԧ𝑙 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2𝑑Ԧ𝑙 βŠ₯ Τ¦π‘Ÿ

    Τ¦π‘Ÿπ‘…

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑𝑙

    𝑅2𝐡 =

    πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    1

    𝑅2ࢱ𝑑𝑙

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑅𝛼

    𝑅2𝐡 =

    πœ‡0𝐼

    4πœ‹π‘…π›Ό

  • 𝐼𝒅𝒙

    Τ¦π‘Ÿ

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑 Τ¦π‘₯ Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2

    π’š

    𝒙π‘₯

    𝑦

    𝑑𝐡

    πœƒ

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑π‘₯ ΖΈπ‘Ÿ π‘ π‘’π‘›πœƒ

    π‘Ÿ2𝑑𝐡 =

    πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑π‘₯

    π‘Ÿ2𝑦

    π‘Ÿπ‘‘π΅ =

    πœ‡0𝐼𝑦

    4πœ‹

    𝑑π‘₯

    π‘₯2 + 𝑦2 ΰ΅—32

    𝐡 =πœ‡0𝐼𝑦

    4πœ‹ΰΆ±βˆ’π‘Ž

    𝑏 𝑑π‘₯

    π‘₯2 + 𝑦2 ΰ΅—32

    0

    π‘Ž 𝑏

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    2πœ‹π‘¦

    𝐡 =πœ‡0𝐼𝑦

    4πœ‹

    π‘₯

    𝑦2 π‘₯2 + 𝑦2π‘βˆ’π‘Ž

    π‘ƒπ‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘“π‘–π‘œ π‘–π‘›π‘“π‘–π‘›π‘–π‘‘π‘œπ‘Ž β†’ ∞

    𝑏 β†’ ∞

  • 𝐼

    π‘Ÿ

    𝐡

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    2πœ‹π‘Ÿ

    𝐼

    π‘Ÿ

    𝐡

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    2πœ‹π‘Ÿπ΅2πœ‹π‘Ÿ = πœ‡0𝐼

  • 𝐼

    𝐡1 𝐡2πœ‹π‘Ÿ = πœ‡0𝐼

    𝑠1

    𝑠2𝐡2

    𝐡1𝑠1 = 𝐡2𝑠2 =πœ‡0𝐼

    𝑁

    𝐡1𝑠1 + 𝐡2𝑠2 +β‹―+ 𝐡𝑁𝑠𝑁 = πœ‡0𝐼

    𝑑 Ԧ𝑠

    ࢱ𝑠1

    𝐡. 𝑑Ԧ𝑠 + ࢱ𝑠2

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 + β‹―+ࢱ𝑠𝑁

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = πœ‡0𝐼

    𝑑Ԧ𝑠

    𝑑 Ԧ𝑠

    𝑑Ԧ𝑠

    𝐡

    π‘π‘œπ‘  π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘œπ‘ 

    π‘π‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘’ π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘Žπ‘™ ΰΆ± 𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = 0𝐡 βŠ₯ 𝑑Ԧ𝑠

    𝐡 βˆ₯ 𝑑Ԧ𝑠

    ࢻ𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = πœ‡0𝐼

    𝑑Ԧ𝑠

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠

  • 𝐼

    ࢻ𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = πœ‡0𝐼

    𝐡

    𝐡

  • 𝐼

    ࢱ𝐴

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 + ࢱ𝐡

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = πœ‡0𝐼

    𝑑 Ԧ𝑠

    ࢻ𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = 0

    𝐴

    𝐡

    𝐢

    ࢱ𝐴

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 + ࢱ𝐢

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = πœ‡0𝐼

    ࢱ𝐡

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = ࢱ𝐢

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠

    𝐡

    𝐡

    𝑑 Ԧ𝑠𝑑 Ԧ𝑠ࢱ𝐢

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 > 0

    ࢱ𝐡

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 < 0

    ࢱ𝐡

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 + ࢱ𝐢

    𝐡. 𝑑 Ԧ𝑠 = 0

  • 𝐼

    ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑠 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝐡

    𝐡

    𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝐼𝐸π‘₯𝑑

    𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 π΄π‘šπ‘Γ¨π‘Ÿπ‘’

  • ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝐼

    π‘Ÿ

    ࢻ𝐸. 𝑑Ԧ𝑙 = 0

  • 𝐼

    π‘Ÿ

    𝐡

    𝐼

    π‘Ÿ

    𝐡

    𝐡2πœ‹π‘Ÿ = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝑑Ԧ𝑙

    𝐡 βˆ₯ 𝑑Ԧ𝑙

    𝐡 =πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑2πœ‹π‘Ÿ

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    2πœ‹π‘Ÿ

  • 𝐼

    π‘Ÿ

    𝐡

    𝐼

    π‘Ÿπ΅

    𝐡2πœ‹π‘Ÿ = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝑑Ԧ𝑙

    𝐡 βˆ₯ 𝑑Ԧ𝑙

    𝐡 =πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑2πœ‹π‘Ÿ

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    2πœ‹π‘Ÿ

    𝑑𝐡

    𝑑𝐡

  • πΌπ‘Ÿ

    𝐡

    𝐼

    π‘Ÿπ΅

    𝐡2πœ‹π‘Ÿ = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝑑Ԧ𝑙

    𝐡 βˆ₯ 𝑑Ԧ𝑙

    𝐡 =πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑2πœ‹π‘Ÿ

    𝑑𝐡

    𝑑𝐡

    𝐼𝐼𝑛𝑑𝐼

    =𝐴𝐼𝑛𝑑𝐴

    𝐼𝐼𝑛𝑑 = 𝑗𝐴𝐼𝑛𝑑

    𝐼𝐼𝑛𝑑 = πΌπœ‹π‘Ÿ2

    πœ‹π‘…2

    𝐡 =πœ‡0𝐼

    2πœ‹

    π‘Ÿ

    𝑅2

  • 𝐷 = πœ€πΈ 𝐷 =π‘ž

    4πœ‹π‘Ÿ2ΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ

    𝐻 =π‘ž Ԧ𝑣 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    4πœ‹π‘Ÿ2𝐻 =𝐡

    πœ‡π‘‘π» =

    𝐼𝑑Ԧ𝑙 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    4πœ‹π‘Ÿ2

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐼𝐼𝑛𝑑

    𝐻 βˆ’ πΆπ‘Žπ‘šπ‘π‘œ π‘€π‘Žπ‘”π‘›Γ©π‘‘π‘–π‘π‘œ

    𝐡 βˆ’ π·π‘’π‘›π‘ π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ 𝑑𝑒 𝐹𝑙𝑒π‘₯π‘œ π‘œπ‘’ πΌπ‘›π‘‘π‘’Γ§Γ£π‘œ π‘€π‘Žπ‘”π‘›Γ©π‘‘π‘–π‘π‘Ž

    πœ‡ βˆ’ π‘ƒπ‘’π‘Ÿπ‘šπ‘’π‘Žπ‘π‘–π‘™π‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘’ π‘€π‘Žπ‘”π‘›Γ©π‘‘π‘–π‘π‘Ž

  • π‘₯

    𝑦

    𝑧

    1 2

    34

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙

    𝐻0𝑦

    𝐻0π‘₯

    𝐻0

    𝐻0 = 𝐻0π‘₯ Τ¦π‘Žπ‘₯ + 𝐻0𝑦 Τ¦π‘Žπ‘¦ + 𝐻0𝑧 Τ¦π‘Žπ‘§

    𝐻0𝑧

    1 β†’ 2 𝐻. βˆ†Τ¦π‘™ = 𝐻𝑦1β†’2βˆ†π‘¦

    𝐻𝑦

    = (𝐻0𝑦 +πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯

    βˆ†π‘₯

    2)βˆ†π‘¦

    3 β†’ 4 𝐻. βˆ†Τ¦π‘™ = 𝐻𝑦3β†’4(βˆ’βˆ†π‘¦) = (𝐻0𝑦 βˆ’πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯

    βˆ†π‘₯

    2)(βˆ’βˆ†π‘¦)

    4 β†’ 1 𝐻. βˆ†Τ¦π‘™ = 𝐻π‘₯4β†’1βˆ†x = (𝐻0π‘₯ βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    βˆ†π‘¦

    2)βˆ†π‘₯

    2 β†’ 3 𝐻. βˆ†Τ¦π‘™ = 𝐻𝑦2β†’3(βˆ’βˆ†π‘₯) = (𝐻0π‘₯ +πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    βˆ†π‘¦

    2)(βˆ’βˆ†π‘₯)

    1 β†’ 2 β†’ 3 β†’ 4 𝐻. βˆ†Τ¦π‘™ =πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    βˆ†π‘₯βˆ†π‘¦

  • π‘₯

    𝑦

    𝑧

    1 2

    34

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙

    𝐻0𝑦

    𝐻0π‘₯

    𝐻0𝐻0𝑧

    𝐻𝑦

    𝐻.βˆ†Τ¦π‘™ =πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    𝑆𝑧

    βˆ†π‘₯ β†’ 0 βˆ†π‘¦ β†’ 0

    𝐻.𝑑Ԧ𝑙 =πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    𝑑𝑆𝑧

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ΰΆ±πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    𝑑𝑆𝑧

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ΰΆ±πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    Τ¦π‘Žπ‘§. 𝑑𝑆𝑧 Τ¦π‘Žπ‘§

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ΰΆ±πœ•π»π‘§πœ•π‘¦

    βˆ’πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘§Τ¦π‘Žπ‘₯ . 𝑑𝑆π‘₯ Τ¦π‘Žπ‘₯

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ΰΆ±πœ•π»π‘₯πœ•π‘§

    βˆ’πœ•π»π‘§πœ•π‘₯

    Τ¦π‘Žπ‘¦ . 𝑑𝑆𝑦 Τ¦π‘Žπ‘¦

  • π‘₯

    𝑦

    𝑧

    𝑑 Ԧ𝑆

    𝐻

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ΰΆ±πœ•π»π‘§πœ•π‘¦

    βˆ’πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘§Τ¦π‘Žπ‘₯ +

    πœ•π»π‘₯πœ•π‘§

    βˆ’πœ•π»π‘§πœ•π‘₯

    Τ¦π‘Žπ‘¦ +πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    Τ¦π‘Žπ‘§ . 𝑑 Ԧ𝑆

    𝑉

    𝑉 =πœ•π»π‘§πœ•π‘¦

    βˆ’πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘§Τ¦π‘Žπ‘₯ +

    πœ•π»π‘₯πœ•π‘§

    βˆ’πœ•π»π‘§πœ•π‘₯

    Τ¦π‘Žπ‘¦ +πœ•π»π‘¦

    πœ•π‘₯βˆ’πœ•π»π‘₯πœ•π‘¦

    Τ¦π‘Žπ‘§

    𝑉 = 𝛻 Γ— 𝐻

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ΰΆ± 𝛻 Γ— 𝐻 . 𝑑 Ԧ𝑆

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = ࢱ𝑉. 𝑑 Ԧ𝑆

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐼𝐼𝑛𝑑 ΰΆ± 𝛻 Γ— 𝐻 . 𝑑Ԧ𝑆 = 𝐼𝐼𝑛𝑑 = ΰΆ± Ԧ𝑗. 𝑑 Ԧ𝑆

    Ԧ𝑗

    𝛻 Γ— 𝐻 = Ԧ𝑗

  • ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑

    ࢻ𝐸. 𝑑Ԧ𝑙 = 0

    ࢻ𝐸. 𝑑 Ԧ𝑆 =π‘ž

    πœ€0

    ࢻ𝐡. 𝑑 Ԧ𝑆 = 0

    𝛻. 𝐸 =𝜌

    πœ€0

    𝛻. 𝐡 = 0

    𝛻 Γ— 𝐡 = πœ‡0Ԧ𝑗

    𝛻 Γ— 𝐸 = 0

    𝛻.𝐷 = 𝜌

    𝛻.𝐻 = 0

    𝛻 Γ— 𝐻 = Ԧ𝑗

    𝛻 Γ— 𝐷 = 0

    𝛻 Γ— 𝐸 = 0 𝛻 Γ— 𝐷 = 0

  • 𝛻. 𝐡 = 0

    𝛻 Γ— 𝐸 = 0 𝛻 Γ— π›»πœ‘ = 0 𝐸 = βˆ’π›»πœ‘

    πœ‘ Τ¦π‘Ÿ = πœ‘π‘ƒ Τ¦π‘Ÿ + πœ‘0 π›»πœ‘ Τ¦π‘Ÿ = π›»πœ‘π‘ƒ Τ¦π‘Ÿ

    𝛻. (𝛻 Γ— Ԧ𝐴) = 0 𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴

    𝛻 Γ— 𝛻𝛿 = 0 Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ = Ԧ𝐴𝑃 Τ¦π‘Ÿ + 𝛻𝛿 𝛻 Γ— Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴𝑃 Τ¦π‘Ÿ

    Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ βˆ’ π‘ƒπ‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘™ π‘‰π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ

  • 𝛻. 𝐸 =𝜌

    πœ€0𝐸 = βˆ’π›»πœ‘ 𝛻. (βˆ’π›»πœ‘) =

    𝜌

    πœ€0𝛻2πœ‘ = βˆ’

    𝜌

    πœ€0

    𝛻 Γ— 𝐡 = πœ‡0Ԧ𝑗 𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴

    𝛻 Γ— 𝛻 Γ— Ԧ𝐴 = 𝛻. 𝛻. Ԧ𝐴 βˆ’ 𝛻2 Ԧ𝐴 Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ = Ԧ𝐴𝑃 Τ¦π‘Ÿ + 𝛻𝛿

    𝛻. Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ = 𝛻. Ԧ𝐴𝑃 Τ¦π‘Ÿ + 𝛻. 𝛻𝛿 𝛻. Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ = 𝛻. Ԧ𝐴𝑃 Τ¦π‘Ÿ + 𝛻2𝛿

    𝛻. Ԧ𝐴𝑃 Τ¦π‘Ÿ = βˆ’π›»2𝛿 𝛻. Ԧ𝐴 Τ¦π‘Ÿ = 0

    𝛻 Γ— 𝛻 Γ— Ԧ𝐴 = βˆ’π›»2 Ԧ𝐴 = 𝛻 Γ— 𝐡 = πœ‡0Ԧ𝑗 𝛻2 Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0Ԧ𝑗

  • Teorema de Helmholtz

    1

    4πœ‹π›»2ΰΆ±

    Ԧ𝐺(Τ¦π‘Ÿβ€²)

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² =

    1

    4πœ‹ΰΆ± Ԧ𝐺(Τ¦π‘Ÿβ€²)𝛻2

    1

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² = ΰΆ± Ԧ𝐺(Τ¦π‘Ÿβ€²)𝛿(Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²)𝑑𝑣′ = Ԧ𝐺(Τ¦π‘Ÿ)

    π‘ˆ π‘Ÿ =1

    4πœ‹ΰΆ±

    Ԧ𝐺(Τ¦π‘Ÿβ€²)

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² 𝛻2π‘ˆ π‘Ÿ =

    1

    4πœ‹π›»2ΰΆ±

    Ԧ𝐺(Τ¦π‘Ÿβ€²)

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€²

    𝛻2π‘ˆ π‘Ÿ = Ԧ𝐺 π‘Ÿ π‘ˆ Τ¦π‘Ÿ =1

    4πœ‹ΰΆ±π›»β€²2π‘ˆ Τ¦π‘Ÿβ€²

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² π‘Š Τ¦π‘Ÿ =

    1

    4πœ‹ΰΆ±π›»β€²2π‘Š Τ¦π‘Ÿβ€²

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€²

    Ԧ𝐹 = βˆ’π›»π‘Š + 𝛻 Γ— π‘ˆ 𝛻 βˆ™ Ԧ𝐹 = βˆ’π›»2π‘Š

    𝛻 Γ— Ԧ𝐹 = 𝛻 Γ— 𝛻 Γ— π‘ˆ = 𝛻 βˆ™ 𝛻 βˆ™ π‘ˆ βˆ’ 𝛻2π‘ˆ 𝛻 βˆ™ π‘ˆ = 0 𝛻 Γ— Ԧ𝐹 = βˆ’π›»2π‘ˆ

    𝛻 βˆ™ Ԧ𝐹 = βˆ’π›»2π‘Š = 𝐷

    𝛻 Γ— Ԧ𝐹 = βˆ’π›»2π‘ˆ = Ԧ𝐺

    𝐸 Τ¦π‘Ÿ =1

    4πœ‹ΰΆ±π›»β€²2𝐸 Τ¦π‘Ÿβ€²

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² 𝐸 = βˆ’π›»π‘‰ + 𝛻 Γ— π‘ˆ

    𝐡 Τ¦π‘Ÿ =1

    4πœ‹ΰΆ±π›»β€²2𝐡 Τ¦π‘Ÿβ€²

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² 𝐡 = βˆ’π›»π‘Š + 𝛻 Γ— Ԧ𝐴

  • 𝐸 =1

    4πœ‹ΰΆ±π›»β€²2𝐸 Τ¦π‘Ÿβ€²

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€²

    𝐸 = βˆ’π›». 𝑉 𝑉 = βˆ’1

    4πœ‹ΰΆ±

    𝛻. 𝐸

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² + 𝑉0 = βˆ’

    1

    4πœ‹πœ€0ΰΆ±

    𝜌

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² + 𝑉0

    Ԧ𝐴 = βˆ’1

    4πœ‹ΰΆ±

    𝛻 Γ— 𝐡

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² + Ԧ𝐴0 = βˆ’

    πœ‡04πœ‹

    ࢱԦ𝑗

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² + Ԧ𝐴0

    𝐡 =1

    4πœ‹ΰΆ±π›»β€²2𝐡 Τ¦π‘Ÿβ€²

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² =

    1

    4πœ‹ΰΆ±π›». 𝛻. 𝐡 βˆ’ 𝛻 Γ— 𝛻 Γ— 𝐡

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€²

    𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴

    𝑉 = βˆ’1

    4πœ‹πœ€0ࢱ𝜌

    π‘Ÿπ‘‘π‘£ + 𝑉0 Ԧ𝐴 = βˆ’

    πœ‡04πœ‹

    ࢱԦ𝑗

    π‘Ÿπ‘‘π‘£ + Ԧ𝐴0

  • 𝐻

    1

    2

    𝐻1

    βˆ†π‘™

    βˆ†π‘™

    βˆ†β„Žβˆ†β„Ž

    𝐻1𝑛

    𝐻1𝑑

    𝐻2𝐻2𝑛

    𝐻2𝑑

    𝐴

    𝐡𝐢

    𝐷

    ΰΆ±π΄βˆ’π΅

    𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = βˆ’π»2π‘›βˆ†β„Ž

    2βˆ’ 𝐻1𝑛

    βˆ†β„Ž

    2

    ΰΆ±π΅βˆ’πΆ

    𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = βˆ’ βˆ’π»2π‘‘βˆ†π‘™

    ΰΆ±πΆβˆ’π·

    𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = βˆ’ βˆ’π»1π‘›βˆ†β„Ž

    2βˆ’ βˆ’π»2𝑛

    βˆ†β„Ž

    2

    ΰΆ±π·βˆ’π΄

    𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = βˆ’π»1π‘‘βˆ†π‘™

    βˆ’π»2π‘›βˆ†β„Ž

    2βˆ’ 𝐻1𝑛

    βˆ†β„Ž

    2+ 𝐻2π‘‘βˆ†π‘™ + 𝐻2𝑛

    βˆ†β„Ž

    2+ 𝐻1𝑛

    βˆ†β„Ž

    2βˆ’ 𝐻1π‘‘βˆ†π‘™ =

    𝐼

    𝐴

    βˆ†β„Ž β†’ 0 𝐻2𝑑 βˆ’ 𝐻1𝑑 = 𝐾

    ࢻ𝐻. 𝑑Ԧ𝑙 = Ԧ𝑗

    𝐻2𝑑 βˆ’ 𝐻1𝑑 =𝐼

    βˆ†π‘™

    𝐡2π‘‘πœ‡0

    βˆ’π΅1π‘‘πœ‡0

    = 𝐾

  • 𝐻

    1

    2

    𝐡1𝐡1𝑛

    𝐡1𝑑

    𝐡2𝐡2𝑛

    𝐡2𝑑

    𝐡1𝑛

    𝐡2𝑛

    ࢻ𝐡. 𝑑 Ԧ𝑆 = 0

    𝐡2𝑛𝐴 βˆ’ 𝐡1𝑛𝐴 = 0

    𝐡2𝑛 βˆ’ 𝐡1𝑛 = 0

    𝐻2𝑛 βˆ’ 𝐻1𝑛 = 0

    𝐻2𝑑 βˆ’ 𝐻1𝑑 = 𝐾

    𝐡2𝑑 βˆ’ 𝐡1𝑑 = πœ‡0𝐾

    β„Ž

    β„Ž β†’ 0

  • Ԧ𝒋 Ԧ𝒋

    Plano espesso infinito

    d

  • Ԧ𝒋 Ԧ𝒋

    Plano espesso infinito

    d

    𝒅𝑩

    𝒅𝑩

    𝑩

    𝒅𝑩

    𝒅𝑩

    𝑩

    𝑩

    𝑩𝑩

    𝑩

    𝑩

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    d

    L

    ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑 2𝐡𝐿 = πœ‡0𝑗𝐿𝑑 𝐡 =1

    2πœ‡0𝑗𝑑

    𝑩

  • Ԧ𝒋 Ԧ𝒋

    Plano espesso infinito

    d

    𝒅𝑩

    𝒅𝑩

    𝑩

    𝒅𝑩

    𝒅𝑩

    𝑩

    𝑩𝑩

    𝑩

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍

    𝒅Ԧ𝒍2y

    L

    y

    x

    ࢻ𝐡. 𝑑Ԧ𝑙 = πœ‡0𝐼𝐼𝑛𝑑 2𝐡𝐿 = πœ‡0𝑗2𝑦𝐿 𝐡 = πœ‡0𝑗𝑦

    𝐡 = βˆ’πœ‡0𝑗𝑦 ොπ‘₯

  • Ԧ𝒋 Ԧ𝒋

    Plano espesso infinito

    d

    y

    𝛻2 Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0Ԧ𝑗Dentro

    πœ•2𝐴π‘₯πœ•π‘₯2

    +πœ•2𝐴π‘₯πœ•π‘¦2

    +πœ•2𝐴π‘₯πœ•π‘§2

    ΰ·œπ‘Žπ‘₯ +πœ•2𝐴𝑦

    πœ•π‘₯2+πœ•2𝐴𝑦

    πœ•π‘¦2+πœ•2𝐴𝑦

    πœ•π‘§2ΰ·œπ‘Žπ‘¦ +

    πœ•2π΄π‘§πœ•π‘₯2

    +πœ•2π΄π‘§πœ•π‘¦2

    +πœ•2π΄π‘§πœ•π‘§2

    ΰ·œπ‘Žπ‘§ = βˆ’πœ‡0𝐽 ΰ·œπ‘Žπ‘§

    πœ•2π΄π‘§πœ•π‘¦2

    = βˆ’πœ‡0𝐽 𝐴𝑧 𝑦 = βˆ’πœ‡0𝐽𝑦2

    2+ 𝐢𝑦 + 𝐷 𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴

    𝛻 Γ— Ԧ𝐴 =πœ•π΄π‘§πœ•π‘¦

    ΰ·œπ‘Žπ‘₯ = βˆ’πœ‡0𝐽𝑦 + 𝐢 ΰ·œπ‘Žπ‘₯Para y=0 B=0 => C=0

    D=0 ReferΓͺncia

    Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0𝐽𝑦2

    2ΰ·œπ‘Žπ‘§

    𝑨

  • Ԧ𝒋 Ԧ𝒋

    Plano espesso infinito

    d

    y

    𝛻2 Ԧ𝐴 = 0Fora πœ•2𝐴𝑧

    πœ•π‘¦2= 0 𝐴𝑧 𝑦 = 𝐸𝑦 + 𝐹

    𝑨

    𝐸𝑑

    2+ 𝐹 = βˆ’πœ‡0𝐽

    𝑑2

    8

    No contorno

    𝐴𝑧 π·π‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑦 →𝑑

    2= 𝐴𝑧 πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘Ž 𝑦 β†’

    𝑑

    2

    Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0𝐽𝑑

    2𝑦 βˆ’

    𝑑

    4ΰ·œπ‘Žπ‘§

    𝑨

    𝑨

    πœ•π΄π‘§ π·π‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œπœ•π‘¦

    𝑦 →𝑑

    2=πœ•π΄π‘§ πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘Ž

    πœ•π‘¦π‘¦ β†’

    𝑑

    2𝐸 = βˆ’πœ‡0𝐽

    𝑑

    2𝐹 =

    1

    8πœ‡0𝐽𝑑

    2

  • πΌπ‘Ÿ

    𝐡

    𝐼

    π‘Ÿ

    𝛻2 Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0Ԧ𝑗Dentro

    1

    𝜌

    πœ•

    πœ•πœŒπœŒπœ•π΄π‘§πœ•π‘Ÿ

    = βˆ’πœ‡0𝑗 πœŒπœ•π΄π‘§πœ•πœŒ

    = βˆ’πœ‡0π‘—πœŒ2

    2+ 𝐢

    𝐴𝑧 = βˆ’πœ‡0π‘—πœŒ2

    4+ πΆπ‘™π‘›πœŒ + 𝐷

    𝑂 π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘™ π‘›Γ£π‘œ π‘‘π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘”π‘’ π‘’π‘š 𝜌 = 0 π‘’π‘›π‘‘Γ£π‘œ 𝐢 = 0

    π‘…π‘’π‘“π‘’π‘ŸΓͺπ‘›π‘π‘–π‘Ž 𝐷 = 0

  • πΌπ‘Ÿ

    𝛻2 Ԧ𝐴 = 0Fora1

    𝜌

    πœ•

    πœ•πœŒπœŒπœ•π΄π‘§πœ•πœŒ

    = 0 πœŒπœ•π΄π‘§πœ•πœŒ

    = 𝐸

    𝐴𝑧 = πΈπ‘™π‘›πœŒ + 𝐹

    π‘π‘œ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œ π΄π·π‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑅 = π΄πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘Ž 𝑅 βˆ’πœ‡0𝑗𝑅2

    4= 𝐸𝑙𝑛𝑅 + 𝐹

    π‘π‘œ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œπœ•

    πœ•πœŒπ΄π·π‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑅 =

    πœ•

    πœ•πœŒπ΄πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘Ž 𝑅 βˆ’πœ‡0

    𝑗𝑅

    2=𝐸

    𝑅

    𝐸 = βˆ’πœ‡0𝑗𝑅2

    2𝐹 = πœ‡0

    𝑗𝑅2

    2(𝑙𝑛𝑅 βˆ’

    1

    2)

  • 𝐼

    π‘Ÿ

    Fora Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0𝑗𝑅2

    2𝑙𝑛

    𝜌

    𝑅+1

    2Ƹ𝑧

    Dentro Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0π‘—πœŒ2

    4Ƹ𝑧 𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴 = βˆ’

    πœ•π΄π‘§πœ•πœŒ

    ΰ·œπœ‘ = πœ‡0π‘—πœŒ

    2ΰ·œπœ‘

    𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴 = βˆ’πœ•π΄π‘§πœ•πœŒ

    ΰ·œπœ‘ = πœ‡0𝑗𝑅2

    2πœŒΰ·œπœ‘

  • xy

    z

    Τ¦π‘Ÿ

    π‘₯

    𝑦

    𝑧

    xy

    z

    Τ¦π‘Ÿβ€²π‘₯

    𝑦

    𝑧

    Τ¦π‘Ÿ

    𝑅

    𝑉 =1

    4πœ‹πœ€0

    π‘ž

    π‘Ÿ 𝑉 =1

    4πœ‹πœ€0ΰΆ±

    𝜌(Τ¦π‘Ÿβ€²)

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² + 𝑉0𝛻2𝑉 = βˆ’

    𝜌

    πœ€0

    𝛻2 Ԧ𝐴 = βˆ’πœ‡0Ԧ𝑗 Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    ࢱԦ𝐽( Τ¦π‘Ÿβ€²)

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€² + Ԧ𝐴0

  • Ԧ𝑗

    Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    ࢱԦ𝐽(Τ¦π‘Ÿβ€²)

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€²

    𝒅𝒛′

    Τ¦π‘Ÿ

    𝝆

    𝒛𝑧’

    𝜌

    πœƒ

    0

    π‘Ž

    Ԧ𝐽 Τ¦π‘Ÿβ€² =1

    2πœ‹πœŒβ€²πΌπ›Ώ(πœŒβ€²) Ƹ𝑧

    ΰΆ± Ԧ𝐽 Τ¦π‘Ÿβ€² πœŒβ€²π‘‘πœ‘β€²π‘‘πœŒβ€² = 𝐼

    Τ¦π‘Ÿ βˆ’ Τ¦π‘Ÿβ€² = 𝜌2 + 𝑧′2 Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    ࢱԦ𝐽(Τ¦π‘Ÿβ€²)

    𝜌2 + 𝑧′2𝑑𝑣′Ԧ𝐽 Τ¦π‘Ÿβ€² 𝑑𝑣′ =

    1

    2πœ‹πœŒβ€²πΌπ›Ώ(πœŒβ€²)πœŒβ€²π‘‘πœ‘β€²π‘‘πœŒβ€²dzβ€²

    Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    ΰΆ±βˆ’π‘Ž

    𝑏 1

    𝜌2 + 𝑧′2

    1

    2πœ‹πœŒβ€²πΌπ›Ώ(πœŒβ€²)πœŒβ€²π‘‘πœ‘β€²π‘‘πœŒβ€²dzβ€² Ƹ𝑧 =

    πœ‡04πœ‹

    𝐼 ΰΆ±βˆ’π‘Ž

    𝑏 1

    𝜌2 + 𝑧′2dzβ€² Ƹ𝑧

    𝑏

    Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    𝐼 𝑙𝑛 𝑧′ + 𝜌2 + 𝑧′2π‘βˆ’π‘Ž

    =πœ‡04πœ‹

    𝐼 𝑙𝑛𝑏 + 𝜌2 + 𝑏2

    βˆ’π‘Ž + 𝜌2 + π‘Ž2

    π‘π‘œπ‘‘π‘’ π‘žπ‘’π‘’ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘’π‘š π‘“π‘–π‘œ π‘ π‘’π‘šπ‘– βˆ’ π‘–π‘›π‘“π‘–π‘›π‘–π‘‘π‘œ π‘œπ‘’ π‘–π‘›π‘“π‘–π‘›π‘–π‘‘π‘œ π‘›Γ£π‘œ π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘šπ‘œπ‘  π‘π‘Žπ‘™π‘π‘’π‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘œ π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘™ π‘£π‘’π‘‘π‘œπ‘Ÿ π‘‘π‘’π‘ π‘‘π‘Ž π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Ž

  • qz

    R

    x

    y

    z

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑Ԧ𝑙 Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2

    i

    π‘ƒπ‘œπ‘Ÿ π‘ π‘–π‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘Ž 𝑠ó π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘Ž 𝑑𝐡𝑧

    Τ¦π‘Ÿ

    𝑑Ԧ𝑙

    𝑑𝐡𝑑𝐡𝑧

    π‘ͺπ’‚π’Žπ’‘π’π‘΄π’‚π’ˆπ’Γ©π’•π’Šπ’„π’ 𝒅𝒆 π’–π’Žπ’‚ π’†π’”π’‘π’Šπ’“π’‚

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑𝑙

    π‘Ÿ2𝑑Ԧ𝑙 βŠ₯ ΖΈπ‘Ÿ 𝑑𝐡𝑧 =

    πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑𝑙

    π‘Ÿ2π‘ π‘’π‘›πœƒ

    𝑑𝐡𝑧 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑𝑙

    π‘Ÿ2𝑅

    π‘Ÿ=πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑅𝑑𝑙

    π‘Ÿ3=πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑅𝑑𝑙

    𝑅2 + 𝑧2 ΰ΅—32

    𝐡𝑧 = ΰΆ±πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑅𝑑𝑙

    𝑅2 + 𝑧2 ΰ΅—32

    𝐡𝑧 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑅2πœ‹π‘…

    𝑅2 + 𝑧2 ΰ΅—32=πœ‡0𝐼

    2

    𝑅2

    𝑅2 + 𝑧2 ΰ΅—32

  • 𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    𝑑Ԧ𝑙 Γ— Τ¦π‘Ÿβ€²

    π‘Ÿβ€²3

    π‘ͺπ’‚π’Žπ’‘π’π‘΄π’‚π’ˆπ’Γ©π’•π’Šπ’„π’ 𝒅𝒆 π’–π’Žπ’‚ π’†π’”π’‘π’Šπ’“π’‚

    Τ¦π‘Ÿβ€² = Τ¦π‘Ÿ βˆ’ 𝑅

    Τ¦π‘Ÿ = π‘₯ Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 + π‘§π‘˜

    𝑅 = π‘…π‘π‘œπ‘ πœ‘ Ƹ𝑖 + π‘…π‘ π‘’π‘›πœ‘ Ƹ𝑗

    x

    y

    z

    i

    Τ¦π‘Ÿβ€™

    𝑑Ԧ𝑙

    Τ¦π‘Ÿ

    π‘…πœ‘

    Τ¦π‘Ÿβ€² = (π‘₯ βˆ’ π‘…π‘π‘œπ‘ πœ‘) Ƹ𝑖 + (𝑦 βˆ’ π‘…π‘ π‘’π‘›πœ‘) Ƹ𝑗 + π‘§π‘˜

    𝑑Ԧ𝑙 = βˆ’π‘…π‘‘πœ‘π‘ π‘’π‘›πœ‘ Ƹ𝑖 + π‘…π‘‘πœ‘π‘π‘œπ‘ πœ‘ Ƹ𝑗

    𝑑Ԧ𝑙 Γ— Τ¦π‘Ÿβ€²

    = βˆ’π‘…π‘‘πœ‘π‘ π‘’π‘›πœ‘ 𝑦 βˆ’ π‘…π‘ π‘’π‘›πœ‘ π‘˜ βˆ’ π‘…π‘‘πœ‘π‘ π‘’π‘›πœ‘π‘§ βˆ’ Ƹ𝑗 + π‘…π‘‘πœ‘π‘π‘œπ‘ πœ‘ π‘₯ βˆ’ π‘…π‘π‘œπ‘ πœ‘ βˆ’π‘˜

    + π‘…π‘‘πœ‘π‘π‘œπ‘ πœ‘ 𝑧 Ƹ𝑖𝑑Ԧ𝑙 Γ— Τ¦π‘Ÿβ€² = π‘…π‘§π‘π‘œπ‘ πœ‘π‘‘πœ‘ Ƹ𝑖 + π‘…π‘§π‘ π‘’π‘›πœ‘π‘‘πœ‘ Ƹ𝑗 + 𝑅(𝑅 βˆ’ π‘¦π‘ π‘’π‘›πœ‘ βˆ’ π‘₯π‘π‘œπ‘ πœ‘)π‘‘πœ‘π‘˜

    𝑑𝐡 =πœ‡0𝐼

    4πœ‹

    π‘…π‘§π‘π‘œπ‘ πœ‘π‘‘πœ‘ Ƹ𝑖 + π‘…π‘§π‘ π‘’π‘›πœ‘π‘‘πœ‘ Ƹ𝑗 + 𝑅(𝑅 βˆ’ π‘¦π‘ π‘’π‘›πœ‘ βˆ’ π‘₯π‘π‘œπ‘ πœ‘)π‘‘πœ‘π‘˜

    (π‘Ÿ2 + 𝑅2 βˆ’ 2π‘₯π‘…π‘π‘œπ‘ πœ‘ βˆ’ 2π‘¦π‘…π‘ π‘’π‘›πœ‘)32

    π‘ƒπ‘œπ‘Ÿ π‘π‘Žπ‘’π‘ π‘Ž π‘‘π‘Ž π‘ π‘–π‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘Ž π‘π‘–π‘™Γ­π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘šπ‘œπ‘  π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿ π‘œ 𝑒𝑖π‘₯π‘œ π‘’π‘š π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œ 𝑑𝑒 𝑧 π‘Žπ‘‘Γ© π‘žπ‘’π‘’π‘₯ π‘œπ‘’ 𝑦 π‘ π‘’π‘—π‘Ž π‘§π‘’π‘Ÿπ‘œ, π‘“π‘Žπ‘π‘–π‘™π‘–π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ π‘Ž π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘Ž

  • π‘ͺπ’‚π’Žπ’‘π’π‘΄π’‚π’ˆπ’Γ©π’•π’Šπ’„π’ 𝒅𝒆 π’–π’Žπ’‚ π’†π’”π’‘π’Šπ’“π’‚

    Τ¦π‘Ÿβ€² = Τ¦π‘Ÿ βˆ’ 𝑅

    π‘Ÿβ€²2= π‘Ÿ2 + 𝑅2 βˆ’ 2π‘Ÿπ‘…π‘π‘œπ‘ πœƒ

    Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    ࢱԦ𝑗

    π‘Ÿβ€²π‘‘π‘£β€²

    Ԧ𝐴 =πœ‡0𝑖

    4πœ‹ΰΆ»

    1

    π‘Ÿ2 + 𝑅2 βˆ’ 2π‘Ÿπ‘…π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘‘Τ¦π‘™β€²q

    x

    y

    z

    i

    Τ¦π‘Ÿβ€™

    𝑑Ԧ𝑙′

    Τ¦π‘Ÿ

    π‘…πœ‘

    Ԧ𝑗𝑑𝑣′ = 𝑖𝑑Ԧ𝑙′

    1

    π‘Ÿ2 + 𝑅2 βˆ’ 2π‘Ÿπ‘…π‘π‘œπ‘ πœƒ=

    1

    π‘Ÿπ‘…π‘Ÿ

    2

    + 1 βˆ’ 2π‘…π‘Ÿπ‘π‘œπ‘ πœƒ

    =1

    π‘Ÿ

    𝑛=0

    βˆžπ‘…

    π‘Ÿ

    𝑛

    𝑃𝑛(π‘π‘œπ‘ πœƒ)

    Ԧ𝐴 =πœ‡0𝑖

    4πœ‹

    𝑛=0

    ∞1

    π‘Ÿπ‘›+1ࢻ𝑅𝑛𝑃𝑛(π‘π‘œπ‘ πœƒ)𝑑Ԧ𝑙′

    π‘€π‘Žπ‘›π‘‘π‘’π‘›β„Žπ‘œ π‘œ 𝑅 π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘‘π‘Ž π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘™, π‘π‘œπ‘–π‘  π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘π‘œπ‘›π‘‘π‘Ž π‘ π‘’π‘Ÿπ‘£π‘’ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘žπ‘’π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘’π‘Ÿ π‘‘π‘–π‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘’π‘ π‘π‘–π‘Ÿπ‘Ž,

    π‘šπ‘Žπ‘  𝑠𝑒 π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘π‘–π‘Ÿπ‘π‘’π‘™π‘Žπ‘Ÿ Γ© π‘π‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘œ π‘žπ‘’π‘’ 𝑅 Γ© π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’

    Ԧ𝐴 =πœ‡0𝑖

    4πœ‹

    𝑛=0

    ∞

    π‘Ÿπ‘›ΰΆ»1

    𝑅𝑛+1𝑃𝑛(π‘π‘œπ‘ πœƒ)𝑑Ԧ𝑙′ π‘Ÿ < 𝑅

  • π‘ͺπ’‚π’Žπ’‘π’π‘΄π’‚π’ˆπ’Γ©π’•π’Šπ’„π’ 𝒅𝒆 π’–π’Žπ’‚ π’†π’”π’‘π’Šπ’“π’‚

    q

    x

    y

    z

    i

    Τ¦π‘Ÿβ€™

    𝑑Ԧ𝑙′

    Τ¦π‘Ÿ

    π‘…πœ‘

    Ԧ𝐴 =πœ‡0𝑖

    4πœ‹

    1

    π‘ŸΰΆ»π‘‘Τ¦π‘™β€² +

    1

    π‘Ÿ2ΰΆ»π‘…π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘‘Τ¦π‘™β€² +

    1

    π‘Ÿ3ࢻ𝑅2(

    3

    2π‘π‘œπ‘ 2πœƒ βˆ’

    1

    2)𝑑Ԧ𝑙′ + β‹―

    Monopoloࢻ𝑑Ԧ𝑙′ = 01

    π‘Ÿ2ΰΆ»π‘…π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘‘Τ¦π‘™β€² Dipolo

    1

    π‘Ÿ3ࢻ𝑅2(

    3

    2π‘π‘œπ‘ 2πœƒ βˆ’

    1

    2)𝑑Ԧ𝑙′ Quadrupolo

    π‘ƒπ‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘Ÿ ≫ 𝑅 Ԧ𝐴~πœ‡0𝑖

    4πœ‹

    1

    π‘Ÿ2ΰΆ»π‘…π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘‘Τ¦π‘™β€²

    ΰΆ»π‘…π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘‘Τ¦π‘™β€² = ΰΆ» ΖΈπ‘Ÿ βˆ™ 𝑅𝑑Ԧ𝑙′ = βˆ’ ΖΈπ‘Ÿ Γ— ࢻ𝑑 Ԧ𝐴′ π‘šπ‘Žπ‘  𝑖 ࢻ𝑑 Ԧ𝐴′ = Τ¦πœ‡ π‘šπ‘œπ‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘‘π‘–π‘π‘œπ‘™π‘œ

    Ԧ𝐴 =πœ‡0𝑖

    4πœ‹

    1

    π‘Ÿ2βˆ’ ΖΈπ‘Ÿ Γ— ࢻ𝑑 Ԧ𝐴′ =

    πœ‡04πœ‹

    1

    π‘Ÿ2βˆ’ ΖΈπ‘Ÿ Γ— Τ¦πœ‡ Ԧ𝐴 =

    πœ‡04πœ‹

    Τ¦πœ‡ Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2

    π‘ƒπ‘Ÿπ‘’π‘£π‘Žπ‘™π‘’π‘ π‘π‘’ π‘œ π‘‘π‘–π‘π‘œπ‘™π‘œ

    π‘Ÿ > 𝑅

  • 𝐡 = 𝛻 Γ— Ԧ𝐴 =1

    π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒ

    πœ•π‘ π‘’π‘›πœƒπ΄πœ‘

    πœ•πœƒβˆ’πœ•π΄πœƒπœ•πœ‘

    ΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ +1

    π‘Ÿ

    1

    π‘ π‘’π‘›πœƒ

    πœ•π΄π‘Ÿπœ•πœ‘

    βˆ’πœ•π‘Ÿπ΄πœ‘

    πœ•π‘Ÿΰ·œπ‘Žπœƒ +

    1

    π‘Ÿ

    πœ•π‘Ÿπ΄πœƒπœ•π‘Ÿ

    βˆ’πœ•π΄π‘Ÿπœ•πœƒ

    ΰ·œπ‘Žπœ‘

    Ԧ𝐴 =πœ‡04πœ‹

    Τ¦πœ‡ Γ— ΖΈπ‘Ÿ

    π‘Ÿ2=πœ‡04πœ‹

    πœ‡

    π‘Ÿ2π‘ π‘’π‘›πœƒ ΰ·œπ‘Žπœ‘

    q

    x

    y

    z

    i

    Τ¦π‘Ÿβ€™

    𝑑Ԧ𝑙′

    Τ¦π‘Ÿ

    π‘…πœ‘

    Τ¦πœ‡

    𝐡 =1

    π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒ

    πœ•π‘ π‘’π‘›πœƒπ΄πœ‘

    πœ•πœƒΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ βˆ’

    1

    π‘Ÿ

    πœ•π‘Ÿπ΄πœ‘

    πœ•π‘Ÿΰ·œπ‘Žπœƒ

    𝐡 =1

    π‘Ÿπ‘ π‘’π‘›πœƒ

    πœ‡04πœ‹

    πœ‡

    π‘Ÿ2πœ•π‘ π‘’π‘›2πœƒ

    πœ•πœƒΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ βˆ’

    1

    π‘Ÿ

    πœ‡04πœ‹

    πœ‡π‘ π‘’π‘›πœƒπœ•

    πœ•π‘Ÿ

    1

    π‘Ÿΰ·œπ‘Žπœƒ

    𝐡 =πœ‡04πœ‹

    πœ‡

    π‘Ÿ32π‘π‘œπ‘ πœƒ ΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ + π‘ π‘’π‘›πœƒ ΰ·œπ‘Žπœƒ

    𝐡 =πœ‡04πœ‹

    1

    π‘Ÿ33 Τ¦πœ‡. ΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ ΰ·œπ‘Žπ‘Ÿ βˆ’ Τ¦πœ‡


36 CIRCULAR 12-0219-15 (Vigencia y Aplicacion Obligatoria Del Manual de ...

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Mi Ciudad QuerΓ©taro 0219

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INFORME MAYO 2019...LUIS FERNANDO DEL RIO 195.87 T1-14C 4/1/19 ACH 3559 Invoice: T1-14D-0219 19.73 T1-14D 4/1/19 ACH Invoice: T1-14D-0319 165.27 T1-14D 4/1/19 ACH ANGEL RICARDO TALAVERA

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becas 0219 volante - ulacit.ac.crΒ Β· β€’ Completar el formulario de admisiΓ³n en lΓ­nea en la siguiente direcciΓ³n: admision.ulacit.ac.cr β€’ Realizar la prueba de ubicaciΓ³n de inglΓ©s.

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Pluma libre edicion impresa 0219

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0219-Fiducius-Funck Brentano-Cagliostro y CompaΓ±Γ­a en Ingles

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