Finanças Corporativas e Análise de Investimentos

Parte 2

Matemática financeira aplicada a decisões financeiras

Finanças Corporativas

Tópicos Abordados:• Valor do dinheiro no tempo; • Juros; • Montante; • Sistema de Capitalização dos Juros; • Tipos de Taxas de Juros; • Fluxo de caixa.

Valor do Dinheiro no Tempo

• Primeiro pilar das finanças• Decisões financeiras envolvem custos e benefícios

que estão espalhados sobre o tempo. • Tomadores de decisão financeira têm que avaliar se

investir o dinheiro hoje é justificado pelos benefícios esperados no futuro

• Eles devem, então, comparar os valores das somas de dinheiro em diferentes datas.

Valor do Dinheiro no Tempo• se refere ao fato que dinheiro na mão hoje vale

mais do que a esperança dessa mesma quantia ser recebida no futuro.

• Três razões do porquê isto é verdadeiro: • Dinheiro na mão hoje pode ser investido, rendendo juros,

de modo que você terminará com mais dinheiro no futuro;• O poder de compra do dinheiro pode mudar no tempo

devido a inflação;• A receita de dinheiro esperada no futuro é, em geral,

incerta.

Análise Matemática X Análise Contábil

• Há dois momentos distintos que envolvem as decisões de investimentos: • Antes: Matemática Financeira;• Depois: Contabilidade.

Análise da Viabilidade

Econômica de Projetos

Decisão de Investir

Análise dos Relatórios Contábeis

Antes Depois

Matemática

FinanceiraContabilida

de

Valor do Dinheiro no Tempo• se refere ao fato que dinheiro na mão hoje vale

mais do que a esperança dessa mesma quantia ser recebida no futuro.

• Três razões do porquê isto é verdadeiro: • Dinheiro na mão hoje pode ser investido, rendendo juros,

de modo que você terminará com mais dinheiro no futuro;• O poder de compra do dinheiro pode mudar no tempo

devido a inflação;• A receita de dinheiro esperada no futuro é, em geral,

incerta.

O papel do valor do dinheiro no tempo em finanças

A maioria das decisões financeiras envolve custos e benefícios que se disseminam pelo tempo.

Conceito básicos:◦ Fluxos de caixa:

Instrumento de gestão financeira que projeta para períodos futuros todas as entradas e as saídas de recursos financeiros da empresa, indicando como será o saldo de caixa para o período projetado.

◦ Valor presente: Valor no início da Linha do tempo.

◦ Valor futuro: composição ou crescimento ao longo do tempo.

◦ Linhas de tempo: ajuda visualizar o que está acontecendo dentro de um problema

específico.

• Ferramenta muito valiosa na análise VDT.

Linha de Tempo

• Exemplo: • Investimento, no instante inicial zero, de R$ 5.000,00; no

instante 1 e 2 receber, respectivamente, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00; no instante 3 investir R$ 1.000,0 e, no instante 4, receber R$ 9.000,00.

• Fluxo de Caixa analítico:Instantes Entradas Saídas

0 - 5.000

1 2.000

2 4.000

3 1.000

4 9.000

Linha de Tempo• Exemplo:

• Convencionando:• entradas de dinheiro são positivas;

e • as saídas negativas.

Instantes Entradas (+)Saídas (-)

0 -5.0001 2.0002 4.0003 -1.0004 9.000

5.000

T0

2.000

T1

4.000

T2

9.000

T4

1.000

T3Ts

Juros◦ É o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como

remuneração do capital empregado em atividades produtivas. Fatores que determinam existência dos juros:

◦ Inflação (desgaste da moeda) diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento

produza retorno maior que o capital investido.◦ Utilidade

investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada

◦ Risco Havendo a possibilidade do investimento não corresponder às

expectativas. Então, quanto maior o risco, maior a taxa de juros inserida

◦ Oportunidade os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual

ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.

Juros Para o investidor,

◦ o juro é a remuneração do investimento. Para o tomador,

◦ o juro é o custo do capital obtido por empréstimo. O capital inicialmente empregado (principal) pode crescer devido

aos juros segundo duas modalidades: Juros Simples: só o principal rende juros, ao longo da vida do

investimento. Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao

capital e passam, por sua vez, a render juros. O período de tempo considerado é, então, denominado período de capitalização.

Juros Simples É o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada

período, têm sempre como base de cálculo o Capital Inicial empregado

Calculado a partir da seguinte expressão:

J = P x i x n Onde:

◦ J = valor dos juros expresso em unidades monetárias

◦ P = valor ou quantidade de dinheiro

◦ i = taxa de juros (do inglês, interest rate, taxa de juros)

◦ n = prazo

Juros Simples• Exemplo:

• Um investidor aplica $ 100,00 a juros simples durante quatro meses à taxa de 10% ao mês.

• A incorporação dos juros ao principal ocorre em progressão aritmética

Mês Base Juros Montante

0 100 0 100

1 100 10 110

2 100 10 120

3 100 10 130

4 100 10 140

Juros Compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos

ao capital, formando, assim, o montante (capital + juros) do período.

Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante, e assim por diante

Simbologia◦ VP = Valor presente (PV = Present Value)◦ VF = Valor futuro (FV = Future Value)◦ i = taxa de juros◦ n = período de tempo

Fórmulas:Valor Futuro Valor Presente

Fator de capitalização

Fator de descapitalizaç

ão

Juros Compostos• Exemplo:

• Um investidor aplica $ 100,00 a juros compostos durante quatro meses à taxa de 10% ao mês.

• A incorporação dos juros ao principal ocorre em progressão geométrica

Mês Base Juros Montante

0 100 0 100

1 100 10 110

2 110 11 121

3 121 12,1 133,1

4 133,1 13,31 146,41

PaybackPayback consiste no período (anos ou meses) em que ocorre a recuperação do investimento inicial, ou seja, é o tempo necessário para que o fluxo de caixa fique positivo (ou, atinja o breakeven). No nosso exemplo, temos o seguinte fluxo...

O payback se dá antes do final do 4º. Ano.

Admitindo-se que as entradas líquidas ocorrem de maneira uniforme durante o ano, fazemos:

O payback é, portanto, de 3 anos e 10 meses.

meses1,1012000.260000.220

Payback

• É um método muito simples de avaliação e muito fácil de se calcular.• No caso de uma anuidade, pode ser encontrado dividindo-

se o investimento inicial pela entrada de caixa anual• Para uma série mista, as entradas de caixas devem ser

acumuladas até que o investimento inicial seja recuperado• Porém, tem limitações para tomada de decisão por não

considerar:• o valor do dinheiro no tempo;• o fluxo de caixa após o payback, o que não permite a

avaliação ao longo de todo o período do projeto.• Entretanto, esse método permite avaliar a velocidade com

que ocorre o retorno do investimento, particularmente importante quando o foco é a liquidez.

Valor Presente de um Fluxo de Caixa Exemplo: Calcular o valor presente de duas alternativas possíveis para a

aquisição de um equipamento Custo do Dinheiro: 3% ao mês. Fornecedor A

◦ valor total do equipamento = $ 6.500,00◦ 30% no pedido◦ 30% na entrega (após 6 meses)◦ Saldo em 4 parcelas iguais a partir do 7º mês

Fornecedor B ◦ valor total do equipamento = $ 6.700,00◦ 20% no pedido◦ 40% na entrega (após 6 meses)◦ 40% 120 dias após a entrega

• Fluxo de Caixa

Mês A B

0 1.950 1.3401 0 002 0 03 0 04 0 05 0 06 1.950 2.6807 650 08 650 09 650 010 650 2.680

Total 6.500 6.700

Valor Presente de um Fluxo de Caixa

Valor Presente de um Fluxo de Caixa

109876 (0,03)1950.1

(0,03)1950.1

(0,03)1950.1

(0,03)1950.1

(0,03)1950.1 950.1 VP(a)

55,606.5 VP(a)

106 (0,03)1680.2

(0,03)1680.2 340.1 VP(b)

60,578.5 VP(b)

Valor Futuro de um Fluxo de Caixa

6500,03)1(6500,03)1(6500,03)1(950.10,03)1(950.1 VF(a) 23410

74,534.7 VF(a)

680.20,03)(1680.2 0,03)(1340.1 VF(b) 410

20,497.7 VF(b)

Valor Presente Líquido O VPL (Valor Presente Líquido) ou o NPV (Net Present Value) é a

diferença entre o valor descontado do fluxo de caixa para a data do investimento inicial (I.I.) e o valor do investimento inicial de um projeto

0 1 2 3 4 65

VP1

VP2

VP3

VP4VP5VP6

I.I Linha do tempo

VPII. VPL

Valor Presente Líquido

Então, o VPL pode ser calculado por meio da seguinte equação:

VPII. VPL

Se:

n

n

kFC

kFC

kFC

kFCII

)(1...

)(1

)(1

)(1 . VPL 3

3

2

2

1

1

Valor Presente Líquido

• Exemplo:• A empresa Rio Grande S.A . decidirá, com base no VPL, entre

dois projetos mutuamente excludentes, A e B, cujos fluxos de caixa são apresentados no quadro a seguir. O custo de capital para esses projetos é de 18% ao ano

Ano A B

0 -140.000 -180.0001 40.000 50.0002 40.000 55.0003 45.000 60.0004 45.000 65.0005 50.000 70.0006 60.000 70.000

Valor Presente Líquido Calculando...

)18,0(1

000.60 )18,0(1

000.50 )18,0(1

000.45 )18,0(1

000.45 )18,0(1

000.40 )18,0(1

000.40 000.140 VPL 654321(a)

17.306,00 157.306 000.140 VPL(a)

)18,0(1

000.70 )18,0(1

000.70 )18,0(1

000.65 )18,0(1

000.60 )18,0(1

000.55 )18,0(1

000.50 000.180 VPL 654321(b)

28.445,00 208.445 000.180 VPL(b)

A empresa deve optar pelo Projeto B, pois apresenta VPL maior.

Taxa Interna de Retorno Também chamada de IRR (Internal Rate of Return) É uma taxa de desconto que iguala o valor presente do fluxo de

caixa ao valor do investimento inicial de um projeto. Se utilizarmos a TIR para descontar o fluxo de caixa, o VPL de

um projeto se iguala a zero. A taxa interna de retorno pode ser calculada com o emprego da

seguinte equação:

n

n

TirFC

TirFC

TirFC

TirFCII

)(1...

)(1

)(1

)(1 . 0 3

3

2

2

1

1

Um projeto somente é atrativo quando sua TIR for maior ou igual a seu custo de capital. Quando um projeto apresenta TIR menor que seu custo de capital, ele deixa de ser atrativo.

Taxa Interna de Retorno De acordo com Gitman (2002) a TIR pode ser calculada tanto por

tentativa e erro como se recorrendo a uma calculadora financeira sofisticada ou a um computador.

Exemplo: empresa Rio Grande S.A., decidirá, com base na TIR, entre dois projetos mutuamente excludentes, X e Y, cujos fluxos de caixa são apresentados no quadro a seguir. O custo de capital para esses projetos é de 22% ao ano.

Ano X Y

0 -180.000 -150.0001 50.000 30.0002 60.000 50.0003 70.000 70.0004 80.000 90.0005 90.000 110.000

Calculando por tentativa e erro:

)22,0(1

000.90 )22,0(1

000.80 )22,0(1

000.70 )22,0(1

000.60 )22,0(1

000.50 000.180 VPL 54321)(X 0,22 i

9.256,69- 189.256,69 000.180 VPL(X)

Taxa Interna de Retorno

)23,0(1

000.90 )23,0(1

000.80 )23,0(1

000.70 )23,0(1

000.60 )23,0(1

000.50 000.180 VPL 54321)(X 0,23 i

4.846,12 - 184.846,12 000.180 VPL(X)

)24,0(1

000.90 )24,0(1

000.80 )24,0(1

000.70 )24,0(1

000.60 )24,0(1

000.50 000.180 VPL 54321)(X 0,24i

596,13 - 180.596,13 000.180 VPL(X)

)25,0(1

000.90 )25,0(1

000.80 )25,0(1

000.70 )25,0(1

000.60 )25,0(1

000.50 000.180 VPL 54321)(X 0,25i

3.500,80 176.499,20 000.180 VPL(X) A TIR situa-se entre 24% e 25%. São os mais próximos de zero, com sinais opostos

Acabou? nãããããão..... Temos que achar a taxa que iguala a zero.

Taxa Interna de Retorno

3.500,80

25,0 13,59624,0 ii

13,59625,0 3.500,8024,0 ii

0014,24 i

Calcule agora a taxa interna de retorno da opção Y

• Limitações:

• TIR não representa uma medida correta do retorno do investimento.

• Somente nos casos onde ocorrem fluxos convencionais, que se caracterizam por um desembolso inicial e um recebimento final, a TIR representaria o retorno sobre o capital investido.

• Estes fluxos são típicos de certas aplicações financeiras, mas raros no âmbito dos projetos das áreas de produção e operações.

• Os fluxos de caixa intermediários, que ocorrem com muita frequência em projetos dessas áreas, retiram da TIR a condição de medida de retorno sobre o investimento

TIR (Taxa Interna de Retorno)

• Forma alterada da taxa interna de retorno que procura corrigir problemas como raízes múltiplas enfrentados pelo cálculo da TIR.

• Cálculo:• Os valores de cada fluxo de caixa (exceto do ano zero)

devem ser capitalizados para a data final do projeto, empregando seu custo de capital.

• Próximo passo é encontrar a taxa de desconto que iguala esse montante capitalizado com o valor do investimento inicial.

• Exemplo:• projetos P e Q• custo de capital de 18%• TIRs são 25,75% e 20,76%, respectivamente.

• •

TIRM (Taxa Interna de Retorno Modificada)

Taxa Interna de Retorno ModificadaAno P Q

0 -200.000 -250.0001 60.000 85.0002 70.000 85.0003 80.000 85.0004 90.000 85.0005 100.000 85.000

200.000 60.00

070.00

080.000 90.00

0100.00

0

100.000106.200111.392115.012116.327548.931FV =

Projeto P

VPL = -200 + 200 = 0

Taxa Interna de Retorno Modificada

)1( VF niPV

)1( 000.200

548.931 5i

)1( VF niPV

)1( 000.200

548.931 5i

000.200

548.931 51

i

%38,22 i

• Taxa Anual Nominal:• taxa anual de juros contratada e cobrada por um credor ou

prometida por um tomador.• Taxa Anual Efetiva (TAE):

• taxa anual de juros efetivamente paga ou recebida.• Em geral, a taxa efetiva > taxa nominal sempre que a

composição ocorrer mais de uma vez ao ano.

• Sendo:• TAE = Taxa Anual Efetiva • m = Período• i = Taxa de juros nominal

Taxa de Juros

1 i1

n

mTAE

• São aquelas taxas que aplicadas ao mesmo capital P, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante S.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .• O montante S ao final do período de 1 ano será igual a 

• S = P(1 + i a ) 

• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. 

• O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a • S’ = P(1 + im)12 

• Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter 

• S = S’• Portanto, P(1 + i a ) = P(1 + im)12

Taxa de Juros Equivalentes

1211 ma ii

• Generalizando a Conclusão:• Se:

• ia = taxa de juros anual• is = taxa de juros semestral• im = taxa de juros mensal• id = taxa de juros diária

• As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:• 1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]• 1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]• 1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]• 1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]• 1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres]

Taxa de Juros Equivalentes