Pro

fessor: G

leyzer Martin

s Professor: G

leyzer Martins

ES

TÁ

TIC

A D

OS

FLU

IDO

S

UN

IVE

RS

IDA

DE

FE

DE

RA

L D

E U

BE

RL

ÂN

DIA

Facu

ldad

e de C

iências In

tegrad

as do

Po

ntal

Cu

rso d

e En

gen

haria d

e Pro

du

ção

DIS

CIP

LINA

DE

FE

NÔ

ME

NO

S D

E T

RA

NS

PO

RT

E

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s Estática d

os F

luid

os

A estática d

e fluid

os trata d

o co

mp

ortam

ento

de flu

ido

s qu

e não

po

ssuem

mo

vim

ento

, co

mo

p

or

exem

plo

, a

distrib

uição

d

e p

ressão

em

um

flu

ido

estático e seu

s efeitos so

bre su

perfícies só

lidas.

Qu

and

o a v

elocid

ade d

o flu

ido

é nu

la, na ch

amad

a con

dição

hid

rostática, a

variação

da p

ressão d

eve-se ap

enas ao

peso

do

fluid

o.

�As ap

licações d

a estática do

fluid

o são

:

�Distrib

uição

de p

ressão n

a atmo

sfera e no

s ocean

os ;

�Pro

jeto d

e instru

men

tos d

e med

ida d

e pressão

(man

ôm

etros);

�Fo

rças sob

re sup

erfície sub

mersas, p

lanas e cu

rvas;

�Em

pu

xo

sob

re corp

os su

bm

ersos;

�Co

mp

ortam

ento

de co

rpo

s flutu

antes;

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Pressão

e Grad

ientes d

e Pressão

Sab

e-se qu

e um

fluid

o em

repo

uso

não

po

de su

po

rtar tensõ

es cisalhan

tes,

desta fo

rma a ten

são n

orm

al sob

re qu

alqu

er plan

o atrav

és do

elemen

tos d

e

fluid

o em

repo

uso

é igu

al a um

valo

r ún

ico d

eno

min

ado

pressão

do

fluid

o, p

,

tom

ado

com

o n

egativ

o n

a com

pressão

e com

un

idad

e do

SI. [P

a].

A fig

ura m

ostra cu

nh

a de flu

ido

em rep

ou

so:

x∆

z∆

s∆

xp

zp

z

x

np

θ

θ

0

12d

Wg

bx

zρ

=⋅

⋅⋅∆

⋅∆

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Realizan

do

o b

alanço

de fo

rça, tem-se

Na direção

x:

Na direção

z: .

Mas da geom

etria da cunha, tem-se:

Substituindo, tem

-se:

0

xx

nF

pb

zp

bs

senθ=

=⋅

⋅∆−

⋅⋅∆

⋅∑

10

cos2

zz

nF

pb

xp

bs

bx

zθ

γ=

=⋅

⋅∆−

⋅⋅∆

⋅−

⋅⋅∆

⋅∆∑

z

senz

sens

sθ

θ∆

=→

∆=

⋅∆∆

coscos

xx

ss

θθ

∆=

→∆

=⋅∆

∆

0

xx

nx

nF

pb

zp

bz

pp

==

⋅⋅∆

−⋅

⋅∆→

=∑

11

02

2z

zn

zn

Fp

bx

pb

xb

xz

pp

zγ

γ=

=⋅

⋅∆−

⋅⋅∆

−⋅

⋅∆⋅∆

→=

+⋅

⋅∆∑

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Esta é o princípio da hidrostática, que determ

ina:

�Não há variação de pressão na direção horizontal

�Há um

a variação vertical proporcional à massa especifica, à

gravidade e à variação da profundidade.

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Pressã

o M

an

om

étrica e P

ressão

Va

cuo

métrica

A p

ressão p

od

e ser represen

tada d

e du

as form

as:

Pressão

Ab

solu

ta: Rep

resenta a m

agn

itud

e total d

a pressão

Pressão

Relativ

a: cujo

o v

alor é m

edid

o em

relação à atm

osfera lo

cal

P

ressão A

cim

a d

a A

tmosfé

rica

Pre

ssão

Absolu

ta

Pre

ssão M

anom

étric

a

Manôm

etro

Norm

al

Pre

ssão A

tmosfé

rica

Pre

ssão M

anom

étric

a

Manôm

etro

de V

ácuo

Pre

ssão A

bsolu

ta

infe

rior à

Atm

osfé

rica

Zero

Absolu

to

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

A m

aioria dos instrumentos de m

edida de pressão são do tipo diferencial, ou

seja, medem

a pressão relativa, é o caso do manôm

etro de Bordon e o do tipo

de tuboU

. A

pressão

medida

pode ser

maior

ou m

enor que

a pressão

atmosférica local, que possuem

as seguintes designações:

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Distrib

uição

de P

ressão H

idro

stática

A d

istribuição

de p

ressão p

ara um

fluid

o em

repouso

se reduz a:

Essa

é a

distrib

uição

hid

rostática,

e é

correta

para

todos

os

fluid

os

em

repouso

,

indep

enden

te da v

iscosid

ade.

A eq

uação

estab

elece que

um

flu

ido em

eq

uilíb

rio hid

rostático

irá

alin

har

as su

as

superfícies d

e pressão

constan

te com

a norm

al ao v

etor d

e aceleração d

a grav

idad

e

local, sen

do o

máx

imo d

e pressão

na d

ireção d

a grav

idad

e.

p

gz

ρ∆

=⋅

⋅∆

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Para

con

diçã

o h

idro

stática

, tem-se:

A p

ressão em

um

fluid

o estático

unifo

rme, d

istribuíd

o co

ntin

uam

ente, v

aria apen

as

com

a distân

cia vertical e é in

dep

enden

te da fo

rma d

o recip

iente.

A p

ressão é a m

esma em

todos o

s ponto

s sobre u

m d

ado p

lano h

orizo

ntal n

o flu

ido

A p

ressão au

men

ta com

a pro

fundid

ade n

o flu

ido

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Os líquidos por sua vez são aproxim

adamente incom

pressíveis, ou seja a

variação da densidade é desprezível. Para a água tem

-se um erro de 4,6%

na

parte mais profunda do oceano. D

esta forma, pode-se integrar a equação da

hidrostática para um líquido:

Outra form

a, de representar a equação é na forma

A grandeza é um

comprim

ento denominado carga de pressão do fluido

(

)2

12

1p

pz

zγ

−=

−⋅

−

2

12

1

pp

zz

γγ

−=

−

pγ

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Para os lagos e oceanos, o sistem

a de coordenadas é usualmente escolhido

na forma:

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

A referência de z=

0 é escolhida na superfície livre onde p=patm

e para p em

qualquer profundidade z é dado por:

Para os gases deve-se estabelecer um

a relação entre a pressão, densidade e

altura de forma a perm

itir a integração, que é dado na forma:

a

pp

zγ

=−

⋅

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

O b

arô

metro

de M

ercúrio

A ap

licação p

ratica mais sim

ples d

a form

ula h

idro

stática é

o b

arôm

etro d

e mercú

rio q

ue m

ede a p

ressão atm

osféric

a.

Que

um

tu

bo

de

mercú

rio in

vertid

o su

bm

ergid

o em

um

reservató

rio. P

ela lei da h

idro

stática, tem-se

:

A p

ressão ao

nív

el do m

ar é igual a q

ue

represen

ta

O b

arôm

etro d

e água teria u

ma altu

ra de p

ouco

mais d

e 10

m

()

00

a

atmhg

hg

pp

hh

γγ

−=

−−

→=

1

01,3

50

atm

pP

a=

761m

mde

hg

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Ap

licaçõ

es à M

an

om

etria

Um

a colu

na estátic

a de u

m o

u m

ais líquid

os o

u g

ases pode ser u

sado p

ara med

ir a

diferen

ça de p

ressão en

tre do

is ponto

s. Tal d

ispositiv

o é ch

amad

o d

e man

ôm

etro.

Para m

últip

los flu

idos d

eve-se alterar a m

assa especifica n

a form

ula a m

edid

a que

se move d

e um

fluid

o p

ara o o

utro

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Variação

da p

ressão atrav

és de u

ma co

luna co

m m

últip

los flu

idos

A co

nfig

uração

m

ostrad

a na

figura

esta d

o flu

ido m

ais lev

e no to

po para

o flu

ido

pesad

o n

o fu

ndo, sen

do está a ú

nica c

on

figuraçã

o p

ossív

el estável.

(

)(

)(

)(

)5

12

13

24

35

4O

AG

Hg

pp

zz

zz

zz

zz

γγ

γγ

−=

−⋅

−−

⋅−

−⋅

−−

⋅−

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Um

Artifício

mn

emôn

ico: p

ara

Cim

a o

u p

ara

Baix

o

Para sim

plificar a an

alise de sin

ais utiliza o

seguin

te artifício:

Desta

form

a, não

im

porta

os

sinais,

simplesm

ente

contab

iliza-se o

increm

ento

ou

redução

da

pressão

, dep

enden

do de

o deslo

camen

to ser

para

baix

o ou para

cima,

respectiv

amen

te. No caso

de m

anôm

etro d

e tubo em

U, o

s cálculo

s envolv

em cálcu

los

quan

to p

ara cima co

mo p

ara baix

o.

A fig

ura m

ostra

um

man

ôm

etro ab

erto sim

ples p

ara med

ir a pressão

em u

ma câ

mara

fechad

a, em relaçã

o a

pressão

atmosférica , o

u seja p

ressão

man

om

étrica

cim

a

baixop

pz

γ=

+∆

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Observ

a-se, q

ue d

evid

o a m

udan

ça ser na h

oriz

on

tal z=z

1 , pelo

balan

ço d

e força, n

ão

oco

rre variação

da p

ressão, e co

nseq

uen

temen

te a pressão

em p

=p

1 . Este p

rincíp

io é

conhecid

o co

mo p

rincip

io d

e pasc

al, que d

iz:

Dois p

onto

s quaisq

uer d

e mesm

a elevação

, em u

ma m

assa co

ntin

ua d

o m

esmo flu

ido

estático, te

rão a m

esma p

ressão.

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Está

tica d

os F

luid

os

Exem

plo

1 - No m

anômetro da figura o fluido 1 é água e o fluido 2 é m

ercúrio, a pressão atm

osférica é 100 kPa. D

etermine para as coordenadas abaixo a

diferença de pressão e a pressão absoluta

zA

ltura [mm

]

zA

150

z1

50

z2

250

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

A p

ressão so

bre

qualq

uer su

perfície su

bm

ersa

varia lin

earmen

te com

a pro

fundid

ade,

se desp

rezar as v

ariações d

e den

sidad

e.

O pro

blem

a hid

rostático

para u

ma su

perfície p

lana su

bm

ersa, dev

ido a d

istribuição

linear d

e tensõ

es, reduz-se

a fórm

ulas sim

ples en

volv

endo o

centró

ide e o

s mom

ento

s

de in

ércia de área d

a seção tran

sversal d

a placa.

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

A fig

ura m

ostra u

m p

ainel p

lano d

e form

ato arb

itrário, to

talmen

te subm

erso em

um

líquid

o

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

•O

pain

el form

a um

ângulo

arbitrário

θ co

m a

superfície liv

re horizo

ntal, d

e

modo q

ue a p

rofu

ndid

ade v

aria com

a superfície d

o p

ainel.

•S

endo h

a pro

fundid

ade d

e um

elemen

to d

e área dA

gen

érico d

a placa

•A

pressão

em h

será

Estab

elece um

sistem

a d

e coord

enad

as cartesianas n

o p

lano d

a placa c

om

orig

em

no

centró

ide

e um

a co

ord

enad

a au

xiliar

ξ n

o

plan

o

da

placa,

partid

o

da

superfície liv

re, para b

aixo. A

força

hid

rostática to

tal sobre u

m lad

o d

a placa e

dad

o p

or:

(

)a

aF

pdA

ph

dAp

Ah

dAγ

γ=

⋅=

+⋅

⋅=

⋅+

⋅∫

∫∫

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

A in

tegral rem

anescen

te é avaliad

a, sabend

o q

ue a d

istancia o

bliq

ua en

tre a su

perfície

livre e o

centró

ide d

a placa é:

Logo, co

mo θ

é constan

te ao lo

ngo d

a placa, tem

-se:

Fin

almen

te, interp

reta-se essa form

ula n

otan

do q

ue

1

CG

dA

Aξ

ξ=

∫

()

()a

aCG

Fp

Asen

dAp

Asen

Aγ

θξ

γθ

ξ=

⋅+

⋅=

⋅+

⋅⋅

⋅∫

(

)C

GC

Gsen

hξ

θ⋅

=

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

A p

rofu

ndid

ade d

o cen

tróid

e da p

laca em relação

à superfície liv

re. Então

Observação:

•A

força sobre uma placa plana qualquer, subm

ersa em fluido uniform

e,

é igual ao produto da pressão no centróide da placa pela área da

placa.

•N

ão importando o seu form

ato nem o seu ângulo de inclinação

(

)a

CGa

CGCG

Fp

Ah

Ap

hA

pA

γγ

=⋅

+⋅

⋅=

+⋅

⋅=

⋅

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

Todav

ia, para eq

uilib

rar a porção

do m

om

ento

de flex

ão d

as tensõ

es, a força re

sulta

nte

F n

ão atu

a através d

o cen

tróid

e, mas ab

aixo d

ele, na p

arte de m

aio

res pre

ssões. S

ua

linha d

e ação p

assa a

través d

o c

entro

de p

ressões C

P d

a placa, co

mo esq

uem

atizado n

a

figura.P

ara enco

ntrar as co

ord

enad

as , integ

ra-se os m

om

ento

s das fo

rças elemen

tares em

torn

o d

o ce

ntró

ide é ig

uala-se o

resu

ltado ao

mom

ento

da resu

ltante . P

ara o cá

lculo

d

e , tem-se:

O term

o é nulo, pela definição de centróide

()

()

()CP

aF

yy

pdA

yp

sendA

seny

dAγ

ξθ

γθ

ξ⋅

=⋅

⋅=

⋅+

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅∫

∫∫

a

py

dA

⋅⋅

∫

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

Intro

duzin

do

Tem

-se:

. Substituído F

, obtém-se o resultado

C

Gy

ξξ

=−

Fy

cp =

se

n∫

y

CG−

yd

A=

sen

CG ∫

ydA−∫

y2dA=

−

senI

xx

()xx

CP

CG Iy

senp

Aγ

θ=−

⋅⋅

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

A d

etermin

ação d

e xC

P é exatam

ente sim

ilar:

Tem

-se:

. Substituído F

, obtém-se o resultado

(

)(

)C

Pa

CG

Fx

xp

dAx

py

sendA

γξ

θ⋅

=⋅

⋅=

⋅+

−

∫

∫

()

()

CPxy

Fx

senx

ydAsen

Iγ

θγ

θ⋅

=−

⋅⋅

=−

⋅⋅

∫

()

xy

CP

CG I

xsen

pA

γθ

=−

⋅⋅

⋅

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Pla

nas

O m

om

ento

de In

ercia é d

ado:

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Cu

rvas

A fo

rça de p

ressão resu

ltante so

bre u

ma su

perfície cu

rva é calcu

lada sep

arando-se

suas co

mponen

tes horizo

ntal e v

ertical, com

o m

ostrad

o n

a figura

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Cu

rvas

As fo

rças de p

ressão

increm

entais, sen

do n

orm

ais ao elem

ento

de área lo

cal,

variam

de

direção

ao

lo

ngo

das

superfícies

e, portan

to

não

p

od

em

ser

adicio

nad

as num

ericamen

te

A fig

ura

mostra

um

diag

rama

de

corp

o liv

re da

colu

na

de

fluid

o co

ntid

a na

pro

jeção v

ertical acima d

a superfície cu

rva.

•A

s forç

as desejad

as FH e F

V , são ex

ercidas p

ela superfície so

bre a co

luna d

e

fluid

o.

•A

s outras fo

rças mostrad

as dev

em

-se ao p

eso d

e fluid

o e à p

ressão q

ue a

tua

horizo

ntalm

ente n

as laterais verticais d

a colu

na

•A

colu

na d

e fluid

o d

eve estar em

equilíb

rio estático

.

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Cu

rvas

•N

a parte su

perio

r da co

luna b

cde, o

s com

ponen

tes horizo

ntais F

1 equ

ilibra

m

mutu

amen

te e não

são relev

antes.

•N

a parte in

ferior d

o flu

ido a

bc, lim

itada p

ela superfície irreg

ular, a so

ma d

os

com

ponen

tes horizo

ntais

mostra

que

a fo

rça desejad

a,

FH

ex

ercida

pela

superfície

curv

a, é

exatam

ente

igual

à fo

rça F

H so

bre

a late

ral vertical,

à

esquerd

a da co

luna d

e fluid

o.

•E

sse com

ponen

te pode ser c

alcula

da p

ela fo

rmula d

e superfície p

lana, co

m

base n

a pro

jeção v

ertical da área d

a superfície cu

rva

•S

e houver

dois

com

ponen

tes horizo

ntais,

ambos

po

derão

ser

calculad

os

segundo esse esq

uem

a.

Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Cu

rvas

O co

mponen

te horizo

ntal d

a força so

bre u

ma su

perfície cu

rva é ig

ual à fo

rça sobre a

área plan

a form

ada p

ela pro

jeção d

a superfície cu

rva so

bre u

m p

lano v

ertical norm

al ao

com

ponen

te

O so

mató

rio d

as forças v

erticais sobre o

corp

o liv

re (fluid

o) m

ostra e

ntão

que:

Ou seja:

O co

mponen

te vertical d

a forç

a sobre u

ma su

perfície

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a é igu

al, em m

agnitu

de e

direção

, ao p

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a colu

na to

tal de flu

ido, tan

to d

o líq

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o co

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a atmosfera, a

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1

2V

ArF

PP

P=

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Pro

fessor: G

leyzer Martin

s

Força

s Hid

rostá

ticas so

bre S

up

erfícies Cu

rvas

Um

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em

tem

um

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ura,

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x

0 =3m

e

z0 =

7,2

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Flu

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água, γ=

9.8

02 N

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ressão atm

osférica p

od

e ser om

itida.

Calcu

le as Forças e so

bre a b

arragem

e a posição

onde elas atu

am. A

largura d

a

barrag

em é d

e 15 m