Semana 2: Formulación de modelos de programación lineal con dos variables y solución gráfica

1. La fábrica ABC vende dos tipos de bombas hidráulicas: (1) normal y (2) extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres procesos: ensamblado, pintura y pruebas de control de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la siguiente tabla:

Tabla de Requerimientos de ManufacturaTiempo de Tiempo de Tiempo de

Tipo Ensamble Pintado PruebaNormal 3.6 1.6 0.6

Extra Grande 4.8 1.8 0.6La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es $75. Existen disponibles por semana 4,800 horas en tiempo de ensamble, 1,980 horas en tiempo de pintura y 900 horas en tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de renta señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de los extra grandes por semana. A la fábrica ABC le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.

2. Una dietista de un hospital es responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La especialista examina en estos momentos el caso de un paciente que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos elementos que se puede consumir; sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día:

- 1000 unidades del nutriente A.- 2000 unidades del nutriente B; y- 1500 unidades del nutriente C.Cada onza de la fuente alimenticia #1, contiene 100 unidades del

nutriente A, 400 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia #2, contiene 200 unidades del

nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C.Ambas fuentes alimenticias son algo costosas: La fuente alimenticia #1

cuesta $6 por libra y la fuente #2 $8 por libra.La dietista desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que

arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos.Nota: 1 libra = 16 onzas

3. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 ctvs por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 ctvs por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?

4. Una fábrica de automóviles y camiones consta de los departamentos que a continuación se enumeran:

1. Estampado de planchas metálicas2. Armado de motores3. Montaje de automóviles4. Montaje de camiones

El Departamento 1 puede estampar, por mes, las planchas necesarias para producir sólo 25,000 automóviles o sólo 35,000 camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El Departamento 2 puede armar, por mes, 33,333 motores de automóviles o 16,667 motores de camión, o las correspondientes combinaciones de motores de automóvil y camión. El Departamento 3 puede montar y terminar 22,500 automóviles, y el Departamento 4 puede montar 15,000 camiones. Si cada automóvil deja una utilidad de 300 dólares y cada camión de 250, ¿qué cantidades de automóviles y camiones deben producirse, de manera que las utilidades que se obtengan sean las máximas posibles?

5. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, los préstamos hipotecarios tienen una tasa anual de recuperación del 10%, y los préstamos para autos una tasa anual de recuperación del 12%. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios debe ser mayor o igual cuatro veces la cantidad total de préstamos para autos. Determine la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación.

6. Juan tiene dos alimentos: pan y queso, cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en distintas proporciones. Un kgr. de pan contiene 2000 calorías y 60 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso 4000 calorías, y 199 gramos de proteínas. Una dieta normal diaria exige 6000 calorías y 200 gramos de proteínas. Además, la dieta debe pesar como mínimo 2 kgr. El kilogramo de pan cuesta $3 y el de queso, $5. Determinar una dieta para Juan con el mínimo costo.

7. FINANZAS INVESTMENT CORP tiene $50,000 de un fondo de pensiones, y desea invertir en: bonos tipo A y bonos tipo B que producen una rentabilidad de 6% y 10% anual respectivamente. Por motivos de liquidez no puede invertir más del 25% en bonos tipo A, y lo mínimo a depositar en bonos tipo B es $10,000. Determinar un plan óptimo de inversiones

8. PAPER Corp tiene dos tipos de papel, para libros y para revistas. Cada tonelada de papel para libros requiere 2 toneladas de abeto y 3 ton. de pino. Cada tonelada de papel para revistas requiere 2 toneladas de abeto y 2 toneladas de pino. La empresa debe proveer al menos 25000 tons de papel para libros y 10000 tons de papel para revistas por año.La disponibilidad anual de materiales es de 300000 tons de abeto y 450000 de pino. Por razón de mercado la cantidad de papel fabricado para revistas debe ser al menos 1.5 veces a la cantidad de papel fabricado para libros. Cada

tonelada de papel para libros da una utilidad de $215 y de revistas de $270. Determine un plan óptimo de producción

9. Una compañía produce dos tipos de sombreros vaquero. Cada sombrero del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 sombreros al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 250 sombreros. Suponga que los beneficios por sombrero son $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros que deben producirse de cada tipo a fin de maximizar el beneficio.

10. Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada lata de 16 onzas de Cats es una mezcla, o combinación, de dos ingredientes alimenticios para mascotas. Sean

X1 = número de onzas del ingrediente A en lata de 16 onzas.X2 = número de onzas del ingrediente B en lata de 16 onzas.

Cada onza del ingrediente A contiene 1/2 onzas de proteínas y 1/8 de onza de grasas. Cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de proteínas y 1/3 de onza de grasas. Las restricciones implican que una lata de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y no más de 2.5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0.04 por onza y el ingrediente B cuesta $0.03 la onza.a) Formule el problema de programación lineal. b) ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los ingredientes A y B para cada lata de 16 onzas?

11. Una compañía petrolera que tiene dos refinerías, necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2,500 para operar la refinería I y de $2,000 para la refinería II, ¿cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo?¿cuál es el costo mínimo?

12. A causa de reglamentaciones gubernamentales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10,500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

13. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible, A y B. El combustible de clase A tiene 25 % de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2, y 50 % de gasolina grado 3. El combustible de clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 75 galones/hora de grado 1, 150 galones/hora de grado 2, y 200 galones/hora de grado 3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. Las clases A y B, pueden venderse a 75 y 90 centavos por galón, respectivamente. ¿Qué cantidad por hora debe fabricarse de cada combustible?

14. Una compañía de productos Electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades, y de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de una componente electrónica, en tanto la segunda utiliza 8 piezas de la misma componente. La disponibilidad máxima diaria de este tipo de componente es de 800 unidades. Por otro lado el proceso productivo exige que la producción del primer modelo no exceda en más de 10 unidades la producción del segundo modelo. La utilidad unitaria del modelo 1 y 2 es de $30 y $20 respectivamente.

15. El granjero Rodriguez tiene que determinar cuántos acres de maíz y de trigo hay que sembrar este año. Un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas semanales de trabajo. Un acre de maíz produce 10 bushel de maíz y requiere 4 horas semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a 4 dólares el bushel y todo el maíz a 3 dólares el bushel. Se dispone de 7 acres y de 40 horas semanales de trabajo. Disposiciones gubernamentales especifican una producción de maíz de por lo menos 30 bushel durante el año en curso. Formule un modelo de programación lineal que maximice la utilidad del granjero, luego grafique su solución.

16. La Agro Tech fabrica dos tipos de fertilizante: Fertilizante 1: Fertilizante 5-5-10 (5% nitrato, 5% fosfato, 10% potasio) (80% barro)Fertilizante 2: Fertilizante 5-10-5 (5% nitrato, 10% Fosfato, 5% potasio) (80% barro)La Agro-Tech Inc., quiere determinar la mezcla de producción de los fertilizante 5-5-10 y 5-10-5 que sea más rentable. El primero se vende a $71,50 la tonelada y el segundo a $69 la tonelada. En el proceso de planeación, la Agro-Tech tiene que trabajar dentro de la estructura de la disponibilidad de la materia prima escasa que se usan en la producción de los fertilizantes. Las materias primas son Nitrato, Fosfato y Potasio. Los precios de estas son $200, $80 y $160 la tonelada respectivamente; y hay disponible 1100, 1800 y 2000 toneladas de los recursos correspondientes. Utilizando esta información junto con el precio de $10 por tonelada de cantidad ilimitada de relleno (barro) y un precio de $15 la tonelada por concepto de mezclado, plantear el modelo que permita maximizar la rentabilidad de la producción para la producción de fertilizante tipo 1 y 2.

17. Para el control de calidad de sus piezas una compañía tiene dos tipos de inspectores: Inspectores Grado 1 e Inspectores Grado 2. Se requiere que sean

inspeccionadas al menos 1800 piezas por día (8 horas). Los inspectores Grado 1 pueden chequear las piezas a una tasa de 25 piezas por hora, con una precisión del 98%. Los inspectores Grado 2 revisan las piezas a una tasa de 15 piezas por hora, con una precisión del 95%. Los honorarios por hora para un inspector Grado 1 y Grado 2 son de $40 y $30 respectivamente. Cada pieza mal clasificada por los inspectores tiene un costo de $2.La compañía tiene disponibilidad para trabajos de inspección, 8 inspectores Grado 1 y 10 Inspectores Grado 2.La compañía quiere determinar la asignación óptima de inspectores que minimice el costo total de inspección.Formule el modelo PPL y determine la solución gráfica de este problema.

18. Una compañía de productos químicos dispone de 2 procesos de reacción mediante los cuales debe producir 2 tipos de compuestos. Con el primer proceso se producen 2 [Kg/Hr] del compuesto Aspirina y 1 [Kg/Hr] del compuesto Dipirona. Mientras que el segundo proceso produce 3 [Kg/Hr] de Aspirina y 1 [Kg/Hr] de Dipirona.La gerencia ha determinado las siguientes condiciones: La cantidad del compuesto Aspirina no puede sobrepasar los 30 [kg] por día. La cantidad del compuesto Dipirona debe ser mayor a los 7 [kg] por día. Las horas que se ejecuta el primer proceso no deben ser mayor a 5 [Hr] en el día con respecto a las horas que se ejecuta el proceso 2. El máximo tiempo que se corre cada proceso es de 9 [Hr]. El precio de venta del compuesto Aspirina es 20 [$/Kg], mientras que la Dipirona se vende a 60 [$/Kg]. El costo por hora de proceso es $40 y $50, para los procesos 1 y 2 respectivamente.A partir de los datos entregados, se pide responder las siguientes preguntas:Realice un Modelo de Programación Lineal que resuelva el problema. Indique claramente objetivo, variables, restricciones y función objetivo. Resuelva el Modelo anterior (método gráfico) e indique la solución del problema.