Automatizacion de Procesos Industriales · 2015-10-31 · Automatizacion de Procesos Industriales...

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Automatizaci´ on de Procesos Industriales Ingeniero de Organizaci´ on. Curso 1 o Jose Mari Gonz´ alez de Durana Dpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU Vitoria-Gasteiz Febrero 2004

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Automatizacion de Procesos IndustrialesIngeniero de Organizacion. Curso 1o

Jose Mari Gonzalez de DuranaDpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU

Vitoria-Gasteiz

Febrero 2004

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Indice

1 Introduccion 71.1 Perspectiva historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 La empresa productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 El proceso productivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Operaciones basicas de fabricacion . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Tipos de procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Ubicacion de los procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 El proceso en feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 El regulador de Watt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Esquema de regulacion en feedback . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 El significado del control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4 El control en la empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 La automatizacion industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Tecnicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Estructuras de automatizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Ventajas e inconvenientes de la automatizacion . . . . . . . . 221.4.4 Elementos de la automatizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Modelos matematicos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Modelado y simulacion de sistemas complejos . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Importancia del modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 Estructura del curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.1 Control de procesos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.2 Control de procesos de eventos discretos . . . . . . . . . . . . 301.7.3 Automatizacion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.4 Automatizacion global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I Control de procesos continuos 33

2 Diseno de Controladores 352.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Tipos de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Controlador tipo proporcional P . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Controlador tipo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3 Controlador tipo derivativo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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4 INDICE

2.2.4 Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.5 Controladores de adelanto y de retraso de fase . . . . . . . . . 39

2.3 Metodos de diseno basados en el lugar de las raıces . . . . . . . . . . 412.3.1 Diseno de una red de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Diseno de un controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Diseno en el Lugar de las Raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.1 Compensador de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.2 Consideraciones de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.3 Re-diseno. Compensador en serie . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.4 Compensador en realimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.5 Compensador de retraso de fase en serie . . . . . . . . . . . . 562.4.6 Maxima fase de un controlador de adelanto . . . . . . . . . . . 56

2.5 Diseno en la respuesta de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.1 El problema del diseno de feedback . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6 Diseno en el Espacio de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6.1 Asignacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7 Sintonıa de controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7.1 Ajuste de los parametros del PID . . . . . . . . . . . . . . . . 67

II Control de procesos de eventos discretos 69

3 Sistemas booleanos 713.1 Dispositivos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Algebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.1 Funciones booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.2 Simplificacion de funciones booleanas . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Sistemas combinacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4 Sistemas secuenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Maquinas de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.5.1 Automata de Mealy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.2 Automata de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.3 Tablas de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.5.4 Diagramas de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.5 Dispositivos biestables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Sistemas reactivos 894.1 Modelos de sistemas productivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2 Grafcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.1 Reglas de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2 Estructuras basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.3 Posibilidades avanzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.4 Jerarquıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.5 Comunicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Cartas de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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INDICE 5

4.3.1 Stateflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4 Creacion de un modelo con Stateflow–Simulink . . . . . . . . . . . . . 97

4.4.1 Elementos de una carta de estado . . . . . . . . . . . . . . . . 98

III Automatizacion Local 103

5 Automatismos 105

6 Automatismos electricos 1076.1 El rele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Funciones logicas con reles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2.1 Funcion logica identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.2 Funcion logica negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.3 Funcion logica AND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.4 Funcion logica NAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7 Automatas programables 111

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6 INDICE

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Capıtulo 1

Introduccion

La Automatizacion se compone de todas las teorıas y tecnologıas encaminadas dealguna forma a sustituir el trabajo del hombre por el de la maquina. En estecapıtulo daremos unas ideas muy generales sobre esta area, tan amplia y compleja,y posteriormente las desarrollaremos a lo largo del curso.

Conceptualmente, la automatizacion se basa en una reiterada aplicacion del me-canismo de feedback y, por ello, esta en ese sentido relacionada con las Teorıas deControl y de Sistemas. En cuanto a su aspecto tecnologico, puede decirse que siem-pre ha estado “a la ultima”, adoptando en cada momento historico los mas recientesavances.

Siendo nuestro objetivo automatizar ciertos procesos, parece claro que primerohemos saber como funcionan esos procesos. Como veremos, el tipo de automa-tizacion a implantar depende del tipo de porceso a automatizar: no da lo mismoautomatizar un proceso continuo que un proceso gobernado por eventos. Debido a lagran cantidad de procesos distintos que funcionan actualmente, consideraremos sololos mas importantes desde el punto de de la automatizacion, y obtendremos modeloscon sus caracterısticas esenciales. Los procesos y modelos que iremos estudiando encapıtulos posteriores son:

• Procesos continuos (tiempo continuo y/o discreto)

• Procesos comandados por eventos

• Procesos de fabricacion

Aparte de las explicaciones dadas en clase sobre los procesos industriales y de suestudio, puede ser un complemento interesante su observacion real, in situ, realizandovisitas a algunas empresas.

Pero no es suficiente con aprender a automatizar cada proceso. En una modernafactorıa todos los procesos estan conectados entre sı y desde la gestion de la empresase pueden controlar y supervisar algunos o todos los procesos, a traves de redeslocales y buses de comunicacion. Tambien pueden estar en conexion los diferentesdepartamentos de la empresa, e incluso empresas diferentes a traves de redes propiaso de Internet. Es por ello interesante describir cada proceso como inscrito en el marco

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8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

jerarquico que representa la estructura completa de la empresa. En este marco, lasredes locales y los buses de comunicacion cobran especial interes.

1.1 Perspectiva historica

Se cree que cuando el homo sapiens domino el fuego, comenzo a usarlo como elemen-to calefactor y para condimentar alimentos. Tuvo que pasar mucho tiempo, hasta laEdad del Bronce, para que lo empleara en la obtencion de metales y en la ceramicadando ası lugar a los que podrıamos llamar primeros procesos de fabricacion de lahistoria.

Pero el fuego no ha sido la unica fuente de energıa de la antiguedad. Hacia el ano2000 a. de J.C. se utiliza por primera vez la energıa eolica para mover embarcacionesdotadas de velas y, hacia el 1000 a. de J.C., los fenicios atravesaban el Mediterraneocon sus navıos. Mas tarde, sobre el 50 a. de J.C., los Romanos empiezan a utilizarla energıa hidraulica para la extraccion de agua por medio de la noria. Durante laedad media se utilizo mucho, en practicamente toda Europa, la energıa generadapor los molinos de viento.

La invencion de la maquina de vapor por James Watt hacia 1750 es el aconte-cimiento que marca el inicio de la Revolucion Industrial, que dura hasta finales desiglo. Las tecnologıas productivas nacen en ese momento: la maquina de vapor seemplea rapidamente para mover las bombas de extraccion de agua en las minas decarbon de Gales y en la automatizacion de los telares en Manchester.

Durante este perıodo, con las de maquinas de vapor y luego con las de com-bustion interna y los motores electricos, se van produciendo cambios progresivosen los procesos de produccion. Las maquinas herramienta ganan potencia y preci-sion, lo que a su vez permite fabricar productos de mayor calidad. Surgen ası losprimeros talleres mecanicos que producen maquinas algunas de las cuales llevan yarudimentarios sistemas de control.

En el siglo XX, aunque ya no se denomine asi, continua la revolucion industrialcon un desenfrenado avance tecnologico y cientıfico. La evolucion de la tecnica espermanente, con una sucesion interminable de inventos y aplicaciones, muchos delos cuales (pensemos sin ir mas lejos en el automovil y en los electrodomesticos) sehan convertido en herramientas basicas para hombre actual.

Todo este desarrollo ha sido consecuencia de una premisa fundamental: la exis-tencia de fuentes de energıa inagotables y baratas. Pero su veracidad se ha puestoen entredicho con la crisis del petroleo iniciada en las ultimas decadas del siglo XX.

Los sistemas productivos no han sido ajenos a todos estos avances. La empresa,motor del desarrollo del sector privado e incluso del sector publico, se ve obligadacasi siempre a incorporar las ultimas tecnologıas en sus procesos o de lo contrariocorre el peligro que quedar rapidamente obsoleta.

Algunas teorıas, tecnologıas y areas tecnologicas cuyo avance ha favorecido laevolucion de los procesos productivos son las siguientes:

• Teorıas

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1.1. PERSPECTIVA HISTORICA 9

– Teorıas de Control y de Sistemas

– Teorıa de la senal

– Sistemas de eventos discretos

– Maquinas de estado

– Redes de Petri

– Graficos etapa-transicion (grafcet)

– Cartas de estado (statechart)

• Tecnologıas

– Neumatica

– Hidraulica

– Electronica

– Microprocesadores

– Ordenadores

– Automatas programables

– Robotica

– Comunicaciones

– Desarrollo del software

• Areas tecnologicas

– Automatizacion de las maquinas-herramienta

– Control de procesos por computador

– Diseno asistido por computador (CAD)

– Fabricacion asistida por computador (CAM)

– Fabricacion integral por computador (CIM)

– Control de procesos distribuıdo

– Celulas flexibles de mecanizado y de montaje

Cabe aquı decir que el crecimiento de Robotica no ha sido tan rapido comovaticinaban ciertas predicciones realizadas en los primeros anos de la decada de los80. Quizas esto se deba a la carestıa de los equipos y a la no tan evidente importanciade su flexibilidad como en principio se creıa: si un robot va a hacer siempre la mismatarea, resulta mas economico utilizar otro sistema menos flexible y mas especializado.Por ello, en tareas repetitivas que no requieren mucha precision resulta aconsejableutilizar manipuladores (neumaticos por ejemplo) en vez de robots. En otras tareasmas complejas (tales como la soldadura por laser) que precisan el seguimiento detrayectorias complejas, sı que el robot sigue siendo insustituible.

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10 CAPITULO 1. INTRODUCCION

1.2 La empresa productiva

Una empresa productiva es un ente socioeconomico capaz de adecuar parcialmentedos flujos esenciales que concurren en el mercado: produccion y consumo. Por unlado, por medio de estudios de mercado, determina las necesidades del consumidory le transfiere los productos que demanda y, por otro, produce los productos que leva a trasferir. [3, p.3]. Hay otras empresas, de servicios, en las que los productosse sustituyen por servicios. Ası que toda empresa puede considerarse como formadapor dos subsistemas, uno de los cuales se encarga de medir las necesidades de losconsumidores y de trasferirles los productos que las satisfagan y el otro que seencarga de la produccion. La empresa es, por tanto, un elemento productivo en elmercado pero puede verse tambien como elemento consumidor (de materias primas)en el mismo.

La empresa se articula en departamentos o secciones de los que los mas impor-tantes tradicionalmente vienen siendo los siguientes:

• Finanzas

• Gestion

• Compras

• Almacen de materias primas

• Produccion

• Almacen de productos terminados

• Ventas

Todos estos departamentos no son, ni mucho menos, los unicos existentes sinoque a su vez se articulan en otros departamentos y secciones que en funcion deltamano de la empresa esa pueden ser de mayor o menor complejidad. Los nombrespueden cambiar segun sea el contexto en que se enmarque o se estudie la empresa.

La actividad de la empresa se puede representar por medio de un diagrama debloques en el que los bloques son los procesos y las flechas son los flujos de entraday salida de cada proceso. En la figura se han representado los principales bloques yflujos de la empresa. Los flujos que las flechas representan son:

=⇒ flujos de producto

−→ flujos de capital

· · · . flujos de control (ordenes y medidas)

Observese que todos los bloques reciben flechas (ordenes) del bloque de gestiony envıan flechas (medidas) al mismo. El bloque de gestion es el mas importante enel sentido de que controla a todos los demas.

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1.2. LA EMPRESA PRODUCTIVA 11

Gestión

Almacén de Almacén deproductos terminadosProducciónmaterias primas

Finanzas

MERCADO

Compras Ventas

Figura 1.1: Esquema de la empresa productiva

El diagrama de bloques puede dividirse en dos partes. La parte superior que seencarga de la generacion del producto (gestion de produccion) y la parte inferiorque se encarga llevar el producto al mercado y de obtener el beneficio (gestion demercado o mercadotecnia).

Cada uno de estos bloques se subdivide a su vez de otros bloques, subprocesos,con sus flujos asociados.

El objetivo de la empresa es maximizar el beneficio.

1.2.1 El proceso productivo

Un proceso productivo es una serie de operaciones que se realizan sobre unas ma-terias primas (o productos mas elementales) para obtener un producto terminado,listo para su utilizacion.

Una definicion descriptiva de proceso productivo puede resultar muy complicada,puesto que hay muchas clases de procesos, siendo en cambio mas sencillo dar unadefinicion de tipo “entrada-salida”:

Un proceso productivo es un sistema dinamico de control cuya entrada es un flujode producto (materias primas) y cuya salida es otro flujo de productos (productosterminados).

-Materias primas Procesoproductivo

-Productos terminados

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12 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Con una definicion ası perdemos toda nocion de lo que sucede por dentro delproceso pero en cambio capturamos lo esencial desde el punto de vista productivo:flujos de producto de entrada y de salida (flechas) y como se relacionan entre sı(bloque). Sin embargo el bloque o “funcion” que relacona ambos flujos no es simplesino que es un complejo sistema movido por eventos.

Un proceso productivo se compone internamente de diferentes subprocesos massimples conectados entre sı, cada uno de los cuales se puede considerar tembiencomo un sistema dinamico de control o proceso. Por tanto, hemos de tener unaidea de cuales son y como funcionan (o sea cuales son sus modelos matematicos) lossistemas de control o procesos mas simples porque de ese modo podremos entenderdespues como funcionan los procesos de fabricacion.

Los procesos productivos estan catalogados como sistemas complejos en la Teorıade Sistemas. La complejidad surge de la interconexion de unos procesos con otrosy de la naturaleza estocastica de muchos de los eventos que dirigen la evolucion delsistema. Cada proceso esta conectado con otros procesos internos y externos a laempresa, que pueden ser de muy distinta naturaleza y, en general, se compone desubprocesos mas simples interrelacionados entre si.

-Materia primaProceso -Producto terminado

Cada proceso productivo va asociado a un producto. Si queremos fabricar otroproducto deberemos cambiar el proceso. Sin embargo, para un producto terminadodado y para la misma materia prima, el proceso puede no ser unico: en general, unmismo producto se puede fabricar de muchas formas diferentes.

1.2.2 Operaciones basicas de fabricacion

Los procesos de fabricacion mas simples se llaman operaciones basicas. Algunas deellas son:

• Procesado de un elemento

• Montaje

• Movimiento de material

• Almacenamiento

• Inspeccion y control

Procesado de un elemento

Es un proceso que se aplica a un solo producto, bien sea una pieza elemental o bienun conjunto de piezas ya montado. Son de este tipo los procesos de mecanizado, losde pintura, los tratamientos termicos, etc.

-Materia primaMecanizado -Pieza

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1.2. LA EMPRESA PRODUCTIVA 13

Proceso de montaje

Cuando un producto (terminado o no) se compone de varios elementos, la serie deoperaciones necesarias para unir todas las piezas formando el producto terminadose llama proceso de montaje.

-Mat. prima 1Mecanizado 1 -Pieza 1

-Mat. prima 2Mecanizado 2 -Pieza 2

Montaje -Producto

1.2.3 Tipos de procesos

Si en nuestro hogar echamos una mirada a nuestro alrededor y observamos los objetosque nos rodean, veremos que la gran mayorıa de ellos son el resultado o productode algun proceso de fabricacion y nos daremos cuenta que deben existen multitudde ellos. Incluso, con un poco de imaginacion y ciertos conocimientos tecnicos,podemos adivinar cual ha sido el proceso para fabricar un determinado producto o,mejor dicho, los posibles procesos, ya que tambien nos daremos cuenta enseguidade que hay muchas formas de fabricar el mismo producto. Ahora bien, tras muchosanos de experiencia, se han afianzado cuatro tipos estandar de procesos:

• Job Shops

• Produccion por lotes

• Lıneas de produccion

• Produccion continua

Job Shops

Es un tipo de produccion que permite fabricar una amplia gama de productos enseries de tamano pequeno o mediano. Los productos suelen ser conjuntos de compo-nentes, posiblemente complicados o de alta tecnologıa, montados. Se utiliza para lafabricacion de ciertas maquinas herramientas, robots, aviones, aeronaves y algunosprototipos. Suelen exigir mano de obra muy especializada y mucho tiempo para eldiseno de los procesos y para la preparacion de la maquinaria y los equipos huma-nos de montaje. Por todo ello, los tiempos de produccion son elevados y los costestambien.

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14 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Produccion por lotes

Esta orientada a la fabricacion de lotes de tamano medio de un determinado produc-to. La produccion de cada lote se hace de una tirada y, una vez terminado un lote,el departamento de fabricacion envıa una orden de control indicando si se puedepasar a fabricar otro lote del mismo o de otro producto, en funcion de la demanda.

La maquinaria y el personal han de estar preparados para realizar con celeridadlas operaciones de cambio de lote.

Es quizas el tipo de produccion que se emplea para fabricar mayor numero de pro-ductos. Las industrias de calzado, muebles, electrodomestcos, maquina-herramientay otras muchas, lo utilizan.

Lıneas de produccion

Estos procesos son el resultado de la evolucion de la produccion en cadena, ideadapor Henry Ford. Se utiliza para producir grandes series de unos pocos productos,que suelen estar formados mediante el montaje de piezas. El producto se desplazacolocado en cintas trasportadoras, en carros o en otros elementos de transporte yva pasando por estaciones de trabajo en cada una de las cuales se le aplica undeterminado proceso.

Si en una planta se utilizan varias lineas de produccion, los productos puedenpasar de una lınea a otra, existiendo muchas configuraciones posibiles, asi como dife-rentes metodos y mecanismos de transferencia. Se suenen utilizar zonas o recipientesa modo de pequenos almacenes, para el almacenamiento intermedio de productossemielaborados, y alimentadores de piezas para los procesos.

Basicamente hay dos tipos de lıneas: lıneas de proceso y lıneas de montaje. Enlas primeras, un producto o materia prima va pasando por distintos procesos quelo van transformando hasta llegar al producto final. Un ejemplo lo tenemos en elmecanizado de piezas. Las lıneas de montaje se utilizan para fabricar productosformados por conjuntos de piezas montados.

Quizas sea la fabricacion de automoviles el ejemplo mas tıpico de este tipo deproduccion. Se fabrican grandes series de unos pocos modelos. Otros ejemplos sonla fabricacion de ciertos productos de gran consumo como neumaticos, bombillas,bicicletas, envases de plastico, etc.

En este tipo de fabricacion se disena toda la factorıa en funcion del productoa fabricar, por lo que un cambio de producto suele exigir el cierre de aquella o, almenos, una completa remodelacion de la misma.

Produccion continua

Es el tipo indicado cuando se desea producir pocos productos, de naturaleza simple(no compuestos de muchas piezas) y en grandes cantidades. Se puede ver como unflujo continuo de producto sobre el que se van realizando una serie de operacioneso procesos. Por un lado entra la materia prima y por otro sale el producto final(figura 1.2).

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1.2. LA EMPRESA PRODUCTIVA 15

Proceso 1Materia prima Producto final

Proceso 2 Proceso 3

Figura 1.2: Proceso de produccion continua

Este tipo de produccion se aplica sobre todo en las industrias quımicas, petro-quımicas, textiles, de plastico y de laminacion de acero.

1.2.4 Ubicacion de los procesos

La disposicion de los procesos dentro de la planta de produccion es importante por-que de ella dependen muchos factores del proceso de produccion asi como la comodi-dad del personal, los cableados de alimentacion y buses de comunicaciones, etc. Losprogramas simulacion (estocastica) de procesos pueden ayudar mucho en el disenode la distribucion en planta. Tradicionalmente se consideran cuatro posibilidades deubicacion

• Producto en posicion fija

• Por clases de procesos

• En flujo de producto

• Por tecnologıa de grupo

Producto en posicion fija

Cuando el producto es muy grande, muy pesado o, por alguna otra razon, no debemoverse, hay que ubicar las herramientas y los otros equipos de fabricacion en lazona mas idonea para, en su momento, incidir en el producto. A veces se precisarealizar obras e instalaciones especiales para poner todo en una buena disposicion.Es la disposicion mas indicada en las industrias naval y aeronautica.

Por clases de procesos

Las maquinas de produccion se ubican en zonas o locales de la factorıa por clasesde procesos. En cada zona o local solo se realiza un proceso. Es una distribucionque se implanta mucho para procesos de mecanizado de piezas: la misma pieza vapasando por las distintas zonas hasta finalizar su mecanizado.

Resulta un tipo de fabricacion muy flexible puesto que se puede cambiar elproceso simplemente anadiendo o quitando ciertas maquinas.

En flujo de producto

Los elementos que intervienen en la produccion se disponen a lo largo del flujo deproducto. Por ejemplo, a lo largo de una lınea de montaje en una fabricacion de

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16 CAPITULO 1. INTRODUCCION

lıneas dedicadas o a lo largo del flujo de producto una produccion continua. No esfacil hacer cambios en el proceso.

Por tecnologıa de grupo

Esta distribucion esta indicada para factorıas con gran diversidad de productos ypretende ser una combinacion de las dos anteriores. Se basa en clasificar en familiaslas piezas a fabricar (sin importar el producto en el que iran montadas) por susemejanza en su diseno y fabricacion. Con esto se puede conseguir organizar laproduccion en dos partes: 1) por clases de procesos, (que fabricarıa las familias depiezas) y 2) en flujo de producto (que fabricarıa el resto de las piezas y harıa losmontajes pertinentes).

1.3 El proceso en feedback

La realimentacion o feedback es el artificio basico del control. Aunque suponemosque el tema es ya conocido por el lector, creemos conveniente recapacitar sobresu funcionamiento, por ser basico para muchas de las partes que se trataran masadelante. Lo haremos (por razones historicas) a partir del primer mecanismo que loincorporo: el governor de Watt.

1.3.1 El regulador de Watt

Aunque se conocen algunas aplicaciones de aparatos que funcionaban siguiendo elprincipio de la realimentacion y que datan de epocas muy antiguas, se puede decirque el primer sistema de control industrial de la historia fue el regulador (governor)inventado (o al menos adaptado) por James Watt hacia 1788 para su maquina devapor. Veamos, a modo ilustrativo, su esquema. En la figura aparece la piezaquizas mas importante que suele llamarse “regulador de bolas” y que ejerce a la vezcaptador, regulador y actuador.

ω( )t

B

C

Actuador

x

válvula

A

El operador o maquinista controla la posicionxC del punto superior del cuadrilatero articu-lado fijando ası la consigna de velocidad ωref.El eje dibujado esta unido al eje de rotacionde la maquina de vapor. Si la velocidad ω(t)de esta aumenta, entonces, debido a la fuerzacentrıfuga, las bolas B se separan y el verticeinferior A del cuadrilatero articulado, movil,actua cerrando la valvula de salida de vaporde la caldera. Se establece ası un proceso en“feedback” que se puede explicar con el dia-grama de bloques siguiente. El regulador debolas hace las funciones del punto de suma yde los bloques captador y actuador.

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1.3. EL PROCESO EN FEEDBACK 17

-xC

(ωref)m+ -ε Controlador -x

Valvula -p

Maquina r -ω(s)

�Captador

6−

La tarea que realiza este controlador es simple y efectiva: el controlador abreo cierra la la valvula en funcion de la diferencia e entre la medida xA de la salida(variable controlada) y la entrada xC (referencia). Si e es cero entonces la medidade la salida es igual a la referencia, es decir, el valor de la variable controlada es eldeseado y la salida del actuador es cero (no actua); en caso contrario el controladormovera la valvula en sentido de apertura o de cierre, dependiendo de que el valor esea positivo o negativo. Es facil acoplar mecanicamente el punto A a la valvula demodo que esta se abra si e > 0.

De este modo se consigue que la velocidad de rotacion ω(t) del eje de la maquinase mantenga mas o menos constante, incluso aunque se produzcan variaciones en lapotencia entregada o en la presion p de la caldera.

1.3.2 Esquema de regulacion en feedback

El artificio que hace funcionar al regulador de Watt es la realimentacion o feedback.Una vez entendamos como funciona podremos comprobar, quizas con asombro, queno solo puede aplicarse a la maquina de vapor sino que puede servir de base paracontrolar otros sistemas fısicos de muy diferente naturaleza tales como sistemaseconomicos y sistemas productivos. Ademas, la realimentacion aparece a veces comoun componente basico en muchos procesos de la Naturaleza, incluso en los seresvivos.

-Yref m+Ym(s)

-ε(s)C -X(s)

A -U(s) m+ -V (s)P r -Y (s)

�M

6−

?

D(s)

Figura 1.3: Esquema de regulacion en feedback

Los elementos esenciales que aparecen en el regulador de Watt y que configurantodo mecanismo de control con realimentacion (figura 1.3) son los siguientes:

yref−→ Entrada de referencia o de consigna

d(t)−→ Entrada perturbadora

y(t)−→ Salida

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18 CAPITULO 1. INTRODUCCION

C Controlador. Es el dispositivo que toma la diferencia ε(t) entre la entradade referencia yref y la medida ym(t) de la respuesta, la procesa y, como re-sultado del proceso, envıa estımulos x(t) sobre el actuador. Realmente es unprocesador de senal.

A Actuador. Actua, con la potencia necesaria, sobre la planta.

P Planta o Proceso: es el sistema a controlar (la maquina de vapor en el reguladorde Watt).

M Medidor. Es un aparato para medir, normalmente en forma electrica, el valorde la salida y(t).

La idea del control es simple: con la entrada de referencia yref el operador fija elvalor deseado para la variable de salida y(t) (a controlar); el controlador recibe ensu entrada la diferencia ε(t) entre la entrada yref de referencia y la medida ym(t) dedicha salida en un instante t1, de modo que si esa diferencia es positiva (ym < yref)entonces, tras el proceso de la senal ε(t), enviara estımulos x(t) al actuador paraque este ejerza una accion u(t) sobre la planta con el fin de que el valor de la saliday(t) vaya aumentando para t > t1. Cuando en otro instante t2 > t1 la diferencia esea negativa, la accion del controlador sera la inversa, es decir, ejercera una accionu(t) sobre la planta tal que el valor de la salida y(t) vaya disminuyendo para t > t2.

En adecuadas condiciones, si el controlador se disena correctamente, es posibleconseguir que el valor de la salida se mantenga, mas o menos, igual al valor de laentrada de referencia incluso en presencia de la perturbacion d(t).

1.3.3 El significado del control

Controlar un sistema dinamico significa conducirlo, llevarlo, gobernarlo o comardar-lo, de tal manera que su trayectoria o evolucion en el tiempo se aproxime a unafijada de antemano, mediante la actuacion sobre unos elementos del sistema lla-mados controles. Ası, un chofer controla la trayectoria de un vehıculo girando elvolante, pisando el acelerador y los frenos y moviendo el cambio de marchas. Deforma mas imprecisa, el gobierno de una nacion dispone de ciertos controles, comolos salarios, los impuestos, el valor de la moneda, etc., para controlar la evolucionde la tasa de inflacion.

La Teorıa de Control estudia los sistemas que son de algun modo controlablesası como los problemas relacionados con este control.

Un sistema de control es una entidad u objeto provisto de unos terminales deentrada (controles), por los cuales puede recibir estımulos, y otros de salida, por deque emite su respuesta. Esta definicion permite representar graficamente un sistemade control como una caja negra o bloque con flechas de entrada y de salida. La figura1.4 representa un sistema monovariable, es decir, con una entrada y una salida.

El sistema objeto de control suele denominarse Planta o Proceso, de acuerdo consus aplicaciones en ingenierıa.

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1.4. LA AUTOMATIZACION INDUSTRIAL 19

Entrada Salida- Bloque -

Figura 1.4: Sistema

1.3.4 El control en la empresa

El esquema de regulacion en feedback es aplicable a muchos de los procesos de laempresa, dando lugar a diferentes clases de control segun sea la aplicacion. Algunosde ellos son:

• Control de produccion

• Control de calidad

• Control de presupuestos

• Control de procesos

Los elementos esenciales del control van a seguir siendo siempre la medida de va-riables del proceso a controlar, la realimentacion de las variable medidas, la com-paracion con una consigna previamente establecida y, en funcion de esta ultima, laactuacion sobre el proceso.

1.4 La automatizacion industrial

Automatizar un proceso es conseguir que, aplicando el mecanismo de feedback,funcione sin intervencion humana. Como veremos, esta idea resulta muy clara en elcaso del control de procesos continuos, pero tambien se ve que funciona en el casode otros tipos de control, como es el caso de los procesos movidos por eventos.

1.4.1 Tecnicas de control

Atendiendo a la tecnica utilizada para procesar senales, el bloque de control C dela figura 1.3 se puede realizar fısicamente mediante

• tecnicas analogicas

• tecnicas digitales

Tecnicas analogicas

Es el metodo mas antiguo de los dos y dio lugar a las tecnicas de control clasicas. Elproceso analogico de senales puede ser mecanico, neumatico, hidraulico, electrico,electronico y optico. En el regulador de Watt es de tipo mecanico. El componentefundamental que permitio el desarrollo de el control analogico fue el amplificadorelectronico, inventado en la decada de los 50.

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20 CAPITULO 1. INTRODUCCION

La aplicacion principal de las tecnicas analogicas es la realizacion de contro-ladores de Procesos Continuos industriales: mecanismos y maquinas movidos pormotores electricos, procesos con fluidos, hornos, etc.

Hay dos tipos que han sido, y siguen siendo, muy utilizados: el controlador deadelanto-retraso de fase y el controlador PID. En este ultimo, las letras significanproporcional, integral, derivativo e indican el proceso, o funcion matematica C(·),que realiza el controlador:

x(t) = C(ε(t)) = Kp

(1 + Td

dx(t)

dt+

1

Ti

∫ t

0

x(τ)dτ

), (1.1)

en donde los parametros Kp, Td y Ti son constantes. La realizacion de esta funcionse hace casi siempre utilizando componentes electronicos analogicos, generalmenteamplificadores operacionales, pero son posibles las realizaciones con componentes defluidos.

Tecnicas digitales

La aparicion primero del ordenador y posteriormente de los microprocesadores ymicrocontroladores y del ordenador personal, asi como el desarrollo de las comuni-caciones, del software y de otros campos afines, han hecho que las tecnicas de controlse hayan sofisticado y extendido.

Las aplicaciones son muchas. En principio, las tecnicas digitales se utilizaronpara realizar controladores para los procesos continuos. Los controladores antanoanalogicos, y en particular el PID, hoy dıa se realizan y comercializan en su ver-sion digital. Ahora la funcion (1.1) la realiza un microprocesador a traves de unalgoritmo. El campo de aplicacion es el mismo pero las prestaciones de los digitalesson muy superiores a las de sus hermanos analogicos. Resulta mas facil sintonizar-los, es decir, ponerles los parametros adecuados, y estan preparados para poder seroperados a distancia a traves de buses de comunicacion.

Despues, se utilizaron para el desarrollo de otros dispositivos de control, entrelos que cabe destacar el automata programable de gran aplicacion en el Control deprocesos de eventos discretos.

Y, finalmente, han hecho posible una creciente Automatizacion Global, es decir,la expansion del control y las comunicaciones por toda la empresa en base a lasestructuras de control que se han ido creando: control centralizado, control distri-buıdo, control jerarquico, etc.

1.4.2 Estructuras de automatizacion

En el intento de automatizar cualquier empresa siempre nos van a surgir un buennumero de cuestiones: ¿donde va ubicado y como se realiza el control de cadaproceso? ¿como se conectan unos controles con otros? ¿se pueden controlar y/osupervisar procesos desde la gestion de la empresa? Para responderlas, habremosde idear algun plan para estructurar el control. El grado de automatizacion deseadova a ser fundamental para trazar dicho plan. Se suelen distinguir como cuatrocategorıas:

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1.4. LA AUTOMATIZACION INDUSTRIAL 21

Proceso 1 Proceso 3 Proceso 4Proceso 2

Figura 1.5: Estructura de control: computador – 4 automatas

• Automatizacion fija

• Automatizacion programable

• Automatizacion flexible

• Automatizacion total

La automatizacion fija se utiliza cuando el volumen de produccion es muy altoy, por tanto, se puede justificar economicamente el alto costo del diseno de equipoespecializado para procesar el producto, con un rendimiento alto y tasas de pro-duccion elevadas. Un ejemplo tıpico puede ser la fabricacion de automoviles. Uninconveniente de la automatizacion fija es que su ciclo de vida depende de la vigenciadel producto en el mercado.

La automatizacion programable se emplea cuando el volumen de produccion esrelativamente bajo y hay una diversidad de productos a obtener. En este caso elequipo de produccion es disenado para adaptarse a la variaciones de configuraciondel producto y esta adaptacion se realiza por medio de Software. Un ejemplo podrıaser la fabricacion de diferentes tipos de tornillos bajo pedido.

Por su parte, la automatizacion flexible es mas adecuada para un rango de pro-duccion medio. Los sistemas flexibles poseen caracterısticas de la automatizacionfija y de la automatizacion programada. Suelen estar constituidos por una seriede estaciones de trabajo interconectadas entre si por sistemas de almacenamiento ymanipulacion de materiales, controlados en su conjunto por una computadora.

El escalon final es la automatizacion total de la produccion, en la que, idealmente,la fabricacion se realizarıa sin intervencion humana.

En la figura 1.5 se muestra una estructura de control sencilla compuesta por uncomputador que se comunica, a traves de un bus, con cuatro automatas programa-bles cada uno de los cuales controla un determinado proceso.

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22 CAPITULO 1. INTRODUCCION

1.4.3 Ventajas e inconvenientes de la automatizacion

Como es logico, la automatizacion tiene sus ventajas e inconvenientes. Entre lasprimeras podemos citar:

• Permite aumentar la produccion y adaptarla a la demanda

• Disminuye el coste del producto

• Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante

• Mejora la gestion de la empresa

• Disminuye de la mano de obra necesaria

• Hace mas flexible el uso de la herramienta

Algunos inconvenientes son

• Incremento del paro en la sociedad

• Incremento de la energıa consumida por producto

• Repercusion de la inversion en el coste del producto

• Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios

Hasta ahora no se ha dado mucha importancia al segundo punto pero cabe pensarque, en el futuro, el aumento del coste de la energıa pueda repercutir en un consi-derable aumento de los costes de la produccion automatizada. Ello nos llevarıa atener que considerar nuevos metodos o, quizas, a reconsiderar antiguos metodos defabricacion semi-automatizada en la que ciertas tareas podrıan ser realizadas poroperarios humanos. De hecho, aunque lamentable, es significativa la practica de lautilizacion de mano de obra barata, no especializada (incluso infantil), por grandescompanıas que instalan sus factorıas en paıses subdesarrollados.

En el mundo industrial actual la Automatizacion es practicamente imprescindi-ble, debido a los niveles de productividad, fiabilidad y rentabilidad que el mercadoexige a los productos elaborados para ser competitivos.

Antano la automatizacion se aplicaba solo al proceso productivo (a las maquinas),porque era el que mas recursos humanos consumıa, resultando ası una automatiza-cion local. Pero hoy dıa podemos hablar de una automatizacion global ya que se haextendido no solo a todos los procesos de la empresa (bloques de la figura 1.1) sinotambien a los flujos de control (lıneas a trazos de la figura 1.1), que pueden tambienser automatizados mediante buses de comunicacion y redes de area local; ademas,una empresa puede comunicarse a traves de Internet con otras empresas pudiendocrearse de esta forma redes de empresas extendidas por todo el mundo.

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1.4. LA AUTOMATIZACION INDUSTRIAL 23

1.4.4 Elementos de la automatizacion

Hay muchas areas y tecnologıas que intervienen en la Automatizacion. Las masimportantes, junto con algunos de sus elementos, son:

• Mecanica

– Herramientas

– Mecanismos

– Maquinas

– Elementos de transporte

• Electrica

– Automatismos electricos

– Motores electricos de c.c. y c.a.

– Cableados de fuerza y de mando

– Aparillajes electricos en general

• Tecnologıa Electronica

– Controladores analogicos

– Sensores / Transductores

– Pre-acionadores

– Drivers de accionamientos

– Communicaciones

– Telemando y Telemetrıa

– Sistemas de comunicacion inalambrica

• Neumatica y electro-neumatica

– Cilindros neumaticos

– Valvulas neumaticas y electro-neumaticas

– Automatismos neumaticos

• Hidraulica y electro-hidraulica

– Cilindros hidraulicos

– Valvulas hidraulicas y electro-hidraulicas

– Automatismos hidraulicos

• Aplicaciones de Control e Informatica Industrial

– Controladores de procesos

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24 CAPITULO 1. INTRODUCCION

– Control por computador

– Control embutido (embedded control)

– Automatas programables

– Vision artificial

– Robotica

– Mecatronica / Control de movimiento

– Celulas de fabricacion flexible

– Celulas de Mecanizado

– Celulas de Montaje Automatico

– Control Numerico

– Sistemas CAD-CAM (Computer Aided Design & Manufacturing)

– Sistemas CIM (Computer Integrated Manufacturing System)

– Redes y buses de comunicaciones

1.5 Modelos matematicos de sistemas

En el analisis de los sistemas de control juegan un papel primordial los modelosmatematicos. Un modelo matematico de un sistema dinamico es una ecuacion osistema de ecuaciones, de un determinado tipo, que lo representa, y cuya evolucionen el tiempo se coresponde con la del sistema.

El modelo permite hacer calculos, predicciones, simulaciones y disenar nuevossistemas de control “sobre el papel” sin necesidad de tener que construirlos hastaque se considere oportuno.

Los bloques, entradas y salidas que componen un sistema de control pueden serde naturaleza muy diferente segun sea la aplicacion que estemos considerando. LaTeorıa de Control es la parte de la ciencia que estudia todos estos sistemas desdelos puntos de vista matematico, fısico y tecnologico.

Lo primero que vamos a hacer para estudiar matematicamente los sistemas esclasificarlos atendiendo a alguna propiedad importante. Como no cabe duda que eltiempo es esencial para todo sistema de control, puesto su evolucion depende deltiempo, podemos clasificarlos, atendiendo a como sea dicha evolucion, en

• Sistemas de tiempo continuo

• Sistemas de tiempo discreto

• Sistemas de eventos discretos

Esta clasificacion nos va servir tanto para el estudio matematico, analisis y mo-delado de los sistemas de control como para su sıntesis, o sea, su diseno y realizacionutilizando diferentes tecnologıas. Cada una de estas clases se divide a su vez en otras

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1.6. MODELADO Y SIMULACION DE SISTEMAS COMPLEJOS 25

que van configurando las diferentes partes que configuran la Teorıa de Control y susaplicaciones.

Los sistemas de eventos discretos reciben tambien el nombre de sistemas re-activos o sistemas comandados por eventos (event-driven systems). Sus modelosmatematicos son complejos, se basan en procesos estocastcos y procesos de colas,por lo que es habitual trabajar con modelos no matematicos basados en computador.

En este sentido ha supuesto un gran avance la especificacion del Lenguaje Uni-ficado de Modelado (UML).

1.6 Modelado y simulacion de sistemas complejos

El modelado y simulacion se utiliza en muy aplicaciones diversas, tales como dinamicade fluidos, sistemas energeticos y gestion de negocios. Dentro de los currıcula uni-versitarios se estudia, entre otras, en las areas de Teorıa de Sistemas, Teorıa deControl, Analisis Numerico, Ciencias de la Computacion, Inteligencia Artificial eInvestigacion Operativa. Poco a poco ha ido haciendose cada vez mas potente hastael punto en que hoy se considera con capacidad para integrar todas las anterioresdisciplinas. Mas aun, ha sido propuesto por algunos como el paradigma de la com-putacion del futuro. Como paradigma, constituye un metodo para representar losproblemas, para analizarlos y para obtener soluciones. En la fase de analisis, elmodelo se construye inductivamente a partir de observaciones realizadas sobre unsistema real. En la fase de sıntesis se utilizan los modelos creados en la fase deanalisis para disenar nuevos modelos que satisfagan determinadas especificaciones yse construyen los sistemas reales (realizaciones) si se considera oportuno. A vecessuele ser preciso repetir iterativamente las fases de analisis y diseno hasta conseguirdar con la solucion buscada.

1.6.1 Importancia del modelado

El conocimiento sobre las cosas que tenemos a nuestro alrededor, adquirido a travesde los sentidos y almacenado en el cerebro, no es la realidad sino una abstraccion,un modelo de la misma. Es un modelo en el que se reflejan algunas caracterısticasestaticas (forma, dimensiones, color, sonido, olor, temperatura, acabado superficial,etc.) y quizas tambien algunas otras dinamicas (velocidad, etc). Si utilizamos instru-mentos de medida, la informacion que adquirimos puede enriquecerse con numeros,graficos y quizas con otros tipos de informacion propia de cada instrumento.

De alguna manera, la informacion que hemos adquirido sobre un objeto es elresultado de experiencias (experimentos) que hemos realizado sobre el mismo. Portanto, la informacion adquirida es siempre parcial, se refiere a los resultados deexperiencias o experimentos y el modelo de cualquier sistema es tambien parcial,es decir, solo refleja aquellos aspectos que han sido medidos y analizados dentro deun determinado contexto experimental. Otros aspectos pueden quedar ocultos en elmodelo porque aun no se conocen, sencillamente porque no se han medido o, si sequiere, porque quedan fuera de contexto.

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26 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Mundo Realdel

Entidad

Experimentoobservados de

Datos

en contextoexperimental

dentro de contexto

Resultados

Modelo M

Simulación

básico

Modelo

Validación

dentro del contexto

análisis sólo

experimento

deProceso deModelado y Simulación

Conocimientoa priori del

modelo básico

Experimento virtualSimulación =

Sistema S

MODELOREALIDAD

OBJETIVOS

Figura 1.6: Esquema del modelado

En la figura 1.6 se indica esquematicamente el proceso de obtencion de un modeloa partir de la realidad. Es importante recalcar de que la informacion que podemostener sobre una determinada entidad real la adquirimos a traves de experimentoshechos en un determinado contexto de modelado. Por esta razon, los nombres conque muchas veces se etiquetan ciertas entidades del mundo real provienen no de laentidad misma sino de su modelo. Ası, por ejemplo, si hablamos de sistemas detiempo continuo nos estamos refiriendo a la familia de entidades reales que admitenun modelo de tiempo continuo. Es decir que lo que estamos haciendo es clasificarlas entidades reales en clases en funcion de las caracterısticas de los modelos. Esevidente que una misma entidad real puede pertenecer a varias de estas clases, o sea,puede admitir distintos modelos, dependiendo de las caracterısticas que se quieranponer de manifiesto.

Disponer de un modelo antes de proceder al desarrollo de software y hardware estan importante para el ingeniero responsable de cualquier automatizacion industrialcomo puede ser, para el arquitecto, tener un anteproyecto antes de construir un granedificio.

El modelado adquiere mayor importancia cuanto mayor es la complejidad delsistema. Algunos sistemas (por ejemplo biologicos) son tan complicados que hastahace poco no se sabıa muy bien como funcionaban pero que, tras el modelado desus partes elementales y la posterior conexion de las mismas, empiezan ya a serestudiados y entendidos, al menos en alguno de sus aspectos. Sin ir tan lejos,tener un buen modelo resulta de una ayuda inestimable para cualquier diseno deautomatizacion industrial.

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1.6. MODELADO Y SIMULACION DE SISTEMAS COMPLEJOS 27

Serıa estupendo que el lenguaje de modelizacion fuera universal pues ello facili-tarıa la comunicacion entre los equipos de desarrollo dentro de la empresa y tambien,fuera de ella, entre los miembros de la comunidad cientıfica.

Un buen lenguaje de modelizacion ha de tener

• Elementos del modelo – conceptos fundamentales y semantica

• Notacion – representacion visual de los elementos del modelo

• Directivas – lenguajes a utilizar para el modelado

Lenguaje Unificado de Modelizacion (UML)

La carencia de un lenguaje estandar de modelizacion ha sido durante mucho tiempoel principal quebradero de cabeza de muchos disenadores de software. La situacionera caotica hasta hace poco porque, al ser las herramientas de desarrollo de softwarede diferentes fabricantes e incompatibles entre sı, cuando alguien pretendıa modelarun sistema complejo, formado por subsistemas de diferente naturaleza, al final se lepresentaba la complicada tarea de acoplar los resultados de los modelos de cada unade las partes, desarrolladas en diferentes lenguajes. Afortunadamente la situacion hacambiado recientemente con la aparicion del denominado Unified Modeling Language(UML). El desarrollo de este lenguaje comenzo en Octubre de 1994 cuando GradyBooch y Jim Rumbaugh, de la empresa Rational Software Corporation, unificaronel anterior metodo de Booch y el llamado tecnica de Modelado de Objetos (OMT) ycrearon un proyecto comun, al que llamaron Unified Method, cuyo primer borradorvio la luz en Octubre de 1995. A finales del mismo ano Ivan Jacobson y su empresaObjectory se unieron a Rational Software y como resultado de la union surgio elmetodo OOSE (Object-Oriented Software Engineering).

Al comenzar a trabajar juntos, Booch, Rumbaugh y Jacobson fijaron como obj-tivos los siguientes:

1. Otorgar al modelado de sistemas (y no solo al software) la capacidad de utilizarconceptos orientados a objetos.

2. Establecer un acoplamiento explıcito con los artefactos tanto conceptual comoejecutable.

3. Tratar los temas inherentes a la escala en los sistemas complejos y de misioncrıtica.

4. Crear un lenguaje de modelado entendible tanto por las maquinas como porlos seres humanos.

Los esfuerzos de los tres ingenieros dieron su fruto con la publicacion de lasversiones 0.9 y 0.91 de UML, en Junio y en Octubre de 1996. UML comenzo aextenderse con rapidez y muchas importantes empresas vieron en UML un asuntode importancia estrategica para sus negocios. Tras una primera fusion con OMG(Object Management Group), Rational Software establecio las bases para crear un

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28 CAPITULO 1. INTRODUCCION

consorcio empresarial, al que pronto se unieron las companıas mas importantes delmundo de la informatica: DEC, HP, IBM, Microsoft, Oracle, TI, Unisys, etc.

UML se ha ido enriqueciendo con las aportaciones de los nuevos socios dandolugar a la aparicion de nuevas versiones. La version UML 1.3, de Junio de 1999.Actualmente la version de UML mas ”en boga”es la 1.5, y se esta trabajando en la2.0.

• Ofrecer a los usuarios un lenguaje de modelado de uso inmediato, expresivo yvisual, para desarrollar e intercambiar modelos significativos.

• Suministrar mecanismos de extension y especializacion que permitan extenderlos conceptos del nucleo del lenguaje.

• Soportar especificaciones que sean independientes de los lenguajes de progra-macion particulares y de los procesos de desarrollo.

• Dar una base formal para el aprendizaje del lenguaje.

• Animar el crecimiento del mercado de herramientas para objetos.

• Soportar conceptos de desarrollo de alto nivel: components, collaborations,frameworks, patterns.

• Integrar las mejores practicas de programacion.

Caracterısticas de UML

UML es un lenguaje sin propietario y abierto a todos. Ofrece a los ingenieros desistemas que trabajan en analisis y diseno orientados a objetos, un consistente len-guaje para especificar, visualizar, construir y documentar los artefactos de softwarey tambien para el modelado de negocios y de otros sistemas. Esta estructurado en9 paquetes:

• Data Types

• Core

• Extension Mechanisms

• Comon Behavior

• State Machines

• Activity Graphs

• Collaborations

• Use Cases

• Model Management

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1.6. MODELADO Y SIMULACION DE SISTEMAS COMPLEJOS 29

Los fabricantes y desarrolladores de software que adoptan el lenguaje UML debenetiquetar sus productos con la frase UML compliant e indicar el grado de cumpli-miento con cada una de las especificaciones del lenguaje.

Para el desarrollo de los artefactos de software, UML tiene en cuenta las siguien-tes consideraciones:

• El estudio de todo sistema complejo se aborda mejor por medio de una se-cuencia de visiones distintas del modelo. Una sola vista no es suficiente.

• Todo modelo se puede expresar a diferentes niveles de fidelidad.

• Los mejores modelos estan conectados a la realidad.

En terminos de vistas de un modelo, UML define los siguientes diagramas graficos:

• use case diagram

• class diagram

• behavior diagrams :

– statechart diagram

– activity diagram

– interaction diagrams

∗ sequence diagram

∗ collaboration diagram

– implementation diagrams :

∗ component diagram

∗ deployment diagram

Todos estos diagramas dan multiples perspectivas del sistema bajo analisis odesarrollo. Ademas UML tiene herramientas para obtener un buen numero de visio-nes derivadas. UML no soporta diagramas de flujo de datos (data-flow diagrams),simplemente porque no encajan limpiamente en un paradigma consistente orientadoa objeto. Para modelar flujos de datos valen los diagramas de actividad (activitydiagrams) de UML.

UML consigue acabar con las diferencias (a veces absurdas) entre los lenguajesde modelizacion anteriores y, quizas mas importante, unifica las perspectivas deacercamiento entre muchas clases diferentes de sistemas (negocios contra sotware),fases de desarrollo (requerimientos, analisis, diseno e implementacion) y conceptosinternos.

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30 CAPITULO 1. INTRODUCCION

1.7 Estructura del curso

El curso se estructura en 4 partes. Las dos primeras son mas bien teoricas y en ellasse estudian los fundamentos que permiten el modelado de sistemas. Las otras dospartes son de un contenido mas bien practico, de aplicacion de lo estudiado antes,si bien en la ultima parte se requieren algunos nuevos conocimientos teoricos.

• Control de procesos continuos

• Control de procesos de eventos discretos

• Automatizacion local

• Automatizacion global

1.7.1 Control de procesos continuos

Esta primera parte esta enfocada al diseno de de controladores para procesos detiempo continuo. Suponiendo un conocimiento previo de las nociones basicas de laTeorıa de Control, se estudiaran algunas tecnicas clasicas de diseno de controladoresanalogicos y digitales. Se hara un especial enfasis en el estudio de los controladoresPID y sus metodos de sintonıa.

1.7.2 Control de procesos de eventos discretos

En la segunda parte repasaremos primero algunos conceptos basicos sobre sistemascombinacionales y secuenciales, para pasar a ver los modelos de sistemas de eventosdiscretos mas usados actualmente en automatizacion:

• Diagramas de estado

• Redes de Petri

• Grafcet

• Statecharts

1.7.3 Automatizacion local

En esta parte estudiaremos algunos de los elementos existentes en el mercado dedi-cados a la automatizacion local. Es un tema mas bien descriptivo y muy extensoen el que, aparte de lo mostrado en clase, el alumno debe intentar conseguir infor-macion (catalogos, documentos de Internet, etc.) sobre los productos comerciales.Algunos de los elementos son

• Captadores

• Pre-actuadores y actuadores.

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1.7. ESTRUCTURA DEL CURSO 31

• Automatismos electricos

• Automatismos neumaticos e hidraulicos

• Automatas programables

• Controladores industriales

1.7.4 Automatizacion global

Esta ultima parte esta dedicada al estudio de la automatizacion global y en la mismadaremos una vision general algunos aspectos importantes de la misma, tales como

• Simulacion de procesos productivos

• Redes locales

• Buses industriales

• GEMMA

• SCADA

• Control jerarquico

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32 CAPITULO 1. INTRODUCCION

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Parte I

Control de procesos continuos

33

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Capıtulo 2

Diseno de Controladores

2.1 Introduccion

Los sistemas de control se aplican en numerosos campos de la tecnologıa y de laciencia. Se pueden citar ejemplos tales como los pilotos automaticos en barcos oaviones, el control teledirigido de naves espaciales, controles de posicion y velocidaden maquinas herramientas, control de robots, control de procesos industriales, sus-pension activa de los automoviles, controles diversos en electrodomesticos, etc., enlos que los sistemas de control desempenan un importante papel. La lista de aplica-ciones pudiera resultar interminable ya que, debido al progresivo abaratamiento yminiaturizacion los componentes electronicos, ha sido enorme su proliferacion y de-sarrollo. Un sistema de control consta de un proceso o planta que se desea controlary de otros elementos que realizan el control, formados esencialmente por captadoresy controladores. En la figura 2.1 se ha representado un sistema de control basicomonovariable. En la misma, la planta se representa por el bloque de funcion detransferencia Gp, el controlador por Gc y el captador por H.

Los metodos de diseno sirven para proyectar el sistema de control y determinarlos componentes mas adecuados para un funcionamiento satisfactorio. El objetivodel diseno, en el caso mas sencillo, suele ser una parte del sistema, denominadacontrolador, que tiene asignada la mision de control. En los sistemas de controlcontinuos este elemento esta constituido generalmente con componentes electronicosde tipo analogico mientras que en los sistemas de control discretos es un controladorbasado en un computador digital. Por otro lado hay que distinguir entre el controlde sistemas SISO y MIMO.

El enfoque del diseno sera muy diferente para un sencillo bucle de regulacion detipo SISO que para un sistema de control de un proceso MIMO en el que intervienenmultiples variables interrelacionadas. En este capitulo vamos a tratar del diseno desistemas de control continuos monovariables [2, cap. 7].

35

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36 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

2.2 Tipos de controladores

En la figura 2.1 el control del sistema ha sido asignado al bloque Gc denominadocontrolador. Puesto que el diseno va a consistir en determinar los componentesde este elemento, veamos en primer lugar los tipos mas comunes de controladoresutilizados en la practica, junto con sus correspondientes implementaciones basadasen amplificadores operacionales y componentes pasivos.

Gc Gp

H

R(s)

D(s)

Y(s)ε

Figura 2.1: Sistema de control

2.2.1 Controlador tipo proporcional P

La funcion de transferencia del controlador P es

Gc = Kp (2.1)

siendo Kp una constante. En la figura 2.2 se representa el esquema de un amplifi-

R

R2

R1

Vi

Vo

Figura 2.2: Esquema de un controlador P

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2.2. TIPOS DE CONTROLADORES 37

cador o inversor en el cual se cumple

Kp =V0

Vi

=R1 + R2

R1

2.2.2 Controlador tipo integrador

Su funcion de transferencia es

Gc =1

sTi

(2.2)

Siendo Ti una constante. Se ha implementado mediante el circuito integrador inver-sor representado en la figura 2.3, en la que

Gc =V0

Vi

= −1/sC1

R1

=−1

sR1C1

(2.3)

La constante de tiempo Ti de este controlador I vale, por tanto,

R 1

R

V

C 1

i

V o

Figura 2.3: Esquema de un controlador I

Ti = R1C1 (2.4)

2.2.3 Controlador tipo derivativo D

Su funcion de transferencia esGc = sTd (2.5)

Siendo Td una constante. Su circuito electronico, con una configuracion inversora,aparece en la figura 2.4, en la que

Gc =V0

Vi

= − R1

1/sC1

= −sR1C1 (2.6)

La constante de tiempo T del controlador I vale por tanto,

Td = R1C1 (2.7)

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38 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

R 1

R

VC 1

i

V o

Figura 2.4: Esquema de un controlador D

2.2.4 Controladores PID

Los tres controladores basicos P, I, D, que acabamos de ver pueden agruparse enforma aditiva entre sı dando lugar a las combinaciones PI, PD y PID. En la figura2.5 se representa un controlador PID en forma de diagrama de bloques [2, sec. 7.10].Su funcion de transferencia es

Gc =V0

Vi

= Kp(1 +1

sTi

+ sTd) (2.8)

Este controlador PID se transforma facilmente en otro PI o PD eliminando una

Kp

1

1

dsT

isT

Vi Vo

Figura 2.5: Diagrama de bloques de un controlador PID

de las ramas I o D del diagrama de bloques. Si eliminamos ambas ramas I y Dse transforma en un controlador P. Una posible implementacion electronica de estecontrolador, que se ajusta al diagrama de bloques, se ilustra en la figura 2.6.

La funcion de transferencia del circuito PID ası compuesto viene dada por la

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2.2. TIPOS DE CONTROLADORES 39

R 1V

C 2

i

V o

C 3

R 1R 4

R 4

R4

R 5

R 1

R 3

Figura 2.6: Diagrama de bloques de un controlador PID

expresion (2.9) en la que

Kp =R5

R4

, Ti = R2C2, Td = R3C3 (2.9)

2.2.5 Controladores de adelanto y de retraso de fase

Son controladores que producen un avance, un retraso o una combinacion de avancey retraso en la fase de la tension de salida con respecto a la tension de entrada alcontrolador [2, sec. 7.9]. La funcion de transferencia de un controlador de adelantoo retraso es

Gc =V0

Vi

= Kcs− zc

s− pc

(2.10)

Si | zc |<| pc | es un controlador de adelanto de fase mientras que si | zc |>| pc |, esde retraso de fase.

Estos controladores pueden realizarse mediante redes pasivas RC o bien con cir-cuitos basados en amplificadores operacionales. La figura 2.7 muestra los esquemasde una red RC de adelanto de fase y otra de retraso. La funcion de transferencia dela red de la figura 2.7a es

Gc =V0

Vi

= Kcs− zc

s− pc

=1 + αTs

α(1 + Ts)(2.11)

siendo α = (R1 + R2)/R2 y T = CR1R2/(R1 + R2).

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40 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

R1

C

R2

Vi

Vo

R1

R2

Vi

Vo

C

a) b)

Figura 2.7: Redes de adelanto y de retraso de fase

La red de retraso de fase de la figura 2.7b tiene por funcion de transferencia

Gc =V0

Vi

= Kcs− zc

s− pc

=1 + Ts

1 + αTs(2.12)

siendo α = (R1 + R2)/R2 y T = R2C. En la figura 2.8 se ha representado una red

R1

Vi

Vo

R2

C1

C2

Figura 2.8: Red de adelanto-retraso de fase

pasiva RC de adelanto-retraso de fase, cuya funcion de transferencia es

Gc =V0

Vi

=(1 + αT1s)(1 + βT2s)

(1 + T1s)(1 + T2s)(2.13)

donde α > 1, β = 1/α, αT1 = R1C1, T2 = R2C2 y T1T2 = R1R2C1C2. Loscontroladores de adelanto y de retraso de fase pueden construirse tambien a base decircuitos con operacionales. El circuito representado en la figura 2.9 puede funcionarcomo controlador de adelanto y de retraso de fase. Su funcion de transferencia es

Gc =V0

Vi

= Kcs− zc

s− pc

= −C1(s + 1/R1C1)

C2(s + 1/R2C2)(2.14)

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2.3. METODOS DE DISENO BASADOS EN EL LUGAR DE LAS RAICES 41

R1

Vi

C1

R2

C2

Vo

Figura 2.9: Controlador de adelanto-retraso de fase

Este montaje se puede utilizar como controlador PI (eliminando la resistencia R2)o como controlador PD (eliminando el condensador C2).

2.3 Metodos de diseno basados en el lugar de las

raıces

El metodo de diseno basado en el lugar de las raıces suele tambien denominarse deasignacion de polos. Consiste en asignar al controlador uno o varios polos y ceros,previamente determinados por las especificaciones que ha de cumplir el sistema.Estos polos y ceros del controlador pueden servir, en ocasiones, para eliminar ciertospolos o ceros indeseados del sistema (cancelacion de polos).

Antes de proceder al estudio de algunos ejemplos de diseno de controladoresveamos que efecto produce la adicion de un polo o de un cero sobre el lugar de lasraıces. Sea un sistema cuya funcion de transferencia en lazo abierto es:

G(s) =1

s2(2.15)

Se trata de un sistema marginalmente estable para cualquier valor de la gananciaK, ya que su lugar de las raıces es el eje imaginario (Figura 2.10). Veamos el efectoque produce la adicion de un cero en (−2.5, 0). La funcion de transferencia en lazoabierto es ahora

G(s) =s + 2.5

s2(2.16)

El lugar de las raıces se ha representado en la figura 2.11. Se puede observar quela adicion de un cero produce un efecto parecido a como si este “tirase” del lugargeometrico hacia sı, estabilizando el sistema y generando en este caso una circunfe-rencia como parte del lugar. Veamos ahora el efecto de anadir un polo en (−2, 0).La funcion de transferencia en lazo abierto vale ahora,

G(s) =1

s2(s + 2)(2.17)

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42 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Figura 2.10: Lugar de las raıces de G(s)H(s) = 1/s2

Figura 2.11: Lugar de las raıces de G(s)H(s) = (s + 2.5)/s2

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2.3. METODOS DE DISENO BASADOS EN EL LUGAR DE LAS RAICES 43

Figura 2.12: Lugar de las raıces de G(s)H(s) = 1/[(s2)(s + 2)]

El lugar geometrico de las raıces correspondiente se ha representado en la figura 2.12.Puede observarse en el mismo que es como si el polo s = −2 anadido parece comosi empujara al lugar, deformandolo y generando una rama de hiperbola. Produce,por tanto, un efecto desestabilizador en el sistema.

Vistos los efectos de la adicion de un polo y de un cero a la funcion de transfe-rencia, vamos a considerar algunos ejemplos de diseno del controlador en un sistemade regulacion, conociendo ciertas especificaciones de funcionamiento.

2.3.1 Diseno de una red de adelanto de fase

Un controlador de adelanto de fase tiene por funcion de transferencia:

Gc = Kcs− zc

s− pc

, |zc| < |pc| (2.18)

El diseno consiste en asignar unos valores a los parametros del controlador, tales queel lugar geometrico pase por un punto dado, definido a partir de las especificacionesde funcionamiento. Vamos a considerar el mismo ejemplo anterior en el que lafuncion de transferencia en lazo abierto vale

G(s)H(s) =1

s2(2.19)

Supongamos que las especificaciones de funcionamiento exigen un tiempo de es-tablecimiento Ts de 4s y una sobreoscilacion maxima inferior al 20%. El tiempode establecimiento suele considerarse igual a 4 veces la constante de tiempo τ delsistema (ε < 2%), con lo que

Ts = 4τ =4

ξωn

(2.20)

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44 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Por otra parte la sobreoscilacion maxima esta relacionada con el coeficiente de amor-tiguamiento. Puede probarse que una sobreoscilacion del 20% corresponde a uncoeficiente de amortiguamiento ξ = 0.45. Por lo tanto, sustituyendo este valor en laexpresion anterior queda

4 =4

0.45ωn

, ωn = 2.22 (2.21)

Por tanto, la raız correspondiente a las especificaciones propuestas es:

s = −ξωn ± ωn

√1− ξ2 = −1± 2j (2.22)

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

θ 90º116.56º

Raíz deseada

p

Figura 2.13: Lugar de las raıces de G(s)H(s) = 1/[(s2)(s + 2)]

Para que el lugar de las raıces pase por este punto hemos de situar el polo y elcero del controlador de adelanto de fase. Primero situamos el cero del controladoren el punto s = −1, es decir, justo bajo la raız (−1± 2j), antes hallada, por la queha de pasar el lugar. Aplicando el criterio del argumento, hallamos la ubicacion delpolo del controlador (figura 2.13):

90o − 2(116.56o)− θp = −180o θp = 38o

Se deduce que el polo ha de ser pc = −3.6. La funcion de transferencia del contro-lador es

Gc = Kcs + 1

s + 3.6

El parametro Kc se determina aplicando la condicion de modulo del lugar del lasraıces en el punto s = −1 + 2j, que da un valor de Kc = 8.1. El sistema de controlresultante se ha representado en la figura 2.14 y el lugar de las raıces correspondiente,en la figura 2.15.

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2.3. METODOS DE DISENO BASADOS EN EL LUGAR DE LAS RAICES 45

Gc Gp

H

R(s) Y(s)ε8.1

s+3.6

s+1 1

s2

1

Figura 2.14: Ubicacion del cero y del polo del controlador PID

2.3.2 Diseno de un controlador PID

Vamos a suponer que deseamos controlar la misma planta anterior, con funcion detransferencia Gp(s) = 1/s2, mediante un controlador PID. Este tipo de control noes el mas idoneo en este caso, ya que la propia planta realiza una doble integracion;se utiliza aquı para poder comparar con los resultados obtenidos anteriormente. Lasespecificaciones son las mismas que en el ejemplo anterior y por tanto el lugar de lasraıces ha de pasar por el punto (−1±2j). La funcion de transferencia del controladores ahora

Gc = Kp(1 +1

sTi

+ sTd) = Kps2TdTi + sTi + 1

sTi

Un sencillo metodo de diseno consiste en suponer que los ceros z1 y z2 del controladorPID son reales. Ubicamos el cero z1 bajo la raız deseada y, aplicando la condicionde angulo, determinamos el otro cero (figura 2.16).

Condicion de angulo:

90o + θz2 − 3(116.56o) = −180o, θz2 = 3(116.56)− 180o − 90o = 79.69oo

y, por tanto, z2 = −1.36. El lugar de las raıces del sistema compensado se harepresentado en la figura 2.16.

Conocidos los valores de z1 y z2 podemos hallar las constantes Td, Ti y Kp delcontrolador PID, identificando su funcion de transferencia con la obtenida.

Kps2TdTi + sTi + 1

sti=

s2 + 2.36s + 1.36

s

de donde resulta

Ti = 2.36/1.36 = 1.73s Td = 1/2.36 = 0.42s

La constante Kp, hallada mediante la condicion de angulo, resulta ser Kp = 2.8.El lugar de las raıces correspondiente se ha representado en la figura 2.17.

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46 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Figura 2.15: Lugar de las raıces de G(s)H(s) = (s + 1)/[(s2)(s + 3.6)]

2.4 Diseno en el Lugar de las Raıces

El diseno en el Lugar de las raıces esta indicado en el caso en que se pretendaque el sistema controlado tenga un par de polos complejos dominantes y que lasespecificaciones de funcionamiento vengan dadas para ese par de polos. Recordemosque en el sistema de 2o orden, si nos dan como especificaciones la sobreoscilacionmaxima Mp y el tiempo de pico tp, podemos hallar el par de polos asociado a lasmismas, ya que de

Mp = e−ζπ√1−ζ2

podemos despejar ζ y a continuacion, de

tp =π

ωn

√1− ζ2

podemos hallar ωn.Si el sistema controlado ha de tener polos dominantes reales, es decir, una res-

puesta temporal monotona, no es aplicable este metodo. No obstante, es casi siempredeseable una respuesta oscilante puesto que ello ayuda a contrarrestar el efecto delas posibles no linealidades.

Como los controladores utilizados, controlador de adelanto-retraso y PID, tienendos grados de libertad, es posible ubicar solo dos polos del sistema en lazo cerrado.La posicion del resto de los polos queda fuera de control, y bien puede suceder, enplantas de orden elevado, que los polos ubicados por diseno no sean efectivamentelos dominantes.

La desventaja del metodo del lugar de las raıces es que la informacion disponiblepara el disenador disminuye conforme aumenta el numero de ramas. En estos casos

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 47

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

θ 90º116.56º

Raíz deseada

z2

Figura 2.16: Ubicacion de los ceros y polos del PID

la alternativa puede ser trabajar con modelos de orden reducido o bien utilizarmetodos de diseno en el dominio de la frecuencia.

2.4.1 Compensador de adelanto de fase

La funcion de transferencia del controlador de adelanto de fase es

Gc (s) = Kcs + zc

s + pc

, zc > pc , zc > 0 , pz > 0

Su diseno consiste en determinar las constantes Kc, zc, zc para que el sistema enlazo cerrado cumpla con las especificaciones exigidas. En terminos del lugar de lasraıces esto significa que el lugar ha de pasar por el par de puntos conjugados (polosdominantes deseados) del plano complejo, calculados a partir de las especificaciones.

El primer paso es, por tanto, hallar el par de polos dominantes a partir de lasespecificaciones. Supongamos que el resultado es pd = σd + jωd y pd = σd − jωd.Una vez hallados, hemos de comprobar que no pertenecen al lugar de las raıcesdel sistema original (sin compensador) ya que caso afirmativo el diseno consistirıasimplemente en hallar el valor de la ganancia K correspondiente al punto del lugarde las raıces pd = σd + jωd.

El efecto de un compensador de adelanto de fase es desplazar el punto σc deinterseccion de las asıntotas, a lo largo del eje real y hacia el semiplano izquierdo(SPI), una distancia

∆σc =pc − zc

np − nz

en donde np y nz son, respectivamente, los numeros de polos y ceros en lazo abierto,incluidos los del controlador. Esto se deduce de la formula que da el centroide delas asıntotas:

σc =

∑i pi −

∑j zj

m− n, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m

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48 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Figura 2.17: Lugar de las raıces de G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2.36)/s3

en donde pi son los polos y zj los ceros.Como resultado, las ramas del lugar se “doblan” hacia el SPI (Figura 2.18).Entonces, un simple ajuste de la ganancia puede ser suficiente para obtener polos

con mejor amortiguamiento.La condicion que vamos a utilizar para disenar el compensador es que el lugar

de las raıces ha de pasar por el polo dominante pd = σd + jωd calculado a partir delas especificaciones. Por supuesto que el lugar, por ser simetrico, pasara entoncestambien por pd. Si pd es un punto del lugar de las raıces, ha de cumplir la condicionargumento. Es decir, en el punto pd del plano complejo, la fase de la funcion detransferencia en lazo abierto ha de ser multiplo impar de π:

∠Gc(pd) + ∠Gp(pd) = (2k + 1)π k = 0, 1, 2, . . .

Haciendo ∠Gc(pd) = ϕc resulta

ϕc = (2k + 1)π − ∠Gc(pd) (2.23)

para algun K = 0, 1, 2, ...La fase ϕc del controlador en pd puede relacionarse graficamente en el plano s

con los parametros pz y zc del controlador (figura 2.19).

ϕc = β − α

Una vez calculada la fase ϕc que debe tener el controlador en pd, hay un numeroinfinito de posibles α = ∠pc y β = ∠zc que verifican ϕc = α− β. En la practica, lohabitual es fijar uno de los dos parametros, pc o zc, y calcular el otro a partir de lacondicion de angulo.

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 49

p2

∆σc

p1σc

Im

cσ’ Re

Figura 2.18: Lugar de las Raıces sin y con compensador

pd

pd

p

α β

ϕ

z

c

c cRe

Im

Figura 2.19: Fase del controlador en pd

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50 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Ejemplo de diseno. Compensador en serie

-U(s) m+ -E(s)Kc

s + zc

s + pc

- m+ -500

s(s + 1)-Y (s)r

6−

?

D(s)

Figura 2.20: Controlador a disenar

Vamos a disenar el controlador de adelanto de fase de la figura 2.20, en el que

Gp(s) =500

s(s + 1)

y con unas especificaciones de ζ = 0.65 y ωn = 50. En este ejercicio y en lossiguientes se ha utilizado el programa Maple para efectuar los calculos.

En primer lugar hemos de obtener el par de polos dominantes (pd, pd), por el queha de pasar el lugar de las raıces, a partir de las especificaciones. En este caso esmuy sencillo:

pd = −ζωn + ωn

√1− ζ2 = −32.5 + 38j

pd = conj(pd) = −32.5− 38j

Antes de proceder al diseno hemos de comprobar que el punto pd (o pd) no estaen el lugar de las raıces del sistema sin compensar. Para ello realizamos su trazado,que se ha representado en la figura 2.21.

Una ver comprobado que pd queda fuera del lugar, calculamos el argumento queha de tener el controlador en pd, aplicando la formula (2.23). Para ello hallamosprimero ∠Gp(pd):

∠Gp(pd) = arg

[500

s(s + 1)

]s=−32.5+38j

= −260o

y, a continuacion ϕc:

ϕc = (2k + 1)π − ∠Gp(pd) = (2k + 1)π + 260o

Para k = −1 obtenemosϕc = −180o + 260o = 80o

que es la fase buscada. Notese que para otros valores de k se obtienen valores de ϕc

iguales al hallado mas 360o k.Hallada es la fase ϕc del controlador en pd, el problema es encontrar las posiciones

del cero zc y del polo pc del controlador de forma que la diferencia β − α de losargumentos de los vectores −−→zcpd y −−→pcpd sea igual a ϕc (figura 2.22).

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 51

Re

Im

0-0.5-1

Figura 2.21: Lugar de las Raıces sin compensador

ϕc

pd

pcRe

Im

αβ

-32.5 -1

38

Figura 2.22: Cancelacion del polo en (−1 + 0j) con zc

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52 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Una buena solucion, al menos a primera vista, es colocar el cero del controladoren el punto (−1+0j), cancelando un polo de la planta (figura 2.22). Ası se simplificala funcion de transferencia Y (s)/U(s).

Procediendo de este modo, para obtener el parametro pc del controlador, halla-mos el valor del angulo α.

β − α = ϕc ⇒ α = 130o − 80o = 50o

con lo que pc valepc = 32.5 + 38/ tan 50o = 64

Por ultimo, el valor de Kc lo podemos hallar aplicando la condicion de magnitud enel punto pd : ∣∣∣∣Kc

s + zc

s + pc

Gp (pd)

∣∣∣∣ = 1

de donde resulta Kc = 4.93.El diseno ha concluido: el sistema definido por la funcion de transferencia

consigna-salida G1(s) = Y (s)/U(s), que con los valores hallados queda

G1(s) = 500Kc

s2 + pc s + 500Kc

tiene un par de polos (dominantes) en (pd, pd), de acuerdo con las especificaciones.Sin embargo, no ocurre lo mismo para la funcion de transferencia perturbacion-

salida G2(s) = Y (s)/D(s) ya que en esta el polo en (−1 + 0j) no se ha cancelado:

G2(s) = 500s + pc

( s + 1 ) ( s2 + pc s + 500Kc )

De aquı que el modo e−t, “cancelado”, aparecera en la respuesta a una perturbacionde carga d(t). Por tanto, el procedimiento utilizado de cancelacion de un polo de laplanta no debe ser utilizado en la practica, si se desea una verdadera mejora de larapidez.

2.4.2 Consideraciones de diseno

En vista del resultado del ejercicio anterior podemos pensar que el diseno dependerade la configuracion de las entradas y salidas del sistema de control. Ello nos llevarıaa un tipo de diseno caso por caso.

No obstante, algunas configuraciones son frecuentes en la practica por lo que con-viene analizar con detalle los problemas asociados con ellas. El esquema de controlde la figura 2.23, denominado compensacion en serie, es frecuente, por ejemplo, en elcontrol de motores y de otros procesos. La entrada d1 representa una perturbacionen la carga, d2 representa una perturbacion en la salida y d3, una perturbacion oruido en la medida. No se ha considerado (H(s) = 1) la dinamica del transductor.Nc, Dc, Np y Dp son los polinomios, numerador y denominador, del controlador yde la planta, respectivamente.

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 53

-u m+ -εKc

- Nc

Dc

-m m+ -Np

Dp

- m+ -yr

�m+6−

?

d1

?

d2

6

d3

Figura 2.23: Esquema de control en serie.

Para empezar, nos interesa hallar las funciones de transferencia

Y

U=

Kc Nc Np

D,

E

U=

Dc Dp

D,

M

U=

Kc Nc Dp

D

que relacionan la salida y, el error e y el esfuerzo de control m con la entrada u.Tambien interesan

Y

D1

=Np Dc

D,

E

D1

= − Y

D1

,M

D1

= −Y

U

que relacionan la salida y, el error e y el esfuerzo de control m con la perturbaciond1, y asimismo,

Y

D3

=M

D1

,M

D3

= −M

U

en donde D = Dc Dp + KNc Np

A partir de estas expresiones podemos deducir ciertas propiedades interesantesde este esquema de control.

• Si Nc y Dp tienen ceros en comun, estos se cancelan en las funciones detransferencia Y/U y M/U , ya que entonces son ceros del polinomio D =Dc Dp + KNc Np, pero no se cancelan en las Y/D1 y E/D1, y por ello lacancelacion polo-cero no es recomendable.

• Cuando el sistema en lazo cerrado es mucho mas rapido que la planta lavariable manipulada m puede tomar valores muy grandes. La idea intuitiva deque para conseguir una respuesta mas rapida el controlador ha de actuar conmas energıa se confirma matematicamente puesto que los polos lentos de laplanta (ceros del polinomio Dp) son ceros en la funcion de transferencia M/U ,y es sabido que un cero lento visto desde los polos (proximo relativamente aleje imaginario) produce una sobreoscilacion elevada.

• Si la planta tiene un cero en el SPD y el sistema en lazo cerrado es estable, larespuesta y(t) a un escalon siempre comienza con una suboscilacion, es decir,arranca en sentido opuesto al de la entrada u(t). Esto es ası porque, en lapractica, el cero en el SPD no va a poder ser cancelado, y los sistemas conceros en el SPD muestran ese comportamiento.

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54 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

• Si la planta tiene un polo en el SPD y el sistema en lazo cerrado es estable,la respuesta y(t) arranca en el mismo sentido que u(t) (tiene sobreoscilacion).En efecto, el polo de la planta en el SPD, segun hemos visto, no va a poderser cancelado. Entonces, dicho polo se convierte en un cero para la funcionde transferencia E/U , y en consecuencia e(t) tendra suboscilacion. ComoE = U − Y y U = 1 (escalon unitario), una suboscilacion en E inducira unasobreoscilacion en Y .

2.4.3 Re-diseno. Compensador en serie

Considerando estas propiedades, vamos a retomar el problema de diseno que anteshemos efectuado.

En primer lugar, no es posible, en la practica, cancelar el polo s = −1 de laplanta, como habıamos hecho; hemos de elegir otra ubicacion para el cero zc delcontrolador. Como el cero zc del controlador es tambien un cero para la funcionde transferencia Y/U , la experiencia demuestra que una eleccion adecuada es to-mar zc = |pd|. De esta manera la sobreoscilacion Mp del sistema en lazo cerradose aproximara bastante a la del sistema de segundo orden (deseado), definido porlas especificaciones. Valores mayores de zc, aunque disminuirıan la sobreoscilacionmaxima, reducirıan la contribucion de argumento ϕc del controlador.

Por tanto elegimos zc = |pd| = 50, procediendo a calcular ϕd. Pero si realizamosla representacion grafica de la figura 2.19 vemos que esta eleccion no es posible,porque el maximo angulo ϕc que se puede obtener con pd = −32.5+38j y pc = −50 esde unos 65o, y necesitamos 80o. Por ello nos vemos obligados a elegir otra ubicacionpara zc mas hacia la derecha, si bien sabemos que ası obtendremos un sobreimpulsomayor que el exigido.

Con zc = 25, para ϕc = 80o, obtenemos

pc = −130.6

Con lo que la funcion de transferencia del controlador queda

Gc = Kcs + 25

s + 130

El valor de Kc en pd, obtenido a partir del lugar de la condicion de modulo es Kc =.Puede comprobarse que la respuesta a una entrada u(t) escalon acusa una so-

breoscilacion mayor que la permitida por las especificaciones.

2.4.4 Compensador en realimentacion

Una posible solucion al problema anterior es colocar el compensador de adelanto enel lazo de realimentacion en lugar de en serie con la planta. El esquema del controlse indica en la figura 2.24

Calculemos las funciones de transferencia asociadas a este esquema:

Y

U=

Kc Np Df

D,

M

U=

Kc Df Dp

D

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 55

-u m+ -εKc

-m m+ -Np

Dp

- m+ -yr

�m+�Nf

Df

6−

?

d1

?

d2

6

d3

Figura 2.24: Esquema de control en feedback.

relacionan la salida y y esfuerzo de control m con la entrada u;

Y

D1

=Np Df

D,

M

D1

= −KcNp Nf

D

relacionan la salida y y el esfuerzo de control m con la perturbacion d1;

Y

D3

=M

D1

,M

D3

= −KcNf Dp

D

en donde D = Df Dp + KNf Np.

El error para entrada rampa vale

er(s) =1

s2

(1− Y (s)

U(s)

)=

1

s2

Kc Np Nf + Df Dp −Kc Df Np

Df Dp + Kp Nf Np

Los factores comunes (si los hay) de Nf y Dp, que en el controlador serie secancelaban, son polos de Y/U y de Y/D1, y no se cancelan.

Si comparamos las expresiones Y/U y M/U con las halladas antes para el es-quema con controlador en serie, vemos una importante diferencia: Nc ha sido reem-plazado por Df . Esto quiere decir que en el esquema de control con compensadoren feedback, los polos del compensador se convierten en ceros en las funciones detransferencia en lazo cerrado Y/R y M/R. Esto tiene un efecto beneficioso pues elsobreimpulso maximo se reducira, ya que, por ser un compensador de adelanto defase, pc > zc (el efecto serıa perjudicial si el compensador fuera de retraso).

Pero esto significa que tenemos mayor libertad para escoger zp: podemos darleun valor menor que |pd| sin que aumente el sobreimpulso.

Como conclusion se puede decir que, siempre que sea posible, el compensadordebe colocarse en el lazo de realimentacion.

Hay aun otro inconveniente. El cero del compensador permanece como cero enla funcion de transferencia Y/D3, en ambas configuraciones de serie y feedback.Debido a ello el sistema en lazo cerrado sera muy sensible al ruido D3 en la medidasi los polos en lazo cerrado se han desplazado mucho hacia la izquierda en el SPI.

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56 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

2.4.5 Compensador de retraso de fase en serie

Su funcion de transferencia es

Gc (s) =s + zc

s + pc

,

igual que la del de adelanto de fase, pero con zz > pc > 0. Por ser su gananciaestatica mayor que uno, las constantes de error del sistema quedaran multiplicadaspor el factor zz/pc, por estar en serie con la planta. El diseno de este controladorconsiste en encontrar zc y pc que satisfagan una relacion dada.

Sea, como antes, pd el polo dominante deseado. Puesto que para una relaciondada de |zc|/|pc|, la contribucion de angulo ϕc del controlador en pd disminuye con|zc|, debemos seleccionar zc lo mas pequeno posible para que este compensador tengapoco efecto sobre la respuesta transitoria. Por tanto colocaremos zc proximo a lospolos dominantes.

El efecto del compensador de retraso en el lugar de las raıces es “doblar” el lugarhacia el SPD, desplazando el punto σc la misma distancia que el controlador deadelanto pero hacia la derecha.

2.4.6 Maxima fase de un controlador de adelanto

La funcion de transferencia de un controlador de adelanto es

G( s ) =s + z

s + p

Como se ve en la figura 2.25, la fase de este controlador es ϕc = β−α, con p > z > 0.

Su maxima contribucion de fase ϕmax depende solo de α = z/p como puedeverse en su diagrama de Nyquist, en la figura 2.26. Su trazado con Maple paraz = 1, p = 3 se puede hacer con:

G :=I w + z

I w + p

> z:=1:p:=3:

> plot([Re(G),Im(G),w=0..200],0..1.1);

Nos interesa hallar el valor maximo de ϕc y la frecuencia ωm en la que se produce.Ponemos α y β en funcion de ω, z y a, con a = z/p.

ϕc := arctan(ω

z

)− arctan

(ω a

z

)La derivada de esta funcion con respecto a ω se obtiene con

> p1:=diff(phi_c,omega);

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 57

pd

pd

p

α β

ϕ

z

c

c cRe

Im

Figura 2.25: Fase ϕc del controlador.

ϕmax

α1 +2

ω = 0 ω = oο

α 1

Im

Re

Figura 2.26: Fase maxima ϕmax.

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58 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

p1 :=1

z

(1 +

ω2

z2

) − a

z

(1 +

ω2 a2

z2

)Para hallar el maximo hemos de resolver la ecuacion ϕ′c(ω) = 0:

> wm1:=solve(diff(phi,omega)=0,omega);

wm1 :=(−1 + a ) z

√a

−a2 + a,− (−1 + a ) z

√a

−a2 + a

Simplificando esta expresion obtenemos la pulsacion correspondiente a ϕmax:

> wm:=normal(wm1[2]);

wm :=z√a

Sustituyendo wm en la expresion de φc queda

> fimax := subs(omega=wm,phi);

ϕmax := arctan

(1√a

)− arctan

(√a)

El seno de esta expresion es

> sfm1:=expand(sin(fimax));

sfm1 :=1

√a

√1 +

1

a

√1 + a

−√

a√1 +

1

a

√1 + a

que puede simplificarse con

> sfm:=radsimp(sfm1);

sfm := − −1 + a

1 + a

es decir que

sin(ϕmax) =1− a

1 + a

Estas formulas son utiles para disenar controladores de adelanto de fase.

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2.4. DISENO EN EL LUGAR DE LAS RAICES 59

Ejemplo.

Se desea controlar un sistema dinamico cuya planta tiene por funcion de transferen-cia

Gp (s) =500

s(s + 1)

mediante un controlador de adelanto de fase, de forma que el sistema resultante tengauna frecuencia de cruce ωc = 35 rad/s y un margen de fase de 65o. Resolucion

En el trazado de Bode vemos que para ω = 35 el sistema tiene un margen de fase

de −(−180 + 178.4) = 1.6o (casi cero) y un margen de ganancia muy pequeno, casi0dB. Para conseguir las especificaciones deseadas hemos de poner un compensador.

El compensador tiene que aportar, en ω = 35 rad/s, una fase ϕc = 65o y unaganancia Kc tal que el margen de ganancia resultante sea de 8dB. De la ecuacion

sin(ϕmax) =1− a

1 + a

podemos hallar a, ya que conocemos ϕmax, que en radianes vale

> phi_max:=65*Pi/180;

ϕmax :=13

36π

Para hallar a hacemos

> a11:=solve(sfm=sin(phi_max),a);

a11 := − 36− 13 π

−36− 13 π

y obtenemos tambien su valor numerico

> a:=-evalf(a11);

a := .04914852341

Por otro lado, como sabemos que la pulsacion ωm correspondiente a la maximafase ϕmax es

ωm :=z√a

poniendo ωm = 35, podemos hallar zc.

> zc := 35 * sqrt(a);

zc := 7.759313191

y tambien pc:

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60 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

> pc:=zc/a;

pc := 157.8747977

Una vez hallados pc y zc, lo unico que queda es hallar Kc. Para ello aplicamosla condicion de que el margen de ganancia ha de ser de 8dB para ω = 35 rad/s.Hallamos primero la ganancia en decibelios para ω = 35 y para los valores de zc ypc hallados, en funcion de Kc

> Gdb35:=evalf(20*log10(Kc*abs(subs(w=35,p=pc,z=zc,G))));

Gdb35 := 20. log10( .2216946625 Kc )

y resolvemos la ecuacion Gdb35(Kc) = 8 en Kc.

> solve(Gdb35=8,Kc);

El valor que se obtiene esKc = 11.33038749

Finalizado el diseno, podemos representar el diagrama de Bode del sistema com-pensado para verificar que cumple con las especificaciones y, si fuera preciso, realizarlos ultimos ajustes de los parametros del controlador por tanteo y mediante simula-cion.

2.5 Diseno en la respuesta de frecuencia

La respuesta de frecuencia de un sistema dinamico es una representacion no pa-rametrica (numero infinito de parametros), ya que viene dada en forma de curvascontinuas, en contraste con los modelos parametricos de funcion de transferencia yde estados. Una de las ventajas que tiene es que no esta influida por el orden delsistema. Recordemos que informacion neta que proporciona el lugar de las raıcesal disenador va disminuyendo gradualmente a medida que aumenta el numero deramas, que es igual al orden del sistema. Por otro lado el empleo de escalas lo-garıtmicas hacen que el rango bajo de frecuencias resulte expandido y entonces loserrores absolutos del diagrama de Bode corresponden a errores absolutos en esca-la lineal. El dominio de la frecuencia esta especialmente indicado para incluir lasimperfecciones de modelado por lo que se emplea en diseno robusto.

Al ser una representacion de dimension infinita no podemos esperar que hayaformulas explıcitas que relacionen la respuesta de frecuencia con los parametroscaracterısticos de la respuesta temporal, o viceversa, incluso aunque se conocierael orden del sistema. Por ello, el adquirir destreza de diseno en el dominio de lafrecuencia precisa de una considerablemente mayor experiencia que para hacerlo encualquiera de sus dos alternativas parametricas, lugar de las raıces o espacio deestado.

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2.5. DISENO EN LA RESPUESTA DE FRECUENCIA 61

2.5.1 El problema del diseno de feedback

El analisis en el dominio de la frecuencia de los sistemas de segundo orden muestraque la realimentacion negativa tiene como ventajas el aumento del ancho de banda,la disminucion de la sensibilidad del sistema a las variaciones de los parametros yla obtencion de una funcion de transferencia de modulo unidad (con realimenta-cion unitaria) en el rango de frecuencias en el que la ganancia en lazo abierto essuficientemente alta.

-u m+ -εKc

- Nc

Dc

-m m+ -Np

Dp

- m+ -yr

�m+6−

?

d1

?

d2

6

d3

Figura 2.27: Esquema de control en serie.

Supongamos el sistema de control con realimentacion representado en la figura2.27. La expresion de la salida Y (s) es

Y =Gc Gp

1 + Gc Gp

(U −D3) +1

1 + Gc Gp

D2 +Gp

1 + Gc Gp

D1 (2.24)

y la del error E(s),

E =1

1 + Gc Gp

(U −D2) +Gc Gp

1 + Gc Gp

D3 −Gp

1 + Gc Gp

D1 (2.25)

Las ecuaciones (2.24) y (2.25) nos dan a entender que la tarea del diseno, condi-cionado siempre a ciertas restricciones y con el objetivo de cumplir determinadosrequisitos de funcionamiento, no parece sencilla. Por ejemplo, uno de estos requi-sitos demanda la reduccion de los errores debidos a la entrada de referencia u y ala perturbacion d2, mientras que otro pide la reduccion del error producido por elruido en la medida d3.

El conflicto entre estos dos objetivos de diseno es evidente: si en la ecuacion(2.25) hacemos |Gc Gp| elevado en un amplio margen de frecuencia, para reducir loserrores asociados con u y d2, resulta de (2.24) que entonces y ' r − d3, con lo queel ruido en la medida d3 pasa directamente a la salida.

Una frecuente restriccion es que esfuerzo de control, o variable manipulada m,no pueda tomar valores superiores a ciertos lımites (para los que alcanzarıa la satu-racion). En efecto, la expresion de la variable manipulada es

m =Gc

1 + Gc Gp

(U −D2 −D3)−Gc Gp

1 + Gc Gp

D1

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62 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

Si hacemos |Gc Gp| � 1 siendo |Gp| pequena, es decir, aumentamos la ganancia enlazo abierto a costa solo del controlador, queda

m =1

Gp

(U −D2 −D3)

Que el controlador emita esta fuerte respuesta, ante las entradas U (de referencia) yD2 (perturbacion en salida), puede parecer logico. No ası, sin embargo, que tambienlo haga ante el ruido en la medida D3. Por ello la ganancia de lazo no debe hacersealta en un intervalo arbitrario de frecuencias.

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�����������������������������������

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20 log M

Requisitos defuncionamiento(Rango Activo)

Figura 2.28: Zonas permitidas en la respuesta de frecuencia.

De acuerdo con estas ideas, podemos pensar en dar a la ganancia de lazo unadeterminada forma, tratando de satisfacer las exigencias impuestas (figura 2.28).Sera conveniente por ello:

• Dar un valor alto a la ganancia en lazo abierto M = |Gc Gp| en el rango activode frecuencia, para alcanzar un adecuado funcionamiento en esa zona.

• Dar a M una gran atenuacion en el intervalo de frecuencia en el que el ruidoes importante

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2.6. DISENO EN EL ESPACIO DE ESTADO 63

• Entre estas dos zonas, dar a M una atenuacion en pronunciado descenso paraconseguir que la anchura de banda sea amplia.

Pero aquı ocurre un problema: el aumento en la pendiente de atenuacion de lacurva M hace reducir el margen fase.

Otra importante restriccion de diseno es la tolerancia a imprecisiones de modela-do. El analisis revela que para conservar la estabilidad en lazo cerrado se necesita unmodelo preciso en lazo abierto en un rango de frecuencia alrededor de la frecuenciade cruce. Mas concretamente, cuanto menor sea el valor de |1 + G(jω)|, ω ∈ (0,∞),mayor precision se necesita en el modelado. En efecto, la expresion

STG =

1

1 + G

es la sensibilidad de la funcion T = G/(1 + G) respecto del parametro G.

En la practica nos encontramos con que las imprecisiones en el modelado de laplanta aumentan con la frecuencia, debido sobre todo a la existencia de dinamicas nomodeladas como retardos de tiempo, resonancias mecanicas, polos de alta frecuencia,etc. Por ello la ganancia a alta frecuencia debe ser pequena para mantener el sistemaestable. En particular, esto significa que la compensacion puede aumentar la anchurade banda (BW) del sistema solo si el modelo continua siendo relativamente precisoen BW. Si intentaramos ensanchar BW sobre la region en que las incertidumbres demodelado son elevadas, ello conducirıa a un funcionamiento indeseable, o incluso ala inestabilidad.

2.6 Diseno en el Espacio de Estado

Los metodos basados en el Lugar Geometrico de las Raıces y en la Respuesta deFrecuencia, propios del modelo de funcion de transferencia, se basan en la realimen-tacion de la variable salida y, por lo comun, en la utilizacion de controladores con unreducido numero de parametros de diseno: controladores PID y de adelanto-retrasode fase. El numero de polos en lazo cerrado que podemos ubicar por diseno conestos controladores es de dos.

Con estos metodos, el diseno de compensadores para ubicar mas de dos polosresulta complicado debido en gran parte a la dificultad de relacionar los parametrosdel controlador con las especificaciones deseadas.

Utilizando el modelo de estado, en cambio, es posible realimentar el vector deestado en lugar de la salida, disponiendo de informacion suficiente, como vamos aver, para cambiar la posicion de todos los polos del sistema a otras nuevas posicionesprefijadas a voluntad.

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64 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

2.6.1 Asignacion de polos

Sea un sistema dinamico cuyo modelo de estado esta en forma canonica controlable.

x =

0 1

. . .

1−an −an−1 . . . −a1

x +

0...01

u

y = Cx

en donde x ∈ Rn, u, y ∈ R, A ∈ Rn×nB ∈ Rn×1, C ∈ R1×n El polinomio caracterısticoesta definido por la ultima fila de la matriz A

det(sI − A) = sn + a1sn−1 + . . . + an−1s + an

Sean λ1, λ2, . . . , λn los valores propios de A y supongamos que deseamos obtenerun nuevo sistema, mediante feedback de estado, que tenga como polinomio carac-terıstico

α(s) = sn + α1sn−1 + . . . + αn−1s + αn

con raıces µ1, µ2, . . . , µn.Definiendo una nueva entrada v, de forma que ahora la entrada a la planta sea

v −Kx, siendoK =

[k1 k2 . . . kn

]las ecuaciones de estado se transforman en

x = (A−BK)x + Bv

y = Cx

Si damos a K el valor

K =[

αn − an αn−1 − an−1 . . . α1 − a1

]entonces el determinante de [sI − (A−BK)] es α(s) puesto que

BK =

0 0 . . . 0...

k1 k2 . . . kn

Esta es la forma mas sencilla de resolver el problema de asignacion de polos en elespacio de estado.

2.7 Sintonıa de controladores PID

Los controladores PID comerciales disponen de mandos externos para el ajuste delos parametros Kp, Ti y Td. Para su calculo teorico podemos aplicar cualquiera de los

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2.7. SINTONIA DE CONTROLADORES PID 65

procedimientos vistos antes, siempre y cuando conozcamos el modelo de la planta.Si no es ası, lo que suele hacerse es suponer para ella un modelo muy simple, ajustarempıricamente los parametros del PID en base a ese modelo y probar luego comofunciona el control en la realidad. Pero ¿como buscar un modelo simple de un plantadesconocida? La respuesta que a esta cuestion dieron Zeigler y Nichols esta basadaen la siguiente observacion: en la industria de control de procesos, “la mayorıa” delas plantas a controlar admiten como modelo externo la funcion no racional

G(s) =A e−Ts

s + aa ≥ 0. (2.26)

Bajo este supuesto, los metodos de ajuste constan de dos etapas:

1. Realizar un experimento para determinar los parametros A, a y T de la planta.

2. Calcular, con formulas apropiadas, los parametros Kp, Td y Ti del controladora partir de los parametros hallados.

Se han desarrollado dos metodos, llamados metodo de lazo abierto y metodo delazo cerrado.

Metodo de lazo abierto

Suponiendo que el modelo

G(s) =A e−Ts

s + a,

es valido para planta, este metodo consisten en aplicar un escalon unitario 1(t) ala planta y medir su respuesta temporal y(t) para, a partir de ella, calcular losparametros A, a y T de su supuesto modelo.

En el experimento hemos medido la respuesta al escalon y(t) de la planta (figura2.29).

Primero calcularemos T . Trazando la tangente a la curva y(t) en el punto demaxima pendiente y hallando su interseccion con el eje t, obtenemos el valor delretardo T del modelo G(s) de la planta. Si la planta real siguiera exactamente el

modelo supuesto G(s) = A e−Ts

s+a, la maxima pendiente de y(t) se darıa en el punto

de interseccion de la curva con el eje t. Pero, como no va a ser asi, lo que hemoshecho es una aproximacion que consiste en sustituir la parte baja de la curva por latangente de pendiente maxima.

Veamos ahora como se hallan a y A. Sabemos que el valor de la respuesta y0(t)a un escalon unitario de la planta con retardo nulo

G0(s) =A

s + a

en el instante τ = 1/a (constante de tiempo) es

y0(τ) = A(1− e−at)|t=1/a = A(1− e−1) = 0.632A.

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66 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

y t( )

T t

y t( )

0.632 A

t

Aa

t1

Figura 2.29: Calculo de T (izquierda), de a y de A (derecha)

Por tanto, la respuesta al escalon unitario de la planta con retardo T

G(s) =A e−Ts

s + a,

en el instante τ +T , valdra tambien y(τ +T ) = 0.632A. Asi que para determinar laconstante de tiempo τ trazamos una recta horizontal de ordenada igual a 0.632A,hallamos el punto de interseccion de la recta con la curva y(t) y entonces la verticalpor dicho punto marca el valor t1 = τ + T . Por tanto

τ = t1 − T = 1/a ⇒ a.

Por ser la entrada un escalon unitario, el valor final de la respuesta o valor en estadoestacionario es igual a la la ganancia estatica de la planta.

yss = limt→∞

y(t) =A

a

Por ello,

A = a yss

El valor

Rr = A/τ = aA

se llama tasa de reaccion reaction rate.

En el caso en que la constante a sea nula, aun es posible definir los valores de T(igual que antes) y de Rr que es igual a la pendiente maxima de la respuesta.

El principal inconveniente del metodo de lazo abierto es que el experimento quenos da la respuesta temporal de la planta exige controlar en lazo abierto la plantadurante un tiempo suficiente para que la respuesta llegue al estado estacionario yesto puede ser prohibitivo en ciertos procesos industriales en funcionamiento.

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2.7. SINTONIA DE CONTROLADORES PID 67

Metodo de lazo cerrado

Permite calcular los parametros del modelo G(s) de la planta haciendo un expe-rimento con el control PID en funcioonamiento, en lazo cerrado. El metodo es elsiguiente. Con el proceso en funcionamiento se ponen los parametros de PID conlos valores Td = 0 (o el valor mınimo posible), Ti = ∞ (o el valor maximo posible) yse va aumentando despacio la ganancia kp hasta el valor ku para el cual la respuestay(t) sea oscilante, con ciclos de amplitud mantenida, es decir, de aspecto sinusoidal.Entonces anotaremos los valores de Ku y del perıodo de oscilacion Tu.

Aunque este metodo es mas factible que el anterior, tambien puede resultar aveces problematico: hay procesos que no toleran oscilaciones mantenidas por muchotiempo y hay otros (muy lentos) que aunque las admitan, pueden exigir un tiempode experimento demasiado largo.

Hay otros metodos, tambien de lazo cerrado, que se basan en el funcionamientonormal del controlador para hacer los calculos y, ademas, si se ponen en modoautomatico son capaces de ponerse ellos mismos los valores mas adecuados a lascircustancias. Son los controladores inteligentes.

2.7.1 Ajuste de los parametros del PID

A partir de los valores empıricos T,Rr, obtenidos en lazo abierto, o de los valoresKu, Tu obtenidos en lazo cerrado, se pueden calcular los parametros Kp, Td y Ti delcontrolador de forma aproximada.

Entre los metodos que se han desarrollado para ello cabe destacar el de Ziegler–Nichols y el de Shinskey, que suponen suponen a = 0 en el modelo G(s) de la planta,y el de Cohen-Coon que supone a 6= 0.

Zeigler-Nichols Shinskey Zeigler-Nichols Cohen-CoonTipo (lazo cerrado) (lazo cerrado) (lazo abierto) (lazo abierto)P Kp 0.5Ku 0.5Ku

1RrT

τAT

(1 + T3τ

)

PI Kp 0.45Ku 0.5Ku0.9

RrTτ

AT(0.9 + 0.082 T

3τ)

Ti 0.833Ku 0.43Ku 0.33T T (3.33+0.3T/τ1+2.2T/τ

)

PID Kp 0.6Ku 0.5Ku1.2

RrTτ

AT(1.35 + 0.27T

τ)

Td 0.5Ku 0.34Ku 2T T (2.5+0.5T/τ1+0.6T/τ

)

Ti 0.125Ku 0.08Ku 0.5T T ( 0.371+0.2T/τ

)

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68 CAPITULO 2. DISENO DE CONTROLADORES

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Parte II

Control de procesos de eventosdiscretos

69

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Capıtulo 3

Sistemas booleanos

3.1 Dispositivos logicos

Ciertos dispositivos fısicos se construyen de forma que solo tienen dos posibles esta-dos de equilibrio los cuales, en cada caso, reciben nombres tıpicos que los identifican.En la tabla se indican algunos de ellos junto con los nombres de sus dos estados.

Dispositivo EstadosMecanico sı / noInterruptor electrico abierto / cerradoValvula abierta / cerradaTransistor saturacion / corte

Estos y otros dispositivos permiten construir otros aparatos mas complejos quese llaman automatismos. Sus modelos son los sistemas digitales y pueden ser de dosclases:

• Sistemas combinacionales

• Sistemas secuenciales

0 1

Figura 3.1: Dispositivo mecanico de dos estados estables.

71

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72 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

En un sistema de control, tanto las entradas como las salidas pueden tomar,en general, valores reales cualesquiera. Pues bien, en los automatismos y sistemasdigitales cada una de dichas variables tiene dos valores fundamentales, llamados aveces niveles logicos “0” y “1”, que corresponden a estados de equilibrio del sistema.Esto no quiere decir que las entradas y salidas no puedan tomar otros valores sinoque, en el modelo solo vamos a considerar dichos valores, desechando el resto. Larazon para poder hacer esto es que los dispositivos biestables estan construidos detal manara que solo admiten dos posiciones de equilibrio estable y que el transitoentre ambos estados se realiza rapidamente.

Por ejemplo, una balanza con una pesa en uno de los dos platos es uno de estosdispositivos. Aunque la balanza puede tomar todas las posiciones intermedias, soloconsideramos dos: posicion “0” (balanza vencida hacia la izquierda) y posicion “1”(balanza vencida hacia la derecha). Al cambiar la pesa de plato el sistema cambiade estado y, si la pesa es suficientemente grande, el dicho cambio sera rapido.

Otro dispositivo bi-estable bien conocido es un interruptor de alumbrado domes-tico. La forma y la elasticidad del conductor 2 hacen que este sistema, de acciona-miento manual, tenga dos estados estables. En la figura de la izquierda los contactosdel interruptor estan unidos por la presion que el conductor elastico 2 hace sobreel 1 y el interruptor esta cerrado. En la figura de la derecha, tras girar la llave deencendido, se separan los contactos y el interruptor esta cerrado.

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

1

2

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

2

1

Figura 3.2: Interruptor domestico.

Los biestables electronicos son circuitos muy conocidos y utilizados. Son basicospara la construccion de otros circuitos electronicos mas complejos como por ejemplolas memorias RAM (figura 3.4).

La balanza, el interruptor domestico y el biestable electronico, son sistemas quepermanecen en el mismo estado por tiempo indefinido una vez que se dejan de aplicarsus correspondientes entradas. Por eso se dice que son sistemas con memoria. Porel contrario, hay otros sistemas, llamados sistemas sin memoria, que cuando lasentradas dejan de actuar, pasan a un estado llamado de reposo. Un ejemplo sencillode este tipo de sistemas es un pulsador electrico.

Ejercicio 3.1.1 Identificar la entrada, la salida y los estados de equilibrio de lossiguientes sistemas:

1. Sistema mecanico de la balanza de la figura 3.1.

2. Sistema del interruptor (figura 3.2).

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3.2. ALGEBRA DE BOOLE 73

������������������������������������������������������

������������������������������������������������������

1

2���

������

���

Figura 3.3: Pulsador

3. Biestable electronico de la figura 3.4. Explicar su funcionamiento.

4. Pulsador electrico de la figura 3.3. Explicar su funcionamiento.

Vcc

R

RR

1

1 EE

V V

RC C

B B

2

2

Figura 3.4: Circuito electronico biestable

3.2 Algebra de Boole

Un conjunto U en el que se han definido dos operaciones ⊕ y � tales que, para todoa, b, c ∈ U satisfacen las propiedades:

1. Idempotentes: a⊕ a = a� a = a

2. Conmutativas: a⊕ b = b⊕ a, a� b = b� a

3. Asociativas: a⊕ (b⊕ c) = (a⊕ b)⊕ c, a� (b� c) = (a� b)� c

4. Absorciones: a� (a⊕ b) = a⊕ (a� b) = a

se dice que (U,⊕,�) es un retıculo. Si ademas se cumplen las propiedades

5. Distributivas: a⊕ (b� c) = (a⊕ b)� (a⊕ c), a� (b⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)

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74 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

se dice que es un retıculo distributivo. Si ademas de estas cinco se cumplen tambienlas propiedades de

6. Cotas universales: ∃ 0, 1 ∈ U | 0� a = 0, 0⊕ a = a, 1� a = a, 1⊕ a = 1

7. Complemento: ∀a ∈ U ∃a ∈ U | a⊕ a = 1, a� a = 0

entonces se dice que (U,⊕,�, , 0, 1) es un algebra de Boole.

No es difıcil comprobar que el conjunto Z2 := {0, 1} dotado de las operaciones“suma logica” (OR) y “producto logico” (AND), dadas por las tablas de verdad

OR 0 1

0 0 11 1 1

AND 0 1

0 0 01 0 1

es un algebra de Boole.

3.2.1 Funciones booleanas

Si X e Y son dos conjuntos, sabemos que una funcion

f : X → Yx 7→ f(x)

definida en X (dominio) y con valores en Y es cualquier ley que hace correspondera cada elemento x ∈ X, un elemento bien definido (y solo uno) y ∈ Y . La ley quedefine la funcion viene dada a veces por una expresion algebraica, como por ejemplo

f : R → Rx 7→ x2 + 2x + 5,

que define una funcion real de una variable real o

f : R2 → R(x, y) 7→ x2 − y2,

que define una funcion real de dos variables reales. Pero otras veces la ley puedevenir expresada de cualquier otra forma tal que describa completamente la corres-pondencia entre todos los elementos de X con elementos de Y . Cuando el dominioX es un conjunto finito, dicha ley se puede expresar en forma de tabla.

Una funcion booleana de n variables x1, x2, . . . , xn, se define como una aplicacionde Zn

2 en Z2, es decirf : Zn

2 → Z2

(x1, . . . , xn) 7→ f(x1, . . . , xn)

Por ser Zn2 un dominio finito, una funcion booleana siempre se puede expresar en

forma de tabla. La tabla que define una funcion booleana se llama tabla de verdadde la funcion.

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3.2. ALGEBRA DE BOOLE 75

Se dice que dos funciones booleanas f(x1, . . . , xn) y g(x1, . . . , xn) son equivalentessi

f(x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn)

para todo xi ∈ Z2, i = 1 . . . , n. Dicho de otro modo, dos funciones booleanas sonequivalentes si sus tablas de verdad coinciden.

Por ejemplo, las funciones f(x1, x2, x3) = x1x2 y g(x1, x2, x3) = x1x2(x3 + x3)son equivalentes porque sus tablas de verdad,

x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

x1 x2 x3 g0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1 ,

son iguales.

Formas canonicas

Evidentemente, la equivalencia de funciones booleanas es una relacion de equivalen-cia. Esta relacion permite dividir el conjunto de funciones booleanas de n variablesen clases de equivalencia. El representante canonico de cada clase de equivalenciano es unico: tenemos la forma canonica suma de min-terms, como por ejemplo

f(a, b, c, d) = abcd + abcd + abc!d

y la forma canonica producto de max-terms, tal como

f(a, b, c, d) = (a + b + cd)(a + b + c + d)(a + bc + d).

Una funcion booleana f(x1, . . . , xn) se dice que esta expresada en la formacanonica suma de min-terms si viene dada en la forma

f(x1, . . . , xn) =∑

(σ1,...,σn)∈Zn2

n∏j=1

xσj

j f(σ1, . . . , σn)

en donde

xσj

j =

{xj si σj = 0xj si σj = 1

.

Cada uno de los sumandos que componen la forma canonica se llama terminocanonico o, a veces, termino mınimo (min-term) o simplemente termino.

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76 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

Es facil ver que en un algebra de Boole con n variables existen 2n terminoscanonicos diferentes. A modo ilustrativo, en la siguiente tabla se indican los min-terms de las funciones booleanas de una, dos y tres variables.

mintermsf(x) x, xf(x, y) xy, xy, xy, xyf(x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz

Los min-terms se suelen identificar tambien por un numero binario en el quecada dıgito representa una variable negada si es cero, o sin negar si es uno. Aunde forma mas compacta, un min-term se puede identificar por el numero decimalcorrespondiente al antedicho numero binario. Ası, por ejemplo, el min-term xyz seidentifica tambien por el numero binario 010 o simplemente por el numero decimal2.

La forma canonica de una funcion booleana se puede obtener inmediatamentea partir de su tabla de verdad. Para ello, indicando cada columna de la tabla porj = 1 . . . n, asociamos a cada fila de la tabla un producto xσ1

1 , . . . , xσj

j , . . . , xσnn y en

el mismo hacemos xσj

j = 1 si el elemento (i, j) de la tabla es 1 o bien xσj

j = 0 si elelemento (i, j) de la tabla es 0. La expresion canonica de f se obtiene como sumade todos los productos obtenidos.

Otra forma de obtener la forma canonica de una funcion f(x1, . . . , xn) es partir deuna expresion cualquiera de la funcion y multiplicar por (xi +xi) todos los terminosde la misma que no contengan la variable xi, para i = 1, . . . , n.

3.2.2 Simplificacion de funciones booleanas

La forma canonica de una funcion es facil de obtener pero no siempre es la masconveniente, sobre todo si pensamos en la realizacion fısica, ya que su expresionpuede resultar excesivamente larga. Simplificar una funcion f consiste en obtenerotra funcion g equivalente a f y con una expresion mas simple.

La simplificacion de una funcion conduce a una mas simple y, en general, maseficiente implementacion de la misma, bien sea por medio de un programa de orde-nador o por medio de un circuito neumatico, o electrico o electronico.

Los metodos mas utilizados para simplificar funciones booleanas son el Karnaughy el de Quine-McCluskey.

Los metodos de simplificacion de funciones logicas consisten esencialmente enaplicar la ley de complementacion x+x = 1 que, evidentemente, implica f ·(x1+x1) ≡f . Se puede ver que, tras aplicar repetidamente esta ley a la funcion, con todas ycada una de las variables, esta queda reducida a una suma de implicantes primos(terminos irreducibles).

Metodo de Karnaugh

Es un metodo grafico valido para funciones de hasta cuatro o cinco variables comomaximo. Dada una funcion f(x1, . . . , xn) en forma canonica, consiste en anotar los

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3.2. ALGEBRA DE BOOLE 77

valores de la funcion en una tabla, denominada mapa de Karnaugh, de tal forma quelos terminos canonicos geometricamente adyacentes en la tabla se diferencian soloen una variable. Esto se consigue facilmente poniendo en las casillas de cabecera defilas y de columnas los numeros binarios de dos cifras

00 01 11 10

que representan a un par de variables y que estan ordenados de forma que para pasarde uno cualquiera al siguiente solo cambia una cifra. Procediendo ası, creamos unatabla de la forma

cdab 00 01 11 10

00 0000

0001

0011

0010

01 0100

0101

0111

0110

11 1100

1101

1111

1110

10 1000

1001

1011

1010

@@@

En esta tabla, cada casilla representa el termino canonico (min-term) de la funcionque se ha indicado en la misma. Se ve claramente que cada min-term difiere de losadyacentes en solo un dıgito binario. Observese que la ultima casilla de cada fila es“adyacente” con la primera casilla de la misma fila ya que solo difieren en un dıgito.Lo mismo ocurre por columnas.

Logicamente, no es necesario anotar los valores de los min-terms en cada casillaporque son justo los valores de cabecera de su fila y columna.

abcd 00 01 11 10

00 0 1 1 0

01 0 1 1 0

11 1 1 1 0

10 1 1 1 0

@@@

abcd 00 01 11 10

00 0 1 1 0

01 0 1 1 0

11 1 1 1 0

10 1 1 1 0

@@@ '

&

$

%'&

$%

b + b′c

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78 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

Metodo de Quine-McCluskey

Si el numero de variables es elevado, el metodo de Karnaugh resulta complicadode utilizar (caso de cinco variables) o impracticable. En estos casos es aplicableel metodo tabular de Quine-McCluskey. Dada una funcion en forma canonica desuma de min-terms, este metodo consiste en ir combinando unos terminos con otros,de forma sistematica y en sucesivas iteraciones, hasta encontrar un conjunto deimplicantes primos en cada uno de los cuales se ha eliminado el mayor numero posiblede variables. Con este conjunto de implicantes primos, el usuario (posiblementeayudado de algun algoritmo o programa) ha de seleccionar un subconjunto minimalque cubra la funcion. Lo introduciremos con un ejemplo.

Ejemplo 3.2.1 Sea la funcion

f(x1, x2, x3, x4) = Σ(0, 7∗, 9, 12∗, 13, 15)

En primer lugar escribimos la tabla

i min-terms

0 0 0 0 07∗ 0 1 1 19 1 0 0 1

12∗ 1 1 0 013 1 1 0 115 1 1 1 1

cuya primera columna es el ındice de los terminos para los que la funcion vale unoy, marcados con un asterisco (∗), los terminos indiferentes, es decir, aquellos paralos que, fısicamente, no importa que el valor de la funcion sea cero o uno.

Ordenamos la tabla, de menor a mayor, por el numero u de unos que contienecada termino, con lo que la tabla queda dividida en grupos de terminos con cerounos, con un uno, con dos unos, con tres unos, etc. Podemos trazar una lıneaseparando cada grupo del siguiente. Como no hay terminos con un unico uno, esegrupo queda vacıo.

u i 1-term

0 0 0 0 0 012 9 1 0 0 1

12∗ 1 1 0 03 7∗ 0 1 1 1

13 1 1 0 14 15 1 1 1 1

En esta tabla, cada grupo difiere del siguiente en un solo uno y, por tanto, se puedecombinar cada termino de un grupo con uno del siguiente.

Procedamos a combinar los terminos cada grupo. Como no hay terminos en elgrupo u = 1, el termino 0 0 0 0 no se puede combinar con ninguno. Pasando al

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3.2. ALGEBRA DE BOOLE 79

grupo u = 2, el termino 1 0 0 1 se puede combinar con el termino 1 1 0 1 gruposiguiente, u = 3,

1 0 0 11 1 0 1

}→ 1 - 1 1,

dando lugar al termino 1 - 1 1, o sea x1x3x4. El termino 1 1 0 0 se puede combinarcon el mismo termino 1 1 0 1 que el anterior,

1 1 0 01 1 0 1

}→ 1 1 0 -,

dando lugar al termino 1 1 0 -, o sea x1x2x3.Como ya hemos terminado de combinar todos los elementos del grupo u = 2,

pasamos a los del grupo n = 3. En este grupo el termino 0 1 1 1 se puede combinarcon el termino 1 1 1 1 del ultimo grupo, u = 4,

0 1 1 11 1 1 1

}→ - 1 1 1,

dando lugar al termino - 1 1 1, o sea x2x3x4. Por ultimo, el termino 1 1 0 1 se puedecombinar tambien con el termino 1 1 1 1

0 1 1 11 1 1 1

}→ 1 1 - 1,

dando lugar al termino 1 1 - 1, o sea x1x2x4.Todo este proceso puede resumirse en la tabla siguiente.

u i 1-term 2-term

0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 9 1 0 0 1 1 - 1 1

12∗ 1 1 0 0 1 1 0 -

3 7∗ 0 1 1 1 - 1 1 113 1 1 0 1 1 1 - 1

4 15 1 1 1 1

En esta tabla, ningun termino de la ultima columna puede combinarse y elproceso termina. Sin tomar terminos indiferentes, la funcion logica simplificada es

f = x1x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4.

Un termino indiferente puede aprovecharse si cubre mas de un min-term.

Algoritmo de Quine

Como ya se ha indicado, el metodo de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Kar-naugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una funcion f enforma canonica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente:

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80 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m.

2. para i desde 1 hasta m− 1 hacer

Elegir el termino i-esimo, Ti, de la lista

para j desde i + 1 hasta m hacer

Tomar el termino j-esimo, Tj, de la lista

Simplificar, si es posible, la expresion Ti +Tj, aplicando la ley a+ a = 1y poner el termino simplificado en una nueva lista.

3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo

4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar mas.

Este algoritmo, aunque correcto, tiene el inconveniente de que exige un grancoste computacional si el numero de variables es elevado. Una adecuada ordenacionde la lista original permite mejorar la estrategia de operacion.

El programa quine.c que se incluye a continuacion implementa el algoritmo y sepuede utilizar para simplificar funciones logicas. Al ejecutarlo (en la forma indicadaen el propio programa), calcula y muestra en pantalla la “matriz de implicantesprimos”, que indica los implicantes primos obtenidos, y la “matriz de cubrimiento”,que indica los min-terms que cubre cada implicante primo.

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3.3. SISTEMAS COMBINACIONALES 81

//

// Programa quine

//

// Para simplificar una funcion logica:

// 1) poner en archivo la funcion, p.ej.,

//

// 6 4 // significa n.terms=6 n.vars=4

// 0 1 1 1 // lista de minterms

// 0 1 1 0 // .

// 1 1 1 1 // .

// 1 0 1 1 // .

// 0 0 0 0 // .

// 1 0 0 1 // .

//

// 2) Compilar el programa:

// cc -o quine quine.c (bajo Linux)

// 3) Ejecutarlo: ./quine < archivo

//

#include <stdlib.h>

#define nv 10

#define nt 40

#define h2 nt/2

#define ng nt/3

#define ny nt-ng

int main( int argc, char **argv )

{

int M[nt][nv] = {0};

int N[nt][nv] = {0};

int H[nt] = {0};

int G[nt][ng] = {0};

int D[nt][ng] = {0};

int Z[h2][nv] = {0};

int Y[h2][ny] = {0};

int i,j,k,k5,l1,m5,m6,n1,n2,n9,f1,f2;

int (*pm)[nv];

pm = M;

// lectura de los datos de entrada

scanf("%d %d", &n1, &n2);

n9 = n1;

for (i=0; i<n1; i++){

for (j=0; j<n2; j++){

scanf("%d", &pm[i][j]);

}

scanf("\n");

G[i][0]=i;

}

m5 = 0; m6 = 1;

lazo:

l1 = 0;

for (i=0; i<n1; i++) H[i] = 0;

for (i=0; i<n1-1; i++) {

if (H[i] != 3) {

for (j=i+1; j<n1; j++) {

if (H[j] != 3) { f1 = 0;

// busca elementos a combinar

for (k=0; k<n2; k++) {

if (M[i][k] != M[j][k]) {

f1 = f1+1; f2 = k+1;

if (f1 > 1) goto fuera; } }

if (f1 != 0) { H[i] = 1; H[j] = 1;

// formacion matriz salida

for (k=0; k<n2; k++) {

if (k+1==f2) N[l1][k] = 2;

else N[l1][k] = M[i][k]; }

for (k=0; k<m6; k++) {

D[l1][k] = G[i][k];

D[l1][m6+k] = G[j][k]; }

l1 = l1+1;

}

else H[j] = 3;

}

fuera:

}

}

}

k5 = 0;

for (i=0; i<n1; i++) {

if (H[i]==0) { m5 = m5+1;

for (k=0; k<n2; k++) Z[m5-1][k] = M[i][k];

for (k=0; k<m6; k++) Y[m5-1][G[i][k]] = 1;}

else { if (H[i]=1) k5 = 1; }

}

if (k5 == 1){

m6 = 2*m6; n1 = l1;

for (i=0; i<l1; i++) {

for (j=0; j<m6; j++) G[i][j] = D[i][j];

for (j=0; j<n2; j++) M[i][j] = N[i][j]; }

goto lazo;

}

else{

printf("Matriz de implicantes primos\n");

for (i=0; i<m5; i++) {

for (j=0; j<n2; j++) printf("%d ",Z[i][j]);

printf("\n"); }

printf("Matriz de cubrimiento\n");

for (i=0; i<m5; i++) {

for (j=0; j<n9; j++) printf("%d ",Y[i][j]);

printf("\n"); }

}

return(0);

}

3.3 Sistemas combinacionales

Un sistema combinacional es un sistema de control que tiene p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈Z2 y q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2, tales que, para todo t ∈ I cada una de ellas esuna funcion booleana de las entradas, es decir,

yi(t) = fi(u1(t), . . . , up(t)), i = 1 . . . q.

En el caso de tiempo continuo (sistemas digitales asıncronos) el dominio I es unintervalo de R mientras que si el tiempo es discreto (sistemas digitales sıncronos) el

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82 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

dominio de las funciones es

I = {t0, t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .}, t0, T ∈ R.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

... S.C.

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

En los sistemas combinacionales se asume que los valores de las salidas en uninstante determinado t solo dependen de los valores que en ese mismo instante tenganlas entradas. En la realidad fısica esto no es ası, sino que desde que cambia el valorde las entradas hasta que el sistema cambia de estado transcurre un cierto tiempo sibien, como el sistema evoluciona con gran rapidez, se da por valida tal suposicion.

Los sistemas combinacionales mas sencillos son las funciones logicas elementales:not, and, or, nend, nor y xor. Estas funciones tienen una gran aplicacion practica yaque conectandolas adecuadamente es posible realizar cualquier funcion logica. Otrossistemas combinacionales importantes son los codificadores, los decodificadores, losmultiplexores y los demultiplexores.

Funciones logicas elementales

Se llaman funciones logicas elementales a las funciones logicas mas simples quepueden construirse utilizando los operadores logicos. Estas funciones se puedenrealizar fısicamente mediante diferentes tecnologıas, como la electrica, la neumaticay la electronica, dando lugar a dispositivos logicos que, a su vez, sirven para construirautomatismos de distintas clases. Cada funcion logica tiene un sımbolo, dado porla norma ISO, aunque se usan a veces otros sımbolos en electronica y en otrastecnologıas.

Funcion NOT

Esta funcion realiza la operacion de negacion de una variable z = x. Su tabla deverdad y su sımbolos, DIN e ISO, son

x z0 11 0

x zd zx

Funcion AND

Esta funcion realiza la operacion de producto ordinario en Z2, o conjuncion logica,entre varias variables. La tabla de verdad z = (x and y) para dos variables y su

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3.3. SISTEMAS COMBINACIONALES 83

sımbolos, DIN e ISO, son

x y z0 0 00 1 01 0 01 1 1

-x

& -z

-y

xz

y

Funcion OR

Esta funcion realiza la operacion de suma ordinaria en Z2, o disyuncion logica, entrevarias variables. La tabla de verdad z = (x or y) para dos variables y su sımbolos,DIN e ISO, son

x y z0 0 00 1 11 0 11 1 1

-x

≥ 1 -z

-y

xz

y

Funcion NAND

Esta funcion es el complemento en Z2 de la funcion and entre varias variables. Latabla de verdad z = (x nand y) para dos variables y su sımbolos, DIN e ISO, son

x y z0 0 10 1 11 0 11 1 0

-x

& d -z

-y

xz

y

Observese que el sımbolo de esta funcion se obtiene colocando un pequeno cırculo(◦), que representa la negacion logica, tras el sımbolo de la funcion and.

Funcion NOR

Esta funcion es el complemento en Z2, de la funcion or entre varias variables. Latabla de verdad z = (x nand y) para dos variables y su sımbolos, DIN e ISO, son

x y z0 0 10 1 01 0 01 1 0

-x

≥ 1 d -z

-y

x

yz

Igual que en la nand, el sımbolo se obtiene colocando (◦) tras el bloque de la funcionor.

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84 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

Funcion XOR

La funcion xor, o disyuncion exclusiva, vale 1 si todas las variables de entrada soniguales, es decir si son todas igual a uno o todas igual a cero, y vale 1 en casocontrario, es decir siempre y cuando haya variables de entrada con valor diferente.La tabla de verdad z = (x xor y) para dos variables y su sımbolos, DIN e ISO, son

x y z0 0 10 1 01 0 01 1 1

-x

= 1 d -z

-y

zx

y

3.4 Sistemas secuenciales

Un sistema secuencial es un sistema de control que tiene, como un combinacional,p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2 y q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2, pero que ademastiene otras n variables,

x1(t), . . . , xn(t) ∈ Z2,

llamadas variables de estado, cuyos valores dependen de alguna manera del compor-tamiento del sistema en instantes anteriores a t.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

...

x1(t)

x2(t)...

xn(t)

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Ahora cada una de las salidas es una funcion booleana de las entradas y delos estados, para todo t ∈ I ⊂ R, en donde I es un intervalo o una sucesion devalores de R. Sin embargo la expresion general de esta funcion resulta complicadaya que debe incluir los valores de los estados para instantes anteriores a t. Se puedeemplear, cuando sea posible, el modelo de estado (ecuacion diferencial) estudiadoen la teorıa de control. Sin embargo se han ido desarrollado otros modelos, primerolas Maquinas de estados, mas tarde las Redes de Petri y el Grafcet y, recientemente,las cartas de estado o Statecharts.

Los sistemas secuenciales se llaman sistemas con memoria porque tienen unosregistros internos con capacidad para almacenar las variables de estado.

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3.5. MAQUINAS DE ESTADOS 85

3.5 Maquinas de estados

Una maquina de finitos estados (o simplemente maquina de estados) es un sistemasecuencial que posee un numero finito q de entradas, un numero finito N ≤ en deestados (n es el numero de variables de estado) y un numero finito p de salidas. Tantolas senales de entrada como las de salida y las de estado, toman valores binarios. Sidefinimos los conjuntos

U := Zq2, X := Zn

2 , Y := Zp2, (3.1)

entonces podemos decir que la entrada (vector) es u(t) ∈ U , la salida (vector) esy(t) ∈ Y y el estado (vector) es x(t) ∈ X, siendo t ∈ R la variable que representa eltiempo.

A veces (teorıa de gramaticas formales) se consideran estos conjuntos como con-juntos de sımbolos cualesquiera pero aquı vamos a seguir las definiciones dadas en Aveces (teorıa de gramaticas formales) se consideran estos como conjuntos de sımboloscualesquiera pero aquı vamos a seguir las definiciones dadas en (3.1).

Por ser la maquina de estados un sistema de control, las senales de entradapueden cambiar en su evolucion en el tiempo y esto hace que cambien tambien lassenales de estado y las de salida. En la teorıa de automatas se han descrito dostipos de maquinas de estado: el automata de Mealy y el automata de Moore. Sediferencian unicamente por la forma de definir la funcion de salida. Para simplificarla escritura de las expresiones, se omite la dependencia respecto de t de las funciones.

3.5.1 Automata de Mealy

Un automata de Mealy se define como una quintupla

M1 = {U, Y,X, f, g}

en donde U, Y y X, definidos en (3.1), son los conjuntos de valores de entrada, desalida y de estado, respectivamente, y las funciones f y g definen las dependenciasentre la entrada, el estado y las salidas. La funcion que define el estado es

f : U ×X → X(u, x) 7→ x = f(u, x)

y la funcion que da la salida,

g : U ×X → Y(u, x) 7→ y = f(u, x)

3.5.2 Automata de Moore

Un automata de Moore se define como una quintupla

M1 = {U, Y,X, f, g}

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86 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

en donde U, Y y X, definidos en (3.1), son los conjuntos de valores de entrada, desalida y de estado, respectivamente, y las funciones f y g definen las dependenciasentre la entrada, el estado y las salidas. La funcion que define el estado es

f : U ×X → X(u, x) 7→ x = f(u, x)

y la funcion que da la salida,

g : X → Y(x) 7→ y = f(x)

Dado un automata de Mealy siempre se puede encontrar automata de Mooreequivalente (es decir, tal que para una misma entrada da siempre la misma salida)y viceversa. Por ser mas simple se utiliza mas el de More.

3.5.3 Tablas de estado

Como los conjuntos U de entrada, Y de salida y X de estado son finitos, las funcionesf y g que definen el comportamiento de un automata (de Mealy o de Moore) puedendarse en forma tabular. La funcion f tabulada se llama tabla de transicion mientrasque la g se llama tabla de salida.

Para el automata de Mealy, las tablas son de la forma

u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q

......

......

x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

Tabla de transicion f(x, u)

u1 u2 . . . u2q

x1 y1,1 y1,2 . . . y1,2q

x2 y2,1 y2,2 . . . y2,2q

......

......

x2n y2n,1 y2n,2 . . . y2n,2q

Tabla de salida g(x, u)

y para el de Moore,

u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q

......

......

x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

Tabla de salida f(x, u)

x1 y1

x2 y2...

x2n y2n

Tabla de salida g(x)

Con estas tablas queda completamente descrita una maquina de estados. Observeseque, en ambos casos, el tamano (maximo) de la tabla de transicion es de (2n × 2q)casillas.

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3.5. MAQUINAS DE ESTADOS 87

3.5.4 Diagramas de estado

El diagrama de estado de una maquina de estados con N ≤ 2n estados, q entradasy p salidas, es un grafo orientado que contiene la misma informacion que las tablasde transicion y de salida pero que expresa de forma mas clara, si cabe, la naturalezasecuencial del sistema. El grafo tiene N vertices, cada uno de los cuales va etiquetadocon un numero o nombre correspondiente al estado, y q aristas, cada una etiquetadacon un valor de la entrada. En el automata de Mealy las etiquetas de las salidas seponen en las aristas, tras las de las entradas y separadas de ellas por /, mientrasque en el de Moore van en los estados, separadas de sus etiquetas por /.

A continuacion se dan dos ejemplos de dos maquinas de estados. El primerocorresponde a un automata de Mealy con 3 estados, etiquetados A, B y C, unaentrada u y una salida y. Sus tablas de transicion y salida y su diagrama de estadosson:

@@xu

0 1

A = 00 00 01B = 01 01 10C = 10 00 01

11 − −

Tabla de transicion

@@xu

0 1

A = 00 0 0B = 01 0 0C = 10 0 1

11 − −

Tabla de salida

A@GAFBECD

1/0

������

����

����

0/0

��

B@GAFBECD1/0 440/0

33 C@GAFBECD

0/0

YY33333333333331/1ss

El segundo corresponde a un automata de Moore con 4 estados, etiquetados A, B,C y D, una entrada u y una salida y. Sus tablas de transicion y de salida y sudiagrama de estados son:

@@xu

0 1

A = 00 00 01B = 01 10 01C = 10 00 11D = 11 10 01

Tabla de transicion

x y

A = 00 0B = 01 0C = 10 0D = 11 1

Tabla de salida

A/ 0@GAFBECD

1

��

0

��

B/ 0@GAFBECD1 440 // C/ 0@GAFBECD

0

XX111111111111

1

33 D/1@GAFBECD0ss

1

ee

Observese que, en cualquiera de los dos casos, a partir de las tablas de transiciony de salida se obtiene el diagrama de estados, y viceversa.

3.5.5 Dispositivos biestables

Los biestables son los sistemas secuenciales mas simples. Tienen una o dos entradasu1, u2, una unica variable de estado, denotada por Q, y una salida y1 = Q. Losbiestables electronicos suelen incorporar la salida adicional y2 = Q.

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88 CAPITULO 3. SISTEMAS BOOLEANOS

Si el valor del estado en el instante t es es Qt entonces el valor del estado en uninstante posterior se denota Qt+1 y su valor es

Qt+1 = f(Qt, u1, u2),

en donde f es la funcion logica propia del biestable, dada por su tabla de transicion.Los biestables pueden ser asıncronos o sıncronos. Estos ultimos tienen una entradaadicional Clk por la que entra una senal de reloj que es una senal cuadrada de laforma

1

t

Clk

0

El valor de la salida se actualiza en determinados instantes definidos por esta senal,muchas veces en los flancos de bajada indicados en la figura).

Biestable R-S

Es el biestable asıncrono basico. Su funcionamiento se basa en el esquema de dospuertas OR que se indica en la figura.

S

R

Q

Q_

Cada una de las puertas OR tiene una entrada que se realimenta de la salida de laotra puerta. Se comprueba con facilidad que la tabla de transicion es:

@@QSR

00 01 11 10

0 0 0 − 11 1 1 − 0

S

R

Q

Q

S

R

Q

Q

Clk

La combinacion de entradas “11” no esta permitida al usuario porque si ponemosR = S = 1 entonces el biestable darıa Q = Q = 0 (contradiccion). Junto a la tablade transicion aparecen los sımbolos de los biestables RS asıncrono y sıncrono.

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Capıtulo 4

Sistemas reactivos

Los sistemas reactivos son sistemas de control que estan comandados por eventos:sistemas que estan permanentemente reaccionando a estımulos externos e internos.

Los telefonos, automoviles, redes de comunicacion, sistemas operativos de orde-nadores, sistemas de aviacion, y las interfaces hombre-maquina de muchas clases desoftware ordinario son ejemplos de sistemas reactivos.

El problema del modelado de estos sistemas radica en la dificultad de describirel comportamiento reactivo de una manera clara, realista y al mismo tiempo losuficientemente formal y rigurosa como para servir de base para detallada simulacioncomputerizada del sistema.

Los primeros modelos (aun hoy utilizados) de los sistemas de eventos discretosfueron las maquinas de estados y sus correspondientes diagramas estado-transiciono diagramas de estado. Estos diagramas son grafos dirigidos cuyos nodos denotanestados y cuyas flechas denotan transiciones.

Sin embargo, los diagramas de estado no son adecuados para modelar sistemascomplejos debido a la gran cantidad, exponencialmente creciente, de estados queprecisan. Ademas los estados estan agrupados de una forma no estratificada. Portodo esto, el diagrama de estado de sistema de mediana complejidad resulta deses-tructurado, de gran dimension y de difıcil manejo.

Posteriormente se han desarrollado modelos, entre los cabe citar por su impor-tancia los siguientes:

• Redes de Petri

• Grafcet

• Cartas de estado (Statecharts)

Las redes de Petri, junto con algunos otros modelos algebraicos, son los modelosmatematicos mas formales.

El modelo Grafcet, sencillo de aprender y de utilizar, se utiliza mucho actual-mente y ha sido adoptado por varios fabricantes de automatas como modelo basico.

Las cartas de estado son probablemente el modelo mas completo de los que seconocen actualmente.

89

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90 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

4.1 Modelos de sistemas productivos

Automatizar un sistema de produccion consiste en reducir la intervencion humanaa lo largo del proceso de fabricacion, optimizar la utilizacion de los materiales y delas energıas empleando nuevas tecnologıas y conseguir unas mejores prestaciones yuna mejor calidad del producto terminado.

Aunque el modelo de un sistema productivo es bastante complejo, para muchasaplicaciones de automatizacion local podemos admitir que esta compuesto por dossubsistemas, uno reactivo (parte de comando) y otro activo (parte operativa), queinteraccionan entre sı. La parte de comando es basicamente una maquina de es-tados que en la practica se implementa mediante un automatismo o mediante unautomata programable. La parte operativa es el sistema de produccion propiamen-te dicho (cintas transportadoras, manipuladores, maquinas, etc.). Ambas partes secomunican entre sı en los dos sentidos: la parte operativa envıa eventos a la partede comando y esta, en respuesta, envıa ordenes de control a la parte operativa.

4.2 Grafcet

El Grafcet (Graphe de Comands Etape/Transition) es un sistema grafico de mode-lado de automatismos secuenciales. Fue introducido en Francia por P. Girauld, ensu tesis doctoral. La norma IEC-848 da una completa descripcion de Grafcet y hasido adoptada por diversos fabricantes para crear interfaces graficas de usuario quefacilitan la programacion de sus de automatas programables.

El Grafcet es aplicable, por principio, a un sistema automatizado de produccioncompuesto de dos partes: una parte operativa (PO) y una parte de comando (PC).

P.C. P.O.

órdenes

eventos

Figura 4.1: Sistema automatizado de produccion

La parte operativa esta formada por los diversos dispositivos que interactuansobre el producto: preactuadores, actuadores y captadores. Los preaccionadoresactuan como reles de potencia entre el mando y los actuadores que se encargande transformar el producto. Los captadores recogen informaciones como posiciondel producto, alarmas, etc., que reflejan el estado del proceso en todo momento.Los cambios en el estado del proceso medidos por los captadores son entradas queprovocan que el sistema de mando responda de la forma adecuada para la que hasido disenado.

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4.2. GRAFCET 91

La Parte de Comando (PC) esta integrada por los equipos de control: com-putadores, procesadores o automatas, junto con los programas y todos los datosprecisos.

El Grafcet se compone de los siguientes elementos basicos:

• Etapas o estados a las que van asociadas acciones

• Transiciones a las que van asociadas receptividades

• Uniones orientadas que unen etapas y transiciones.

• Segmentos paralelos.

Etapas

Un sistema dinamico de cierta complejidad evoluciona en el tiempo siguiendo unadeterminada secuencia de actividades de trabajo o etapas. Una etapa representaun estado o modo de funcionamiento estable del sistema o de una parte del mismo.En cada etapa, la Parte de Comando del sistema (al menos la parte asociada a esaetapa) se mantiene invariable.

En Grafcet, cada etapa se representa por un rectangulo en que se escribe unnumero n que indica su numero de orden. En cada momento, el sistema tiene una ovarias etapas activas (las que estan actualmente en funcionamiento) que se marcancon un pequeno cırculo negro.

n

Figura 4.2: Etapa

Las primera etapa que se activa al iniciar el Grafcet se llama etapa inicial. UnGrafcet ha de tener al menos una etapa inicial, pero puede tener varias. Estas etapasse encuadran en un doble rectangulo.

Cada etapa puede llevar asociada una o mas acciones. Estas acciones se des-criben, literal o simbolicamente, en de uno o en varios rectangulos unidos por unalınea al rectangulo de la etapa. Segun la norma IEC-848, una accion puede estarprecedida por un caracter que indica su tipo:

C: Accion condicionada

D: Accion retardada

L: Accion limitada en el tiempo

P: Impulso

S: Accion memorizada

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92 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

Acción C

Acción A

Acción B

R01

R12

1

0

2

Figura 4.3: Grafcet

Transiciones

Las transiciones se representan con un pequeno segmento horizontal que corta lalınea de enlace entre dos etapas. Son etapas de entrada a una transicion todas lasetapas que conducen a una transicion. Son etapas de salida a una transicion lasetapas que salen de una transicion.

La condicion o condiciones que se deben cumplir para poder pasar una transicionreciben el nombre de receptividades. En una transicion podemos tener:

• Una condicion simple

• Una funcion booleana

• La senal de un temporizador o contador

• La activacion de otra etapa del Grafcet

Cada transicion se une con la etapa anterior y con la siguiente mediante unasrectas horizontales y verticales llamadas lıneas de enlace. Las lıneas de enlace quetienen sentido ascendente se marcan en el centro con una punta de flecha.

Segmentos paralelos

En un Grafcet se pueden representar varios procesos que evolucionan de forma con-currente. Esto se hace disponiendo varias secuencias verticales, en paralelo, deetapas y transiciones. La sincronizacion de estos procesos se hace posible medianteunos segmentos paralelos horizontales. Por ejemplo, en la figura 4.4 los procesos quese inician en las etapas n + 1 y n + 2 discurren en paralelo y estan sincronizados

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4.2. GRAFCET 93

n

n+1 n+2

R

Figura 4.4: Grafcet

con el proceso que finaliza en la etapa n. Si esta activa la etapa n y se cumple lareceptividad R entonces, en ese instante y simultaneamente, pasaran a ser activaslas etapas n + 1 y n + 2.

Este tipo de conexion sincronizada entre un proceso simple y varios otros en pa-ralelo se llama divergencia AND. Mas adelante veremos algunas otras posibilidades.

4.2.1 Reglas de funcionamiento

El funcionamiento del modelo Grafcet viene definido por cinco reglas o condicionesbasicas.

1. Regla de activacion inicial: en el instante inicial solo se activan las etapasiniciales y esta activacion es incondicional.

2. Condicion de validacion: para que una etapa pueda activarse es necesario quesi le precede una unica etapa entonces esta este activada y si le preceden variasetapas en paralelo entonces todas ellas esten activadas.

3. Condicion de franqueo de una transicion: una transicion es franqueada si,y solo si, la receptividad asociada es verdadera. Franquear una transicionsignifica: primero desactivar la etapa o etapas precedentes y a continuacionactivar la etapa o etapas siguientes.

4. Regla de franqueo simultaneo: todas las transiciones franqueadas en un deter-minado instante son franqueadas simultaneamente.

5. Regla de conflicto de activacion: si una etapa ha de ser desactivada y activadasimultaneamente, debido al franqueo simultaneo de las transiciones siguientey anterior, entonces permanece activa.

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94 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

4.2.2 Estructuras basicas

Son las configuraciones que sirven para modelar ciertas situaciones interesantes delos sistemas de eventos discretos y que se utilizan frecuentemente en Grafcet.

Secuencia simple

La mas sencilla de todas las estructuras esla secuencia simple. Como su nombre indica,consta de una serie de etapas seguidas . . ., n,n+1, . . . que se iran activando una tras otrasegun se vayan validando las correspondien-tes receptividades . . . , Rn, Rn+1, Rn+2, . . ..

n

n+1

R

n+2

n

Rn+1

Divergencia OR

Representa la posibilidad de bifurcacion en-tre secuencias simples. Estando activa la eta-pa n, final de una secuencia simple, y seguncual sea la receptividad Ra, Rb, . . . que se va-lide en primer lugar, el sistema pasara a unade las etapas n + 1, n + 2, . . ., de inicio derespectivas secuencias simples.

n

n+1 n+2

Ra Rb

Convergencia OR

Es la estructura recıproca de la anterior. In-dica que un sistema con varias posibles se-cuencias simples puede pasar desde una delas etapas finales m− 1, m− 2, . . ., en para-lelo, a la etapa siguiente n que es el inicio deotra secuencia simple. Dicho paso se dara enel instante en que una de las receptividadesRc, Rd, . . . que anteceden a la etapa n se hagavalida.

RRc d

m

m−2 m−1

Divergencia AND

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4.2. GRAFCET 95

El sımbolo logico AND indica simultaneidad.La estructura llamada divergencia AND per-mite modelar el paso de un proceso de se-cuencia unica a otro con varias secuenciasconcurrentes. Si el sistema se encuentra enla etapa n y la transicion R se hace valida,entonces, en ese mismo instante, se activansimultaneamente las etapas n + 1 y n + 2.

n

n+1 n+2

R

Convergencia AND

Es la estructura recıproca de la anterior. Re-presenta el paso simultaneo desde varias se-cuencias concurrentes, que terminan en lasetapas m − 1, m − 2, . . ., a una secuenciaunica que empieza en la etapa m. Para queen un instante dado se produzca el paso, esnecesario que en dicho instante sean validastodas las receptividades Rc, Rc, . . .

RRc d

m−2 m−1

m

Saltos

En Grafcet son posibles los sal-tos condicionales, con la condi-cion expresada en la receptividadde una transicion, y los incondi-cionales. Los saltos pueden serhacia adelante o hacia atras, sien-do estos ultimos facilmente iden-tificables por la punta de flechaindicada de la linea de enlace ha-cia atras. En la figura se indicanalgunas posibilidades.

n

n+1

n+2

n+2

n+2

a

b

c

d

n

n+1

n+2

n+2

n+2

a

b

c

d

B

n

n+1

n+2

n+2

n+2

a

b

c

d

F

4.2.3 Posibilidades avanzadas

Grafcet no solo vale para hacer modelos de sistemas de eventos discretos con es-tructura simple sino que tambien ofrece la posibilidad de modelar sistemas mascomplejos. Para ello cuenta con algunas caracterısticas avanzadas, tales como elparalelismo, la sincronizacion y la jerarquıa.

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96 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

Paralelismo

Grafcet permite el paralelismo. Es posible activar varias etapas a la vez en el estadoinicial. Tambien permite, mediante los segmentos paralelos, modelar el paso de unproceso secuencial simple a un proceso compuesto por varias secuencias que trabajanen paralelo.

Sincronizacion

Es la posibilidad de que dos o mas etapas se activen a la vez. El paralelismo exigemuchas veces la sincronizacion entre etapas, siempre que al final de una procesocon secuencia simple haya que empezar otro de secuencia en paralelo multiple, oviceversa. Los segmentos paralelos de Grafcet brindan esta posibilidad.

4.2.4 Jerarquıa

Macro-etapas La posibilidad de que un proceso pueda albergar a otros como sub-procesos se denomina jerarquıa.

4.2.5 Comunicacion

Es la posibilidad de que dos procesos puedan comunicarse entre sı, es decir, puedanenviarse mutuamente mensajes.

4.3 Cartas de estado

Para poder ser util, un modelo ha de ser modular, jerarquico y bien estructurado.Para resolver el problema del crecimiento exponencial se impone relajar el requisitode que todas las combinaciones de estados tengan que representarse explıcitamente.Ademas deberıa tambien atender de modo natural a especificaciones mas generalesy flexibles, tales como

• Capacidad de agrupar varios estados en un superestado.

• Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos esta-dos.

• Necesidad de transiciones mas generales que la flecha etiquetada con un simpleevento.

• Posibilidad de refinamiento de los estados.

Las cartas de estado statecharts cumplen todos estos requisitos. Constituyen unformalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular, permi-tiendo el agrupamiento de estados, la ortogonalidad y el refinamiento, y permitenla visualizacion tipo ”zoom”entre los diferentes niveles de abstraccion [5].

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4.4. CREACION DE UN MODELO CON STATEFLOW–SIMULINK 97

Las cartas de estado fueron introducidas por David Harel [5] en 1987 y consti-tuyen una generalizacion de las maquinas de finitos estados. Se han hecho variasimplementaciones sustancialmente iguales pero que difieren algo en la semantica (ladefinicion de Harel dejaba bastante libertad) siendo las mas conocidas Statemate yStateflow, esta ultima integrada en Matlab. Debido a la gran difusion que tiene esteprograma en la Universidad, continuaremos la descripcion de las cartas de estadocon la semantica de Stateflow.

4.3.1 Stateflow

Stateflow es una herramienta incluida en el paquete Matlab que funciona bajo elprograma (toolbox ) Simulink. Es posible ejecutar solo Stateflow (como un bloqueunico de Simulink) pero siempre bajo Simulink. Utilizando Stateflow y Simulink sepueden realizar modelos de sistemas hıbridos.

La figura 4.5 muestra una ventana de Stateflow en la que se aprecian algunos desus elementos.

Figura 4.5: Carta de estados de Stateflow

4.4 Creacion de un modelo con Stateflow–Simulink

Tras arrancar el programa Matlab, creamos un modelo nuevo (new-model) de Simu-link y colocamos en el mismo, con el raton, el bloque Chart de Stateflow.

Con el editor grafico se pueden crear cartas Stateflow, de modo interactivo,simplemente haciendo clic en cada elemento y arrastrandolo a la ventana de dibujo.Una vez colocados varios estados, podemos crear transiciones haciendo clic en unestado y arrastrando el raton hasta otro estado. Se etiquetan los estados y lastransiciones indicando las acciones que van a ocurrir durante la ejecucion y bajo quecondiciones se haran las transiciones. Finalmente se anade el historial, uniones, yestados en paralelo para detallar las operaciones del modelo.

Se pueden utilizar sub-cartas (una carta dentro de otra carta) para dotar dejerarquıa al diseno. Se permite crear transiciones entre objetos que residen en di-ferentes sub-cartas al mismo nivel o a diferentes niveles en la carta superior. Las

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98 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

sub-cartas permiten reducir una carta complicada a un conjunto de diagramas orga-nizados jerarquicamente. Con ello se consigue que la carta sea mas facil de entendery de mantener sin cambiar para nada su semantica.

Los pasos a seguir para una aplicacion completa son:

• Crear la carta Stateflow

• Utilizar el Explorer de Stateflow

• Definir un interface de bloques de Stateflow

• Ejecutar la simulacion

• Generar el codigo

La generacion de codigo depende de la maquina en donde se vaya a implementarla aplicacion y no se hace hasta la ultima fase del diseno. El codigo generado pordefecto es ANSI C pero existen programas que convierten el modelo de Stateflowen codigo de otros lenguajes. Entre ellos cabe citar el programa sf2vdh, que esun traductor de Stateflow a VHLD, y el programa sf2plc que genera codigo paraprogramar algunos automatas programables.

4.4.1 Elementos de una carta de estado

Una carta de estado (statechart) es un grafico formado por elementos graficos sobrelos que van escritos otros elementos de texto. Los elementos graficos son cartas,estados, transiciones y uniones mientras que los elementos de texto son datos yeventos.

Cartas

La carta es como la hoja de papel en la que se representan los elementos graficos yde texto. Cada carta representa una maquina de estados y constituye un bloque deSimulink que puede conectarse con otras cartas o con otros bloques de Simulink.

Estados

Un estado se dibuja como un rectangulo con las esquinas redondeadas y representaun modo de funcionamiento del sistema. Aunque tienen el mismo nombre, no debe-mos confundir estos estados con los estados del “modelo de estado” de un sistemade control de tiempo continuo o discreto. Aunque en ocasiones ambos pudierancoincidir, los estados aquı considerados son mas generales: representan los modos oformas de funcionamiento que adquiere el sistema al reaccionar frente a los eventos.

Junto a la esquina superior izquierda cada rectangulo lleva un texto con unnombre que identifica al estado. Tras el nombre del estado y el separador opcional“/”, pueden aparecer otros textos indicando las acciones que llevara a cabo el sistemacuando este en ese estado. La sintaxis de Stateflow permite especificar el instanteen que se iniciara la accion y la duracion de esta:

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4.4. CREACION DE UN MODELO CON STATEFLOW–SIMULINK 99

entry: la accion se inicia al entrar en este estado.

exit: la accion se inicia al salir de este estado.

during: la accion se inicia al entrar en este estado y permanece activa durante eltiempo que dura el estado.

on event e : La accion se inicia si, estando en este estado, se produce el evento e.

Posibles acciones son cambiar el valore de una salida o efectuar una llamada a unafuncion de Matlab.

Dentro de un estado caben mas estados, es decir, un estado puede descomponerseen otros. Se admiten dos descomposiciones, llamadas OR (exclusiva) y AND. Si unestado S se descompone con tipo OR en los estados S1 y S2, quiere decir que si elsistema esta en el modo de funcionamiento S, entonces, o bien funciona en el modoS1 o bien funciona en el modo S2 y no puede estar funcionando en ambos modosa la vez. En cambio si el estado S se descompone con tipo AND en los estados S1

y S2 y el sistema funciona en modo S, entonces el sistema esta a la vez en los dosestados S1 y S2. Ambas descomposiciones se distinguen por el tipo de lınea usadapara los rectangulos: linea continua para los estados de una descomposicion OR ylınea discontinua para los estados de una descomposicion AND.

Transiciones

Una transicion representa un evento e del sistema y se dibuja como una flecha queva desde el borde de un estado S1 hasta el borde de otro estado S2. Si el sistema estaen el estado S1 y se produce el evento e, entonces el sistema pasa al estado S2. Eldisparo de una transicion puede implicar la ejecucion de una o mas acciones. Cada

S1

S2

e

Figura 4.6: Transicion

transicion puede tener un texto, escrito junto a ella, que indica el evento que ha deproducirse para que se dispare la transicion ası como las acciones que entonces elsistema emprendera. Este texto se divide en tres partes, todas ellas opcionales:

e (en donde e es el nombre de un evento): la transicion se dispara al producirse elevento e en el sistema.

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100 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

[c] (en donde c es una condicion): la transicion se dispara si la condicion c (expresionbooleana) es verdadera y se produce el evento e. Si esta parte no existe, seasume que c es cierta. Si la parte e del texto no existe, se disparara, bajo lamisma condicion, siempre y cuando se produzca un evento cualquiera en elsistema.

{a} (en donde a es una accion): al producirse transicion el sistema lleva a cabo laaccion a.

Si la transicion no lleva ningun texto, entonces se disparara automaticamente, siem-pre y cuando se produzca un evento cualquiera en el sistema.

Una transicion especial es la llamada transicion por defecto (default-transition),que sirve para senalar el estado inicial del sistema, es decir, el primer estado en elque entrara el sistema al iniciar su evolucion. Se reconoce por su forma ya que enel extremo opuesto a la flecha lleva un pequeno cırculo negro.

Uniones

Una union es un punto de bifurcacion que permite conectar una transicion de entradacon varias transiciones de salida. Hay dos tipos de uniones: uniones conectivasconnective junctions y uniones de historia history junctions.

e1

e2

e3

P H

C1 C2

Figura 4.7: Uniones

Al entrar en una union conectiva, el sistema, a traves de una condicion, seleccionauna de las transiciones de salida para su evolucion.

La union de tipo historia se utiliza en estados que han sido divididos por unadescomposicion OR. Si en el estado padre se pone el sımbolo ©H entonces cada vezque se active el estado padre, el primer estado que se activara sera el estado hijoque estuvo activo por ultima vez.

Datos

Una carta tiene asociados ciertos datos a los que puede acceder. Es necesario decla-rarlos en Stateflow y pueden ser de los siguientes tipos:

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4.4. CREACION DE UN MODELO CON STATEFLOW–SIMULINK 101

• Entrada de Simulink

• Salida de Simulink

• Local

• Constante

• Temporal

• Workspace

Los datos declarados como entrada o salida de Simulink generan automaticamenteuna entrada o una salida en el bloque Chart creado por Stateflow en Simulink. Losde los tipos local, constante y temporal pueden definirse para toda la carta o dentrode un estado individual. Los datos temporales son solo validos mientras el estadopadre se esta ejecutando y son reinicializados cada vez que este se activa. El tipoworkspace es una construccion especial que permite utilizar el entorno de trabajo(workspace) de Matlab para compartir datos a traves de toda la simulacion. Losdatos por defecto, se almacenan en memoria en formato double de C pero se puedecambiar a otros formatos. Cada dato tiene asociado un valor inicial y un intervalode posibles valores.

Eventos

Estos elementos representan los eventos del sistema. Pueden ser de los tipos:

• Entrada de Simulink

• Salida de Simulink

• Local

Para los eventos que son entradas o salidas de Simulink, Stateflow crea automatica-mente un unico puerto de entrada–salida de eventos en el bloque Chart de Simulink,de forma que todos los eventos entran o salen, formando un vector de eventos, porel mismo puerto. Cada evento lleva asociado un ındice que refiere la posicion delevento en el vector. La forma de producir un evento en Simulink para que entre enel bloque Chart es a traves de cambio brusco (flanco) de alguna senal. Al declararel evento en Stateflow, se puede elegir entre:

• Flanco de subida

• Flanco de bajada

• Flanco indiferente

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102 CAPITULO 4. SISTEMAS REACTIVOS

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Parte III

Automatizacion Local

103

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Capıtulo 5

Automatismos

105

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106 CAPITULO 5. AUTOMATISMOS

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Capıtulo 6

Automatismos electricos

6.1 El rele

El rele es el dispositivo fundamental para la realizacion de automatismos electri-cos. Consta de un conjunto de piezas colocadas dentro de una caja, de la formaindicada en la figura 6.1, y es esencialmente un interruptor accionado mediante unelectroiman. Al aplicar tension entre los terminales A1 y A2, el electroiman atraea la armadura ferrea hacia el nucleo del electoiman, con lo que el terminal 1 sedesconecta del terminal NC y se conecta con el terminal NA. Cuando se deja deaplicar el voltaje a la bobina, el rele, accionado por el muelle, vuelve a su estado dereposo.

NC

NA

A1

A2

1

Figura 6.1: Rele en estado de reposo.

El esquema segun la norma CEI esSe fabrican reles de muchos tipos y tamanos segun sea su aplicacion. Pueden

tener varios contactos NC y NA, accionados por la misma bobina, para poder operarsobre varios circuitos a la vez. La alimentacion suele ser de 12V o de 24V en losreles de automatismos.

107

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108 CAPITULO 6. AUTOMATISMOS ELECTRICOS

1A

A 2

12 14

11

Figura 6.2: Esquema de rele con contactos NC y NA.

6.2 Funciones logicas con reles

6.2.1 Funcion logica identidad

+a

−s

Figura 6.3: Identidad

6.2.2 Funcion logica negacion

+a s− −

Figura 6.4: Negacion

6.2.3 Funcion logica AND

6.2.4 Funcion logica NAND

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6.2. FUNCIONES LOGICAS CON RELES 109

−+a

K

K

Figura 6.5: Negacion con rele

+ −a b s

Figura 6.6: Funcion logica AND

−+a b

s

K

K

Figura 6.7: Funcion logica AND con rele

−+a b

s

K

K

Figura 6.8: Funcion logica NAND

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110 CAPITULO 6. AUTOMATISMOS ELECTRICOS

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Capıtulo 7

Automatas programables

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112 CAPITULO 7. AUTOMATAS PROGRAMABLES

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Bibliografıa

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