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Anexo de actividades de refuerzo para el programa 2017 de Cálculo diferencial

Enfoque por competenciasBachillerato Tecnológico

Autores

Cálculo diferencial

2

Cálculo Diferencial

Presentación

El propósito de la Educación Media Superior es formar ciudadanos libres, participativos, responsables e informados, que ejerzan sus derechos y que participen activamente en la vida social.

Para contribuir al desarrollo del perfil de egreso del estudiante de bachillerato, Montenegro Editores ha creado una serie de auxiliares didácticos orientados al fortalecimiento de las competencias genéricas y disciplinares, así como al logro de los aprendizajes esperados en cada asignatura.

Esta obra contiene una edición anotada del libro del alumno, en la que se señalan sugerencias de respuestas para cada una de las actividades que se plantean. Además, se presenta una dosificación semanal del programa con actividades didácticas sugeridas.

Deseamos que este material te sea de gran utilidad y que tengas mucho éxito en este inicio de semestre.

Los editores

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Tabla de correspondencia

Correspondencia del libro Cálculo diferencial con el nuevo programa 2017

BLOQUE CONOCIMIENTOSAPRENDIZAJES

ESPERADOS

APRENDIZAJES ESPERADOS DEL NUEVO PROGRAMA

Páginas del Libro del Maestro

(LM)Páginas del

material complementario

(MC)

I.Precálculo

Números reales.• Propiedades de los

números reales.• Valor Absoluto.• Jerarquía de

operaciones y signos de agrupación.

Leyes de exponentes.• Productos Notables

y Factorización.• Racionalización.• Identidades

Trigonométricas.• Identidades Pitagóricas.

Intervalos.

Desigualdades.

• Representa algebraicamente situaciones contextualizadas para aplicarlas en problemas de funciones lineales y cuadráticas.

• Aplica las desigualdades en problemas de programación lineal, para maximizar recursos y minimizar costos.

• Determina algebraica y visualmente las asíntotas de algunas funciones racionales básicas.

• Utiliza procesos para la derivación y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.

13-14 (LM)

17-19 (LM)

19-29 (LM)

II.Funciones

Definición y clasificación de funciones.• Valor numérico.

Dominio, rango y contradominio.

Operaciones entre funciones.• Inversa de una función.

Comportamiento.• Función creciente

o decreciente.• Función par o impar.• Funciones sobreyectiva

y biyectiva.

• Calcula y resuelve operaciones con funciones para poder analizar el comportamiento local de una función (los ceros de la función, f, f´, f´´ ). En algunos casos, se podrán estudiar los cambios de f “ mediante la tercera derivada.

34- 36 (LM)

37- 38 (LM)

39-42 (LM)

42-45 (LM)

45-51 (LM)

III.Límites

Límites.

Límite de una función.

Propiedades de los límites.

Límites de funciones con radicales.

Límites de funciones trigonométricas.

• Comprende la importancia de saber calcular el límite de una función.

• Interpreta el significado de límite indeterminado.

56-63 (LM)

63-67 (LM)

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Propiedades de los límites de funciones trigonométricas.

Límites de funciones exponenciales.Continuidad.

• Aplica diversas técnicas algebraicas para la resolución de problemas de límites, utilizando sus propiedades.

• Aprende diversas técnicas para resolver diferentes problemas de límites, seleccionando la más adecuada para el problema que se trate.

67-71 (LM)

IV.Razón

de cambio, promedio

y derivadas

Razón de cambio promedio.

Definición geométrica y analítica de la derivada.

Derivación por medio de fórmulas.

Regla de la cadena.

Derivada de funciones trascendentes.

Regla de L´HopitalDerivación implícita.

Derivabilidad.

• Comprende y aplica diversas técnicas de derivación a la solución de problemas.

• Que el alumno calcule derivadas sucesivas de funciones polinomiales y trigonométricas mediante la aplicación de algoritmos.

• Que el alumno prediga el comportamiento en el crecimiento de un proceso de cambio en el dominio continuo (variables reales) y en el dominio discreto (variables enteras).

77-80 (LM)

80-84 (LM)

84-89 (LM)

90-92 (LM)

92-96 (LM)

96-104 (LM)

105-111 (LM)

V.Derivadas

sucesivas

Derivadas sucesivas.• Notación.• Derivación implícita.

Comportamiento.• Funciones crecientes o

decrecientes.• Máximos y mínimos.˃Definiciones.˃Criteriodelaprimera

derivada.˃Criteriodelasegunda

derivada.

Aplicaciones.• Pendiente de la recta

tangente a una curva.• Ecuaciones de las rectas

tangente y normal a una curva.

• Dos curvas y su ángulo de intersección.

• Problemas de optimización.

• Cálculo de velocidad y aceleración.

• Localiza en el plano cartesiano las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función dada en un contexto específico.

• Aplica problemas de máximos para resolver problemas del campo de la física, como por ejemplo el tiro parabólico.

• Determina el máximo o mínimo de una función utilizando los criterios de la derivada.

• Determina los puntos de inflexión de una curva mediante el criterio de la segunda derivada.

• Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una función.

• Localiza los máximos y mínimos, así como las inflexiones de una gráfica para funciones polinomiales y trigonométricas.

117 (LM)

118 (LM)

118-121 (LM)

121-130 (LM)

131-155 (LM)

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Anexo de actividades

Anexo de Actividades de refuerzo para el programa 2017 de Cálculo diferencial

Las siguientes actividades contribuyen al cumplimiento de los aprendizajes esperados del nuevo programa 2017.

Tema. Valor absolutoActividad complementaria

1. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Qué entiendes por valor absoluto de un número?

b) Menciona algún ejemplo de valor absoluto.

Por definición, se dice que el valor absoluto de un número real a, debe ir escrito con dos rayas verticales, NO corchetes |a|. Puede ser escrito de dos formas: la primera es |a|, que es la representación de la forma positiva, y la segunda |−a|, que es la forma negativa; sea cual sea el caso, siempre el valor de |a| es positivo.Si el valor de a es cero, entonces el valor absoluto será cero.

Ejemplos:a) |2| = 2b) |−13| = 13c) |9 − 5| = 4d) |5 − 9| = 4e) | −10 − 10| = 0

2. Realiza los siguientes ejercicios.

a) |2| =b) |5| =c) |−20| =d) |2 + 15| =e) |−22 − 15| =f) |−20 + 35| =g) |2 − 2| =h) |−13 − 9| =i) |10 − 30| =j) |−1 − 1| =

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3. Explica el valor absoluto de un número de forma geométrica. Puedes utilizar la recta numérica. Explica a tus compañeros, usando tus propias palabras, lo que entiendes por valor absoluto de un número.

Tema. Jerarquía de operacionesActividad complementaria


a) ¿Qué entiendes por jerarquía de operaciones?

b) Menciona algún ejemplo donde apliques la jerarquía de operaciones.

c) ¿Qué sucede si no se respeta la jerarquía de operaciones?

d) ¿Cómo puedes alterar la jerarquía de operaciones?

Las operaciones indicadas de sumas y restas, y que NO tienen signos de agrupación, se efectúan en el orden en que están escritas. En el caso de que haya signos de agrupación, entonces deberán efectuarse primeramente las operaciones que se encuentren dentro de éstos, de tal forma que puedan suprimirse y así continuar con las operaciones tal y como estén escritas.

Ejemplos:a) 4 + 1 − 3 − 2 = 0b) 7 + 3 − 6 + 2 − 8 = −2c) (4 + 1) − (3 − 2) = 4d) 7 + (3 − 6 + 2) − 8 = −2

Cuando hay signos de agrupación dentro de otros signos de agrupación, el proceso para suprimirlos consistirá en ir desde adentro hacia afuera, es decir, se empezarán a suprimir desde el signo de agrupación más interno y continuar de esa forma hasta llegar al más externo.

Ejemplos:a) [9 + (5 − 3)] + [8 − (4 + 2)] = 13b) 50 + [(5 + 3) − 5] = 53

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En las operaciones indicadas de multiplicaciones, y que NO tienen signos de agrupación, se efectúan primero los productos (multiplicaciones) y después las sumas y restas.En el caso de que haya signos de agrupación se procede como se explicó anteriormente; al igual que para signos de agrupación dentro de otros.

Ejemplos:a) 8 + 2 × 3 = 14b) 4 × 3 +10 × 3 = 42c) 5 × 6 − 3 + 9 × 2 + 5 = 50d) (8 + 2 + 5) 3 = 45e) (20 − 5 + 3) 2 = 36f) 6[13 + (6 − 2)5] = 198

En las operaciones indicadas de multiplicaciones y divisiones, y que NO tienen signos de agrupación, se efectúan primero los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones), después las sumas y restas.En el caso de que hayan signos de agrupación se procede como se explicó en párrafos anteriores; al igual que para signos de agrupación dentro de otros.

Ejemplos:a) 2 + 8 ÷ 4 = 4b) 7 + 9 ÷ 3 − 4 × 4 + 5 = −1c) (25 + 10) ÷ 5 = 7d) (40 − 30) ÷ 2 + (10 × 3) ÷ 3 + (8 + 7) ÷ (6 − 3) = 20e) [15 + (9 − 4)5] ÷ [(10 × 5) ÷ (27 − 22)] = 4

Finalmente, en las operaciones indicadas de potencias, raíces, multiplicaciones y divisiones, y que NO tienen signos de agrupación, se efectúan primero las potencias y las raíces, después los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones), y por último las sumas y restas.En el caso de que hayan signos de agrupación se procede como se explicó en párrafos anteriores; al igual que para signos de agrupación dentro de otros.

2. Realiza los siguientes ejercicios.

a) √81 + 52 × 10 ÷ 100 × 10 − 50 + 9 = b) √81 + 52 × 10 ÷ 100 × 10 − (50 + 9) =c) √273 − 2 × 102 ÷ 2 + 20 − 5 × 2 + √16 =d) √273 – (2 × 102 ÷ 2 + 50) − 5x(2 + √16 ) =e) [15 + (√81 − 22 )5] ÷ [(√100 − 4) ÷ √16 + 5] =f) 14 × 3 + 100 × 3 = g) 15 × 2 − 33 + 9 × 32 + 5 =h) (8 + 12 + 5)30 = i) (20 − 50 + 3)22=j) 16[13 + (6 − 12)15] =

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3. Explica a tus compañeros, usando tus propias palabras, lo que entiendes por jerarquía de operaciones y lo que sucede cuando no se respeta. Utiliza un ejemplo de tu invención.

Tema. Leyes de exponentesActividad complementaria


a) ¿Qué entiendes por leyes de exponentes?

b) Menciona algún ejemplo donde apliques las leyes de exponentes.

c) ¿Qué diferencia hay entre un exponente y un coeficiente?

d) Explica, ¿qué sucede cuando tienes un coeficiente negativo con un exponente negativo y aplicas la ley del exponente negativo?

1. Exponente cero: Toda cantidad elevada al exponente cero es igual a 1. a 0 = 1

2. Exponente fraccionario: Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es equivalente a la raíz de índice igual al denominador del exponente, y la cantidad subradical con exponente igual al numerador.

a 2 3 = √a23

3. Exponente negativo: Toda cantidad elevada a un exponente negativo es equivalente a invertir la fracción con exponente positivo.

a -2

b -3 = b 3a 2

4. Exponentes que multiplican: Toda cantidad elevada a un exponente que multiplica a otra elevada a otro expo-nente, es igual a la misma cantidad elevada a la suma algebraica de los exponentes.

(a 3 )(a 2) = a 5

(a -3)(a -2) = a -5 = 1a 5

9


(a -3)(a 2 ) = a -1 = 1a

(a 3)(a -2) = a 1 = a

5. Exponentes que dividen: Toda cantidad elevada a un exponente que divide a otra elevada a otro exponente, es igual a la misma cantidad elevada a la resta de los exponentes (se resta el exponente del numerador menos el del denominador).

a 4a 2 = a2

a- 4

a- 2 = a -2 = 1a 2

a- 4

a 2 = a -6 = 1a 6

a 4

a -2 = a 6

6. Exponente elevado a una potencia: Toda cantidad elevada a un exponente que a su vez se eleva a una potencia, es equivalente a la misma cantidad elevada a la multiplicación de los exponentes.

(a -2)3 = a -6 = 1a 6

(a 2 )-3 = a -6 = 1a 6

(a -2)-3 = a 6

(a 2 )3 = a 6

2. Realiza los siguientes ejercicios aplicando las leyes de exponentes. Expresa los resultados solamente con exponentes positivos.

a) 230 =

b) M-7 =

c) 14-3 =

d) (107)(10-5)=

e) 1,2310 =f) (10-4)-3 =

g) 187 × 1012

6 × 10-4 =

h) 2-1 + 3-1

25 =

i) (102)0 =

j) 122-2 + 3-1 =

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3. Explica a tus compañeros, usando tus propias palabras, lo que entiendes por exponente cero. Idea una forma de explicarlo sin tener que recurrir a las leyes.

Tema. Productos NotablesActividad complementaria


a) ¿Qué entiendes por la palabra “producto”?

b) ¿Qué entiendes por la palabra “notable”?

c) ¿Qué diferencia hay entre un binomio cuadrado y un binomio conjugado?

Productos notables: Son multiplicaciones (productos) que cumplen ciertas reglas que son siempre las mismas, y que por ello pueden ser resueltos fácilmente, conociendo y aplicando las leyes de exponentes.

Binomio cuadrado: La regla es: Cuadrado del primer término, más doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Cuando el binomio es negativo, se intercalan los signos comenzando con negativo. El resultado que se obtiene es un trinomio cuadrado perfecto (TCP).

Ejemplos:1. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

2. (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2

3. (3x 6 − 5x 2y 4)2 = 9x 12 − 30x 8 y 4 + 25x 4y 8

Binomio conjugado: La regla es: El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El resultado que se obtiene es una diferencia de cuadrados.

Ejemplos:1. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2

2. (2m3 + 3n2)(2m3 − 3n2)= 4m6 − 9n4

3. (4x 6 + 6y 2z 5)(4x 6 − 6y 2z 5) = 16x 12 − 36y 4z 10

Binomio al cubo: La regla es: Cubo del primer término, más triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término, más triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término. En el binomio negativo, se intercalan los signos comenzando con negativo. El resultado que se obtiene es un polinomio cúbico perfecto (PCP).

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Ejemplos: (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 2

(a - b) 3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 2

(a 2 − 3b 3) 3 = a 6 − 9a 4 b 3 + 27a 2b 6 −27b 9 =

2. Realiza los siguientes ejercicios aplicando las reglas para resolver los siguientes productos notables. Aplica la leyes de exponentes para dejar resultados positivos y sin exponentes fraccionarios.

a) (x + 3)2 =

b) (5ab 3 − 2a 3b)2 =

c) (2x + y)3 =

d) (a 2 − 3b)3 =

e) ( 12x + 1

2y )2 =

f) ( 13a − 1

3b )3 =

g) (√x ) + √b3 )2 =

h) (3x -3) + -24b )2 =

i) (x 2 − 34 √y)3 =

j) (√a34 − -23b )2 =

3. Responde los siguientes cuestionamientos.

a) ¿Como harías para elevar al cuadrado un polinomio, por ejemplo, (a + b + c)2?

b) Discutan en parejas cuál sería la estrategia a seguir. Finalmente, si les es posible, establezcan una regla a seguir.

c) ¿Cómo harías para elevar binomios a potencias mayores a 3? Por ejemplo (a + b)5

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d) Investiga el proceso para construir el triángulo de Pascal y su aplicación en el desarrollo de binomios de cualquier potencia.

Tema. FactorizaciónActividad complementaria


a) ¿Qué entiendes por “factorizar”?

b) Explica brevemente como factorizarías el número 364.

c) Explica brevemente como factorizarías el trinomio x 2 + 12x − 364.

La factorización es el proceso que consiste en descomponer una expresión, aritmética o algebraica, en sus factores. Existen diversos tipos de factorización por lo que es necesario analizar muy bien la expresión algebraica que se ha de factorizar, para decidir cuál será el método empleado para factorizarla. En todos los casos, una factorización bien hecha será aquella en donde todos los paréntesis queden infactorizables y que al multiplicar los factores obtenidos se obtenga la expresión algebraica original. De igual forma deben seguirse las leyes de los exponentes.

Las factorizaciones más empleadas son las siguientes:

1. Factor común monomio (FCM): Se extrae como factor común un monomio que puede contener coeficientes numéricos y literales con el menor exponente.

Ejemplos:a) x 2 +2x = x(x + 2)b) 4b 2 − 8b 5 = 4b 2 (1 − 2b 3)c) 10 z − 30 xz 2 = 10 z (1 − 3xz)

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2. Factor común polinomio (FCP): Se extrae como factor común un polinomio, que debe ser idéntico en toda la expresión que se ha de factorizar. Se abren dos paréntesis; en el primer paréntesis, se coloca el FCP y lo que sobre se coloca en el segundo paréntesis.

Ejemplos:a) x (a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)b) z (y + 3) + y + 3 = (y + 3)(z + 1)c) (x − c)(y + 5) + d(y + 5) = (y + 5)(x − c + d)

3. Factorización por agrupación de términos. Consta de tres pasos.a) Agrupación de términos que tengan factores comunes.b) FCMc) FCP

Ejemplos:a) dx + bx + dy + by = (dx + bx) + (dy + by) = x (d + b) + y(d + b) = (d + b) (x + y)

b) dx + dy +bx + by = (dx + dy) + (bx + by) = d(x + y) + b(x + y) = (x + y)(d + b)

c) 8ax – 8x + 5y – 5ay = (8ax – 8x) + (5y – 5ay) = 8x (a – 1) + 5y (1 – a) = 8x (a – 1) –5y (–1 + a) = (a – 1)(8x – 5y) =

4. Trinomio cuadrado perfecto: Se identifica fácilmente porque el primer y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y el segundo término se obtiene al multiplicar las raíces y duplicarlas. Por ello, para factorizarlo, se abre un paréntesis elevado al cuadrado y se colocan las raíces obtenidas, copiando el primer signo del TCP. El resultado de esta factorización es un binomio cuadrado.

Ejemplos: a) 4y2 + 20yb + 25b2 = (2y + 5b)2

b) 1 – 16az 2 + 64a 2z 4 = (1 – 8 az 2)2

5. Diferencia de cuadrados: Se identifica fácilmente porque ambos términos tienen raíz cuadrada exacta. Se abren dos paréntesis, uno con signo más y otro con menos; se colocan las raíces en los paréntesis. El resultado de esta factorización es un binomio conjugado.

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Ejemplos: a) y 2 – x 2 = (y – x)(y + x)b) x 4

16 – 81y 2 = ( x 2

4 – 9y )( x 2

4 + 9y )

c) 9m2a – 25n 4m = (3ma – 5n2m )(3ma + 5n2m)

6. Trinomios: Sean con coeficiente 1 o diferente de 1 en el término cuadrático se factorizan mediante un método llamado “columnas”, en el cual se buscan factores que multiplicados den el primero y tercer términos; posteriormente se multiplican de forma horizontal para colocar el resultado en la columna de en medio; la suma algebraica debe dar el coeficiente del segundo término del trinomio. Se ajustan los signos. Finalmente se abren dos paréntesis y se colocan los términos de los extremos en cada paréntesis.

Ejemplos:a) x 2 − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) X − 5x − 5 X − 2x − 2

b) 6x 2 − 7x − 3 = (3x + 1)(2x − 3) 3x − 9x − 3 2x + 2x + 1

c) 15x 4 − 11x 2 − 12 = (5x 2 + 3)(3x 2 − 4) 5x 2 − 2x 2 − 4 3x 2 + 9x 2 + 3

7. Suma y resta de cubos: Se factorizan abriendo dos paréntesis. En el primero se colocan las raíces cúbicas de cada término. En el segundo paréntesis se coloca el cuadrado del primer término del paréntesis; el primer término por el segundo; el cuadrado del segundo. Tener cuidado con la colocación de los signos: si es positivo, entonces los signos son positivos en el primer paréntesis y alternados en el segundo. Si es negativo, entonces los signos son negativos en el primer paréntesis y positivos en el segundo:

Ejemplos:1. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)2. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

2. Realiza las siguientes factorizaciones aplicando las reglas para resolverlas, no sin antes hacer un análisis cuidadoso del ejercicio. Recuerda que los paréntesis deben quedar infactorizables.

a) x 2 − 4 x − 320 =

b) 7x 2 − x =

c) 27d 3 − 1 =

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d) 25a4 − 81b2 =

e) x (a + 1) −y(a + 1) + z(a + 1) =

f) −17x− + 15 x4 − 4 =

g) 3b 2 + 3 =

h) (a + b)2 − 81 =

i) (a − 2b)2 − (a + 3b)2 =

j) x 2 + 4y 2 − m 2 − 9n 2 - 6mn + 4xy =

3. Analiza y responde lo siguiente.

a) Explica, ¿cómo factorizarías 2x 4 − 32?

b) ¿Cuántos factores esperarías obtener de esa factorización?

c) ¿Es posible factorizar una suma de cuadrados?

d) ¿Es posible factorizar el segundo paréntesis de una suma o resta de cubos?

Tema. RacionalizaciónActividad complementaria


a) ¿Qué entiendes por “racionalizar”?

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b) Explica brevemente como racionalizarías el denominador cuando es un monomio, en una fracción algebraica.

c) Explica brevemente como racionalizarías el denominador cuando es un binomio con radicales de segundo grado, en una fracción algebraica.

Racionalización significa quitar las raíces del denominador en una fracción algebraica. Para ello y cuando el denominador es un monomio se multiplican ambos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador, de tal forma que se convierta en una cantidad racional. En el caso de que el denominador sea un binomio con radicales de segundo grado, se multiplicarán ambos términos de la fracción por el conjugado del denominador. Finalmente, se simplifica el resultado obtenido.

Ejemplos:

a) 7√3x

= 3√3x(√3x)(√3x)

= 3 √3x3x

= √3xx

b) √5 + 2√74√5 − 3√7

= √5 + 2√74√5 − 3√7

× 4√5 + 3√74√5 + 3√7

= 16√25 − 9√49

4√25 + 3√35 + 8√35 + 6√49 = 16(5) − 9(7)

4(5) + 11√35 + 6(7) = 80 − 63

20 + 11√35 + 42 = 17

62 + 11√35

2. Realiza las siguientes racionalizaciones, simplificando el resultado obtenido.

a) 2√5

=

b) a4√27a3

=

c) 15√8b3

=

d) 5x 2

√3a5 =

e) 34√4 x

=

f) 3 − √21 + √2

=

g) 5 + 2√34 − 3√3

=

h) √2 + √32√2 + √3

=

i) 9√3 − 5√26 + √2

=

j) √x + y + √x − y√x + y − √x − y

=

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a) Explica, ¿por qué se debe multiplicar por el conjugado para racionalizar un denominador que es un binomio con radicales de segundo grado?

b) ¿Cómo es el producto de dos expresiones conjugadas?

c) Demuestra lo anterior con un ejemplo de tu invención.

Tema. Identidades TrigonométricasActividad complementaria


a) ¿Qué entiendes por identidades trigonométricas?

b) Explica brevemente su utilidad.

c) Menciona alguna identidad que conozcas.

Las identidades trigonométricas son expresiones muy útiles para simplificar fracciones trigonométricas. Las más utilizadas se presentan en el siguiente recuadro:

Recíprocas: División: Pitagóricas:

(sen A) (csc A) = 1

(cos A) (sec A) = 1

(tan A) (cot A) = 1

tan A = sen Acos A

cot A = cos Asen A

Sen 2 A + cos 2 A = 1

Tan 2 A + 1 = sec 2 A

Cot 2 A + 1 = csc 2 A

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Para simplificar las fracciones trigonométricas se aconseja reducirlas a expresiones que contengan seno y coseno solamente.

Ejemplo:

cot A × sec 2A1 + cot 2A =

cos Asen A ×

1cos2 A

cos2 A sen2 A 1 +

= 1

sen A cos A sen2 A + cos2 A

sen2 A

= 1sen a cos A

= sen 2 Asen 2A + cos 2A

= sen Acos A

= tan A

2. Simplifica las siguientes fracciones trigonométricas utilizando las identidades que convengan.

a) 1 + cot 2 Bsec 2 B =

b) 1 + cot 2 Asec 2A cot A =

c) 1 + cot 2A1 + csc 2 A =

d) csc 2A − 1cos 2 A csc A =

e) csc 2 A + sec 2 Acsc 2 A sec A =

f) csc 2 Acot A sec 2 A =

g) 1 + cot 2 Bsec 2 B =

h) 1 + csc 2 A − 11 + csc A =

i) 1sen B Cos B − 1

tan A =

j) sen A(cot 2 A + 1) =

3. Discute con tus compañeros de equipo las estrategias que utilizaron para resolver los ejercicios anterio-res. Compartan los problemas a los que se enfrentaron y cómo lograron resolverlos.

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