Autores: Sara Arancibia C CALCULO II · PDF filesu aplicación a muchos problemas que...

Universidad Diego Portales CALCULO II

1

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

CALCULO II

Autores: Sara Arancibia C

Viviana Schiappacasse C


2

PROGRAMA

OBJETIVOS•Comprender y aplicar los conceptos fundamentales del Cálculo Integral y Series

•Usar el Cálculo Integral y Series como herramienta en la resolución de problemas aplicados a Ingeniería, Economía, Optimización y otras áreas.

•Implementar tecnología Educativa


3

¿ Qué objetivos tiene el uso de la tecnología educativa?

• Desarrollar una actitud crítica hacia los resultados que se obtienen de la calculadora y/o Software y reafirmar el papel fundamental del hombre como elemento racional frente a la automatización de la máquina.

• Internalizar la conducta de comprobar y confrontar resultados del software o la calculadora gráfica con los obtenidos por víamanual• Usar el Software o la calculadora gráfica y su poder de programación como un instrumento intelectual y profesional

• Fomentar la actividad de traducción de un problema de tipo algebraico a uno de tipo gráfico o numérico y viceversa, con el objeto de hallar soluciones diferentes a un mismo problema


4

CONTENIDOS

•Integral indefinida•Integral Definida•Ecuaciones Diferenciales•Aplicaciones de la Integral Definida•Integrales Impropias•Sucesiones y Series

EVALUACION

Se contemplan controles parciales, trabajos de laboratorio, informes y dos pruebas solemnes, que en conjunto valen un 70% de la nota final, y un examen que vale un 30%.


5

BIBLIOGRAFIATexto guíaApunte de Cálculo 2 , autores: Sara Arancibia y Viviana SchiappacasseCálculo. Stewart James. Editorial Thomson

Texto guia complementarioCálculo con Geometría Análitica, Edwards& Penney. Editorial Prentice Hall

Texto complementarioCálculo para administración, Economía y Ciencias Sociales, Hoffmann & Bradley. Mc-Graw Hill

Guías laboratorios de Calculadora ClassPad 300 para Cálculo 2


6

Introducción


7

El cálculo integral se basa en el concepto de la integral.La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b].

El área R de la región de la figura esta´dada por la integral de f de a a b, denotada por el símbolo

¿Qué problema motivael concepto de integral?

∫b

a

xf )(


8

Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original: problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen, longitud de arco, área de una superficie y centro de gravedad, entre otros.

El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(x) , necesitamos determinar una nueva función F(x) cuya derivada sea f(x): )()(' xfxF =


9

Integral Indefinida


10

Antiderivadas o primitivas y problemas con condiciones iniciales

El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las leyes y principios científicos.Por ejemplo la ley de enfriamiento de Newton dice que la razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura del medio ambiente. Es decir,

)( ATkdtdT −−=

Donde k es una constante positiva y A, que normalmente se considera constante, es la temperatura ambiente.


11

La ley de Torricelli dice que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua

hkdtdV −=

Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones con derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales.El tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma

)(xfdxdy =


12

Donde f es una función dada (conocida) y la función y(x) es desconocida.El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x)

)()`( xfxy =

Entonces decimos que y(x) es una primitiva ( o antiderivada ) de f(x)

Definición: Antiderivada o primitivaUna antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que

siempre y cuando f(x) esté definida.

)()`( xfxF =


13

Algunas antiderivadas de f(x)=3x2


14

Una sola función tiene muchasprimitivas, mientras que una función sólo

puede tener una derivada

Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección de la constante C

Teorema: La primitiva más general Si F`(x)=f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f en I tiene la forma

G(x)=F(x)+Cdonde C es una constante


15

La colección de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto a x y se denota

∫ dxxf )(

Con base en el teorema, escribimos

CxFdxxf +=∫ )()(Por tanto

f(x)F`(x) si sóloy si )()( =+=∫ CxFdxxf


16

Ejemplo:

∫∫ +=+= Cxxdx Cxdxx sencos 41 43

Recuerde que la operación de derivación es lineal, lo que significa

En la notación de antiderivación, esto implica que

[ ][ ] )`()`()()(D

constante una es c donde )`()(

x xGxFxGxFxcFxcFDx

+−

+− =

=

[ ] g(x)dx f(x)dx dxg(x)f(x)

dxxfcdxxcf

-- ∫∫∫

∫∫

++ =

= )()(


17

Ejercicio: Determine

( )∫∫ +++ dtcos(2t) sen(4t) )254( 2

3 dxx

xx

Ejercicio: Verifique los siguientes resultados

Ckxk

kxdx

Ctankxk

kxdx

Ckxk

kxdx

Ckxk

kxdx

+−=

+=

+−=

+=

∫

∫

∫

∫

cot1csc

1sec

cos1sen

sen1cos

2

2


18

Métodos de integración

¿Cómo reconocer cuál técnicaemplear para integrar ?

No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración

∫ ∫

∫∫

∫∫

+=+=

+=+=

+=≠++

=+

Cxxdx. C x-xdx.

Ca

adxa. C edxe.

Cxdxx

. ) -nC ( nxdxx.

xxxx

nn

sencos6cossen5ln

43

ln12 1 1

11

Tabla de fórmulas de integración


19

Tabla de fórmulas de integración

Cax

xC

axtan

aa

Cxxdx C xdx

Cxxdx. C tanxdx.

Cdxx C dxx

Cxdxxx. C x dxxtanx.

Cxxdx C tanxxdx

+

=−

+

=+

+=+=

+=+=

+=++=

+−=+=

+−=+=

−−∫∫

∫∫

∫ ∫

∫∫

∫∫

∫∫

1

22

122

22

sena

dx 18. 1x

dx .17

senhcosh .16coshsenh .15

sen lncot14secx ln13

cotx -cscx lncsc12 tanx secx lnsec.11

csccotcsc.10 secsec9

cotcsc 8. sec .7


20

Métodos de integración

Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas

Integración por sustitución:Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I,

∫ ∫= duufdxxgxgf )()´())((


21

La regla de sustitución para integrar correspondea la regla de la cadena para diferenciar.

Debemos tener presente que siu=g(x), entonces du=g´(x)dx

Ejercicio: Determine las siguientes integrales

dx

xx

dxex

dxxxx

x

∫

∫

∫

∫

++

+++

+

+

x(lnx)

dx 382

)32)(53(9

2

2

23

2

63x

4


22

∫ ∫∫ = g(x)dxf(x)dxdxxgxf )()( ?

Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple

La regla del producto establece que si f y g son funciones diferenciables,

[ ] )´()()()´()()( xgxfxgxfxgxfdxd +=

En la notación de las integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en [ ] )()()´()()()´( xgxfdxxgxfxgxf =+∫

)()()´()()()´( xgxfdxxgxfdxxgxf =+ ∫∫

Es decir


23

Integración por partes

Reordenando la expresión anterior se tiene la fórmula de integración por partes

dxxgxfxgxfdxxgxf ∫∫ −= )()´()()()´()(

Notación: Sean u=f(x) y v = g(x) entonces du=f´(x)dx y dv=g´(x) dxasí, según la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes se transforma en

∫∫ −= vduuvudv

dxexdx xdxexxdxxdxxx xx∫∫∫∫∫ + 22 ln cos 5



24

Integrales Trigonométricas

Las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas

Cómo evaluara) Si la potencia del coseno es impar

A continuación se sustituye u=senxb) Si la potencia del seno es impar

A continuación se sustituye u=cosx

xdxx nm cossen∫

( )( ) xdxxx

xdxxxxdxxkm

kmkm

cossen1sen

coscossencossen2

212

−=

=

∫

∫∫+

( )( )∫

∫∫

−=

=+

xdxxx

xdxxxxdxxnk

nknk

sencoscos1

sencossencossen2

212


25


C) Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades del ángulo medio

A veces es útil emplear la identidad

)2cos1(21cos )2cos1(

21sen 22 xxxx +=−=

xxx 2sen21cossen =

cossen 3sen 222 xdxxxdx ∫∫

cos x cossen 523∫∫ xdxxdx



26

Cómo evaluar

a) Si la potencia de la secante es par

A continuación se sustituye u=tanxb) Si la potencia de la tangente es impar

A continuación se sustituye u=secx

xdxxtan nm sec∫

( )( ) xdxxtanxtan

xdxxxtanxdxxtankm

kmkm

212

2122

sec1

secsecsec−

−

+=

=

∫

∫∫

( )( )∫

∫∫−

−+

−=

=

xtanxdxxx

xtanxdxxxtanxdxxtannk

nknk

secsec1sec

secsecsec12

1212

2sec sec 623 xdxxdxxtan ∫∫Ejercicio: Determine


27

Obs: Si n es impar y m es par, todo el integrando se expresa en términos de secx. Es posible que las potencias de secxrequieran integración por partes.

Ejercicio:Pruebe que

( ) Cxtanxxdx

Ctanx x xdx

+++=

++=

∫

∫

tanx secx lnsec21sec

seclnsec

3

Obs: Integrales de la forma se pueden determinar con métodos semejantes, a causa de la identidad 1+cot2x=csc2x

xdxx nm csccot∫


28

¿Y cómo calculamos lasintegrales del tipo ? cossen nxdxmx∫

Para evaluar las integrales

se emplean las identidades correspondientes

coscos sensen cossen nxdxmxnxdxmxnxdxmx ∫∫∫

[ ]

[ ]

[ ])cos()cos(21cosAcosB )

)cos()cos(21senAsenB )

)sen()sen(21senAcosB )

BABAc

BABAb

BABAa

++−=

+−−=

++−=

Ejercicio: Determine ∫ ∫ xdxx xdx x 4cos3cos2sen5sen


29

Sustitución trigonométricaA menudo es efectivo el método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas expresiones algebraicas tales como

222222 axxaxa −+−

En general, podemos efectuar una sustitución de la forma x=g(t) aplicando la regla de sustitución al revés. Para simplificar nuestras operaciones, supondremos que g tiene una función inversa; esto es, que es biyectiva. En este caso, si reemplazamos u por x y x con t en la regla de sustitución, llegamos a

∫ ∫= t)dtf(g(t))g´( f(x)dxA este tipo de cambio se le llama sustitución inversa


30

dx 22∫ − xa

Podemos aplicar la sustitución inversa x=asenθ, siempre que restrinjamos θ al intervalo [-π/2, π/2]

Para calcular ¿Qué sustitución aplicamos?

∫ − dx 22 xa

θθπθππθ

θθπθπθ

θθπθπθ

2222

2222

2222

1sec 2

3 o 2 0 asec x

sectan1 2

2 - atan x

cossen-1 2

2 - asen x

Identidad n Sustitució Expresión

tanax

xa

xa

=−<≤<≤=−

=+≤≤=+

=≤≤=−


31

Obs: En cada caso, se impone la restricción sobre θ para asegurar que la función que define a la sustitución sea biyectiva


θ

θ

θ

5secx 5 dx x 25x

tan23 x

)94(1

senx 1 x donde ,1

2

22

2

3

=>−

=+

=<−

∫

∫

∫

x

dxx

dxx

x


32

Integrales que contienen polinomios cuadráticosMuchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2+bx+c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.Por ejemplo

y por tanto, con la sustitución u=x+1, du=dx, se obtiene

1)1(22 22 ++=++ xxx

CxtanCutanduu

dxxx

++=+=+

=++

−−∫∫ )1(

11

221 11

22

En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia

de cuadrados para que se pueda usar el método de

sustitución trigonométrica

o 2222 -u aau +−


33

Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales

¿Cómo integrar unafunción racional?

Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales

Consideremos la función racionalQ(x)P(x) f(x) =

Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas,siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.Si f es impropia; esto es, si grad(P)≥grad(Q), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que

Q(x)R(x)xS

Q(x)P(x) f(x) +== )(


34

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales, de la forma

ji c)bx(axBAx

baxA

+++

+ 2bien o )(

Caso I: El denominador. Q(x), es un producto de factores lineales distintos.

Esto significa que podemos escribir

)..().........)(()( 2211 kk bxabxabxaxQ +++=

)(...........

)()()()(

22

2

11

1

kk

k

bxaA

bxaA

bxaA

xQxR

+++

++

+=

En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... Ak tales que


35


∫∫∫ −−+−−

−+ )4(xdx

2434x

)2)(12(5

223

2

dxxxx

xdxxx

Caso II: Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten

Considere que el primer factor lineal se repite r veces; esto es, en la factorización de Q(x) se obtiene Entonces, en lugar del término único emplearíamos

)( 11 bxa +rbxa )( 11 +

)/( 111 bxaA +

rr

bxaA

bxaA

bxaA

)(...........

)()( 112

11

2

11

1

+++

++

+

Por ejemplo: 32232

3

)1()1()1()1(22

−+

−+

−++=

−−+

xE

xD

xC

xB

xA

xxxx


36


dxxxxxdx

xxxxdx

xxxx

∫∫∫ +−−

+−−+

−−−

3

23

2

2

3

2

)35)(6(

)32()12(43

)1(14

Caso III: Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite

Si Q(x) tiene el factor ax2+bx+c, en donde b2-4ac<0, entonces la expresión R(x)/Q(x) tendrá un término de la forma

cbxaxBAx++

+2

Por ejemplo: 412)4)(1)(2( 2222 +

+++++

−=

++− xEDx

xCBx

xA

xxxx


37

Obs: El término se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula

cbxaxD

++2

caxarctan

aaxdx +

=+∫

122


dxxxxx

xdx

xxx

∫∫∫ +++−

−+−

)2)(1(24

xdx

)2(2

22

23

362

2


38

)4)(1(

1 dx )1(

2x3x-1 222

24

22

32

dxxxxx

xxx

∫∫ ++++

+−+

Caso IV: Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible repetido

Si en Q(x) aparece el factor en donde b2-4ac<0 entonces, en lugar de la fracción parcial única se tiene la suma

rcbxax )( 2 ++

cbxaxBAx++

+2

( ) ( )rrr

cbxax

BxA

cbxax

BxAcbxax

BxA

++

+++

++

++

+++

222

222

11 ....

En la descomposición en fracciones parciales de R(x)/Q(x). Cada uno de los términos de la expresión anterior se puede integrar completando el cuadrado y con una sustitución tangente



39

Expresiones Racionales en senx y cosx

Existe una sustitución que hace posible la integración de todas las expresiones racionales en senx y cosx

Teorema:Si f(x) es una expresión racional en senx y cosx, la sustitución

x2arctanu o 2

1 == xtanu

transforma la integral

en la integral de una función racional de u

∫ dxxf )(


40

Demostración:

Seadxduxarctanu =

+=

2u12 ,2

Y obsérvese quextanu

21=

X/2

21 u+

1

u


41

duu

arctanufdxxf∫ ∫ +=

21)2(2)(

Supongamos ahora que f(x) es racional en sen y cos. Para probar el teorema necesitamos demostrar que f(2 arctan u ) es racional en u, lo que puede hacerse demostrando que sen(2 arctan u) y cos( 2 arctan u) son racionales en u. Esto se deduce directamente:

+=

+

+=

==

2

22

12

1

1

12

21cos

21sen2sen)2sen(

uu

uu

u

xxxarctanu


42

2

2

2

2

2

22

11

111

21sen

21coscos)2cos(

uu

uu

u

xxxarctanu

+−=

+−

+=

−==

Se ha deducido que la sustitución 2 arctan u=xConduce a las siguientes fórmulas

2

2

2 11)2cos(

12)2sen(

uuarctanu

uuarctanu

+−=

+=

∫∫ ∫ ++ senx-1dx

1-secx2tanxsecx

cos21dx

xdx

Ejercicio: Hallar


43

Sustituciones para racionalización

Algunas funciones se pueden transformar en funciones racionales por medio de sustituciones adecuadas, y con ello integrar mediante los métodos anteriores. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de la forma puede ser ventajoso emplear la sustitución g(x)u n=

g(x)n


dxxx

dx x

x dx x

∫∫∫+++ 1

111

13

Autores: Sara Arancibia C CALCULO II · PDF filesu aplicación a muchos problemas que...

Documents

Transcript of Autores: Sara Arancibia C CALCULO II · PDF filesu aplicación a muchos problemas que...