Avances recientes en Teoría de la Fiabilidad usando signaturas · Representaciones de sistemas de...
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Avances recientes en Teoría de la Fiabilidadusando signaturas
Jorge Navarro1, 2, Universidad de Murcia, Spain
May 27, 2009
1Supported by Ministerio de Ciencia y Tecnologia, MTM2006-128342Basado en Navarro, Samaniego, Balakrishnan, and Bhattacharya (2008,
Naval Res. Logist. 55, 313-327)Jorge Navarro Representaciones usando signaturas
IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Sistemas coherentes y estadísticos ordenados
X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Sistemas coherentes y estadísticos ordenados
X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Sistemas coherentes y estadísticos ordenados
X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Sistemas coherentes y estadísticos ordenados
X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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Sistemas coherentes y estadísticos ordenados
X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ
(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).
F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).
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Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Representaciones como mixturas
Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces
F T =n∑
i=1
siF i:n. (1.1)
s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y
si =1n!
∑σ
1(σ ∈ Ai)
Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).
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Representaciones como mixturas
Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces
F T =n∑
i=1
siF i:n. (1.1)
s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y
si =1n!
∑σ
1(σ ∈ Ai)
Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
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Representaciones como mixturas
Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces
F T =n∑
i=1
siF i:n. (1.1)
s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y
si =1n!
∑σ
1(σ ∈ Ai)
Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).
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Representaciones como mixturas
Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces
F T =n∑
i=1
siF i:n. (1.1)
s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y
si =1n!
∑σ
1(σ ∈ Ai)
Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).
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Representaciones como mixturas
Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces
F T =n∑
i=1
siF i:n. (1.1)
s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y
si =1n!
∑σ
1(σ ∈ Ai)
Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).
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1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).3! = 6 permutaciones.
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X1 < X2 < X3 ⇒ T = X1 = X1:3
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X1 < X3 < X2 ⇒ T = X1 = X1:3
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X2 < X1 < X3 ⇒ T = X1 = X2:3
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X2 < X3 < X1 ⇒ T = X3 = X2:3
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Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X3 < X1 < X2 ⇒ T = X1 = X2:3
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X3 < X2 < X1 ⇒ T = X2 = X2:3
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).IID F cont.: s = (2/6, 4/6, 0) = (1/3, 2/3, 0).
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Ejemplo
1����
����
3
����
2
Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).IID F cont.: F T (t) = 1
3F 1:3(t) + 23F 2:3(t).
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Representaciones como mixturas
Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces
F T =n∑
i=1
aiF 1:i . (1.2)
a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:
F i:n =n∑
j=n−i+1
(−1)j+i−n−1(
j − 1n − i
)(nj
)F 1:j . (1.3)
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Representaciones como mixturas
Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces
F T =n∑
i=1
aiF 1:i . (1.2)
a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:
F i:n =n∑
j=n−i+1
(−1)j+i−n−1(
j − 1n − i
)(nj
)F 1:j . (1.3)
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Representaciones como mixturas
Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces
F T =n∑
i=1
aiF 1:i . (1.2)
a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:
F i:n =n∑
j=n−i+1
(−1)j+i−n−1(
j − 1n − i
)(nj
)F 1:j . (1.3)
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Representaciones como mixturas
Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces
F T =n∑
i=1
aiF 1:i . (1.2)
a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:
F i:n =n∑
j=n−i+1
(−1)j+i−n−1(
j − 1n − i
)(nj
)F 1:j . (1.3)
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Representaciones como mixturas-caso general
Recordemos que T = max1≤j≤r XPj
Luego: F t(t) = P(T > t) = P(∪rj=1{XPj > t})
Usando la fórmula para la probabilidad de una unión,tenemos
F T =r∑
j=1
F Pj −∑i<j
F Pi∪Pj + . . .± F 1:n.
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Representaciones como mixturas-caso general
Recordemos que T = max1≤j≤r XPj
Luego: F t(t) = P(T > t) = P(∪rj=1{XPj > t})
Usando la fórmula para la probabilidad de una unión,tenemos
F T =r∑
j=1
F Pj −∑i<j
F Pi∪Pj + . . .± F 1:n.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
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Representaciones como mixturas-caso general
Recordemos que T = max1≤j≤r XPj
Luego: F t(t) = P(T > t) = P(∪rj=1{XPj > t})
Usando la fórmula para la probabilidad de una unión,tenemos
F T =r∑
j=1
F Pj −∑i<j
F Pi∪Pj + . . .± F 1:n.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ejemplo
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����
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2
Sistema coherente con tiempo de vidaT = min(X1, max(X2, X3)).
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
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Ejemplo
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2
Caminos minimales P1 = {1, 2} and P1 = {1, 3}.
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ejemplo
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2
F T (t) = F {1,2}(t) + F {1,3}(t)− F {1,2,3}(t).
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ejemplo
1����
����
3
����
2
EXC: F T (t) = 2F 1:2(t)− F 1:3(t).
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ejemplo
1����
����
3
����
2
IID: F T (t) = 2F2(t)− F
3(t).
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Ordenes estocásticos
X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.
X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.
X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .
X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.
X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.
X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .
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Ordenes estocásticos
X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.
X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.
X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .
X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.
X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.
X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .
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Ordenes estocásticos
X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.
X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.
X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .
X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.
X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.
X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .
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Ordenes estocásticos
X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.
X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.
X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .
X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.
X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.
X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .
Jorge Navarro Representaciones usando signaturas
IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ordenes estocásticos
X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.
X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.
X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .
X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.
X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.
X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .
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Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Ordenes estocásticos
X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.
X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.
X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .
X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.
X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.
X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Relaciones entre órdenes
E(Xs,t) ≤ E(Ys,t) ⇒ E(Xt) ≤ E(Yt) ⇒ E(X ) ≤ E(Y )m m m
X ≤DTM Y ⇒ X ≤MRL Y ⇒ X ≤M Y⇑ ⇑ ⇑
X ≤LR Y ⇒ X ≤HR Y ⇒ X ≤ST Ym m m
Xs,t ≤ST Ys,t ⇒ Xt ≤ST Yt ⇒ F X ≤ F Y
donde Zt = (Z − t |Z > t) y Zs,t = (Z |s < Z < t) (ver Navarro,Belzunce and Ruiz 1997, PEIS).
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Comparaciones usando signaturas
Theorem (Kochar, Mukerjee and Samaniego (1999))
Sean s1 y s2 las signaturas de dos sistemas coherentes deorden n,ambos basados en componentes IID con distribucióncontinua común F. Sean T1 y T2 sus tiempos de vidas.(a) Si s1 ≤ST s2, entonces T1 ≤ST T2.(b) Si s1 ≤HR s2, entonces T1 ≤HR T2.(c) Si F es absolutamente continua y s1 ≤LR s2, entoncesT1 ≤LR T2.
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Sistemas mezclados
Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).
El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura
∑ki=1 pis i .
De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :
∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado
y viceversa.
Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.
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Sistemas mezclados
Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).
El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura
∑ki=1 pis i .
De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :
∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado
y viceversa.
Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.
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Sistemas mezclados
Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).
El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura
∑ki=1 pis i .
De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :
∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado
y viceversa.
Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.
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Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Sistemas mezclados
Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).
El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura
∑ki=1 pis i .
De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :
∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado
y viceversa.
Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Notación y resultados precedentesResultados nuevos
Resultados nuevos
Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:
Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.
Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .
Comparaciones de sistemas de diferente orden.
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Notación y resultados precedentesResultados nuevos
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Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:
Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.
Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .
Comparaciones de sistemas de diferente orden.
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Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.
Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .
Comparaciones de sistemas de diferente orden.
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Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:
Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.
Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .
Comparaciones de sistemas de diferente orden.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Caso n = 2
Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.
F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.
IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.
Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2
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EjemplosResultado principal
Caso n = 2
Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.
F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.
IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.
Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2
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Caso n = 2
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F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.
IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.
Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2
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Caso n = 2
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F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.
IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.
Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2
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Caso n = 2
Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.
F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.
IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.
Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2
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EjemplosResultado principal
Caso n = 2
Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.
F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.
IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.
Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Caso n = 3
Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).
F 1:3 = F 1:3.
Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.
IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3
La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).
Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.
La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
Jorge Navarro Representaciones usando signaturas
IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Caso n = 3
Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.
IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2
3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).
Luego: F T = 13F 1:3 + 2
3F 2:3
(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC
Theorem
Si (X1, X2, . . . , Xn) es EXC y T = φ(X1, X2, . . . , Xn), entonces
F T =n∑
i=1
siF i:n, (2.1)
donde (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de T en el caso IID condistribución continua.
Nótese que si 6= P(T = Xi:n) pero que
si =1n!
∑σ
1(σ ∈ Ai)
Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, donde xσ(1) < ... < xσ(1)}.Jorge Navarro Representaciones usando signaturas
IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC-Demostración
De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC-Demostración
De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC-Demostración
De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC-Demostración
De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC-Demostración
De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principal
Resultado principal-EXC-Demostración
De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de sistemas de diferente orden
Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1
2F 2:2.
En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces
F 1:1 =1n
F 1:n + . . . +1n
F n:n. (3.1)
Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1
3F 2:3 (Regla delTriángulo).
Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2
3F 3:3.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de sistemas de diferente orden
Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1
2F 2:2.
En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces
F 1:1 =1n
F 1:n + . . . +1n
F n:n. (3.1)
Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1
3F 2:3 (Regla delTriángulo).
Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2
3F 3:3.
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EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de sistemas de diferente orden
Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1
2F 2:2.
En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces
F 1:1 =1n
F 1:n + . . . +1n
F n:n. (3.1)
Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1
3F 2:3 (Regla delTriángulo).
Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2
3F 3:3.
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de sistemas de diferente orden
Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1
2F 2:2.
En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces
F 1:1 =1n
F 1:n + . . . +1n
F n:n. (3.1)
Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1
3F 2:3 (Regla delTriángulo).
Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2
3F 3:3.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de sistemas de diferente orden
Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.
Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1
2F 2:2.
En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces
F 1:1 =1n
F 1:n + . . . +1n
F n:n. (3.1)
Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1
3F 2:3 (Regla delTriángulo).
Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2
3F 3:3.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n
Theorem
Si (X1, X2, . . . , Xn) es EXC y T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) (k < n),entonces
F T =n∑
i=1
si(n)F i:n (3.2)
donde el vector s(n) = (s1(n), s2(n), . . . , sn(n)) no depende deF. s(n) es la signatura de orden n de T .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Representaciones de orden n-Demostración
Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)
′
An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.
Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.
De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.
Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.
Los coeficientes no dependen de F .
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Relaciones entre signaturas.
Si s(n) = (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de orden n de T ,entonces T es igual en ley al sistema mezclado con(n + 1) componentes con signatura
s(n+1) =
(ns1
n + 1,s1 + (n − 1)s2
n + 1,2s2 + (n − 2)s3
n + 1, . . . ,
nsn
n + 1
)(3.3)
Aplicando repetidas veces (3.3) se obtiene una fórmulageneral para s(m) en función de s(n) (n < m).
El teorema de preservación de órdenes se puede aplicarahora a esos sistemas mezclados para comparar sistemasde diferente orden en el caso EXC.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Relaciones entre signaturas.
Si s(n) = (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de orden n de T ,entonces T es igual en ley al sistema mezclado con(n + 1) componentes con signatura
s(n+1) =
(ns1
n + 1,s1 + (n − 1)s2
n + 1,2s2 + (n − 2)s3
n + 1, . . . ,
nsn
n + 1
)(3.3)
Aplicando repetidas veces (3.3) se obtiene una fórmulageneral para s(m) en función de s(n) (n < m).
El teorema de preservación de órdenes se puede aplicarahora a esos sistemas mezclados para comparar sistemasde diferente orden en el caso EXC.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Relaciones entre signaturas.
Si s(n) = (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de orden n de T ,entonces T es igual en ley al sistema mezclado con(n + 1) componentes con signatura
s(n+1) =
(ns1
n + 1,s1 + (n − 1)s2
n + 1,2s2 + (n − 2)s3
n + 1, . . . ,
nsn
n + 1
)(3.3)
Aplicando repetidas veces (3.3) se obtiene una fórmulageneral para s(m) en función de s(n) (n < m).
El teorema de preservación de órdenes se puede aplicarahora a esos sistemas mezclados para comparar sistemasde diferente orden en el caso EXC.
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EjemplosResultado principalConsecuencias
Table: Signaturas de orden 4 de los sistemas con 1-4 componentes
T = Φ(X1, X2, X3, X4) s(4)
1 X1:1 = X1 (14 , 1
4 , 14 , 1
4)
2 X1:2 = min(X1, X2) (2-serie) (12 , 1
3 , 16 , 0)
3 X2:2 = max(X1, X2) (2-paralelo) (0, 16 , 1
3 , 12)
4 X1:3 = min(X1, X2, X3) (3-serie) (34 , 1
4 , 0, 0)
5 min(X2, max(X1, X3)) (14 , 5
12 , 13 , 0)
6 X2:3 (2-out-of-3) (0, 12 , 1
2 , 0)
7 max(X2, min(X1, X3)) (0, 13 , 5
12 , 14)
8 X3:3 = max(X1, X2, X3) (3-paralelo) (0, 0, 14 , 3
4)
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Table: Signaturas de orden 4 de los sistemas con 1-4 componentes
T = Φ(X1, X2, X3, X4) s(4)
9 X1:4 = min(X1, X2, X3, X4) (4-serie) (1, 0, 0, 0)
10 max(min(X1, X2, X3), min(X2, X3, X4)) (12 , 1
2 , 0, 0)
11 min(X2:3, X4) (14 , 3
4 , 0, 0)
12 min(X1, max(X2, X3), max(X3, X4)) (14 , 7
12 , 16 , 0)
13 min(X1, max(X2, X3, X4)) (14 , 1
4 , 12 , 0)
14 X2:4 (2-out-of-4) (0, 1, 0, 0)
15 max(min(X1, X2), mini=1,3,4(Xi), mini=2,3,4(Xi)) (0, 56 , 1
6 , 0)
16 max(min(X1, X2), min(X3, X4)) (0, 23 , 1
3 , 0)
17 max(min(X1, X2), min(X1, X3), min(X2, X3, X4)) (0, 23 , 1
3 , 0)
18 max(min(X1, X2), min(X2, X3), min(X3, X4)) (0, 12 , 1
2 , 0)
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
EjemplosResultado principalConsecuencias
Table: Signaturas de orden 4 de los sistemas con 1-4 componentes
T = Φ(X1, X2, X3, X4) s(4)
19 min(max(X1, X2), max(X2, X3), max(X3, X4)) (0, 12 , 1
2 , 0)
20 min(max(X1, X2), max(X1, X3), max(X2, X3, X4)) (0, 13 , 2
3 , 0)
21 min(max(X1, X2), max(X3, X4)) (0, 13 , 2
3 , 0)
22 min(max(X1, X2), maxi=1,3,4(Xi), maxi=2,3,4(Xi)) (0, 16 , 5
6 , 0)
23 X3:4 (3-out-of-4) (0, 0, 1, 0)
24 max(X1, min(X2, X3, X4)) (0, 12 , 1
4 , 14)
25 max(X1, min(X2, X3), min(X3, X4)) (0, 16 , 7
12 , 14)
26 max(X2:3, X4) (0, 0, 34 , 1
4)
27 min(max(X1, X2, X3), max(X2, X3, X4)) (0, 0, 12 , 1
2)
28 X4:4 = max(X1, X2, X3, X4) (paralelo) (0, 0, 0, 1)
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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR
Hipótesis
En el caso general se cumple:
X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)
Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:
X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)
el orden MRL:
X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)
y el orden LR:
X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)
no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).
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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR
Hipótesis
En el caso general se cumple:
X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)
Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:
X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)
el orden MRL:
X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)
y el orden LR:
X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)
no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).
Jorge Navarro Representaciones usando signaturas
IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR
Hipótesis
En el caso general se cumple:
X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)
Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:
X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)
el orden MRL:
X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)
y el orden LR:
X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)
no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).
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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR
Hipótesis
En el caso general se cumple:
X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)
Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:
X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)
el orden MRL:
X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)
y el orden LR:
X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)
no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).
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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR
Comparaciones estocásticas usando signaturas
Theorem
Sean s1(n) y s2(n) las signaturas de orden n de dos sistemascoherentes (o mezclados) de órdenes n1 y n2, ambos basadosen componentes con tiempos de vida IID o EXC con la mismadistribución conjunta. Sean T1 y T2 sus tiempos de vida.(a) Si s1(n) ≤ST s2(n), entonces T1 ≤ST T2.(b) Si s1(n) ≤HR s2(n) y (4.2) se cumple, entonces T1 ≤HR T2.(c) Si s1(n) ≤HR s2(n) y (4.3) se cumple, entonces T1 ≤MRL T2.(d) Si s1(n) ≤LR s2(n) y (4.4) se cumple, entonces T1 ≤LR T2.
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR
Figure: Comparaciones basadas en el orden ST.
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Figure: Comparaciones basadas en el orden HR.
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Figure: Comparaciones basadas en el orden LR.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias
Conclusiones
Las representaciones basadas en mixturas de estadísticosordenados son una buena herramienta para estudiar lossistemas coherentes.
Las nuevas representaciones permiten manejar en el casoEXC general sistemas de diferentes órdenes.
En algunos de estos resultados tenemos que suponer quelos estadísticos ordenados están ordenados HR, MRL oLR.
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Conclusiones
Las representaciones basadas en mixturas de estadísticosordenados son una buena herramienta para estudiar lossistemas coherentes.
Las nuevas representaciones permiten manejar en el casoEXC general sistemas de diferentes órdenes.
En algunos de estos resultados tenemos que suponer quelos estadísticos ordenados están ordenados HR, MRL oLR.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias
Conclusiones
Las representaciones basadas en mixturas de estadísticosordenados son una buena herramienta para estudiar lossistemas coherentes.
Las nuevas representaciones permiten manejar en el casoEXC general sistemas de diferentes órdenes.
En algunos de estos resultados tenemos que suponer quelos estadísticos ordenados están ordenados HR, MRL oLR.
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
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Cuestiones abiertas
Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.
Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).
Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.
Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).
Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.
En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.
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Cuestiones abiertas
Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.
Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).
Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.
Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).
Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.
En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.
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Cuestiones abiertas
Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.
Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).
Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.
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Cuestiones abiertas
Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.
Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).
Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.
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Cuestiones abiertas
Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.
Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).
Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.
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Cuestiones abiertas
Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.
Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).
Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.
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En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.
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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias
Algunas de nuestras referencias
Navarro, J. and Shaked, M. (2006). Hazard Rate Orderingof Order Statistics and Systems. J. Appl. Probab. 43,391-408.
Navarro, J. and Rychlik, T. (2007). Reliability andexpectation bounds for coherent systems withexchangeable components. J. Multivariate Anal. 98,102-113.
Navarro, J., Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2007).Properties of Coherent Systems with DependentComponents. Comm. Stat.-Theory & Methods 36, 1-17.
Navarro, J., Rychlik, T. and Shaked, M. (2007). Are theOrder Statistics Ordered? A Survey of Recent Results.Comm. Stat.-Theory & Methods 36, 1273-1290.
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias
Navarro, J. and Hernandez, P.J. (2008). Negative mixtures,order statistics and systems. In: Advances in Mathematicaland Statistical Modelling. Series: Statistics for Industry andTechnology. Arnold, B.C.; Balakrishnan, N.; Sarabia, J.M.;Minguez, R. (Eds.) 2008, Birkhauser.
Navarro, J. and Hernandez, P.J. (2008). Mean residual lifefunctions of finite mixtures and systems, Metrika 277-298.
Navarro, J. (2008). Likelihood ratio ordering of orderstatistics, mixtures and systems, J. Stat. Plann. Inference138 (5), 1242-1257.
Navarro, J., Samaniego, F., Balakrishnan, N. andBhattacharya, D. (2008). On the Application and Extensionof System Signatures in Engineering Reliability, NavalResearch Logistics 55, 313-327.
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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC
Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes
Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias
ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias
Navarro, J., Balakrishnan, N. and Samaniego, F.J. (2008).Mixture representations of residual lifetimes of usedsystems, Journal of Applied Probability 45 (4), 1097-1112.
Navarro, J. and Rubio, R. (2009). Computations ofsignatures of coherent systems with 5 components,Submitted.
Navarro, J., Spizzichino, F. and Balakrishnan, N. (2009).Applications of average and projected systems to the studyof coherent systems, Submitted.
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