AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de...

112
AVANZA ´ Algebra, sistemas din´ amicos y matem´ aticas aplicadas Coordinador: Luis Loeza Chin Vol. II Universidad Aut´ onoma de Ciudad Ju´ arez

Transcript of AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de...

Page 1: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA

Algebra, sistemas dinamicos

y matematicas aplicadas

Coordinador:

Luis Loeza Chin

Vol. II

Universidad Autonoma de Ciudad Juarez

Page 2: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Universidad Autonoma de Ciudad Juarez

Javier Sanchez CarlosRector

David Ramırez PereaSecretario General

Antonio Guerra JaimeDirector del Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa

Servando Pineda JaimesDirector General de Difusion Cultural

y Divulgacion Cientıfica

Page 3: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Universidad Autonoma de Ciudad Juarez

Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa

Departamento de Fısica y Matematicas

Cuerpo Academico de Matematicas Purasy Aplicadas

Con aportaciones de:

Gustavo Tapia SanchezMartha Takane

Juan Francisco Estrada GarcıaJulio Erasto Poisot Macıas

Boris Mederos MadrazoDavid GardeaJaime Romero

Marıa de los Angeles Torres Garcıa

Page 4: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA: Algebra, sistemas dinámicos y matemáticas aplica-das [Recurso electrónico]/ Coord. Luis Loeza Chin. — Ciudad Juárez, Chihuahua: Universidad Autónoma de Ciudad Juárez.

Cuerpo Académico de Matemáticas Puras y Aplicadas 2012. 112 páginas.

Contenido: Máx-álgebras / Gustavo Tapia Sánchez, Martha Ta-kane.-- Transformaciones casiconformes y dinámica holomorfa / Juan Francisco Estrada García, Julio Erasto Poisot Macías.--

Sobre la descomposición en valores singulares y seudoinversa de una matriz / Boris Mederos Madrazo, David Gardea, Gustavo

Tapia, Jaime Romero.-- Clases características / María de los Angeles Torres García.

AVANZA, Vol. II. FM-IIT, UACJ (2012), Este documento fue creado en LATEX, última compilación: 30 de abril de 2012

ISBN de Colección: ISBN: 978-607-9224-52-3ISBN de Volumen 2: ISBN: 978-607-9224-53-0

1. Máx-álgebras. — 2. Semianillos. — 3. Semimódulos. — 4. Casiconformes. — 5. Superficie de Riemann. — 6. Espacio de

Teichmüller. — 7. Sistemas dinámicos holomorfos. — 8. Matriz seudoinversa. — 9. Clases características. —10. Geometría difer-

encial.

QA159 A83 2012

Cuidado de la edicion y diagramacion: Luis Loeza Chin.Correccion: Jorge Hernandez Martnez.Cubierta: Karla Mara Rascon Gonzalez.

D.R. © 2012 Luis Loeza ChinUniversidad Autónoma de Ciudad Juárez

Av. Plutarco Elíaas Calles núm. 1210,Fovissste Chamizal, C.P. 32310

Ciudad Juárez, Chihuahua

Impreso en México / Printed in Mexico

Este documento fue creado en LATEX,ultima compilacion: 17 de mayo de 2012.

Page 5: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Agradecemos a:

Universidad Autonoma de Ciudad Juarez

Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa

Departamento de Fısica y Matematicas

Direccion General de Difusion Cultural y DivulgacionCientıfica

Coordinacion General de Investigacion y Posgrado

Page 6: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones
Page 7: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Indice general

Presentacion VII

Artıculos de investigacion y divulgacion 3

Max-algebras (G. Tapia, M. Takane) 31. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. El concepto de Max-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Ejemplos de max-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Λ-semimodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. La categorıa de Λ-semimodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Transformaciones casiconformes y dinamica holomorfa(F. Estrada, J. Poisot) 211. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Definicion y resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Sobre la solucion al problema de Grotzsch . . . . . . . . 26

3. Definicion analıtica de transformacionCasiconforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1. El caso diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1. Espacios cubrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Metricas en superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . 37

5. Deformaciones de estructuras complejas y espacio de Teichmuller38

v

Page 8: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

5.1. Deformaciones casiconformes de funciones holomorfas . 395.2. Deformaciones casiconformes de estructuras

Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3. Espacio de Teichmuller de una superficie de Riemann . 42

6. Movimiento holomorfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437. Aplicaciones a la dinamica holomorfa . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1. Preliminares sobre dinamica holomorfa . . . . . . . . . . 447.2. Teorema de No Errancia de Sullivan . . . . . . . . . . . 477.3. El espacio de Teichmuller de una funcion racional . . . . 487.4. Estabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.5. Cirugıa casiconforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Sobre la descomposicion en valores singulares y seudoinversa deuna matriz (B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero) 571. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572. Ortogonalidad, normas y transformaciones

ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Descomposicion en valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . 59

Reportes de proyectos de titulacion 2010 67

Clases caracterısticas (M. Torres) 671. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713. Teorema de Poincare-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.1. Haz tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814. Clases caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1. Haces vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2. Morfismos de haces vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 864.3. Subhaz y haz inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Suma de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5. Secciones linealmente independientes . . . . . . . . . . . 914.6. Morfismos de haces genericos . . . . . . . . . . . . . . . 934.7. Clases caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Page 9: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Presentacion

El Cuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas del Institutode Ingenierıa y Tecnologıa de la Universidad Autonoma de Ciudad Juarez fuecreado en 2010 por la firme decision institucional de consolidar el mejoramientode la calidad de los academicos adscritos a la Licenciatura en Matematicas delDepartamento de Fısica y Matematicas del Instituto de Ingenierıa y Tecnologıade la UACJ, mediante la incorporacion de sus miembros en actividades deinvestigacion colectiva y con el compromiso de transmitir esta generacion deconocimiento a toda la comunidad universitaria.

Las Lıneas de Generacion y Aplicacion del Conocimiento que cultiva elCuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas son: Algebra, Ecuacio-nes diferenciales y Sistemas dinamicos y matematicas aplicadas. Sus miembrostrabajan de manera colegiada para la creacion de nuevos conocimientos en es-tas areas y sus aplicaciones: asi, mismo, se busca involucrar a estudiantesavanzados de la Licenciatura en Matematicas en estas actividades con el ob-jetivo de acercarlos a la investigacion cientıfica, contribuyendo con ello a unaformacion mas solida de los egresados de esta licenciatura.

El presente material es un registro de algunas de las actividades realiza-das por el Cuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas. Todos lostrabajos incluidos se han presentado en las actividades regulares del CuerpoAcademico o son producto de los esfuerzos colectivos de sus miembros y susrelaciones de colaboracion con investigadores de otras instituciones.

Luis Gabriel Loeza ChinFebrero de 2012

vii

Page 10: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones
Page 11: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Artıculos de investigaciony divulgacion

Page 12: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones
Page 13: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 3–19.

Max-algebras*

Gustavo Tapia, Martha Takane **

Resumen

En las ultimas decadas se han incrementado de manera asombrosa las in-vestigaciones sobre las llamadas max-algebras, extendiendose el uso de estas endiversas ramas de la matematica (ver [1], [2], [3] y [6]).

El objetivo principal de este artıculo es establecer de manera precisa unconcepto de max-algebra, el cual incluya todos los diferentes casos de este tipode estructuras algebraicas que se manejan en el ambiente matematico actual.Se dan diversos ejemplos de max-algebras y se establecen algunas propiedadesgenerales.

Palabras clave: max-algebras, semianillos, semimodulos.

1. Preliminares

En esta seccion damos una serie de conceptos y resultados basicos, que nospermitiran posteriormente definir con precision el concepto central de max-algebras (ver [4] y [6]).

Un semigrupo es un conjunto Λ dotado de una operacion binaria:

· : Λ× Λ→ Λ,

la cual satisface la ley asociativa. Es costumbre omitir el punto y escribir xyen vez de x · y.

Si se tiene definido un orden parcial “≤” en Λ, es decir, una relacion refle-xiva, antisimetrica y transitiva, entonces decimos que Λ es un po-semigrupo(abreviacion de “partial ordered semigroup”) si el orden parcial es compatiblecon la operacion de Λ; es decir, si para todo x, y, z ∈ Λ se cumple que:

x ≤ y ⇒ xz ≤ yz y zx ≤ zy.

*Este trabajo se presento en el Seminario de Ecuaciones Diferenciales y SistemasDinamicos.

**Departamento de Fısica y Matematicas IIT-UACJ, [email protected]

Page 14: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

4 G. Tapia, M. Takane

Si Λ es un po-semigrupo y x, y ∈ Λ, entonces decimos que z ∈ Λ es unsupremo para x y y, si z es la mınima cota superior del conjunto x, y; esdecir, si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) x ≤ z y y ≤ z.

(ii) Si w ∈ Λ es tal que x ≤ w y y ≤ w, entonces z ≤ w.

Es claro que si existe el supremo de x y y, entonces este debe ser unico, yse le denota como x ∨ y.

De forma dual se define el concepto de ınfimo de x y y como la maximacota inferior del conjunto x, y, y se le denota por x ∧ y.

Un po-semigrupo Λ se llama l-semigrupo (abreviacion de “lattice semi-group”) si para cada x, y ∈ Λ, existen x ∨ y ∈ Λ y x ∧ y ∈ Λ.

Finalmente, un o-semigrupo (abreviacion de “ordered semigroup”) es unpo-semigrupo en el cual el orden parcial es total; es decir, cualesquier parde elementos de Λ son comparables entre sı; esto es, si x, y ∈ Λ, entoncesnecesariamente se cumple que x ≤ y o y ≤ x. Notese que en este caso, x∨ y =maxx, y y x ∧ y = mınx, y, y en particular, todo o-semigrupo es un l-semigrupo.

Decimos que Λ es un monoide si Λ es un semigrupo, donde ademas existeun elemento identidad e ∈ Λ; es decir, ex = xe = x para todo x ∈ Λ. Es claroentonces lo que significan los conceptos de po-monoide, l-monoide y o-monoide.

De esta forma, un grupo es un monoide donde cada elemento tiene inverso,y tambien podemos hablar de po-grupos, l-grupos y o-grupos.

Cuando la operacion es conmutativa, entonces el semigrupo (monoide, gru-po) se llama semigrupo abeliano (monoide abeliano, grupo abeliano), y tam-bien podemos hablar de po-semigrupos abelianos, etcetera.

Finalmente, si se satisface la propiedad x2 = x para todo x ∈ Λ, entoncesdecimos que el semigrupo (monoide, grupo) es idempotente.

Terminamos esta seccion con los conceptos de semianillos y l-semianillos.

Definicion 1.1. Sea Λ un conjunto donde se tienen definidas dos operacionesbinarias, denotadas por + y ·. Decimos que (Λ,+, ·) es un semianillo si:

(i) (Λ,+) es un monoide abeliano.

(ii) (Λ, ·) es un semigrupo.

Page 15: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 5

(iii) El producto · distribuye a la suma + por ambos lados.

(iv) El elemento neutro aditivo 0Λ absorbe al producto, es decir, para cadax ∈ Λ se cumple que 0Λ · x = x · 0Λ = 0Λ.

Es claro entonces cuales son los conceptos de semianillo con division ysemicampo.

Si ademas se tiene definido un orden parcial “≤” en Λ, entonces decimosque el sistema (Λ,+, ·,≤) es un po-semianillo si:

(i) (Λ,+,≤) es un po-monoide.

(ii) Para todo x, y, z ∈ Λ si x ≤ y y 0Λ < z, entonces x ·z ≤ y ·z y z ·x ≤ z ·y.

Finalmente, si ademas se cumple que para cada x, y ∈ Λ existen x∨ y ∈ Λy x ∧ y ∈ Λ, entonces decimos que (Λ,+, ·,≤) es un l-semianillo. Es claroentonces lo que significa o-semianillo.

2. El concepto de Max-algebras

Antes de enunciar el concepto de max-algebras, establecemos el siguienteresultado cuya prueba es de rutina.

Proposicion 2.1. Sea (Λ, ·,≤) un po-semigrupo (l-semigrupo, o-semigrupo)y sea Λ = Λ ∪ −∞. Si x ∈ Λ, definimos:

−∞ < x

y si x ∈ Λ, definimos:

(−∞) · x = x(−∞) = −∞;

entonces (Λ, ·,≤) es un po-semigrupo (l-semigrupo, o-semigrupo).

Si Λ es l-semigrupo, entonces definimos en Λ las operaciones:

x⊕ y := x ∨ y

x y := x · y,

entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Page 16: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

6 G. Tapia, M. Takane

(a) (Λ,⊕) es un monoide conmutativo idempotente con elemento neutroaditivo E = −∞. En consecuencia, el unico elemento de Λ que tieneinverso aditivo es E = −∞.

(b) (Λ,) es un semigrupo.

(c) Si (Λ, ·,≤) es un o-semigrupo o l-grupo, entonces el producto distri-buye a la suma ⊕.

(d) E = −∞ absorbe el producto .

Demostracion. La verificacion de los incisos (a) y (d) es de rutina y el inciso (b)es parte de la proposicion anterior. Para ver el inciso (c), primero suponemosque Λ es un o-semigrupo, de lo cual se sigue que para cada y, z ∈ Λ se cumpleque y ≤ z o z ≤ y. Si z ≤ y y x ∈ Λ, por un lado se tiene que y ∨ z = z, loque implica que x(y ∨ z) = xz, y por otro lado, se tiene tambien que xy ≤ xz,lo que implica que xy ∨ xz = xz. Juntando ambas igualdades tenemos que:

x (y ⊕ z) = x(y ∨ z)= xy ∨ xz= (x y)⊕ (x z)

y analogamente si z ≤ y.Ahora suponemos que Λ es un l-grupo y sean:

x(y ∨ z) . . . (1)

(xy) ∨ (xz) . . . (2),

si x = −∞, entonces (1) = −∞ = (2), ası que suponemos que x 6= −∞; esdecir, x ∈ Λ, y entonces tenemos que:

xy ≤ (xy) ∨ (xz)⇒ y ≤ x−1[(xy) ∨ (xz)]

xz ≤ (xy) ∨ (xz)⇒ z ≤ x−1[(xy) ∨ (xz)],

y por lo tanto,y ∨ z ≤ x−1[(xy) ∨ (xz)],

Page 17: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 7

lo que implica finalmente que:

x(y ∨ z) ≤ (xy) ∨ (xz);

es decir, hemos probado que (1) ≤ (2).La otra desigualdad se cumple en general:

y ≤ y ∨ z ⇒ xy ≤ x(y ∨ z)

z ≤ y ∨ z ⇒ xz ≤ x(y ∨ z),

de donde es claro que (2) ≤ (1).De forma analoga se prueba la otra distributividad.

Juntando las propiedades (a)-(d), tenemos:

Proposicion 2.2. Sean (Λ, ·,≤) y (Λ,⊕,) como arriba. Son validas:

(i) Si (Λ, ·,≤) es un o-semigrupo, entonces (Λ,⊕,) es un semianillo.

(ii) Si (Λ, ·,≤) es un o-monoide, entonces (Λ,⊕,) es un semianillo con 1,donde el neutro multiplicativo es e = 1Λ.

(iii) Si (Λ, ·,≤) es un l-grupo, entonces (Λ,⊕,) es un semianillo con divi-sion.

(iv) Si (Λ, ·,≤) es un l-grupo abeliano, entonces (Λ,⊕,) es un semicampo.

En todos los casos, (Λ,⊕,,≤) es un l-semianillo.

Demostracion. Solo falta ver la ultima afirmacion, para lo cual tomamos x, y, z ∈Λ con x ≤ y, de donde x ≤ y ∨ z y como z ≤ y ∨ z, entonces x ∨ z ≤ y ∨ z; esdecir, x⊕ z ≤ y ⊕ z.

Ahora, si z > E, entonces z ∈ Λ y x ≤ y implica que xz ≤ yz y zx ≤ zy;es decir, x z ≤ y z y z x ≤ z y.

En los casos (i) y (ii) de la proposicion anterior, tenemos que:

x⊕ y = x ∨ y = maxx, y

y decimos que Λ es una max-algebra. En los casos (iii) y (iv), decimos que Λes una sup-algebra.

Page 18: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

8 G. Tapia, M. Takane

Es claro que si definimos Λ := Λ∪∞, x <∞ para todo x ∈ Λ y x(∞) =(∞)x =∞ para todo x ∈ Λ, entonces se tienen las mismas proposiciones para(Λ,⊕,), donde:

x⊕ y = x ∧ yx y = x · y (x, y ∈ Λ).

En este caso, Λ se llama mın-algebra o inf-algebra, segun sea el caso.

3. Ejemplos de max-algebras

En esta seccion, vemos varios ejemplos de max-algebras y mın-algebras.

Ejemplo 3.1. N,+ es un o-semigrupo abeliano con el orden usual, por loque N es max-algebra y N es mın-algebra (o-semianillos conmutativos).

Ejemplo 3.2. N, · es un o-monoide abeliano con el orden usual, por lo queN es max-algebra y N es mın-algebra (o-semianillos conmutativos con 1).

Ejemplo 3.3. Z,+ es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo queZ es max-algebra y Z es mın-algebra (o-semicampos).

Ejemplo 3.4. Q,+ es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo queQ es max-algebra y Q es mın-algebra (o-semicampos).

Ejemplo 3.5. Q+, · es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo queQ+ es max-algebra y Q+ es mın-algebra (o-semicampos).

Ejemplo 3.6. R,+ es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo queR es max-algebra y R es mın-algebra (o-semicampos).

Ejemplo 3.7. R+, · es un o-grupo abeliano con el orden usual, por lo queR+ es max-algebra y R+ es mın-algebra (o-semicampos).

Nota 3.8. En los ejemplos 2, 5 y 7 en vez de N,Q+ y R+, podemos tomarN ∪ 0, Q+ ∪ 0 y R+ ∪ 0, respectivamente; es decir, en vez de E = −∞se trabaja con E = 0.

Page 19: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 9

Ejemplo 3.9. Z2, · con el orden natural, es decir, 0 < 1, es un o-monoideabeliano, por lo que Z2 es max-algebra y Z2 es mın-algebra (o-semianillosconmutativos con 1).

Nota 3.10. Bajo el orden natural, Zn,+ no es po-grupo para n ≥ 2 y Zn, ·no es po-grupo para n ≥ 3. En efecto, en el primer caso se tiene que:

n− 2 ≤ n− 1 6⇒ (n− 2) + 1 ≤ (n− 1) + 1,

y en el segundo caso, tenemos que:

1 ≤ n− 1 6⇒ 1 · (n− 1) ≤ (n− 1)(n− 1).

Ejemplo 3.11. En los complejos C, se define el orden lexicografico como:

x+ iy < z + iw si y solo si x < z o (x = z & y ≤ w).

Es un hecho conocido que con este orden, C,+ es un o-grupo abeliano,por lo que C es max-algebra y C es mın-algebra (o-semicampos).

Muchos ejemplos mas de max-algebras pueden construirse a partir de losresultados de la seccion anterior.

4. Λ-semimodulos

De aquı en adelante, suponemos que Λ es o-monoide o l-grupo para que Λsea semianillo con 1.

Definicion 4.1. Un Λ-semimodulo izquierdo es un conjunto M con dosoperaciones:

+ : M ×M →M

· : Λ×M →M,

tales que:

(i) (M,+) es un monoide abeliano.

(ii) ∀ λ, λ1, λ2 ∈ Λ y ∀ m,m1,m2 ∈M , se cumplen las siguientes:

Page 20: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

10 G. Tapia, M. Takane

(a) λ1 · (λ2 ·m) = (λ1 λ2) ·m.

(b) (λ1 ⊕ λ2) ·m = λ1 ·m+ λ2 ·m.

(c) λ · (m1 +m2) = λ ·m1 + λ2 ·m2.

(d) 1Λ ·m = m.

(e) 0Λ ·m = 0M .

Es costumbre usar la notacion ΛM para indicar queM es un Λ-semimoduloizquierdo.

Es claro como se define entonces un Λ-semimodulo derecho, y en estecaso la notacion usada es MΛ.

Ejemplo 4.2. El mismo semianillo Λ bajo las operaciones ⊕ y , es tanto unΛ-semimodulo izquierdo como un Λ-semimodulo derecho, el cual llamaremosΛ-semimodulo regular.

Los siguientes dos ejemplos han sido ampliamente estudiados, principal-mente en el caso cuando Λ es alguno de los semianillos de los ejemplos 3.6 y3.7.

Ejemplo 4.3. Sea n un entero positivo y consideremos el conjunto:

Λn := (λ1, λ2, . . . , λn) | λi ∈ Λ,

si definimos las operaciones coordenada a coordenada, entonces Λn es un Λ-semimodulo izquierdo (derecho).

Ejemplo 4.4. Sean m,n enteros positivos y consideremos el conjunto de todaslas matrices de m× n con entradas en Λ, el cual denotamos como Mm×n(Λ).

Si definimos las operaciones entrada a entrada, entonces Mm×n(Λ) es unΛ-semimodulo izquierdo (derecho).

Es claro que tambien podemos definir el concepto de Λ-semimodulo iz-quierdo (derecho), pero aquı solamente nos remitiremos al estudio de los Λ-semimodulos.

Todos los Λ-semimodulos seran izquierdos, a menos que otra cosa se espe-cifique.

Algunas propiedades basicas de los Λ-semimodulos, se establecen a conti-nuacion:

Page 21: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 11

Proposicion 4.5. Si M es Λ-semimodulo, entonces:

(i) ∀λ ∈ Λ, se cumple que λ · 0M = 0M .

(ii) ∀ m ∈ M , se cumple que m + m = m; es decir, (M,+) es un monoideabeliano idempotente. Por lo tanto, el unico elemento de M que tieneinverso aditivo es 0M .

Demostracion. (i) λ · 0M = λ · (0Λ ·m) = (λ 0Λ) ·m = 0Λ ·m = 0M .

(ii) m = 1Λ ·m = (1Λ ⊕ 1Λ) ·m = 1Λ ·m+ 1Λ ·m = m+m.

De hecho, tenemos:

Proposicion 4.6. (M,+) es un monoide abeliano idempotente si y solo si Mes Z2-semimodulo.

Demostracion. “ ⇒ ” En este caso, definimos:

0 ·m = 0M1 ·m = m

(−∞) ·m = 0M .

Es facil verificar que bajo este producto, M es Z2-semimodulo.“ ⇐ ” Es el inciso (ii) de la proposicion anterior.

Por lo tanto, podemos pensar que el estudio de los Λ-semimodulos es unageneralizacion del estudio de los monoides abelianos idempotentes; de manerasimilar el estudio de los R-modulos es una generalizacion del estudio de losgrupos abelianos.

Para poder dar el siguiente ejemplo, necesitamos un resultado preliminar.

Lema 4.7. Sea (M,+,≤) o-monoide o l-grupo, y sea

M+ := x ∈M : x ≥ 0M,

entonces:

Page 22: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

12 G. Tapia, M. Takane

(i) ∀n,m ∈ N ∪ 0, se cumple que:

n ≤ m⇒ nx ≤ mx, ∀x ∈M+;

(ii) ∀n ∈ N ∪ 0, se cumple que:

n(x ∨ y) = (nx) ∨ (ny), ∀x, y ∈M+.

Demostracion. (i) Si x ∈M+, entonces 0M ≤ x, lo que implica que 0M ≤ x ≤2x y ası sucesivamente se obtiene la cadena:

0M ≤ x ≤ 2x ≤ 3x ≤ . . .

(ii) Procedemos por induccion sobre n, siendo el resultado obvio cuandon = 0 y n = 1. Ahora suponemos valido para n ≥ 0 y lo probaremos paran+ 1. Usando entonces la hipotesis de induccion, tenemos que:

(n+ 1)(x ∨ y) = n(x ∨ y) + (x ∨ y) = (nx ∨ ny) + (x ∨ y).

Como nx ∨ ny ≥ nx y x ∨ y ≥ x, entonces:

(nx ∨ ny) + (x ∨ y) ≥ nx+ x = (n+ 1)x

y de forma analoga se tiene que (nx ∨ ny) + (x ∨ y) ≥ (n + 1)y, por lo quetenemos que la siguiente desigualdad siempre se verifica:

(nx ∨ ny) + (x ∨ y) ≥ (n+ 1)x ∨ (n+ 1)y.

Ahora supongamos que z ≥ (n+ 1)x y z ≥ (n+ 1)y; entonces si (M,+) esl-grupo, tenemos que z − nx ≥ x y z − ny ≥ y, de donde:

z − n(x+ y) ≥ x+ y.

Por otro lado, como x, y ∈ M+, entonces 0M ≤ x y de aquı y ≤ x + y, yanalogamente se tiene que x ≤ x + y y estas dos desigualdades implican quex ∨ y ≤ x+ y, y por transitividad se sigue que z − n(x+ y) ≥ x ∨ y; es decir,z ≥ n(x + y) + (x ∨ y). Ademas, ya que x + y ≥ x ∨ y, entonces es claro quen(x+ y) ≥ n(x ∨ y), y de aquı obtenemos que:

z ≥ n(x+ y) + (x ∨ y) ≥ n(x ∨ y) + (x ∨ y) = (n+ 1)(x ∨ y),

Page 23: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 13

lo que prueba que en este caso (n+ 1)(x ∨ y) = (n+ 1)x ∨ (n+ 1)y.

Ahora suponemos que (M,+) es o-monoide, y en este caso la igualdad sesigue de manera mas directa, ya que:

n(x ∨ y) = n ·maxx, y = maxnx, ny = nx ∨ ny.

El siguiente resultado nos provee de mas ejemplos de Λ-semimodulos.

Proposicion 4.8. Sea (M,+,≤) o-monoide o l-grupo. En M+, definimos:

x+y = x ∨ yn·x = nx si n ∈ N ∪ 0;

entonces (M+, +, ·) es N -semimodulo (considerando la max-algebraNmax,times).

Demostracion. (i) Es obvio que (M+, +) es monoide abeliano, donde el ele-mento neutro es 0M .

(ii) Si n,m ∈ N ∪ 0 y x ∈M+, entonces:

(n⊕m)·x = maxn,mx.

Por lo tanto, si n ≤ m, entonces maxn,mx = mx y por el lema anterior(i), sabemos que nx ≤ mx, de donde maxnx,mx = mx. Por lo que:

(n⊕m)·x = maxn,mx = maxnx,mx = n·x+m·x.

Si n ∈ N ∪ 0, x, y ∈ M+, entonces usando el lema anterior (ii) tenemosque:

n·(x+y) = n(x ∨ y) = (nx) ∨ (ny) = (n·)+(n·y).

Tambien tenemos que si n,m ∈ N ∪ 0, x ∈M+, entonces:

(nm)·x = (nm)x = n(mx) = n·(m·x).

Finalmente, es claro que 1N ·x = 1 · x = x, con lo cual queda concluida laprueba.

Page 24: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

14 G. Tapia, M. Takane

Muchos conceptos se definen de forma natural, pero como veremos masadelante, no en todos los casos la definicion es la esperada.

Definicion 4.9. Sean ΛM, ΛN , decimos que una funcion f : M → N es unΛ-homomorfismo de semimodulos, si ∀m,m1,m2 ∈ M y ∀λ ∈ Λ, se cumpleque:

(i) f(m1 +m2) = f(m1) + f(m2).

(ii) f(λ ·m) = λ · f(m).

Denotamos por HomΛ(M,N) al conjunto de todos los Λ-homomorfismosde M en N .

Es claro que para cada ΛM , la funcion identidad 1M ∈ HomΛ(M,M)y si f ∈ HomΛ(M,N) y g ∈ HomΛ(N,K), entonces la composicion gf ∈HomΛ(M,K), de lo cual vemos que podemos definir la categorıa Λ-SMod,cuyos objetos son todos los Λ-semimodulos izquierdos y cuyos morfismos sonlos Λ-homomorfismos de semimodulos.

Una consecuencia de las propiedades vistas es que si f ∈ HomΛ(M,N),entonces f(0M ) = 0N ; en efecto, tenemos que:

f(0M ) = f(0Λ · 0M ) = 0Λ · f(0M ) = 0N .

Definicion 4.10. Sean ΛM y N ⊂ M , decimos que N es un Λ-subsemi-modulo de M si N es un Λ-semimodulo bajo las mismas operaciones de M .

Es claro que esto es equivalente a que se cumplan las siguientes condiciones:

(i) 0M ∈ N .

(ii) n1, n2 ∈ N ⇒ n1 + n2 ∈ N .

(iii) λ ∈ Λ y n ∈ N ⇒ λ · n ∈ N .

Por ejemplo, si consideramos el Λ-semimodulo regular ΛΛ, entonces unsubsemimodulo se llama semi-ideal izquierdo de Λ, el cual es un subconjuntoI ⊂ Λ, tal que:

(i) 0Λ ∈ I.

(ii) x1, x2 ∈ I ⇒ x1 ⊕ x2 ∈ I.

Page 25: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 15

(iii) λ ∈ Λ y x ∈ I ⇒ λ x ∈ I.

De la misma forma, decimos que un subsemimodulo de ΛΛ se llama semi-ideal derecho de Λ, el cual es un subconjunto I ⊂ Λ, tal que:

(i) 0Λ ∈ I.

(ii) x1, x2 ∈ I ⇒ x1 ⊕ x2 ∈ I.

(iii) λ ∈ Λ y x ∈ I ⇒ x λ ∈ I.

Finalmente, un semi-ideal bilateral, o simplemente semi-ideal de Λ, esun subconjunto I ⊂ Λ, el cual es tanto un semi-ideal izquierdo como derechode Λ.

Ejemplos de idealesLas pruebas de los siguientes ejemplos son inmediatas, por lo que las omi-

timos.

1. 0Λ y Λ son ideales de Λ, los cuales son llamados ideales triviales.

2. Si I ⊂ Λ es un ideal izquierdo (derecho), tal que 1Λ ∈ I, entonces I = Λ.

3. Si Λ es o-monoide abeliano o l-grupo abeliano, entonces para cada λ ∈ Λse cumple que:

λ Λ := λ x | x ∈ Λ

es un ideal de Λ.

4. Si Λ es l-grupo, entonces los unicos ideales izquierdos (derechos) de Λson los triviales.

5. La categorıa de Λ-semimodulos

En esta seccion vemos algunos aspectos de la categorıa de Λ-semimodulos.Algunas cuestiones elementales se refieren a la existencia de objetos concretoscomo: productos, coproductos, nucleos, etcetera. Es facil ver que si Mi es unafamilia de Λ-semimodulos, entonces el producto directo

∏Mi es Λ-semimodu-

lo definiendo las operaciones puntualmente. Ademas, para cada i definimos

Page 26: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

16 G. Tapia, M. Takane

la proyeccion canonica πi :∏Mi → Mi, la cual es un Λ-homomorfismo de

semimodulos, y se puede verificar que el sistema ∏Mi, πi satisface la pro-

piedad universal del producto directo; es decir, la categorıa Λ-SMod tiene pro-ductos, los cuales son de hecho productos directos usuales. De forma similar,se ve que existen coproductos en Λ-SMod, que son sumas directas usuales.

Dado f : M → L un Λ-homomorfismo de semimodulos, es facil ver quekerf = x ∈ M | f(x) = 0N es un Λ-subsemimodulo de M e Imf es unΛ-subsemimodulo de L. A continuacion vemos una caracterizacion interesantedel nucleo, lo que nos permitira demostrar, por un lado, la existencia de lasestructuras cociente, y por otro, ver la version del Teorema del Factor, ası comodel Primer Teorema de Isomorfismo en la categorıa Λ-SMod.

Definicion 5.1. Sean M ∈ Λ−SMod y N ≤M un subsemimodulo, decimosque N es normal en M si y solo si existen L ∈ Λ − SMod y f : M → L unΛ-homomorfismo, tal que N = kerf .

En el caso de que N es un subsemimodulo normal de M , lo denotamos porN /M .

Definicion 5.2. Sea M ∈ Λ − SMod, si x, y ∈ M definimos la siguienterelacion:

x ≤ y ⇔ existe z ∈M, tal que x+ z = y.

Es facil ver que la relacion anterior, define un preorden parcial en M .

Definicion 5.3. Sean M ∈ Λ−SMod y N ≤M un subsemimodulo, decimosque N es ≤-cerrado si y solo si para todo x, y ∈ M , se cumple la siguienteimplicacion:

x ≤ y, y ∈ N ⇒ x ∈ N.

Tenemos entonces la siguiente caracterizacion de los subsemimodulos nor-males.

Proposicion 5.4. N /M si y solo si N es ≤-cerrado.

Demostracion. “ ⇒ ” Supongamos que N ≤ M , es decir, N = kerf paraalgun f : M → L y sean x, y ∈ M , tales que x ≤ y con y ∈ N . Entoncesx+ x′ = y implica que f(x) + f(x′) = f(y) = 0; es decir, f(x) es un elemento

Page 27: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 17

de L, el cual tiene un inverso aditivo, por lo cual se sigue que f(x) = 0; esdecir, x ∈ kerf = N , lo que demuestra que N es ≤-cerrado.

“ ⇐ ” Ahora suponemos que N ≤M es un subsemimodulo ≤-cerrado. EnM definimos la siguiente relacion:

x ∼N y ⇔ existen n, n′ ∈ N, tales que x+ n = y + n′.

Es facil ver que esto define una relacion de equivalencia en M y comosiempre [x] denota a la clase de equivalencia de x ∈M , consideramos entoncesel conjunto cociente:

M/N = [x] | x ∈M,

en donde definimos las siguientes operaciones:

[x]⊕ [y] = [x+ y]λ [x] = [λ · x].

No es difıcil ver que M/N,⊕, es un Λ-semimodulo en donde el elementoneutro aditivo es [0], y como N es ≤-cerrado, entonces [0] = N .

Ahora definimos la proyeccion canonica π : M →M/N , tal que f(x) = [x]y es claro que π es un Λ-homomorfismo, el cual satisface que kerf = N . Enefecto, si x ∈ N entonces es claro que x ∼N 0, lo que implica que f(x) =[x] = [0], lo que prueba que N ⊂ kerf ; por otro lado, si x ∈ kerf , entoncesx ∼N 0, de donde existen n1, n2 ∈ N , tales que x + n1 = 0 + n2 = n2, lo queimplica que x ≤ n2 ∈ N y como N es ≤-cerrado, de aquı se sigue que x ∈ N ,obteniendo ası la otra contencion, y por tanto, la igualdad.

De esta forma, vemos que podemos formar el semimodulo cociente M/Nsiempre que N/M , y es a traves de estos subsemimodulos con los que podemosenunciar el Teorema del Factor.

Teorema 5.5. Sea f : M → L un Λ-homomorfismo y sea N4M , tal queN ⊂ kerf ; entonces existe un unico Λ-homomorfismo g : M/N → L, el cualsatisface que gπ = f , donde π : M →M/N es la proyeccion canonica.

Ademas, si N = kerf , entonces g es inyectivo, y si f es suprayectivo,entonces g tambien lo es.

Page 28: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

18 G. Tapia, M. Takane

Demostracion. Si gπ = f , entonces g([x]) = f(x) para todo x ∈ M , lo quenos dice que el unico posible homomorfismo debe estar definido de esta forma.Por lo tanto, solamente debemos mostrar que g esta bien definido y que esΛ-homomorfismo. Esto ultimo es inmediato, en tanto que si suponemos que[x] = [y], entonces existen n, n′ ∈ N , tales que x + n = y + n′, y de aquı quef(x) + f(n) = f(y) ∗ f(n′) y como por hipotesis N ⊂ kerf , entonces tenemosque f(x) = f(y).

Si N = kerf y g([x]) = 0, entonces f(x) = 0; es decir, x ∈ kerf = N = [0],lo que prueba que g es inyectiva. La ultima parte es trivial.

Como siempre, una consecuencia inmediata del Teorema del Factor es elPrimer Teorema de Isomorfismo.

Corolario 5.6. Si f : M → L es un Λ-homomorfismo, entonces M/kerf esΛ-isomorfo a Imf .

Bibliografıa

[1] Baccelli, F. L.; Cohen, G.; Olsder, G.-J.; Quadrat, J.-P. Synchorinizationand Linearity. Chichester, New York. J. Wiley and Sons (1992).

[2] Butkovic, P. Max-linear Systems: Theory and Algoritms. Springer-VerlagLondon Limited (2010).

[3] Butkovic, P. Max-algebra: The Linear Algebra of Combinatoris? LinearAlgebra and Its Applications, 367 (2003), pp. 121–132.

[4] Golan, J. S. Semirings and their Applications. Kluwer Academic Publis-hers (1999).

[5] Gondran, M.; Minoux, M. Graphs, Dioids and Semirings. New Modelsand Algorithms. Springer Science + Business Media, LLC (2008).

[6] Heidergott, B; Olsder, G. J; van der Woude, J. Max Plus at Work: Mode-ling and Analysis of Synchonized Systems: A Course on Max-Plus Algebraand Its Applications. Princeton University Press (2006).

Page 29: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Max-algebras 19

Gustavo Tapia Sanchez ([email protected])Departamento de Fısica y Matematicas, IIT,Universidad Autonoma de Ciudad Juarez,Av. Del Charro num. 450 norte, Ciudad Juarez, Chih., Mexico,C.P. 32310, A.P. 1594-D.

Martha Yoko Takane Imay ([email protected])Instituto de Matematicas de la UNAM, Unidad Cuernavaca,Av. Universidad s/n. Col. Lomas de Chamilpa, C. P. 62210,A.P. 273, Admon. de correos #3, Cuernavaca, Mor., Mexico.

Page 30: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones
Page 31: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 21–56.

Transformaciones casiconformes y dinamicaHolomorfa*

Juan Francisco Estrada Garcıa, Julio Erasto Poisot Macıas **

Resumen

En este artıculo se da una introduccion a los conceptos y resultados basicosde las transformaciones casiconformes y el espacio de Teichmuller con algunasde sus aplicaciones en el estudio de la dinamica generada por las transforma-ciones racionales definidas en la esfera de Riemann

Palabras clave: Casiconformes, superficie de Riemann, espacio deTeichmuller, sistemas dinamicos holomorfos

1. Introduccion

De acuerdo con Ahlfors [2], la nocion de transformacion casiconforme fueintroducido por H. Grotzsch en 1928, al darse cuenta que si Q es un cuadra-do y R es un rectangulo, que no es un cuadrado, no existe transformacionconforme de Q en R, tal que envıe vertices en vertices. Al conseguir medir laaproximacion a la conformidad de la transformacion que resolvıa su problema,Grotzsch dio el primer paso hacia la creacion de la Teorıa de las transforma-ciones casiconformes. Fue hasta 1935 en que los mapeos de Grotzsch fueronretomados por Lavrentieff en un artıculo, que trata acerca de las ecuacionesdiferenciales parciales no lineales asociadas al estado de un flujo potencial deun gas incomprensible. Tal trabajo proporciona una nueva interpretacion delas ecuaciones de Cauchy-Riemann, a saber la conformidad. Esta teorıa, poramplio consenso, tiene su nacimiento en un artıculo de Lars Ahlfors en 1954 enel Journal D’ Analyse, en donde se presenta su primer trato sistematico y en sucorrecta generalidad, y se ha desarrollado tanto, que no todos los topicos pue-den ser cubiertos en un solo escrito sin importar el punto de vista que se tome.

*Artıculo de divulgacion cientıfica.

**Facultad de Ciencias Fısico Matematicas. BUAP, [email protected]

Page 32: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

22 F. Estrada, J. Poisot

En este artıculo, introducimos las definiciones y resultados basicos necesariospara entender la Teorıa de la deformacion de las transformaciones casiconfor-mes en el plano. Cualquiera de tales transformaciones, puede ser deformada ala identidad dentro de toda la familia de transformaciones casiconformes. Deacuerdo al Teorema de Uniformizacion, el caso de las transformaciones entresuperficies de Riemann puede reducirse al caso de dominios planos. Esto nospermite tratar la Teorıa de los espacios de Teichmuller, la cual entre otrascosas nos da una parametrizacion de todas las estructuras complejas de unasuperficie dada. Finalizamos este artıculo dando algunas de las aplicaciones deesta teorıa en el estudio de la dinamica holomorfa.

2. Transformaciones conformes

2.1. Definicion y resultados basicos

Una transformacion en plano que preserva medidas de angulos y orienta-cion, se llama conforme. En analisis complejo, una funcion f diferenciable conderivada no cero, preserva angulos y orientacion. En particular, una funcionbiyectiva entre dos dominios (abiertos y conexos) A y B, holomorfa, es un biho-lomorfismo entre estos dos dominios, y establece un homeomorfismo conformeentre estos dos dominios. A tal transformacion le llamamos equivalencia confor-me. Estos conceptos se generalizan a dominios del plano complejo extendidoC := C ∪ ∞ cuya representacion geometrica es la esfera de Riemann. En elcaso especial de que A = B, tal equivalencia conforme se llama automorfismoconforme de A.

Ejemplos fundamentales de transformaciones conformes son los grupos deautomorfismos conformes de los dominios canonicos C, C,M= z ∈ C : |z| < 1, H = z ∈ C : Im (z) > 0, descritos en el siguiente teo-rema:

Teorema 2.1. (i) Todo elemento de Aut(C) tiene la forma:

γ (z) =az + b

cz + d,

donde a, b, c, d ∈ C con ad− bc = 1.

Page 33: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 23

(ii) Todo elemento de Aut(C) tiene la forma:

γ (z) = az + b,

donde a, b ∈ C con a 6= 0.(iii) Todo elemento de Aut(M) tiene la forma:

γ (z) =az + b

bz + a,

donde a, b ∈ C con |a|2− |b|2 = 1. Estos elementos tambien se pueden escribircomo.

γ (z) = exp iθz − α1− αz

,

donde θ ∈ R y α ∈M.(iv) Todo elemento de Aut(H) tiene la forma:

γ (z) =az + b

cz + d,

donde a, b, c, d ∈ R con ad− bc = 1.

Demostracion. (i) Si γ ∈ Aut(C) y γ (∞) = ∞, entonces en una vecindad de∞, γ tiene una expansion de Laurent:

γ (z) = az +∞∑n=0

bnz−n,

con a 6= 0. Entonces γ (z) − az es holomorfa en C, y por el principio delmaximo se tiene que γ (z) − az debe ser una constante b. Ası obtenemos queγ (z) = az + b con a 6= 0. Si γ ∈ Aut(C) y γ (∞) = z0 6= ∞, entoncesdefiniendo γ1 (z) = 1/(z−z0), vemos que γ1,γ1 γ ∈ Aut(C), y γ1 γ(∞) = ∞.Ası obtenemos que γ1 γ (z) = 1/(γ(z)−z0) = a1z + b1, donde a1, b1 ∈ C cona1 6= 0. Por lo tanto, γ se escribe en la forma enunciada con ad − bc 6= 0.Ademas, γ no cambia cuando a, b, c y d son multiplicados por una constantecomun, por lo cual podemos normalizar la expresion de γ con ad− bc = 1.

(ii) Cada elemento γ ∈ Aut (C) se extiende a uno de Aut(C), si estable-cemos que γ (∞) = ∞. Ası que por el argumento anterior, se sigue que γ seexpresa en la forma estipulada.

Page 34: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

24 F. Estrada, J. Poisot

(iii) Sea γ ∈ Aut(4) con γ(0) = β. La transformacion γ1(z) = (z−β)/(1−βz)pertenece a Aut(4). Por tanto, γ2 = γ1 γ ∈ Aut(4) y γ2(0) = 0. De acuerdoal lema de Schwarz, γ2 es una rotacion γ2(z) = expiθ z; con θ ∈ R, la otraexpresion estipulada se sigue de inmediato.

(iv) T (z) = (z−i)/(z+i) es un biholomorfismo entre H y 4; entonces, paracada elemento γ ∈ Aut(H), obtenemos γ1 = T γ T−1 ∈ Aut(4). Ası, γ1 esuna transformacion que puede expresarse como en (i). Y puesto que γ envıaH sobre si mismo, podemos suponer que a, b, c , d ∈ R, con ad − bc > 0. Portanto, γ puede escribirse de la forma en (iii), y en consecuencia de la forma en(iv).

Todas estas transformaciones pertenecen al grupo de transformaciones deMobius, las cuales se definen como:

Mob(C)

=T (z) =

az + b

cz + d: a, b, c, d ∈ C con ad− bc 6= 0

. Una propiedad geometrica de las transformaciones de Mobius, es que trans-forman cırculos en la esfera en cırculos en la esfera. Dado que tres puntoscaracterizan un cırculo, entonces dados dos triangulos en C, existe una unicatransformacion de Mobius, que lleva un triangulo en el otro y que lleva verticesen vertices.

Uno de los resultados mas importantes del analisis complejo, tanto porsus multiples aplicaciones a la fısica matematica como a la geometrıa, es elTeorema de Transformacion Conforme de Riemann.

Teorema 2.2. . [Representacion Conforme de Riemann] Todo dominio sim-plemente conexo del plano que no sea todo el plano, es conformemente equi-valente al disco unitario 4.

Una demostracion de este teorema puede encontrarse en [1]. Es claro queutilizando los automorfismos del disco unitario, podemos obtener una infinidadde representaciones conformes de un dominio simplemente conexo que no seael plano. La unicidad de tal transformacion queda establecida exigiendo queel cero del disco unitario, sea la imagen de un punto dado en el dominiosimplemente conexo y que la derivada en ese punto sea un numero real positivo,o exigiendo que el argumento de la derivada en ese punto sea un numero realdado en el intervalo (−π, π

]. Para establecer el comportamiento en la frontera

Page 35: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 25

de la transformacion de Riemann, necesitamos recordar que un dominio deJordan es una imagen homeomorfa del disco unitario cerrado.

Teorema 2.3 (Caratheodory-Osgood). Una transformacion conforme del dis-co unitario sobre un dominio en el plano, puede ser extendida a un homeomor-fismo del disco cerrado sobre la cerradura del dominio si y solo si este dominioes de Jordan.

Una demostracion de este teorema puede encontrarse en [3]. El teoremade Riemann es de existencia, ası que en sus aplicaciones tanto a la fısicacomo a la geometrıa, es muy conveniente, contar con una expresion explıcitadel biholomorfismo, lo cual es establecido en el siguiente resultado, dondese usa que el semiplano superior y el disco unitario son biholomorfos, y elbiholomorfismo esta dado por:

T (z) = exp (iθ)(z − λz − λ

),

donde Im(λ) > 0 y θ ∈ R.

Teorema 2.4 (Formula de Schwarz-Christoffel). Sea f una transformacionconforme del semiplano superior H sobre el interior D de un polıgono cerradoP en el plano; sean −∞ < a1 < a2 < · · · < an ≤ ∞ la lista de puntostransformados a los vertices de P por el homeomorfismo extendido f de f a lacerradura H de H en C, y sea αjπ el angulo interior de P en el vertice f(aj).Entonces, existen constantes A y B, tales que para cualquier z ∈ H:

f(z) = A

∫ z

i(ς − a1)α1−1(ς − a2)α2−1 · · · (ς − an)αn−1dς +B

si an 6=∞, mientras que:

f(z) = A

∫ z

i(ς − a1)α1−1(ς − a2)α2−1 · · · (ς − an−1)αn−1−1dς +B

si an =∞.

Una demostracion puede encontrarse en [1].

Page 36: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

26 F. Estrada, J. Poisot

2.2. Sobre la solucion al problema de Grotzsch

Podemos enunciar la problematica de Grotzsch del modo siguiente: existeuna transformacion conforme que envıe un cuadrado en un rectangulo, que noes un cuadrado, de forma que lleve vertices a vertices?, su respuesta es negativa.A¿Existe un difeomorfismo C1 que resuelva este problema?, su respuesta esafirmativa. A¿Existe un modo de medir la desviacion de la conformodidad dela solucion?, su respuesta es afirmativa. El siguiente argumento nos permiteverificar estas respuestas [2]:

Sea f : U → V un difeomorfismo de clase C1 entre dos dominios U y Vdel plano que preserva orientacion, es decir, el jacobiano Jf (z) :=| ∂f (z) |2− | ∂f (z) |2 es positivo en U , lo cual denotamos por f ∈ Dif+ (U, V ), parael cual se definen las derivadas parciales complejas ∂f y ∂f con z = x + iy, ladiferencial df y la derivada Df por:

∂f =12

(fx − ify) , ∂f =12

(fx + ify)

df = ∂fdz + ∂fdz

[Df (z)] (u) = ∂f (z)u+ ∂f (z) u.

La derivada ∂αf en la direccion α:

∂αf (z) = lımr→0

f (z + r exp (iα))− f (z)r exp (iα)

.

Entonces, ∂αf = ∂f + ∂f exp (−2iα), y ası:

maxα| ∂αf (z) |=| ∂f (z) | + | ∂f (z) |, mın

α| ∂αf (z) |=| ∂f (z) | − | ∂f (z) | .

La diferencia | ∂f (z) | − | ∂f (z) | es positiva, ya que el jacobiano Jf :=| ∂f |2− | ∂f |2 es positivo para los difeomorfismos que preservan la orientacion. Enconsecuencia, el cociente de dilatacion:

Df (z) :=maxα | ∂αf (z) |mınα | ∂αf (z) |

=| ∂f (z) | + | ∂f (z) || ∂f (z) | − | ∂f (z) |

es finito y mayor o igual a 1.

Page 37: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 27

La transformacion f es conforme si y solo si ∂f se anula en su domi-nio. Entonces, ∂αf es independiente de α: y obtenemos que ∂αf = ∂f =f′, lo cual es equivalente a que el cociente de dilatacion sea identicamente

igual a 1.El cociente de dilatacion es un invariante conforme: si g y h son transforma-

ciones conformes, tales que w = h f g este definida, entonces se demuestraque Df (z) = Dw

(g−1 (z)

).

Sean R y R′ dos rectangulos con lados a, b y a′, b′, respectivamente. Po-demos suponer que a/b ≤ a′/b′ y que b ≤ b′; de otra manera, intercambiamosa y b. Supongamos que R ⊂ U y R′ ⊂ V y f (R) = R′, y que f envıa lados aen lados a′ y lados b en lados b′. Obtenemos las siguientes estimaciones:(

|∂f | −∣∣∂f ∣∣) |dz| ≤ |df | ≤ (|∂f |+ ∣∣∂f ∣∣) |dz| ,

lo cual se sigue de la definicion de diferencial; ademas:

a′ =∫ a

0|df (x+ iy)| dx ≤

∫ a

0

(|∂f |+

∣∣∂f ∣∣) dxa′b′ ≤

∫ a

0

∫ b

0

(|∂f |+

∣∣∂f ∣∣) dxdya′2b′2 ≤

∫ a

0

∫ b

0

|∂f |+∣∣∂f ∣∣

|∂f | −∣∣∂f ∣∣dxdy

∫ a

0

∫ b

0

(|∂f |2 −

∣∣∂f ∣∣2) dxdy= a′b′

∫ a

0

∫ b

0Dfdxdy

oa′

b′a

b≤ 1ab

∫ ∫RDfdxdy

y en particular,a′

b′a

b≤ sup

z∈UDf (z) .

El mınimo es alcanzado para la transformacion afın, dada por:

f (z) =12

(a′

a+b′

b

)z +

12

(a′a− b′

b

)z.

Esto demuestra que no existe transformacion conforme, que resuelva elproblema de Grotzsch.

Page 38: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

28 F. Estrada, J. Poisot

3. Definicion analıtica de transformacionCasiconforme

3.1. El caso diferenciable

De acuerdo a la seccion anterior, siguiendo a Ahlfors, podemos definir elconcepto de transformacion casiconforme para f ∈ Dif+ (U, V ).

Definicion 3.1. f ∈ Dif+ (U, V ) es K−casiconforme, con K ≥ 1 si Df (z) ≤K para todo z ∈ U . Diremos que f ∈ Dif+ (U, V )es casiconforme, si existeun K ≥ 1, tal que f es K−casiconforme. La menor K, tal que f es K-casiconforme, es llamada dilatacion casiconforme de f .

Ejemplo 3.2. 1) Sean U = x+ iy : |y| ≤ 2x y 0 < x < 1, V = C. Conside-remos la funcion f : U → V, dada por:

f (x+ iy) = 2√x+ i

y√x,

es casiconforme, ya que f ∈ Dif+ (U, V ) y Df es acotada en U.

2) Sea K > 1. La funcion h : 4 → 4, dada por h (z) = z |z|K , es casicon-forme, ya que h ∈ Dif+ (4,4) y

Dh =|∂h|+

∣∣∂h∣∣|∂h| −

∣∣∂h∣∣ ≤KK+1 + 1

1− KK+1

.

3) Sea U = x+ iy : |y| ≤ x y 0 < x < 1 , V = C. La transformaciong : U → V, dada por g (x+ iy) = x + i yx , es un elemento de Dif+ (U, V ) ,tal que Dg no es acotada en U por lo cual no es casiconforme. Sin embargo,para cualquier punto en U , podemos construir una vecindad de tal punto, enla cual esta transformacion es casiconforme.

Desde el punto de vista geometrico, podemos hacer las siguientes observa-ciones: 1) Una transformacion conforme infinitesimalmente envıa circunferen-cias en circunferencias, lo cual se desprende directo de la definicion de deri-vada compleja. 2) Una transformacion casiconforme infinitesimalmente envıacircunferencias en elipses, es decir, la derivada envıa circunferencias en elipses,lo cual se constata del siguiente argumento:

Df (z) r exp (iθ) = r∂f (z) exp (iθ) + r∂f (z) exp (iθ) .

Page 39: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 29

Y si tomamos ∂f (z) = r1 exp (iθ1), y ∂f (z) = r2 exp (iθ2), la parte derechade la igualdad anterior toma la forma:

r exp(iθ1 + θ2

2

)(r1 + r2) cos

(θ1 − θ2

2+ θ

)+ i (r1 − r2) sin

(θ1 − θ2

2+ θ

),

que es la representacion polar de una elipse, cuyo cociente de las longitudes del ejemayor y el eje menor es:

r1 + r2

|r1 − r2|=|∂f (z)|+

∣∣∂f (z)∣∣

|∂f (z)| −∣∣∂f (z)

∣∣ = Df (z) ,

lo cual nos proporciona una interpretacion geometrica de Df (z) .Si S1 = z ∈ C : |z| = 1 y f ∈ Dif+ (U, V ), para z ∈ U , denotamos por Ef (z) la

elipse Df−1 (f (z))(S1)

considerada modulo una homotecia real y se define la funcionµf (z) := ∂f(z)

∂f(z) . Tenemos que |µf (z)| < 1. Las condiciones siguientes son equivalentes:

i) La transformacion f es conforme, es decir, f es holomorfa con derivada no nulaen U .

ii) Ef es el campo de circunferencias.

iii) µf = 0 en U .

Los datos provistos por el campo de elipses Ef en U (considerado modulo una homo-tecia real en cada punto) y los de la funcion µf : U → 4, son equivalentes. Ademas,tenemos que µf y Df estan relacionadas por:

Df (z) =1 + |µf |1− |µf |

.

El argumento principal de µf (z) satisface:

Arg (µf (z)) = θ2 − θ1 = −2ϕ,

donde ϕ es el angulo que hace el eje menor de la elipse con el eje real.La definicion de la funcion µf y su significado geometrico, nos permite plantearnos

la siguiente pregunta: dado un dominio en U j C y un campo de elipses E definidoen U , ¿podemos encontrar un difeomorfismo f : U → V , tal que el campo E = Ef? Locual equivale a: dada una funcion µ : U → 4, ¿podemos encontrar un difeomorfismof : U → V , tal que µ = µf? Es decir, nos estamos preguntando por las soluciones dela ecuacion en derivadas parciales:

∂f = µ∂f,

Page 40: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

30 F. Estrada, J. Poisot

la cual es conocida como ecuacion de Beltrami . Esta ecuacion surge tambien en el estu-dio de la geometrıa diferencial de superficies, en particular en lateorıa de superficies que admiten una estructura holomorfa, conocidas como superfi-cies de Riemann, y esta teorıa es fundamental en el estudio de la dinamica holomorfa.Una de las tecnicas mas exitosas en dinamica holomorfa inaugurada en la decada de1980, es la llamada cirugıa holomorfa, en la cual el uso del teorema que garantiza laexistencia de soluciones a la ecuacion de Beltrami, es un hecho fundamental, ası co-mo en el estudio de grupos kleinianos. En todas estas aplicaciones de la ecuacion deBeltrami, es necesario considerar que la funcion µ no es necesariamente continua; esdecir, f no es necesariamente diferenciable. Por lo que necesitamos generalizar nuestroconcepto de transformacion casiconforme.

3.2. El caso general

Para tratar el caso general, necesitamos introducir algunas nociones basicas de laTeorıa de distribuciones de L. Schwartz. Sea U un abierto de C. Denotamos con C (U)(respect. C1 (U), C∞ (U)) el espacio vectorial de funciones continuas definidas en U ,y que toman valores en C (respect. el espacio de funciones con derivadas continuasy el espacio de funciones con derivadas de todos los ordenes). Denotamos Ccomp (U)el espacio de funciones con soporte compacto definidas en U , y definimos igualmenteC1comp (U) y C∞comp (U).

El espacio L2 (U) es completacion del espacio Ccomp (U) con la norma L2 definidapor:

(‖f‖L2)2 =∫∫|f |2 =

∫∫z∈U|f (z)|2 dxdy,

donde la integral es considerada respecto a la medida de Lebesgue. Este es un espaciode Hilbert complejo. Denotamos por L2

comp (U) el subespacio de funciones de L2 (U)que tienen soporte compacto en U , y por L2

loc (U) el espacio defunciones definidas en U y que estan localmente en L2. De igual manera, definimosL1 (U), L1

comp (U), L1loc (U). Recordemos que

L∞ (U) = f : U → Cmedible y acotada

es un espacio de Banach complejo, con la norma |f |∞ :=sup esencz∈U |f (z)|.

Definicion 3.3. Dadas dos funciones f y g en L1loc (U), decimos que g = ∂f

∂x en elsentido de distribuciones, si:

(∀h ∈ C∞comp (U)

) ∫∫gh = −

∫∫f∂h

∂x.

Page 41: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 31

La funcion g esta determinada de manera unica (como elemento de L1loc (U)) por

esta condicion.

Definicion 3.4. Definimos el espacio de Sobolev H1loc (U) como el espacio vecto-

rial de funciones f ∈ L1loc (U), que admiten derivadas parciales ∂f

∂x y ∂f∂y en el

sentido de distribuciones contenidas en L2loc (U). Para f ∈ H1

loc (U), definimos ∂fy ∂f en el sentido de distribuciones mediante las formulas habituales:

∂f =12

(∂f

∂x− i∂f

∂y

), ∂f =

12

(∂f

∂x+ i

∂f

∂y

).

Teorema(lema de H. Weyl). Si U ⊂ C es abierto, y f : U→ C es una funcion continua,tal que ∂f ∈ L1

loc (U) y ∂f = 0 en el sentido de distribuciones, entonces f es holomorfaen U .

Una demostracion puede encontrarse en [9]. Con estos conceptos estamos en la po-sibilidad de enunciar la definicion analıtica general de transformacioncasiconforme.

Definicion 3.5. Sean U, V subconjuntos abiertos de C, tomemos K ≥ 1, y seak := (K − 1) / (K + 1), ası que 0 ≤ k < 1. Una transformacion f : U → V esK−casiconforme, si es un homeomorfismo cuyas derivadas parciales en el sentido dedistribuciones ∂f y ∂f pertenecen a L2

loc (U) y satisfacen:∣∣∂f ∣∣ ≤ k |∂f |en L2

loc (U); es decir, |µ| ≤ k a µ se llama dilatacion compleja de f .

Supongamos que f es k−casiconforme y g es k′−casiconforme, y pongamos:

K =1 + k

1− k, K ′ =

1 + k′

1− k′,

entonces la K ′′ correspondiente a f g es a o mas K ·K ′ y ası f g es k′′−casiconformepara alguna k′′ = k′′ (k, k′) . En realidad, se puede demostrar que:

Proposicion 3.6. Si f : U → V y g : V → W son homeomorfismos casiconformes,entonces la composicion g f es casiconforme y

µgf (z) =µf (z) + µg (z) · ∂f(z)

∂f(z)

1 + µg (f (z)) · µf (z) · ∂f(z)∂f(z)

.

Si f es holomorfa, entonces µgf (z) = µg (f (z)) · ∂f(z)∂f(z) .

Page 42: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

32 F. Estrada, J. Poisot

Una demostracion puede encontrarse en [2]. De acuerdo al lema de Weyl,tenemos:

Teorema 3.7. Sean U, V ⊆ C abiertos. Un homeomorfismo f : U → V que es1-casiconforme, es conforme.

El siguiente resultado es el punto de partida para la Teorıa de la deformacion detransformaciones casiconformes en el plano.

Teorema 3.8. (Morrey, Bojarski, Ahlfors, Bers) (Transformacion medible de Rie-mann). i) Sea U ⊆ C un abierto y sea µ ∈ L∞ (U) , tal que ‖µ‖∞ < 1. Entoncesexiste una transformacion casiconforme f := fµ : U → C, que satisface la ecuacionde Beltrami:

∂f = µ∂f

Ademas, f (z) − z→ 0 cuando z → ∞. A tal funcion µ se le llama coeficiente deBeltrami en U .

ii) Si g es otra solucion casiconforme de esta ecuacion, entonces existe una funcionholomorfa e inyectiva ϕ : f (U)→ C, tal que g = ϕ f , ası que µϕf (z) = µf (z).

iii) Si la funcion µ depende tambien de un parametro λ, es decir, µ : Λ×U → C,donde λ ∈ Λ y Λ es un dominio de C, y la dependencia de µ respecto a λ es holomorfa(respect. continua), entonces las soluciones de la ecuacion de Beltrami, fµλ , dependende manera holomorfa (respect. continua) del parametro λ.

Una demostracion se encuentra en [7].

Nota 3.9. Dos transformaciones entre superficies f , g : S1 → S2, se dicen isotopicassi existe una familia a un parametro Ht : S2 → S2 de homeomorfismos, tal queH0 = idS2 y H1 f = g. De acuerdo a (ii), dos soluciones fµ y gµ de la ecuacion deBeltrami, son isotopicas. Ademas, si fµ y gµ son homeomorfismos casiconformes dela esfera C, entonces gµ = ϕ fµ para alguna transformacion de Mobius ϕ.

4. Superficies de Riemann

En el estudio del comportamiento multivaluado de ciertas funciones holomorfas,o en el estudio de la extension del dominio de holomorfıa (continuacion analıtica) de es-tas funciones, surge el concepto de superficie de Riemann. Hay variasformas de introducir este concepto, pero la forma que nos conviene en esta expo-sicion es la siguiente:

Una variedad de dimension n es un espacio topologico conexo Hausdorff X, talque cada punto del espacio posee una vecindad abierta, que es homeomorfa a unabierto de Rn o de Cn(variedad topologica). Si ademas en cada punto p ∈ X, para

Page 43: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 33

dos vecindades U, U ′ de p, con ϕ : U → Rn y ψ : U ′ → Rn homeomorfismos a abiertosde Rn (o Cn), se tiene que:

ϕ ψ−1 : ψ (U ∩ U ′)→ ϕ (U ∩ U ′)

es diferenciable (analıtica), la variedad se llama diferenciable (analıtica).

Definicion 4.1. Sea S una variedad diferenciable de dimension real 2. Una cartacompleja es un homeomorfismo ϕ : U → V de un subconjunto abierto U ⊂ S sobreun subconjunto abierto V ⊂ C. Dos cartas complejas ϕi : Ui → Vi, i = 1, 2, se dicencompatibles holomorfamente si la funcion:

ϕ2 ϕ−11 : ϕ1 (U1 ∩ U2)→ ϕ2 (U1 ∩ U2)

es biholomorfa.

Un atlas complejo en S es un sistema U = ϕi : Ui → Vi, i ∈ I de cartas, que soncompatibles holomorfamente y que cubren a S; es decir, ∪i∈IUi = S.

Dos atlas complejos U y U ′se dicen equivalentes holomorfamente ,si toda carta de Ues compatible holomorfamente con toda carta de U ′. Notese que lacomposicion de funciones biholomorfas es biholomorfa; en consecuencia, la nocionde equivalencia holomorfa de atlas complejos es una relacion de equivalencia.

Una estructura compleja sobre una variedad S de dimension real 2, es una clasede equivalencia de atlas equivalentes holomorfamente sobre S.

Definicion 4.2. Una superficie de Riemann es un par (S,Σ) , donde S es una variedadde dimension real 2, conexa y Σ es una estructura compleja sobre S.

Usualmente escribimos S en lugar de (S,Σ), siempre que sea clara la estructuracompleja Σ que estamos considerando.

Ejemplo 4.3. Ejemplos de superficies de Riemann:(a) El plano complejo C. Su estructura compleja esta definida por el atlas cuya

unica carta es la funcion identidad C→ C.(b) Dominios. Supongamos que S es una superficie de Riemann y que D ⊂ S es

un subconjunto abierto y conexo. Entonces D tiene una estructura compleja natural,que lo convierte en una superficie de Riemann. El atlas es aquel formado por todas lascartas complejas ϕ : U → V sobre S, tales que U ⊂ D. En particular, todo dominiode C es una superficie de Riemann.

(c) La esfera de Riemann C. Introducimos la siguiente topologıa sobre C. Losconjuntos abiertos son, los conjuntos abiertos usuales U ⊂ C, junto con los conjuntosde la forma V ∪∞, donde V ⊂ C es el complemento del subconjunto compacto G ⊂

Page 44: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

34 F. Estrada, J. Poisot

C. Con esta topologıa, C es un espacio topologico Hausdorff compacto, homeomorfoa la esfera de dimension 2, S2. Tomemos:

U1 := C ∞ = C

U2 := C 0 = C 0 ∪ ∞ .

Definimos las funciones ϕ1 : U1 → C como la funcion identidad y

ϕ2 (z) :=

1z para z∈C0

0 para z=∞ .

El atlas definido por estas dos cartas, convierte a Cen una superficie de Riemann.(d) El cilindro. Considerese el grupo cıclico G de traslaciones actuando en C, cuyos

elementos son de la forma z → z+n, donde n ∈ Z. Entonces hay una transformacioncubriente natural (vease la seccion siguiente) π : C → C/G, que envıa un punto a laorbita bajo la accion de G. Topologicamente, el espacio de orbitas puede ser repre-sentado como la banda infinita z | 0 5 x < 1 con el punto iy en el lado izquierdode la banda, identificado con 1 + iy en el lado derecho. Las ramas de π−1 restringi-das a la imagen de π de conjuntos abiertos en C, que estan estrictamente entre doslıneas verticales separadas una unidad, son homeomorfismos. Esos homeomorfismosconstituyen un sistema de cartas para C/G, cuyas transformaciones de transicion sontraslaciones en G. Ası que C/G es una superficie de Riemann. Ademas, se puede veri-ficar que la transformacion z → exp 2πiz induce un isomorfismo conforme de C/Gsobre C \ 0.

(e) Los toros. Sea G el grupo de las traslaciones de la forma z → z + nw1 +mw2

con n, m ∈ Z, y w1, yw2 forman una base sobre R para C, actuando en C. EntoncesR = C/G es un toro, y como en el ejemplo anterior, este tiene una estructura desuperficie de Riemann, dada por las ramas de la inversa de la transformacion cubrienteπ : C→ C/G.

(f) El Teorema de Transformacion medible de Riemann nos conduce naturalmentea la idea de que cada µ ∈ L∞ (U), en un dominio simplemente conexo U ⊂ C, produceuna nueva superficie de Riemann (U,Σµ), con la estructura conforme Σµ definida porel atlas U (µ) , que consiste en la familia de todas las transformaciones ϕ : U → C, lascuales son casiconformes con dilatacion µ en U . El punto (ii) de tal teorema garantizaque las funciones de transicion entre dos diferentes cartas coordenadas, es holomorfa.

Definicion 4.4. Una funcion entre dos superficies de Riemann f : (S1,Σ1) →(S2,Σ2), se dice holomorfa si para cualesquiera cartas complejas ϕ : U → V , φ :U ′ → V ′ de Σ1 y Σ2, respectivamente, tales que f (U) ⊂ U ′, se verifica que la expre-sion local de la funcion φf ϕ−1 : V → V ′ es holomorfa. Dos superficies de Riemannse dicen equivalentes biholomorfamente ,si existe una funcion biyectiva y holomorfaentre ellas, con inversa holomorfa.

Page 45: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 35

Uno de los problemas mas importantes del analisis complejo es el de la clasificacionde superficies de Riemann, bajo la relacion de equivalencia biholomorfa. Este problemaalcanzo finalmente su respuesta (Koebe, Poincare, Klein) a principios del siglo XX,lo cual queda establecido en el siguiente teorema.

4.1. Espacios cubrientes

La Teorıa de los espacios cubrientes esta relacionada con el estudio del grupofundamental. Muchas cuestiones topologicas basicas sobre espacios cubrientes, puedenreducirse a cuestiones puramente algebraicas sobre los grupos fundamentales de losdistintos espacios involucrados. Recurriremos a esta teorıa para establecer resultadosbasicos en el estudio de las superficies de Riemann.

En lo que sigue, se supondra que todos los espacios son arco-conexos y localmentearco-conexos, mientras no se diga lo contrario.

Definicion 4.5. Decimos que una transformacion continua π : X → X entre espaciostopologicos, es llamada transformacion cubriente o que X recubre a X a traves de π, sicada y ∈ X tiene una vecindad V , tal que π−1 (V ) = ∪j∈JUj , donde los Uj son abiertosconexos ajenos de X, tales que para todo j ∈ J , π : Uj → V es un homeomorfismo.

Definicion 4.6. Decimos que dos curvas α, α′ : [0, 1]→ X son homotopicas (relativasa los puntos extremos), si existe una funcion continua γ : [0, 1] × [0, 1] → X tal quepara γs (t) = γ (t, s) se tiene que γ0 = α y γ1 = α′, y las curvas γs tienen los mismospuntos extremos para cada s.

En particular, si α es una curva cerrada α (0) = α (1) = x0, entonces las γs sontambien curvas cerradas con punto extremo x0. La funcion γ es llamada homotopıaentre α y α′. Dado x0 ∈ X, sea π1 (X,x0) el espacio de clases de homotopıa decurvas cerradas, con γ (0) = γ (1) = x0. Este espacio puede convertirse en el grupofundamental de X con punto base x0, definiendo para cada [γ1], [γ2], pertenecientes aπ1 (X,x0), su suma [γ1] + [γ2] como la clase de homotopıa de la curva:

γ (t) =

γ1(2t) para t∈[0, 12 ]γ2(2t−1) para t∈[ 1

2 ,1].

Un espacio X es conexo simplemente si π1 (X,x0) = 0, donde 0 representa la clase dehomotopıa de la curva constante x0. La propiedad principal de una transformacioncubriente es que curvas y homotopıas, pueden ser levantadas: para cada α : [0, 1]→ Xcontinua, existe α : [0, 1] → X con π α = α. Ademas, si γ es una homotopıa entreα y α′, entonces existe una homotopıa γ entre α y algun levantamiento α′ de α′. Uncubriente es universal si X es conexo simplemente.

Page 46: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

36 F. Estrada, J. Poisot

Teorema 4.7. Sea X un espacio topologico conexo por trayectorias. Entonces, tene-mos lo siguiente:

1. Existe una transformacion cubriente π : X → X.2. Cada transformacion continua f : Y → X, tiene un levantamiento. Mas pre-

cisamente, para cada y ∈ Y y cada x ∈ π−1 (f (y)), existe una unica transformacioncontinua f : Y → X con π f = f y f (y) = x.

3. Si f : Y → Y es una transformacion cubriente y Y es conexo simplemente,entonces f es un homeomorfismo. En particular, el cubriente universal es unico salvohomeomorfismos.

Una demostracion puede consultarse en [9]. Debido al teorema precedente, unopuede levantar π : X → X a una transformacion π : X → X. Puesto que π es unatransformacion cubriente, π tambien es una transformacion cubriente, y puesto que Xes conexo simplemente, es un homeomorfismo. Sea Γ el espacio de tales levantamientos:

Γ =π; π es un levantamiento de π : X → X

.

Este espacio es un grupo con la composicion, y es llamado grupo de transformacionescubrientes.

Ejemplos de superficies cubrientes:(i) Sea π : C→ C − 0, dado por π (z) = exp (z). Entonces, C es una superficie

cubriente universal de C− 0.(ii) Sea π : H→ ∆−0, dado por π (z) = exp (2πiz). Entonces, H es un cubriente

universal de ∆− 0.(iii) Sea π : C−0 → C−0, dado por π (z) = zn, con n ∈ N. Entonces, C−0

es una superficie cubriente de sı misma, pero no es una superficie cubriente universal.(iv) Sea λ > 1, definamos r = exp

(−2π2

/log λ)

y A = w ∈ C : r < |w| < 1.Definimos π : H → A por π (z) = exp (2πi log(z)/log(λ)), donde log (z) denota su ramaprincipal. Entonces, H es la superficie cubriente universal del anillo A.

(v) Sea Γτ = γ = m · 1 + nτ : m,n ∈ Z, τ ∈ H, el grupo de red generado por 1 yτ con la operacion de suma. Este grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo Aut(C),donde el isomorfismo esta dado por γ → γ′ (z) = z +m · 1 + nτ . Sea π la proyeccionde C→ C/Γτ , entonces C es la superficie cubriente universal del toro C/Γτ .

(vi) Si X es localmente conexo simplemente, el grupo Γ actua discontinuamentesobre X (es decir, cada punto tiene una vecindad U , tal que γ (U)∩U 6= ∅ para soloun numero finito de elementos γ ∈ Γ). Ademas, el espacio X es homeomorfo a X/Γ yel grupo Γ es isomorfo al grupo fundamental π1 (X) .

Teorema 4.8. En toda superficie de Riemann S, existe una superficie cubrienteuniversal S de S, la cual es biholomorfa a una de las siguientes:

1) El plano complejo C.2) La esfera de Riemann C.3) El disco unitario 4.

Page 47: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 37

Demostracion. Este teorema es consecuencia de un notable resultado, debido a Koebe,llamado Teorema de Planaridad de Koebe, el cual establece que cualquier superficiede Riemann plana, es conformemente equivalente con una de las tres posibilidadessiguientes: C, C, o un dominio contenido en C. Una superficie R es plana si cualquiercurva cerrada simple, contenida en R, divide a R en dos componentes. De la Teorıa delos espacios cubrientes, cualquier superficie R tiene una cubierta universal simplemen-te conexa R con transformacion cubriente π : R→ R, donde π es un homeomorfismolocal y hay un grupo G de transformaciones cubrientes actuando en R sin puntos fijos,con la propiedad de que eR/G es homeomorfo a R. Ademas, cada punto p ∈ R tieneuna vecindad N , tal que γ (N) ∩N es vacıo para cada elemento γ ∈ G \ id.

La estructura conforme dada en R, induce una estructura conforme en el espaciocubriente R, convirtiendolo en una superficie de Riemann plana simplemente conexa.Ası, el Teorema de Planaridad y el Teorema de Representacion Conforme de Riemann,implican que R es conformemente equivalente a C o a C o a H.

Notese que el grupo G es libre de torsion actuando en H, cuyo espacio factor esconforme a R, pero no es determinado en forma unica. Sin embargo, si G′ es otro sub-grupo libre de torsion de PSL (2,R), tal que H factorizado por G′ es conformementeequivalente a R, entonces existe una transformacion de Mobius B, que preserva H,tal que G′ = B G B−1.

Nos referiremos a estas tres posibilidades como el caso euclidiano (o parabolico),hiperbolico, y esferico (o elıptico), respectivamente. Esas superficies de Riemann no sonmutuamente conformemente equivalentes. El plano complejo C no es biholomorfo aC, ya que C no es compacto y C sı lo es. Por la misma razon, ∆ y C no son biholo-morfos. El plano C y el disco ∆ no son biholomorfos, ya que en C toda funcion enteraacotada es constante y en ∆, existen funciones holomorfas acotadas no constantes. Latransformacion de Mobius w = (z−i)/(z+i) modifica biholomorfamente H en el discounitario ∆.

4.2. Metricas en superficies de Riemann

De acuerdo a la seccion anterior, una superficie de Riemann es una variedad dife-renciable de dimension real 2 y en el estudio de la geometrıa diferencial, el conceptode metrica riemanniana sobre ellas es una herramienta fundamental, lo cual necesita-remos mas adelante.

Definicion 4.9. Una metrica riemanniana sobre una superficie de Riemann S, es unaforma cuadratica positiva sobre el espacio tangente en cada punto de S.En una carta local z = x+ iy, esta se puede escribir como:

ds2 = a (z) dx2 + 2b (z) dxdy + c (z) dy2,

Page 48: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

38 F. Estrada, J. Poisot

donde a (z) > 0 y b (z)2−a (z) c (z) < 0 y la matriz asociada(a (z) b (z)b (z) c (z)

)depende

suavemente de z. Con la notacion compleja dz = dx+ idy y dz = dx− idy, la metricase puede expresar como:

ds2 = ρ (z) |dz + µ (z) dz|2 ,

con ρ (z) > 0 y |µ (z)| < 1. La metrica estandar de C es ds20 := |dz|2 = dx2 + dy2 y la

de C es:

ds2C =

(2 |dz|

1 + |z|2

)2

.

La metrica hiperbolica (o de Poincare) en el disco unitario ∆ es:

ds2∆ =

(2 |dz|

1− |z|2

)2

,

la cual tiene a las transformaciones de Mobius Mob (∆) como isometrıas.

De cada metrica, podemos obtener una distancia d (z1, z2) integrando a lo largode las curvas de z1 a z2 y tomando el ınfimo de tales longitudes. Dos metricas ds2

1

y ds22 son equivalentes conformemente, si existe una funcion positiva τ (z), tal que

ds22 = τ (z) ds2

1. Una clase de equivalencia conforme de metricas, define una estructuraconforme sobre S. Trataremos tambien con estructuras conformes medibles, para lascuales los coeficientes de la metrica se suponen medibles y las relaciones anterioresson satisfechas casi donde quiera, con respecto a la medida de Lebesgue. La estructuraconforme estandar es σ0 :=

[ds2

0

]=[ds2C], donde los corchetes denotan la clase de

equivalencia de las metricas respectivas. Se puede demostrar usando lo anterior, quelas estructuras conformes medibles estan en una correspondencia uno a uno con lasdiferenciales de Beltrami , tensores de la forma µ (z) dzdz , la cual es consistente bajocambios de coordenadas. Una estructura conforme medible es llamada acotada, si|µ (z)|∞ < 1.

5. Deformaciones de estructuras complejas y espa-cio de Teichmuller

En el siglo XIX, B. Riemann se pregunta como describir las variaciones de es-tructuras complejas sobre una superficie dada. Esta problematica es retomada porO. Teichmuller en 1938, utilizando como herramienta fundamental las transforma-ciones casiconformes, dando origen a la Teorıa del espacio de Teichmuller, que da

Page 49: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 39

una respuesta a este problema construyendo una parametrizacion del conjunto detodas las estructuras complejas de una superficie dada. Esta teorıa esta en la in-terseccion de muchas importantes areas de las matematicas como: la Teorıa desuperficies de Riemann, variedades complejas, grupos fuchsianos, kleinianos, gruposde Lie, topologıa en dimensiones 2 y 3, ecuaciones diferenciales, dinamica holomorfay Teorıa ergodica. Recientemente esta teorıa ha empezado a jugar un rol importanteen la Teorıa de cuerdas.

5.1. Deformaciones casiconformes de funciones holomorfas

Dado U ⊂ C abierto, denotamos con B (U ) el conjunto de todos los coeficientesde Beltrami sobre U , que es la bola unitaria en L∞ (U). La metrica de Poincare sobreB (U ), se define como sigue:

dB (µ1,µ2) = sup esencz∈UdP (µ1 (z) , µ2 (z)) ,

donde dP (µ1 (z) , µ2 (z)) es la distancia de Poincare entre dos puntos en ∆.Un camino de Beltrami en U es una funcion t→ µt ∈ B (U), tal que para casi todo

z ∈ U , t→ µt (z) es una geodesica hiperbolica en ∆. Si µt es un camino de Beltrami,entonces su vector tangente en t = t0,

νt0 (z) =d

dtµt (z) |t=t0 ,

es una funcion medible esencialmente acotada, llamada vector de Beltrami. Inversa-mente, cualquier funcion ν ∈ L∞ (U) es tangente a un unico camino de Beltrami.

Lema 5.1. (1) Sea f : U → V una transformacion casiconforme. Si µ ∈ B (V ),entonces su funcion regreso f?µ se define por:

(f?µ) (z) =µf (z) + µ (f (z)) · ∂f(z)

∂f(z)

1 + µ (f (z)) · µf (z) · ∂f(z)∂f(z)

y esta expresion es un coeficiente de Beltrami sobre U .(2) La funcion f? : B (V ) → B (U), definida por µ 7−→ f?µ, es una isometrıa de

la metrica de Poincare y transforma caminos de Beltrami en caminos de Beltrami.

Observaciones. (1) Si f es holomorfa, entonces:

(f?µ) (z) = µ (f (z)) · ∂f (z)∂f (z)

casi donde quiera

y esta funcion de regreso esta bien definida aun si f no es inyectiva.

Page 50: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

40 F. Estrada, J. Poisot

(2) µf = f? (0). En otras palabras, el coeficiente de Beltrami de un homeomorfis-mo casiconforme f es el regreso del coeficiente de Beltrami identicamente cero.

(3) La accion tangente de f sobre un vector de Beltrami, esta dada por:

(Tf? (µ)) (ν) (z) =

(∂f(z)∂f(z)

)(1− |µf |2

)(

1 + µ (f (z)) · µf (z) · ∂f(z)∂f(z)

)2 ν (f (z)) .

De manera que si ν es un vector de Beltrami tangente al camino de Beltrami µt ent = t0 y µt0 = µ, entonces (Tf? (µ)) (ν) es el vector de Beltrami tangente al caminode Beltrami f? (µt) en t = t0. Notese que si f es holomorfa, entonces

(Tf? (µ)) (ν) (z) = ν (f (z)) · ∂f (z)∂f (z)

casi donde quiera.

Los caminos de Beltrami pueden ser usados para construir deformaciones de funcio-nes holomorfas. Una demostracion del lema anterior, ası como del teorema siguiente,pueden encontrarse en [4].

Teorema 5.2. Sea F : U → V una funcion holomorfa entre conjuntos abiertos, talesque V ⊂ U . Sea µt : V → C un camino de Beltrami en V con µ0 ≡ 0, satisfaciendola condicion

F ? (µt) = µt para toda t.

Sea ϕt : V → Vt ⊂ C una familia continua de homeomorfismos casiconformes conϕ0 = id, tal que el coeficiente de Beltrami de ϕt es µt. Entonces:

Ft = ϕt F ϕ−1t

es una familia continua de funciones holomorfas.

Definicion 5.3. Sea S una superficie de Riemann, un coeficiente de Beltrami µ sobreS es una coleccion de coeficientes de Beltrami µi : Vi → C, uno para cada cartaϕi : Ui → Vi de S, llamada expresion de µ en ϕi, satisfaciendo la condicion decompatibilidad: (

ϕj ϕ−1i

)?µj = µi sobre ϕi (Ui ∩Uj )

y la condicion de acotacion:

|µi (z)| < k para casi todo z ∈ Vi,

donde k < 1 es independiente de i.

Page 51: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 41

Definicion 5.4. Un homeomorfismo f entre dos superficies de Riemann S1 y S2,es K−casiconforme si todas las expresiones locales de f son K−casiconformes. Latransformacion de regreso f? : B (S2) → B (S1), se define tomando los regresos de lasexpresiones locales de la funcion f . La metrica de Poincare sobre B (S) se define comosigue:

dB (µ1, µ2) = supi

sup esencz∈ϕi(Ui)dP (µ1,i (z) , µ2,i (z)) .

Notemos que dP (µ1,i (z) , µ2,i (z)) = dP (µ1,j (z′) , µ2,j (z′)) si ϕ−1i (z) = ϕ−1

j (z′).De tal manera que el supremo anterior sobre i, puede ser tomado sobre cualquieratlas. Notemos tambien que f? es una isometrıa.

Decimos que una familia a un parameto µt de coeficiente de Beltrami, es un caminode Beltrami sobre la superficie de Riemann S, si para cada carta ϕi : Ui → ϕi (Ui),t 7→ µi,t es un camino de Beltrami en ϕi (Ui), donde µi,t es la expresion de µt en estacarta. Analogamente, definimos un vector de Beltrami ν en el coeficiente de Beltramiµ como una coleccion νi:ϕi (Ui)→ C de vectores de Beltrami, tales que:

T(ϕj ϕ−1

i

)?(µj) (νj) = νi

y tal que el supremo esencial |νi| es uniformemente acotado. Esta condicion de inva-rianza puede ser escrita en coordenadas locales como sigue:

∂(ϕj ϕ−1

i

)∂(ϕj ϕ−1

i

) · νj (ϕj ϕ−1i (z)

)= νi (z) ;

como antes, cada vector de Beltrami ν en µ determina un unico camino de Beltramiµt con µ0 = µ e inversamente.

5.2. Deformaciones casiconformes de estructurasComplejas

Con los conceptos introducidos en la seccion anterior y el Teorema de Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers, podemos definir con toda precision el significado de la defor-macion casiconforme de una estructura compleja, asociada a un coeficiente de Beltra-mi, sobre una superficie de Riemann.

Teorema 5.5. (Superficie de Riemann Sµ). Sean S una superficie de Riemann yµ un coeficiente de Beltrami sobre S, entonces µ determina una nueva superficie deRiemann Sµ y una transformacion casiconforme f : S → Sµ, tal que f?(0) = µ.

Corolario 5.6. (1) Toda transformacion casiconforme f : U → U , donde U ⊂ C undominio, es isotopica a la identidad. (2) Toda transformacion casiconforme f : S → Scon S una superficie, es isotopica a la identidad.

Page 52: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

42 F. Estrada, J. Poisot

Idea de la demostracion del teoremaSea U = ϕi : Ui → Vi, con i ∈ I un atlas sobre S y para cada ϕi ∈ U , sea µi :Vi → C la expresion local de µ. Sea ψi : Vi → ψi (Vi) la transformacion casi-conforme cuyo coeficiente de Beltrami es µi, es decir, ψ?i (0) = µi. Entonces, U =ϕi = ψi ϕi : Ui → ψi (Vi) es un atlas para S. La transformacion casiconforme fqueda determinada localmente por las ψi.

Nota 5.7. Sea Sµ el espacio topologico S dotado con la estructura compleja defini-da por el atlas U . Tomando f como la transformacion identidad en Sµ, obtenemosf? (0) = µ, Por lo cual un camino de Beltrami µt sobre S, define una familia a unparametro de superficies de Riemann Sµt . Si µ0 = 0, entonces esta es una deformacionde la estructura compleja original sobre S. Inversamente, dada cualquier superficiede Riemann S1 y un homeomorfismo casiconforme f : S → S1, podemos obtener uncoeficiente de Beltrami µ = f? (0) sobre S. Por lo tanto, podemos identificar el espacioB (S) con el C (S) de todas las estructuras complejas sobre el espacio topologico S,que son homeomorfas casiconformemente a la estructura original.

5.3. Espacio de Teichmuller de una superficie de Riemann

De acuerdo a las secciones anteriores, podemos dar la siguiente definicion de es-pacio de Teichmuller:

Definicion 5.8. Dada una superficie S, dos coeficientes de Beltrami µ1 y µ2 sobre Sson equivalentes en el sentido de Teichmuller µ1 ∼T µ2, si µ1 = ϕ?µ2, donde ϕ : S → Ses un homeomorfismo casiconforme que es isotopico a la identidad. El espacio de clasesde equivalencia de coeficientes de Beltrami sobre S, es llamado espacio de Teichmullerde S y es dentado por T (S). Sea π : B (S) → T (S) la correspondiente proyeccion,esta puede ser utilizada para dotar a T (S) de una estructura compleja. Definimossobre T (S) la metrica de Teichmuller como sigue:

dT ([µ1] , [µ2]) = dB(π−1 ([µ1]) , π−1 ([µ2])

).

Notemos que esto es precisamente el mınimo de la distancia de Poincare, dedP (µ1, ϕ

? (µ2)) sobre todos los homeomorfismos casiconformes ϕ : S → S, queson isotopicos a la identidad. Otra manera de definir el espacio T (S) es la siguien-te: para cualquier transformacion casiconforme f : S → S1, donde S1 es otra su-perficie de Riemann, consideramos el par (S, f). Decimos que dos pares (S1, f1)y (S2, f2) son equivalentes en el sentido de Teichmuller ,si f2 f−1

1 es homotopicaa una transformacion conforme de S1 sobre S2. Denotamos por [S, f ] la clase deequivalencia del par (S, f). Entonces, llamamos al conjunto de todas las clasesde equivalencia el espacio de Teichmuller de S.

Page 53: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 43

Ejemplo 5.9. (1) El espacio de Teichmuller C es trivial (cualquier transformacioncasiconforme en C es isotopica a la identidad), lo cual se desprende del Teorema deIntegracion de Morrey-Bojarski-Ahlfors-Bers.

(2) Para la superficie de Riemann

S = AR = z ∈ C : 1 < |z| < R

con R > 1. Notemos que la imagen de S bajo una transformacion casiconforme,es conformemente equivalente a otro anillo S1 = z ∈ C : 1 < |z| < s , y que todatransformacion casiconforme de S sobre sı misma, es homotopica a la identidad o ala transformacion conforme z → s

z . Ademas, por el principio de reflexion, podemosconcluir que anillos correspondientes a diferentes valores de s, no son mutuamenteconformemente equivalentes. Por lo tanto, T (S) se identifica con el intervalo abierto(1,∞).

(3) Supongamos que S = 4 o S = ∆ − 0. Entonces, la imagen de S bajo unatransformacion casiconforme es conformemente equivalente a S y toda transformacioncasiconforme de S sobre sı misma, es homotopica a la identidad. Por lo tanto, T (∆)y T (∆− 0) consisten de un solo punto.

(4) Supongamos que la cubriente universal de S es C. Por un teorema (con-secuencia del Teorema de Uniformizacion) que afirma: una superficie de Riemanntiene una cubriente universal biholomorfa a C si y solo si esta es biholomorfa a unade las tres siguientes: C, C − 0, o C/Γ con Γ un grupo de red. Entonces, S esconformemente equivalente a una de las tres C, C − 0, o C/Γ. La imagen de Co C − 0 por una transformacion casiconforme, es equivalente conformemente aC o C−0, respectivamente. Ademas, toda transformacion casiconforme de C sobresı misma es homotopica a la identidad. Por lo tanto, T (C) consiste de un solo punto.Toda transformacion casiconforme de C − 0 sobre sı misma, es homotopica a laidentidad o a la transformacion conforme z → 1

z . Por tanto, T (C− 0) consiste deun solo punto. Con una argumentacion un poco mas elaborada, se puede mostrar queexiste un homeomorfismo entre T (C/Γ) y H.

6. Movimiento holomorfo

La introduccion de este concepto estuvo motivada por el estudio de la estabilidadestructural (la cual trataremos en una seccion posterior) de la dinamica generada porla iteracion de funciones racionales de una variable compleja, actuando en la esferade Riemann en un celebre artıculo de Mane, Sad y Sullivan [MSS]. Esta teorıa se haconvertido en anos recientes en una herramienta muy importante para el estudio dela dinamica holomorfa y de los espacios de Teichmuller.

Page 54: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

44 F. Estrada, J. Poisot

Definicion 6.1. Una funcion Φ : 4 × A → C es llamada movimiento holomorfo deun conjunto A ⊂ C, si:

(i) para cualquier a ∈ A fijo, la transformacion λ→ Φ (λ, a) es holomorfa en ∆.(ii) para cualquier λ ∈ ∆ fijo, la transformacion a→ Φλ (a) = Φ (λ, a) es inyectiva.(iii) la transformacion Φ0 es la identidad en A.

Observacion.— En la definicion anterior, podemos sustituir el disco 4 por unavariedad compleja conexa.

No es difıcil convencerse de que cada transformacion g, que es parte de un movi-miento holomorfo, es casiconforme. En particular, cada transformacion que es partede un movimiento holomorfo, distorsiona figuras en a lo mas una cantidad acotada.El resultado que introdujo este concepto y que sirve para caracterizar la estabilidades:

Teorema 6.2. (λ−lema MSS). Sea Λ una variedad compleja analıtica, y sea A ⊂ C.Si ϕ : Λ × A → C es un movimiento holomorfo de A, entonces para cada λ ∈ Λ, latransformacion A→ C, dada por a 7→ ϕ (λ, a), es casiconforme.

Puede consultarse una demostracion de este teorema en [15].

Notese que no se pide que A sea abierto, ası que la definicion analıtica de casicon-formidad no tiene sentido, por lo que es necesario usar caracterizaciones geometricasde las transformaciones casiconformes.

Corolario 6.3. Si ϕ : Λ × A → C es un movimiento holomorfo, entonces ϕ escontinua, y se extiende continuamente a un movimiento holomorfo ϕ : Λ × A → C,donde A es la cerradura de A en C.

Un resultado mas general tambien es cierto.

Teorema 6.4. (Slodkowski). Sea A ⊂ C. Cualquier movimiento holomorfo ϕ : ∆ ×A→ C, se extiende a un movimiento holomorfo ϕ : ∆× C→ C.

Una demostracion se encuentra en [8].

7. Aplicaciones a la dinamica holomorfa

7.1. Preliminares sobre dinamica holomorfa

Una funcion racional f (z) = P (z)Q(z) , donde P y Q son polinomios de una varia-

ble compleja con coeficientes complejos y primos relativos, define una funcion ho-lomorfa de C en sı misma. Consideramos a f como una transformacion cubriente

Page 55: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 45

ramificada de C. Para una cantidad finita de excepciones, cada valor w ∈ C tiene exac-tamente d preimagenes, donde el grado de f es d = max grado de P, grado de Q.Siempre supondremos que el grado de f es mayor que 1. Denotamos porRd el conjuntode todas las funciones racionales de grado d. La iteracion de f es la sucesion de funcio-nes fnn≥0, donde f0 = id, fn+1 = ffn, lo cual genera un sistema dinamico holomor-

fo en la esfera de Riemann C. La orbita de z ∈ C bajo f es O+ (z) = fn (z) : n ≥ 0.La orbita inversa es O− (z) = ∪n≥0f

−n (z) = ∪n≥0 (fn)−1 (z). La orbita grande de zes Og (z) = ∪n≥0O− (fn (z)). Dos funciones racionales f y g se dicen conjugadas poruna transformacion de Mobius h : C→ C, si g = h f h−1. Notemos que en este casoh lleva orbitas bajo f a orbitas bajo g. Por lo tanto, funciones racionales conjugadaspor una transformacion de Mobius seran consideradas equivalentes desde un puntode vista dinamico. Consideraremos tambien conjugaciones mediante homeomorfismoso transformaciones casiconformes, y conjugaciones locales, las cuales seran definidassolo en subconjuntos de C, tales como una vecindad de un punto periodico.

Un punto es llamado punto periodico si existe un n ≥ 1, tal que fn (z) = z, y elmas pequeno n con tal propiedad es llamado perıodo de z. El multiplicador del cicloes la derivada λ = (fn)′ (z) cuando z 6=∞, y es definido despues de una conjugacioncon una apropiada transformacion de Mobius, enviando el ∞ en C cuando z = ∞.Cuando 0 < |λ| < 1 (respect. λ = 0, |λ| = 1, |λ > 1|), z es llamado atractor (respect.superatractor , indiferente, repelente). Un punto periodico indiferente z es llamado pa-rabolico, si λ es una raız de la unidad, o irracionalmente indiferente en el otro caso.

Un punto crıtico de f es un punto donde f no es localmente inyectivo, lo cualequivale a que f ′ (z) = 0, si z 6= ∞ y f (z) 6= ∞. Denotamos por Cf el conjuntode puntos crıticos y Vf = f (Cf ) es el conjunto de valores crıticos de f . Entoncesf : C \ f−1 (Vf ) → C \ Vf es una cubierta (no ramificada) de grado d. El conjuntoposcrıtico Pf de f , se define por:

Pf = ∪z∈Cf , n≥1 fn (z) .

En cierto sentido, este conjunto captura la esencia del sistema dinamico generado porf . Un punto excepcional es un punto z, tal que O− (z) es finito.

Definicion 7.1 (Familia normal y conjuntos de Fatou y Julia). Una familia F defunciones holomorfas de un conjunto abierto U ⊂ C a C, se dice ser normal si pa-ra cualquier sucesion de F , existe una subsucesion que converge uniformemente enconjuntos compactos, donde la distancia en la imagen es medida en terminos de ladistancia esferica.

Un teorema de Montel asegura que cualquier familia que omite tres valores en C,es normal; ademas, las funciones lımite tambien son holomorfas. El conjunto de Fatou

Page 56: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

46 F. Estrada, J. Poisot

de f esta definido por:

Ff =z ∈ C :

la familia de iteradas fnn≥0 es normalen alguna vecindad abierta de z

y su complemento es el conjunto de Julia Jf = C \ Ff . Intuitivamente, si el valorinicial z ∈ Ff , entonces el comportamiento de su orbita O+ (z) para n suficientementegrande, no es sensible a pequenas perturbaciones de z.

A continuacion se enuncian los resultados basicos acerca de los conjuntos de Fatouy Julia.

Teorema 7.2. (Linealizacion, forma normal). Supongamos que f es una funcionholomorfa definida en una vecindad de z0 ∈ C, tal que f (z0) = z0 y λ = f ′ (z0).

(i) Si 0 < |λ| < 1 o |λ| > 1, entonces existe una transformacion conforme ψdefinida en una vecindad de z0, tal que ψ (z0) = 0, ψ′ (z0) 6= 0 y ψ f ψ−1 (z) = λzen una vecindad de 0.

(ii) Si λ es una raız q−esima primitiva de la unidad, λ = exp(

2πipq)

, y fq no es

la identidad, entonces fq tiene una expansion de la forma fq (z) = z+c (z − z0)kq+1+O (z − z0)qk+2

, donde k ∈ N y c 6= 0. En este caso, existen kq dominios Ωi (i ∈ Z/kqZ)con z0 ∈ ∂Ωi y funciones holomorfas ψi : Ωi → C, tales que f

(Ωi)⊂ z0 ∪ Ωi+kp,

fnq (z)→ z0 en Ωi (n→∞) y ψi (fq (z)) = ψi (z) + 1.(iii) Si λ = 0, dj

dzj f (z0) = 0 (j = 1, ...k − 1) y dk

dzkf (z0) 6= 0, entonces existe

una transformacion conforme ψ definida en una vecindad de z0, tal que ψ (z0) = 0,ψ′ (z0) 6= 0 y ψ f ψ−1 (z) = zk en una vecindad de 0.

En el caso (i), ψ es llamada coordenada linealizante; las ψi en (ii) son llamadascoordenadas de Fatou, y ψ en (iii) es llamada coordenada de Bottcher .

Teorema 7.3. Para cualquier funcion racional f , se tiene lo siguiente:(i) El conjunto de Julia Jf es distinto del vacıo y cerrado en C, y Ff es abierto.

Ellos son completamente invariantes (es decir, f (Ff ) = Ff = f−1 (Ff ) y f (Jf ) =Jf = f−1 (Jf )). Ademas, C = Jf t Ff .

(ii) Puntos periodicos atractores y sus cuencas de atraccion estan contenidos enFf , donde la cuenca de atraccion de z0 de perıodo p, se define por:

B (z0) =z ∈ C : fnp (z)→ z0cuando n→∞

.

Puntos periodicos parabolicos estan en Jf ; sin embargo, ellos tienen cuencas (ex-cluyendo las orbitas inversas de los puntos parabolicos) que estan contenidas en Ff .En ambos casos, el ciclo de cuencas contiene al menos un punto crıtico. Puntos pe-riodicos repulsores estan en Jf . En cuanto a los puntos indiferentes irracionales,ambos casos pueden ocurrir.

Page 57: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 47

(iii) Si U es un conjunto abierto, tal que U ∩ Jf 6= ∅, entonces ∪n≥0fn (U)cubre

C, excepto a lo mas dos puntos, los cuales, si existen, son excepcionales.(iv) Si z no es un punto excepcional, entonces Jf ⊂ O− (z). La igualdad vale si

z ∈ Jf .(v) Jf = a la cerradura de puntos periodicos repulsores de f.(vi) Si f es un polinomio, entonces ∞ es un punto fijo superatractor y

Jf = ∂Kf = ∂B (∞) ,

donde Kf es el conjunto de Julia lleno; es decir,

Kf =z ∈ C : fn (z)n≥0 es acotada

.

Una demostracion de estos teoremas puede encontrarse en [14, 15, 3].

7.2. Teorema de No Errancia de Sullivan

Dada la invariancia bajo iteracion de los conjuntos de Julia y Fatou y como elconjunto de Fatou es abierto, en general, el conjunto de Julia subdivide en com-ponentes conexas al conjunto de Fatou, las cuales llamaremos componentes de Fa-tou. Dada una componente U ⊂ Ff , el conjunto f (U) es una componente cone-xa de C − Jf y f induce una transformacion propia de U sobre f (U). Decimosque U es periodica si existe k > 0, tal que fk (U) = U ; si existe m≥ 0, tal quefm (U) es periodica, decimos que U es periodica eventualmente si las fn (U) sondos a dos distintas, por lo que llamamos a U componente de Fatou errante. Unode los problemas mas importantes en la dinamica racional que plantearon y deja-ron sin respuesta Fatou y Julia (1920), consistio en averiguar sobre la existencia decomponentes de Fatou errantes. En 1982, D. Sullivan introdujo las transformacionescasiconformes y el espacio de Teichmuller en la solucion de este problema. Esta tecnicaha resultado la base de las subsecuentes investigaciones en esta area.

Teorema 7.4. (No Errancia). Una funcion racional de grado mayor que uno, notiene componente de Fatou errante.

Ideade la demostracion. Sea U una componente errante. Para n suficientemen-te grande, f induce un isomorfismo de fn (U) sobre fn+1 (U), ası que haciendo uncorrimiento, podemos suponer que esto sucede desde n = 0. Sea µ una forma deBeltrami sobre U , tal que ‖µ‖ < 1, transportemosla con f sobre las fn (U), despuessobre las f−m (fn), y por ultimo, la extendemos por 0. Se obtiene sobre C una formade Beltrami en L∞ de norma < 1, que de acuerdo al Teorema de Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers, define sobre C una estructura compleja σµ (diferente en general de laestructura compleja estandar σ0), y f es una transformacion analıtica de

(C, σµ

)en

Page 58: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

48 F. Estrada, J. Poisot

ella misma. Por el teorema de uniformizacion, existe un isomorfismo ϕµ de(C, σµ

)sobre

(C, σ0

). Entonces, fµ = ϕµ f ϕ−1

µ es una nueva funcion racional. Sullivandemuestra que para toda p, se puede encontrar en el espacio de formas de Beltramicontinuas con soporte compacto sobre U , un subespacio E de dimension p, y en E, unabierto no vacıo W , tal que las fµµ∈W son distintas dos a dos, lo cual es una con-tradiccion con el hecho de que una transformacion racional de grado d solo dependede un numero finito de parametros.

7.3. El espacio de Teichmuller de una funcion racional

Dado que no hay componentes errantes en el conjunto de Fatou, toda componentede Fatou es periodica eventualmente por lo cual el siguiente teorema nos da unadescripcion completa de la dinamica de una funcion racional sobre su conjunto deFatou. Utilizando el teorema de linealiacion y forma normal de la seccion anterior y eldesarrollo de Taylor de f en una vecindad de los puntos periodicos, podemos enunciarel siguiente teorema.

Teorema 7.5 (Teorema de clasificacion). Si U es una componente de Fatou de pe-riodo p para f , entonces solo una de las siguientes afirmaciones es valida.

(CA) Cuenca atractora: existe un punto periodico atractor z0 ∈ U de perıodo ptal que la sucesion de iteradas fnp (z)→ z0 (n→∞) uniformemente sobre conjuntoscompactos en U ;

(CSA) Cuenca superatractora: igual que en (CA) excepto que z0 es superatractory ademas z0es un punto crıtico de f .

(CP) Cuenca parabolica: existe un punto periodico parabolico z0 ∈ ∂U tal quefp (z0) = z0, el multiplicador del ciclo es 1 y fnp (z) → z0 (n→∞) uniformementesobre conjuntos compactos de U .

(DS) Disco de Siegel: existe una transformacion conforme ψ : ∆→ U y un numeroirracional α tal que ψ fp ψ−1 (z) = exp (2πiα) z;

(AH) Anillo de Herman: Lo mismo que en (DS) excepto que ∆ es reemplazado porun anillo A = z ∈ C : r < |z| < 1.

Puede consultarse un demostracion en [14, 15, 3]. Para el numero de ciclos decomponentes de Fatou periodicas, tenemos:

Teorema 7.6 (Teorema de Shishikura). Denotamos por nCA, nSCA, nCP , nDS, nAHel numero de cıclos de cuencas atractoras, cuencas superatractoras, cuencas paraboli-cas, discos de Siegel y anillos de Herman de una funcion racional de grado d. EntoncesnCA+nSCA+nCP +nDS + 2nAH ≤ 2d−2 y nAH ≤ d−2. Ademas, existen al menos(nDS + 2nAH) de puntos crıticos en el conjunto de Julia.

Page 59: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 49

Para una demostracion vease [17].

Deformaciones casiconformes sobre componentes de Fatou. Cuando f tie-ne una componente de Fatou periodica, podemos construir una deformacion casicon-forme especıfica de acuerdo a su tipo. Veamos esta construccion en el caso de cuencasatractoras. Supongamos que f tiene un punto periodico atractor z0 de perıodo p conmultiplicador λ. Sea ψ la coordenada linealizante como en el Teorema de Linealiza-cion. Notemos que ψ puede ser extendida a toda la cuenca B (z0) por medio de laecuacion funcional. Sea B′ (z0) igual a B (z0) menos la orbita grande de z0 y puntoscrıticos.

Definimos:E = ψ (B′ (z0)) ∼,

donde la equivalencia es definida por w ∼ w′si y solo si w′ = λnw para algun n ∈ Z.Entonces, E es isomorfo a un toro C ((log λ)Z+ 2πiZ) menos un conjunto finito depuntos, y la funcion ψ induce una funcion natural ψ : B′ (z0)→ E, que es una trans-formacion cubriente. De hecho, E puede ser identificado con el conjunto de orbitasgrandes en B′ (z0). Dada cualquier estructura conforme medible acotada σ sobre E,podemos definir una estructura conforme f invariante por σ′ = π? (σ) sobre B (z0)y σ′ = σ0 sobre el resto. Por lo tanto, el lema de Shishikura nos permite obtener ladeformacion casiconforme g de f mediante la estructura σ′.

Analogamente, una deformacion casiconforme se puede construir para cuencasparabolicas, donde la coordenada linealizante es reemplazada por la de Fatou, dondeel toro C (log λ′)Z+ 2πiZ menos un conjunto finito de puntos, es reemplazado porel cilindro CZ menos un conjunto finito de puntos.

Para discos de Siegel o anillos de Herman, notemos que cualquier orbita grande(excepto para el centro de un disco de Siegel) es densa en una curva invariante. Poresta razon, las deformaciones estaran basadas sobre la deformacion de superficiesde Riemann foliadas; por ejemplo, un disco o un anillo redondo foliado por discosconcentricos, y tal deformacion debera preservar la foliacion. Una situacion similarocurre para cuencas superatractoras, pues la clausura de orbitas grandes correspondea la union de cırculos concentricos en la coordenada de Bottcher.

Existe tambien la posibilidad de una deformacion casiconforme soportada sobreun conjunto de Julia.

Definicion 7.7. Decimos que f tiene un campo de lıneas invariante sobre el conjuntode Julia, si existe un subconjunto completamente invariante medible X contenido enJf ; es decir, f−1 (X) = X, con medida de Lebesgue positiva y una funcion medibleX 3 z 7→ l (z), donde l (z) es una lınea recta que pasa por 0 en el espacio tangenteTzC y f ′ evıa l (z) en l (f (z)) para todo z ∈ X.

Page 60: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

50 F. Estrada, J. Poisot

Si f tiene un campo de lıneas invariante sobre su conjunto de Julia, es decir, enX se tiene una diferencial de Beltrami µ = µ (z) dzdz soportada en X, con |µ|=1. Unadiferencial de Beltrami determina una funcion en el espacio tangente, homogenea degrado cero, por:

µ (v) = µ (z)a (z)a (z)

,

donde v = a (z ) ∂∂z es un vector tangente. El correspondiente campo de lıneasconsiste en esos vectores tangentes, para los cuales µ (v) = 1 (union el vector cero).Entonces, este define un campo de elipses con una excentricidad constante. Este, asu vez, define una estructura conforme invariante σ que es diferente de la estructuraconforme estandar sobre el conjunto de Julia. Por lo tanto, f puede ser deformadapor σ.

Para describir el espacio de Teichmuller de funciones racionales, se necesitan lassiguientes definiciones:

Definicion 7.8. La clase de conjugacion casiconforme de f es:

cc (f) = funciones racionales que son casiconformemente conjugadas a f .

El espacio de Teichmuller de una funcion racional f es:

T (f) =

(g, h) | g es una funcion racional; h es una transformacioncasiconforme, tales que h f= g h

∼,

donde la relacion de equivalencia ∼ es definida por (g1, h1) ∼ (g2, h2) si y solo si existeuna isotopıa Ht : C→ C (t ∈ [0, 1]), tal que Ht g1 = g2 Ht y H0 = h2 h−1

1 y H1

es una transformacion de Mobius.

Otras definiciones necesarias son: un punto es llamado acıclico si no es periodiconi preperiodico. Dos puntos son llamados equivalentemente foliados por la gran orbita,si tienen la misma orbita grande o ambos estan en el conjunto de Fatou y las clausurasde las orbitas grandes dentro del conjunto de Fatou coinciden. Por ejemplo, los puntossobre las mismas curvas invariantes de un disco de Siegel o de un anillo de Herman, sonequivalentes en este sentido. Tambien los puntos z, z′ en una cuenca superatractora,cuyas coordenadas de Bottcher estan relacionadas por |ψ (z′)| = |ψ (z)|k

n

(n ∈ Z)(donde k es el grado local del punto periodico superatractor), son equivalentes en estesentido.

Sea nAC (U) denota el numero de clases de equivalencia foliada por grandes orbitasde puntos crıticos acıclicos, cuya orbita intersecta U . Sea nCL el numero maximo decampos de lıneas invariantes sobre el conjunto de Julia con soportes mutuamenteajenos.

Page 61: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 51

Teorema 7.9 (McMullen-Sullivan). El espacio de Teichmuller de una funcion racio-nal f , puede ser descrito como sigue:

T (f) = M1 (Jf , f)×∏U

T (U, f) ,

donde el producto es sobre todos los ciclos periodicos de componentes de Fatou, conU representando una componente en el ciclo.

(i) M1 (Jf , f) es el conjunto de diferenciales de Beltrami f invariantes µ consoporte en Jf y |µ|∞ < 1. Este espacio es isomorfo al polidisco de dimension nCL.

(ii) Si U es una cuenca atractora o una cuenca parabolica, entonces T (U, f) esel espacio de Teichmuller ordinario del toro cociente o del cilindro cociente, descritosantes con nAC (U) perforaciones correspondientes a las orbitas grandes de puntoscrıticos. En el ultimo caso, el cilindro perforado es isomorfo a C con nAC (U) + 2perforaciones.

(iii) Si U es una cuenca superatractora, un disco de Siegel o un anillo de Herman,entonces T (U, f) es el espacio de Teichmuller definido por un disco foliado o anillofoliado con hojas marcadas, correspondiendo a las orbitas grandes foliadas de puntoscrıticos.

(iv) La dimension de T (U, f) es nAC (U) para una cuenca atractora, una cuencasuperatractora o un disco de Siegel. Esta es nAC (U) − 1 para una cuenca parabolicay nAC + 1, para un anillo de Herman. Por lo tanto,

dimT (f) = nAC − nCP + nAH + nCL.

Ademas, existe un grupo Mod (f) (grupo modular), que actua sobre T (f) propia ydiscontinuamente y existe un isomorfismo de orbifolds:

cc (f) ∼Mobius' T (f)Mod (f) .

Para una demostracion de este teorema, consultese [13, 12].

7.4. Estabilidad estructural

Definicion 7.10. Una funcion racional es llamada hiperbolica, si todo punto crıticoes atraıdo a un ciclo periodico atractor o superatractor. Una familia holomorfa de fun-ciones racionales, parametrizada por una variedad compleja conexa Λ, es una funcionholomorfa F : Λ×C→ C. Entonces, fλ = F (λ, •) : C→ C es una funcion racional degrado constante d > 1. Una familia se dice que es J−estable en el parametro λ0 ∈ Λ,si existe una vecindad U de λ0 contenida en Λ y una funcion H : U × J (fλ0) → C,tal que hλ = H (λ, •) : J (fλ0) → J (fλ) es un homeomorfismo para cada λ ∈ U ;y ademas hλ fλ0 = fλ hλ y hλ → hλ0 cuando λ → λ0, uniformemente sobreJ (fλ0). De manera analoga, es definida estabilidad estructural en el parametro λ0 sireemplazamos J (fλ0) y J (fλ) por C en la definicion anterior.

Page 62: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

52 F. Estrada, J. Poisot

Cuando Λ es igual a Racd (la variedad compleja constituida por todas las funcio-nes racionales de grado fijo d) y F es la funcion F (g, z) = g (z) (donde g ∈ Racd),entonces las funciones mismas son llamadas J−estables o estructuralmente estables,si las condiciones anteriores son satisfechas.

Lema 7.11. Las funciones racionales hiperbolicas son J−estables. Ademas, el con-junto de funciones estructuralmente estables es abierto y denso dentro de las hiperboli-cas. Las conjugaciones hλ pueden ser elegidas de manera que hλ es un movimientoholomorfo del conjunto de Julia (o de C en el caso de funciones estructuralmenteestables).

La primera afirmacion en el lema anterior, es una consecuencia inmediata delλ−lema. De hecho, para funciones hiperbolicas, los puntos periodicos repulsores nose bifurcan, por lo cual ellas definen un movimiento holomorfo, el cual se extiende asu cerradura, que es el conjunto de Julia. Ademas, hay otro notable resultado.

Teorema 7.12. Para cualquier familia holomorfa de funciones racionales, los parame-tros estructuralmente estables forman un abierto y denso. Ademas, en las componentesconexas de los parametros estructuralmente estables, la conjugacion hλ es casiconfor-me y define un movimiento holomorfo.

Una demostracion de este teorema puede consultarse en [4, 13, 15].

7.5. Cirugıa casiconforme

Cirugıa casiconforme es una manera de construir nuevas funciones racionales conciertas propiedades dinamicas, a partir de las funciones ya existentes. Para haceresto, se construye una transformacion que no es holomorfa (al menos en una partede su dominio), pero que aun es casi-regular. Despues, convocando al Teorema de laTransformacion Medible de Riemann, se recupera la holomorfıa. Con el paso por lastransformaciones casi-regulares, se gana flexibilidad en la construccion.

Definicion 7.13. Una transformacion continua g : C→ C es llamada casi-regular , siexiste una K ≥ 1, tal que en cada punto de C, g puede ser localmente escrita comouna composicion de una funcion holomorfa y una funcion K−casiconforme.

Las estructuras conformes medibles pueden ser regresadas por transformacionescasi-regulares. Por tanto, se puede hacer una construccion como en el teorema de laseccion 5.1 para transformaciones casi-regulares. La pregunta es como obtener una σque sea invariante.

Lema 7.14. (Principio de cirugıa). Supongase que g : C→ C es una transformacioncasi-regular y σ es una estructura conforme medible acotada, tal que g? (σ) = σ (casi

Page 63: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 53

donde quiera) fuera de un conjunto medible X. Si cada orbita de g pasa por X alo mas una vez (o un numero acotado de veces), entonces existe una transformacioncasiconforme ϕ : C→ C, tal que h = ϕ g ϕ−1 es una funcion racional.

Una demostracion de este lema puede consultarse en [17].

A continuacion, se establecen algunas aplicaciones de la cirugıa. Empezamos conla Teorıa de las transformaciones con parecido polinomial, introducidas por Douady-Hubbard, que de hecho inician los trabajos en cirugıa.

Definicion 7.15. Una transformacion con parecido polinomial , es un triplete f =(f, U, V ) donde, U , V son dominios conexos simplemente en C con U ⊂ V y f : U → Ves una funcion holomorfa propia. Su grado es el numero de imagenes inversas de unpunto z ∈ V , contadas con multiplicidad, que son independientes de z. Su conjuntode Julia lleno es:

Kf = z ∈ U : fn (z) (n = 0, 1, 2, . . .) estan definidas y pertenecen a U .

Cualquier polinomio P puede ser restringido a un dominio U de modo que

(P |U , U, P (U))

se convierte en una transformacion con parecido polinomial del mismo grado.

Teorema 7.16. (Rectificacion). Sea f = (f, U, V )una transformacion con parecidopolinomial de grado d, y supongase ademas que las fronteras de U y V son curvas deJordan analıticas reales. Entonces, existe un unico polinomio P (z) y una transforma-cion casiconforme ϕ : V → V ′ ⊂ C, tal que ϕ f = P ϕ sobre U . Ademas, ϕ puedeser escogido de forma que ∂ϕ/∂z = 0 casi donde quiera en Kf (lo cual unicamente tie-ne sentido si Kf tiene medida positiva). El polinomio P es unico, salvo conjugacionafın si Kf es conexo.

Una demostracion puede consultarse en [6].

La nocion de transformacion con parecido polinomial es de gran importancia enla Teorıa de las renormalizaciones, la cual es de gran importancia en la dinamicaholomorfa.

Otro tipo de cirugıa es la que relaciona los anillos de Herman con los discosde Siegel. Un homeomorfismo de R en sı mismo, o de S1 en si mismo, es llamadocasisimetrico si este se extiende a una transformacion casiconforme de C.

Teorema 7.17. Sea f una funcion racional que envıa S1 = z ∈ C : |z| = 1 sobresı mismo. Supongase que f |S1 es casisimetricamente conjugada a una rotacion irra-cional z → exp (2πiα) z sobre S1, donde α ∈ R \ Q. Entonces, existe una funcion

Page 64: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

54 F. Estrada, J. Poisot

racional h y una transformacion casiconforme ϕ : C→ C, tal que h = ϕ f ϕ−1 so-bre ϕ

(C \ 4

)y h tiene un disco de Siegel con numero de rotacion α, el cual contiene a

ϕ (4) como un subdisco invariante. La curvaϕ(S1)

es una curva invariante en el disco de Siegel o su frontera, de acuerdo acuando S1sea una curva invariante en un anillo de Herman de f o no.

Una demostracion puede consultarse en [16]. Si f tiene un anillo de Hermande perıodo 1, el cual contiene a S1 como una curva invariante, entonces f |S1 esconjugado de forma real-analıtica a una rotacion irracional; por tanto, esta cirugıapuede ser aplicada. Sin embargo, un ejemplo mas interesante es el caso de la funcion:

f (z) = exp (iω) z2 z − 31− 3z

,

la cual tiene un punto crıtico en S1. Para cualquier numero irracional α, existe unω ∈ R, tal que f |S1 tiene numero de rotacion α, lo cual significa en este caso quelas orbitas de f |S1 tienen el mismo orden cıclico como el de z 7→ exp (2πiα) z. Sujetaα a una condicion de teorıa de numeros llamada de tipo acotado, Herman fue capazde demostrar que f |S1 es conjugado casisimetricamente a la rotacion irracional. Deforma que obtuvo el siguiente:

Teorema 7.18. Si α es un numero irracional de tipo acotado, es decir, satisfaceque

∣∣∣α− pq

∣∣∣ ≥ Cq2 para cualquier pq ∈ Q con una constante fija C > 0, entonces

la funcion Pα (z) = exp (2πiα) z + z2 tiene un disco de Siegel, cuya frontera es uncuasicırculo conteniendo un punto crıtico de Pα.

Una demostracion puede consultarse en [16].

Este artıculo constituye una introduccion a los temas tratados. Nos resta solamen-te citar las referencias en las cuales se basa este artıculo y donde pueden encontrarselas demostraciones omitidas en esta presentacion, ası como mayor extension en sutratamiento.

Bibliografıa

[1] Ahlfors, L. V. Complex Analysis. McGraw-Hill, Ltd. (1966).

[2] Ahlfors, L. V. Lectures on Quasiconformal Mappings. University Lecture Series,Vol. 38 (2006). AMS.

[3] Lennart, C.; W. Gamelin, T. Complex Dynamics. Universitext: Tracts in Mat-hematics (1991).

Page 65: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Transformaciones casiconformes 55

[4] De Melo, W.; Van Strien, S. One-dimensional Dynamics. Ergebnisse der Mathe-matik und ihrer Grenzgebiete (3), 25. Springer-Verlag, Berlin (1993).

[5] Douady A. Systems Dynamiques Holomorphes. Seminaire Bourbaki (1982/83)No. 599.

[6] Douady A.; Hubbard, J. H. On the Dynamics of Polynomial-like Mappings. Ann.Sci. ecole Norm. Sup. (4) 18 (1985), No. 2, pp. 287-343.

[7] Douady A. “Le theoreme dıntegrabilite des structures presque complexes” en:The Mandelbrot Set, Theme and Variations. London Mathematical Society, Lec-tures Notes Serie 274.

[8] Douady A. “Prolongement de mouvements holomorphes”. SeminairA¨ Bourbak iNo. 775 (1995), Asterisque 227, pp. 7-20

[9] H. Farkas; I. Kra. Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York (1980).

[10] Imayoshi Y. Taniguchi M. An Introduction to Teichmuller Spaces. Springer-Verlag (1992).

[11] Lehto, O. Univalent Functions and Teichmuller Spaces. GTM Springer-Verlag(1987).

[12] MacMullen, C. T. Complex Dynamics and Renormalization. Annals of Mathe-matics Studies Princeton University Press (1994).

[13] MacMullen, C. T.; Sullivan, D. Quasiconformal homeomorphisms and dynamicsIII. The Teichmuller Space of Holomorphic Dynamical Systems. Adv. Math. 135,No. 2 (1998), pp. 351-355.

[14] Milnor, J. Dynamics in one Complex Variable Third edition. Annals of Mathe-matics Studies, 160, Princeton Univ. Press. Princeton N. J. (2006).

[15] Morosawa, S.; Nishimura, Y.; Taniguchi, N.; Ueda, T. Holomorphic Dynamics.Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 66. Cambridge University Press(2000).

[16] Petersen, C. L. Local Connectivity of Some Julia Sets Containing a Circle withan Irrational Rotation. Acta Math. 177, No. 2 (1996), pp. 163-224.

[17] Shishikura M. On the Quasiconformal Surgery of Rational Functions. Ann. Sci.ecole Norm. Sup. (4) 20, No. 1 (1987), pp. 1-29.

[18] Sullivan, D. Quasiconformal Homeomorphisms and Dynamic. I. Solution of theFatou-Julia Problem on Wanderings Domains. Ann. of Math. (2) 122, No. 3(1985), pp. 401-418.

Page 66: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

56 F. Estrada, J. Poisot

Francisco Estrada Garcıa ([email protected])Julio Poisot Macıas ([email protected])Facultad de Ciencias Fısico Matematicas. Benemerita Universidad Autono-ma de Puebla - Ciudad Universitaria.

Page 67: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 57–64.

Sobre la descomposicion en valores singulares yseudoinversa de una matriz*

Boris Mederos, David Gardea, Gustavo Tapia y Jaime Romero **

Resumen

En este trabajo presentaremos la descomposicion en valores singulares deuna matriz y sus propiedades. Utilizaremos dicha descomposicion matricialpara calcular la seudovinversa A+ aplicada a un vector b.

Palabras clave: Matriz seudoinversa.

1. Introduccion

En este trabajo estudiaremos un caso muy importante de descomposicionmatricial conocido como descomposicion en valores singulares de una matrizy su relacion con el problema de aproximacion de su inversa, ver [1]. Muchasveces al resolver el sistema lineal:

Ax = b,

con A ∈ Rn×m, el sistema tiene infinitas soluciones en el caso n < m o no esposible resolverlo cuando n > m. En el caso de n > m una posible idea es en-contrar la x tal que Ax sea lo mas cercano al vector b con respecto a la normaeuclidiana. La idea anterior es equivalente a encontrar el x que minimiza elresiduo Ax− b, lo que equivale a resolver un problema de mınimos cuadrados.Al resolver el problema de mınimos cuadrados uno puede obtener un conjuntoinfinito de soluciones, lo que conduce a un problema mal planteado [2, 3]. Unaposible solucion a esto es encontrar dentro de todas las posibles soluciones, laque tiene menor norma (mas pequena).

*Artıculo de divulgacion

**Departamento de Fısica y Matematicas IIT-UACJ, [email protected]

Page 68: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

58 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero

La transformacion que asocia b con la solucion de menor tamano de Ax − ben el sentido de los mınimos cuadrados, es lineal y se denomina de seudoin-versa o inversa generalizada de Moore-Penrose. Una de las grandes utilidadesde la descomposicion en valores singulares (SVD), es que permite calcular demanera directa la seudoinversa; tambien permite analizar como errores en b,afectan las soluciones de Ax = b en el sentido generalizado.

Nuestro trabajo esta organizado de la siguiente manera: la primera seccionintroduce los conceptos de ortogonalidad y transformaciones ortogonales, lasegunda nos explica como obtener la SVD de una matriz, ası como algunasde sus propiedades, y finalmente, la tercera seccion relaciona la SVD con elconcepto de seudoinversa, llevandonos a una formula explıcita para su calculo.

2. Ortogonalidad, normas y transformacionesortogonales

La ortogonalidad tiene un papel muy importante a la hora de los calculosde matrices. Un conjunto de vectores x1, x2, ..., xn en Rn, es ortogonal sixtixj = 0, cuando i 6= j; y ortonormal si xtixj = δij . Intuitivamente, los vecto-res ortogonales son independientes, ya que apuntan en direcciones totalmentediferentes. Una coleccion de subespacios S1, S2, , , Sn en Rn es mutuamente or-togonal, si xty = 0, cuando x ∈ Si y y ∈ Sj para todo i 6= j. El complementoortogonal de un subespacio S esta definido por:

S⊥ = y ∈ Rn : ytx = 0, ∀x ∈ S

y no es difıcil demostrar que los vectores v1, v2, ..., vk forman una baseortonormal para un subespacio S ∈ Rn, si son ortonormales y su espaciogenerado es S. Una matriz Q ∈ Rn×n, se dice que es ortogonal si QtQ = I.Si Q = [q1, q2, ..., qn] es ortogonal, entonces las qi forman una base ortonormalde Rn.

Teorema 2.1. Si V1 ∈ Rn×r tiene columnas ortogonales, entonces existe V2 ∈Rn×(n−r), de manera que:

V = [V1, V2]

Page 69: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Descomposicion en valores singulares y seudoinversa 59

es ortogonal. Tengase en cuenta que ran(V1)⊥ = ran(V2).

A continuacion, introduciremos los conceptos de norma de una matriz inducidapor la norma de vectores.

Definicion 2.2. Dada una matriz A ∈ Rn×n, llamaremos a:

‖A‖p = maxx∈Rn, x 6=0

‖Ax‖p‖x‖p

de p-norma de A inducida por la norma p en Rn.

En particular, la 2-norma sera de gran utilidad en este trabajo. La 2-normaes invariante bajo la transformacion ortogonal, ya que si QtQ = I, entonces‖Q‖22 = xtQtQx = ‖x‖22. La 2-norma y la norma de Frobenius son invariantescon respecto a las transformaciones ortogonal. En particular, es facil demostrarque para dos matrices ortogonales Q y Z de dimensiones adecuadas, tenemos:

‖QAZ‖F = ‖A‖Fy

‖QAZ‖2 = ‖A‖2.

3. Descomposicion en valores singulares

La teorıa de las normas desarrolladas en las secciones previas, se puede utilizarpara probar la muy util descomposicion en valores singulares.

Teorema 3.1. Sea una matriz A ∈ Rn×r real, entonces existen matrices or-togonales:

U = [u1, ..., um]

y

V = [v1, ..., vn],

de manera que U tAV = diag(σ1, σ2, ..., σp), donde p = mınm,n y σk ≥0, k = 1...p.

Page 70: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

60 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero

Demostracion. Sean x ∈ Rn y y ∈ Rm, tal que ‖x‖2 = ‖y‖2 = 1, que satisfacenAx = σy, σ = ‖A‖2Existen V2 ∈ Rn×(n−1) y U2 ∈ Rm×(m−1), tal que V = [x, V2] y U = [y, U2] sonortogonales. No es difıcil ver que U tAV tiene la siguiente estructura:

U tAV =

[σ wt

0 B

]= A1,

ya que: ∥∥∥∥∥A1

[σw

]∥∥∥∥∥2

2

= (σ2 + wtw)2 + ‖Bw‖22 ≥ (σ2 + wtw)2

∥∥∥∥∥A1

[σw

]∥∥∥∥∥2

2∥∥∥∥∥[σw

]∥∥∥∥∥2

2

=

‖A1

[σw

]∥∥∥∥∥2

2

σ2 + wtw≥ σ2 + wtw

‖A1‖22 = max‖A1z‖22‖z‖22

∥∥∥∥∥A1

[σw

]∥∥∥∥∥2

2∥∥∥∥∥[σw

]∥∥∥∥∥2

2

≥ σ2 + wtw.

Se tiene ‖A1‖22 = σ2 +wtw. Sin embargo, σ2 = ‖A‖22 = ‖A1‖22 , conduce a quew = 0. Luego

A1 = U tAV =

[σ 00 B

].

Los σi son llamados valores singulares de A. El vector ui es el i-esimo vectorsingular izquierdo y el vector vi es el i-esimo vector singular derecho. Es facilcomprobar que AV = UΣ y AtU = V Σt. Es conveniente escribir las igualdadesanteriores:

Page 71: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Descomposicion en valores singulares y seudoinversa 61

Avi = σiui, i = 1, ..., n

Aui = σivi, i = 1, ..., n

La descomposicion en valores singulares revela gran parte de la estructura deuna matriz. A partir de la SVD de A, dada por el teorema anterior, se definer como el entero que satisface

σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > σr+1 = ... = σp = 0;

entonces,

rank(A) = r

ran(A) = span(vr+1, ..., vp)

null(A) = span(v1, ..., vr).

Por otro lado, haciendo el producto de matrices en la descomposicion (SVD)tenemos que:

A =n∑i=1

σiuivti .

Definicion 3.2. v ∈ Rn es llamada una

Solucion por mınimos cuadrados si y solo si:

‖Ax− b‖ = ınf‖Az − b‖ : z ∈ Rn.

Mejor solucion aproximada de Ax = b si y solo si x es una solucion pormınimos cuadrados:

‖x‖ = ınf‖z‖ : z es una solucion en mınimos cuadrados

Page 72: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

62 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero

donde ‖.‖ es la norma euclidiana.

Se podrıan utilizar otras normas que llevarıan a distintas nociones de solucio-nes generalizadas. Ademas, en lugar de reducir al mınimo ‖z‖ con frecuenciaes de interes minimizar ‖Lz‖ para alguna matriz L dada. Vamos a demostrarque la mejor solucion aproximada siempre existe y es unica; entonces, la si-guiente definicion tiene sentido:

Definicion 3.3. Definiremos como A+ la matriz que asigna a cada b, la mejorsolucion aproximada de Ax − b y se llama inversa generalizada de Moore-Penrose de A.

Ahora vamos a construir A+ y por lo tanto, las mejores soluciones aproximadasa traves de la descomposicion en valores singulares (SVD) de A.

Teorema 3.4. Sea A una matriz que tiene descomposicion en valores singu-lares, entonces A+:

A+ = V

σ1 0. . .σr

0

0...

0

U t.

Demostracion. Sea b ∈ Rn arbitrario. Basta con demostrar que:

x = U

1σ1 0.. .

1σr

0

0.. .

0

V tb

es la mejor solucion aproximada de Ax = b. Sea z ∈ Rn arbitraria, y = U tz,c = V tb:

Page 73: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Descomposicion en valores singulares y seudoinversa 63

y =(y1

y2

)

c =(c1

c2

)con y1, c1 en Rr. Usando que una transformacion unitaria deja sin cambios lanorma euclidiana, llegamos a:

‖b−Az‖22 = ‖V t(b−AUU tz)‖22

=

∥∥∥∥∥(c1

c2

)−

(Σ 00 0

)(y1

y2

)∥∥∥∥∥2

2

=

∥∥∥∥∥(c1 − Σy1

c2

)∥∥∥∥∥2

2

,

donde Σ = diag(σ1, σ2, ..., σr). Por lo tanto, ‖b − Az‖2 es mınima si y solo siy1 = Σ−1c1 y y2 puede ser arbitraria. La norma euclidiana de y es mınima siy solo si y2 = 0; z es la mejor solucion aproximada si y solo si:

y =

(Σ−1c

0

)es decir,

z = Uy =

(Σ−1 0

0 0

)V tb = x.

La prueba anterior implica la existencia y unicidad de la mejor aproximaciony muestra que otras soluciones en mınimos cuadrados tienen la forma:(

Σ−1c1

y2

).

Page 74: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

64 B. Mederos, D. Gardea, G. Tapia, J. Romero

Con y2 arbitraria, x puede ser escrita como:

x = A+b =n∑i=1

(vtib)σi

ui.

Esta formula demuestra como errores en b, afectan el resultado de A+b. Silos errores en b corresponden a valores singulares grandes, entonces estos noafectan la solucion A+b. Por otra parte, los errores correspondientes a valo-res singulares pequenos amplificaran el error por un factor de 1

σi, de manera

que estos errores en los datos son muy daninos; esto demuestra inestabilidadnumerica.

Si A tiene autovalores pequenos, una idea para reducir esta inestabilidad esreemplazar la suma x =

∑ni=1

(vtib)σiui por:

xα =r∑i=1

(vtib)σi

ui, σi > α,

siendo α un parametro de regularizacion que es seleccionado convenientemente

Bibliografıa

[1] Golub, G.; Van Loan, C. Matrix Computation. Johns Hopkins Studies inthe Mathematical Science, (1996).

[2] Engl, H. Inverse Problems. Aportaciones Matematicas, (1995).

[3] Somersalo, J. Statistical and Computational Inverse Problems. SpringerVerlag. Applied Mathematical Sciences, 160 (2004).

Boris Mederos Madrazo ([email protected])David Gardea (david [email protected])Gustavo Tapia Sanchez ([email protected])Jaime Romero ([email protected])Departamento de Fısica y Matematicas, IIT,Universidad Autonoma de Ciudad Juarez,Av. Del Charro num. 450 norte, Ciudad Juarez, Chih., Mexico,C.P. 32310, A.P. 1594-D.

Page 75: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Reportes de proyectosde titulacion 2010

Page 76: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones
Page 77: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 67–99.

Clases caracterısticas*

Marıa de los Angeles Torres Garcıa **

Resumen

En general, en topologıa sucede que se coloca un espacio vectorial en cadapunto de una variedad, de tal modo que no se tiene un unico espacio vectorial,sino todo un haz de espacios vectoriales. Un ejemplo de dichos haces vectorialeses el haz tangente de una variedad, donde un campo vectorial corresponde auna seccion de dicho haz. Ası, de manera analoga a la caracterıstica de Euler-Poincare, es posible definir invariantes, las cuales son obstrucciones para poderconstruir secciones linealmente independientes en un haz vectorial ζ. Pero eneste caso, a diferencia de la caracterıstica de Euler-Poincare, dichas obstruccio-nes no son numeros, sino clases de cohomologıa llamadas clases caracterısticasde ζ.

Palabras clave: clases caracterısticas, geometrıa diferencial.

1. Introduccion

Dentro de la topologıa es importante poder clasificar objetos (matemati-cos), para lo cual son utilizadas invariantes, tales como: la caracterıstica deEuler-Poincare, que mediante el Teorema de Poincare-Hopf nos da la obstruc-cion para encontrar un campo vectorial no nulo sobre una variedad M . Peroantes de entrar de lleno a las invariantes, concideremos primeramente en losobjetos que nos mueven a su estudio de los. Dichos objetos los llamaremosvariedades.

Digamos entonces que una variedad en terminos simples, es un espacio quelocalmente es visto como Rn siendo Rn, el espacio euclidiano de dimension n;entonces, un punto x ∈ Rn es una n-ada x = (x1, ..., xn) de numeros reales.

*Direccion del proyecto de titulacion: Dr. Jose Luis Cisneros Molina (UNAM), C. a Dr.Luis Loeza Chin (UACJ).

**Licenciada en Matematicas egresada del Departamento de Fısica y Matematicas IIT-UACJ. Noviembre de 2010, [email protected]

Page 78: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

68 M. Torres

Si tenemos una variedad N de dimension n, entonces esta es llamada unan-variedad; ası, una variedad de dimension 2 es llamada una 2-variedad o mascomunmente superficie. Importantes aplicaciones de las variedades se relacio-nan con calculo, pero para poder extender las ideas del calculo a variedades,tomaremos un caso particular de estas, es decir, las superficies.

Definicion 1.1. Sea S un subespacio topologico de Rl, le llamaremos super-ficie si cada punto en S tiene una vecindad homeomorfa a un subconjuntoabierto de R2.

Ejemplo 1.2. Algunos ejemplos muy comunes de superficies son:

Figura 1: La esfera S2

Figura 2: El toro T

Un resultado matematico importante es el Teorema de Clasificacion deSuperficies Cerradas, el cual afirma:

Teorema 1.3 ([18, Thm. 5.1]). Toda superficie cerrada es homeomorfa a algunmiembro de las siguientes tres familias de superficies:

Page 79: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 69

Figura 3: La botella de Klein K

Figura 4: Esfera

a) La esfera.

b) La suma conexa de g copias del toro T , con g ≥ 1.

Figura 5: Suma conexa de toros

c) La suma conexa de k copias del plano proyectivo P , con k ≥ 1.

Dicho de otra manera, todas las superficies se pueden construir con lasanteriores, aunque sabemos por el teorema anterior que toda superficie cerra-da es homeomorfa a una esfera, una suma de toros, o una suma de planosproyectivos, no sabemos que todos estos son topologicamente diferentes. Esconcebible que existan enteros positivos m y n, n 6= m, tal que la suma dem toros es homeomorfa a la suma de n toros. Para demostrar que esto no

Page 80: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

70 M. Torres

Figura 6: Suma conexa de planos proyectivos

puede suceder, introducimos una invariante numerica llamada caracterısticade Euler.

Un resultado muy importante en topologıa, es que las superficies se pue-den triangular, ver [9]. Ası que definamos la caracterıstica de Euler para unasuperficie triangulable.

Definicion 1.4. Sea S una superficie compacta con una triangulacionT1, . . . , Tn. Sea:

v = al numero total de vertices de S,e = al numero total de aristas de S,c = al numero total de caras (en este caso c = n);entonces,

χ(S) = v − e+ c

es llamada caracterıstica de Euler de S.

En la figura 7 se muestran algunas triangulaciones de la esfera, el toroy el plano proyectivo. Realizando algunos calculos, se puede ver que la ca-racterıstica de Euler de la esfera, el toro y el plano proyectivo es: 2, 0 y 1,respectivamente.

En particular, la caracterıstica de Euler esta bien definida, pues no de-pende de la triangulacion [18]. Y asumiendo la invariancia topologica de lacaracterıstica de Euler y el Teorema de Clasificacion de Superficies, se tiene elsiguiente resultado:

Teorema 1.5. Sean S1 y S2 superficies compactas. Entonces S1 y S2 son ho-meomorfas si y solo si su caracterıstica de Euler es igual y siambas son orientables o no orientables.

Este teorema nos reduce el problema de clasificacion de superficies cerra-das, pues solo se tiene que determinar si una superficie es orientada o no y su

Page 81: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 71

Figura 7: Triangulaciones de S2, T , P 2

caracterıstica de Euler. Tambien nos dice que la caracterıstica, Euler es unainvariante completa para superficies cerradas; es decir, dos superficies cerra-das (ambas orientables o no orientables) son homeomorfas si y solo si tienen lamisma caracterıstica. Para variedades de dimension mayor que 2, existen varie-dades que no son homeomorfas con la misma caracterıstica de Euler-Poincare.

Por lo tanto, una forma de saber a que elemento de la lista es homeomor-fa la superficie de la figura 8, es encontrar una triangulacion y calcular sucaracterıstica de Euler-Poincare.

2. Variedades diferenciables

Definicion 2.1. Una variedad topologica n-dimensional con frontera M , esun espacio topologico de Hausdorff, segundo numerable, tal que para cadax ∈ M existe un subconjunto abierto U ⊆ M homeomorfo a un subconjuntoabierto de Hn = (x1, . . . , xn) ∈ Rn |xn ≥ 0.

Page 82: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

72 M. Torres

Figura 8: Un hoyo dentro de otro hoyo, que atraviesa otro hoyo

Si φ : U → φ(U) ⊆ Hn es uno de los homeomorfismos, cuando U es unabierto conexo, φ recibe el nombre de homeomorfismo coordenado, U abiertocoordenado y a la pareja (U, φ), se le conoce como carta. Y llamamos parame-trizacion a la inversa φ−1 de un homeomorfismo coordenado.

Definicion 2.2. Aun conjunto de cartas A = (Uα, φα) : α ∈ A, se le deno-mina atlas si se cumple ∪α∈AUα = M.

Definicion 2.3. Una estructura diferenciable sobre una variedad topologicaM de dimension n, es un atlas A = (uα, φα) : α ∈ A, tal que:

1) Para toda α, β ∈ A×A, tal que Uα ∩ Uβ 6= ∅, la aplicacion:

φβ φ−1α : φα(Uα ∩ Uβ)→ φβ(Uα ∩ Uβ)

es diferenciable.

2) La coleccion A es maximal, es decir, si una carta (U, φ) es tal que φφ−1α

y φα φ−1 son diferenciables para todo α ∈ A, entonces (U, φ) ∈ A.

Definicion 2.4. Una variedad diferenciable de dimension n con frontera, esuna pareja (M,A) formada por una variedad topologica M de dimension n yuna estructura diferenciable A sobre M .

Decimos que x ∈M esta en la frontera de M , si existe un homeomorfismocoordenado φ : U → φ(U) ⊂ Hn, tal que φ(x) = a y a = (a1, a2, · · · , an−1, 0).Denotamos como ∂M al conjunto de puntos en la frontera de M .

Page 83: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 73

Figura 9: Una parametrizacion de M

Decimos que una variedad diferenciable M no tiene frontera, si las image-nes de todos los homeomorfismos coordenados del atlas de su estructura dife-renciable estan contenidas en Int(Hn) = (x1, . . . , xn) ∈ Rn |xn > 0. Deno-tamos que una variedad diferenciable M es cerrada, si es compacta y no tienefrontera.

Ejemplo 2.5. Mn(R) es una variedad diferenciable de dimension n2.

Ejemplo 2.6. La esfera de dimension 2:

S2 = (x1, x2, x3) ∈ R3|x21 + x2

2 + x23 = 1.

Sea U = (x1, x2) ∈ R2|x21 + x2

2 < 1 y la funcion f : U → R, tal quef(x1, x2) =

√1− (x2

1 + x22). Tomemos la familia (Ui, Fi)

6i=1, tal que para

i=1,...,6, Ui = U y Fi : Ui → S2, donde:

F1(x1, x2) = (f(x1, x2), x1, x2)F2(x1, x2) = (−f(x1, x2), x1, x2)F3(x1, x2) = (x1, f(x1, x2), x2)F4(x1, x2) = (x1,−f(x1, x2), x2)F5(x1, x2) = (x1, x2, f(x1, x2))F6(x1, x2) = (x1, x2,−f(x1, x2)) (1)

Page 84: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

74 M. Torres

con inversas F−1i = πi|Fi(Ui), donde πi : R3 → R

2 para i = 1, ..., 6;

πi(x1, x2, x3) =

(x2, x3) si i = 1, 2(x1, x3) si i = 3, 4(x1, x2) si i = 5, 6.

Claramente Fi y F−1i son diferenciables para i = 1, ..., 6 y ası la familia

(Ui, Fi)6i=1 satisface las condiciones de nuestra definicion de variedad dife-renciable; por lo tanto, S2 es una variedad diferenciable como se muestra enla figura 1.19.

Figura 10: Parametrizaciones de S2

Ejemplo 2.7. Consideremos el conjunto D2, dado por:

D2 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1,

el disco en R2. Veamos que D2 es una variedad de dimension 2 con frontera∂D2 = S1.

Sea (x0, y0) ∈ D2. Si x20 + y2

0 < 1, entonces podemos tomar:

U = V = (x, y) ∈ R2 x2 + (y − 1)2 < 1,

y f : U → V , la aplicacion dada por:

f(x, y) = (x, y − 1)

Page 85: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 75

es un homeomorfismo coordenado alrededor de (x0, y0).Notemos que (x0, y0) =f(x0, y0 + 1). Supongamos ahora que x2

0 + y20 = 1. Sin perdida de generalidad

suponemos que y0 > 0. Sea U = (x, y) ∈ R2 x2 + y2 < 1, V = R2, y

f : U → V , la aplicacion:

f(x, y) = (x,√

1− x2 − y).

Como x2 + y2 < 1 en U, |y| <√

1− x2, por lo que f(x, y) ∈ V para todo(x, y) ∈ U . Ademas, f es continuamente diferenciable en U. Ahora bien, si(x, y) ∈ U ∩H2, entonces y ≥ 0, por lo que:

0 <=√

1− x2 − y ≤√

1− x2,

y entonces f(x, y) ∈ V ∩ D2. Ahora bien, si (x, y) ∈ V ∩ D2, entonces:

(x, y) = f(x,√

1− x2 − y),

por lo que entonces f(U ∩H2) = V ∩D2. Su inversa esta dada por sı misma,ası que es continua (de hecho, C1). Finalmente, verificamos que (x0, y0) ∈ ∂D2.Solo es suficiente con verificar que (x0, y0) = f(x0, 0), porque x2

0 + y20 = 1 y

y0 > 0.

Figura 11: La frontera del disco D2 es igual a S1

Este ejemplo se puede generalizar a la bola Bn en Rn. Observamos que co-mo ∂D2 = S1, entonces ∂D2 es una variedad de dimension 1,mientras que D2 es una variedad de dimension 2.

Estos ejemplos nos muestran que verificar directamente de la definicionsi un subconjunto dado de R3 es una variedad diferenciable, puede resultarbastante laborioso. La propiedad principal de una variedad diferenciable Mes que sobre cada punto p ∈ M , se tiene un espacio tangente, denotado porTpM , el cual es un espacio vectorial.

Page 86: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

76 M. Torres

Definicion 2.8. Sea M una variedad diferenciable de dimension m en Rk yp, un punto M. Un vector v de Rk es tangente a M en p, si v se puede expresarcomo el vector velocidad en p de alguna curva diferenciable en M que pasepor p.

Definicion 2.9. El conjunto de todos los vectores tangentes a M en p, esllamado espacio tangente a M en p y se denota por TpM .

Ejemplo 2.10. Las figuras 12 y 13 muestran respectivamente una recta tan-gente a un cırculo y un plano tangente a una esfera.

Figura 12: Recta tangente al cırculo

Figura 13: Plano tangente a la esfera

3. Teorema de Poincare-Hopf

El teorema que da nombre a esta seccion, es uno de los resultados mastrascendentales en este ensayo, ya que este nos servira como motivacion para

Page 87: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 77

definir y manejar clases caracterısticas. Desarrollemos entonces las herramien-tas necesarias para enunciarlo.

Definicion 3.1. Un campo vectorial diferenciable sobre una variedad dife-renciable M ⊂ R

k, es una aplicacion diferenciable v : M → Rk, tal que

v(p) ∈ TpM para cada p ∈M .

En la figura 14 se ilustra un campo vectorial.

Figura 14: Campo vectorial sobre una superficie

Decimos que una singularidad a del campo vectorial v, es un punto a ∈M ,en el cual el campo vectorial es cero o no esta definido. De igual forma, diremosque esta es aislada si es una singularidad a, tal que existe una vecindad U dea, tal que a es la unica singularidad en U .

Ejemplo 3.2. Sea M = S1. El campo vectorial ilustrado en la figura 15 notiene singularidades.

Figura 15: Campo vectorial en el circulo

Ejemplo 3.3. Sea M = S2. El campo vectorial ilustrado en la figura 16 tienesingularidades en los polos.

Page 88: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

78 M. Torres

Figura 16: Campo vectorial sobre la esfera

Del ejemplo anterior tenemos un campo vectorial en la esfera que tienesingularidades, pero de este ejemplo no podemos asegurar que no exista otrocampo que no las tenga, por lo cual nos planteamos la siguiente

Pregunta: Dada una variedad diferenciable cerrada M, ¿Es posible cons-truir un campo vectorial v en M sin singularidades?

Si pensamos a los vectores del campo como cabellos, entonces contestar lapregunta para M = S2 equivale a preguntar si la esfera se puede “peinar”.De aquı el famoso teorema de peinar la esfera. Para responder esta preguntaveamos lo siguiente:

Usando el concepto de grado de una aplicacion, asignaremos a cada sin-gularidad a de un campo vectorial v, un numero entero I(v, a) llamado ındicede v en a.

Sea M una variedad cerrada de dimension m, sea v un campo vectorial consingularidades aisladas a ∈M, sea B(a, ε) una bola con centro en a y radio ε,tal que a sea la unica singularidad en la bola. Por lo tanto, B(a, ε) esta biendefinida y sin singularidades en la esfera S(a) = ∂B(a, ε).

Definimos la aplicacion de Gauss:

γ : S(a) ∼= Sm−1 → Sm−1

γ(x) =v(x)‖ v(x) ‖

,

donde a cada punto x ∈ S(a), le asociamos el vector tangente normalizadodado por el campo v. Definimos el ındice de v en a como el grado de estaaplicacion γ:

I(v, a) = δγ.

Page 89: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 79

En la figura 17, se presentan varios ejemplos de singularidades de camposvectoriales sobre superficies con diferentes ındices.

Figura 17: Singularidades de campos en superficies

A continuacion, veremos el siguiente resultado clasico. Este teorema fueprobado por Poincare en 1885 en el caso de dimension 2 y el teorema general fuedemostrado por Hopf en 1926 basado en resultados de Brouwer y Hadamard.

Teorema 3.4 (Teorema de Poincare-Hopf). Sea M una variedad compacta yv un campo vectorial diferenciable sobre M con singularidades aisladas. Si Mtiene frontera, entonces se requiere que v apunte hacia afuera en los puntosfrontera. Entonces, la suma de los ındices en las singularidades de un campovectorial es igual al numero de Euler:

χ(M) =∑k

I(v, ak).

La idea de la demostracion es la siguiente: primero es necesario ver queI(v) =

∑k I(v, ak) es independiente del campo vectorial que se use; de he-

Page 90: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

80 M. Torres

cho, es igual al grado de una aplicacion que no depende del campo vectorial.Despues necesitamos identificar a la invariante

∑i con la caracterıstica de

Euler χ(M). Es suficiente construir un ejemplo de un campo vectorial no de-generado sobre M con

∑i = χ(M). La forma mas agradable de hacer esto es

usando Teorıa de Morse [11]; de acuerdo a Marston Morse siempre es posibleencontrar una aplicacion real sobre M , cuyo gradiente es un campo vectorialno degenerado. Mas aun, Morse demostro que la suma de ındices asociada atal campo gradiente es igual a la caracterıstica de Euler.

Una manera grafica de ver esto es con el campo vectorial de Hopf mostradoen la figura 4.5, donde cada vertice de la triangulacion es un cero, a dondeapunta el campo vectorial (pozo) y por lo tanto tiene ındice 1; cada baricentrode la triangulacion es un cero, de donde sale el campo vectorial (fuente) y porello, tiene ındice 1; y los puntos medios de las aristas son ceros, que son puntossilla y tienen ındice -1. Por lo tanto, al sumar los ındices de todos los ceros,cada vertice cuenta una vez cada arista menos una vez y cada cara una vez,lo que nos da la caracterıstica de Euler-Poincare.

Figura 18: El campo de Hopf

Ejemplo 3.5. Sobre la esfera Sm existe un campo vectorial v, que apuntahacia el norte en todo punto. En el polo sur, los vectores apuntan hacia afueray por lo tanto, el ındice es +1. En el polo norte, los vectores convergen hacia

Page 91: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 81

el polo; por lo tanto, el ındice es (−1)m (pues nos da la aplicacion antıpodaen la esfera Sm−1, la cual tiene grado (−1)m). Por lo tanto, la invariante

∑i

es igual a cero o 2, dependiendo de si m es impar o par. Esto da una pruebade que todo campo vectorial en la esfera de dimension par, tiene un cero.

Para toda variedad con frontera de dimension impar, la invariante∑i es

cero, porque si el campo vectorial es sustituido por −v, entonces el ındice semultiplica por (−1)m y la igualdad:∑

i = (−1)m∑

i

para m impar, implica que∑i = 0.

3.1. Haz tangente

Dada una aplicacion diferenciable entre dos variedades f : M → N, tene-mos la diferencial dfp : TpM → TqN en una transformacion lineal, que dependedel punto p en M , ası que al cambiar el punto, obtenemos, mediante la dife-rencial de f , otra transformacion lineal entre los espacios tangentes correspon-dientes. Esto motiva a definir una transformacion del conjunto de todos losvectores tangentes a M en el conjunto de todos los vectores tangentes a N . Pa-ra tal fin, definamos para una variedad diferenciable M ⊂ Rk, el subconjuntode M ×Rk:

TM = (p, u) ∈M ×Rk|p ∈M,u ∈ TpMy al cual llamaremos haz tangente. De manera que el elemento (p, u) puede serinterpretado como el vector tangente a M en p. Se puede verificar que TM esuna variedad diferenciable en R2k, pues TM ⊂M ×Rk ⊂ Rk ×Rk = R2k.

Definamos la proyeccion:

π : TM →Mπ(p, u) = p;

es decir,π−1(P ) = TpM,

la imagen inversa de un punto p ∈M bajo π, es el espacio vectorial TxM.Entonces, retomando las variedades M ⊂ Rk, N ⊂ Rl y f , una aplicacion

diferenciable entre ellas, podemos definir:

df : TM → TN

Page 92: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

82 M. Torres

df(p, u) 7→ (f(p), dfp(u))

y tenemos la conmutatividad del siguiente diagrama:

TMdf //

πM

TN

πN

Mf // N

(2)

Ejemplo 3.6. En la figura 4.7 se muestra el haz tangente para M = S1.Resulta ser un cilindro. En este caso, para construir el haz tangente, se puedepensar que cada recta tangente fue rotada 90 hasta quedar perpendicularal plano del cırculo; de esta manera, todas las rectas tangentes forman elcilindro, el cual es una variedad diferenciable de dimension 2. La proyeccionπ es la proyeccion sobre el cırculo y de esta manera, la imagen inversa de unpunto es precisamente su recta tangente.

Figura 19: Haz tangente de S1

Definicion 3.7. Una seccion es una aplicacion (diferenciable o continua)s : M → TM , tal que π s = IdM ; es decir, una seccion asigna a cada puntop de M , un vector s(p) en su espacio tangente TpM . Por lo tanto, un campovectorial es una seccion del haz tangente.

Page 93: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 83

Definicion 3.8. La seccion cero del haz tangente es la que a cada p ∈ M ,le asigna el vector cero en TpM ; es decir, corresponde al campo vectorialconstante igual a cero.

Encontrar un campo vectorial no nulo en M , equivale a encontrar unaseccion del haz tangente que no intersecte a la seccion cero. Esto se ejemplificaen la figura 4.8.

Figura 20: Secciones

Por lo tanto, la caracterıstica de Euler-Poincare es una obstruccion paratener secciones no nulas:

Corolario 3.9. Si χ(M) 6= 0, entonces el haz tangente TM de M no admitesecciones no nulas.

4. Clases caracterısticas

En general, en topologıa sucede a menudo que se coloca un espacio vectorialen cada punto de una variedad o de un espacio topologico, respectivamente,de tal modo que no se tiene un unico espacio vectorial, sino todo un haz

Page 94: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

84 M. Torres

de espacios vectoriales. El haz tangente a una variedad es un caso particularde una clase de objetos matematicos llamados haces vectoriales, los cualesintroduciremos a continuacion.

De manera analoga a la caracterıstica de Euler-Poincare, es posible definirinvariantes, las cuales son obstrucciones para poder construir r secciones li-nealmente independientes en un haz vectorial ζ de rango n ≥ r. Pero en estecaso, a diferencia de la caracterıstica de Euler-Poincare, dichas obstruccionesno son numeros, sino clases de cohomologıa llamadas clases caracterısticas deζ.

Las construcciones clasicas de las clases caracterısticas, se pueden encon-trar en [13]. Dichas construcciones son de caracter algebraico, por lo cual enel final del presente capıtulo se mostrara una construccion geometrica basadaen el concepto de transversalidad dada en [2].

4.1. Haces vectoriales

Definicion 4.1. Un haz vectorial ζ de rango n es una aplicacion sobreyectivacontinua, π : E → M , tal que para toda p ∈ M, la fibra sobre p dada porπ−1 ⊂ E es un espacio vectorial de dimension n; es decir, π−1(p) es isomorfoa Rn. Ademas, π satisface el axioma de trivialidad local: para cada p ∈ Mexiste una vecindad U de p y un difeomorfismo:

φu : U ×Rn → π−1(U),

tal que π φU (p, v) = p. La variedad E es llamada espacio total; M el espaciobase; Rn, fibra; y la aplicacion π, proyeccion. Dado que p ∈ M , denotamospor ζp a la fibra.

Definicion 4.2. Un par (f, U) como el axioma de trivialidad local, se llamacarta del haz vectorial. Un haz vectorial sobre X, se llama trivial si posee unacarta del haz vectorial (f,X).

Ejemplo 4.3. La banda de Mobius es tambien un haz vectorial, si tomamosa E como la banda de Mobius sin frontera, M = S1 y π, la proyeccion sobreS1. La imagen inversa de cualquier punto p ∈ S1, sera un intervalo abierto, elcual es isomorfo a la recta real R.

Page 95: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 85

Figura 21: Banda de Mobius

Ejemplo 4.4. Denotemos por F a R o C. Sea FPn el F-espacio proyectivo dedimension n, que consiste en las F-lıneas en Fn+1 que pasan por el origen; esdecir, en los F-subespacios lineales de dimension 1.

Existe un haz vectorial γn de rango 1 sobre FPn llamado haz tautologicosobre FPn. Su espacio total esta dado por:

E(γn) = (`, v) ∈ FPn × Fn+1|v ∈ `

y la proyeccion esta definida como:

E(γn) π // FPn

(`, v) 7→ `.

Es llamado haz tautologico porque dado ` ∈ FPn, es decir, ` corresponde auna lınea en Fn+1, tenemos que π−1(`), la fibra sobre ` es precisamente `.

En el caso F = R y n = 1, tenemos que RP 1 es isomorfo al cırculo unitarioS1 y el haz dado por la proyeccion de la banda de Mobius sobre S1 mostradoen la figura, anterior es precisamente el haz tautologico.

Los haces vectoriales sobre un espacio fijo X forman de modo natural losobjetos de una categorıa. Los “morfismos” correspondientes son los homomor-fismos de haces vectoriales, que definiremos a continuacion.

Page 96: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

86 M. Torres

Definicion 4.5. Sean E y E′ haces vectoriales sobre X. Una aplicacion con-tinua f : E → E′, se llama homomorfismo de haces si el diagrama:

Ef //

π

@@@

@@@@

@ E′

π′~~

X

es conmutativo y cada fx : Ex → E′x es lineal.

Definicion 4.6. Por seccion de un haz vectorial π : E →M , se entiende unaaplicacion continua s : M → E, tal que π s = IdM . Es decir, una seccionasigna a cada punto x de M, un vector s(p) en su fibra π−1(p).

La seccion cero (o seccion nula) es la que a cada punto p ∈M , le asigna elvector cero en π−1(p).

Observacion. Si π : E → M es una seccion, π : E → π(E) es un homeo-morfismo. Debido a esto se puede en particular “concebir”sin ningun inconve-niente, la imagen de la seccion nula como base, ya que existe entre ambas unhomeomorfismo canonico mediante la seccion nula.

Hasta ahora solo hemos considerado haces vectoriales “topologicos”. De-bemos de introducir el concepto de haz vectorial diferenciable. Para ello nece-sitamos el concepto previo de atlas.

Definicion 4.7. Sea π : E →M un haz vectorial n-dimensional. Un conjunto(fα, Uα)|α ∈ A de cartas de haz vectorial, se llama atlas de haz vectorial deE si ∪α∈AUα = M.

Las aplicaciones continuas dadas mediante los solapamientos de cartas dehaces, se llaman funciones de paso del atlas.

Definicion 4.8. Un atlas vectorial de un haz vectorial sobre una varie-dad diferenciable, se llama diferenciable si todas las funciones de paso sondiferenciables.

4.2. Morfismos de haces vectoriales

Definicion 4.9. Sean ζ = πζ : E(ζ) → M y ξ = πξ : E(ξ) → N dosF−haces vectoriales. Un morfismo de haces vectoriales h : ζ → ξ, consiste en

Page 97: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 87

aplicaciones diferenciables f : E(ζ)→ E(ξ) y f : M → N , que hacen conmutarel siguiente diagrama:

E(ζ)f //

πζ

E(ξ)

πξ

M

f // N

es decir, para todo p ∈M, f manda a ζp en ξf(p) y ademas la restriccion de fa las fibras fp : ζp → ξf(p), es una transformacion lineal.

Ejemplo 4.10. Dada una aplicacion diferenciable f : M → N, su diferencialdf : TM → TN es un morfismo de haces vectoriales (ver diagrama 4.1).

Definicion 4.11. Sean ζ y ξ dos haces vectoriales con la misma base M.Un morfismo de haces h : ζ → ξ, dado por las aplicaciones h : E(ζ) → E(ξ)y la identidad IdM : M → M , es un isomorfismo si la aplicacion h es undifeomorfismo y para toda p ∈M , la restriccion hp : ζp → ξp es un isomorfismolineal.

Dados dos haces vectoriales ζ y ξ de rangos k y n, respectivamente, pode-mos construir un nuevo haz vectorial:

$ : HomF(ζ, ξ)→M

llamado haz de morfismos. Dado que p ∈M , la fibra de HomF(ζ, π) sobre p esel espacio vectorial de dimension kn de todas las transformaciones lineales dela fibra ζp a la fibra ξp; por lo tanto, las fibras de HomF se pueden identificarcon el espacio vectorial M(n, k) de matrices n× k.

Un morfismo de haces vectoriales suave h : ζ → ξ, es equivalente a unaseccion suave sh de HomF(ζ, ξ), la cual esta dada por:

sh(p) = hp

[14, p. 14], donde hp es el elemento en la fibra de HomF(ζ, ξ) sobre p, quecorresponde a la restriccion hp : ζp → ξp :

ζh //

πζ ???

????

? ξ

πxi

M

HomF(ζ, ξ)

$

M

sh

BB

Page 98: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

88 M. Torres

4.3. Subhaz y haz inducido

Definicion 4.12. Si π : E →M es un haz vectorial n-dimensional y si E′ ⊂ Ees un subconjunto, de forma que en torno a cada punto de M existe una carta(f, U) con:

f(π−1(U) ∩ E′) = U ×Rk ⊂ U ×Rn,

entonces π : E′ → M es de forma canonica un haz vectorial sobre X y sedenomina subhaz k-dimensional de E; es decir, si F es una subvariedad de E,tal que cada punto p ∈ M, la fibra E′p es un subespacio vectorial de la fibraEp.

Definicion 4.13. Si E es un haz vectorial y X0 ∈ X, entonces:

(π−1(X0), π|π−1(X0), X0)

es un haz vectorial sobre X0, que se denota por EX0 y se denomina restriccionde E sobre X0.

Ejemplo 4.14. Sea N una subvariedad de M. Entonces, el haz tangente TNde N es una subvariedad del haz tangente TM de M.

Se pueden “inducir”nuevos haces vectoriales a partir de uno dado. La si-tuacion es como sigue: dado un haz vectorial n-dimensional E sobre N y unaplicacion continua f : M → N :

E

π

M

f // N

se construye el haz inducido (pull-back) f∗E sobre M , colocando en cadax ∈M la fibra Ef(M). Este proceso puede describirse ası:

Definicion 4.15. Sean M y N variedades diferenciables y sea f : M → Nuna aplicacion diferenciable. Consideremos un haz vectorial ξ de rango n sobreN , dado por π : E → N. Definimos el conjunto

f∗E = (p, v) ∈M × E|f(p) = π(v)

Page 99: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 89

y la proyeccion π : f∗E → M por π(p, v) = p. De esta manera, obtenemos unhaz vectorial f∗ξ tambien de rango n sobre M llamado haz inducido por f,pues f∗E resulta ser una subvariedad diferenciable de M ×E; la proyeccion esdiferenciable y dado que p ∈M, tenemos que la fibra de f∗ξ sobre p esta dadapor:

π−1(p) = (p, v) ∈M × E|v ∈ π−1(f(p)),

la cual es isomorfa a la fibra de ξ sobre f(p).

Dado lo anterior, tenemos que la aplicacion natural:

f∗Ef // E

(p, v) 7→ v

es un morfismo de haces, tal que hace conmutar el siguiente diagrama:

f∗Ef //

π

E′

π

M

f // N

Ejemplo 4.16. Sea M una variedad diferenciable de dimension m. Tenemosel haz tangente de M , denotado por TM :

TM = (x, v) ∈M ×Rm|v ∈ TxM.

Una vez que hemos visto el haz tangente TM de una variedad diferenciableM , tambien podemos definir el haz normal de M como sigue:

Definicion 4.17. Sea M una variedad diferenciable de dimension m. Defini-mos el haz normal de M , denotado por NM , como:

NM = (x, v) ∈M ×Rm|v ∈ NxM,

donde NxM es el complemento ortogonal de TxM en Rm.

Page 100: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

90 M. Torres

Definicion 4.18. Si f : M → N es una aplicacion diferenciable, mediante ladiferencial:

Tpf : TpM → Tf(p)N

se define una aplicacion diferenciable:

Tf : TM → TN,

tal que Tf(x, v) = (f(x), Tpf(v)).

La diferencial es una aplicacion lineal entre haces vectoriales, por lo cualexiste un solo homeomorfismo de haces, TM → f∗TN , tal que el siguientediagrama:

TMTf //

$$HHH

HHHH

HHTN

f∗TN

;;vvvvvvvvv

sea conmutativo [5].

4.4. Suma de Whitney

Las operaciones algebraicas que se efectuan en algebra lineal con espaciosvectoriales y transformaciones lineales, se pueden llevar a cabo tambien enhaces vectoriales y homomorfismos de haces, procediendo en cada punto de labase con las fibras precisamente como se ha aprendido en algebra lineal. Ası seconstruye, por ejemplo, las suma directa E ⊕ F (“suma de Whitney”) de doshaces vectoriales E y F sobre M.

Definicion 4.19. Dados dos haces vectoriales ζ y ξ con la misma base M ycon rangos k y n, respectivamente, su suma de Whitney denotada como ζ ⊕ ξes un haz vectorial que tiene por espacio total la union ∪x∈Mζx × ξx (comosubespacio topologico del producto ζx × ξx) y una proyeccion a la aplicaciondefinida por p(a, b) = x; para (a, b) ∈ ζx × ξx en cada fibra (ζ × ξ)x, estamostomando la estructura lineal de la suma directa; es decir, (ζ ⊕ ξ)x = ζx ⊕ ξx.

Teorema 4.20. La suma de Whitney de haces vectoriales es nuevamente unhaz vectorial. Para haces vectoriales ζ, ζ ′, ξ, ξ′ y λ, se tienen las siguientesrelaciones:

Page 101: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 91

1. Si ζ ' ζ ′ y ξ ' ξ′, entonces ζ ⊕ ξ ' ζ ′ ⊕ ξ′.

2. ζ ⊕ ξ ' ξ ⊕ ζ.

3. (ζ ⊕ ξ)⊕ λ ' ζ ⊕ (ξ ⊕ λ).

4. ζ ⊕ Id ' ζ

Para la demostracion, ver [13, p. 9].

4.5. Secciones linealmente independientes

En la seccion anterior nos preguntabamos si era posible encontrar unaseccion no nula del haz tangente TM de una variedad M. Podemos generalizarnuestra pregunta a haces vectoriales en general.

Pregunta: Sea r ∈ N, tal que 1 ≤ r ≤ n, ¿nos es posible construir rsecciones de ζ, que sean linealmente independientes en todo punto x ∈M . Aldecir linealmente independientes nos referimos a lo siguiente:

Definicion 4.21. Las secciones s1, . . . , sk ∈ sζ , se dice que son linealmenteindependientes en M si para cada x ∈ M , los vectores s1(x), . . . , s2 ∈ ζx sonlinealmente independientes. Si de hecho s1(x), . . . , sk(x) forman una base de ζxpara cada x ∈ M, entonces las secciones s1, . . . , s2 sellaman una base de ζ en M .

Ejemplo 4.22. En el haz vectorial del ejemplo ?? dado por la banda deMobius, no es posible construir una seccion continua que no tenga ceros. Estose ilustra en la figura 5.2, recordando que la banda de Mobius se obtiene deun rectangulo al identificar dos de sus lados opuestos dandoles orientacionescontrarias.

Como ya hemos mencionado es posible definir invariantes, las cuales sonobstrucciones para poder construir r secciones linealmente independientes enun haz vectorial ξ de rango n ≥ r, los cuales son clases de cohomologıa llamadasclases caracterısticas de ξ. Ası que primero iniciemos con algunas convencionesde notacion, para poder tratar los casos real y complejo al mismo tiempo:

Para haces vectoriales reales definimos:

b = 1 K1 = Z2 F = R.

Page 102: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

92 M. Torres

Figura 22: Seccion en la banda de Mobius

Para haces vectoriales complejos definimos:

b = 2 K2 = Z F = C.

Enunciemos nuevamente nuestro problema:Sea ξ un haz vectorial de rango n, dado por π : E → M , y sea r ∈ N, tal

que 1 ≤ r ≤ n. ¿Es posible construir r secciones de ξ que sean linealmenteindependientes en todo punto p ∈ M. La respuesta para r = n esta dada porla siguiente:

Proposicion 4.23. El haz vectorial ξ admite n secciones linealmente inde-pendientes si y solo si ξ es trivial.

Demostracion. (Rightarrow). Sean si : M → E, i = 1, . . . , n, las n seccioneslinealmente independientes de ξ. Sea v ∈ E, tal que π(v) = p ∈M. Entonces,podemos escribir de manera unica a v como combinacion lineal:

v = α1s1(p) + . . .+ αnsn(p).

Sea e1, . . . , en una base para Fn, entonces la aplicacion:

Eh //M × Fn

h(v) = (p, α1e1 + . . .+ αnen)

define un isomorfismo entre π y el haz producto, y por lo tanto, trivial.(⇐) Sea e1, . . . , en una base para Fn y sea h : M×Fn → E un isomorfismo

entre el haz producto y ξ. Definimos las n secciones si : M → E, i = 1, . . . , nde ξ por:

si(p) = h(p, ei),

Page 103: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 93

las cuales son claramente linealmente independientes en todo punto, por ser hun isomorfismo de haces vectoriales.

De esta proposicion tenemos que la existencia de n− i+ 1 secciones lineal-mente independientes de ξ, es equivalente a la existencia de un morfismo dehaces h : εn−i+1 → ξ del haz producto εn−i+1 a ξ, tal que h es inyectivo encada fibra. Pues ası tendrıamos un subhaz trivial de rango n− i+ 1 de ξ.

Por lo tanto, la obstruccion a la existencia de n− i+ 1 secciones lineal-mente independientes, esta representada por el subconjunto de puntos Z(h)de M , donde h no es inyectiva. En general, este conjunto no es una variedad,pero si h es “generico”, es una variedad.

4.6. Morfismos de haces genericos

Sean ζ y ξ dos F−haces vectoriales sobre una variedad diferenciable M.Consideremos el haz de morfismos:

$ : HomF(ζ, ξ)→M.

Existe un morfismo de haces tautologico τ sobre el espacio total de HomF(ζ, ξ).Es un morfismo de $∗ζ a $∗ξ, cuya restriccion a la fibra sobre v ∈ HomF(ζ, ξ)es v misma, considerada como una transformacion lineal de ζπ(v)

∼= ($∗ζ)v aξ$(v)

∼= ($∗ξ)v..Un morfismo de haces h : ζ → ξ induce una particion de la variedad M ,

dada por subconjuntos “singulares”:

Zj(h) = p ∈M |dimF kerhx = j.

Cuando h es el morfismo de haces tautologico, sus conjuntos singulares resultanser variedades.

Proposicion 4.24 (Thom, Boardman[4, 26, 2]). Sean ζ y ξ haces vectorialessobre una variedad M de rangos k y n, respectivamente. Sea τ : $∗ζ → $∗ξ elmorfismo de haces tautologico sobre el haz de morfismos HomF(ζ, ξ). EntoncesZj(τ) es una subvariedad de HomF(ζ, ξ) con:

codimRZj(τ) = bj(n− k + j).

Page 104: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

94 M. Torres

Claramente Zl(τ), l ≥ j pertenece a la adherencia de Zj(τ), entonces:

Zj(τ) =⋃l≥j

Zl(τ).

Definicion 4.25. Un morfismo de haces h : ζ → ξ, se dice que es generico sila seccion correspondiente sh de HomF(ζ, ξ) es transversal a todas las subva-riedades Zj(τ).

Los morfismos de haces genericos forman un subconjunto abierto densodel espacio de todos los morfismos de haces vectoriales con la topologıa C∞

de Whitney.

Proposicion 4.26. Sean ζ y ξ haces vectoriales sobre una variedad M derangos k y n, respectivamente. Si h : ζ → ξ es un morfismo de haces genericossobre M, entonces Zj(h) es una subvariedad de M de codimension real bj(n−k + j).

Demostracion. Sea sh la seccion de HomF(ζ, ξ) correspondiente a h. Tenemosque Zj(h) = sh(Zj(τ)) y como sh es transversal a Zj(τ), Zj(h) es una subva-riedad de M de codimension real bj(n− k + j).

Notese que tambien se tiene que:

Zj(h) =⋃l

≥ jZl(h).

Por lo tanto, el conjunto de puntos en M donde h no es inyectivo esta dadopor Z1(h).

Sea ξ un F-haz vectorial suave de rango n sobre una variedad diferenciablecerrada M de dimension m. Supongamos tambien que la variedad M es Kb-orientada.

Sea h : εk → ξ un morfismo de haces del haz producto εk de rango k a ξ.Definimos:

Z(h) = (p, L) ∈M × FP k−1|(p, L) ⊂ kerhp

Z(h) = (p, L) ∈ Z(h)|(p, L) = kerhp.

Tenemos que Z(h) es un subconjunto abierto denso de Z(h.)

Page 105: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 95

Sea τ el morfismo de haces tautologico sobre HomF(εk, ζ). Tenemos que

Z(τ) = (f, L) ∈ HomF(εk, ξ)× FP k−1|(π(f), L) ⊂ ker f$(f).

Proposicion 4.27 (Ronga[25, 2]). Sea φ : Z(τ)→ HomF(εk, ξ) la proyeccionsobre el primer factor. Entonces:

1. φ(Z(τ)) = Z1(τ).

2. Z(τ) es una subvariedad de HomF(εk, ξ) × FP k−1 de codimension realbn.

Proposicion 4.28. Sea h : εk → ξ un morfismo de haces genericos. Entonces,Z(h) es una subvariedad compacta de M×FP k−1 de dimension m+b(k−n−1).

Demostracion.

HomF(εk, ξ)× FP k−1 φ //

$×Id

HomF(εk, ξ)

π

M × FP k−1 π //

sh

BB

M

sh

\\

Notese que Z(h) = s−1h (Z(τ)). Es suficiente ver que sh es transversal a

Z(τ), ver [2].

Proposicion 4.29. La variedad Z(h) es Kb-orientada. Por lo tanto, tieneuna clase fundamental [Z(h)] ∈ Hm+b(k−n−1)(Z(h);Kb).

Proposicion 4.30. Sea φ : Z(h) → M la proyeccion sobre el primer factor.Entonces, φ es propia y manda Z(h) difeomorfamente sobre Z1(h).

4.7. Clases caracterısticas

La Teorıa de clases caracterısticas se inicio con las obras de Hassler Whit-ney y Eduard Stiefel en 1935, Lev Pontrjagin en 1942, y Shiing-Shen Chernen 1946. Dado un haz vectorial de rango n sobre un espacio M , el problemaes determinar el numero de secciones linealmente independientes.

Despues de haber dado las herramientas basicas con anterioridad, ahoraya podemos dar la definicion de las clases caracterısticas de un F-haz vectorialξ.

Page 106: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

96 M. Torres

Definicion 4.31. Sea ξ un F-haz vectorial suave de rango n sobre una varie-dad diferenciable cerrada Kb-orientada M de dimension m. Sea h : εn−i+1 → ξun morfismo de haces genericos. Definimos la i-esima clase caracterıstica de ξpor:

Cli(ξ) = φ!([Z(h)]) ∈ Hbi(M ; kb),

donde [Z(h)] es la clase fundamental de Z(h), y φ! es la composicion delisomorfismo de dualidad de Poincare, con el isomorfismo inducido en homo-logıa por la proyeccion sobre el primer factor φ : Z(h)→M :

Hm−bi(Z(h);Kb)φ∗ //

((RRRRRRRRRRRRRHm−bi(M ;Kb)

D

Hbi(M ;Kb)

φ!

OO

La clase de cohomologıa Cli(ξ) es la obstruccion para tener n − i + 1secciones de ξ linealmente independientes en todo punto. Es decir:

Proposicion 4.32. Si Cli(ξ) 6= 0, entonces el haz vectorial ξ no admite n−i+ 1 secciones linealmente independientes.

Si ξ es un haz real son llamadas clases de Stiefel-Whitney y generalmenteson denotadas por: ωi(ξ) ∈ H i(M ;Z2). Si ξ es un haz complejo son llamadasclases de Chern y generalmente son denotadas por: ci(ξ) ∈ H2i(M ;Z).

Las clases caracterısticas satisfacen los siguientes axiomas dados por Hir-zebruch, los cuales las caracterizan. Para la demostracion, consultar [2].

Axioma A1. Para cada haz vectorial ξ de rango n, corresponde una sucesionde clases de cohomologıa:

Cl1(ξ) ∈ Hbi(B;Kb), i = 0, 1, 2 . . . ,

tales que Cl0(ξ) = 1 y Cli(ξ) = 0, si i > n.

Axioma A2. Si f : B′ → B es una aplicacion continua, entonces:

Cli(f∗(ξ)) = f∗(Cli(ξ)).

Page 107: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 97

Axioma A3. Sea εk el haz producto de rango k. Entonces:

Cli(ξ ⊕ εk) = Cli(ξ).

Axioma A4. Sea ξn = γ1n ⊕ · · · ⊕ γ1

n. Entonces:

Cln(ξn) = (−1)ngn ∈ Hbn(FPn;Kb).

Las clases caracterısticas son un medio para medir que tan lejos un hazdifiere del trivial; son una razon importante en la Teorıa de dualidad entrehomologıa y cohomologıa, al igual que en la Teorıa de invariantes. Las clasescaracterısticas son tambien un concepto importante que unifica la topologıa,la topologıa algebraica, la geometrıa diferencial, el calculo, el algebra lineal yla Teorıa de grupos.

Existen otros metodos para definir las clases caracterısticas, distintos alaquı presentado: el uso de las operaciones de cohomologıa, el calculo de lacohomologıa de los espacios clasificantes, o calcular la cohomologıa del hazproyectivo asociado a ξ. Todos estos metodos son de naturaleza algebraica.Hay otro metodo para haces suaves conocido como Teorıa de Chern-Weil.

Como vemos existen otras formas de trabajar con clases caracterısticasdistintas a la presentada en este trabajo, las cuales no pueden ser mostradaspor la naturaleza; del mismo, tales metodos se encuentran en [8, 1, 21]. Paraun estudio mas a fondo, se recomienda ver el artıculo [2].

Bibliografıa

[1] Aguilar, M.; Gitler, S.; Prieto, C. Algebraic Topology From a HomotopicalViewpoint, Universitext, Springer-Verlag, New York (2002).

[2] Aguilar, M.; Cisneros, J.; Frıas, E. Characteristic Classes and Transver-sality. Topology and its Applications, 154: 1220-1235 (2007).

[3] Atiyah, M.; Macdonald, I. Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company (1969).

Page 108: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

98 M. Torres

[4] Boardman, J. Singularities of Differentiable Maps, Inst. Hautes EtudesSci. Publ. Math. (33) (1967), pp. 21-57.

[5] Brocker, T.; Janich, K. Introduction to Differential Topology. CambridgeUniversity Press (1982).

[6] Cisneros-Molina, J. ¿Por que los toros se pueden peinar y las esferas no?Notas del curso. http: www.matcuer.unam.mx/∼ jlcm/toroyesfera.pdf

[7] Cisneros-Molina, J. Clases caracterısticas. Notas del curso.http://www.matcuer.unam.mx/∼ jlcm/clascar.pdf.

[8] Chern, S. On the Multiplication in the Characteristic Ring of a SphereBundle, Ann. of Math. 49 (1948), pp. 362-372.

[9] Doyle, P.; Moran, D. A Short Proof That Compact 2-Manifolds Can beTriangulated. Invent. Math., 5: 160-162 (1968).

[10] Greenberg, M.; Harper, G. Algebraic Topology. A First Course. Addison-Wesley (1981).

[11] Guillemin, V.; Pollack, A. Differential Topology. Prentice-Hall (1974).

[12] Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press (2001).

[13] Hatcher, A. Vector Bundles and K-Theory. Unpublished bookon-line available at: http://www.math.cornell.edu/∼hatcher/VBKT/VBpage.html, January (2003).

[14] Husemoller, D. Fibre Bundles, tercera edicion, Graduate Texts in Mathe-matics, Springer, Berlin (1978).

[15] Lang, S. Algebra, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1964).

[16] Lee, J. Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Maths202, Springer (2000).

[17] Marsden, J.; Hoffman, M. Analisis basico de variable compleja. Trillas(1996).

[18] Massey, S. Algebraic Topology: an Introduction. Springer Verlag (1967).

Page 109: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Clases caracterısticas 99

[19] Matsumura, H. Commutative Ring Theory. Cambridge University Press.

[20] Milnor, J. Topology From the Differentiable point of view. The UniversityPress of Virginia, Charlottesville (1965).

[21] Milnor, J.; Stasheff, J. Characteristic Classes. Study 76. Princeton Uni-versity Press, Princeton, New Jersey (1974).

[22] Munkres, J. Topology: A First Course. Prentic-Hall (1975).

[23] Nakahara, M. Geometry, Topology and Physics. IOP Publishing Ltd, se-cond edition (2003).

[24] Ralph, A.; Marsden, J.; Ratiu, T. Manifolds, Tensor Analysis, and Appli-cations. Applied Mathematical Sciences 75. Springer-Verlag, second edi-tion (1988).

[25] Ronga, F. Le calcul des classes duales aux singularites de Boardmandordre deux, Comment. Math. Helv. 47 (1972), pp. 15-35.

[26] R. Thom, Les singularites des applications differentiables, Ann. Inst. Fou-rier, Grenoble 6 (1955-1956), pp. 43-87.

Marıa de los Angeles Torres Garcia ([email protected])Instituto de Matematicas, UNAM. Unidad Cuernavaca,Av. Universidad s/n. Lomas de ChamilpaCP. 62210. Cuernavaca, Mor.

Page 110: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones
Page 111: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

AVANZA; algebra, sistemas dinamicos y matematicas aplicadas publica artıculos deinvestigacion y divulgacion originales en cualquier area de las matematicas y sus apli-caciones, que son resultado de los esfuerzos colectivos de los miembros del CuerpoAcademico de Matematicas Puras y Aplicadas del Departamento de Fısica y Ma-tematicas del Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa de la Universidad Autonoma deCiudad Juarez, ası como contribuciones de investigadores de otras instituciones. To-dos los artıculos son sometidos a evaluacion para ser publicados.

A los autoresLos artıculos deberan ser enviados por correo electronico en alguna version de LaTeXcon un archivo pdf o ps al coordinador general: Luis Loeza Chin([email protected]), Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa, UACJ. Av. Del Charronum. 450 norte, Ciudad Juarez, Chih., Mexico, C.P. 32310, A.P. 1594-D.

La presentacion de un artıculo para su publicacion en AVANZA; algebra, sistemasdinamicos y matematicas aplicadas conlleva el compromiso por parte de sus auto-res de que este no ha sido previamente publicado o simultaneamente sometido parapublicacion en alguna otra revista.

Page 112: AVANZA Algebra, sistemas din amicos y matem aticas aplicadas 2012/AVANZA II.pdf · Departamento de F sica y Matematicas Cuerpo Acad emico de Matem aticas Puras y Aplicadas Con aportaciones

Las Lıneas de Generacion y Aplicacion del Conocimiento que cultiva el CuerpoAcademico de Matematicas Puras y Aplicadas son: Algebra, Ecuaciones diferencialesy Sistemas dinamicos y matematicas aplicadas. Sus miembros trabajan de manera co-legiada para la creacion de nuevos conocimientos en estas areas y sus aplicaciones: asi,mismo, se busca involucrar a estudiantes avanzados de la Licenciatura en Matematicasen estas actividades con el objetivo de acercarlos a la investigacion cientıfica, contri-buyendo con ello a una formacion mas solida de los egresados de esta licenciatura.

El presente material es un registro de algunas de las actividades realizadas por elCuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas. Todos los trabajos incluidosse han presentado en las actividades regulares del Cuerpo Academico o son produc-to de los esfuerzos colectivos de sus miembros y sus relaciones de colaboracion coninvestigadores de otras instituciones.