Axiomas de los números reales

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de

una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en

consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares

fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la

veracidad de cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto,

afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en

ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco

intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas

ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

Los axiomas algebraicos

Los axiomas de orden

El axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el

segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre

la noción de continuidad.

Existe un conjunto que tiene estas propiedades. Nace entonces el primer axioma

Axioma Fundamental

Existe un conjunto que denotaremos por que satisface los tres tipos de

axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

El conjunto que cumple con estas propiedades se llama El conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de este conjunto, las bases de lo que es quizás la rama más

importante de la matemática: el Cálculo

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se

demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo:

Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas Algebraicos

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos

en dos tipos: los de suma y producto.

1. Axiomas de la suma

Axioma

A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado

por que llamamos la suma de e .

A1.2 para todo .

A1.3 para todo .

A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo

.

A1.5 Para cada existe un tal que .

2. Axiomas del producto

Axioma

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado

por que llamaremos el producto de e .

A2.2 para todo .

A2.3 para todo .

A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que

A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .

Análisis axiomático

El axioma (1.2) conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de

los sumandos no altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo

para sumas finitas.

El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la

asociacion de la suma no altera el valor de ésta.

El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser

sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y

se conoce también como el elemento neutro aditivo de este conjunto.

El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal

que la suma de ambos es nula. Si este elemento es , el número tal que la suma de éste y el

otro número sea cero es . Este elemento se llama inverso aditivo de .

El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.

El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el

producto. Esta propiedad se conoce como propiedad asociativa de la multiplicación.

El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de éste con

otro real, sigue siendo este último. Este elemento denotado por se conoce como neutro multiplicativo.

El axioma (2.5) dice que para cualquier real no nulo, existe otro, tal que el

producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por

se conoce como inverso multiplicativo de .

Axiomas de Orden

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de

los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los

naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su

cardinalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos

dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya

conocemos.

Se dirá que o sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es

mayor que .

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto tal que

si y sólo si .

Se dan a continuación los Axiomas de Orden

Axioma

O1.1 Si , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes

afirmaciones:

; ;

O1.2 Si y además , entonces .

O1.3 Si , entonces para todo

O1.4 Si y , entonces .

Análisis axiomático

El axioma (1.2) dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a

su vez a la izquierda de , entonces debe estar a la izquierda de . Esta interpretación es

bastante útil.

Axioma topológico

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con

esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por

ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.

Análisis axiomático

Hay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben

conocerse para entender el significado de este axioma. Éstos, son los de sucesión,

creciente, acotado superiormente y convergencia.

Axiomas básicos de la geometría Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico,

necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a

dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el

punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán

demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los

axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y

entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o

propiedades.

Axiomas

Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita

demostración.

Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría.

Axiomas básicos

1-    El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.

2-    El plano tiene infinitos puntos y rectas.

3-     La recta tiene infinitos puntos.

4-    Por un punto pasan infinitas rectas.

5-    Por una recta pasan infinitos planos.

6-    Por dos puntos pasa una única recta.

7-    Por tres puntos no alineados pasa un único plano.

En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos están alineados si

pertenece a una misma recta.

8-    Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos

también se encuentra en el mismo plano.

Conceptos Primitivos El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos y estos se

unen para formar las rectas y los planos, entre otras cosas. A estos cuatro conceptos;

espacio, punto, recta y plano; no los definiremos, aunque todos tenemos una idea de ellos y

conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos

conceptos son ideales, es decir, existen únicamente en la mente humana.

Los puntos son fundamentales en la construcción del conocimiento geométrico, no

tienen dimensión y cuando hablemos de ellos los nombraremos con letras en imprenta

mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones de

un punto.

Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con

líneas que no se doblan.

Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar

diversas superficies planas, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de

block, etc.

 

Axiomas de Conexión I Axioma I – 1

Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos  a=AB o a=BA.

También usaremos otras formas de expresión, podemos decir que A “yace sobre” a, A

es un punto de a, a pasa por A y por B. Si A yace al mismo tiempo sobre otra recta b,

diremos que a y b tienen un punto en común, A.

Axioma I – 2

Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB

y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.

Axioma I – 3

Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un

plano, escribiremos ABC=α.

Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de

α.

Axioma I- 4

Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la

misma recta, determinan completamente ese plano.

Axioma I – 5

Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de

a están en el plano α.

En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.

Axioma I – 6

Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en

común.

Axioma I- 7

En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos

que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el

mismo plano.

Los axiomas 1 y 2 están relacionados con la geometría planas, serán llamados

axiomas del plano.

Los axiomas 3 a 7 serán llamados axiomas del espacio.

Teorema 1

Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos

planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta

que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.

Teorema 2

Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un

punto en común, un único plano puede pasar por ellos.

LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA Y LOS 5 GRUPOS DE AXIOMAS Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …

Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …

Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …

Los puntos s on los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de

la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del

espacio.

Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con

palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc.  Una completa

descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la

geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí

mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.

I – Axiomas de conexión (1 – 7)

II – Axiomas de orden (1 – 5)

III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)

IV – Axiomas de congruencia (1 – 6)

V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes) 

CUÁLES SON LOS 7 AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA

Los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos los cuales

deben ser definidos en función al punto, la recta y el plano.

En los diferentes tipos de geometría sintética se distinguen cuatro grupos de axiomas.

Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría

de otra

Existencia e Incidencia

Son aquellos axiomas que nos dan las condiciones para asegurar la existencia de

puntos, rectas y planos y cómo inciden unos en otros.

Para determinar una recta, son necesarios dos puntos distintos. En cambio, para

determinar un plano son necesarios tres.

Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano. Si dos

puntos de una recta están en otra recta, ambas rectas coinciden (son la misma).

Ordenación

Estos axiomas ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos

como recta. Se dividen en:

Axioma de Ordenación: Dados tres puntos distintos sobre una recta, uno está entre los

otros dos. Asegura que todo segmento sea divisible. Si seleccionamos un punto cualquiera

en una recta, el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están

en un lado y los que están en el otro).

Axioma de Pascho: Este axioma garantiza que una recta divide a los puntos del plano

en dos categorías (los que están de un lado se considera un movimiento). Dado un triángulo

y una recta que no pasa por sus vértices, o la recta es externa al triángulo, o pasa por dos de

los lados.

Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano

determinado por la misma en otro determinado por la otra.

Congruencia

Se definen los conceptos siguientes:

Segmento: Conjunto de puntos consecutivos limitados por otros dos puntos dentro de

una recta.

Ángulo: Un punto y un par de semirrectas que parten de él.

Sobre estos dos conceptos se postula la existencia de una relación de congruencia

que es el equivalente axiomático de los movimientos. Básicamente, dados dos segmentos o

dos ángulos, se acepta la existencia de un método que permite decir si son congruentes o

no, basado en los siguientes postulados:

Todo segmento es congruente consigo mismo.

Si un segmento es congruente con uno dado, el dado es congruente con el primero.

Si dos segmentos son congruentes con un tercero son congruentes entre ellos.

Dados dos segmentos formando un ángulo, congruentes con otros dos que forman un ángulo

congruente, al unir los extremos sueltos para formar dos triángulos, los tres lados y los tres

ángulos serán congruentes

Continuidad

Axioma de Arquímedes: Se impone que un segmento pueda dividirse en dos

indefinidamente.

Axioma de la plenitud: Se impone que el conjunto de puntos de una línea no pueda ser

ampliado mediante cierres (límites de sucesiones).

Axiomas básicos de geometría

Una axiomatización práctica la formuló Euclides y consta de 5 postulados. Más tarde,

con el advenimiento de la Teoría de conjuntos, David Hilbert propuso unos axiomas (más

formales) para la Geometría plana, que se pueden clasificar como sigue:

- Axiomas de incidencia: Relativos a si dos lugares se cortan o no

1-Para cada dos puntos distintos P y QUE existe una recta única que pasa por(indice

en) ellos.

2-Para cada recta existen al menos dos puntos distintos incidentes con ella.

3-Existen tres puntos de forma que no hay ninguna línea que pase por los tres. (es

decir, dimensión mínima = 2)

- Axiomas de orden (relativo al orden de los puntos dentro de una misma recta)

Se introduce el orden *, de forma que A*B*C se lee "B está entre A y C".

Denotaré r(A,B) la recta determinada por A y B, si A=/=B (A distinto de B)

1-Si A*B*C, entonces A,B, y C son tres puntos distintos que están en la misma recta y

además C*A*B.

2- Dados dos puntos distintos B y D, existen tres puntos A, C, y E de r(B,D), de forma

que A*B*D, B*C*D, y B*D*E.

3-Dados tres puntos distintos sobre la misma recta, sólo uno de ellos está entre los

otros dos. (orden total)

El siguiente axioma limita la dimensión a 2. Se define que dos puntos A y B están a un

mismo lado de una recta r si A=B o r(A, B) no incide con r. Se dirá que están en lados

opuestos en caso contrario.

4-(Axioma de separación de planos) Para toda recta r, y puntos A, B, y C cualesquiera,

que no estén sobre r:

(1) Si A y B están al mismo lado de r, y B y C están al mismo lado de r, entonces A y C

están al mismo lado de r.

(2) Si A y B están en lados opuestos de r, y B y C están en lados opuestos de r,

entonces A y C están en el mismo lado de r.

Este axioma es complicado, pero sólo intenta decir que una recta bisecciona el

espacio (esto no sucede en 3D dada la definición de "estar al mismo lado" dada arriba).

- Axiomas de congruencia (se refieren a la comparación de objetos)

AB==CD significará que "los segmentos AB y CD tienen la misma longitud" (o que "AB

es congruente con CD"). Un segmento PQ, dados dos puntos distintos P y Q, es el conjunto

de puntos X, de forma que P*X*Q. Denotaré por A->B (A=/=B) el rayo que va desde A hasta

B, es decir, el conjunto de puntos X tales que A*X*B o A*B*X.

C1-Si A y B son dos puntos distintos, y C un punto cualquiera, entonces para todo

rayo l que parte de C, existe un único punto D en l tal que D=/=C y AB==CD.

C2-Si AB==CD y ED==CD , entonces AB==ED (transitiva). Además todo punto es

congruente consigo mismo (reflexiva).

C3-Si A*B*C, A'*B'*C', AB==A'B', y BC==B'C', entonces AC==A'C'.

En el siguiente se usa el concepto de ángulo, que denotaré por <ABC, para un ángulo

delimitado por los rayos B->A y B->C.

C4-Dado cualquier ángulo <ABC, y cualquier rayo A'->B, existe un único rayo A'->C en

un lado dado de la recta r(A', B') tal que <BAC==<B'A'C'.

C5-Si dos ángulos <X e <Y son congruentes (tienen la misma apertura) a un tercero

<Z, entonces <X == <Y.

C6-(primer axioma sobre triángulos que, curiosamente, Euclides da como teorema) Si

dos lados de un triángulo T, que forman un ángulo <alfa, son iguales a dos lados de otro

triángulo T', que forman un ángulo <beta, y <alfa == <beta, entonces T == T' (ambos

triángulos son congruentes).

Definición: dos triángulos son congruentes si sus lados son congruentes (los tres de

cada uno y de alguna forma) y sus ángulos también lo son.

Sólo faltan los axiomas que Euclides no pudo concretar, por su dificultad:

- Axiomas de continuidad

-Axioma de Arquímedes. Nos dice que si tenemos un rayo y un punto de

AXIOMA DEL CONJUNTO VACÍO

En teoría de conjuntos, el axioma del conjunto vacío es un axioma que postula la

existencia de un conjunto vacío, es decir, un conjunto sin elementos.

Enunciado

Axioma del conjunto vacío

Mediante el axioma de extensionalidad puede demostrarse que sólo existe un conjunto

sin elementos (ya que un conjunto se define únicamente por estos), por lo que puede

hablarse con propiedad del conjunto vacío:

Consistencia relativa

El axioma del conjunto vacío (CV) es el único axioma de la teoría de conjuntos de

Zermelo-Fraenkel (ZF) y de la teoría de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) que postula

directamente la existencia de un conjunto, junto con el axioma del infinito. Precisamente este

último hace innecesario CV, pues postula también la existencia de ∅. En general, en

presencia de un axioma que postule la existencia de algún conjunto (como ocurre en lógica,

donde la existencia de al menos un objeto a veces está garantizada) CV se vuelve

redundante mediante el axioma de separación: basta con construir un subconjunto cuyos

elementos cumplan una propiedad contradictoria.

AXIOMA DEL CONJUNTO POTENCIA

En teoría de conjuntos, el axioma del conjunto potencia es un axioma que postula la

existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto; es decir, del conjunto de todos los

subconjuntos de un conjunto dado.

Enunciado

El axioma del conjunto potencia afirma que dado un conjunto, existe otro que cuyos

elementos son exactamente los subconjuntos del inicial:

Axioma del conjunto

potencia

De este modo se puede designar con propiedad el conjunto potencia de un conjunto

dado A:

Consistencia relativa

El axioma del conjunto potencia (CP) está en un estado similar al axioma del infinito:

no puede ser demostrado a partir del resto de axiomas de ZF (ni NBG), ya que su negación

es consistente con ellos (siempre que estos sean consistentes a su vez). Para demostrar

esto se comprueba que existe un modelo de ZF en el que CP es falso. Este modelo es la

colección de todos los conjuntos «hereditariamente numerables»: conjuntos numerables

cuyos elementos son también conjuntos numerables, que a su vez también están formados

por conjuntos numerables, etc. El segundo teorema de incompletitud de Gödel asegura

entonces que CP no es consecuencia del resto de axiomas de ZF, ya que constituiría una

demostración de la consistencia de estos.

AXIOMA DEL PAR

En teoría de conjuntos, el axioma del par es un axioma que asegura la existencia de

un conjunto que contiene como elementos dos objetos cualesquiera dados previamente.

Enunciado

El axioma del par afirma que dados dos conjuntos (u otros objetos de la teoría), existe

un conjunto con exactamente esos elementos. Su enunciado formal es:

Axioma del par

El axioma de extensionalidad asegura que este conjunto es único, por lo que se

demuestra la existencia del conjunto {A, B}, definido como:

Consistencia relativa

El axioma del par aparece en los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-

Fraenkel y de la teoría de Neumann-Bernays-Gödel. Sin embargo, es demostrable a partir

del resto de axiomas, en particular del axioma de reemplazo junto con el axioma del conjunto

potencia y el axioma del conjunto vacío, por ejemplo.

AXIOMA DE UNIÓN

En teoría de conjuntos, el axioma de unión es un axioma que postula que la unión de

una colección de conjuntos cualesquiera existe.

Enunciado

El axioma de unión afirma sencillamente que la unión de una familia de conjuntos —el

conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto de la familia— existe:

Axioma de unión

En palabras: «para cada conjunto A existe otro, X, compuesto exactamente por los

elementos de los elementos de A». Esto permite hablar con propiedad de la unión de un

conjunto —la unión de todos sus elementos—:

La unión de dos conjuntos —o un número finito cualquiera— es un caso particular de

esta construcción:

y, adoptando el axioma del par, existe siempre.

Consistencia relativa

El axioma de unión (AU) es completamente independiente del resto de axiomas de

Zermelo-Fraenkel (ZF). En la gran mayoría de los modelos de ZF que se construyen AU es

cierto, por lo que es consistente con el resto de axiomas. Por otro lado, existen modelos de

ZFC (incluyendo el axioma de elección) en los que el axioma de unión es falso, por lo que no

puede demostrarse del resto de ZFC (ni del resto ZF en particular).

AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD

En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que

dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.

Enunciado

El enunciado del axioma establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos

entonces son idénticos:

Axioma de extensionalidad

La afirmación recíproca —dos conjuntos iguales tienen los mismos elementos— es un

teorema lógico. Un enunciado equivalente, utilizando la noción de subconjunto, es:

Dados dos conjuntos, A y B, tales que cada uno es subconjunto del otro, A ⊆ B y B ⊆ A, entonces son iguales, A = B.

El axioma de extensionalidad constituye la definición fundamental del concepto de

conjunto como una colección abstracta de objetos. El axioma de extensionalidad asegura

que los elementos x de un conjunto A son lo único que lo define, es decir, los objetos que

están relacionados con él por la relación de pertenencia, x ∈ A. Esto constrasta con otras

relaciones como por ejemplo, «ser un divisor primo»: los únicos divisores primos de 6 y de 12

son 2 y 3, pero ambos números son distintos, 6 ≠ 12.

Consistencia relativa

El axioma de extensionalidad (Ex) es completamente independiente del resto de

axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). La práctica totalidad de los modelos que se construyen

para ZF incluyen Ex, luego es consistente con el resto de axiomas. Por otro lado, a partir del

modelo de los conjuntos hereditariamente finitos puede construirse otro donde conjuntos con

los mismos elementos no sean idénticos pero respetando el resto de axiomas, por lo que Ex

no es derivable de estos

AXIOMA DE ELECCIÓN DEPENDIENTE

El axioma de elección dependiente es una forma más débil del axioma de elección,

que permite construir la mayor parte de las matemáticas, mientras se evitan problemas tales

como la paradoja de Banach-Tarski, en contraste, algunas demostraciones tales como el

teorema general de Tychonoff no son posibles (dado que tal teorema, por ejemplo, es

equivalente al axioma de elección).

Enunciado formal

Para cuales sean conjuntos A y la relación binaria

AXIOMA DEL INFINITO

En teoría de conjuntos, el axioma del infinito es un axioma que garantiza la existencia

de un conjunto con un número infinito de elementos.

Enunciado

El axioma del infinito asegura la existencia de un conjunto infinito en el sentido de

Dedekind: un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto

propio de sí mismo. El enunciado más habitual se basa en propiedad equivalente del

conjunto inductivo:

Axioma del infinito

Es decir, se postula la existencia de un conjunto inductivo, es decir, que contiene al

conjunto vacío, y al «sucesor» x ∪ {x} de cada uno de sus elementos x. De este modo se

asegura la existencia de un conjunto que contiene a los números naturales en la construcción

conjuntista habitual:

Independencia

El axioma del infinito (AI) no puede demostrarse a partir del resto de axiomas de la

teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF), si estos son consistentes —denotados en conjunto como

ZF−AI—.1 Puede probarse que todos ellos son ciertos al restringirse a un «universo» de

conjuntos finitos escogidos con cuidado (los conjuntos hereditariamente finitos). Es decir, los

axiomas de ZF —incluyendo AI— demuestran la existencia de un modelo para ZF−AI+¬AI —

ZF sustituyendo AI por su negación—. Por lo tanto, una demostración de AI a partir de ZF−AI

daría lugar a una demostración de la consistencia de ZF−AI, en contradicción con el segundo

teorema de incompletitud de Gödel. La situación es idéntica en la teoría de conjuntos de Von

Neumann-Bernays-Gödel.