Lección

1Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio deinducciónIntroducciónEn esta lección quiero que entiendas la importancia de disponer de un “marco de referen-cia”. Trataré de explicarme. Para empezar, voy a proponerteunos ejercicios muy sencillos.1. ¿Sabes probar que0x=0? Inténtalo.2. ¿Qué entiendes por−x? ¿Es cierto que−xes negativo?3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad(−x)y=−xy. ¿Sabes probarla?4. Demuestra que six,0entoncesx2

>0(en consecuencia

1>0).5. ¿Sabes por qué no se puede dividir por0?6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud√2. ¿Y de longitud√3?7. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que√2no es racional.Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que hasolvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te piden que lasdemuestres! Puedo imaginar tu reac-ción ¿que demuestre que0x=0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es así!¿cómo se puede demostrar tal cosa?.Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situacioneslo más frecuente es“quedarse colgado”con lamente en blancosin saber qué hacer. Para evitarese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir enunas propiedades de los números (axiomas, si quieres llamarlas así) que vamos a aceptar comopunto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, ju

nto con las reglas de inferencia lógi-ca usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados (teoremas) quepodremos usar para seguir avanzando. Simplificando un poco,puede decirse que en matemá-ticas no hay nada más que axiomas y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones1Números reales. Propiedades algebraicas y de orden2indecidibles...). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo0x=0es un teorema.Ocurre que el nombreteoremase reserva para resultados que se consideran realmente impor-tantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos:corolario,lema,proposicióny otros. Pero la estructura de unateoría matemática elaboradase resume enun conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencialógica.Es conveniente recordar las propiedades de los números reales porque son ellas las quenos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualda-des. Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjateque algunos de los conceptos más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades(por ejemplo, la definición de sucesión convergente o de límite de una función en un punto).Por ello, tan importante como saber realizar cálculos más o m

enos complicados, es aprendera manejar correctamente desigualdades, y la única manera dehacerlo es con la práctica me-diante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempredeben respetarse cuidadosamentelas reglas generales que gobiernan las desigualdades entrenúmerosy asegurarse de que se usancorrectamente. Aparte de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo te-nemos que proceder en cada caso particular.