Prof. Martha Medalit Campos Villegas

CICLO 2013 - 3 Módulo I

Unidad: I Semana: 1

MÉTODOS NUMÉRICOS

ORIENTACIONES

• Siga cuidadosamente todas las

definiciones hechas.

• Resuelva paso a paso los ejemplos y

ejercicios propuestos.

• Revise los links correspondiente a esta

semana.

TEORIA DE ERRORES

Una de las cosas que caracteriza al mundo físico que

nos rodea es la imprecisión, hasta el punto de que

cuando afirmamos que conocemos el valor de una

determinada magnitud, lo que en realidad afirmamos es

que conocemos la medida del error cometido

CONTENIDOS TEMÁTICOS

• Conceptos Básicos. Características de los instrumentos de medida

Fidelidad y Exactitud

Cifras significativas

Reglas para expresar una medida.

• Teoría de Errores. Error por redondeo y por truncamiento

Error Absoluto, Relativo y Porcentual

• Cifras Significativas Exactas.

Características de los instrumentos de medida.

La obtención de los datos experimentales es una tarea

fundamental para el científico. Para ello es preciso medir las

magnitudes físicas interesadas y decidir si las medidas están

bien o mal hechas. Los datos experimentales se obtienen

mediante instrumentos de medida; por tanto, es necesario

evaluar la bondad de los datos

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Semana - 01

Conceptos Básicos

En general, un instrumento de medida tiene un indicador cuya

posición I en una escala varía en función de una magnitud M a

medir. Las cualidades más interesantes de los instrumentos de

medida son:

Fidelidad: Un instrumento de medida es fiel si al realizar diversas

medidas de una misma magnitud M, en las mismas condiciones,

se obtienen resultados idénticos de la indicación I en la escala.

Exactitud: Un instrumento de medida es exacto cuando las

indicaciones sobre la escala obtenidas con el mismo dan el valor

real de la magnitud física.

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Conceptos Básicos

Ejemplo:

Se conoce que el valor real de las masa de un objeto es 1,55 g.

Realizamos cinco medidas de la masa con una balanza fiel pero poco

exacta, otras cinco con una balanza poco fiel y poco exacta y otras cinco

con una balanza fiel y exacta.

Los resultados de las cinco medidas con una balanza fiel pero poco

exacta podrían ser: {1,21; 1,22; 1,21; 1,21; 1,21}

Los resultados de las cinco medidas con una balanza poco fiel y poco

exacta podrían ser: {1,25; 1,70; 1,40; 1,65; 1,20}

Los resultados de las cinco medidas con una balanza fiel y exacta

podrían ser: {1,55; 1,54; 1,55; 1,56; 1,55}

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Conceptos Básicos

Cifras Significativas

En el sistema decimal consideramos un cierto número real el cual se

encuentra representado mediante un numeral N de modo que su

descomposición polinómica sea:

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Se llaman cifras significativas

Conceptos Básicos

Ejemplos de cifras significativas:

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Conceptos Básicos

Cifras Significativas

ORDEN DE UN NUMERO (m):

Denominaremos orden de un número al mayor valor que adopta el

exponente de 10 en la descomposición polinómica del numeral,

asumiendo que su coeficiente es diferente de cero.

Ejemplos:

N = 24.065 m = 1

N = 0.00258 m = - 3

N = 12.56 m = 1

N = 0.0105 m = -2

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REGLAS PARA EXPRESAR UNA MEDIDA.

Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio

debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a

continuación, las unidades empleadas.

Los errores se deben dar solamente con una única cifra

significativa.

La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en

su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder

al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas,

centésimas).

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Conceptos Básicos

Ejemplos:

Expresiones Incorrectas Expresiones Correctas

23.463 ± 0.165 cm

45.214 ± 3.10 mm

12 ± 0.06 m

-2.02 ± 0.017 m

23.5 ± 0.2 cm

45 ± 3 mm

12.00 ± 0.06 m

-2.02 ± 0.01 m

Observación: El error se expresa con una cifra significativa, por lo que el

valor aproximado debe tener la misma cantidad de decimales.

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Conceptos Básicos

Teoría de Errores

NUMEROS EXACTOS E INEXACTOS

Al escribir o manipular números debemos distinguir los números exactos

de los inexactos.

Como ejemplo de números exactos tenemos:

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Y los números inexactos son todos aquellos que expresan el

resultado de mediciones experimentales

Tipos de Errores

ERROR POR REDONDEO

Es la imposibilidad que tienen algunas herramientas de cálculo, en

poder representar al número con todas sus cifras.

Ejemplo1: N = 1 / 6 = 0.166666666….7

Podemos tomar como valor aproximado a 0.16667.

Ejemplo2: N =

Podemos tomar como valor aproximado a 1.41

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Tipos de Errores

ERROR POR TRUNCAMIENTO

Los errores por truncamiento son debido a la omisión de términos en

una serie que tiene un número infinito de términos.

Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el

seno de cualquier ángulo X, expresado en radianes:

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........!

X

!

X

!

XX)x(Sen

753

753

TRUNCAR ERROR POR

TRUNCAMIENTO

Tipos de Errores

ERROR ABSOLUTO (∆x)

Es la diferencia positiva del valor exacto y el valor aproximado.

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aproximadovalor:X

exactovalor:X

Sabemos que:

O También

Tipos de Errores

ERROR RELATIVO (δx)

Es el cociente del error absoluto entre el valor exacto o el valor

aproximado.

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ERROR PORCENTUAL (EP %= δx*100)

Es la multiplicación del error relativo por 100.

Cifras Significativas Exactas (n)

TEOREMA 1:

Sea x un número aproximado, se dice que sus ‘n’ primeras

cifras significativas son exactas si cumple lo siguiente:

Donde m: orden del número aproximado

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Cifras Significativas Exactas (n)

TEOREMA 2:

Sea x un número aproximado, se dice que sus ‘k’ primeros

decimales son cifras exactas si cumple lo siguiente:

Donde k: cantidad de decimales

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Cifras Significativas Exactas (n)

Ejemplo 1:

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Sean:

X = 34.8762 y X = 34.885

Luego:

009088534876234 ...xxx

Por teorema 1, sabemos que m =1

111 105000901050 nnm

x *..*.

nn*.*. 2121 1010105010090

3

21

n

n

Cifras Significativas Exactas (n)

Ejemplo 2:

Justificando adecuadamente escriba los dígitos correctos que

tienen los siguientes números aproximados:

0.0006 0.0006

0.0006

0.06

Cifras Significativas Exactas (n)

Ejemplo 2:

Justificando adecuadamente escriba los dígitos correctos que

tienen los siguientes números aproximados:

Escriba verdadero (V) o falso (F) correspondiente a como se debe mostrar

un medida.

En caso sea falsa su respuesta, escriba la expresión correcta.

Actividades Sugeridas

Actividades Sugeridas

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Semana - 01

Para los siguientes números aproximados, cálcule sus dígitos correctos

03004570

0003025480

10253

.,.y)c

..)b

%,.x)a

y

x

GRACIAS