Ayudas+Mnemotecnicas Para Aprender Facilmente Relaciones E Identidades Trigonometricas

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Las Técnicas para Memorizar ( Mnemotecnia), han sido aplicadas aquí, con el fin de revolucionar el A prendizaje de las Relaciones

e Identidades Trigonométricas.

A través de unos dibujos, divertidos y fáciles de aprender, podrás descubrir Un Gran Secreto:

El Hexágono Trigonométrico.

S i ubicas las Funciones Trigonométricas en torno a un Hexágono, podrás literalmente…

¡Entrar a una Nueva Dimensión!.

Una dimensión donde podrás relacionar todo entre sí y encontrar fácil y rápidamente las fórmulas que te servirán para resolver muchos de tus ejercicios de Trigonometría.

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Usa las flechas del teclado y el Ratón

para moverte dentro de los contenidos.

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LA TOR TUG A La tortuga o Hexágono Trigonométricoes la base de todos los demás dibujos, con el tiempo y la práctica bastará dibujar esta, para recordar la mayoría de las fórmulas trigonométricas.

CLIC AQUÍ PARA VER COMO SE DIBUJA FACILMENTE

LA TORTUGA

Las letras ilustradas, representan de forma simplificada los nombres de las funciones

trigonométricas:

S CTCTSCCSC

=Seno=Coseno=Tangente=Cotangente=Secante=Cosecante

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¡ E s fá c il !1. traza las líneas superior e inferior de un cuadrado imaginario.

1. traza las líneas superior e inferior de un cuadrado imaginario.

3. Luego, pon a cada lado un punto guía de modo que se esboce un hexágono.

1. traza las líneas superior e inferior de un cuadrado imaginario.

3. Luego, pon a cada lado un punto guía de modo que se esboce un hexágono.

5. Después traza las líneas faltantes.

1. traza las líneas superior e inferior de un cuadrado imaginario.

3. Luego, pon a cada lado un punto guía de modo que se esboce un hexágono.

5. Después traza las líneas faltantes.

7. Por último escribe las Funciones en el orden ilustrado.

S C

T CT

SC CSC

REGRESA

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LA flor

Con La flor podrás Jugar con 3 funciones Que se encuentren

Vecinas.

Mira dos relaciones:

1) Cada una de las funciones, es igual al producto de las que estén a cada lado suyo.

Ejemplos:

CT = C x CSC

Con La flor podrás Jugar con 3 funciones Que se encuentren

Vecinas.

Mira dos relaciones:

1) Cada una de las funciones, es igual al producto de las que estén a cada lado suyo.

Ejemplos:

CT = C x CSC

2) Cada una de las funciones, es igual a la función vecina, sobre la siguiente función

vecina tomada en la misma dirección.

Ejemplos:

T = S/C

Esta es igual a…

esta…

sobre esta.

CSC = SC x CT

T = SC/CSC

Esta es igual a…

esta…

sobre esta.

Como podrás apreciar, las relaciones son multidireccionales.

Puedes avanzar tanto en el sentido de las manecillas del reloj

(de izquierda a derecha), como en el sentido antihorario

(de derecha a izquierda).

Una forma sencilla de recordar la 2ª relación es recorriendo toda la flor en una dirección,

señalando con el dedo índice a partir de cada función, diciendo:

“Esta, es igual a Esta sobre Esta”.

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El siguiente es un listado de todas las relaciones que podrás encontrar con la flor :

S

C

CT

CSC

SC

T

S

C

CT

CSC

SC

T

S

C

CT

CSC

SC

T

= T x C

= S x CT

= C x CSC

= CT x SC

= CSC x S

= SC x S

= C / CT

= CT / CSC

= CSC / SC

= SC / T

= T / S

= S / C

= T / SC

= S / T

= C / S

= CT / C

= CSC / CT

= SC / CSC

Recuerda, siempre podrás relacionar 3 funciones que esten juntas.

Si por ejemplo hay un ejercicio donde te den los valores de Seno y Coseno,

al mirar la flor te darás cuenta que estos datos son suficiente para deducir tanto la Tangente, como la Cotangente.

También, si en otro ejercicio te dan por ejemplo: SC / CSC

al usar la flor, rapidamente podrás ver que se puede simplificar a Tangente.

¡Uff!... ¡Que montón de formulas!...Pero fresco

solo tienes que aprenderte el dibujito de la flor y las relaciones

que viste en la diapositiva anterior para recordarlas TODAS…

¡Super, ¿verdad?!

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La telaraña te ilustra una nueva dirección, dentro de toda la

multidireccionalidad de estas ayudas.

Si miras frente a frente, diametralmente,

Podrás relacionar:

S con CSC, C con SC,

yT con CT.

Relación:

•Cualquier función es igual a 1 sobre la función que tenga

al frente.

LA te la ra ña

Listado de fórmulas que se obtienen a través de esta relación:

SSC = 1 / CSCCSC = 1 / S

CS = 1 / SCSC = 1 / C

TC = 1 / CT CT = 1 / T

La telaraña también te ayuda a recordar las fórmulas básicas de

las funciones trigonométricas.

En ellas se relacionan los lados de un triángulo,

simplificados aquí de la siguiente forma:

Opuesto ( O ), Adyacente ( A ), e Hipotenusa ( H ).

Relación:

•Cada función es igual al lado que tiene arriba, sobre el lado

que tiene abajo, en la telaraña.

Por ejemplo, S = O / H, pues si usas la

telaraña, verás que en línea, tiene por arriba a O,

Y por abajo a H.

Mira las siguientes fórmulas y compara con el dibujo:

SCC = O / HCSC = H / O

CS = A / HSC = H / A

TC = O / A CT = A / O

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Ángulo

Hipotenusa (H)

Lado Adyacente (A)

Lad

o O

pu

esto

(O

)

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Como recordar la telaraña:

Dibuja primero las líneas aquí pintadas de negro, luego las de rojo, después las de azul, a continuación los círculos verdes y por último las letras. Las letras de las funciones ya las debes saber:

SC C T CT SC CSC

Los lados puedes memorizarlos así:

Aprende esta palabra: “OAHAO”. (como si algo te sorprendiera y dijeras: ¡OAHAO!)

luego colocas letra por letra siguiendo una dirección en forma de “Z”, como la ilustrada al dar clic.

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Con El boxeador recordarás sumas de cuadrados y derivadas.

Adentro del hexágono están las pistas para un grupo de relaciones.

Afuera, las del otro grupo.

E l B oxe a dor Adentro:

El número 2 en la camiseta del boxeador te recuerda que se trata

de suma de cuadrados. Todas las sumas (o restas) son iguales a 1.

S² + C² = 1 SC² - T² = 1 CSC² - CT² = 1

Las flechas a izquierda y derechate informan cual de las dos

funciones se resta.

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La línea que bordea la cabeza del Boxeador relaciona las

funciones Seno y Coseno.

Los “ojos y cejas” te ayudan a recordar los signos de las

derivadas de esas funciones.

Por ejemplo: Se que la derivada del Coseno

es igual a Seno (con signo menos), porque si sigo la línea desde el Coseno hasta el Seno,

bordeando la cabeza del Boxeador, esta dirección coincide con la que marca la ceja que cubre el signo

negativo.

Derivada de… Es igual a… S= C

C= - S

E l B oxe a dor

Afuera:

En la parte externa del hexágono están las ayudas para recordar

derivadas.

Esta vez, los signos más (+) y menos (-), no representan

sumas y restas, sino los signos de las funciones.

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E l B oxe a dorPor ejemplo:

Si quieres encontrar la derivada de la Cotangente, sigue la línea del guante que sale desde esa función, luego verás que la

línea toca en dos ocasiones a la Cosecante (la primera vez con signo

negativo).Es decir,

derivada de CT= -CSC x CSC, o sea

derivada de CT= -CSC².

Si por el contrario quieres encontrar la derivada de la Cosecante, sigue la línea del

guante que sale desde esa función, luego verás que la línea la toca de nuevo (pero esta vez con signo negativo) y por ultimo

toca a la Cotangente.

En otras palabras:

Cosecante, es igual a menos Cosecante (menos no de resta, sino como signo)

multiplicado por la Cotangente.

Siguiendo las líneas de los “guantes”, encontramos las demás

derivadas:

Derivada de… Es igual a… T = SC² SC = SC x T CT = - CSC² CSC = - CSC x CT

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¡B ue no… a pra c tic a r!

S olo cua ndo de s a rrolle s e je rc ic ioss obre e l te m a vis to,

ya s e a e n tu e ta pa e s tudia ntilComo e n la profe s iona l, te da rá s c ue nta

De la g ra n utilida d de e s ta s a yuda s .

P or lo pronto,Aquí te va un e je m plo.

S e tra ta de un punto de un pa rc ia lde c ua ndo vi m a te m á tic a s e n la “U”

Y e l c ua l m uy poc os log ra m os re s o lve r.

P a ra m í fue m uy s e nc illog ra c ia s a :

E l He xá g ono Trig onomé trico .

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Sec x dx

Csc x

6

4

Sec x . Sec x dx

Csc x

4

4

2

Tan x . Sec x dx4 2

4 . d

Integrar:

5

5

=

=

=

=

Análisis:

Ves que tienes Secante y Cosecante. Si miras en el Hexágono trigonométrico y recuerdas las relaciones explicadas en “La Flor", te darás cuenta que las puedes simplificar a Tangente (Observa el dibujo). Para ello debes igualar las potencias, sacando a un lado una Secante al cuadrado.

SCCSC

entonces… T= SCCSC

Si… T=4

4

4

Después de lo anterior, descubres que cumples los los requisitos para poder resolver la integral de la forma:

n d

…Gracias a “El Boxeador”, que te confirma que la derivada de Tangente es Secante al cuadrado. Por último solo nos queda integrar… y ¡Listo!

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Ayudas Mnemotécnicas Para Trigonometría

Imprime,

recorta alrededor, dobla por la mitad, y

has laminar estas ayudas mientras te las

aprendes.

P a ra im prim ir