B EJERCICIOS6. La suma de las medidas de dos ángulos es 70g y la diferencia de las mismas es π /...
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Trigonometría
1
EJERCICIOS 1. Del gráfico señale lo correcto
a) + + = 360° b) - - = 360°
c) - - = 360° d) + - = 360°
e) - - = 360°
2. Determine “x” en el gráfico mostrado:
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
3. En el gráfico, Halle: x
a) 270° - + b) + - 270°
c) - - 270° d) - - 270°
e) 270° + - 4. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden
70g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?
a) 35º b) 36º c) 37º d) 38º e) 39º
5. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A
a) 32 b) 33 c) 48 d) 47 e) 40
6. Dados los siguientes ángulos:
=38g; = 36°; = rad
90
π. Ordenar en forma
creciente:
a) > > b) > > c) > >
d) > = e) > = 7. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
miden (5x+6)° y (10x)g, Determine la medida del
menor ángulo en radianes.
a) /3 b) /4 c) /5 d) /6 e)/8 8. Se tiene dos ángulos cuyas medidas son 60° y 80g.
Halle la suma en el sistema radial.
a) /10 b) 7/9 c) 11/15
d) 12/17 e) N.A.
9. Si en un triángulo ABC, se tiene:
A = π/3 ; B = 100 g ; ¿cuánto mide el ángulo C en
sexagesimales?
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
10. La suma de dos ángulos es 7/20 rad y su diferencia es 40g. Halle cuánto mide el mayor ángulo en el sistema centesimal y el menor en el sistema sexagesimal.
a) 60g; 20° b) 57g; 18,5° c) 55g; 13,5°
d) 47g ; 18,5° e) 53g; 17,5°
11. Calcule:
rad4064
rad6035
6πg
3πg
M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Si 16
rad <>a0 b’
Calcule:
2a
1bE
a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 1/2 e) 3/2
C
B
A
x
Sistema de medidas angulares TEMA: 1
A
B
C
0
120g
(5x + 18)°
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2
13. Halle: x
(8x + 3)º = (7x + 9)g
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Simplifique: P = 2°30’20” + 4°13’50” + 3°48’10” señale la diferencia entre el número de minutos y grado del resultado.
a) 11 b) 22 c) 13 d) 16 e) 30
15. Un ángulo mide (6x)g y su complemento mide (12x+
3)°. ¿Cuánto mide el suplemento de dicho ángulo en radianes?
a) /20 b) 3/20 c) 7/20
d) 11/20 e) 17/20
ACTIVIDAD DE EXTENSION 1. De acuerdo al gráfico señale lo correcto:
a) - = 360° b) - = 240°
c) + = 360° d) + = 240°
e) - = 240° 2. De la figura, Calcule x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Si "'32
MQPrad
Calcule
P
MQE 6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Si la suma de medidas de dos ángulos es 18° y su
diferencia es 12g, ¿cuál es la medida sexagesimal del menor?
a) 3°16' b) 3°45' c) 4°15'
d) 3°36' e) 2°15'
5. Calcule:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. La suma de las medidas de dos ángulos es 70g y la
diferencia de las mismas es π / 16 rad. Calcule la medida sexagesimal del mayor ángulo. a) 52º b) 54º c) 56º d) 58º e) 60º
7. Siendo “n” el número de radianes de 6º 40´, Calcule:
M =
n
n
9
2
a) 1 b) 2 c) 5/2 d) 5 e) 1/7 8. La diferencia de las medidas de dos ángulos
complementarios es π /16 rad. Calcule la medida sexagesimal del menor.
a) 27º b) 28º c) 29º d) 30º e) 31º
9. Calcule “x” si: (7x + 2)º = π / 6 rad a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12
10. Se tienen los siguientes ángulos:
radα103π ; = 45° ; = 90g, Halle la diferencia
entre los mayores en el sistema radial.
a) /20 b) 3/10 c) 5/7
d) 3/20 e) N.A. 11. Los ángulos internos de un triángulo ABC miden:
A = (8x)°; B = (30x)g y c=(5πx/36) rad.
Calcule cuánto mide el mayor, en grados sexagesimales.
a) 60° b) 75° c) 81° d) 87° e) N.A.
12. Un ángulo mide (6x)g y su complemento mide
(12x + 3)°. ¿Cuánto mide el suplemento de dicho ángulo en radianes?
a) 203
b) 22
5 c) 25
7
d) 26
9 e) 20
17
13. La medida de un ángulo en radianes es:
rad3π
4kπ y en el sistema sexagesimal es
465°. Calcule el valor de K.
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) N.A. 14. Calcule la medida centesimal de la siguiente suma:
β = 72º + π / 5 rad
a) 100g b) 110g c) 120g d) 130g e) 120g
rad2
5440K
g
120°
7x + 1
x°
rad
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Trigonometría
3
EJERCICIOS 1. Calcule la medida de un ángulo en radianes si:
10040
109
RCS
a) rad2
3 b) rad3
4 c) rad4
5
d) rad5
6 e) rad2
3
2. Reduce: 27
C S
C S
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. Calcule un ángulo en radianes si se cumple:
CS
R
CS .
112
a) rad10
b) rad9
c) rad100
d) rad90
e) rad10
9
4. Si: S = a3+a2+a+2 C = a3+a2+a+7 Halle “R”
a) /10 b) /8 c) /6 d) /5 e)/4
5. Calcule un ángulo en centesimales si se cumple:
10/38 RCS
a) 38g b) 20g c) 40g d) 10g e) 19g
6. Simplifique: 3 2
2
C SM
S C
a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5 d) 5/2 e) 7/2
7. Determine la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:
325C2S
a) /5 b) 2/5 c) 3/5
d) 4/5 e)
8. Simplifique:
R
SCSC
119
a) 1
b) 5
c) 8
d) 20
e) N.A.
9. Calcule la medida de un ángulo en radianes, si: S=n2 + 3n + 5 y C=n2 + 4n + 10
a) 3/4 b) /3 c) /2
d) 3/20 e) N.A. 10. Halle: R
3
22
π200
RC
18
S
S, C y R son lo convencional. a) 2/3 b) 3/2 c)4 /3
d) 3/4 e) 11. Si se cumple:
100π
π76222 10RRSC
Halle el ángulo en radianes.
a) /10 b) /20 c) /5
d) /2 e)
12. Si se tiene: 200102
SCCS
Halle el ángulo en grados sexagesimales. a) 72° b) 144° C) 216° d) 288° e) 36°
13. Calcule:
R
Sabiendo: RCS 25
a)
10 b)
20
c)
16
d)
20 e) 2
10
14. Si se cumple la siguiente condición, Calcule: R
3
2
SC
CS2
2
a) 11π/210 b) 12π/213 c) 11π/215 d) 12π/215 e) 11π/120
15. Halle: x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 3 3
Relación entre sistemas TEMA: 2
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4
ACTIVIDAD DE EXTENSION
1. Sabiendo que “S” y”C” lo convencional determine un ángulo en radianes si se cumple: C-S= 0,2.
a) /10 b) /20 c) /100
d) /200 e) 10
2. Simplifique: 2
S CE
S C
a) 19/18 b) 18/19 c) 8/19
d) 12/19 e) 14/5
3. Reduce la siguiente expresión: 3S C
EC S
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
4. Calcule la medida de un ángulo en grados sexagesimales, sabiendo que se cumple:
16252
CCS
a) 9° b) 18° c) 27° d) 36° e) 45°
5. Calcule la medida de un ángulo en radianes:
30
56
2
2
xxC
xxS
a) /2 b)3 /10 c) /5
d) /3 e) / 10
6. Calcule el valor de:
1R
π
C
100
S
90
Si: S y C son los convencionales.
a) 180° b) 200g c) rad
d) 4rad e) 400g
7. Cuanto mide el ángulo que cumple la siguiente
relación:
S + C + R = 95 + π/4rad a) 50g b) 30° c) 50°
d) 45g e) 25°
8. Reduce:
RSCRP
20020
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5
9. Simplifique la siguiente expresión:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5 10. Al Reduce la siguiente expresión:
Se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5 11. Señale la medida del ángulo en radianes, si se
verifica:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e)9
12. Reduce:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5
13. Simplifique la siguiente expresión:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5
14. Reduce:
a) 10 b) 20 c) 40
d) 60 e) 80 15. Indique el valor de : M
2
22
22
2
S)(C
)S14(C6
SC
S)5(C4M
a) 19 b) 1919 c) 19
d) 1/19 e)1
1S-C
C2-S5
S-C
SCJ
R30-C-S2
R40S-C2J
11
R4
S-C2
S-C
3
S-C
C-S2J
3
S
R40-2
C
A
2
2
R380
)SC)(S-C(P
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Trigonometría
5
EJERCICIOS
1. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el arco 4πm. ¿Cuánto mide el radio?
a) 10m b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
2. Del gráfico, Halle: x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Del gráfico determine "q" en función de a, b y c.
a) (a-b)c b) (a+b)c c) (a-b)/c d) (b-a)/c e) N.A.
4. Calcule la longitud de un arco, correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia de radio 8m.
a) 360m b) 4πm c) 2πm d) πm e) 720m
5. Calcule el área de un sector circular de radio 6m, de ángulo central 60°.
a) 3m2 b) 4m2 c) 6m2
d) 8m2 e) 12m2 6. Del gráfico Halle: “S”
a) 2u² b) 4u² c) 6u² d) 8u² e) 10u²
7. Del gráfico, Halle: S2 / S1
a) 5u² b) 10u² c) 15u² d) 16u² e) 21u²
8. Del gráfico, Halle: “S”
a) π+ 2 b) π- 2 c) π- 1 d) 2π- 1 e) 2(π- 2)
9. Del gráfico, Halle "S"; si: S1 = π/3
a) π b) 2π c) 2π/3 d) 3π e) π/2 10. Un sector circular tiene área "S". Si duplicamos el
ángulo central sin alterar el radio; el nuevo sector tendría como área: a) S b) 2S c) 4S d) 8S e) S/2
11. Calcule el área de un sector circular cuyo arco es el
doble de la inversa del radio. a) 1/4 b) 1 c) 2 d) 1/2 e) 4
Longitud de arco, área de un sector circular y número de
vueltas
TEMA: 3
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6
12. El arco de un sector circular disminuye en un 20% y su radio aumenta en un 50% ¿Cómo varía el área del sector?
a) Aumenta en un 10% b) Disminuye 10% c) Aumenta 20% d) Disminuye 20% e) Sigue igual
13. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio 2 al ir de "A" hasta "B"?
a) 1 b) 2 c) 1,5 d) 2,5 e) 1,25
14. Calcule el número de vueltas que da la rueda de radio R, al trasladarse desde P hasta chocar con la pared.
a) D/2 R b) D/ R c) D-R/2 R
d) D-R/ R e) D-2R/
15. De la figura mostrada Determine cuantas vueltas da la rueda de radio “R” sobre la pista circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R=9r)
a) 2 b) 1 c) 3 d) 1,5 e) 2,5
ACTIVIDAD DE EXTENSION
1. Calcule la longitud de un arco, si se sabe que tiene
un ángulo central de 60° y un radio de 6
a)π b) 2π c) 3π d)4π e) π/3
2. En un sector circular de radio 9m.; el arco mide πm.
¿Cuánto mide el ángulo central?
a)π/4rad b) π/3 c) π/9 d)π/6 e) π/18
3. Halle: x
a)1 b) 1/2 c) 1/3 d)2 e) 3
4. Del grafico Calcule: x
a)2 b) 3 c) 4 d)1 e) 5
5. Calcule el área de un sector circular de ángulo
central 20° de radio 10m.
a) 50m2 b) (50/2)m2 c) (50/9)m2
d) 10m2 e)16m2
6. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el radio 5cm. ¿Cuál es su área?
a) 1,5πcm2 b) 2,5π cm2 c) 3,5π cm2
d) 4,5π cm2 e) 5,5π cm2
O
C
A
D
B
42
R
3
R
3
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Trigonometría
7
S
C
A
D
B
O 3Lx
S 2a
b
7. Del gráfico mostrado, Calcule el área de la región
sombreada.
a) 6m2 b) 5m2 c) 7m2
d) 8m2 e) 12m2
8. Del gráfico, Halle: S1 / S2
a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/4 e) 4
9. Del gráfico, Calcule: S1 / S2
a) 0,2 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 0,5
10. Determine el área de la región sombreada.
a) 30,5u² b) 31,5u² c) 32,5u² d) 33,5u² e) 34,5u²
11. Calcule el área sombreada:
a) 2ab b) ab c) ab/2 d) a+b e) ab/4
12. Si: S=5L² ; entonces: Calcule: “x”
a) 2L b) 5L c) 4L d) 3L e) 6L
13. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x+1) m
y (x-1) m si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas ¿Cuántas vueltas en total darán las dos ruedas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se muestra en la figura. Calcule cuantas vueltas dará hasta que
llegue a su posición inicial (R=5r)
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. Calcule el número de vueltas que da la rueda de
radio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.
a) 2r/R b) r/2R c) R/2r d) R/r e) 2R
CA
D
B
O 2x+1
x+1
x+1
4
x
A
O
B
DC
3m
7m
4rad
S2
A
B
O S1
S S1 S2
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8
EJERCICIOS
1. Si: 41
9Cosx
Halle: TgxSecxE
a) 3 b) –3 c) 1/3 d) –1/3 e) 9
2. Si: 22
22
nm
nmSecx
Halle: E = Cscx – Ctgx
a) nm
nm
b)
nm
nm
c)
nm
2mn
d) m
n e)
n
m
3. Si: n
mSenA
¿A qué es igual: E= (22 mn ).TgA?
a) n b) m c) m2 d) n2 e) m/n
4. Halle: BC. Si: SecA = 2,6 y BC – AC = 21cm a) 36cm b) 24cm c) 42cm d) 30cm e) 28cm
5. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus
ángulos agudos es 0,96, si su hipotenusa mide 50cm. Halle el perímetro de dicho triángulo. a) 56cm b) 112cm c) 224cm d) 316cm e) 412cm
6. En un triángulo rectángulo ABC (C=90°), se tiene que: SenA = 3SenB. Calcule: E = SenA.CosA a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
7. Calcule: Tgθ
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2 e) 4
8. En un triángulo rectángulo recto en “A”. Calcule el cateto “b” si se tiene que:
2a
16TgB . SenC . SenB
a) 16 b) 8 c) 22 d) 4 e) 29
9. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
Simplifique:
E = sec2A + 2tanAtanC – cot2C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se
cumple: 2
3TgCTgA
Determine: SenA.Sen C a) 3/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/2 e) 2
11. Del grafico AO = OB, Calcule: Ctgθ
a) 3 +1 b) 12 c) 132
d) 132 e) 2 + 3
12. Si: x y son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y además:
Tgy
bCscx Ctgy
Ctgx
aSecy Tgx
Determine: a.b – 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Si el área de un triángulo rectángulo BAC (Recto en A) es de 5m2 y SenB = 2SenC. Halle el Perímetro del triángulo
a) 10m b) m
2
5315
c) m 5215
d) m 55 e) m 535
14. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) de lados
a; b y c se cumple que:
3
2
b
bp
Si “p” es el semiperímetro del triángulo, Calcule el seno del menor ángulo agudo a) 11/5 b) 20/31 c) 11/29 d) 20/29 e) 15/25
A C
B
Razones trigonométricas de ángulos agudos TEMA: 4
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Trigonometría
9
ACTIVIDAD DE EXTENSION
1. En un triángulo rectángulo ABC (C=90°), se cumple: 4TgA = 9TgB Calcule: SecA
a) 2
5 b)
3
52 c)
3
32
d) 3
13 e)
2
13
2. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) Reduce:
F = senAsecC + cosAcscC
a) 2ac b) ac c) 2.a2c2 d) 2 e) 4
3. Del gráfico. Halle “Tg”
5x+4
4x+5
3x-2
a) 1/2 b) 1/3 c) 7/15 d) 8/15 e) N.A. 4. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en B).
Reduce la expresión:
ac
TgAc TgcaE
22
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4 5. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe
que: b = 3a. Calcule:
E = cot2A + 4 a) 5 b) 9 c) 13 d) 12 e) 17
6. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe
que: b = 3 y c = 1. Calcule: C = seca.tgA
a) 2 b) 22 c) 32
d) 62 e) 122 7. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) se sabe que:
c = 3a. Calcule:
M = csc2A + tgC a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
8. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe
que: b = 13 y a = 5. Obtener el valor de:
A = secC + tgC a) 1 b) 2 c) 5 d) 1/5 e) 10 9. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe
que: a+b = 3c. Calcule:
S = secA + tgA a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/3 e) 6
10. Si ABCD es un cuadrado, calcule: Csc
a) 5/3 b) 25/3 c) 71/5
d) 73 /3 e) 73 /8
11. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se
cumple que: SecA – CtgC = 3TgA. Calcule: TgC
a) 3 b) 10 c) 10 /3
d) 15 /3 e) 15
12. Del gráfico, obtener: Cosα
a) 2/3 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/8 e) 1/2
13. Sabiendo que es un ángulo agudo y que Ctg = 20/21. Calcule:
E = 4Cos + 3
1Sen
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Si: Tg = 3
2 y Cos =
3
2
( y son agudos), Calcule:
N = 2 13 .Cos + 7 10 .Sen a) 14 b) 18 c) 20 d) 24 e) 26
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I Bimestre – 5° Grado de Secundaria
10
EJERCICIOS
1. Calcule:
Sen45 . Sec45
Cos60Sen37E
a) 1,2 b) 1,3 c) 1,1 d) 0,2 e) 0,8
2. Resolver: 2x . Sen30° – Tg45° = Sec60° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Del gráfico, Halle “Tg” a) 3/7 b) 5/3 c) 5/7 d) 4/7 e) 4/3
4. Del gráfico, Halle “Cos”
a) 2
3 b) 2 c) 32 d)3
32 e) 4
5. Del gráfico, Halle “x”
37°
x+5
x+3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Halle “Tg” del gráfico
45°
37°
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6
7. Del gráfico, Calcule “Tgθ”
45°
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/3
8. Calcule:
Sen30Tg45
30Csc45Sec60TgA
222
a) 2 b) 4 c) 18 d) 16 e) 32
9. Del gráfico mostrado, halle: Senα
Senθ
53°
a) 3/2 b) 3/4 c) 4/5 d) 4/3 e) 3/5
Triángulos notables y propiedades TEMA: 5
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Trigonometría
11
37°
x+5
x+3
20° 25°A B
CD
10cm
10. Resuelve el sistema: 2Cos(x + y + z) – 1 = 0
1 – 2Sen(x + y – z) = 0 Tg (y + z) – 1 = 0 Dar como solución x ; y ; z a) 15° ; 30° ; 45° b) 15° ; 30° ; 15° c) 30° ; 15° ; 15° d) 15° ; 45° ; 30° e) 30° ; 15° ; 30° 11. Si: AB = 2CD = 4DM. Halle Tgx
45°
x
C M
B
D
A
a) 1/5 b) 1/10 c) 1/3 d) 1/7 e) 1
12. Del gráfico, Halle “x”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Calcule: x + y, sabiendo que:
Cos (3x + 10°) . Csc(y – 40°) = 1 Ctg(2y - 65°) = Tg(55° - x)
a) 60° b) 66° c) 74° d) 80° e) 86°
14. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), Calcule:
a3Cos
b3Sen
b3Cos
a3SenP
a) 1 b) 2 c) 1,5 d) 2,5 e) 3
15. Calcule: x; si:
Cos(3x – 7) Sec x (x + 15°) = 1 a) 11° b) 22° c) 33° d) 44° e) 55°
16. Siendo “” y “” ángulos rectos agudos,
Calcule “” sabiendo que:
Sen (7 - 5°) = Cos(5 + 11°)
Tg(3 - ) Ctg(3 + 2°) = 1
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
ACTIVIDAD DE EXTENSION
1. Siendo “” un ángulo agudo para el cual se cumple:
Tg . Ctg30° = 1.
Halle el valor de la expresión:
Ctgθ2
θCtgM
a) 3 /3 b) 1 c) 3
d) 2 e) 32
2. Calcule: “n”, en:
(Sen45°)n-1 = 0,25
a) 3 b) 5 c) 4 d) –2 e) –1
3. Calcule: Tg(2x + 5°), si:
Sen(3x –10°) Csc(x + 30°) = 1
a) 1 b) 1/2 c) 3
d) 3 /3 e) ¾
4. Del gráfico, Calcule CD
a) 210 cm b) 12cm c) 16cm
d) 15cm e) 20cm
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12
5. Halle el valor de “x”, si:
4x.cos 60º = x + 5
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
6. Si: Sec (2x + 20)º = Csc (3x + 5)º ;
Calcule el valor de “x”
a) 10 b) 11 c) 13 d) 17 e) 9
7. Halle el valor de:
Sec60º
Sen30º45ºCosk
2
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/8 e) 2
8. Halle el valor de:
K = (Tg260º + 5Cos53º).Csc30º
a) 6 b) 12 c) 1/6 d) 1/12 e) 4
9. Calcule (x + y) a partir de:
Tg(x + 15)º.Ctg(y - 45)º = 1 Sen(2x - y)º = Cos(2y - x)º
a) 80º b) 100º c) 90º
d) 70º e) 80º
10. Si se cumple:
Sen(3x + 2)º= Cos(4x + 4)º Cos(4y + 5)º = Sen(3y – 20)º Halle: Sen5x.Cos3y
a) 4
6 b)
3
6 c)
2
6
d) 7
6 e)
8
6
11. Si: Csc30º Cos60ºSenx
Halle: 2Ctgx
Secx2Tgxk
a) 1/2 b) 2
3 c) 2/3
d) 3/2 e) 3
32
12. Si : Senxº . Csc(10 – 4x)º = 1
Halle “x”
a) 1º b) 10º c) 4º
d) 2º e) 5º
13. Halle: Sec6θ2Sen3θE
Si: 13θ60º.Csc102θSen
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Si: ctg45ºcsc45º
tg45º2cos45ºtgα
Calcule: R = sen .cos
a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 e) 1 15. Halle: “x”
Sen (3x – 80º).csc (x + 10º) = 1
a) 60º b) 45º c) 15º
d) 53º e) 1º
16. Siendo “” y “” ángulos rectos agudos,
Calcule “” sabiendo que:
Sen (7 - 5°) = Cos(5 + 11°)
Tg(3 - ) Ctg(3 + 2°) = 1
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
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Trigonometría
13
EJERCICIOS 1. Halle el perímetro de triángulo rectángulo sabiendo
que uno de sus ángulos agudos es “” y de cateto adyacente “a”
a) a(Sen+Cos+1) b) a(Sec+Tg+1)
c) a(Csc+Ctg+1) d) a(Sec+Tg)
e) a(Csc+Ctg)
2. De la figura, Halle “x”
n
n
x
a) n(Ctg+Ctg) b) n(Ctg+Ctg+1)
c) n(Tg+Tg+1) d) n(Ctg+Tg)
e) n(Tg+Ctg)
3. Halle “x”
m
x
a) mSen . Sen b) mSen . Cos
c) mCos . Cos d) mCos . Sen
e) mTg . Ctg 4. Halle “x”
m
x
a) mSen . Tg b) mSen . Ctg
c) mCos . Cos d) mCos . Ctg
e) mSen . Sen
5. Halle “x”
a) RCtg
b) RTg
c) R(Ctg+1)
d) R(Tg+1)
e) R(Sen+1)
6. Del gráfico, Halle: AC
A C
B
x y
a) mSenx + nSeny b) mCosx + nSeny c) nSenx + mCosy d) mCosx + nCosy e) N.A.
7. Halle la longitud del arco AC , en función de m y .
A B
C
O
m
a) m.Csc b) m.Cos
c) m.Sec d)(m/2).Sec
e) 2 m.Csc
8. Calcule “Tg”
37°
a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/5
Resolución de triángulos TEMA: 6
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14
A C
B
r
m x
9. Calcule “x” en en gráfico:
a) b + acos b) b - acos
c) b - asen d) b + asen e) N.A.
10. Determine BC en función de r
a) rTg(1+Sen) b) rTg(1+Csc)
c) rTg(1+Cos) d) rCtg(1+Csc)
e) rCtg(1+Cos)
11. Del gráfico, Halle “Ctg”
a) 3 b)2
3 c)
3
3
d)4
3 e)
6
3
12. Del gráfico, obtener “Tg”
3
5
a) 2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/2 e) 4 13. Del gráfico, Determine “x”
m
x
a) m(Sen – Sec . Tg)
b) m(Sen – Cos . Ctg)
c) m(Csc – Sen . Tg)
d) m(Cos – Sen . Ctg)
e) m(Cos – Sec . Ctg)
14. Del gráfico, Halle “x” en función de “R” y “”
x
R
a) R(Ctg – 1) b) R(Tg – 1)
c) R(Ctg – Cos) d) R(Tg – Sen)
e) R(Tg – Ctg)
15. De la figura, Halle “x” en términos de “M” y “”
a) mSen b) 2mSen c) mCos
d) 2mCos e) mTg
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Trigonometría
15
ACTIVIDAD DE EXTENSION 01. De la figura, Halle: x en términos de m y θ.
a) m(tg + 1) b) m(ctg + 1)
c) m(tg + cot) d) m(sen + cos)
e) m(sec+ csc)
02. Del gráfico, Halle AB
B
A
C
Cd
a)CtgβTgθ
d
b) d(Tg+Ctg) – 1
c) d(Tg–Ctg) – 1 d) d(Tg–Ctg) – 1 e) N.A.
03. Si: ADAE . Expresar “Tg” en función de “”
B C
A D
E
a) Csc+Ctg b) Csc – Ctg
c) Sec + Tg d) Sec – Tg
e) Sec + Csc 04. De la figura. Halle “Tgy” en términos de “Tgx”
y
x
x
a) Tgx b) Tg2x c) Tg3x d) Tg2x – 1 e) Tg4x
05. En la figura la longitud del segmento PS y RT es
“L” y la del segmento ST es “K”, el valor de “K” esta
dado por
P R Q
S
T
a) L(Sen–Sen) b) L(Sen+Sen)
c) L.Sen.Sen d) L(Sen–Sen)
e) LSen+Sen
06. En la figura ECn AE .
Calcule: E = Tg4 + 2Tg2
A
H E
B
D
C
07. De la figura.
Calcule: E = Sec2 + Cos2
a
a
a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. En la figura.
Calcule: Tgα
SenβSenαE
45°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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16
3
5
x
09. De la figura, Calcule: Senx 34
a) 1,2 b) 1,4 c) 1,6 d) 1,8 e) 2
10. De la figura, Halle:
Cosα . Senθ
θα CosK
2
1
a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/5 e) 2/5 11. Del gráfico, Halle “x”
m
n
x
a) mSen+nCos b) mCos+nSen
c) (m+n)Sen.Cos d) mTg+nSec
e) mSec+nTg
12. Del gráfico, Calcule CB en términos de m, .
A C
B
m
a) mSe . Csc b) mCos . Sec
c) mTg . Tg d) mTg . Ctg
e) mCtg . Ctg 13. Del siguiente gráfico, Indique la relación correcta:
m n a) mSen=nSen b) mCos=nCos
c) mTg=nTg d) mTg=nTg
e) mCos=nCos 14. Del gráfico, Calcule el perímetro del cuadrado ABCD.
m
E D C
A B
a) 4mSen b) 4mCos c) 4mTg
d) 4mCtg e) 4mSec
15. Del gráfico, Determine DC en función de m,
B C
m
A
D
a) mTg . Tg b) mTg . Ctg
c) mCtg . Tg d) mCtg . Ctg
e) mSen . Csc
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Trigonometría
17
EJERCICIOS
01. A 20 m del pie de un poste, se observa la parte
superior de este con un ángulo de 37º. ¿Cuál es la altura del poste?
a) 15 m b) 12 c) 20 d) 24 e) 25 02. Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con
un ángulo de elevación de 30º, al avanzar 10 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Halle la altura del faro.
a) 8,7 m b) 4,6 c) 9,6 d) 8,6 e) 5,3 03. Se observa la parte superior de un edificio de 120m
de altura con un angulo de 60°. ¿Cuál es la altura del edificio?
a) 403 m b) 603 m c) 803 m
d) 203 m e) 1203 m
04. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuánto mide la torre? a) 30 m b) 60 m c) 90m d) 27 m e) 36 m
05. Una persona de 2 metros de estatura observa la
parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 30°. ¿A qué distancia se encuentra la persona de la base de la torre, si esta mide 82m?
a) 203 m b) 403 m c) 803 m
d) 603 m e) 1003 m
06. Desde la parte más alta de una torre de 60 m de altura se observa a una hormiga con un ángulo de depresión de 37°. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra la hormiga? a) 20 m b) 60 m c) 40 m d) 100 m e) 45 m
07. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio
se observan dos puntos “A” Y “B” en el suelo con ángulo de depresión de depresión de 37° y 53°. Halle la distancia entre estos puntos, si la altura del edifico es de 120m. a) 70 m b) 90 m c) 120 m d) 160 m e) 100 m
08. A 12 m de un poste el ángulo de elevación para lo
alto del mismo es “” (tg = 5/6). Si retrocedemos
8 m, el ángulo de elevación sería””. Calcule tg . a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 3/2 e) 2/3
09. Una persona colocada a 36 m de una torre observa
su parte más alta con un ángulo de elevación “”
(tg = 7/12). ¿Qué distancia habría que alejarse
para que el ángulo de elevación sea “” , donde: tg = 1/4? a) 36 m b) 40 m c) 42 d) 46 m e) 48 m
10. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer
piso de un edificio con un ángulo de elevación “” y la parte más baja del quinto piso con un ángulo de
elevación “”.
Halle: tg / tg . a) 1,2 b) 0,75 c) 1,3 d) 0,3 e) 0,25 11. A 120 metros del pie de un edificio, se observa la
parte más alta de este con un ángulo de elevación de 60°. ¿ Cuál es la altura de! edificio?
a) 340 b) 360 c) 380
d) 3120 e) 180 m
12. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una
torre con un ángulo de elevación de 37º nos acercamos una cierta distancia y el ángulo de elevación es ahora de 45º. Si la altura de la torre es de 24m. ¿Cuál fue la distancia que nos acercamos? a) 6m b) 4m c) 12m d) 8m e) 16m
13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un
edificio con un ángulo de elevación de 45º, y lo alto de la antena que se encuentra al borde del edificio con un ángulo de elevación de 53º. Si la antena mide 6m. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 18m b) 24m c) 32m d) 36m e) 42m
14. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "θ". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: "ctgθ". a) 5/3 b) 4/3 c) 7/3 d) 3 e) 2
15. Una tortuga observa la parte mas alta de una estatua con un ángulo de 45º, y la parte superior del pedestal con un ángulo de 37º, Calcule la altura del pedestal si este animal se encuentra a 40m de la base del pedestal. a) 10m b) 12m c) 18m d) 30m e) 36m
Ángulos verticales TEMA: 7
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18
ACTIVIDAD DE EXTENSION
01. A 240 metros de la base de un edificio se observa
la parte más alta de éste con un ángulo de elevación de 37º, Calcule la altura del edificio. a)100m b)120m c)140m d)160m e)180m
02. Un observador se encuentra a 24m de la base de un poste de 7 metros de altura. ¿Cuál es el ángulo de elevación respectivo? a)8° b)16° c)30° d)74° e)60°
03. Una escalera de 6 m de longitud está apoyada
sobre una pared formando con esta un ángulo de 30º. Calcule la distancia entre los pies de la escalera y la pared. a)1m b)2m c)5m d)3m e)4m
04. Desde lo alto de un edificio de 100 metros de altura
se observa un auto estacionado bajo un ángulo de depresión de 60º. Calcule la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que está bajo el observador.
a)100m b)100 3 m c)50
3 m d)50m e)200 3 m
05. La parte superior de un edificio de 48 metros de
altura es observada bajo un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la distancia entre el observador y el pie del edificio? a)35m b)36m c)37m d)38m e)39m
06. Desde la cima de un monte se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37º y el pie del mismo bajo un ángulo de depresión de 53º. Si el observador se encuentra a 72 m del edificio, ¿Cuál es la altura de este? a)120m b)130m c)140m d)150m e)160m
07. Un observador divisa la parte superior de un poste
de 30m con un ángulo de elevación de 37 º, Calcule la longitud del observador al pie del poste. a)10m b)20m c)30m d)40m e)50m
08. Desde un faro que tiene 24 3 m de altura se
observa a una lancha con un ángulo de depresión de 30°. Calcule a qué distancia de la lancha al pie del faro.
a)24m b)20m c)48m d)10m e)96m
09. Si desde un punto en tierra ubicada a 36 m de la base de un edificio; observa la parte superior del edificio con un ángulo de elevación de 37°, Calcule la altura del edificio. a)25m b)26m c)27m d)28m e)29m
10. Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto de
un edificio con un ángulo de elevación de 37°, Si la persona está a 24 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a)18.7m b)24m c)1.7m d)18m e)19.7m
11. Se observa la parte alta de una torre con ángulo de
elevación "β" (Tg β = 3/5). Calcule la altura de la torre, si el observador se encuentra a 100 m. a)60m b)80m c)100m d)140m e)120m
12. Una hormiga observa un árbol de 150m con un
ángulo de elevación de 37°, Halle la distancia de la hormiga al pie del árbol. a)100m b)200m c)300m d)400m e)500m
13. Desde lo alto de un faro de 80 m de altura se
observa en el mar a dos delfines con ángulos de depresión de 45° y 37° en una misma dirección del observador. Halle la distancia de separación de los delfines. a)10m b)20m c)30m d)40m e)50m
14. Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura,
se observa dos botes que están en el mar, con ángulos de depresión de 53° y 45° en la misma dirección del observador. ¿Qué distancia hay entre los botes? a)5m b)10m c)15m d)30m e)25m
15. Una antena de televisión se encuentra situado en
lo alto de un edificio de 18 m de altura. Si un hombre ve la parte alta de la antena con un ángulo de 53° y la parte superior del edificio con un ángulo de 45° edificio, Halle la altura de la antena. a)2m b)3m c)4m d)5m e)6m
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Trigonometría
19
01. Calcule: x
(3x - 2)° = 18
πrad
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. Calcule:
a) 50 b) 50/3 c) 1 d) 10 e) 30
03. Se tienen dos ángulos cuya suma de medidas es
14g y su diferencia 10g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del mayor?
a) 9°42' b) 8°12' c) 9°15' d) 10°42' e) 10°48'
04. Calcule “M” en el sistema sexagesimal
a) 107° b) 105° c) 115° d) 110° e) 125°
05. ¿Cuántos minutos hay en: M = 4° 36'?
a) 276' b) 275' c) 274' d) 266' e) 264'
06. Siendo:
= (4a)° (2a)' ; = (6a + 34)g
Además: + = 3rad. Halle "" en radianes.
a) 1,79πrad b) 1,80πrad c) 1,81πrad d) 1,82πrad e) 1,83πrad
07. Simplifique la siguiente expresión:
g50
rad10
72
P
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08. Siendo S, C y R lo convencional, se verifica la
siguiente igualdad:
(C – S)2 = 2C – S Calcule la medida del ángulo en el sistema centesimal. a) 110g b) 100g c) 105g d) 120g e) 200g
09. Si: S y C son lo convencional, Simplifique la
expresión:
2SC
S26
SC
CS
a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. De la siguiente igualdad:
6S + 5C = 1 040 Calcule: “R”
a) 4
rad b)
5
rad c)
2
rad
d) 9
rad e)
18
rad
11. Para un ángulo se cumple:
S = 5n + 1 C = 6n – 2 Calcule el ángulo en el sistema Radial.
a) 4
rad b)
5
rad c)
3
rad
d) 10
rad e)
9
rad
12. Determine el valor de “n” en la igualdad:
CCS
nCS
3112
12
a)2 b)4 c) 6 d)8 e)10
13. Calcule la medida radial de ángulo de modo que
sus medidas sexagesimales (S) y centesimal (C), verifiquen:
S = x2 + x + 4 C = x2 + x + 6
a) πrad/10 b) πrad/5 c) πrad/4 d) πrad/6 e) πrad/2
14. Simplifique la siguiente expresión:
3C
63C4SM
a)2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6
15. Determine la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:
4
51005
53
R
CS
a) 2/5 b) /4 c) 2/7
d) /3 e) /5
g10
º60rad2V
g50rad3
M
PRACTICANDO LO APRENDIDO
I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA
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I Bimestre – 5° Grado de Secundaria
20
16. En un sector circular de radio 9m. y ángulo central
de 60º ¿cuánto mide el arco? a) πm b) 9πm c) 3πm d)3πm/2 e)6πm
17. En un sector circular de radio 36cm. el ángulo
central mide 20g ¿cuánto mide el arco?
a) 1,5πcm b) 2,4πcm c) 3,8πcm d) 3,6πcm e) 4,8πcm
18. Calcule el área de un sector circular donde el radio
mide 4m y el arco mide 2m.
a) 2m² b) 4m² c) 8m² d) 16m² e) 32m²
19. En la figura mostrada determine el valor de “L”
sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene 72m2
de área.
a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 5m
20. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se
encuentran en la relación de 5 a 2. Determine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
21. ¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A” hasta
“C”?, sabiendo que AB= 13m.
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5
01. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo
ABC (B = 90°), Simplifique:
E = a2Ctg2A + c2Ctg2C a) 2a2 b) 2b2 c) 2c2 d) b2 – a2
e) a2 + b2
02. En un triángulo ABC (AB = BC) se sabe que SenB =
0.6. Calcule TgA. a) 1/3 b) 1/2 c) 2 d) 3 e) 4
03. Calcule el perímetro de un triángulo ABC, sabiendo que:
35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m a) 180 m b) 160 m c) 140 m d) 200 m e) 240 m
04. Si: + son ángulos agudos y complementarios, Calcule:
P = Sen + Sen2 + TgTg a) 0 b) 1 c) 2 d) 1.5 e) 2.5
05. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13 y 12. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.
a) 1,2 b) 3,2 c) 2,6 d) 2,4 e) 2,8
06. Si: "" es un ángulo agudo tal que:
cos = 3
2 . Calcule "tg2".
a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5
07. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º); Simplifique:
P = sec2A - tg2A
a) b2-a2 b) b2-c2 c) a2-c2 d) c2-a2 e) 1
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Trigonometría
21
08. Sea "" uno de los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo. Si: sen es al coscomo 8 es a 15; Calcule:
E = sen - cos
a) 7/17 b) -7/17 c) 11/17 d) -9/17 e) 11/15
09. Halle el valor de:
E = 2sen30° + sec245° + 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Halle “x” en la siguiente relación:
2x.tg45º+ 3 tg60º=2xsen30º+ cos260º
a)7/4 b)-7/4 c) 11/4 d)-11/4 e)N.A.
11. Halle: “x” , si: sen2x csc40º = 1
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
12. Halle: “x”, si: cos(2x + 10º).sec(3x - 40º) = 1
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
13. Halle: “x” en el gráfico:
a) msen b) mcos c) mtg
d) msec e) mcsc
14. Halle "tgx" en función de "":
a) tg b) 2tg c)cot d) 2cot e) N.A.
15. Determine: “x” en términos de “m” y “”.
a) m.Sen .Tg b) m.Sec .Csc
c) m.Ctg .Csc d) m. Cos . Ctg
e) m.Sec2
16. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 37°; acercándose 105m, se encuentra que el ángulo de elevación es de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre?
a) 150m b) 160m c) 170m d) 180m e) 190m
17. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una
torre con un ángulo de elevación de 37º nos acercamos una cierta distancia y el ángulo de elevación es ahora de 45º. Si la altura de la torre es de 24m. ¿Cuál fue la distancia que nos acercamos?
a) 6m b) 4m c) 12m d) 8m e) 16m
18. Desde lo alto de un faro de 57 m sobre el nivel del
mar se observa un buque con un ángulo de depresión de 30°. Determina la distancia del buque al faro.
a) 19m b) 193m c) 28,5m
d) 573m e) N.A.
19. Una asta de bandera está clavada verticalmente en lo alto de un edificio, a 12 m de distancia del edificio un observador divisa la punta de la asta y la parte superior del edificio con los ángulos de elevación de 53° y 45° respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la asta? a) 4m b) 3m c) 6m d) 2m e) 1m
20. Una persona ubicada a 36 m del pie de una torre
observa su parte más alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 7/12. ¿Qué distancia en la misma dirección debe alejarse con respecto al punto anterior para que la tangente del nuevo ángulo de elevación sea 1/4? a) 38m b) 50m c) 40m d) 46m e) 48m