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Universidad de HuelvaDepartamento de Ingeniera Minera, Mecnica y Energtica

Modelado computacional para el anlisis dinmico, mediante mtodo matricial, de sistemas multicuerpo de seis elementosMemoria para optar al grado de doctor presentada por: Juan Carlos Fortes Garrido Fecha de lectura: 25 de septiembre de 2008 Bajo la direccin del doctor: Ricardo Arribas de Paz

Huelva, 2009

ISBN: 978-84-92679-87-4 D.L.: H 11-2009

MODELADO COMPUTACIONAL PARA EL ANLISIS DINMICO, MEDIANTE MTODO MATRICIAL, DE SISTEMAS MULTICUERPO DE SEIS ELEMENTOSTesis Doctoral de Juan Carlos Fortes GarridoDirigida por Dr. Ricardo Arribas de Paz

UNIVERSIDAD DE HUELVA2008

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Captulo 1. Introduccin, Objetivos y Antecedentes1.1 Prefacio 1.2 Objetivos y principales aportaciones de la Tesis 1.3 Metodologa 1.4 Organizacin de la Tesis Doctoral 1.5 Estado de la cuestin 1.6 Formulacin simblica versus formulacin numrica. Eleccin del mtodo 1.7 Breve bosquejo histrico sobre la dinmica 1.7.1 La Antigedad 1.7.2 La Edad Media 1.7.3 El Renacimiento 1.7.4 El Siglo XVII 1.7.5 El Siglo XVIII 1.7.6 El Siglo XIX 1.7.6.1 Escuela Francesa 1.7.6.2 Escuela Alemana 1.7.6.3 Escuela Inglesa 1.7.6.4 Otras Escuelas 1.7.7 El Siglo XX 1.7.7.1 Breve historia del diseo de mecanismos con mtodos Computacionales 11 13 15 15 17 18 18 19 19 20 20 21 22 2 3 6 6 8 10

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Captulo 2. Base Cinemtica.2.1 Introduccin 2.2 Tipos de coordenadas 2.3 Sistemas de coordenadas 2.4 Coordenadas cartesianas 2.5 Posicin 2.6 Pares o juntas 2.7 Sistema Multicuerpo de seis elementos 2.8 Grados de libertad 2.9 Velocidad 2.10 Derivacin de vectores en coordenadas cartesianas 2.11 Movimiento cualquiera de un eslabn 2.11.1 Movimiento plano cualquiera 2.12 Ecuaciones cinemticas 2.13 Planteamiento de las ecuaciones geomtricas 2.14 Planteamiento de ecuaciones no holnomas 2.15 Formulacin de las ecuaciones en funcin del tipo de coordenadas 2.15.1 Ejemplos 28 29 30 31 32 37 39 43 46 47 47 48 48 50 52 52 54

Captulo 3. Base Dinmica.3.1 Introduccin 3.2 Planteamiento de las ecuaciones dinmicas 3.3 Tipos de anlisis en dinmica 3.4 Anlisis esttico 3.4.1 Anlisis por mtodos vectoriales 3.4.2 Anlisis mediante el principio de los trabajos virtuales 3.4.3 Anlisis mediante el principio de las potencias virtuales 3.4.4 Anlisis esttico con rozamiento 64 65 66 73 74 80 84 88

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3.5 Anlisis dinmico inverso o cinetoesttico 3.5.1 Fuerzas de inercia en los mecanismos 3.5.2 Centro de percusin 3.5.3 Anlisis cinetoesttico por mtodos vectoriales 3.5.4 Anlisis cinetoesttico por trabajos o potencias virtuales 3.6 Anlisis dinmico directo 3.6.1 Anlisis dinmico directo por mtodos vectoriales 3.6.2 Energa cintica de un mecanismo 3.6.3 Anlisis dinmico directo mediante la ecuacin de Eksergian 3.6.4 Anlisis dinmico directo mediante las ecuaciones de Lagrange

89 89 91 93 96 96 97 198 100 104

Captulo 4. Determinacin de Fuerzas en Sistemas Multicuerpo.4.1 Introduccin 4.2 Diagrama de cuerpo libre o aislado 4.3 Mtodos de estudio 4.4 Anlisis de esfuerzos dinmicos 4.5 Anlisis de fuerzas en Sistemas Multicuerpo 4.6 Mtodo de superposicin 4.7 Mtodo matricial 4.8 Anlisis de fuerzas en eslabonamientos con ms de cuatro barras 4.9 Eleccin del mtodo de resolucin 110 111 115 117 120 122 131 138 139

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Captulo 5. El Programa DAMSFORT.5.1 Introduccin 5.2 Implementacin 5.3 Descripcin del programa 5.4 Estructura del programa DAMSFORT 5.5 Funcionamiento del programa 5.5.1 Pantalla inicial 5.5.2 Tipo de mecanismo 5.5.3 Uniones entre eslabones 5.5.4 Propiedades geomtricas del mecanismo 5.5.5 Propiedades cinemticas del mecanismo 5.5.6 Propiedades dinmicas del mecanismo 5.5.7 Resultados 5.5.8 Men de salida 5.6 Validacin del mtodo 142 143 153 156 159 160 161 166 169 170 171 172 173 174

Captulo 6. Conclusiones y Lneas Futuras de Investigacin6.1 Conclusiones 6.2 Lneas futuras de investigacin 204 207

BibliografaB.1 Referencias bibliogrficas B.2 Bases de datos generales consultadas 210 224

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Anexo. Cdigo Fuente del Programa DAMSFORTEl cdigo fuente del programa est accesible en la direccin http://www.uhu.es/jcarlos.fortes/Damsfort

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CAPTULO 1 Introduccin, Objetivos y Antecedentes

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1.1 PrefacioUn Sistema Multicuerpo ([Hus90]; [Sha98]; [Rah98]) es un modelo mecnico de un conjunto de cuerpos, tambin denominados elementos o eslabones, que pueden a su vez ser rgidos o flexibles, interconectados de tal modo que existe movimiento relativo entre ellos. Se trata pues de un trmino muy general que engloba a una gran cantidad de sistemas, entre los que pueden citarse los mecanismos, las mquinas, los vehculos de todo tipo y los robots. La Dinmica de Sistemas Multicuerpo es la teora que permite el anlisis cinemtico y dinmico de mecanismos generales. La optimizacin dinmica de Sistemas Multicuerpo es un campo que ha despertado gran inters en la comunidad cientfica debido a la complejidad del problema y a la enorme cantidad de aplicaciones de desarrollo tecnolgico que posee en los problemas de transmisin de fuerza y energa, diseo de mecanismos, mquinas y motores. Sin embargo, pese a la cantidad de recursos implicados, se trata de una disciplina en un estado de desarrollo incipiente, con multitud de metodologas desarrolladas para aplicaciones particulares pero con una carencia importante de mtodos generales aptos para cualquier formulacin del problema. Esta herramienta permite predecir el comportamiento cinemtico y dinmico del sistema en las fases ms tempranas del diseo. Es tambin una herramienta til para estudiar la influencia de los distintos parmetros del diseo en el comportamiento del sistema. Las tcnicas de Dinmica de Sistemas Multicuerpo (DSM) permiten la simulacin de cualquier sistema o subsistema mecnico, y con ello su anlisis, diseo y mejora. Resulta claro por tanto el inters industrial, econmico y cientco de la DSM y prueba de ello es el gran nmero de Universidades e Instituciones Cientcas que investigan directamente en DSM o bien utilizan las tcnicas que provee dicha teora en sus investigaciones. La DSM es una herramienta de utilidad en numerosas disciplinas:

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Encuentra una de sus aplicaciones ms clsicas en la Teora de Mquinas y Mecanismos, convirtindose en una herramienta idnea para el anlisis y diseo de stos.

Incluso la Robtica, desde una perspectiva mecanicista, puede considerarse una de las disciplinas que forman parte de la Teora de Mquinas. La Teora de Control, en el contexto de las mquinas, encuentra como compaera ideal la DSM ayudndole a sintetizar los modelos del sistema o subsistemas mecnicos.

Los denominados sistemas de Realidad Virtual se sirven de la DSM para poder interactuar con los elementos del mundo virtual de forma realista. La Bio-Mecnica y un largo etctera de aplicaciones,...

Si se considera que los slidos constituyentes del sistema mecnico son flexibles, la teora de la DSM comienza a confundirse con la teora de la Elasticidad, siendo difcil aclarar donde termina una y donde comienza la otra [GJB94] [Guy65].

1.2 Objetivos y principales aportaciones de la TesisEn este trabajo se propone el estudio de los mtodos de anlisis cinemtico de mecanismos y de las formulaciones de anlisis dinmico de Sistemas Multicuerpo aparecidas en las ltimas dcadas. Adems se disea un nuevo modelado computacional aplicable a sistemas de seis elementos y un grado de libertad, que son la base de muchas de las mquinas y mecanismos que hoy se emplean con profusin en la industria. Esta propuesta lleva implcitos la consecucin de los siguientes objetivos: Recopilacin de los trabajos publicados hasta la fecha acerca del anlisis

dinmico de Sistemas Multicuerpo. En concreto aquellos que tratan de la creacin de modelados computacionales para su resolucin.

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Creacin e implementacin del cdigo necesario para disear un algoritmo

que determine el momento de entrada y las fuerzas de reaccin en las juntas, mediante un anlisis dinmico del mecanismo. Desarrollar un modelado computacional cmodo y amigable para la

resolucin de los problemas dinmicos de Sistemas Multicuerpo de seis elementos. La incorporacin de este mtodo permitir controlar simultneamente los

parmetros de posicin, cinemticos y dinmicos del sistema desde las fases ms tempranas del diseo, permitiendo mejorar considerablemente el control sobre el comportamiento del sistema y reducir sensiblemente el tiempo de diseo del mismo. Disponer de un software que facilite, a los diseadores y estudiantes de teora

de mecanismos, mquinas y elementos de mquinas, el estudio, anlisis, comprensin y diseo de los mismos, con unos conocimientos bsicos de mecanismos. Profundizar en el estudio de la Dinmica de Sistemas Multicuerpo.

La consecucin de estos objetivos constituy el trabajo de esta Tesis Doctoral que ha permitido obtener las aportaciones que se relacionan ms abajo, a la vez que se abren distintas lneas de trabajo, segn queda expuesto en el captulo de conclusiones y lneas futuras de investigacin. La principal aportacin de esta Tesis ha sido la formulacin, estudio y desarrollo de un modelado computacional para el anlisis dinmico de cualquier Sistema Multicuerpo plano de seis elementos y un grado de libertad que se expone en el captulo cinco. Este trabajo trata sobre la creacin y el anlisis automatizado de las ecuaciones dinmicas de Sistemas Multicuerpo complejos basndose en la utilizacin de un sistema de formulacin numrica del movimiento, accesible desde un lenguaje de programacin convencional. En este programa, se aborda el anlisis dinmico considerando las restricciones de posicin, cinemticas y dinmicas a las que se encuentre sometido el sistema que se quiere analizar y que puede ser aplicado sobre cualquier mecanismo constituido por elementos rgidos, independientemente de la dimensin de su movimiento, de su

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configuracin topolgica y de los pares cinemticos que otorguen movimiento relativo a sus eslabones. Dicho programa reproduce fielmente los clculos necesarios para su anlisis, pero de una forma ms gil y dinmica. El mtodo numrico utilizado se basa en el anlisis de fuerzas mediante mtodo matricial [Sim02] en el cual, para obtener las fuerzas actuantes sobre las juntas de los eslabones, se debe de construir el sistema matricial a partir del diagrama de cuerpo libre de cada eslabn. El cdigo de este programa puede ser empleado y modificado, para satisfacer las necesidades particulares que puedan presentarse dentro del diseo y anlisis de mquinas y mecanismos. El programa se ejecuta bajo una mquina virtual llamada framework, siendo muy sencilla su portacin a ambientes Windows debido a que fue codificado en lenguaje .NET. El cdigo fuente del programa es exportable a otros sistemas operativos como LINUX, FORTRAN, MS-DOS, etc. Esta aplicacin se ilustra mediante el estudio y anlisis, de diversos ejemplos de mecanismos de las citadas caractersticas. Como resultado de la investigacin desarrollada para la elaboracin de esta tesis han surgido diversos artculos y estancias en universidades, de entre las que citamos las siguientes: Artculo presentado en el congreso internacional CIBEM VI en Coimbra, Portugal, ao 2003 Uso de MAPLE mecanismos planos. Artculo presentado al XVII congreso nacional de Ingeniera Mecnica. Anlisis dinmico de Sistemas Multicuerpo de seis elementos mediante mtodos computacionales Estancia en la Universidad Politcnica de Graz, Austria, junio de 2007, departamento de Ingeniera Mecnica. Estancia en la IUT de Nmes, perteneciente a la Universidad de Montpellier, Francia, marzo de 2007. para el anlisis cinemtico de

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1.3 MetodologaPara conseguir los objetivos descritos anteriormente, la tesis se ha desarrollado segn la metodologa siguiente: Revisin bibliogrfica de trabajos publicados hasta la fecha referentes al estudio de Sistemas Multicuerpo, en concreto aquellos que tratan sobre el anlisis dinmico mediante mtodos computacionales. Analizar las distintas formulaciones sobre anlisis dinmico y delimitacin del problema. Estudio y anlisis de los mtodos y planteamiento de objetivos. Seleccin del mtodo de solucin aplicable de entre todos los posibles, en el caso concreto de este trabajo. Formulacin del algoritmo matemtico aplicable. Creacin del cdigo fuente. Implementacin de la aplicacin, anlisis de la estructura interna y comprobacin experimental. Conclusiones y trabajo futuro.

1.4 Organizacin de la Tesis DoctoralLa presente Tesis Doctoral se enmarca dentro del campo del estudio Dinmico de Sistemas Multicuerpo, aunque hemos restringido el anlisis a los sistemas de seis eslabones. La Tesis est estructurada en cinco captulos y un anexo donde se incluye el cdigo fuente del programa creado. En la primera parte de la tesis, y tratando de hacer que el material presentado sea en cierta medida autocontenido, se presenta la teora de la DSM desde el punto de vista de la Mecnica Clsica y del Slido Rgido. As en el primer captulo se hace un repaso de la Dinmica desde la Antigedad hasta nuestros das, haciendo especial nfasis en los mtodos computacionales para el estudio de los Sistemas Multicuerpo,

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el planteamiento de las ecuaciones dinmicas y la comparacin entre la formulacin simblica y la numrica, cuya eleccin ha sido clave para la elaboracin del contenido de esta tesis doctoral. En el segundo captulo se hace una introduccin a la teora bsica de la Dinmica de Sistemas Multicuerpo relevante para el desarrollo e implementacin posterior del programa que persigue esta Tesis Doctoral. Se analizan todos los aspectos de la Cinemtica de Sistemas Multicuerpo, comenzando por la posicin y el desplazamiento, se tratan los aspectos relativos al planteamiento de ecuaciones cinemticas y se justifica la eleccin del tipo de coordenadas que vamos a utilizar ilustrndolo con los ejemplos del estudio de un mecanismo. En el captulo 3 se realiza un exhaustivo repaso de los diferentes mtodos de Anlisis Dinmico, ya que el diseo de cualquier Sistema Multicuerpo va a estar fuertemente influenciado por las solicitaciones dinmicas durante su funcionamiento, y es por eso que vamos describiendo los diferentes tipos y, con objeto de hacer ms accesibles las diferentes ideas introducidas, se van presentando ejemplos de cada uno de los mtodos reseados. En el captulo 4 se hace un estudio ms centrado en dos de los mtodos de anlisis dinmico de los componentes de los Sistemas Multicuerpo, haciendo comparacin entre ellos y las ventajas que suponen uno u otro mediante la resolucin de casos prcticos y se presentan los antecedentes al mtodo elegido para la optimizacin del algoritmo de programacin que se ha formulado. En el captulo 5 se detalla como se ha realizado la implementacin del modelado computacional y se presenta el programa que el autor ha elaborado, que es la aportacin principal de esta Tesis; se hace tambin, una validacin de los resultados mediante la resolucin de varios ejemplos, con el fin de ilustrar las caractersticas y la potencia del mtodo, as como de evaluar su robustez y convergencia. Por ltimo, en el captulo 6 se recogen las conclusiones y las aportaciones

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fundamentales de este trabajo, as como las principales lneas futuras de investigacin que basadas en el trabajo, sugiere el autor. El cdigo fuente que se ha creado e implementado para la formulacin del modelado computacional que se presenta en esta Tesis Doctoral puede solicitarse al autor a travs de la pgina http://www.uhu.es/jcarlos.fortes

1.5 Estado de la cuestinA mediados del siglo XX los avances logrados en el campo de la optimizacin matemtica permiten la aplicacin de la metodologa cientfica a una serie de problemas que hasta la fecha, y salvo honrosas excepciones que pasaron, sin embargo, inadvertidas, se haban tratado de una forma intuitiva muy alejada del obligado rigor que el tema mereca. Kantorovitch desarroll un primer mtodo de programacin lineal. Su revolucionario trabajo, pese a publicarse en ruso en 1939, pas inadvertido en occidente hasta su traduccin al ingls, en 1960. Otros trabajos tempranos fueros los de Karush (1939) y John (1948), que slo fueron reconocidos cuando perdieron gran parte del impacto que hubieran merecido en su da. La verdadera eclosin de los mtodos matemticos aplicados a problemas de optimizacin de Sistemas Multicuerpo tuvo lugar en 1947, cuando Dantzing, resumiendo el trabajo de sus predecesores, desarroll el mtodo simplex para la resolucin de problemas lineales. A partir del trabajo de Dantzing proliferaron las contribuciones tericas y las aplicaciones de los problemas de optimizacin lineal, debido tambin en gran parte al desarrollo acelerado que las computadoras sufrieron en esa poca. Mediado el siglo Kuhn y Tucker (1951) publicaron su trabajo, orientado a la resolucin de problemas no lineales, en el cual llegaron a conclusiones semejantes a las que Karush y John haban obtenido aos atrs. Sus resultados fueron fundamentales para la resolucin de problemas de optimizacin no lineales, y hoy se consideran de gran importancia terica, tanto en matemticas como en otras disciplinas.

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En la actualidad son multitud los campos de aplicacin de las tcnicas matemticas de optimizacin, que van desde una vasta gama de aplicaciones ingenieriles, como el lanzamiento de satlites espaciales o el diseo de estructuras, elementos mecnicos y circuitos electrnicos, hasta aplicaciones econmicas como el control de la produccin, la asignacin ptima de los recursos o las estrategias de inversin. El software comercial de anlisis cinemtico y dinmico de los Sistemas Multicuerpo disponible hoy da en el mercado, es capaz de generar y resolver las ecuaciones del movimiento de forma automtica. Se trata de una herramienta imprescindible para el diseo de los Sistemas Multicuerpo en campos tan diversos como la industria del automvil [SiB02], la industria aeroespacial, la robtica o la biomecnica. En la actualidad existe una gran cantidad de software de anlisis de Sistemas Multicuerpo en el mercado. Los programas computacionales pueden dividirse, segn el tipo de cdigo que incorporen, en numricos y en simblicos [SaF03], aunque estos a su vez pueden subdividirse en semi-simblicos, totalmente simblicos, y adems pueden ser implementados con otros programas como Maple, Matlab, En la actualidad existen multitud de cdigos computacionales para el anlisis dinmico de mecanismos, ya sean stos de carcter comercial, docente o investigador. A modo de ejemplo vamos a citar algunos de stos, pero sin pretender hacer una lista exhaustiva. Como ejemplos de cdigos simblicos podemos destacar ADAMS [Ada04], MBSYMBA [Mbs03] DADS [Dad04] y SIM-PACK [Sim04]. Como cdigos semi-simblicos diseados para el tratamiento de problemas de la Dinmica Vehicular podran citarse a NEWEUL [New04], [PoS93], basado en el formalismo de Newton-Euler, y CARSIM [Car04], [Say90]. Ambos cdigos permiten tratar de forma eficiente las restricciones de tipo no holnomo, linealizar las ecuaciones de movimiento, e incluso optimizar parmetros dinmicos. Sin embargo, el sistema de lgebra simblica en el que se basan tiene ciertas limitaciones y la posibilidad de manipular expresiones simblicas en lnea de comandos es escasa o

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nula. En algunos casos esta limitacin se resuelve exportando un cdigo legible por MAPLE [Map04]. Como programas basados en cdigos numricos podemos citar FOURBAR y DINAFOUR [Nor03], FORTRAN [NAG95], NASTRAN [Nas04], WINMEC [WiM06], WORKING MODEL [WoM06], ROBOTRAN [Rob04], LAPACK [LAP07], etc. Dentro del anlisis cinemtico, la mayora de los autores resuelven el problema a travs de diversas tcnicas de programacin matemtica no lineal con restricciones [Sto85], aunque recientemente han surgido planteamientos alternativos basados en tcnicas metaheursticas, como los algoritmos genticos [CSP02] [GuD05] o las redes neuronales [Tor97]. En anlisis dinmico el nmero de trabajos publicados es mucho menor puesto que la aparicin de las ecuaciones algebraicodiferenciales que controlan el comportamiento dinmico del mecanismo complica sensiblemente el problema.

1.6 Formulacin simblica versus formulacin numrica. Eleccin del mtodo.Las herramientas basadas en formulacin simblica no procesan nmeros, sino nombres de variables y expresiones analticas que las relacionan [Gil05]. La formulacin simblica est constituida por una serie de expresiones matemticas que modelan el comportamiento cinemtico y dinmico del sistema. Estn disponibles en herramientas de matemtica simblica como MAPLE, MATHEMATICA [Mth04] o MATLAB [Mat04], y pueden a su vez incorporarse como bibliotecas en otros programas. La formulacin simblica [RFM03], aplicada a los Sistemas Multicuerpo, presenta las siguientes ventajas: Elimina muchas operaciones innecesarias. Permite ver explcitamente la influencia de cada variable en el comportamiento del sistema.

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La formulacin simblica resulta ventajosa cuando todos los posibles movimientos del sistema estn contenidos en unas ecuaciones de movimiento nicas. Esto no ocurre en el caso de que haya cambios cualitativos en la configuracin cinemtica del sistema durante el movimiento y resulta inviable, si durante el funcionamiento se producen modificaciones como consecuencia de impactos o rozamientos [ChH01]. La formulacin numrica plantea las ecuaciones del movimiento numricamente, sin generar nuevas expresiones analticas, lo que la convierte en un mtodo ms eficiente porque es ms sencilla de utilizar y permite construir herramientas de propsito general para el anlisis cinemtico y dinmico de Sistemas Multicuerpo de todo tipo. Las principales ventajas asociadas a la formulacin numrica en el mbito de los Sistemas Multicuerpo son las siguientes: Es ms flexible, puesto que su formulacin es menos especfica. Genera problemas de menor tamao, puesto que los algoritmos para el tratamiento simblico de las variables son mucho ms largos y complejos que los algoritmos de manipulacin de matrices o de resolucin de sistemas de ecuaciones. Es ms eficiente y sencilla de utilizar. Los ltimos avances en mtodos numricos, entre ellos el uso de tcnicas de matrices dispersas [DER97], que eliminan las operaciones que involucran a trminos nulos, o la utilizacin de formulaciones dinmicas avanzadas, aumentan da a da la eficiencia de las formulaciones numricas. La eleccin entre las dos formulaciones no es obvia y depende de cada caso concreto, puesto que no se puede afirmar con rotundidad que uno de los planteamientos sea mejor, en general, que el otro [Pag94].

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1.7 Breve bosquejo histrico sobre la dinmicaLa forma de proceder del entendimiento humano, que pasa de lo sensible a lo inmaterial y de lo particular a lo universal, tiene una excepcional confirmacin en la gnesis y desarrollo de la Cinemtica y Dinmica de mecanismos. Ante la realidad evidente del movimiento fsico o local de los cuerpos naturales, cabe plantearse dos primeros interrogantes necesarios: "Qu es el movimiento?", y "Cmo se puede medir?". A la primera pregunta se ha respondido afirmando que el movimiento de un cuerpo es su cambio de posicin con respecto a un sistema de referencia absoluto, cambio que est parametrizado por el tiempo. Por su parte, la segunda plantea el problema bsico de las ciencias experimentales: el problema de la medida. Aceptando que se ha superado dentro de ciertos lmites, por imprecisos que estos sean, este problema, y que se es capaz de cuantificar de alguna manera el movimiento, el cientfico da un paso ms al inquirir: "por qu se produce el movimiento?". Cuestin que le llevar a un proceso analtico que conduce al establecimiento de unas ciertas causas del movimiento (fuerzas, inercias,...). Para la Dinmica Terica este proceso finaliza cuando, avanzando un estadio ms, se obtienen unas leyes mediante las que se relacionan, de un modo universal, las causas del movimiento con esas magnitudes que lo cuantifican, y se llevan esas leyes a sus ltimas consecuencias. Este proceso es necesario y an imprescindible, para quien cultive la disciplina de la Dinmica; sin embargo, no basta. Evidentemente, debe conocer sus fundamentos cientficos, y desde esta perspectiva se asimilan los mecanismos tericos, pero a partir de ellos ha de ser capaz de idear, y an realizar, un "ingenio" que verifique una determinada operacin mecnica preestablecida.

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Se ha cerrado el ciclo: de la consideracin cientfica de lo concreto, se establece una ley de comportamiento fsico y apoyndose en ella se construye un ente concreto para realizar una funcin determinada. No obstante, este paso inverso, desde la ley hasta el ente concreto, no es tan controvertible como a primera vista pudiera parecer. En efecto, el proceso de abstraccin, que concluye en la ley mecnica, prescinde de un sin nmero de datos y circunstancias fsicas para centrarse en los aspectos sustanciales del fenmeno. Por esta razn, el mundo real difiere del mundo cuyo comportamiento viene establecido por las leyes y por los modelos matemticos consonantes con las leyes, y esta divergencia convenientemente cuantificada, es un ndice significativo de la fiabilidad de ste. Dicho de otro modo: La ley representa un modelo matemtico de la realidad y, como modelo, entraa una disparidad entre sus predicciones y las medidas experimentales; si esta disparidad fuera relativamente pequea, el modelo es adecuado, en caso contrario, inaceptable. Por ello, al presentar a continuacin la historia de la formacin y desarrollo de la Cinemtica y Dinmica, se constatan sucesivamente segn un orden cronolgico, aquellas realizaciones prcticas mecnicas de inters que han supuesto un hito histrico y el progreso ininterrumpido de la abstraccin mecnica constatable por el desarrollo coherente de la teora.

1.7.1 La AntigedadYa en el 260 a. de C. parece que exista en China el llamado "carro que mira hacia el Sur" [Str82], un ingenioso mecanismo montado en un carro que, merced a un tren epicicloidal de engranajes, mantena el brazo de una figura humana apuntando siempre hacia el Sur, independientemente de en qu direccin se moviera el carro, y era utilizado como brjula por los viajeros que atravesaban el desierto de Gobi.

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En poemas de la literatura hind, compuestos hacia el ao 1700 a. de C. [Bau07], se mencionan carros y ruedas, lo que nos permite suponer que ya entonces haba mecanismos suficientemente conocidos. Homero, cuya existencia se sita hacia el siglo X a. de C., se refiri a una manivela en la Ilada y en la Odisea, as como a un dispositivo para taladrar en la Odisea. Fueron los sabios griegos quienes se preguntaron por primera vez por la naturaleza del movimiento. Sus observaciones trascienden generalmente la contingencia de lo fenomnico para intentar profundizar en aquello que permanece como substrato de todo movimiento. Aristteles (384-322 a. de C.) a lo largo de sus obras, trat aspectos puramente mecnicos como la composicin geomtrica de fuerzas y la cada libre de los cuerpos, a la que dio una respuesta errnea, probablemente porque no lleg a captar el concepto de "movimiento en el vaco", ni tuvo la oportunidad de realizar una rigurosa experimentacin. Arqumedes (287-212 a. de C.) tiene indudablemente una trascendencia superior, y en l ven algunos al verdadero iniciador de la Mecnica como ciencia. Defini el centro de gravedad de un sistema material, estableci las leyes de la palanca, "dadme un punto de apoyo y mover la Tierra", enunci el principio que lleva su nombre en Mecnica de Fluidos y desarroll numerosos ingenios blicos para la defensa de Siracusa (Sicilia) de donde era originario y en donde resida. Ctesebio (285 a. de C.), un genio de la intuicin tcnica, desarroll numerosos inventos, tales como un fusil de aire comprimido, un instrumento musical de aire alimentado por un fuelle, una bomba aspirante-impelente y un dispositivo para regular la posicin de un espejo de saln. Unos cien aos ms tarde, la influencia de la cultura helena traspasa las fronteras de Grecia y aparece en la ciudad de Alejandra una floreciente plyade de sabios, que subsiste durante varios siglos. Hern de Alejandra (siglo I d. De C.) fue el primero

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que emple el vapor de agua como generador de potencia y escribi 3 libros en los que describe muchas mquinas, tales como la prensa de tornillo y un sofisticado odmetro que permita medir fracciones de milla. El mundo romano apenas se manifest en el campo de las matemticas y de las ciencias de la naturaleza.

1.7.2 La Edad MediaEl periodo que abarca el final del imperio romano y toda la Edad Media, es decir algo ms de 10 siglos, es un tiempo de una cierta decadencia tcnica y cientficoexperimental. Se reprodujeron y mejoraron ligeramente los ingenios existentes, pero con una casi total carencia de creatividad mecnica.

1.7.3 El RenacimientoFue un momento histrico de resurgimiento en todas las reas del saber humano, caracterizado por la aparicin de grandes genios, algunos de los cuales centraron su atencin en los problemas mecnicos. Una de las personalidades ms destacadas fue, sin duda, Leonardo da Vinci (1452-1519), en cuyos famosos diseos de mquinas se han inspirado tantos otros autores posteriormente. En sus apuntes se encuentran diseos de gras (con poleas, engranajes), ingenios voladores, dispositivos para respirar bajo el agua, mecanismos de transformacin del movimiento (rotacin en translacin alternativa,...), odmetros, etc. Gerolamo Cardano (1501-1576) invent la junta de transmisin que lleva su nombre, y estudi la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda por el interior de otra circunferencia de dimetro doble. La Esttica, prcticamente olvidada desde Arqumedes, experiment un notable desarrollo merced a los trabajos de Simn Stevin (1548-1620) que public a principios del siglo XVII su obra "Hypomnemata Mathematica" en la que trata del

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equilibrio en un plano inclinado y de las poleas, empleando con soltura y seguridad la composicin de fuerzas por el mtodo del paralelogramo. La mxima figura de la poca renacentista fue, sin lugar a dudas, el italiano Galileo Galilei (1564-1642) filsofo, matemtico y fsico que ejerci sus tareas docentes en Pisa, Padua y, ms tarde, en Florencia. Vehemente defensor de la teora heliocntrica, se le puede considerar como el iniciador de la Dinmica. Estudi la cada libre de los cuerpos, separando los aspectos cinemtico y dinmico. No pretendi explicar el movimiento, sino describirlo: Una vez que se conoce con exactitud como caen los cuerpos, entonces se puede probar a establecer las leyes profundas que lo rigen". Oponindose a la teora aristotlica afirm que los cuerpos caen en el vaco con la misma velocidad. Galileo no fue solamente un hbil experimentador, sino que mostr tambin un agudo ingenio inductivo. Por razonamientos tericos fue capaz de formular las leyes del movimiento uniformemente acelerado, y dedujo la trayectoria parablica de un proyectil lanzado horizontalmente y sometido a la accin de la gravedad. Conoci la fuerza centrfuga y enunci la ley del sincronismo del pndulo, estableciendo que el periodo del movimiento era proporcional a la raz cuadrada de su longitud e independiente de su masa. En sus trabajos de Esttica, emple la construccin del paralelogramo para la composicin de fuerzas y defini una nueva magnitud: el momento de una fuerza. Los trabajos de Galileo fueron continuados por una plyade de discpulos, en su mayora italianos, entre quienes merece destacar a Evangelista Torricelli que abord tambin el estudio de la cada de los cuerpos. Fue el primero en afirmar que la Mecnica es una rama de las Matemticas en la que aparecen unas magnitudes nuevas, tales como la fuerza, y un concepto tambin nuevo, el movimiento. En su obra se produjo, de hecho, la emancipacin del movimiento y de las fuerzas dentro de una Mecnica racional.

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En el ao 1561, naci en Londres F. Bacon, creador del empirismo ingls. De raz plenamente filosfica su obra tiene unas indudables repercusiones en el desarrollo de las ciencias fsico-naturales.

1.7.4 El Siglo XVIIEn l la Mecnica alcanza una cierta madurez como ciencia, logrndose al fin proporcionar una cierta unidad a los conocimientos desarrollados hasta entonces. Es la poca de los grandes sabios: Descartes, Pascal y Mariot en Francia, Huygens en Holanda, Boyle, Hooke y Newton en Inglaterra,... Ren Descartes (1596-1650) formul correctamente la ley de la inercia, aunque no lleg a captar bien el concepto de aceleracin. Sus seguidores sostuvieron una controversia con Leibnitz (1646-1716) acerca de la "eficacia" del movimiento. Para los cartesianos la eficacia era proporcional a la velocidad; mientras que para Leibnitz lo era a su cuadrado. Analizando con detenimiento se observa que este desacuerdo es tan slo una discrepancia de puntos de vista sobre un mismo hecho. Para Descartes la eficacia se contaba por el tiempo, y para Leibnitz por el espacio... y ambos tienen razn. Sin embargo, esta disputa constituye el primer momento histrico en que se presentan dos concepciones radicales de la Mecnica: la Mecnica vectorial y la Mecnica variacional. Christian Huygens (1629-1695) describi los relojes de pndulo de su poca e invent el pndulo cicloidal, cuyo periodo es independiente de la amplitud del movimiento (tautocronismo). Estableci la reciprocidad entre los centros de suspensin y oscilacin (teorema de Huygens), y parece que fue tambin precursor de la ecuacin de Euler-Savary. Probablemente el cientfico ms importante de la poca fue Isaac Newton (16421727). En l finaliza una poca y con l se inicia otra. Sistematiz todos los conocimientos inconexos anteriores dndoles una estructura lgica definitiva. En su obra "Principia Matemtica Philosophiae Naturae" estableci las tres leyes

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fundamentales de la Dinmica. Matiz de forma definitiva la diferencia entre masa y peso, y enunci la Ley de la Gravitacin Universal, basndose en la descripcin que haba hecho Johannes Kepler (1571-1630) del movimiento planetario. Jean Bernoulli (1661-1748) intervino activamente en el desarrollo de la Mecnica de Fluidos y reconoci el principio de los trabajos virtuales como un principio general de la Esttica. Tambin desarroll el concepto de centro instantneo de rotacin en el movimiento plano.

1.7.5 El Siglo XVIIIA lo largo de este siglo se va perfilando la Cinemtica como ciencia, si bien no se consolidar como tal hasta el siglo siguiente. Jacob Leupold (1674-1727), hizo una autntica recopilacin de los inventos mecnicos de siglos precedentes, proporcionando la primera definicin de mquina: sistema artificial capaz de producir un movimiento ventajoso y de mover los cuerpos con ahorro de tiempo y de fuerza". Leonhard Euler (1707-1783), discpulo de Jean Bernoulli, estableci que el movimiento plano de un slido indeformable puede describirse como la composicin de una traslacin y una rotacin alrededor de un punto. Este principio, extendido a la velocidad y aceleracin, constituye el origen del anlisis grfico de mecanismos. James Watt (1736-1819) dedic un gran esfuerzo a la sntesis de movimientos, abordando el problema de la trayectoria de un punto del acoplador del cuadriltero articulado y logrando generar un movimiento rectilneo aproximado. Estos estudios le permitieron perfeccionar la mquina de vapor, a la que dot de un mecanismo capaz de transmitir la fuerza en ambos sentidos.

1.7.6 El Siglo XIXDurante este siglo, los conocimientos que constituyen hoy la Mecnica de Mquinas se fueron consolidando y madurando. La Geometra y el Anlisis Matemtico

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contribuyeron notablemente a este progreso, motivado por el rpido crecimiento tecnolgico. Los estudiosos del siglo en esta rea pueden agruparse principalmente en las tres grandes escuelas: la Francesa, la Alemana y la Inglesa.

1.7.6.1 Escuela FrancesaAndr Marie Ampre (1775-1836) reconoci la posibilidad de estudiar el movimiento de los mecanismos con independencia de las fuerzas que lo producen, y acu el trmino "cinemtica", traduccin del vocablo griego que significa movimiento. A partir de este momento, la Cinemtica comenz a ser considerada como ciencia. Gustave Gaspard de Coriolis (1792-1843), ingeniero de profesin y director de l'Ecole Polytechnique (Pars), defini la componente de la aceleracin que lleva su nombre y fue un precursor de la Mecnica Aplicada moderna. Michel Chasles (1793-1880) y Louis Poinsot (1777-1859) generalizaron respectivamente los conceptos de centro instantneo de rotacin - ya introducido por Jean Bernoulli - y de eje instantneo de rotacin.

1.7.6.2 Escuela AlemanaLa Cinemtica moderna comenz con Franz Reuleaux (1829-1905), profesor de Cinemtica en el Politcnico de Zurich y en Berln, a la vez que director de la Real Academia de la Industria de Alemania. Fue el primero en analizar los Mecanismos de modo sistemtico y profundo, definiendo los conceptos de elemento, par, cadena cinemtica, equivalencia cinemtica e inversin. Clasific los pares en "superiores" (contacto puntual o a lo largo de la lnea) e "inferiores" y apunt la idea de la expansin de los pares de revolucin. Redujo toda mquina a una combinacin de componentes: barras, ruedas, levas, etc.

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R. Mehmke y Karl Friedrich Mhr (1806-1879) introdujeron en Alemania los mtodos grficos para el anlisis de mecanismos, tales como el cinema de velocidades. Sigfrid Aronhold (1819) enunci, con anticipacin a Kennedy, el "teorema de los tres centros", si bien ambos desarrollaron el trabajo por separado. Martn Grbler (1851-1935), profesor en las Universidades de Zurich, Riga, Berln y Dresde, estableci el "criterio de movilidad" para mecanismos planos y espaciales

1.7.6.3 Escuela InglesaRobert Willis (1800-1875), ingeniero y antroplogo, fue profesor de la Universidad de Cambridge, y propuso un criterio de clasificacin de los mecanismos en base a la relacin de transmisin del movimiento entre los elementos de entrada y salida. Samuel Roberts (1827-1893), abogado estudioso de las matemticas, demostr la existencia de tres tipos diferentes de cuadrilteros articulados capaces de trazar idnticas curvas de acoplador. Alexander Blake William Kennedy (1847-1928), profesor del University College (Londres), formul el algoritmo grfico para la determinacin del polo del movimiento relativo entre dos elementos de un Mecanismo y tradujo al ingls la obra de F. Reuleaux contribuyendo a su difusin. Robert Henry Smith (1825-1916), profesor de Mecnica Aplicada, desarroll su actividad docente en Japn. Introdujo el empleo de mtodos grficos para el anlisis de velocidades en los mecanismos, tcnica que se generalizara a partir de 1930.

1.7.6.4 Otras EscuelasGiuseppe Antonio Borgnis (1780), profesor de Mecnica en la Universidad de Pava, sugiri la divisin de los componentes de las mquinas en seis tipos: receptores,

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comunicadores, modificadores, soportes, reguladores y operadores. Esta clasificacin fue simplificada por De Coriolis que redujo las partes de una mquina a tres: elementos receptores de la accin externa, elementos transmisores del movimiento y elementos conducidos. Pafnutij Chebyshev (1821-1894), profesor de matemticas en la Universidad de San Petesburgo y creador de la Escuela Rusa de Cinemtica, se dedic al dimensionamiento del cuadriltero articulado capaz de generar trayectorias rectas y circulares con error mnimo, utilizando para ello los polinomios que llevan su nombre.

1.7.7 El Siglo XXEl comienzo del siglo se encuentra dominado por las Escuelas Alemana y Rusa. La primera - fundada por Burmester - se polariz hacia los problemas de sntesis dimensional, sobre todo en su aplicacin a los mecanismos planos. En Rusia, los discpulos de Chebyshev prosiguieron sus trabajos en las tcnicas de ajustes y aproximacin de curvas, desarrollando mtodos especiales y nuevas herramientas matemticas. Terminada la guerra, surge con gran mpetu la Escuela Americana (A. Svoboda, J.A. Hrones y G.L. Nelson) donde pronto se empez a utilizar profusamente el computador, promoviendo el desarrollo de nuevos mtodos algebraicos y numricos, mucho ms generales que los mtodos grficos previamente utilizados. Hoy en da, un gran porcentaje de los mtodos en uso estn orientados al computador y la investigacin se dirige, no slo hacia la mejora de los propios mtodos, sino tambin hacia un mejor aprovechamiento de las capacidades informticas. Una de las capacidades ms interesantes es la de resolver problemas de modo interactivo, lo cual tiene enormes posibilidades tanto en el campo del diseo como en el de la enseanza.

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La Dinmica, por su parte, estudia el movimiento junto con las fuerzas motoras que lo producen y las reacciones que se originan. Aborda problemas de potencia motriz, rendimiento, reacciones en apoyos, tensiones y deformaciones elsticas, vibraciones, fallos por choque o fatiga, problemas tribolgicos, etc. La dificultad que presenta la resolucin de un problema dinmico suele ser, en general, muy superior a la de uno cinemtico, debido principalmente al distinto papel que juega la variable tiempo y a los efectos no lineales que aparecen. De forma anloga a lo que sucede en Cinemtica, tambin en Dinmica existe un enfoque tradicional grfico o grafoanaltico y un enfoque moderno analtico y orientado al computador. Aqu, sin embargo, las diferencias no son tan acusadas ya que las evaluaciones dinmicas del movimiento siempre se plantean a partir de los mismos principios generales: Ecuaciones de Lagrange, Leyes de Newton, Teorema de los Trabajos Virtuales, Principio de Superposicin, Hoy en da, existen programas de computador capaces de efectuar anlisis cinemticos y dinmicos de sistemas mecnicos complejos. Estos programas realizan autnticas simulaciones, de las que pueden obtenerse tanto resultados numricos (tablas, grficas,...), como grficos, visualizando de manera realista el movimiento del sistema en la propia pantalla del computador. Es importante constatar cmo el usuario de estos programas debe poseer unos slidos conocimientos tericos, que le permitan definir correctamente el modelo ms apropiado para su problema, detectar los posibles errores en dicho modelo e interpretar correctamente los resultados obtenidos.

1.7.7.1 Breve historia del diseo de mecanismos con mtodos computacionales.Muchos de los principios bsicos del estudio y anlisis de Sistemas Multicuerpo presentados en este trabajo se conocen desde hace ms de 100 aos. Muchas de esas tcnicas, que tienden a ser de naturaleza grfica, pueden hacerse ms tiles al diseador mecnico haciendo que la computadora lleve a cabo las porciones

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repetidas de las construcciones, con mucha mayor precisin que la que es posible alcanzar manualmente. El diseador puede entonces concentrarse en los aspectos ms creativos del proceso de diseo, abstrayendo el modelo analizable y experimentando con varios diseos en forma interactiva con la computadora. As, aunque la labor montona se delega a la computadora, la creatividad innata del diseador permanece en el circuito. La aplicacin de la computadora a los problemas de mecanismos y Sistemas Multicuerpo ha tenido una historia relativamente corta. La evolucin comenz con los cdigos de anlisis en unidades centrales (mainframes) y ha progresado a mtodos de diseo y anlisis, amigables para el usuario, sobre computadoras personales o porttiles. 1. Dcada de los 50. La dcada de los 50 vio la primera introduccin y disponibilidad de las computadoras digitales en la industria y programas de ingeniera en las universidades. Varios programas fueron desarrollados por Al Hall y otros en la Universidad de Purdue, por el grupo de C.W. McLarnan en la Universidad del Estado de Ohio, por J.E Shigley y otros en Michigan por el grupo de F.Freudenstein en Columbia y por J.Denavit y R.Hartenberg en Northwestern. Freudenstein revis los programas de computadora desarrollados para el diseo de mecanismos antes de 1961. En 1951, Kemler y Howe presentaron tal vez la primera referencia publicada sobre aplicaciones de la computadora en el diseo de mecanismos, la cual ilustra clculos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones en mecanismos de retorno rpido. Una de las contribuciones tempranas que us la computadora para sntesis de eslabonamientos fue la de Freudenstein y Sandor, que adapt las tcnicas con base grfica sugeridas por Burmester en 1876 y las reformul para solucin por computadora. Las ecuaciones resultantes de sntesis compleja fueron resueltas en modo de lote en una IBM 650. Este trabajo fue la

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base tcnica para los cdigos KINSYN y LINCAGES que surgieron en los aos 70. 2. Dcada de los 60. Las computadoras se volvieron ms accesibles a los investigadores universitarios en los primeros aos de la dcada de los 60. Muchos investigadores empezaron a utilizar la fuerza de la computadora para resolver ecuaciones cuyas resoluciones resultaban demasiado tediosas por tcnicas grficas, por regla de clculo o por calculadoras electromecnicas de escritorio. Hacia finales de los 60, se empezaron a resolver problemas de sntesis en modo de lote con la computadora, con tcnicas de punto de precisin o tipo optimizacin. El rea del anlisis dinmico de mecanismos de cuerpo rgido y del balanceo de eslabonamientos comenz a emerger con base en la potencia de las computadoras digitales. Aunque se tuvieron algunos xitos inicialmente con las computadoras hbridas (analgicas combinadas con digitales) en la resolucin de ecuaciones diferenciales de movimiento, los mtodos numricos de integracin, como el de Runge-kutta, ocasion que los dispositivos analgicos fuesen eliminados poco a poco. 3. Dcada de los 70. En los primeros aos de la dcada de los 70 se tuvo un aumento repentino en las aplicaciones de las computadoras. Cdigos como el IMP, desarrollado por P. Sheth y J. Uicker en la universidad de Wisconsin, y el DRAM y ADAMS, desarrollado en la Universidad de Michigan por D. Smith, N. Orlandea y M. Chace, tuvieron sus races en esta dcada. La computacin cambi lentamente del modo de lote al modo interactivo, lo que constituy un paso importante en hacer las tcnicas ms tiles a los diseadores. Adems, las grficas por computadora aplicadas al diseo de mecanismos recibieron su bautizo en los primeros aos de la dcada de los 70 por Kaufman. KINSYN I fue un programa diseado especialmente en el M.I.T y debe ser reconocido como el principal hito en el diseo cinemtico. La computadora digital por s misma nos traslad a la

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mitad del camino hacia el diseo til de mecanismos ayudado por computadora. Las grficas por computadora para entradas, salidas, as como para mejorar la interaccin en la toma de decisiones sobre diseos fue el segundo ingrediente requerido. Hacia finales de la dcada de los 70 se dispuso de otros paquetes de software para sntesis y anlisis. 4. Dcada de los 80. En los aos 80 se tuvo un aumento extraordinario en la actividad alrededor de mecanismos por varias razones. Los aos 80 vieron tambin el principio de la integracin del anlisis, sntesis y dinmica de los mecanismos con otras reas de diseo ayudado por computadora, como el dibujo, los elementos finitos y la simulacin. 5. Dcada de los 90 y siguientes. La integracin de la computadora en el diseo de mecanismos se ve muy estimulante. El diseador de mecanismos tiene a su disposicin un impresionante conjunto de herramientas para el anlisis y diseo ptimo de mecanismos [CrA04]. Varias reas especficas tendrn una actividad incrementada. Entre stas se cuentan, (1) el uso de modeladores slidos para la exhibicin y anlisis de mecanismos en dos y tres dimensiones; (2) la integracin del software para el anlisis y sntesis de mecanismos en otras fases del diseo y manufactura ayudado por computadora; (3) muchas ms aplicaciones a necesidades especficas de la industria; (4) ms anlisis y diseo ayudado por computadora para elementos de mquinas (engranajes, levas, indexadores, etc.); (5) mejoras tcnicas para el anlisis y simulacin de problemas ms complejos incluidos, holguras, deflexiones de eslabones, friccin, amortiguamiento, etc; (6) el desarrollo de tcnicas del tipo sntesis ayudadas por computadora, para diseadores, tiles en las etapas de tcnicas de sistemas expertos e inteligencia artificial; (7) el uso de sofisticadas intefaces grficas que conducirn a un software muy cmodo para el usuario; (8) un aumento en el desarrollo del software para el diseo de mecanismos en computadoras porttiles y (9) el uso de supercomputadoras que

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permitan la optimizacin, el procesamiento en paralelo y la simulacin en gran escala del diseo.

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CAPTULO 2 Base Cinemtica

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2.1 IntroduccinEn este captulo y en el que sigue, se va a hacer una introduccin a la teora bsica de la Dinmica de Sistemas Multicuerpo relevante para el desarrollo e implementacin posterior del programa que persigue esta Tesis Doctoral En particular, en este captulo ser introducida la parte Cinemtica de dicha teora, mientras que el tratamiento de los aspectos dinmicos se pospone al captulo siguiente. En ambos captulos se plantearn varios ejemplos que tratarn de hacer ms claras las ideas tericas introducidas. No es la misin principal de esta Tesis hacer una somera descripcin de todos los mtodos cinemticos, pero, se deja constancia de los mtodos ms importantes para el anlisis cinemtico de mecanismos, desde los ms antiguos de la Mecnica Clsica, hasta los ms modernos. En la lectura de este captulo el lector observar cmo se plantean las ecuaciones de la Cinemtica, a partir de relaciones entre magnitudes vectoriales de naturaleza cartesiana. Una vez desarrolladas, las ecuaciones anteriores se expresarn de forma analtica o matricial. Esta separacin de los mundos cartesiano y analtico debe fomentar al mximo la simplificacin del planteamiento de expresiones que involucren magnitudes de dicha naturaleza. La preferencia por lo cartesiano en el planteamiento de las ecuaciones de la mecnica, no slo presente en la cinemtica, sino tambin en la dinmica, no es un hecho casual, sino que, en opinin del autor, se debe a la forma natural de razonar de los humanos, ya que est claro que comprendemos mejor el significado de las ecuaciones cuando stas expresan relaciones de tipo cartesiano. En este captulo de teora, el lector encontrar los diferentes elementos de naturaleza cartesiana (punto, base y referencia) [Ros02], relacionados en las expresiones cinemticas mediante los operadores Vector de posicin, Velocidad, Velocidad Angular, etc.

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JUAN CARLOS FORTES GARRIDO

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Por ltimo se presentar la expresin matricial que adoptan los diferentes tipos de ecuaciones cinemticas. Las matrices obtenidas, pondrn de manifiesto cules deben ser las estructuras de datos que darn soporte al planteamiento matricial de las ecuaciones.

2.2 Tipos de coordenadasQuiz, todava a da de hoy, una de las caractersticas que identifican la DSM es la gran variedad de tipo de coordenadas, (absolutas, relativas, naturales) utilizadas en el planteamiento de las ecuaciones dinmicas. De hecho, al entrar en este mundo, las primeras cuestiones que se plantean son: Por qu tantos tipos de coordenadas? y Cules son las mejores?, cuestiones que, lejos de tener una respuesta sencilla, siguen suscitando hoy en da algunas controversias en la comunidad cientfica. Una forma sencilla de evitar conflictos es reconocer que, en gran medida, dicha variedad atiende a una cuestin de preferencias, aunque evidentemente pueden encontrarse otras justificaciones: La forma de razonar de los humanos est ms prxima a un tipo de coordenadas que a otros. Por ejemplo, para el que escribe es difcil visualizar la orientacin de un cuerpo cuando se observan las posiciones de varios de sus puntos, mientras que resulta ms sencillo si se utiliza un ngulo para caracterizar dicha orientacin. La inconveniencia numrica (o limitacin real como en el caso de los ngulos de Euler) que presentan algunas coordenadas frente a las ventajas de otras En ltima instancia, para un determinado problema, una vez fijado el mtodo de integracin y el formalismo empleado para plantear el problema dinmico, siempre

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existe un conjunto de coordenadas que permite una solucin ms rpida del problema [Jim95], [Rod04] y [Cua97].

2.3 Sistemas de coordenadasPara poder definir las posiciones y los desplazamientos de los diferentes puntos de un mecanismo es necesario utilizar algn sistema de coordenadas [GaV04]. En lo que sigue se definen tres sistemas de coordenadas que se usan en Mecnica: coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas. Para cada uno de estos sistemas de coordenadas tridimensionales se define tres coordenadas escalares que son (x, y, z) en cartesianas, (, , z) en cilndricas y (r, , ) en esfricas y adems se define vectores unitarios asociados a esas coordenadas espaciales: ( ), (p , ,k ) y (r, , ) . i, j,k

Estos vectores

unitarios apuntan en una direccin que, en general, depende del punto que se est describiendo. Slo en coordenadas cartesianas esto no ocurre as. Aunque existen diferentes sistemas de coordenadas como las cilndricas y esfricas, en este trabajo se emplearn las coordenadas cartesianas, que se basan en los ejes mutuamente perpendiculares X, Y, y Z. Estos ejes tienen asociados unos vectores unitarios, como ya dijimos antes. Los ejes y los vectores unitarios asociados se suponen fijos al sistema de referencia en el cual se describe el movimiento, entonces los vectores de posicin velocidad y aceleracin son:

r (t) = x (t) + y (t) + z (t) k i i v (t) = x (t) + y (t) + z (t) k i i (t) = x (t) + y (t) + z (t) k i iCoordenadas x, y, z vectores k i, j,

Las coordenadas (x(t), y(t), z(t)) de un punto mvil dependen del tiempo pero los vectores unitarios son constantes.

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2.4 Coordenadas cartesianas.En el apartado 2.2 ya se haca referencia a la gran variedad de tipo de coordenadas que se utilizan en el planteamiento de las ecuaciones dinmicas y a las posibles razones para justificar la eleccin de uno u otro tipo. En esta Tesis se utilizan las coordenadas cartesianas porque permiten, a juicio del autor, una solucin ms rpida del problema tal como queda justificado al final del presente apartado. Tambin llamadas coordenadas de punto de referencia, las coordenadas cartesianas se formulan para evitar los inconvenientes asociados al uso de coordenadas relativas [Nik88]. En general se define la posicin de un eslabn mediante las coordenadas cartesianas de un punto del mismo, al que se llama punto de referencia y que suele coincidir con el centro de masa del eslabn, y una serie de parmetros que definen la orientacin del eslabn. En el caso particular de sistemas planos, son necesarias tres coordenadas cartesianas para definir absolutamente la posicin de un elemento del sistema: se define la posicin del punto de referencia mediante dos coordenadas cartesianas, y la orientacin del elemento mediante un ngulo. El cuadriltero articulado de la figura 2.1 se caracteriza entonces por seis coordenadas, que coinciden con las coordenadas de los centros de masas de las barras, y los tres ngulos que forman las barras con la direccin horizontal. Las ventajas ms importantes derivadas de la utilizacin de coordenadas cartesianas son las siguientes: Se maneja directamente la informacin sobre la posicin, velocidad y aceleracin absoluta de cada elemento, por lo que desaparece el trabajo extra de preproceso y postproceso que implicaba la utilizacin de las coordenadas relativas. Las matrices que aparecen en las ecuaciones del movimiento tienen muy pocos trminos no nulos, por lo que puede adoptarse una formulacin adecuada a este tipo de matrices, que resulta particularmente eficiente. Las restricciones se establecen a escala local, dado que las ecuaciones de restriccin que introduce un par cinemtico slo implican a las coordenadas de los

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dos elementos conectados. Este hecho hace posible que las ecuaciones de restriccin sean independientes de la complejidad del sistema. Por otro lado, el principal inconveniente del uso de coordenadas cartesianas es el elevado nmero de coordenadas que son necesarias para definir la posicin del sistema, lo que incide negativamente en el coste computacional.

Figura 2.1 Coordenadas cartesianas para el cuadriltero articulado.

2.5 PosicinLa realizacin del anlisis cinemtico constituye la fase previa y fundamental al acometer el proceso de anlisis y/o diseo de un mecanismo. Dentro de este anlisis cinemtico el primer paso que se debe resolver es el anlisis de la posicin. Sin embargo, a juicio del autor, resulta llamativo el escaso nmero de mtodos para la resolucin del problema de posicin desde un enfoque de tipo general [Wal96], y es por lo que, la clasificacin que aqu se presenta, est basada en el tipo de planteamiento. Segn esto pueden clasificarse en mtodos grficos, analticos y de computacin matricial.

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De acuerdo con esta clasificacin en primer lugar se encuentran los mtodos grficos, o desde un enfoque ms amplio y actual, los mtodos grafo-analticos. Dentro de ellos se pueden establecer a su vez tres subgrupos. Los dos primeros se encuadran en lo que podra denominar mtodos grficos clsicos. Cabe distinguir por tanto, en primer lugar, los mtodos de descomposicin didica o mtodos de intersecciones, [Koz81], [Hai67]. En el segundo subgrupo estn los procedimientos de interpolacin grfica o falsas posiciones [Koz81] [Hai67] [Erd97]. Los mtodos grficos clsicos se apoyan en la existencia de un lazo cuadriltero en el mecanismo cosa que sucede en la mayora de los mecanismos sencillos. En los mtodos que forman el tercer subgrupo, el problema de posicin se aborda desde un enfoque geomtrico mientras que la resolucin del problema se realiza mediante procesos analticos. Son los mtodos que utilizan el enfoque modular [Man68] [KiC84] [Inn97], que consiste en descomponer el mecanismo en bloques de elementos ms simples para con posterioridad ensamblar sus resultados. La dificultad fundamental de los mtodos modulares consiste en que cuanta ms generalidad pretende darse, los mdulos de mecanismos crecen en complejidad. Los mtodos analticos se caracterizan por realizar un planteamiento analtico, independientemente de cual sea el procedimiento de resolucin (en muchos casos numricos). Estos mtodos toman como punto de partida las ecuaciones del cierre de los lazos independientes del mecanismo. En este sentidos son mtodos particulares que se concretan en programas de propsito particular. Una vez planteadas las ecuaciones del problema de posicin del mecanismo, hay tres maneras de resolver estos sistemas de ecuaciones no lineales [NiR99]: por mtodos de continuacin polinomial, por mtodos de eliminacin y las Bases de Grbner [Buc85]. Los mtodos de continuacin polinomial son conocidos como mtodos homotpicos. El procedimiento de continuacin polinomial es un mtodo de carcter puramente numrico [WaS96] [WMS90]. Debido a que las ecuaciones de cierre de los lazos del mecanismo son polinmicas en senos y cosenos, el mtodo de continuacin es capaz de encontrar todas las posibles soluciones sin necesidad de partir de una solucin

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aproximada cercana a la posicin solucin. Esto supone una ventaja a destacar con respecto a los tradicionales mtodos basados en el algoritmo Newton-Raphson. Otra ventaja fundamental es la capacidad del mtodo para resolver sistemas de ecuaciones de muy grandes dimensiones. El coste computacional es la desventaja fundamental de estos mtodos que no los hacen aptos para aplicaciones en las que se necesita controlar la posicin de un mecanismo en tiempo real. Para la obtencin de soluciones en forma cerrada, (solucin analtica), existen dos posibilidades: los denominados mtodos de eliminacin y las Bases de Grbner [DAK98]. Los mtodos de eliminacin utilizan una formulacin algebraica que permite la eliminacin de un gran nmero de variables convirtiendo un sistema de ecuaciones multivariante en una nica ecuacin univariante [Sal85]. Habitualmente la ecuacin resultante es compleja, y debe ser resuelta mediante procedimientos numricos o mediante la resolucin de un problema de valores y vectores propios a partir del determinante resultante [RaR95]. Estos mtodos resuelven totalmente el problema de posicin obteniendo todas las soluciones reales, complejas y en el infinito. Dentro de los mtodos de eliminacin se pueden distinguir tres tipos: mtodos de eliminacin simultnea [Wam00], de eliminacin sucesiva [NiR99] [DAK00] y de eliminacin repetida [DAK01]. Los mtodos de eliminacin poseen una eficiencia computacional mayor que los de continuacin polinomial y las Bases de Grbner. La dificultad de los mtodos de eliminacin est en encontrar, para cada caso, una estrategia adecuada para la eliminacin de las variables. Presentan asimismo el inconveniente de que no pueden evitar introducir soluciones ajenas al problema debido a las manipulaciones analticas realizadas. Las Bases de Grbner [Buc85] [DAK98], constituyen un procedimiento algebraico iterativo de eliminacin de variables. A pesar de su alto coste computacional, esta tcnica resulta muy til a la hora de confirmar el nmero de soluciones de un determinado problema de posicin o como ayuda para determinar su polinomio caracterstico. Asimismo, la utilizacin de las Bases de Grbner ha demostrado ser muy eficiente en combinacin con los mtodos de eliminacin basados en matrices resultantes [DAK98].

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Por ltimo se encuentran los mtodos generales de computacin matricial. Por tales se entienden, aquellos procedimientos que dan lugar a programas de computador basados en algoritmos sistemticos de anlisis [Erd97], que permiten el anlisis cinemtico completo, de forma automatizada para mecanismos con cualquier grado de complejidad y cualquier nmero de elementos. Dentro de los mtodos de computacin matricial existen dos enfoques: el ms extendido, basados en sistemas multicuerpo, y otro ms particular desarrollado a partir del Mtodo de los Elementos Finitos [AJH96]. En los mtodos multicuerpo, a la hora de modelizar el mecanismo, hay que seleccionar un conjunto de coordenadas que definan unvocamente la posicin de los elementos del mecanismo. Para ello, existen distintos tipos de coordenadas donde las ms importantes son: coordinadas relativas [Sui72], coordenadas cartesianas [Hau89] y coordenadas naturales [GSA81]. Una valoracin comparativa de la utilizacin de los distintos tipos de coordenadas puede verse en las referencias [NiK88] y [NiR00]. A partir de estas coordenadas, las restricciones que se formulan para obtener el sistema de ecuaciones del problema de posicin son: restricciones de lazo, restricciones de par y restricciones de elemento, respectivamente. Para la resolucin de dicho sistema, la primera fase consiste en el ensamblado del mecanismo, es decir, la obtencin de una de las soluciones del problema de posicin inicial. Para ello, se hace necesaria la asistencia de un mtodo computacional estable para obtener una buena estimacin de dicha posicin. Esto puede conseguirse minimizando el desequilibrio de las ecuaciones de restriccin [Hau89]. Una vez se ha ensamblado el mecanismo, se realiza un chequeo para comprobar la existencia de restricciones redundantes en el modelo que haya podido incluir involuntariamente el usuario cuando se modelizan mecanismos complejos o con geometras particulares. Posteriormente se eliminan de las ecuaciones de restriccin dependientes. Para ello, puede utilizarse la eliminacin gaussiana con pivotamiento total. Otra alternativa es trabajar directamente con un procedimiento de resolucin que trate con sistemas de ecuaciones redundantes. Un mtodo eficiente para resolver este problema es utilizar la formulacin de mnimos cuadrados en la iteracin.

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Una vez eliminadas las restricciones redundantes se puede finalmente realizar el anlisis de desplazamientos finitos obteniendo la simulacin del movimiento del mecanismo. En la resolucin de este problema se parte del conocimiento de una posicin previa del mecanismo cercana a la posicin a calcular.- Descomposicin didica - Mtodos grficos - Interpolacin o falsas posiciones - Grafo-analticos - Mtodos modulares - Mtodos de continuacin (homotpicos) - Analticos - Mtodos de eliminacin - Bases de Grbner - Enfoque multicuerpo - Computacin matricial -Enfoque MEF - Restr. de lazo (coord. relativas) - Restr. de par (coord. cartesianas) - Restr. de elemento (coord. naturales) - Simultnea - Sucesiva - Repetida

Fig. 2.2. Mtodos de resolucin del problema de posicin. Generalmente, a partir de esta posicin puede obtenerse una buena estimacin de partida con la que el mtodo de Newton-Raphson pueda alcanzar la convergencia cuadrtica del error [BuD98] y sea realmente eficaz. En el anlisis de desplazamientos finitos, con el objeto de asegurar la convergencia del mtodo, frecuentemente la estimacin de partida es previamente mejorada a partir de los datos del anlisis de velocidades y aceleraciones obtenidos para dicha posicin [Hau89] [HPA02]. Como resumen de lo presentado en esta introduccin, en la Fig. 2.2 se propone una clasificacin de los mtodos de resolucin del problema de posicin.

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2.6 Pares o juntasUna junta o un par, es la conexin que existe entre dos o ms eslabones, la cual se encuentra en los nodos de los eslabones y permite algn movimiento o movimiento potencial, entre los eslabones conectados [Nor03]. Las juntas o pares cinemticos pueden ser clasificadas de la siguiente forma: 1. Por el nmero de grados de libertad permitidos en la junta. 2. Por el tipo de contacto que existe entre los elementos: de lnea, de punto o de superficie. 3. Por el tipo de cierre de la junta en junta de fuerza o de forma. 4. Por el nmero de eslabones que estn conectados.

Junta de pasador para rotacin

Junta de corredera para translacin

a) Juntas con un GDL

Eslabn apoyado contra un plano

Eslabn con pasador de ranura

b) Semijuntas con dos GDL

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c) Junta de rtula o de bola con tres GDL Figura 2.3 Ejemplos tpicos de juntas En la figura 2.3 se muestran algunos ejemplos de juntas con uno o dos grados de libertad (GDL), que se hallan comnmente en mecanismos planos (o planares); en la figura 2.3 a) se muestran juntas con un grado de libertad, juntas de pasador rotacional y junta de translacin de corredera. A ambas uniones se les llama juntas completas o bien pares inferiores. La junta de pasador tiene un GDL rotacional y la junta de corredera un GDL traslacional entre los eslabones conectados. El movimiento de la fuerza o del tornillo en relacin de uno con otro, resulta en movimiento helicoidal. Si el ngulo de hlice es de cero grados, la tuerca gira sin avanzar y se tiene as la junta de pasador. Si el ngulo de hlice es de 90, la tuerca se trasladar a lo largo del eje del tornillo y se tiene as la junta de corredera. El trmino par inferior fue creado por Reuleaux para describir juntas con contacto de superficie, como el de un pasador dentro de un agujero. Este investigador acu la designacin de par superior para las juntas con contacto de punto de lnea. Pero si hay holgura o espacio libre entre el pasador y su agujero (como debe ser para que exista el movimiento), el contacto de superficie en la junta del pasador es realmente contacto de lnea, el pasador toca solo una porcin reducida del hueco. En la figura 2.3 b) se muestran ejemplos de juntas con dos grados de libertad las cuales permiten simultneamente dos movimientos relativos independientes, el de traslacin y el de rotacin, entre los eslabones conectados; a esta clase de juntas se les conoce con el nombre de semijuntas, y

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algunas veces se les denomina tambin juntas de rodamiento y deslizamiento debido a que permite ambas formas de movimiento. En la figura 2.3 c) se muestra un ejemplo de una junta con tres grados de libertad, la cual permite tres movimientos angulares independientes entre los dos eslabones conectados. Una junta con ms de un GDL es llamada un par superior; las juntas completas y las semijuntas se utilizan en mecanismos planares y espaciales

2.7 Sistema Multicuerpo de seis elementos.Si un Sistema Multicuerpo de cuatro eslabones no proporciona el tipo de movimiento requerido para una aplicacin en particular, usualmente se considera como siguiente posibilidad, uno de los dos tipos de eslabonamientos de seis barras de un solo grado de libertad, como son la cadena de Watt o la cadena de Stephenson [SMS02], las cuales se muestran en la figura 2.4. Estas clasificaciones dependen de la colocacin de los eslabones ternarios, as en la cadena de Watt, los eslabones ternarios son adyacentes, mientras que en la cadena de Stephenson, los eslabones ternarios estn separados.

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Eslabonamientos de Watt

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Eslabonamientos de Stphenson Figura 2.4 Mecanismos de seis eslabones De la misma manera, la cadena cinemtica de la figura 2.5 (cadena de Stephenson), presenta tres inversiones, y la de la figura 2.6 (de Watt) presenta 2 inversiones.

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Fijando 3 5

Fijando 1 2

Fijando 4 6 Fig. 2.5 Inversiones de la cadena cinemtica de Stephenson

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Fijando 1, 2, 5 6

Fijando 3 4

Fig. 2.6 Inversiones de la cadena cinemtica de Watt.

2.8 Grados de libertad.Cuando se tiene un Sistema Multicuerpo, ste se puede clasificar de acuerdo con el nmero de Grados De Libertad (GDL) que posee. El GDL de un mecanismo es el nmero de parmetros independientes que se necesitan para definir su posicin en el espacio en cualquier instante. Se tiene un eslabn como el que se muestra en la figura 2.7, el cual est colocado sobre un plano que tiene un sistema de coordenadas x, y; si el eslabn permanece en el plano se requieren tres parmetros para definir completamente su posicin: dos coordenadas lineales (x, y) para definir la posicin de cualquier punto del eslabn, y una coordenada angular ( ) para definir el ngulo que forma con respecto al eje x. Obsrvese que este sistema tiene tres GDL, ya que el eslabn no se encuentra fijo. Los parmetros particulares elegidos para definir su posicin no son los nicos que se podran haber utilizado en un conjunto alterno como pueden ser dos longitudes y un ngulo.

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Fig. 2.7 Parmetros de un eslabn en el plano. Por lo tanto, el GDL de un sistema depende del tipo de unin que presenten los eslabones, los cuales pueden conformar una cadena de tipo abierta o cerrada, como se muestra en la figura 2.8. Un sistema cerrado no tendr nodos con apertura por lo que puede tener uno o ms GDL mientras que una cadena abierta con ms de un eslabn tendr siempre ms de un grado de libertad. Para determinar el GDL en un mecanismo se debe tener en cuenta el nmero de eslabones que lo conforman, as como tambin el tipo de unin y la clase de juntas con las que estn unidos los eslabones.

a) Cadena de eslabones abierta

b) Cadena de eslabones cerrada

Figura 2.8 Tipos de cadena.

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Como ya sabemos, un eslabn cualquiera en un plano tiene tres GDL y por consiguiente, un sistema de L eslabones no conectados en el mismo plano tendr 3 x L GDL. Cuando un eslabn cualquiera se fija o se sujeta al marco de referencia o bastidor, sus tres GDL quedarn eliminados. Todo esto se puede expresar por medio de la ecuacin de Gruebler:

GDL = 3L 2J 3Gdonde:

(2.1)

GDL = nmero de grados de libertad L = nmero de eslabones J = nmero de juntas G = nmero de eslabones fijosSi se presenta ms de un eslabn fijo el efecto neto ser crear un eslabn fijo mayor, ya que slo hay un plano de sujecin. Por tanto G siempre va a ser igual a uno, y si sustituimos en la ecuacin de Gruebler, se puede escribir como:

GDL = 3(L - 1) 2J

(2.2)

En la cual se deben incluir todas las juntas que acten en el mecanismo para ambos casos y si se trata de un par superior, se considerar como la mitad de una junta o sea J, ya que solo elimina un GDL. Al incluir esta condicin se obtiene:

GDL = 3(L - 1) 2J1 J2donde:

(2.3)

GDL = nmero de grados de libertad L = nmero de eslabones J1 = nmero de juntas completas o pares inferiores J2 = nmero de semijuntas o pares superiores

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2.9 VelocidadEn la figura 2.9 se aprecia un punto P cuya posicin viene definida por el vector RP . Al cabo de un determinado espacio de tiempo t el punto P pasa a ocupar la posicin P' cuya posicin vendr definida por el vector R 'P . El punto P ha sufrido un desplazamiento RP que vendr definido por:' RP = RP RP

(2.4)

La velocidad media durante el desplazamiento citado ser:

Vm =

RP t

(2.5)

Y la velocidad instantnea en el punto P ser:

VP = lim

RP dRP = dt t 0 t

(2.6)

Fig. 2.9 Desplazamiento de un punto

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2.10 Derivacin de vectores en coordenadas cartesianasSi se tiene por ejemplo el vector de posicin de un punto RP expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:X Y Z RP = RP i + RP j + RPK

(2.7)

La derivada respecto del tiempo de ese vector ser el vector velocidad:

VP =

dRP dt

(2.8)

La componente X del vector velocidad ser la derivada de la componente X el vector de posicin; la componente Y de la velocidad ser la derivada de la componente Y del vector de posicin, y la componente Z de la velocidad ser la derivada de la componente Z del vector de posicin.X Y Z dRP dRP dRP i+ j+ k dt dt dt

X Y Z VP = VP i + VP j + VP k =

(2.9)

Si se deriva de nuevo con respecto al tiempo, con procedimientos anlogos a los anteriores, se pueden obtener las expresiones para el anlisis de la aceleracin.

2.11 Movimiento cualquiera de un eslabnComo ya sabemos el movimiento cualquiera de un eslabn se puede considerar como compuesto de otros dos, una translacin y una rotacin, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabn se deba precisamente al giro del eslabn. Por tanto, la relacin entre las velocidades de dos puntos ser:VP = VQ + VPQ

(2.10)

La velocidad VPQ es debida al giro y su valor ser:

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VPQ = RPQ

(2.11)

2.11.1 Movimiento plano cualquieraEn un slido rgido con movimiento plano cualquiera, como los vectores y RPQ son perpendiculares, resultar que el mdulo de la velocidad del punto P respecto del punto Q ser:

VPQ = RPQ

(2.12)

La direccin de VPQ ser perpendicular a y por tanto estar contenida en el plano del movimiento, y perpendicular a RPQ . El sentido de VPQ ser coherente con el sentido de al igual que en el movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo.

2.12 Ecuaciones cinemticasHabitualmente, el planteamiento de las ecuaciones de un sistema mecnico conlleva la introduccin de un conjunto de p coordenadas generalizadas qj, j = 1 p, en general dependientes:

q1 . q= . qp

(2.13)

cuyo objeto es describir, en cada instante de tiempo, la posicin del sistema mecnico. Las coordenadas generalizadas, q, se relacionan mediante un conjunto de g ecuaciones geomtricas o ecuaciones para las coordenadas generalizadas (problema de posicin). Dichas relaciones, en general no lineales, quedan recogidas en el vector

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de tal forma que:

1 ( q,t ) . ( q,t ) = = . g ( q,t )

0 . . 0

.

(2.14)

Las velocidades generalizadas q , estarn relacionadas por las derivadas de las ecuaciones anteriores y por un conjunto de r relaciones no holnomasA ( q,t ) q + b ( q,t ) = 0

(2.15)

que dan lugar al sistema de c = g + r ecuaciones para las velocidades generalizadas (problema de velocidad)v ( q,t ) q + b v ( q,t ) = 0

(2.16)

donde

q t v = y bv = b A con

q es el jacobiano del problema de posicin que se obtiene al derivar laexpresin 2.14 respecto al tiempo

=

q+ = q ( q,t ) q + t ( q,t ) q t

v representa el jacobiano del problema de velocidad. bv es el trmino independiente del problema de velocidad.

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Las aceleraciones generalizadas q , estn relacionadas por las ecuaciones para las aceleraciones generalizadas, derivadas stas de las ecuaciones para velocidades, segn

v ( q,t ) q + v ( q,q,t ) q + bv ( q,q,t ) = 0donde

(2.17)

v es la derivada del jacobiano del problema de velocidad respecto altiempo

v = j=1

p

v q j + v q j t

bv representa la derivada del trmino independiente del problema de

velocidad, que formalmente se define

t t q+ q t bv = b b q q + t

2.13 Planteamiento de las ecuaciones geomtricasFormalmente, las ecuaciones geomtricas no son ms que relaciones arbitrarias entre las coordenadas q, la variable tiempo, t (si es que son de tipo rhenomo), y un conjunto de parmetros relacionados con la geometra del sistema mecnico o con el carcter rhenomo del enlace. Desde un punto de vista operativo, las ecuaciones geomtricas se plantean como condiciones que deben cumplir los vectores de posicin de puntos y vectores unitarios de las bases introducidas para posicionar los elementos del sistema.

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Por ejemplo:

Proyeccin del vector de posicin Pj Pi en la direccin definida por un vector unitario, u , igual a f ( q,t ) .

Pi Pj u f ( q,t ) = 0

(2.18)

En particular, si f ( q,t ) = 0 , la ecuacin anterior expresa perpendicularidad entre el vector y la direccin.

ngulo entre dos vectores unitarios, v y w, en la direccin mutuamente perpendicular, u, igual a f ( q,t ) .

cos ( f ( q,t ) ) v w sin ( f ( q,t ) ) v w = 0 Puntos Pj y Pi coincidentes:Pj Pi = 0

(2.19)

(2.20)

Vector de posicin Pj Pi y vector unitario, u, paralelosPj Pi u = 0

(2.21)

ngulo entre dos vectores unitarios 2u v cos ( ) = 0

(2.22)

Distancia entre dos puntos, p > 0

Pj Pi Pj Pi p2 = 0

(2.23)

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2.14 Planteamiento de ecuaciones no holnomasFormalmente las relaciones de tipo no holnomo no son sino ecuaciones lineales en las velocidades generalizadas, en las que pueden aparecer expresiones arbitrarias que involucran a las coordenadas generalizadas y al tiempo. Desde un punto de vista operativo estas ecuaciones se calculan como relaciones que deben cumplir los vectores velocidad de algunos puntos y velocidades angulares de algunas bases empleadas en la definicin del sistema mecnico. Por ejemplo:

La velocidad de un punto Pi en una direccin u especificado como funcin del tiempo, tVR (Pi ) u + f ( t ) = 0

(2.24)

donde VR representa la referencia donde se sita el observador.

No deslizamiento entre Sol y Sol en el punto Pi (C.I.R. de Sol respecto a Sol) en la direccin u

VR (Pi Sol ) VR (Pi Sol )

(2.25)

Al igual que en el caso de las ecuaciones geomtricas, las ecuaciones no holnomas tambin incluyen algunos elementos y operadores (velocidad de un punto en una referencia) del citado interfaz cartesiano.

2.15 Formulacin de las ecuaciones en funcin del tipo de coordenadasComo ya se coment en la introduccin de este captulo, la eleccin de las coordenadas es una delicada tarea que no tiene una respuesta nica. El tipo de

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coordenadas, junto con el formalismo empleado, determinarn la estructura final de las ecuaciones. a) Coordenadas Relativas El movimiento de un determinado slido es relativo al del slido anterior en la cadena cinemtica. Dicho movimiento, se expresa en base a un nmero de coordenadas igual al nmero de grados de libertad del enlace presente entre ambos slidos. As, el nmero y tipo de coordenadas debe elegirse de forma apropiada para cada problema en concreto. El nmero de incgnitas de movimiento empleado en la formulacin es reducido, incluso mnimo si la topologa del mecanismo no presenta lazos cerrados. Detalles de esta formulacin pueden encontrarse en cualquier libro de mecnica clsica. [Cra86] y [Agu96]. b) Coordenadas Cartesianas El movimiento de cada slido se expresa de forma independiente respecto al resto de los que integran el sistema. Las coordenadas son elegidas de forma sistemtica, (por ejemplo, desplazamientos y giros eulerianos de dichos slidos), lo cual deriva en sistemas de ecuaciones diagonales por bloques, poco compactos y con alta dispersin (esparseidad). Normalmente, el nmero de incgnitas de movimiento que resuelven el problema es elevado si ste se compara con el empleado en otras formulaciones. Adems, en este caso, la definicin del problema exige introducir gran nmero de restricciones geomtricas independientemente de la existencia de lazos cerrados. Ejemplos de formulaciones basadas en este tipo de coordenadas pueden encontrarse en las referencias [Nik88] y [Sha98].

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c) Coordenadas Naturales El movimiento se caracteriza en base a los desplazamientos cartesianos de diferentes puntos de control del mecanismo. Dada la homogeneidad en el tipo de coordenadas, las ecuaciones de movimiento correspondientes son fcilmente estructurables y presentan un gran nmero de invariantes [GUA86]. Como contrapartida, el nmero de incgnitas y de ecuaciones de enlace en situaciones generales puede ser mayor todava al del tipo anterior. Por otra parte, hay situaciones en que las restricciones cinemticas no pueden introducirse de forma directa, lo que obliga a introducir coordenadas en exceso o auxiliares. En la referencia [GJB94] se trata en detalle la utilizacin de las mencionadas coordenadas naturales.

2.15.1 EjemplosEn las siguientes subsecciones, con varios ejemplos desarrollados sobre el mecanismo representado en la figura 2.10, se ilustrarn las ideas expuestas en este captulo utilizando los diferentes tipos de coordenadas definidas en la seccin anterior.

Figura 2.10. Mecanismo biela-manivela-deslizadera

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Coordenadas Relativas

El vector de coordenadas q = [1 2 ]

T

describe la posicin del mecanismo sin

ligaduras (vase figura 2.11). Las coordenadas anteriores son dependientes, puesto que si toman valores arbitrarios, el punto C no estara obligado a mantenerse paralelo al eje x de la base xyz. Por tanto, existe una relacin geomtrica que puede plantearseAC e y e = 0

(2.26)

donde e y hace referencia al vector unitario en la direccin y de la base xyz.

Figura 2.11. Acotacin del mecanismo utilizando coordenadas relativas Haciendo uso del diagrama de orientaciones aparece en la figura 2.11, podemos expresar la ecuacin 2.26 en forma matricial:0 e =0 1 0 x y z

1 2 3 1' 2' 3' [ AB]1' 2' 3' + x y z [BC]1 2 3 x y z

T

(2.27)

donde Las matrices de cambio de base quedan definidas como

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xyz

1' 2' 3'

cos ( 1 ) sin ( 1 ) = sin ( 1 ) cos ( 1 ) 0 0123 1' 2' 3' 123

0 0 1

(2.28)

x z y = x y z 1' 2' 3' concos ( 2 ) sin ( 2 ) 0 = sin ( 2 ) cos ( 2 ) 0 0 1 0

(2.29)

1' 2' 3'

123

(2.30)

Los vectores de posicin se definen como l1 , [BC] 1 2 3 = =0 0 1' 2' 3' l2 0 0 1

[ AB] 1' 2' 3'

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donde l1 y l2 son parmetros geomtricos del problema. Combinando las expresiones anteriores, la ecuacin 2.26 puede reescribirse

= l1 sin ( 1 ) + l2 sin ( 1 + 2 ) e = [0]

(2.31)

Como es obvio, el mecanismo de la figura posee una coordenada independiente, lo que se traduce en que basta fijar una de las incgnitas de movimiento para determinar completamente el movimiento del mecanismo, es decir, que posee un grado de libertad. As, siendo: g = 1, el nmero de restricciones geomtricas,

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r = 0, el nmero de restricciones no holnomas, c = g + r = 1, el nmero de restricciones cinemticas y p = 2, el nmero de coordenadas de partida, el nmero de grados de libertad del sistema, GDL, es GDL = p c = 1 , algo que podamos saber, dado que al ser r = 0, el nmero de coordenadas independientes, m, coincide con el de grados de libertad m = p g = GDL. Derivando respecto al tiempo la ecuacin 2.31, se obtiene la relacin para velocidades

1 l1 cos ( 1 ) + 1 + 2 l2 cos ( 1 + 2 ) = 0que de forma matricial se expresa

(

)

(2.32)

= q q = l1 cos ( 1 ) + l2 cos ( 1 + 2 ) l2 cos ( 1 + 2 ) q = [0]

(2.33)

donde la parcial t no aparece por no existir dependencias explicitas en la variable tiempo, t. Es decir, la ecuacin es esclernoma. Por ltimo, derivando respecto al tiempo la ecuacin, se obtiene la relacin para aceleraciones generalizadas

= q q + q q = l1 cos ( 1 ) + l2 cos ( 1 + 2 ) l2 cos ( 1 + 2 ) q l1 sin ( 1 ) l2sin ( 1 + 2 ) + qT l2 sin ( 1 + 2 ) Coordenadas Cartesianas

l2sin ( 1 + 2 ) q = 0 l2sin ( 1 + 2 )

(2.34)

La acotacin en coordenadas cartesianas responde a la necesidad de generar las ecuaciones de movimiento de forma sistemtica. En este caso, cada uno de los slidos del sistema se acota de forma independiente.

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En el plano, la posicin de un slido queda convenientemente representada de forma cartesiana mediante tres coordenadas independientes. Tal como se aprecia en la figura 2.12, en este caso las coordenadas elegidas son los desplazamientos absolutos de los puntos C1, D2 y E3 y las rotaciones absolutas de los tres eslabones:

q = [ x D y D 1 x E yE 2 x C yC 3 ]

T

As, el nmero de coordenadas de partida, p = 9, es superior al representado en la seccin anterior.

Figura 2.12. Acotacin del mecanismo utilizando coordenadas cartesianas Teniendo en cuenta la acotacin elegida, se hace necesario imponer las siguientes restricciones:

B1 y B2 coinciden (par de revolucin), C2 y C3 tambin coinciden, A1 coincide con el origen de Abs, O, Blo puede desplazarse exclusivamente en direccin horizontal y no tiene permitido el giro

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Matemticamente, las restricciones anteriores se traducen en:

OB1 = OB2 OC2 = OC3 OA1 = 0 OC e y = e e1'' e x = 1donde ey es el vector unitario sobre el eje y de la base xyz, e1 es el vector unitario en la direccin 1 de la base 1 2 y ex es el vector unitario sobre el eje x de la base xyz.(2.35)

[O D1 ] xyz + [O E 2 ] xyz +

b1 xyz b2 xyz b1 xyz

[ D1 B1 ] b = [O E 2 ] xyz + 1

b2 xyz b

[ E 2 B2 ] b

2

[ E 2 C2 ] b

2

3 [C C ] = [ O C3 ] xyz + 3 3 b 3 xyz(2.36)

[O D1 ] xyz +

[ D1 A1 ] b = [0] xyz1

yc = e 3 = 0 donde la posicin de un punto genrico Pi, solidario a cualquier referencia Ri con origen en el punto Oi y base de proyeccin bi se expresa comoO Pi = O Oi + Oi Pi

[O Pi ] xyz = [O Oi ]xyz + i xyz b

bixyz

[Oi Pi ] bi

(2.37)

y donde

siempre es de la forma

xyz

bi

cos i = sin i 0

sin i cos i 0

0 0 1

(2.38)

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Operando, el sistema de ecuaciones 2.35, presentado en la forma habitual se escribe:

1 xD + 2 1 yD + 2 =

1 l1 cos1 xE l2 cos2 2 1 l1 sin1 yE l2 sin2 0 2 0 1 xE + l2 cos2 x C 0 2 1 = 0 yE + l2 sin2 y C 0 2 1 0 xD l1 cos1 0 2 1 0 yD l1 sin1 2 yC e 3

(2.39)

y dado que g = 8 y r = 0, tambin se cumple que GDL = p - c = 1. Derivando respecto al tiempo de la ecuacin 2.39, se obtiene la relacin para velocidades, que en forma matricial se escribe 1 0 0 = q q = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 l1sin1 1 2 1 l1cos1 0 2 0 0 1 l1sin1 2 1 l1cos1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 l2sin2 2 1 l2cos2 2 1 l2sin2 2 1 l2cos2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q = 0 0 0 0 0 0 0 1

(2.40)

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Las relaciones para aceleraciones generalizadas se obtienen de forma anloga a la presentada en el apartado anterior, pero se omiten por

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