COMPOSICIN DE FUNCIONESDA 33 * 1 BAD CT

COMPOSICIN DE FUNCIONESSea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.Llamamos funcin COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:

(f o g)(x) = f [ g (x) ]

(g o f)(x) = g [ f (x) ]

Ejemplo_1

Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1

(f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 1)

(g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 1 = (1 / x2) 1 = ( 1 - x2) / x2

Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

Ejemplo_2

Sea f(x) = x ,, g(x) = x2

(f o g)(x) = f [ g (x) ] = x2 = x

(g o f)(x) = g [ f (x) ] = ( x)2 = x

Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

Ejemplo_3

Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 1

(f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 1)

(g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 1

Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

Ejemplo_4 3Sea f(x) = x ,, g(x) = x2 3 6 3(f o g)(x) = f [ g (x) ] = ( x2 ) = x2 = x 3 3(g o f)(x) = g [ f (x) ] = ( x)2 = x

Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

Ejemplo_5

Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 1 ,, h(x) = x

(f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen (( x)2 1) = sen (x 1)

(g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen x) 2 1

A veces entran en juego tres o ms funciones para la composicin de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles.

FUNCIN INVERSA DE OTRASea y = f(x) una funcin real de variable real.

Llamamos funcin INVERSA a la expresin y = f -1 (x)

Condicin:

Si f(a) = b f -1 (b) = a

Relaciones entre una funcin y su inversa:

(f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x(f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x

Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x Las grficas de dos funciones inversas son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x

Para hallar la funcin inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuacin y= f(x) y despus se intercambian las x por las y.

Ejemplo 1

Sea f(x) = x2 - 1

y = x2 1 x = y2 1 y2 = x + 1 y = +/- (x+1)La funcin resultante No es funcin, por lo tanto la funcin dada no tiene inversa.

Ejemplo 2

Sea f(x) = 1 / (x 2)

y = 1 / (x 2) x = 1 / (y 2) x.y 2.x = 1 y = (1 + 2.x) / x

Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la funcin dada.

Comprobemos: (f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] 2) = x (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x 2)]) / [1 / (x 2)] = x

Ejemplo 3

Sea f(x) = sen x - 1

y = sen x 1 x = sen y 1 sen y = x + 1 y = arc sen (x + 1)

Luego f -1 (x) = arc sen (x + 1 )

Comprobemos: (f o f -1)(x) = sen [arc sen (x+1)] 1 = (x + 1) 1 = x (f -1 o f)(x) = arc sen (sen x 1 + 1) = arc sen (sen x) = x

Ejemplo 4

Sea f(x) = (x 1)

y = (x 1) x = (y 1) x 2 = y 1 y = x2 + 1

Luego f -1 (x) = x2 + 1

Comprobemos: (f o f -1)(x) = (x2 + 1 1) = x2 = x (f -1 o f)(x) = [ (x 1)] 2 + 1 = x 1 + 1 = x

Ejemplos grficos 5 y 6En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.y = - 2.xy = - x / 2y = 2.x + 1y = (1/2).x - 2

Ejemplos grficos 7 y 4En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.y = ln xy = exy = x2 +1y = (x-1)