Banco de Preguntas Mat II 2015-i

BANCO DE PREGUNTAS 2015-I

LA RECTA1. De los puntos dados: A=(-4;-5), B=(3;10), C=(6;12).

a) Grafique el tringulo en el plano coordenado.b) Calcule la distancia entre el vrtice C y el lado AB.c) Calcule el rea del tringulo ABC.

2. Un techo sube 5 metros por cada cambio horizontal de 8 metros. Determine la inclinacindel techo; tambin determine la elevacin total del techo si tiene una longitud inclinada de25 m.

3. Encuentre la pendiente y la interseccin y (si es posible) de la ecuacin de la recta. Tracela recta. x +2y -8 = 0

4. Halla la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 4x+3y-12 = 0 y que dista 5 unidades dela longitud del origen de coordenadas.

5. Se dan las rectas 2x 3y 6 = 0; 2y x + 4 = 0. Halla los puntos en la primera rectaque disten 4 5 unidades, de la segunda recta.

6. Los puntos representan los vrtices de un tringulo A(-4,-5), B(3,9) y C(8,6) determina laecuacin y la longitud de la altura del vrtice B al lado AC.

7. Determine el ngulo que forman los siguientes pares de rectas:a. r: x y 3 = 0, s: x 3y 5 = 0 b) )1(

213: =+ xyr , s: y = x + 2

8. En el tringulo de vrtices A(2, -3), B(-1, 4) y C(0, 5). Calcule:a. La altura correspondiente al vrtice C,b. La ecuacin de la mediatriz del lado AB,c. Su rea.

9. Los puntos representan los vrtices del tringulo ABC; A(-6; -2), B(3; 10) y C(6; 12).Determina:A) El rea de la regin triangular.B) Ecuacin de la recta que pasa por los vrtices A y B.C) La altura trazada desde el vrtice B al lado AC.

10. Un tringulo rectngulo en A tiene dos vrtices en los puntos A(2;5) y C(3;-2). Halle lascoordenadas del vrtice B sabiendo que est situado en la recta 2x + y + 3 = 0.

11. Dada los siguientes puntos A(-0.5;0.5), B(2;3) y C(5;-2).a) Dibuje el tringulo ABC en el plano coordenado.b) Encuentre la altura del vrtice B del tringulo al lado AC.c) Encuentre el rea del tringulo.

12. Pendiente de un camino. Un camino recto sube con una inclinacin de 0.10 radianes apartir de la horizontal (vea la figura). Determine la pendiente del camino y el cambio enelevacin en un tramo de tres kilmetros del camino.

MATEMTICA II

BANCO DE PREGUNTAS 2015-I Pgina2

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13. Inclinacin de un techo. Un techo sube 3 metros por cada cambio horizontal de 5 metros(vea la figura). Determine la inclinacin del techo.

14. Dado el punto P ; y la recta 3x + 4y = 7, determine la ecuacin de la recta paralela yrecta perpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P.

15. Dado el punto P ; y la recta 5x + 3y = 0, determine la ecuacin de la recta paralela yrecta perpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P.

16. Dado el punto P(1; 0) y la recta y = -3, determine la ecuacin de la recta paralela y rectaperpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P.

17. Calcular los ngulos interiores al triangulo de vrtices P(8,2), Q(3,8) y R((2,-2).18. La recta determinada por los puntos A(3,2) y B(-4,-6) es perpendicular a la recta definida

por los puntos P(-7,1) y Q(x,6). Calcular el valor numrico de x.19. Determina la ecuacin algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y) equidista

de los dos puntos A (2, 2) y B (9, 9).20. Dos vrtices de un tringulo son A(3,1), B(6,4) y el tercero est sobre la recta de ecuacin: 3 = 0. El rea del tringulo es 9. Hallar el tercer vrtice.21. Un vrtice de un cuadrado es el punto P(3,11) y una de sus diagonales se halla sobre la

recta de ecuacin : 2 + 4 = 0. Calcular las coordenadas de los otros vrtices.22. Un tringulo ABC tiene sus lados sobre las rectas de ecuaciones: 3 2 + 2 = 0; +2 10 = 0; 3 + 5 = 0. Calcular el permetro y el rea.23. Determinar la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 4x + 3y 12 =0 y que dista 5

unidades de longitud del origen de coordenadas.24. Un tringulo rectngulo en A tiene dos vrtices en los puntos A(1,3) y C(3,0). Halla las

coordenadas del vrtice B sabiendo que est situado en la recta 2x + y + 2 = 0.25. Determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1;-6) y cuyo producto de

coordenadas en el origen es 1.26. Determinar la ecuacin de la recta de abscisa en el origen -3/7 y que es perpendicular a la

recta 3x + 4y 10 = 0.27. Determinar la ecuacin de la perpendicular a la recta 2x + 7y 3 = 0, en su punto de

interseccin con 3x 2y + 8 = 0.


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LA CIRCUNFERENCIA28. De la grfica mostrada escriba la ecuacin general de la circunferencia.

29. Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(-4; -3), B(5;10) y cuyocentro est sobre la recta 3x + y 5 = 0

30.Determine la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos P(2; 5) y Q(3; 12),sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda PQ es igual a 5

231. Dada la ecuacin, determine que representa:(un punto, una circunferencia o un conjunto

vaco)a) 095108243636 22 =+++ yxyxb) 058121622 22 =+++ yxyxc) 06082844 22 =+++ yxyxd) 0178641616 22 =+++ yxyx

32. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos: M(0, 4), N(6, 0) y P(3, 8).33. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pase por el punto (0,0), tenga de radio igual a 13

y la abscisa de su centro es -12.34. Hallar la ecuacin de la circunferencia, de manera que uno de sus dimetros sea el segmento

que une los puntos (5, -1) y (-3, 7).35. Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro el punto (-4, 2) y que sea tangente a la recta

3x + 4y 16 = 0.36. Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1; 4) y es tangente

a la recta que pasa por los puntos A(3; -2) y B(-9; 3).37. Diseo Industrial. Al disear matrices para punzonar una lmina metlica se utiliza la

configuracin que se muestra en la figura. Escriba la ecuacin de la circunferencia pequeacon centro en B tomando como origen el punto marcado con A. Utilice los siguientesvalores: r = 3 pulgadas, a = 3.25 pulgadas, b = 1 pulgada y c = 0.25 pulgadas.


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38. Diseo industrial. Un volante de 26 cm de dimetro va a montarse de modo que su ejeest a 5cm por arriba del nivel del piso, como se muestra en la figura. a) Escriba laecuacin de la trayectoria seguida por un punto en el borde. Utilice la superficie del pisocomo el eje horizontal y la recta perpendicular que pasa por el centro como el eje vertical.b) Encuentre el ancho de la apertura en el piso, permitiendo un juego de 2cm a amboslados del volante.

39. Dadas las circunferencias:

=++

=+

018y16x12y2x2

0y8x6yx22

22

se pide:a) Comprobar que son concntricas.b) Calcular el rea de la corona circular que determinan.

40. Determinar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos: M(0;4), N(6;0) y P(3;8).41. Determinar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(0;0) y B(8;6) y tiene

el centro en la recta: y = x 1.42. Determinar la ecuacin de la circunferencia de centro (1;-4) y tangente a la recta: y = -x +2.43. Los extremos del dimetro de una circunferencia son los puntos A(-1;3), B(7;4), obtn la

ecuacin en su forma ordinaria y general.44. Obtener la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia de ecuacin: x2 + y2 + 2x 2y

39 = 0. En el punto (4;5).45. Determinar la ecuacin de la circunferencia que tiene por dimetro el segmento de recta:

3x + 4y + 12 = 0. Comprendiendo entre los ejes coordenados.46. Determinar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje x y pasa por los

puntos A(2;2) y B(6;-4).47. Determinar la ecuacin de la circunferencia de radio 5 que sea tangente a la recta 3x + 4y

16 = 0 en el punto A(4,1).48. Determinar la ecuacin del dimetro de la circunferencia x2 + y2+ 4x 6y 17 = 0 que es

perpendicular a la recta 5x + 2y 13 = 0.49. Calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas P(1,2),

Q(1,4) y R(2,0).

LA PARBOLA50. Se lanza una pelota desde la cima de una torre de 33 m de altura con una velocidad de 19,6

m/s. Determine la ecuacin de la trayectoria parablica; Cul es la distancia que recorrela pelota horizontalmente antes de golpear el suelo? Utilice: = ( ); =9,8 / .


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51. Una parbola cuyo vrtice est en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por (-2; 4).Halle la ecuacin de la parbola, las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y lalongitud del lado recto.

52. La entrada de una iglesia tiene la forma de parbola de 9m de alto y 12m de base. Toda laparte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m. Cul es laaltura mxima de la ventana?

53. Un arco parablico tiene una altura de 20m y 20m de ancho. Cul es la altura del arco a5m del centro?

54. Un cable suspendido por soportes a la misma altura (70 m), que distan 240 m. entre s,cuelga en el centro 30 m. Si el cable tiene forma de parbola:a) Grafique el puente, colocando el origen de coordenadas en el centro del puente, e

identificando las coordenadas conocidas.b) Modele la ecuacin que genera el cable.c) Calcule la longitud de un cable de suspensin a una distancia horizontal de 20 m del centro

del puente.55. La trayectoria de un proyectil disparada desde el piso est modelada por:180( 80) = ( 120)

Donde las coordenadas x y y estn medidas en metros y el eje x coincide con el suelo.Determine la altura mxima de su trayectoria y su alcance horizontal mximo.

56. Ingreso. El ingreso, R (en dlares), generado por la venta de x unidades de un juego demuebles de patio se da por: ( 106) = ( 14,045), Grafique y aproxime elnmero de ventas que hagan mximo el ingreso.

57. Diseo de un camino. Con frecuencia los caminos se disean con superficies parablicaspara permitir que escurra la lluvia. Un camino con 10 metros de ancho est 0.12 metrosms alto en el centro, que en uno de los lados. a) Encuentre la ecuacin de una parbolaque modele la superficie del camino (suponga que el origen est en el centro del camino),b) Qu tan lejos del centro del camino est la superficie 0.03 metros ms baja que en elcentro?

58. Hallar la ecuacin de la recta de pendiente -3 que pasa por el foco de la parbola convrtice en (-2;2) y directriz la recta: 2y 1 = 0.

59. Determinar los puntos de interseccin de la recta: 6x y 2 = 0 y la parbola x2 + 4x y 5= 0.

60. Una parbola cuyo vrtice est en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, pasa por (-2,4).Halle la ecuacin de la parbola, las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y lalongitud de su lado recto.

61. Una cuerda de la parbola y2 4x = 0 es un segmento de la recta x 2y +3 = 0. Halle sulongitud.

62. Dadas las parbolas siguientes:y2 4y +6x 8 = 03x2 9x 5y 2 = 0


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y2 4y 6x + 13 = 0Determinar:a) Las coordenadas del vrticeb) Las coordenadas del fococ) La longitud del lado rectod) La ecuacin de la directriz.

63. El cable de suspensin de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parbola.Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y estn separados una distanciade 500 metros, quedando el punto ms bajo del cable a una altura de 10 metros y sobre lacalzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que define el puente y como ejey el de simetra de la parbola, determinar la ecuacin de sta. Calcular la altura de unpunto situado a 80 metros del centro del puente.

64. Un arco parablico tiene una altura de 25 metros y una luz de 40 metros. Determinar laaltura de los puntos del arco situados 8 metros a ambos lados de su centro.

LA ELIPSE65. La parte inferior del puente GIRALDEZ EN HUANCAYO es un arco semielptico, el cual est

en su parte ms alta con referencia a la pista que pasa por debajo del puente a 320 cm.Adems el nivel de esa pista coincide con el eje mayor de la elipse que es aproximadamente2600 cm. En una situacin catica, un camin decide pasar por debajo del puente; Lograrpasar por dicho espacio, si el camin es de 260 cm de ancho y 315 cm de alto? (11 = 3,31)

66. Identifique la cnica como una circunferencia o una elipse. Despus encuentre el centro,los radios, los vrtices, los focos y la excentricidad de la cnica y trace su grfica.

2 24 6 20 2 0x y x y+ + =67. Un satlite se mueve alrededor de la tierra describiendo una rbita elptica, donde la tierra

es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia ms corta a la que se acerca el satlite a latierra es 450km. Determina la distancia ms grande a la que se aleja el satlite de la tierra.

68. Dada la ecuacin 12x + 20y 12x + 40y 37 = 0 determine:a) La ecuacin estndar de dicha cnica.b) Su excentricidad.c) La ecuacin de sus directrices.

69. El arco de un paso subterrneo es una semielipse de 90 m. de ancho y 30 m. de altura.a) Halle el ancho situado a 10m de alturab) Obtenga la altura de un punto situado a 20m. de la orilla.

70. Identifique la cnica como una circunferencia o una elipse. Despus encuentre el centro,los radios, los vrtices. Los focos y la excentricidad de la cnica (si es aplicable) y trace sugrfica. 9 + 4 + 36 24 + 36 = 0 9 + 4 54 + 40 + 37 = 0 16 + 25 32 + 50 + 16 = 0 9 + 25 36 50 + 60 = 0

71. Determine la forma estndar de ecuacin de la elipse con las caractersticas dadas:


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a)b) Focos: (0;0) y (4;0); eje mayor con longitud 8.c) Centro: (3;2); a = 3c; focos: (1;2) y (5;2)d) Vrtices: (0;2) y (4;2), puntos extremos del eje menor (2;3) y (2;1)

72. Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un tnel, para un camino en un sentido a travsde una montaa, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de 10 pies. a)Dibuje un sistema coordenado rectangular sobre el bosquejo del tnel con el centro delcamino entrando al tnel en el origen. Identifique las coordenadas de los puntosconocidos. b) Encuentre una ecuacin del arco semieliptico sobre el tnel. c) Ustedconduce un camin que tiene un ancho de 8 pies y una altura de 9 pies. Pasar el caminpor la abertura del arco?

73. Arquitectura. Se construye un arco de chimenea en forma de semielipse. La abertura tieneuna altura de 2 pies en el centro y un ancho de 6 pies a lo largo de la base (vea la figura). Elcontratista hace un bosquejo de la elipse empleando tachuelas, como se describi al iniciode esta seccin. Proporcione las posiciones requeridas de las tachuelas y la longitud de lacuerda.

74. Un carpintero construir la cubierta de una mesa elptica a partir de una hoja de maderacontrachapada (triplay), de 4 por 8 pies. Trazar la elipse con el mtodo de tachuelas e hilo"que se ve en las figuras 2 y 3 . Qu longitud de cordn usar, y a que distancia clavar lastachuelas si la elipse debe tener el tamao mximo que admita la hoja de maderacontrachapada?

75. Un frontn de una puerta se construye con la forma de la mitad superior de una elipse, comose ve en la siguiente figura. El frontn tiene 20 pulgadas de alto en su punto de mximaaltura, y 80 pulgadas de ancho en su base. Calcule la altura del frontn a 25 pulgadas delcentro de la base.


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76. Dada la elipse de ecuacin 2 29x 16y 36x 96y 36 0 , hallar:a) Las coordenadas del centrob) El semieje mayor.c) El semieje menor.d) Las coordenadas del foco.e) Longitud del lado recto.

77. Hallar la ecuacin de la elipse (forma general) de centro (4; -1), uno de los focos en (1; -1) yque pase por el punto (8; 0).

78. Hallar la ecuacin de la elipse en forma general, coordenada del foco (-1; -1), ecuacin de ladirectriz x = 0, y excentricidad 2e .

2

LA HIPRBOLA79. Los focos de la grfica de la ecuacin 2 214 8 28 64 30 0x y x y+ + = son los vrtices de

una hiprbola y a su vez los focos de esta ltima coincide con los vrtices de la primeragrfica. Determina la ecuacin de la hiprbola

80. De la grfica mostrada determine su ecuacin general si tiene como focos 210; 2 .

81. Encuentre los centros, los vrtices, los focos y las ecuaciones de las asntotas de la hiprbolay trace su grfica empleando las asntotas como una ayuda.

2 29 36 6 18 0x y x y + =82. Halle la ecuacin de la hiprbola si te dan los siguientes datos.

a) V(3, 4), V(3, 0) F(3,5), F(3, -1).b) V(2, 4),V(6, 4), excentricidad = 3/2c) V(3, 3), V(3, -3), LR = 8/3

83. Se tienen los vrtices (0;2); (6;2) y las asntotas = ; = 4 ; identifique lacnica y luego determine la ecuacin general de la misma.


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84. Determine los centros, vrtices, focos y las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola y tracesu grfica empleando las asntotas como ayuda.a) 2 29x y 36x 6y 18 0 b) 2 2x 9y 36y 72 0 c) 2 29y x 2x 54y 62 0 d) 2 29x y 54x 10y 55 0

85. Determine la forma estndar de la ecuacin de la hiprbola con las caractersticas dadas:a) Vrtices (-2; 1) y (2; 1); pasa por el punto (5;4)b) Vrtices (3; 0) y ( 3; 6); asntotas y = 6 - x; y =x.c) Vrtices (0; 2) y (6; 2); asntotas: 2y x

3 ; 2y 4 x

3 .

d) Vrtices (3; 0) y (3; 4); asntotas: 2y x3

; 2y 4 x3

.

86. Arte: Una escultura tiene una seccin transversal hiperblica (ver la figura)

a) Determine la ecuacin que modele los lados de la curva.b) Cada unidad en el sistema coordenado representa 1 pie. Determine el ancho de la

escultura a una altura de 5 pies.

87. De 2 29x 16y 36x 32y 124 0 , determine:a) La coordenada del centro.b) Las coordenadas de los focos.c) Las coordenadas de los vrtices.d) Ecuaciones de las asntotas.

88. Hallar la ecuacin de la hiprbola de centro (0; 0), un vrtice (3; 0) y ecuacin de una asntota2x 3y = 0.

ROTACIN DE EJES COORDENADOS89. Determine la grfica de la siguiente ecuacin, despus de haber eliminado el trmino xy: 2 4 = 0

a) ngulo de giro.


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b) Ecuacin xy .c) Grafique la cnica.

90. Gire los ejes para eliminar el trmino xy en la ecuacin. Despus escriba la ecuacin en formaestndar. Trace la grfica de la ecuacin resultante, mostrando ambos conjuntos de ejes.

2 22 1 0x xy y + =91. En los siguientes ejercicios gire los ejes para eliminar el trmino xy en la ecuacin. Despus

escriba la ecuacin en forma estndar. Trace la grfica de la ecuacin resultante, mostrandoambos conjuntos de ejes.a) xy 1 0 .b) 2 2x 2xy y 1 0 .c) xy x 2y 3 0

92. Dada la cnica 2 216 24 9 85 30 175 0x xy y x y + + + + = , resuelva segn sea el caso:a. Identifique la cnica.b. El ngulo de rotacin que elimine el trmino xyc. La ecuacin reducida, luego de eliminar el trmino xy

93. Transforme las siguientes ecuaciones mediante una rotacin para que desaparezca eltrmino Bxy.a) 083 22 =+ yxyxb) 02245 22 =++ yxyx

ECUACIONES PARAMTRICAS94.Trace la curva representada por la ecuacin paramtrica (indique la orientacin de la curva)

y elimine el parmetro. Escribe la ecuacin rectangular correspondiente. Ajuste el dominiode la ecuacin rectangular resultante si es necesario.

1x t

y t=

=

95. El baln se mueve con MRU, y trayectoria rectilnea (vea el grfico). Determine la ecuacinrectangular de la trayectoria del baln, si se tiene como datos las velocidades horizontal yvertical del mismo.

COORDENADAS POLARES96. Trace los siguientes puntos en coordenadas polares y encuentre tres representaciones

polares adicionales de los puntos, empleando: . Adems determine ladistancia entre dichos puntos.

a)

2 2

52; 1;2 4

X

Y

vx = 6 m/s

vy = 8 m/s


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b) 4; 3;c) 2; 5;

97. Convierta la ecuacin rectangular a polar.a) 3 + 5 2 = 0b) 2 = 1c) ( + ) = 9( )d) + 2 = 0; > 0

98. Dada la ecuacin rectangular: y2 8x 16 = 0. Al convertir a su forma polar, una de lasecuaciones es:

99. Transforme las ecuaciones rectangulares a polares.a) 05462 = xyyb) 2=xy

100. Transforme las ecuaciones polares a rectangulares e indica de que curva se trata.

a) cos324

=r

b) sen232

=r

c) sen4=r101. Convierta la ecuacin polar a rectangular.a) = 4b) = 2c) = 2 3d) =e) =

102. Determine la ecuacin polar de las siguiente cnica:

103. Convierte la ecuacin rectangular a su forma polar:

104. Demuestre la ecuacin polar de la distancia entre dos puntos.

GRFICA EN COORDENAS POLARES105. Encuentre los valores mximos de las siguientes ecuaciones:

r = 3sen y r = 4 + 3sen106. De la siguiente ecuacin polar: = 3(1 2 )

a) Las Coordenadas de interseccin en el eje pi/2b) Las Coordenadas de interseccin en el eje polar.c) Las Coordenadas de interseccin en el polo.d) Trace la grfica.

107. Realizar la discusin de la ecuacin polar empleando ceros, simetra, valores mximos de ry otros puntos adicionales:

9r3 2cos

4 2 2y x (4 y )


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a) r=3+9sen(2)b) r=2+cos(2)

108. Trace la grfica especial de la ecuacin polar.a) = 3b) = 4(1 )c) = 3 + 6d) = 4 3e) = 3 4f) = 4 + 3g) = 9 2h) = 4

109. Determina la ecuacin polar de la siguiente ecuacin rectangular2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )x y ax x y a y+ + + = e identifica a qu grafica polar especial corresponde

110. Grafique las ecuaciones polares especiales: 2 9cos2r = y 2 cosr = en un mismoplano polar.

ECUACIN POLAR DE LAS CNICAS111. Determine una ecuacin polar de la cnica, si el polo coincide con el foco:

a) Parbola; e=1; directriz: x=-2.b) Elipse; Vrtices: (20; ); (4; ).

112. Dada la cnica de ecuacin polar 32 4cos

r = + determina:a) Determina el tipo de cnica al que pertenece la ecuacinb) Traza la grfica correspondiente a dicha cnicac) Determina las coordenadas polares de los vrtices y del centrod) Determina la ecuacin polar de la directriz ms prxima al polo.e) Determina las longitudes de los semiejes

113. Determina la ecuacin polar de:a) Cnica: Elipse Vrtices: (20; 0) (4; )b) Cnica: Hiprbola Vrtices (4; /2), (1; /2)

114. Identifique la cnica, determine la ecuacin de las directrices en su forma polar yrectangular; asntotas (segn sea el caso) y trace la grfica.a) =b) =c) =d) =

115. Determine la ecuacin polar de la cnica con su foco en el polo.a) Parbola : (1; )b) Parbola : (5; )c) Parbola : (10; )d) Elipse : 2; ; (4; )e) Elipse : (20; 0); (4; )f) Hiprbola : (2; 0); (8; 0)


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g) Hiprbola : 1; ; 9;h) Hiprbola : 4; ; 1;

116. Determine los puntos de interseccin de las grficas del par de ecuaciones polares:

MATRICES117. Un agricultor cultiva manzanas y duraznos. Cada cosecha enva a tres mercados distintos.

El Mercado de Granjeros; El Puesto de Frutas y la Granja de Fruta. Los nmeros de cajas demanzanas enviados a los tres mercados son 125; 100 y 75, respectivamente. El nmero decajas con duraznos enviados a los tres mercados son 100; 175 y 125, respectivamente. Laganancia por caja de manzanas es de 3,5 dlares y la ganancia por caja de durazno es de6,00 dlares.a) Escriba una matriz A; que represente el nmero de cajas de cada cultivo, i, que se

envan a cada mercado j. Indique lo que represente cada entrada, , de la matriz.b) Escriba una matriz B; que represente la ganancia por caja de cada fruta. Indique lo

que representa cada entrada, , de la matriz.c) Determine el producto BA e indique lo que representa cada entrada de la matriz.

118. Un fabricante de artculos electrnicos produce tres modelos de reproductores porttilesde CD, que se envan a dos bodegas. El nmero de unidades del modelo i enviado a labodega j, esta representado por en la matriz.= 5000 40006000 100008000 5000Los precios por unidad estn representados por la matriz.= [39,50 44,50 56,50]Calcule BA e interprete el resultado.

119. Una compaa vende cinco modelos de computadoras por medio de tres mercados almenudeo. Los inventarios estn representados por S.

Los precios al mayoreo y al menudeo estn representados por T.

Calcule ST e interprete el resultado.

r 3 3 cos r 3 cos

= 3 2 20 2 34 2 1 3 04 33 2

=

840 11001200 13501450 16502650 30003050 3200


MATEMTICA II

120. En una tienda local de productos lcteos los nmeros de galones de leche descremada, deo leche con 2% de grasa y de leche natural, vendidos el fin de semana, estn representadospor A.

Los precios de venta (en dlares por galn) y las ganancias (en dlares por galn) para lostres tipos de leche vendidos en la tienda de productos lcteos estn representados por B.

a) Calcule AB e interprete el resultado.b) Encuentre la ganancia total de la tienda de productos lcteos por las ventas de

leche durante el fin de semana.

121. Los nmeros de caloras consumidas por individuos de distintos pesos corporales,realizando diferentes tipos de ejercicios aerbicos, para un perodo de 20 minutos, seencuentran en la matriz A.

a) Una persona que pesa 54 Kg y una persona que pesa 68 Kg practicaron ciclismodurante 40 minutos, trotaron durante 10 minutos y caminaron durante 60 minutos.Organice el tiempo empleado ejercitndose en una matriz B.

b) Calcule BA e interprete el resultado.

INVERSA DE UNA MATRIZ

122. Determina la matriz inversa de A: A=1 3 03 12 22 10 2

123. Determina la inversa de la matriz

1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2

A

=

2% = 40 64 5260 82 7676 96 84

2%= 2,65 0,652,85 0,703,05 0,85

54 68= 109 136127 15964 79


MATEMTICA II

124. Halle la inversa de

=

150431-012

A

125. Encuentre la inversa de la matriz si existe por el mtodo que crea conveniente.

= 3 2 22 2 24 4 3126. Determine la inversa (si existe). Por el mtodo esquemtico y por gauss.a) 1 12 1b) 2 44 8c)

1 2 23 7 91 1 7d)

1 0 03 4 02 5 5e)

1 0 03 0 02 5 5f)

8 00 1 0 00 00 00 0 4 00 5127. Determine la inversa (si existe). Por el mtodo esquemtico o gauss.

a)10 5 75 1 43 2 2

b)3 2 22 2 24 4 3

c)5/6 1/3 11/60 2/3 21 1/2 5/2

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

128. Encuentre el determinante de: A =1 2 3 01 1 0 20 2 0 33 4 0 2

129. Calcule el determinante de:

01-11101-201011101

=


MATEMTICA II

130. Desarrolle la determinante por cofactores o gauss.a)

2 4 60 3 10 0 5b)

2 62 7 6 23 61 53 7 0 10 7c)

3 62 0 5 46 01 10 3 2 21 1d)

5 34 6 0 64 120 20 1 3 42 2e)

3 2 4 1 52 0 1 3 21 0 0 4 06 0 2 1 03 0 5 1 0

f)1 12 6 8 40 42 00 2 2 68 0

g)0 38 1 8 21 64 67 0 0 90 14

h)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES131. Resuelve el siguiente sistema por Gauss Jordan:3 + 2 + = 15 + 3 + 4 = 2+ = 1132. Sea A una matriz de 3 x 3, tal que = + donde D es una matriz en la cual todos

los elementos de su diagonal principal son ceros y los dems unos. Halla de maneraque = . ( : )

3154120172

4208331300

10202


MATEMTICA II

133. Calcule el determinante de la siguiente matriz

4 4 0 41 1 0 13 0 3 16 14 3 6

A

=

134. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando eliminacin gaussiana con sustitucinhacia atrs o eliminacin de Gauss Jordan

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 327 2 9 143 11

4 2 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ =

+ + =

+ + =

+ =

135. Utilizando la regla de Cramer, resuelva para y sin resolver para x; z y w2 5 8

3 6 92 2 54 7 6 0

x y z wx y w

y z wx y z w

+ + =

=

+ =

+ + =136. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene

40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g dequeso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtnmatricialmente la cantidad que necesitarn, en kilogramos de cada una de las tres clasesde quesos.

137. Expresa y resuelve el siguiente sistema de forma matricial:

138. Expresa y resuelve el siguiente sistema por Gauss-Jordan.

139. Un grupo de personas se rene para ir de excursin, juntndose un total de 20 entrehombres, mujeres y nios. Contando hombres y mujeres juntos, su nmero resulta ser eltriple del nmero de nios. Adems, si hubiera acudido una mujer ms, su nmero igualaraal de hombres.a) Plantear un sistema para averiguar cuntos hombres, mujeres y nios han ido de

excursin.b) Resolver el problema.

=+

=+

=+

42

1

022

yx

zyx

zyx

=+

=+

=+

42

1

022

yx

zyx

zyx


MATEMTICA II

140. Resuelve, por el mtodo de Gauss, los sistemas:

141. Una persona invierte bonos clasificados A; bonos B y bonos C. Los rendimientos promedioson 6,5% en bonos A, 7% en bonos B y 9% en bonos C. La persona invierte el doble en bonosC que en bonos B. Sean x, y y z las cantidades invertidas en bonos A, B y Crespectivamente. + +0,065 +0,07 +0,092 = 10 000= 760= 0Determine el valor de x, y y z, que satisface el sistema de ecuaciones. (Utiliceinversa de una matriz reduccin de gauss sustitucin hacia atrs).

142. Resolver el sistema por el mtodo de Cramer:4 7 = 47 + 6 = 27143. Resuelva el sistema de ecuaciones por el mtodo de: Gauss, inversa o Cramer.

a)3 = 23 + 2 = 52 +2 + = 4

b) + = 142 + = 213 +2 + = 19

c)2 +2 = 23 + = 28 + = 14

d)3 2 + = 15 + +2 = 10 4 = 14

144.Red Elctrica. Las corrientes es una red elctrica, estn dadas por la solucin del sistema.3 + = 0+4 = 18+3 = 6145. Fracciones Parciales. Use un sistema de ecuaciones para escribir la descomposicin en

fracciones parciales de la expresin racional. Resuelva el sistema empleando matrices.4( + 1) ( 1) = 1 + + 1 + ( + 1)146. Finanzas. Una corporacin pequea de zapateros solicit un prstamo por 1 500 000

dlares para ampliar su lnea de zapatos. Parte del dinero se recibi al 7%, parte al 8% y

=+++

=++

=+++

=++

=+

=+

1827

12

32b)

03

625

43a)

tzyx

tyx

tzyx

zyx

zyx

zyx


MATEMTICA II

parte al 10%. Utilice un sistema de ecuaciones para determinar cunto se pag a cada tasa,si el inters anual fue 130 000 dlares y la cantidad prestada al 10% fue 4 veces mayor quela cantidad prestada al 7%. Resuelva el sistema empleando matrices.

147. Parbola. Use un sistema de ecuaciones para encontrar la ecuacin especificada que pasapor los puntos de la grfica. = + +

148. Resuelva (si es posible); el sistema de ecuaciones lineales.

a)4 + + = 3+ + = 53 = 2

b)2 + = 2+2 = 33 + +2 = 1

Banco de Preguntas Mat II 2015-i

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