BANCO ÓPTICO: ESPEJOS

I. OBJETIVOS.

1.1.-Calcular experimentalmente la distancias focales de un espejo

cóncavo y de uno convexo

1.2.-Comparar estos valores con los valores teóricos.

II. FUNDAMENTO TEORICO

Las leyes de reflexión y refracción de la luz que se estudiaban

anteriormente para superficies planos ,se cumplen también para cualquier

punto en una superficies de un interfase ,en torres

Como ocurre su reflexión en una superficie exterior, consideramos el

siguiente diagrama:

FIGURA 1

Sea A O B una interfase esférica entre los medios con índice de refracción n

y n’ , C es el centro de curvatura . En adelante se asumirá la convención de

signos siguientes:

- La distancia de la derecha del vértice O del Interfase son positivas

y las que están en la izquierda negativas.

- Los ángulos serán medidos desde el eje POP’ del espejo y

también desde las normales de la superficie de interfase, se

consideran positivos los que se generan en sentido horario y

negativo los antihorarios (convención de referencia [1]) .

Según lo anterior apliquemos la ley de Snell en el punto A de la interfase.

Entonces :

n sen (-i) = n’sen ( i’) (1,1)

Ahora debemos hacer unas consideraciones adicionales: Las superficies que

se estudiarán tienen un diámetro despreciable en relación con las distancias

que separan al objeto en P de la imagen e P’.

Entonces los rayos serán prácticamente paralelos al eje de la superficie

inferior. Es decir serán paraxiales, por lo tanto los ángulos -n y n’ n la figura

serán muy pequeños, por lo que para este caso se consideran los siguientes:

Sen (x) ≈ tg(x) ≈ x (1.2)

Donde x está en radiantes; entonces (1.1) en (1.2) :

n (-i) = n’ (-i’) (1.3)

Luego podemos observar las siguientes relaciones geométricas en la figura:

En Δ APC : Sen (-i)/ PC = sen (-u) / AC (I)

En Δ AP’C : Sen (i’) /P’C = sen (u’) / AC (II) (1.4)

Además en los Δ’s APO Y ACO

h hTag(-u) = ----- y tg.(u’) = -----

-S S’

En (1.5) (I) ÷ (II) y de (1.1) y de la figura:

Sen(-i) P’C Sen(-u) n’ (s’-r) -u--------- . ------- = -------- ≡ -------------- ≈ ----- (1.6) Sen(i’) PC sen (u’) n (-s + r) u’

Pero de (1.5) y de (1.2) :

h h -u = ----- y u = --- entonces también de la figura : -s s’

us = u’s’ (1.7)

De (1.6) y de (1.7):

n’ (s’-r) s’ n’ (s’-r) n (-r + s) ------------ = ---- ≡ ----------- = ---------- n (r – s) s s’ s

Separando términos n y dividiendo entre r:

n’ n’ n n--- - ---- = --- - ---r s’ r s

Entonces finalmente al reordenar términos se obtiene

n’ n n’ – n--- - --- = ----------- (1.8)s’ s r

esta es la fórmula de Descartes para la reflexión en una superficie esférica.

Esta ecuación relaciona la distancia entre fase y objeto s’ y s distancia

interfase imagen S’ en la refracción en una superficie esférica, para nuestro

caso podemos adecuar (1.8) para la reflexión en espejos esféricos

considerando que el ángulo de incidencia (-i) está relacionado con el de

reflexión –i’ por

-i = i’ (1.9)

Pues según la convención de signos que se adopta el ángulo de reflexión de

referencia en sentido horario luego (1.9) en (1.6)

-n = n’ (1.10)

Y con (1.10) en (1.8) cambia a :

1 1 2 ---- + ----- = -- (1.11)

s’ s r

En (1.11) cuando S’ → ∞ o S → ∞ se tendrá

i) 1 1 2 : 1 2--- + -- = --- -- = ----∞ s r f r

ii) 1 1 2 : 1 2--- + -- = --- -- = ----s’ -∞ r f’ r

En donde f’ = f = r /2. f es denominada distancias focal del espejo y la

ecuación que se utiliza será:

1 1 1--- + -- = --- (1.12)S’ S f

Como hemos visto f es una cantidad constante que solo depende del radio de

curvatura del espejo. En particular el punto focal F será aquel en el eje del

espejo donde convergen todas los rayos que sean paralelos al eje en el caso

de un espejo cóncavo o convergente ; y será desde donde los rayos parecen

alejarse en el caso de un espejo convexo o divergente.

De esta forma:

i) r > 0 Si el objeto se encuentra a la izquierda de la

superficie reflejante del espejo y es convexo

ii) r < 0 Si el objeto también está a la izquierda del espejo y su

superficie reflejante y si este es cóncavo. [[1]

Para poder determinar la imagen en un espejo se usa el método geométrico,

en donde para hallar la imagen del objeto se unirán dos rayos principales.

Rayo focal.- que pasa por el foco del espejo y luego se refracte paralelo al eje

o viceversa

Rayo radial.- que se dirige en la dirección radial al espejo de tal forma que se

refleja en la misma dirección. [3]

Para nuestro caso, los experimentos que realizamos buscaron comprobar

experimentalmente la ec. (1.12) en donde usamos un dispositivo que consiste

en un carril en el cual se deslizan espejos cóncavos y convexos, lentes y una

pantalla, este se denomina BANCO ÓPTICO.

III. MATERIALES

3.1 Una vela (fuente de luz)

3.2 Un banco óptico (BO), el cual incluye:

- Una lente convergente

- Un espejo cóncavo

- Un espejo convexo

- Una pantalla

3.3 Una regla milimetrada

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Parte a: Cálculo de la distancia focal de un espejo cóncavo

1. Se coloca el espejo en el extremo derecho del canal del BO y se pasa

la fuente de luz a la izquierda de ella, ajustando la posición hasta que

la imagen se reflejada esté a la misma distancia del espejo, que del

objeto del espejo.

2. Se coloca el espejo frente a la fuente con una separación de 30 cm. y se

ubica entre estas la posición de la imagen

3. Ahora se separan la fuente y el espejo 10 cm. y se coloca una lente

convergente a la izquierda de ellos para ubicar a la imagen a más corta

distancia de la que tenía en un inicio.

Parte b.: Distancia focal de un espejo convexo

1. Se coloca el objeto y la pantalla a 15 cm. de distancia y en medio de

ella se ubica la lente convergente de tal modo que se llegara a notar la

imagen en la pantalla.

2. Luego en medio de la lente y la pantalla se ubica el espejo convexo y

se posiciona de tal forma que la imagen invertida de la vela se

proyectare sobre sí misma.

3. Se repitieron todos los pasos anteriores por dos veces más cada una y

se anotaron los datos de longitudes.

V. DATOS EXPERIMENTALES

Según los diagramas que se indican a continuación, las distancias en

cada uno se señalan para los tres casos distintos.

Parte a: Distancia focal de un espejo cóncavo

1 = Cuando S = S’

Imagen espejo Fig. 4

TABLA Nº 1 .- DISTANCIAS “S” (*)

Nº -S (cm)± 0.05 cm.

1 + 22,00

2 + 21.00

3 + 21.50

2. Según 4. a 2. Cuando :

Vela imagen espejo Fig. 5

TABLA Nº 2 : Distancias S, S’ (*)

Nº - S (cm) ± 0,05cm

- S’( cm)± 0,05 cm

1 + 30.00 + 14.50

2 + 30.00 + 15.00

3 + 30.00 + 15.50

S = S’

S ≠ S’

(*) Los errores de medición que se muestran hasta en la tabla Nº 4 son debido a que al realizar la medición de distancias usamos una regla de escala mínima de 1 mm.

3. Cuando se usa la lente convexa

imagen lente vela espejo Fig. 6

TABLA Nº 3 : Distancias S, SX y SX’ .

Nº - SX’ (cm)± 0,05

- SX cm± 0,05 cm

- S cm± 0,05 cm

1 + 45 + 10 + 10

2 + 48 + 10 +10

3 + 40 + 12 + 10

Parte b: Distancia focal de un espejo convexo

imagen espejo lente vela Fig. 6

TABLA Nº 4 : Distancias y, x , e

Nº - r (cm)± 0,05

X cm± 0,05 cm

e cm± 0,05 cm

1 23 31 95

S X’

SX S

X

r

e

2 23 33 90

3 20 27 99

VI CALCULOS Y RESULTADOS

Parte a: CALCULO DE LA DISTANCIA FOCAL DE UN ESPEJO CONCAVO

6.a.1 Según la ec. (1.11) y (1.12 ); f = R/2 y según la figura 4 cuando S = S’ en (1.11)

1 1 1 S --- + --- = ---- ≡ ---- = f S S f 2

De la tabla 1 entonces se obtiene los siguientes resultados

TABLA Nº 5: PRIMEROS RESULTADOS DE DISTANCIA FOCAL

Nº f (cm)± 0,025 cm ≡ ± 0,03

1 11.00

2 10.50

3 10.75

Calculando el valor medio y la desviación estándar respectiva:

f = (11.00 + 10.50 + 10.75) / 3 = 10.75 cm

σ2 = [ (10.75 – 11.00)2 + (10.75 – 10.50)2 + (10.75 – 10.75)2 ] / 3 = 0.04167

σ2 = 0.204 cm., además el error acumulado por el instrumento de medición

es ± 0.03 cm.

Entonces en el espejo cóncavo el foco tiene el valor:

- f = (1’0.75 ± 0.02 ± 0.03) cm

- f = 10.75 ± 0.05 cm (espejo cóncavo) (6.2)

6.a.2 De acuerdo a la figura 5 y con los datos de la taba 2 se puede recalcular

el valor de la distancia focal; antes de usar (1.12) veamos la forma de hallar los

errores propagados en:

(S’)-1 + S-1 = f-1

Además si

A = 1/B

Si se toma logaritmo natural de ambos miembros:

Ln(A) = - Ln(B)

Diferenciando ambos miembros:

Δ A Δ B ------ = ------

A B

De la relación anterior vemos que los errores relativos de A y B se tendrá el

mismo error relativo en valor absoluto, de donde:

δ A = δ B

entonces con (6.3) podemos hallar los valores de f para este caso:

TABLA Nº 6 Segundos valores de la distancia focal del espejo cóncavo

Nº Δ(s)

%

Δ(s’)

%

Δ f-1

%

Δf Δf

1 0.16 0.34 0.50 9.775 0.0488

2 0.16 0.33 0.49 10.000 0.0490

3 0.16 0.32 0.48 10.219 0.0490

Entonces los valores del foco:

f1 = (9.78 ± 0.05) cm

f2 = (10.00 ± 0.05) cm

f3 = (10.22 ± 0.05) cm

el valor medio y la desviación estándar:

f = (9.78 + 10.00 + 10.22) / 3 = 10.00 cm.

σ = [(10 – 10)2 + (10 – 9.78)2 + (10.22 – 10)2 / 3]1/2 = 0.179 cm

Luego de (6.4) el valor medio de Δ f = 0.05 cm.

Entonces:

f = (10.00 ± 0.179 ± 0.179 ± 0.05) cm.

f = (10.00 ± 0.23) cm (foco del espejo cóncavo) (6.5)

6.a.3 Según como lo indica 4.3.a para este caso se usa una lente bicóncava.

Para deducir la ecuación de luna lente se usará (1.8) dos veces asumiendo

que en un caso la imagen en el objeto para el requerido, entonces:

n’ n n’ – n__ - __ = --------- (a)S’a Sa r

n n’ n - n’__ - --- = --------- (b)S’b Sb r

Sumando a con b y reordenando se obtuvo:

1 1 n’ 2 ---- - ------ = ( --- - 1 ) (---- ) (6.6) Sb’ Sa n r

En la tabla 3 se tiene datos de la distancia del espejo convexo – objeto S, peo

de imagen espejo S’ no, son oque se halla una distancia diferente, que resulta

ser menor que S’ pues se usa para acelerar la convergencia de los rayos. En

bien de entender hallar el valor de la distancia imagen espejo en nuestro caso

podemos aplicar (6.6) considerando que la imagen quiere formar a la distancia

original del espejo S’, era un objeto virtual para la lente, entonces en nuestro

caso según la figura 6:

Sa = Sx’ – Sx con lo cual los valores de Sa son:

Sa(1) = 35 cm

Sa(2) = 38 cm

Sa(3) = 28 cm.

Además el término derecho de (6.6) es el inverso del foco de la lente y hay

que considerar que se que se unirán 2 lentes acoplados de valor R1 = 20 cm y

la segunda R2 = 10 cm. También se cumple la siguiente relación entre los

focos de la lente compuesta (2)

1 1 1 --- = ---- + --- (6.7)

f f1 f2

entonces en (6.6)

1 1 n’ 2 2--- - --- = ( --- - 1) (---- + -- )Sb’ Sa n R1 R2

Es la ecuación para la composición de 2 lentes con radios iguales en ambos

miembros. Para usar (6.8) tenemos todos los datos necesarios menos el

índice de refracción del material de la lente, entonces estimaremos este dato.

Según la referencia (2) Pág. 95 : M para el vidrio es aproximadamente = 1

Entonces :

1 1 1.5 2 2 3--- - -- = ( ---- - 1) ( --- + ---) = ---Sb’ Sa 1 10 10 20

Luego al calcular para los datos de la tabla 5, usando (6.8):

S’b = 8.23 cm ≈ 8 cm

S’b = 8.08 cm ≈ 8 cm

S’b = 8.08 cm ≈ 8 cm.

Luego de esta las distancias reales son:

S’ = Sx’+ Sb’

S’ = 45 + 8 : S= 10 cm y f = 8.41 cm

S’ = 48 + 8 : S = 10 cm y f = 8.48 cm.

S’ = 40 + 8 : s = 10 cm, y f = 8.17 cm.

Entonces el valor promedio del foco para este caso:

f = 8.38 cm. (6.9)

El resultado que se muestra es solo una estimación.

Parte b.- Cálculo de la distancia focal de un espejo convexo.

Debido a las condiciones del procedimiento experimental el foco puede ser

calculado directamente:

Según la tabla Nº 9 el valor del foco del espejo es equivalente a la mitad de r .

(f = r/2)

Esto debido a:

Cuando la lente se posiciona de tal forma que se notará la imagen de la vela

en la pantalla. En ese momento los puntos en la pantalla y los puntos en la

vela, formaban un PAR CONJUGADO respecto a la lente.

Luego al colocar el espejo entre la imagen y la lente; si es que la posición de la

lente es tal que la imagen de la vela se reflejara sobre si misma quiere decir

que los rayos de luz desde la lente incidirán en forma normal al espejo, y a la

vez si reflejaban siguiendo la misma dirección en la que llegaban; esto ocurre

solamente si los puntos en la pantalla se hallan a una distancia del espejo

igual a su propio radio de curvatura.

De donde de la tabla 5 se deduce que los valores del foco del espejo convexo

tendrán el valor que se muestra en la tabla:

TABLA Nº 7 : FOCOS PARA EL ESPEJO CONVEXO

Nº - f = r/2 (cm)

± 0.025 ≡ 0.03 cm

1 11.50

2 11.50

3 10.00

Entonces los valores medios y la desviación estándar:

f = (11.50 + 11.50 10.00) / 3 = 11.00 cm.

σ = [((11 – 11.5)2 + (11 – 11.5)2 + 10 – 11)2 ) / 3]1/2 = 0.70 cm.

Entonces el valor de la distancia focal:

-f = (11.00 ± 0.70 ± 0.03) cm

-f = (11.00 ± 0.1) cm (Distancia focal espejo convexo) (6.10)

VII. OBSERVACIONES

VII.1 Los datos que se muestran en las tablas de 1 a 4 deberían tener

un error de medición mayor, debido a que la medición también se hizo

con la mínima escala del banco óptico, la cual era de 1 cm..

Entonces :

Δ S = ± 0.5 ± 0.05 = 0.55 cm.

VII.2 Para el caso (1) obtenemos que la distancia focal es:

f1 = (10.75 ± 0.05) cm (6.2)

f2 = (10.00 ± 0.23) cm (6.5)

El dato que se obtuvo en la tercera parte de este procedimiento no lo

consideramos pero a parte de ser muy lejano a los valores que hemos

mostrado, en su cálculo se requiere considerar datos que no se

obtuvieron.

VII.3 Para el caso (2) el valor de f para el espejo cóncavo es.

f = (11.00 ± 0.1) cm (6.10)

VII.4 Como dato teórico se obtuvieron los valores de los radios de las

lentes cóncava y convexa , R = 20 cm. Para los dos casos con lo cual el

dato teórico de f es f = 10 cm.

Entonces al comparar los resultados tenemos los siguientes errores

experimentales.

Caso (1)

a) % error = 7.5 %

b) % error = 0.0 %

Caso (2)

% error = 10%

Que fueron calculados por la fórmula:

%error = [(fteo – fexp.) / fteo] x 100

VIII. CONCLUSIONES

VIII.1 El valor del foco del espejo cóncavo se acerca mejor a :

f = (10 ± 0.23) cm.

Pues este es el único valor que presenta una divergencia

insignificativa con respecto al valor experimental .

Y el valor del foco en el espejo convexo es el que se muestra en (6.10),

pero el error experimental es muy grande 10%.

Como sabemos esto se debe a factores de error intrínsecos en el

proceso de experimentación.

IX. SUGERENCIAS

Para poder haber obtenido un valor más del foco del espejo cóncavo ,

en la tercera parte habría sido mejor medir la distancia imagen espejo

directamente, pues el uso de la lente solo complicó los cálculos.

X. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[ 1 ] FRISH, S; TIMOREVA, A : CURSO DE FISICA GENERAL,

TOMO III. Editorial MIR. Moscú .1968.

[ 2 ] HETCH; EUGENE : OPTICA . TERCERA EDICION : España

Pearson Education. 2005

[ 3 ] SEARS, F. : ZEMANSKY, M; YOUNG, M; FREDDMAN; R:

FISICA UNIVERISTARIA VOL: II: Undécima Edición . México:

Pearson Education. 2005. Pág. 1282 - 1283