NOMBRE: Disney Len NIVEL: PrimeroCARRERA: Software DOCENTE: Ing. Santiago Urquizo

TAREA: Bases DigitalesESPACIOS VECTORIALESSea V un conjunto dado, a cuyos elementos llamaremos vectores. Se considera tambin un cuerpo K (en particular K = R y K = C), a cuyos elementos llamaremos escalares. Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si se dispone de las siguientes operaciones (SUMA) y (PRODUCTO POR ESCALAR) y se satisfacen las propiedades que abajo se detallan:1. Una operacin ( + ) interna en V (suma de vectores) tal que se cumplen los siguientes axiomas (de la suma): (u + v) + w = u +(v + w) para todo u, v, w elemento de V (asociatividad) u + v=v + u para todo u, v elemento de V(conmutabilidad) existe 0 elemento de V (vector nulo) tal que u+0=u para cualquier u elemento de V para cada u elemento de V existe -u elemento de V tal que u+(-u)=0(Cada vector u elemento de V tiene un vector opuesto u elemento de V)2. Una operacin externa (producto por escalar),que a cada pareja elemento de K, u elemento de V asocia un vector u, tal que se cumplen los siguientes axiomas (del producto por escalar):

(u + v)= u+ vpara todo u, v elemento V para todo elemento K ( + )u= u+ upara todo u elemento V para todo , elemento K (u)=( )u para todo u elemento V para todo , elemento K 1u=u (1=unidad de K) para todo u elemento V

ESPACIOS EUCLIDEOS

En la geometra euclidiana ordinaria, aquellas propiedades que cuentan con la posibilidad de medir longitudes de segmentos rectilneos y ngulos formados por rectas, se llaman propiedades mtricas. En R n definimos las longitudes y los ngulos en funcin del producto escalar. Extendemos estas ideas a cualquier espacio vectorial.

Producto escalar Un producto escalar en V es una funcin bilineal simtrica y estrictamente positiva de V V en R. Si f ( x , y ) es un producto escalar, lo denotamos por f ( x , y ) = x , y . Esto satisface: a) (x*y) = (y*x) conmutativab) (x*y + z)= (x*y)+ (x*z) distributivac) (y + z*x)= (y*x)+ (z*x) distributivad) (cx*y)=c(x*y)* (x*cy)=c(x*y) asociativae) (x*x) >0 si x diferente de 0 positiva

Si V es un espacio vectorial sobre los nmeros complejos, C el producto interior x *y es un numero complejo, que satisface los mismos axiomas, excepto el de simetra que se reemplaza por

(x*y)= simetra hermitiana

Siendo el complejo conjugado de (x*y)*y

(x*y) ===

Donde es el conjugado de c (en este caso se llama espacio euclideo complejo)En todo espacio vectorial de dimensin finita sobre R , es posible definir un producto escalar as : si B = { a1 , ...., an } es una base de V y U ( x ) = (x1, ..., xn) Rn es el vector de las componentes de x V en la base B , anlogamente U ( y ) =(y1 , ..., y n) Rn el vector de las componentes de y V es decir, ( x )B = U ( x ) y ( y )B= U ( y ). Entonces

(x*y)= (U ( x ) | U ( y ))

Es un producto escalar en V que depende de la base B.

BIBLIOGRAFIA:

De Burgos Romn. (2013). lgebra lineal y geometra cartesiana (3a. ed.).Recuperado de http://ezp1.espe.edu.ec:2051/lib/espesp/reader.action?docID=11046303

Mesa, F, Alirio, E, Fernndez Snchez, O. (2012). Introduccin al lgebra lineal. Recuperado de http://ezp1.espe.edu.ec:2051/lib/espesp/reader.action?docID=10584265