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Bases Físicas del Medio Ambiente

Teoría de Errores(Programa de Prácticas)

Programa• IB. Teoría de Errores. (2h)• Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación

de errores. Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.

www.mapquest.comGranada – Málaga

131.02km

Granada – Málaga

• ¿Es interesante decir 131.02 km?• ¿Es exacto/científico?

– ¿Significa 131.0200000000000… km?

– ¿Qué precisión tiene?• ¿Qué es “la verdad”?• ¿Podríamos aceptar un error de 1000 m?

131±1 km

m µm

¿Cuánto mides?

• ¿Se puede aceptar un error de 1000 m?• ¿Qué error se puede aceptar?

– El error: relativo a la magnitud• ¿Qué error es inevitable?

– ¿Cuántas cifras podemos escribir?

Contexto

• Esta pequeña introducción nos ha plantado algunas preguntas

• Ahora pasamos a algunas definiciones interesantes para empezar a contestar

Error Absoluto

xxx m −=∆• ∆x = error absoluto• xm = valor medido o aproximado• x = “la verdad”

Error Relativo

•• e = error relativo• xm = valor medido o aproximado• ∆x = error absoluto

%100×∆

=mxxe

Intervalos de confianza

{ max

min

δδ+−= mxx

maxmin δδ +≤≤− mm xxx

δmin = máximo posible subestimaciónδmax = máximo posible sobreestimaciónxm = valor medido o aproximadox = “la verdad”

Simetría• En el caso que

• (lo que pasa con frecuencia)

• Solemos escribir la medida así

x∆=−= minmax δδ

xxx m ∆±=

Ejemplo asimétrico• Distancia sol-tierra : (150 ± 3) •106 km• Error absoluto: 3 • 106 km• Error relativo: 2%

• No es simétrico, en realidad (varia)• 147.09 • 106 km < x < 152.10 • 106 km

• Nosotros trabajaremos con casos simétricos

Definiciones

• Precisión - concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales

• Exactitud - grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental

• Sensibilidad - el valor mínimo de la magnitud que un aparato es capaz de diferenciar

• Exactitud - .

• Precisión -. .. .

• Sensibilidad - .. .

Exactitud y Precisión

• Tirando flechas

Ni preciso ni exacto

Preciso

Exacto

¿Qué sabemos

• Aceleración de gravedad, g= ________

• Número de Avogadro, N= ________

• Velocidad de luz, c= ________

Expresión de magnitudes físicas

• Cantidad• Unidad (!!)• Grado de confiabilidad

– índice de exactitud – error

Expresión de cantidades

• El orden de cálculo no es nada intuitivo

• PRIMERO: Error absoluto• ENTONCES: Valor de la cantidad

¿Qué edad tienes?• Antes de contestar:• Primero eliges las unidades

– Casi siempre en años– ¿Un bebé puede tener 0 años? (mejor 2 meses)

• Segundo aceptas un error absoluto – Nunca contestas hasta más o menos una hora– Normalmente: hasta +/- 1 año

• Los dos pasos anteriores están relacionados (y mucho)• ENTONCES:

un niño dice cuatro años y medio

un alumno dice 19 años

Expresión de cantidades

• Seguimos el mismo orden

• PRIMERO: Error absoluto• ENTONCES: Valor de la cantidad

OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS)

El error absoluto • Convenio: solo tiene uno o dos dígitos significativos• En general, uno

– (1,2,3,4,5,6,7,8,9) x 10N

• Ejm: población de Granada ± 40000 = (± 4)104

± 30000 = (± 3)104

± 35000 = (± 35)103

• Excepción: podemos usar dos cuando redondear nos quita mucha información:– Si el primero dígito es 1– Si el primero dígito es 2 y el segundo es inferior a 5

• Redondear 84 a 80 nos da un error de menos de 5% (ejm: edad de un abuelo)• Redondear 14 a 10 es bruto: hay mucha diferencia! (ejm: edad de un niño)

– (10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24) x 10N-1

• Ejm. Población de Almuñecar±1000 = (± 1)103

±1300 = (± 13)102

±1350 = (± 135)101

Expresando el error absoluto • Solo un dígito significativo

(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

• A veces se permiten dos(10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24)

• Los ceros normalmente no son significativos– Al final de la cifra– Al principio de la cifra

¿Cuanto mides?• ¡ No más precisa que permite el error !• Ejm: h = 1.746 +/- 0.01 m• h = 1.75 +/- 0.01 m

• Si sólo sabes tu altura hasta el centímetro, ¿qué sentido tiene especificar los milímetros?

La Magnitud de la Cantidad

Ejemplos de MagnitudesIncorrectos (U) Correctos (U)

3.418±0.123

6.30±0.085

46.288±1.553

428.351±0.15

0.01683±0.0058

Mejor? (U)

3.4±0.1 ó 3.42±0.123.42±0.12 (342±12) 10-2

(630±9) 10-26.30±0.09

(463±16)10-146.3±1.6

(42835±15) 10-2428.35±0.15

(17±6) 10-30.017±0.006

Errores

• Se desconoce la “verdad”• Siempre hacemos algún tipo de error• Objetivos:

– Caracterizar/conocer los errores– Minimizarlos cuando es posible

Tipos de Errores• Errores sistemáticos

– Difícil a caracterizar• Si los conocemos, los corregimos

– Pueden ser constantes – afectan todas medidas• Errores aleatorios

– Inevitables y desconocidos, pero unas hipótesis:– Distribución de frecuencias “normal”

• Más pequeñas, más frecuentes• Promedio de cero

Errores aleatorios

• Errores de discernimiento• Cambios en las condiciones

experimentales• Errores de especificación en los

procesos de fabricación (por ejemplo, una bola esférica metálica puede estar ligeramente ovalada o contener planos)

• Se pueden reducir (¿cómo?)

Error cuadrático medio (MSE)• Cuando se hace múltiples (N) medidas (xi) de

un fenómeno ALEATORIO, se puede estimar el error cuadrático medio,

• Donde es el promedio de las N medidas• Cuando más medidas hay, menos error• (Hasta cierto punto)

xσ

∑ −=N

ix xxN 1

22 )(1σ

x

Deducciones

• Una estimación es mejor cuando– menos error sistemático tiene– menos error aleatorio tiene

• Los errores son inevitables• Medir con cuidado, y precisión• A veces, hacen falta muchas medidas• ¿Cuántas medidas necesitamos?

Unas reglas prácticas para medir una cantidad en el laboratorio

• Para empezar: tres (3) medidas con error experimental εx (sensibilidad)

• Calcular la dispersión: D = xmax – xmin• Comparar D y εx

D <= εx• Error dominante es tipo sistemático (limitación de

instrumento)• No se puede hacer mucho!• Tomar como valor, x ± ex

D > εx• Error es tipo aleatorio• Posiblemente, hace falta más medidas!• ¿Cuántas medidas bastan?

Tanto por ciento de dispersión

xDT %100

=

T<2% 2%<T<8% 8%<T<15% T>15%

N 3 6 15 50

Error εi

Expresión

),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ

ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ

Cuantas Medidas

• Volveremos a este tema con unas definiciones de la estimación de errores

• Ahora: motivación para el tratamiento de (y propagación de) los errores

Motivación

• Granada – Jaén: 94±1 km• Digamos que se sabe que el tiempo promedio

para el viaje es 1.0± 0.1 horas• ¿Cuál es la velocidad promedia para el viaje?

– Acordarse: para escribir un resultado, hay que empezar con el error!

• ¿Cómo podemos determinar el error en esta estimación?

Propagación de errores

• Hay una distinción entre– Errores en medidas directas– Errores en magnitudes derivadas

• Un poco de teoría (importante)

Propagación lineal de errores-Sea ),,,( czyxff =La función f liga a la magnitud que nos interesa hallar (f) con las magnitudes independientes que se obtienen del experimento (x,y,z) y con una constante (c).

Diferenciando: dccfdz

zfdy

yfdx

xfdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Si identificamos los incrementos con los errores absolutos de las variables correspondientes, en el caso más desfavorable se obtendrá:

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

Sensibilidad de fal determinante z

Error en z

Derivadas parciales

• Son imprescindibles en esta asignatura– ¡A revisar!– No solemos trabajar con ejemplos muy

difícilesnaxy =

1' −=∂∂

≡ nxanxyy

Ejemplo numérico• Densidad de flujo radiativo emitida por un

cuerpo negro

•• σ = 5.67 ± 0.01 x 10-8 W m-2 K-4

(constante de Stephan-Boltzmann)• Para un cuerpo negro con T = 300 ± 1 K• ¿Cómo podemos expresar E ?

4TE σ=

4 valores…

Ejemplo numérico

• E = 459 ± 7 W m-2

Podemos hacer mejorσ = 5.6703 ± 0.0007 x 10-8 W m-2 K-4

( ) 281.012.6 −+= Wm

( ) ( )42843 1001.014 −−−×+= KWmTKTσ

σσ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ET

TEE

4TE σ=

Resumen: propagación lineal de los errores

),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

Tenemos que pensar en esta ecuación en muchas ocasiones (en todas las prácticas)

90.04g70.04g

Ejm: (intuitivamente) Como pesar una cantidad de H2O(l)

Botella vacía:

Claro, el agua pesa: 20g pero ¿ERROR?

(Misma)

botella con agua:

Escala con sensibilidad = 0.01g

20.00 ± 0.01g

Como pesar una cantidad de H2O(l) (científicamente)

90.04g70.04g

Botella vacía: x=

(Misma)

botella con agua: y=

± 0.01g

± 0.01g

z = y – x

xxzy

yzz ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆

20.00 ± 0.02gxyz ∆+∆=∆

Resumen: propagación lineal de los errores

),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

Ahora un ejemplo experimental

Altura de un acantilado

• ¿Cómo medir?– Difícil mantener un

metro en vertical– Otra opción

20 2

1 gttvh +=

Hacemos una medida

• t = 1.48 +/- 0.01s

• Posibles errores (aleatorios):– v0 ≠0– Pulgar torpe o errático

• A la salida• A la entrada al agua

• ¡ A repetir !

20 2

1 gttvh +=

t = 1.47 +/- 0.01st = 1.46 +/- 0.01s3

1

2

Tanto por ciento de dispersión

xDT %100

=

t = 1.47 +/- 0.01 st = 1.46 +/- 0.01 s3

2

t = 1.48 +/- 0.01 s1 st 47.1=sD 02.0= = 1.4%

T<2% 2%<T<8% 8%<T<15% T>15%

N 3 6 15 50

Error εi

Expresión

),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ

ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ

t = 1.47 +/- 0.01 sValor experimental

Nuestro valor experimental

• t = 1.47 +/- 0.01 s

• Para poder escribir h, 1º su error

20 2

1 gttvh +=

2

21 gth =

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

tthg

ghh ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆

gt ∆= 2

21

tgt ∆+ tv∆=

Errores, distancia frente a tiempo

• +/- 0.01 s

20 2

1 gttvh +=

tvtgth ∆=∆=∆t (s) h (m) v (m/s)

1.5 11.02 14.7

t (s) h (m) v (m/s)

1.0 4.9 9.8

t (s) h (m) v (m/s)

0.5 1.23 4.9

t (s) h (m) v (m/s)

2.0 19.6 19.6

thv∂∂

=

Altura de un acantilado

• 1er paso: el error

∆h = 0.14m

h = 10.59 +/- 0.14 m

2

21 gth =

t = 1.47 +/- 0.01 sValor experimental

tvtgth ∆=∆=

g = 9.782 +/- 0.001 m s-2

experimentalmente con un péndulo

∆


de errores. Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas.Regresión y correlación.

Interpolación en tablas

T (ºC) Calor latente de evaporación (J/g)0 25015 248910 247715 246620 2453

• ¿Qué valor (z) tiene el calor latente a una temperatura de x=12+/-1ºC? ¿Qué error tiene este valor?

(x1)

(x2)

(z1)

(z2)

Interpolación Lineal

x1

z2

z1

x2x

z xxxzzz ∆

−−

=∆12

12

( )112

121 xx

xxzzzz −

−−

+=

Hipótesis:

A. Error proviene de x

B. Relación lineal

En tablas de doble entrada

y1 y2

x1 z11 z12

x2 z21 z22

( ) ( )112

11121

12

112111 yy

yyzzxx

xxzzzz −

−−

+−−−

+=

yyyzzx

xxzzz ∆

−−

+∆−−

=∆12

1121

12

1121

Regresión y Correlación (Métodos cuantitativos de análisis gráfico)

• Importancia de las representaciones gráficas

• Utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y)

• Distintas maneras de llevar a cabo una linealización

Regresión Lineal

• El método se llama también “mínimos cuadrados”– La relación analítica que mejor se ajusta a

nuestros datos– La importancia de la elección del variable

“independiente”

¿En que dirección?

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

X

Y

Error despreciable

y = ax + b

Suma de cuadrados (Sum ofsquares)

• Es útil definir la función χ2 (Chi-cuadrado):

• Una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal.

• Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada en el origen b son aquellos que minimizan esta desviación total.

( )22 )(∑ +−=i

ii baxyχ

Mínimos cuadrados (LeastSquares)

Como buscar el mínimo de una función cuadrática:

Primer derivado = 0

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i iiiii

xxN

yxyxNa 2

2

02

=∂∂

aχ

02

=∂∂

bχ

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i i iiiiii

xxN

yxxyxb 2

2

2

Bondad del ajuste (Goodness of fit)

• El criterio de mínimos cuadrados es objetivo; reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta.

• Además, da una posibilidad de estimar la bondad del ajuste, a través el coeficiente de correlación (r) entre las variables X e Y

• Muchas veces se presenta su cuadrado (R2).

El coeficiente de correlación

)()(),(

yVarxVaryxCov

=ρ

>><<−>=<−

=∑ ∑ ∑= = = yxxy

N

yxyxNyxCov

N

i

N

i

N

iiiii

21 1 1),(

22

2

11

2

)( ><−>=<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑== xxN

x

N

xxVar

N

ii

N

ii

22

2

11

2

)( ><−>=<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑== yyN

y

N

yyVar

N

ii

N

ii

11 +≤≤− ρ

El coeficiente de correlación

• Describe la correlación entre los variables

• r = 0, los variables no son correlacionados• r < 0, los variables son anti-correlacionados• r > 0, los variables son correlacionados

r = 0.95, mucha correlaciónr = 0.7, correlación, pero no mucho

• El cuadrado del coeficiente de correlación exprime el porcentaje de la varianza en los variables X y Y que explica el modelo lineal– r=0.95, el modelo explica 90% de la varianza– r=0.7, explica 49% de la varianza– r=0.3, explica 9% de la varianza

22 ρ=R

Otra ventaja del método

• Podemos estimar los errores asociados con los parámetros a y b

)(·1

22

xVarN

xN

iiN

b

∑==

χσ)(·

2

xVarNN

aχσ =

En función de ρ

• Las incertidumbres de a y b también pueden describirse así:

• Estas ecuaciones son muy útiles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste indican a, b y ρ (ó a veces R2).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 11

)2( 2

2

ρσ

Na

a2xab σσ =

Incertidumbre de los parámetros de un modelo general

• Al igual que en el caso del modelo lineal, minimización de la función Chi-cuadrado:

• de modo que χmin2 = χ2(a*, b*, …)

• ¿Cómo determinar a*, b*, …?– Procedimiento sofisticado– Diversas teorías y opiniones– Depende de cómo es de no-lineal

( ) 0,...,,**

2

=∂

∂⇔

=aaacbaa χ

Es preferibleTransformar (a lo lineal)

• En general, es preferible • Método: suponemos un modelo y = a ln(x)

– Definimos z=ln(x)– Entonces: y = a z ( + b )– Buscamos ajuste lineal entre y & z– Podemos estimar los errores asociados con

los parámetros a y b

No gusta hacer muchos cálculos (tocar botones calculador)

• Muchos cálculos

• Por eso tenemos ordenadores

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i iiiii

xxN

yxyxNa 2

2

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i i iiiiii

xxN

yxxyxb 2

2

2

)(·

2

xVarNN

aχσ =

)(·1

22

xVarN

xN

iiN

b

∑==

χσ

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