Universidad Pedagógica Nacional

Francisco Morazán

Facultad de Ciencia y Tecnología

Departamento de Matemáticas

Práctica profesional I

Catedrático: Lic. Luis Soto

Estudiantes: Heyzzi Carolina Perez Coello

Registro: 0801199206190

Ley de SenosFUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sea t un número real y P=(a,b) el punto sobre el circulo

unitario que corresponde a t.

FUNCION SENO La función seno asocia con t la coordenada y de P y es denotada por

Sen ( t )=b

Si ninguno de los ángulos de un triángulo es recto, el triángulo es oblicuo. Así un triángulo oblicuo tendrá dos ángulos agudos o bien dos ángulos agudos y un ángulo obtuso (un ángulo entre 90 ° y

180 °). En el análisis siguiente siempre señalaremos un triángulo oblicuo de modo que el lado a sea opuesto al ángulo α, el lado b opuesto a β y el lado c opuesto a γ.

Resolver un triángulo oblicuo significa encontrar las longitudes de sus lados y las medidas de sus lados. Para hacer esto necesitamos conocer la longitud de un lado junto a otros dos

datos: dos ángulos, o dos lados, o un ángulo y otro lado. De ese modo existen 4 posibilidades: LAA o ALA, LLA, LAL y LLL.

La ley de senos se utiliza para resolver triángulos de los casos LAA o ALA Y LLA.

TEOREMA DE LEY DE LOS SENOS Para un triángulo de lados a,b, c y ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente

sen (α )a

=sen (β)b

=sen (γ )c

Al aplicar la ley de los senos para resolver triángulos utilizamos el hecho de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180°; es decir α+β+γ=180 °.

Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LAA

Resuelva el triángulo: α=40° , β=60 ° ,a=4

El tercer ángulo γ es fácil de encontrar con la ecuación:

α+β+γ=180 °

40 °+60 °+γ=180 °

γ=80°

Ahora utilizamos la ley de los senos dos veces para determinar los lados b y c.

sen (α )a

=sen (β)b

sen (α )a

=sen (γ )c

Como a=4 , α=40 ° , β=60° , γ=80 ° tenemos que:

sen (40 ° )4

=sen(60° )

b

sen (40 ° )4

=sen(80° )

c

De este modo, b=4 sen(60 ° )sen (40 ° )

≈5.39 y c=4 sen (80 °)sen(40 °)

≈6.13

Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo ALA

Resuelva el triángulo: α=35 ° , β=15° , c=5.

Como conocemos dos ángulos (α=35 ° y β=15 ° ¿ encontramos el tercer ángulo mediante la ecuación α+β+γ=180 °

35 °+15 °+γ=180 °

γ=130 °

Ahora que conocemos los 3 ángulos y un lado (c=5¿del triangulo. Para determinar los otros dos lados a y b, utilizamos dos veces la ley de senos:

sen (α )a

=sen (γ )c

sen (β)c

=sen (γ )c

sen (35 °)a

=sen (130 °)

5

sen (15 °)b

=sen (130 °)

5

a=5 sen(35°)sen (130° )

≈3.74 b=5 sen(15°)sen (130° )

≈1.69

Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LLA

Resolver el triángulo: a=3 , b=2, α=40° .

Como conocemos a=3 , b=2, α=40° podemos utilizar la ley de los senos para encontrar β.sen (α )a

=sen (β)b

= sen (40 ° )

3=sen(β )2

por lo que sen (β )=2 sen(40)3

≈0.43

Existen dos ángulos β, 0 °<β<180 ° , para los que sen (β )≈0.43: β ≈25.4 ° y β≈154.6 ° .

Descartamos la segunda posibilidad pues α=40°, lo que hace que α+β≈196 °>180 °. Ahora con β ≈25.4 °, tenemos que γ=180 °−α−β≈114.6° .

Ahora podemos encontrar el lado c con la ley de los senos:

sen (α )a

=sen (γ )c

= sen (40 ° )3

=sen(114.6 °)

c

por lo que

c=3 sen (114.6° )sen (40 ° )

≈ 4.24

Referencia: Sullivan, M. (1997). Precálculo. Mexico: Pearson Educación.

Considere en triangulo ABC, que se muestra en la figura con ángulos α ,β , γ y con lados opuestos a, b y c respectivamente. Si conocemos la longitud de un lado y otras dos partes del triángulo, podemos encontrar tres las tres partes restantes utilizando la ley del seno:

sen (α )a

=sen (β )b

=sen (γ )c

Demostración:

Como muestra la figura, sea h la altura desde el vértice A hasta el lado BC. Se sigue que:

hc=sen(β )

o h=c sen (β)

Similarmente,

hb=sen(γ )

o h=bsen (γ )

Igualando las expresiones tenemos que:

c sen (β )=bsen (γ )

sen (β )b

=sen ( γ )c

De manera similar podemos probar que:

sen (α )a

=sen (β)b

Combinando las ecuaciones obtenemos que:

sen (α )a

=sen (β )b

=sen (γ )c

Referencia: Zill, D. y Dewer, J. (2004). Algebra y trigonometría. Bogotá, Colombia: Mc Graw Hill.

Para poder demostrar la ley de los senos construimos la altura DB del ∆ ABC, como se muestra la figura. Utilizamos los triángulos rectángulos ABD Y CBD para obtener

sen (A )=DBc

sen (C )=DBa

Entonces DB=c sen (A) y DB=a sen (C ) de lo que se obtiene

a sen (C )=c sen ( A )

sen ( A )a

=sen (C )c

Un razonamiento similar produce

sen ( A )a

=sen (B )b

Que combinamos con el resultado anterior

sen ( A )a

=sen (B )b

=sen (c )c

Determinemos la distancia AB=c a lo ancho de la pequeña laguna que ilustra la figura, si B=108 ° ,C=39 ° y AC=950m . Redondearemos a metro más cercano

Solución: Podemos utilizar para encontrar c la ley de los senos:

sen (B )b

=sen (C )c

c=b sen(C )sen (B)

=950 sen(39 ° )sen(108 ° )

=628.62129

Por lo que AB mide 629, redondeado al metro más cercano.

Referencia: Sobel, M. y Learner, N. (1998). Precálculo. México: Prentice Hall.