1I NSTI TUTOTECNOLGI COSUPERI OR DECALKI N ENELESTADODE CAMPECHEComportamiento Mecnico de los materiales Dr. Emilio Prez PachecoAPORTACIN DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADOProporciona los elementos y fundamentos necesarios para: Evaluareinterpretarlaspropiedadesmecnicasdelosdiferentes materiales utilizados en ingeniera. Analizar el comportamiento mecnico de los materiales. Seleccionarelmaterialadecuado,enrelacinasuspropiedades mecnicas y en funcin de su aplicacin. Predecir la falla de los materiales cuando son sometidos a la accin de cargas.2Objetivo GeneralElalumnocomprender ypredecir el comportamientomecnicodelosmateriales, mediantelateoradelaelasticidad,plasticidadyen lastcnicasdeevaluacindelaspropiedades mecnicas para los diferentes materiales.TemarioUnidad I. Fundamentos del comportamiento mecnico de los materiales.Unidad II. Teora de la elasticidad.Unidad III. Teora de la plasticidad.Unidad IV. Tribologa.Unidad V. Ensayos mecnicos.Unidad VI. Mecnica de fractura.Unidad VII. Anlisis de falla.3Bibliografa recomendada1. Hibbeler, R. C.Mecnica de Materiales.Prentice Hall, Tercera edicin.2. Dieter, George E.Mechanical Metallurgy.McGraw Hill, Third edition, Series in Materials Science and Engineering.3. Popov, Egor P.Mecnica de Materiales.LIMUSA, Segunda edicin.4. Callister, William D.Introduccin a la Ciencia e Ingeniera de los Materiales.Revert, S. A.5. Askeland, R. Donald y Phul, Pradeep P.Ciencia e Ingeniera de los Materiales.Thomson Editores, Cuarte edicin.6. Mangonon, Pat L.Ciencia de los Materiales: Seleccin y Diseo.Prentice Hall.Evaluacin60%20%20%Examen Departamental Trabajo DocumentalParticipacin4Criterio de evaluacinTrabajo DocumentalLa forma de evaluacin correspondiente al 20 % de Trabajo Documental es: 1) Resolucin de ejercicios extraclase 15% 2) Participacin en clase 5%ParticipacinLa forma de evaluacin correspondiente al 20 % de Participacin es: 1) Examen 10%2) Examen sorpresa 10%Examen departamentalUnrequisitoparapresentarelexamen departamentalesqueelalumnotengacomo mnimo 80%de asistencia.5BIMESTRE IFundamentos del comportamiento mecnico de losmateriales.DI VI SI N DE LOS MATERI ALESMATERIALESMETALESPOLMEROSCERMICOSCOMPUESTOSSEMICONDUCTORES6Qu es la mecnica de materiales*? Es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. Trata del comportamiento de los cuerpos slidos bajo la accin de fuerzas.* Otros nombres: Resistencia de materiales, Mecnica de los cuerpos deformables7FinalidadLa Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar mtodos simples de clculo, aceptables desde el punto de vistaprctico,deloselementostpicosmsfrecuentesde lasestructuras,empleandoparaellodiversos procedimientosaproximados.Lanecesidaddeobtener resultadosconcretosalresolverlosproblemasprcticos nos obliga a recurrir a hiptesissimplificadas,quepueden serjustificadascomparandolosresultadosdeclculocon losensayos,olosobtenidosaplicandoteorasms exactas,lascualessonmscomplicadasyporende usualmente poco expeditivas.Objeto de la resistencia de materialesLaresistenciadematerialestieneporobjetoel estudiodeslidosdeformablesqueporsus caractersticasdeformageomtricayformade carga, admitan hiptesis simplificada en relacin a su estado tensional y deformacional.8ClasificacinMecnicaracionalMecnica del punto material y de los sistemas de puntos materialesMecnica de los cuerpos rgidosMecnica de los medioscontinuosMecnicade los slidosMecnica delos fluidosTeora de elasticidad(comportamiento elstico)Teora de la plasticidad, viscoelasticidady viscoplasticidad(Comportamiento no elstico)Resistencia de Materiales(Cualquier tipo de comportamientobajo hiptesis simplificativa)Divisin de la fsica9Divisin de la mecnicaParaconvenienciadividiremos,agrosomodo,los miembros transmisores de fuerza, en tres clases:ElementosComponentesSistemas10Miembros transmisores de fuerzas Lapalabraelemento serefiere,generalmente,auncuerpo pequeodemateriaounapequeaseccinatravsdeuna componente. Una componente de un sistema estructural es un miembro aislado de dimensiones finitas. Unsistemaestructural consistedeunconjuntodecomponentes, unidos convenientemente por articulaciones o acoplamientos.La funcinprimordialdeunacomponenteosistemaestructural es la transmisin de fuerzas o cargas.Clasificacin de estados de cargaAxial (tensin o compresin)Transversal (cortante)Momento (Flexin)Torsin (Alabeo)Paramiembrosesbeltosunestadogeneralde cargassepuededividirenlossiguientesestados simples:11Cargas en una seccin aislada(a)(b)Losvectoresdefuerzaymomentosemuestran separadamenteen(a)y(b),perotodosactan simultneamenteenlamismaseccintransversal.Una flecha de doble punta se usa para momentos.Cargas en una seccin aislada(a)(b)LafuerzaFxrepresentalacargaaxial.Cuandotalcarga(tensino compresin) acta a travs de un eje nicamente, se llama uniaxial. Al ejexselepuedeconsiderarcomoejedetransmisindelasfuerzas.LasfuerzasFyyFzactannormalesalejelongitudinal.Talcargase llamatransversalocortante.Estasdosfuerzassoncomponentesde una sola fuerza resultante transversal.12Cargas en una seccin aislada(a)(b)ElmomentoMxproducetorsin.LosmomentosMyyMzproducen flexin:esosmomentossoncomponentesdeunsolomomentode flexin resultante.Concepto de slidoLa Mecnica terica considera los cuerpos indeformables, yaseencuentrenenestadodemovimientoodereposo. Estapropiedadnoes,enelfondo,msqueuna abstraccin,yaquenocorrespondeenlarealidada materialalguno.Sinembargo,esdegranutilidadporla comodidad y simplificacin que introduce.13Concepto de slidoLa idea de slido que se usa con frecuencia en fsica y principalmente en mecnica, evoluciona a medida que se efecta un estudio ms profundo de los problemas que se derivan de la esttica aplicada.Siguiendo la evolucin del slido, se realizar las tres siguientes consideraciones:Slido rgidoSlido elsticoSlido verdaderoConcepto de slido Slido rgido es aquel que ante cualquier esfuerzo (por grande que sea) a que est sometido, la distancia entre dos molculas cualquiera permanece invariable. Slido elstico es aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma y recupera su forma primitiva al cesar la causa exterior. Slido verdadero es aquel que resulta de considerarlo como deformable ante los esfuerzosa que esta sometido.14Elsalt oBUNGEEut iliza unalargacuerda elst icaqueseest ira hast aquellegaauna longit udmximaque esproporcionalalpeso delsalt ador.La elast icidaddelacuerda det erminalaamplit ud delasvibraciones result ant es.Sise excedeellmit e elst ico delacuerda, st a se romper.Elasticidad ElasticidadPhoto Vol. 10 PhotoDisk/GettyPropiedades elsticas de la materiaUn cuerpo elstico es aquel que regresa a su forma original despus de una deformacin.Un cuerpo elstico es aquel que regresa a su forma original despus de una deformacin.Bola de golfBaln de soccerBanda de goma15Propiedades elsticas de la materiaUn cuerpo inelstico es aquel que no regresa a su forma original despus de una deformacin.Un cuerpo inelstico es aquel que no regresa a su forma original despus de una deformacin.Masa o pan Masa o panBarro Barro Bola inel Bola inel stica sticaElstico o inelstico?Una colisin elst ica no pierde energa. La deformacin en la colisin se rest aura por complet o. En una colisin inelst icase pierde energa y la deformacin puede ser permanent e. (Clic aqu.)16Un resorte elsticoUn Un resorte resorte es un ejemplo de un cuerpo el es un ejemplo de un cuerpo el sticostico que se puede deformar al estirarse. que se puede deformar al estirarse.Una fuerza restauradora, F,acta en la direccin opuesta al desplazamiento del cuerpo en oscilacin.F = -kxUna fuerza restauradora, F,acta en la direccin opuesta al desplazamiento del cuerpo en oscilacin.F = -kxxF FRelaciones fuerza - Desplazamientoo fL L = oLoPLfPo000LL LLf = = ocDonde:L0= Longitud inicialLf= Longitud finalo= Incremento o cambio de longitud= Deformacin unitaria (adimensional)Considrese el miembro cargado axialmente con una fuerza P que acta en tensin.17Ley de HookeExperimentos realizados sometiendo ha tensin miembros estructurales han hecho ver que entre ciertos lmites el alargamiento de la barra es proporcional a la fuerza extensora. Esta sencilla relacin lineal entre fuerzas y deformaciones fue enunciada por primera vez por el investigador Ingls Robert Hooke en 1678.La ley de Hooke se expresa por la siguiente relacin:AEPl= oDonde:P: Fuerza total de extensinl: Longitud de la barraA: rea de la seccin transversalo: Alargamiento total de la barraE:Constanteelsticadelmaterial, llamada mdulo de elasticidadPSeccin transversalAEPl= olabA=(a)(b)m nPm nPara encontrar la magnitud de las fuerzas interiores imaginemos labarra dividida en dos partes por una seccin recta mn y consideremosel equilibrio de la barra. En el extremo inferior de este trozo se tiene la fuerza P. En la parte superior actan fuerzas que representan la accin de las partculas de la parte superior de la barra cargadasobre las partculas de la parte inferior. Estas fuerzas estn distribuidasde modo continuo sobre la seccin recta.18Esfuerzos actuantes en la seccin transversalPm nLa suma de las fuerzas para cumplir las condiciones deequilibrio deben ser igual a la fuerza P. Recurdese que lafuerza es una fuerza que acta en un rea.AP= oA esta fuerza por unidad de rea se llama esfuerzo19AEPl= o000LL LLf = = ocAP= oLey de HookeDeformacin unitariac oo coEEE APl= = =11Ley de HookeDonde:E: Mdulo de elasticidad : Esfuerzo: Deformacin unitariaTipos de esfuerzoUnUn esfuerzo de tensi esfuerzo de tensi n n ocurreocurre cuando fuerzas iguales ycuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen alej opuestas se dirigen alej ndosendose mutuamente. mutuamente.UnUn esfuerzo de compresi esfuerzo de compresi n nocurre cuando fuerzasocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigeniguales y opuestas se dirigen una hacia la otra. una hacia la otra.F FWTensi Tensi n nF FWCompresi Compresi n n20Resumen de definicionesEsfuerzo Esfuerzo es la raz es la raz n de una fuerza aplicadan de una fuerza aplicada F Falal rearea A A sobre la que act sobre la que act a: a:Deformaci Deformaci n n es el cambio relativo en las dimensiones oes el cambio relativo en las dimensiones o forma de un cuerpo como resultado de un esfuerzo aplicado: forma de un cuerpo como resultado de un esfuerzo aplicado:Ejemplos:Cambio en longitud por unidad de longitud; cambio en volumen por unidad de volumen.Ejemplos:Cambio en longitud por unidad de longitud; cambio en volumen por unidad de volumen.FEsfuerzoA=2 2o Pa:inlbmNUnidades =Esfuerzo y deformacin longitudinalesLALAAFPara alambres, varillas yPara alambres, varillas y barras, existe un esfuerzobarras, existe un esfuerzo longitudinal F/A quelongitudinal F/A que produce un cambio enproduce un cambio en longitud por unidad delongitud por unidad de longitud. En tales casos: longitud. En tales casos:FEsfuerzoA=LDeformacinLA=21Ejemplo 1. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2 mm de dimetro se une al techo y a su extremo se une un peso de 200 N. Cul es el esfuerzo aplicado?LALAAFPrimero encuentre elPrimero encuentre el rea delrea del alambre: alambre:2 2(0.002 m)4 4DAt t= =A = 3.14 x 10-6m2Esfuerzo6.37 x 107Pa2 6m 10 x3.14N 200= =AFEsfuerzoEjemplo 1 (Cont.) Un alambre de acero de 10 m se estira 3.08 mm debido a la carga de 200 N. Cul es la deformacin longitudinal? LALDado: L = 10 m; Dado: L = 10 m;A AL = 3.08L = 3.08 mm mmDeformacin longitudinal3.08 x 10-4m 10m 0.00308=A=LLn Deformaci22El lmite elsticoElEl l l mite el mite el stico stico es el esfuerzo m es el esfuerzo m ximo que un cuerpo puedeximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar deformado permanentemente. experimentar sin quedar deformado permanentemente.WW2 mSi el esfuerzo supera el l Si el esfuerzo supera el l mite el mite el stico, lastico, la longitud final ser longitud final ser mayor mayor que los 2 m originales. que los 2 m originales.Bien BienM M s all s all deldel l l mite miteF FW2 mFEsfuerzoA=Resistencia a la roturaLaLa resistencia a la rotura resistencia a la rotura es el esfuerzo m es el esfuerzo m ximo que unximo que un cuerpo puede experimentar sin romperse. cuerpo puede experimentar sin romperse.Si el esfuerzo supera laSi el esfuerzo supera la resistencia a laresistencia a la rotura rotura,, la cuerda se rompe! la cuerda se rompe!WWF FWWW2 mFEsfuerzoA=23Ejemplo 2. El lmite elstico para el acero es 2.48 x 108Pa. Cul es el peso mximo que puede soportar sin superar el lmite elstico?LALAAFRecuerde:A = 3.14 x 10-6m2F = (2.48 x 108Pa) AF = (2.48 x 108 Pa)(3.14 x 10-6m2)F = 779 NF = 779 NPa 10 x2.488= =AFEsfuerzoEjemplo 2 (Cont.) La resistencia a la roturapara el acero es 4089 x 108Pa. Cul es el peso mximo que puede soportar sin romper el alambre?LALAAFRecuerde:A = 3.14 x 10-6m2F = (4.89 x 108Pa) AF = (4.89 x 108 Pa)(3.14 x 10-6m2)F = 1536 NF = 1536 NPa 10 4.898 = =AFEsfuerzo24Reacciones en los soportesEjercicio1.Una barra prismtica con seccin transversal rectangular (20 x 40 mm) y longitud L= 2.8 m est sometida a una fuerza de tensin axial de 70 KN, como se muestra en la figura. El alargamiento medido de la barra esde1.2mm.Calcularlosesfuerzosdetensinyladeformacin unitaria de la barra.87.5 MPa, 429x10-62.8 m25Ejercicio.Serealizaunapruebadetensinsobreunespcimendelatn de 10 mm de dimetroy se utiliza una longitud calibradade50 mm (ver figura). Al aplicar una carga P=25 KN se aprecia que la distanciaentremarcasdecalibracinseincrementaen0.152 mm. Calcular el mdulo de elasticidad del latn.105 GPaDiagramas Esfuerzo-DeformacinLaspropiedadesmecnicasdelosmaterialesusualesen ingenierasedeterminanmediantepruebasefectuadas sobre muestras pequeas del material.AceroMaterial compuestofibra de carbn26Diagramas Esfuerzo-DeformacinPropiedades de los materiales Esfuerzoltimoa latensin(ou). Es elesfuerzocorrespondiente a la carga mxima alcanzada en la prueba a tensin. Lmitedeproporcionalidad(op). Eselesfuerzoparaelcualla deformacindejadeserproporcionalalesfuerzo(ellmitedela parte recta del diagrama). Esfuerzodefluencia(or). Elesfuerzodeterminadoparaalguna deformacinpermanentearbitraria.Elesfuerzodefluencia,ms comnmenteusado,eseldeterminadoporlalneaparalelaala lneaelsticaquepasaporunadeformacinde0.002.Ellmitede fluencia representa un lmite prctico superior para el esfuerzo real desarrollado en una estructura.27Propiedades de los materiales Elongacin. Ladeformacintotalnormalqueocurrealafalla(esmedida generalmentecomoladeformacintotalpermanentedespusdelafalla). Laelongacinseespecificacomnmentecomounporcientoyse considera una medida de la ductilidad del material. Ductilidad.Sonmaterialesquesoportangrandesdeformaciones plsticas antes de su falla. Mdulo de elasticidad o Mdulo de Young (E). La relacin de esfuerzo-deformacin, en el rango elstico. La cantidad E se puede considerar como lapendientedelaporcinrectadeldiagramaesfuerzo-deformacin.Es una medida de la resistencia que opone un material a la deformacin.coAA= ELos materiales, en su totalidad, se deforman a una carga externa. Se sabe adems que, hasta ciertacargalmiteelslidorecobrasusdimensionesoriginalescuandoseledescarga.La recuperacindelasdimensionesoriginalesaleliminarlacargaesloquecaracterizaal comportamientoelstico.Lacargalmiteporencimadelacualyanosecomporta elsticamenteesellmiteelstico.Alsobrepasarellmiteelstico,elcuerposufrecierta deformacinpermanentealserdescargado,sediceentoncesquehasufridodeformacin plstica.Elcomportamientogeneraldelosmaterialesbajocargasepuedeclasificarcomodctilo frgil segnqueelmaterialmuestreonocapacidadparasufrirdeformacinplstica.Los materialesdctilesexhibenunacurvaEsfuerzo- Deformacinquellegaasumximoenel punto de resistencia a la tensin. En materiales ms frgiles, la carga mxima o resistencia a la tensin ocurre en el punto de falla.28Equipo de pruebas universalesCon el fin de que los resultados de laspruebas se comparen fcilmente, eltamao de las muestras y los mtodosde aplicacin de las cargas se tendrnque uniformar. Una de las principalesorganizacionesde estandarizacin esla Sociedad Americana de Pruebas yMateriales ASTM, por sus siglas en ingles: American Standards Association29PPEstriccin de una barra en tensinEn la cercana del esfuerzo ltimo, la disminucin del rea se aprecia claramentey ocurre un estrechamiento pronunciado de la barra, conocido como estriccin.Endurecimiento por deformacinDespusdesufrirlasgrandesdeformacionesquese presentandurantelafluencia,elaceroempiezaamostrar unendurecimientopordeformacin.Duranteeste proceso,elmaterialsufrecambiosensuestructura cristalinayatmica,loqueoriginaunincrementoenla resistencia del material a futuras deformaciones.30Relacin de PoissonCuandounabarraprismticasecargaatensin,el alargamientoaxialvaacompaadodeunacontraccin lateral (perpendicular a la direccin de la carga aplicada)P PLa deformacin (unitaria) lateral es proporcional a la deformacin axial en el margenelstico lineal, siempre y cuando el material sea homogneo e istropo.El cociente de la deformacin en direccin lateral entre la deformacin en direccin axial se conoce como relacin de Poisson y se denota por la letra griega (nu); entonces:=deformacin transversaldeformacin longitudinal-al longitudinl transversaccu =31Ejercicio.Unabarraprismticadeseccintransversalcircularsecargacon fuerzasatensinP=85KN,talcomoseilustraenlafigura.Labarra tieneunalongitudL=3.0myundimetrod=30mm.Estahechade aluminioconunmdulodeelasticidadE=70GPa yunmdulode Poisson = 1/3. Calcular el alargamiento , la disminucin del dimetro d.L=3.0 mP P30 mm5.14 mm; 0.0171Ejercicio.Los datos de la tabla anexa se obtuvieron de una prueba tensin de un espcimendealeacindealuminio.Grafiquelosdatosyluego determineelmdulodeelasticidadE yellmitedeproporcionalidad para la aleacin.0.0081 680.0073 670.0065 650.0062 640.0058 620.0052 580.0046 500.0040 430.0032 350.0024 270.0015 170.0006 8Deformacin Esfuerzo (MPa)10700 MPa; 60 MPa320.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009010203040506070 Resistencia a la tensin (MPa)DeformacinEjercicio.Unabarraredondade1.5plg dedimetrosecargaen tensinconunafuerzaP,talcomoseilustraenlafigura. Semidelavariacineneldimetroyresulta0.0031plg. SesuponeE=400000psi y=0.4.Determinarlafuerza axial P en la barra.PP1.5 Plg3650 lb33( )( )( )( ) lb in in lb A FAFin lb x ExxxininDD DTransLongLongTransTransfTrans8 . 3650 7671 . 1 / 2066/ 2066 10 166 . 5 40000010 166 . 54 . 010 066 . 210 066 . 25 . 10031 . 02 22 333300= = = == = == = = ====o oc ouccccuccEjercicio. Al probar a compresin un cilindro de concreto (ver figura), el dimetro originalde6plg seincrement en0.0004plg ylalongitudoriginalde 12plg seredujoen0.0065plg bajolaaccindelacargade compresinP=52000lb.Calcularelmduloelsticoyelmdulode Poisson .P6 plg12 plg3.4 x 106psi; = 0.1234UntubodeacerodeL=40piesdelongitud,dimetroexternod2=6 pulg y dimetro interno d1= 4.5 pulg se comprime con una fuerza axial P=140Klb,talcomoseilustraenlafigura.Elmdulodeelasticidad delmaterialesE=30,000Klb/pulg2ylarelacindePoissones0.30. Determinar el acortamiento de la barra.-0.18 pulgd1d2LPUnabarrahomogneaAB(de1000Kg. demasa)pendededos cables AC y BD, cada uno de los cuales tiene un rea transversalde 400 mm2,comoseobservaenlafigura.DeterminelamagnituddeP, as comolaubicacindelafuerzaadicionalmximaquesepuede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un lmite de 100 MPa y 50 MPa, respectivamente.35Esfuerzo cortanteHasta ahora se han descrito los efectos de esfuerzos normales producidos por cargasaxialesqueactansobrebarrasrectas.Estosesfuerzossellaman esfuerzosnormales porqueactanendireccionesperpendiculares ala superficiedelmaterial.Existenotraclasedeesfuerzos,llamadoesfuerzo cortante,esfuerzodecorteoesfuerzodecizallamiento,queactaen direccin tangencial a la superficie del material.PPEsfuerzo cortante y deformacin unitaria cortanteComo ilustracin de los esfuerzos cortantes, se examinar la conexin atornillada de la figura. Esta conexin consiste de una barra plana A, una horquilla C, y un tornilla B que pasa por barrenos en la barra y en la horquilla. Por la accin de las cargas de tensin P, la barra y la horquilla oprimen al tornillo en compresin y se desarrollan los esfuerzos de contacto, llamados esfuerzos de compresin. Adems, la barra y la horquilla tienden a cortar o cizallar el tornillo, y los esfuerzos cortantes resisten esa tendencia.36Esfuerzos cortantesEn la figura se observa que hay una tendencia a cortar el tornillo en los cortes transversales mn y pq. Tambin se observa que sobre las superficiesdecortedeltornilloactanlasfuerzascortantesV. Existendosplanosdecorte(mn ypq),porloquesedicequeel tornillo esta bajo doble cortante. En el doble cortante, cada una de las fuerzas cortantes es igual a la mitad de la carga transmitida por el tornillo, esto es:2PV =LasfuerzascortantesV sonlasresultantesdelosesfuerzos cortantes distribuidos sobre el rea transversal del tornillo.Esfuerzos cortantesEnlafiguraseobservaunaconexin atornilladaencortesimple,endondela fuerzaaxialP enlabarrametlicase transmitealabridadelacolumnade aceroatravsdeuntornillo.Uncorte transversaldelacolumnamuestracon msdetallelaconexin.Delamisma manera, en un esquema de tornillo se ve la distribucin supuesta delos esfuerzos de carga que actan sobre el tornillo.37Esfuerzo cortante y deformacin unitaria cortanteElesfuerzocortantepromediosobreelreatransversaldeuntornillo seobtienedividiendolafuerzatotaldecorteV entreelreaA dela seccin transversal sobre la cual acta, como sigue:AVprom = tDonde:V = Fuerza CortanteA = reat = Esfuerzo de corte38Ley de Hooke en CorteSometemos a un estado de cortadura pura una zona rectangular de un material determinado.Medimos los esfuerzos cortantes (t) y las deformaciones angulares () que se producen, y las representamos grficamente.G = Modulo de elasticidad en (o al) corte (llamado tambinmdulo de rigidez o coeficiente de rigidezEn la zona lineal se cumple: G t = (G= cte.)( ) u +=1 2EGEjercicio:SiserequiereunafuerzaP=110KNpararealizarun agujero,Culeselesfuerzocortantepromedioenla placa y el esfuerzo de compresin promedio en el punzn?t= 218.8 MPa; o= 350 MPa39Ejercicio:Unaplacadeapoyodelasqueseusanparasoportarmquinasyvigasde puenteconsisteenunmateriallinealmenteelstico(porlogeneralun elastmero, como hule) recubierto de una placa de acero (ver figura). Suponer queelespesordelelastmeroesh,lasdimensionesdelaplacasona xb,y que la placade apoyo esta sujeta a una fuerza cortantehorizontalV. Deducir lasformulasdeesfuerzocortantepromedio,tprom,enelelastmero,yel desplazamiento horizontal d de la placa (ver figura (b)).La masa de una barra homognea AB mostrada en la figura es de 2000 Kg. La barra esta apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el dimetro del Perno mas pequeo que puede usarse en B si su esfuerzo cortante esta limitado a 60 MPa.40La palanca acodada que representa la figura esta en equilibrio:a) Determine el dimetro de la barra AB si el esfuerzo normal estlimitado a 100 MN/m2.b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de dimetro.Factor de seguridadSisetienequeevitarunafallaestructural,lascargasqueunaestructura es capaz de soportardeben ser mayores que las cargas alasquesevaasometercuandoest enservicio.Comola resistencia es la capacidad de una estructura para resistir cargas, el criterio anterior se puede replantear como sigue: la resistencia real de una estructura debe ser mayor que la resistencia requerida. La relacin de la resistencia real entre la resistencia requerida se llamafactor de seguridad n:Factor de seguridad n =Resistencia realResistencia requeridaEl factor de seguridad debe ser mayor a 1 para evitar la falla41Esfuerzos sobre secciones inclinadasEnlasexplicacionespreviasdetensinycompresinenunabarra nicamente se consideraron los esfuerzos normales que actan sobre seccionestransversales,talescomolaseccintransversalmn dela barraAB mostradaenlafigura.Ahoraserevisarnlosesfuerzosque actan en secciones inclinadas respecto al eje tal como la seccin pq.Esfuerzos sobre secciones inclinadasParainiciarelestudiocaberecordarquelosesfuerzosnormales queactan sobreseccionestransversales,talescomolaseccinmn puedencalcularsea partir de la formula:Unaformaconvenientederepresentarlos esfuerzos en la barra es aislar un pequeo elementodelmaterial,talcomoel elementoCyluegoindicarlosesfuerzos queactansobretodoslosladosdeeste elemento.Nosreferiremosatalelemento comoelementoesforzado.Elelemento esforzado del punto C tiene la forma de un paraleleppedorectangularysucara derecha(osealacaraxpositiva)estaen la seccin transversal mn. AP= o42Esfuerzos sobre secciones inclinadasDesdeluego,sesuponequelasdimensionesdeunelementoesforzadoson infinitesimalmente pequeas, pero por claridadse dibujar el elemento amplificado. Las aristas del elemento son paralelas a los ejes x, y y z y los nicos esfuerzos que actan en elelementosonlosesfuerzosnormalessobrelacarasx,designadoporox.Por conveniencia, a menudo se usar solo un esquema bidimensional del elemento, como el mostradoenlafigura.Esfuerzos sobre secciones inclinadasLa seccin inclinada pq se corta a travs de la barra a un ngulo u entre el eje x y la normal al plano. As, la seccin transversal mn tiene un ngulo u igual a cero, y una seccin longitudinal tendra un ngulo u igual a 90 o t/2 radianes. Yaquetodaslaspartesdelasbarrastienenlasmismasdeformaciones axiales,losesfuerzosqueactansobrelaseccinpq debenser uniformemente distribuidos.La resultante de estos esfuerzos debeserunafuerzadeigual magnitud que la fuerza P a fin de mantenerelequilibriodela porcinizquierdadelabarra. Esta resultante puede resolverse en dos componentes, una fuerza normalNyunafuerzacortante V,quesonnormalytangencial respectivamente,alplano inclinado pq.43Esfuerzos sobre secciones inclinadasEstas componentes son:u u Psen V P N = = cosCon las fuerzas N y V se relacionan losesfuerzosnormalesouylos esfuerzoscortantestu, respectivamente,quese distribuyenuniformementesobrela seccininclinada.Estosesfuerzos se muestran cuando actanensus direcciones positivas; esto es, oues positivoentensin,ytuespositivo cuando tiende a producir un giro del materialensentidocontrarioalas manecillas del reloj.Esfuerzos sobre secciones inclinadasConsidrese el equilibrio del elemento esforzado en el punto D de la figura. El elemento tiene forma de cua con una de sus caras a lo largo de la seccin inclinada pq.44Esfuerzos sobre secciones inclinadasEn la figura se muestra una ampliacin del puntoD, con los esfuerzos ouy tuqueactansobrelacarainclinadayelesfuerzooxactuandoenlacaradel lado izquierdo. Para obtener ouy tuse considerar el equilibrio del elemento.u cos0AA =El rea de la seccin cortada es:La fuerza normal es:u o u ouuuuuouu2 220cos coscoscos1coscoscosxAPAPAPAPAN= =

= = = =Esfuerzos sobre secciones inclinadas45La fuerza cortante es:u u o u u tu uuuuutuucos coscoscos1cos0sen senAPsenAPAPsenAPsenAVx = =

= = = =Esfuerzos sobre secciones inclinadasCambios de longitud de barras no uniformesCuandounabarraprismticadeunmateriallinealmenteelsticosecargasloenlos extremos,sedeterminasucambiodelongitudconlaecuacin=PL/EA.Ahora,se analizar como se aplica esta ecuacin a casos ms generales46Barras con cargas axiales indeterminadasSupngasequeunabarraprismticasecargaconunaomscargasaxialesque actan en puntos intermedios, a lo largo del eje. Se determina el cambio de longitud de estabarrasumandoalgebraicamentelosalargamientosyacortamientosdelos segmentosindividuales.Elprocedimientoescomosigue:Identificarlossegmentosdelabarra(segmentosAB,BCyCD)Determinarlasfuerzasaxialesinternas,N1,N2,yN3enlossegmentos1,2y3, respectivamente,apartirdelosdiagramasdecuerpolibre.Obsrvesequelasfuerzas axiales internas se representan con la letra N, para diferenciarlas de las cargas externas P. Si se suman las fuerzas en direccin vertical, se obtendrn las siguientes ecuaciones de las fuerzas axiales:DD CD C BP NP P NP P P N=+ =+ + =321Esfuerzo cortante y deformacin unitaria cortanteHastaahorasehananalizadosituacionesendondeintervienen esfuerzosnormalesproducidosporcargasaxialesqueactansobre barras rectas. Estos esfuerzos se llaman esfuerzos normales porque actan en direcciones perpendiculares a la superficie del materialPPPPCompresinTensin47Anlisis de fuerzas internasF3F1F2F4Considrese un material slido de forma cualquiera en el que actan una seriede fuerzas, tal como se ilustra en la figura. En mecnica, se determinara laresultante de las fuerzas aplicadas para averiguar si el slido se encuentra o noen equilibrio. Si la resultante es nula existe equilibrio esttico, condicin que, en general debe existir en las estructuras.Anlisis de fuerzas internasF1F2XYZOPxxPxzPxyLa resistencia de materiales estudia la distribucin interna de esfuerzos que produce unsistema de fuerzas exteriores aplicada. Para ello, se suele hacer un corte ideal en elslido por una seccin de exploracin, buscando que fuerzas deben actuar en estaseccin para mantener el equilibrio del cuerpo en cada una de las dos partes en que haquedado dividido el cuerpo. En general, el sistema de fuerzas internas equivale a unafuerza y un par resultantes que, por conveniencia, se descomponen segn la normaly la tangente a la seccin como se ilustra en la figura.48F1F2XYZOPxxPxzPxyPxx= Fuerza axial (). Esta componente corresponde a la accin de tirar (o de empujar)sobre la seccin. Tirar (o jalar) representa una fuerza de extensino traccin que tiende a alargar el slido, mientras que empujarrepresenta una fuerza de compresin que tiende a acortarlo.Pxy, Pxz= Fuerzas cortantes (). Son componentes de la resistencia total al deslizamientode la porcin del slido a un lado de la seccin de exploracin respecto de la otra porcin. XYZxxyxzyzyyxzzxzyxxzxyEsfuerzos normalesEsfuerzosCortantes1. Los esfuerzos cortantes sobre lascarasopuestas(yparalelas) deunelementosondeigual magnitud y de direccin opuesto.2. Los esfuerzos cortantes sobre lascarasadyacentes(y perpendiculares) de un elemento sondeigualmagnitudysus direcciones son tales que ambos esfuerzosapuntansealejande lalneadeinterseccindelas caras.49Debidoalasdeformacionescambian losngulosentrelascaraslaterales. losngulosenlospuntosq y s que eran/2 antesdeladeformacin,se reducen en un ngulo pequeo a /2- .Almismotiempo,losngulosde los vrtices py raumentan/2+.El ngulogammaesunamedidadela distorsin,ocambiodeformadel elemento,ysellamadeformacin unitaria cortante. Cmo es un ngulo, se suele medir en grados o radianes.t2srpqt +2XYZxxyxzyzyyxzzxzyxxzxyEsfuerzos normalesEsfuerzosCortantesLos esfuerzos normales se denotan por:i(i =x, y, z)en donde el ndice i indicael eje el cual son paralelosy se les asigna el signo positivo si son de tensin y negativo si son de compresin.Los esfuerzos tangenciales serepresentan por:ij(ij = x, y, z); ijEl primer ndice i indica la direccin normal al plano en que acta y el segundo j la direccin del eje al cual es paralela.50Planteandoelequilibriodefuerzasque actansobreesteparaleleppedoy despreciandolasfuerzasdevolumensi existen se obtiene que:XYZxxyxzyzyyxzzxzyxxzxyEsfuerzos normalesEsfuerzosCortantesyx xy xz zx zy yzt t t t t t = = = ; ;Estasigualdadesexpresanelllamado teoremadereciprocidaddelos esfuerzos tangencialesMateriales Polimricos51Qu es un polmero?Unadefinicingeneraldepolmeroes:acualquiersustancianaturalosinttica queposeeunaltopesomolecular,comnmentesuperiora10000,seledael nombre de sustancia macromolecular o polmero.Etimolgicamentelapalabrapolmeroestaconstituidaporlasracesgriegas poli, que significa muchos, y mero, que significa parte; es decir, los polmero son molculasdealtopesomolecularintegradaspormuchaspartesoelementos unidos por enlaces covalentes.Monmero52Cmo se hace un polmero?Se realiza a travs de una polimerizacin que es un proceso medianteelcualseunenmolculasorgnicasformando molculas gigantes.Grado de PolimerizacinEs el nmero de unidades de repeticin dentro de la cadena. Se calcula como:Grado de polimerizacin =Peso molecular del polmeroPeso molecular de la unidad de repeticin53Cmo se clasifican los polmeros?Lospolmerospuedenclasificarsedediferente manera:En funcin de su origenPor su comportamiento trmico-mecnicoPor su composicin qumicaPor su relacin produccin-costoEn su estructuraPor su comportamiento trmico-mecnicoTermoplsticoSonaquellosmaterialesquepuedensuavizarse,procesarsey reprocesarsemediantelaaplicacindetemperaturaypresin,loque permite darles la forma deseada.TermofijosSonaquellosmaterialesquenosetransformanconlaaplicacinde calorypresin,yaquetienenestructurasreticularesquenose modificanporestosmedios.Enconsecuencia,estospolmerosdeben formarse durante el proceso de polimerizacin.54Elastomeros Loselastmeros,incluyendoelcaucho,tienenunaestructura intermedia, en la cual se permite que ocurra una ligera formacin de enlacescruzadosentrelascadenas.Loselastmerostienenla capacidaddedeformarseelsticamenteengrandescantidadessin cambiar de forma permanentemente.Comparacin de las tres clases de polmeros55Polmeros cristalinos vs polmeros amorfosTodoslosmaterialesslidospuedenclasificarsedeacuerdoasu estructura molecular en cristalinos y amorfos.Enlos slidos cristalinos, las molculas seencuentranordenadasen las tres dimensiones. En los polmeros las molculas se enmaraan y, adems,enelestadofundidosemuevenenunmediomuyviscoso as quenopuedeesperarseenellosunordentanperfecto,perode todasmaneras,algunospolmerosexhibenordenamientoparcialen regiones llamadas cristalitosEfecto de la temperatura en el comportamiento de los polmeros56Curva Esfuerzo-Deformacin de un material polimrico termoplstico tpico0 100 200 300020004000600080001000012000 Esfuerzo (psi)Deformacin (%)Deformacin elsticalinealEsfuerzo decedenciaEncuellamientoResistencia a latensinDeformacin elsticano lineal57Estado de esfuerzoUncuerpoquetransmitefuerzasselepuedecortaratravsde cualquierseccin,ylasfuerzasinternaspuedenremplazarseporun vectorresultantedefuerzas,juntoconunvectordemomento resultante.Estado de esfuerzoSitodoelcuerpoest enequilibrioestticocadaporcinaislada permanecer enequilibrio,bajolaaccincombinadadelasfuerzas externas,ylasresultantesdelosesfuerzosactuandoenlaseccin aislada, como se muestra en la figura.58Estado de esfuerzoParadeterminarelestadodeesfuerzo enunpuntodentrodeun cuerpoqueest transmitiendofuerzas,imagnesequeunelemento cbico infinitesimal se asla en el punto en cuestin como se ilustra en la figura.XYZxxxyxzyzyyyxzzzxzyEnlafiguraseobservaunavista aumentadadeeseelemento.El estadodeesfuerzossedescribe entoncesalestablecerlosvalores delosesfuerzosnormalycortante, enlastrescarasadyacentesdel cubo.(Solamentesenecesitael anlisisdetrescaras,porquelos esfuerzosenlascarasopuestas deben ser iguales y opuestos)Estado de esfuerzo59XYZxxxyxzyzyyyxzzzxzyLosesfuerzosoxx,oyyyozzestn mostradoscomopositivosy representantensin.Seusaunsistemadedoble subndiceparaidentificarfuerzasy esfuerzos.El primer ndice indica la superficie bajoesfuerzoalestablecereleje normalaella.Elsegundondiceserefiereala direccindelafuerzaoesfuerzo.Porejemplooxxrepresentaun esfuerzoactuandosobreuna superficie que es normal al eje x.Estado de esfuerzoXYZxxxyxzyzyyyxzzzxzySemuestrandoscomponentesde esfuerzocortanteparacada superficie.Nohaydiferenciafsica que distinga los esfuerzos cortantes positivosdelosnegativos.Alaplicarlasecuacionesde equilibrioalasfuerzasqueactan sobreelelementodelafigura,se encuentraqueelparrepresentado porlasfuerzascortantesactuando endoscarasopuestasdelcubo debeserequilibradoporotropar igualyopuestoenlascaras contiguas.Deestamanerase encuentra que:Estado de esfuerzozx xzzy yzyx xyt tt tt t===60Parademostrarquelasrelacionesmostradasabajosonigualeseindependientes considere el paraleleppedo de la figura.zx xzzy yzyx xyt tt tt t===XYZxxxyxzyzyyyxzzzxzyPrimeramente,losesfuerzosseconviertenen fuerzasalmultiplicarlosporlamagnituddel readelasuperficiesobrelaqueactacada esfuerzo.Estado de esfuerzotyxtxycabPyx=abtyxPxy=bctxy-Pyx-Pxy61Recurdesequeparamantenerel equilibrio del sistema la sumadefuerzas horizontalesyverticalesdebeserigual acero.Asimismo,losmomentos actuantesdebenserigualacero.Obsrveseenlafigura2queexisteun pardesequilibradoPxyyPxyactuando enelelementoloqueproducerotacin en el sistema. Por lo tanto:Estado de esfuerzotyxtxycabPyx=abtyxPxy=bctxy-Pyx-PxyFigura 1Figura 2yx xyyxxyyx xyyx xyyx xyabcabcabc abcDespejandoabc abcc P a PMt tttt tt t==== = = E000XYZxxxyxzyzyyyxzzzxzyLosnueveesfuerzosmostradosen la figura se pueden acomodar en un arregloordenado(matriz)llamado tensordeesfuerzos,que representaelestadogeneralde esfuerzos en un punto.Estado de esfuerzo

=zz zy zxyz yy yxxz zy xxTo t tt o tt t ooLaprimerafilahorizontalmuestralosesfuerzosque actansobrelacarax,lasegunda,aquellosqueactan sobre la cara y, la tercera los que actan sobre la cara z.62Estado de esfuerzo

=zz zy zxyz yy yxxz zy xxTo t tt o tt t ooEn este tensor hay solamente seis cantidades independientes en virtud de las igualdades dadas:zx xzzy yzyx xyt tt tt t===Ellos son los esfuerzos normales oxx, oyy, ozzy los esfuerzos cortantes txy, tyz txz. El tensor es simtrico con referencia a la diagonal que contiene a los esfuerzos normales.Estado de esfuerzoDirecciones principales y esfuerzos principalesEl estado de esfuerzos en un punto, nos da una visin clara de la manera en la cual las fuerzas se transmiten por el elemento de material. Los teoremas y definiciones siguientes aclararn la situacin:1. En cualquier estado de esfuerzo en un punto, un elemento se puede orientar de tal forma que los esfuerzos cortantes se conviertan en cero sobre todas sus superficies.2. Las tres direcciones normales a las superficies del elemento as orientadas se llaman direcciones principales.3. Los tres esfuerzos normales (o1, o2, o3), que actan en tal elemento, se llaman esfuerzos principales.63Estado de esfuerzoDirecciones principales y esfuerzos principalesLa figura muestra tres tipos diferentes de transmisin de fuerzas, uniaxial, biaxial y triaxial. El tipo biaxial se designa comnmente como un estado plano de esfuerzo.o2o2o1o1o1o3Tipos de transmisin de fuerzasUniaxial (o2=o3=0) Biaxial (o3=0) Triaxial Estado plano de esfuerzo(carga biaxial)La figura muestra un elemento en un estado plano de esfuerzo (dos lados opuestos estn libres de esfuerzo). Tal estado se encuentra frecuentemente en las estructuras. Como previamente se mostr, esto es equivalente a un estado biaxial de esfuerzo.xxyyyxo1o264Estado plano de esfuerzo(carga biaxial)En forma tensorial, el estado biaxial se describe como sigue:GeneralReferida a los ejes principales

=0 0 000yy yxxy xxT o tt oo

=0 0 00 00 021,ooo prinTEstado plano de esfuerzo(carga biaxial)Considrese el elemento de la figura sujeto a un estado plano de esfuerzo, en el cual ozz=0, tyz=0 y tzx=0. Otro elemento es aislado de forma tal que los ejes x y y sean girados un ngulo u, alrededor del eje z. Para encontrar los esfuerzos en la cara x del elemento girado, se usa una porcin triangular como se muestra en la figura.65Estado plano de esfuerzo(carga biaxial)Los lados tienen longitudes dx, dy y dz. En la figura (b) se observan las fuerzas que actan.Estado plano de esfuerzo(carga biaxial)Las ecuaciones de equilibrio se escribirn con respecto a los ejes x y y.Para la direccin x (EP=0)xyuuoxxtdstxxtdsoxxtdytyx tdxoyy tdxtxy tdy66Estado plano de esfuerzo(carga biaxial)Las ecuaciones de equilibrio se escribirn con respecto a los ejes x y y.0 cos cos'= u t u t u o u o o tdx tdysen tdxsen tdy tdsyx xy yy xx xxDividiendo la ecuacin entre t ds y ntese tambin que sen u= dx/ds, cos u= dy/ds y tyx=txy, se obtiene:u u t u o u o o cos 2 cos2 2 'sen senxy yy xx xx+ + =Para la direccin x (EPx=0)xyuuoxxtdstxxtdsoxxtdytyx tdxoyy tdxtxy tdyEstado plano de esfuerzo(carga biaxial)( ) ( ) u u t u u o o t2 2 'cos cos sen senxy yy xx xy + + =Esta ecuacin se simplifica al usar la siguiente identidad trigonomtricaPara la direccin y (EPy=0)xyuuoxxtdstxxtdsoxxtdytyx tdxoyy tdxtxy tdyu u uu u uuuuu2 cos cos2 cos 222 cos 121 2 coscos2 222= ==+=sensen sensen67Estado plano de esfuerzo(carga biaxial)( ) ( ) u u t u u o o t2 2 'cos cos sen senxy yy xx xy + + =Al sustituir las identidades trigonomtricas en las ecuaciones obtenidas se obtiene:u u t u o u o o cos 2 cos2 2 'sen senxy yy xx xx+ + =u t uo otu t uo o o oo2 cos 222 2 cos2 2''xyyy xxxyxyyy xx yy xxxxsensen+ =+++=Ecuacionesde transformacin paraelesfuerzo planoEstado plano de esfuerzoEjes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)Pordefinicin,todoslosesfuerzoscortantesenlasuperficiedelelementose cancelan,cuandoalelementoseleorientaenlasdireccionesprincipales.Enel estadodeesfuerzoplano,unodelosejesprincipalesesnormalalasuperficiede esfuerzo cero. Las otras dos direcciones principales se pueden encontrar al hacer el esfuerzo cortante igual a cero y resolver para u.yy xxxyyy xxxyxyyy xxyy xxxyxyyy xxsensensenseno otuo otuut o ouuuo ou tu t uo o===== +22 tan22 cos22 22 cos222 cos0 2 cos 22Dosngulosquedifierenport radianes, tienenelmismovalordelatangente.Porlo tantolaecuacinanteriorrepresentados ngulos,u1yu2,queestnseparados90. Estosdosngulossitanlosotrosdosejes principales, los cuales estn en el plano xy.68Estado plano de esfuerzoEjes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)Paraprobarquelosesfuerzosnormalestienenvaloresmximosymnimoscon respectoalosejesprincipalessederivar laecuacinobtenida(mostradaa continuacin) con respecto de u.u u t u o u o o cos 2 cos2 2 'sen senxy yy xx xx+ + =( ) ( ) ( ) | |( )( ) ( )( )( )( )( )( )yy xxxyyy xxxyxyyy xxyy xx xyxy yy xxxy yy xxxy yy xxxy yy xxxxxy yy xx xxsensensensensen sensenque cuerdesen sensen sen sensen sen sen senddsen seno otuo otuut o ouuo o u u tu t o o uu u uu u uu u t o o u uu u t u u o u u ou u u u t u u o u u ouou u t u o u o o=== == +

= = = + = + + = + + + =+ + =22 tan22 cos22 22 cos2 2 cos 20 2 cos 2 22 cos 22 cos cosRe0 cos 2 cos 20 cos 2 cos 2 cos 20 cos cos 2 cos 2 cos 2cos 2 cos2 22 22 2'2 2 'Laecuacinobtenidaesidnticaala obtenida,probandoas que,enun estado plano de esfuerzo, los esfuerzos mximosymnimosocurrenenlas superficies que son normales a los ejes principales69Estado plano de esfuerzoEjes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)Los valores de los esfuerzos principales, se encuentran al sustituir los valores de 2u en la ecuacin que se muestra.u t uo o o oo 2 2 cos2 2'senxyyy xx yy xxxx+++=xy2utxy2yy xxo o 222xyyy xxto o+||.|

\| ( )22222212 cos22xyyy xxyy xxxyyy xxxysento oo outo otu+||.|

\| =+||.|

\| =Estado plano de esfuerzoEjes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)Sustituyendo estas identidades en la ecuacin se obtiene:u t uo o o oo 2 2 cos2 2'senxyyy xx yy xxxx+++=( )22222212 cos22xyyy xxyy xxxyyy xxxysento oo outo otu+||.|

\| =+||.|

\| =2min max,2 2xyyy xx yy xxto o o oo +||.|

\| +=Cuando esta ecuacin se calcula con signospositivo y negativo, respectivamente obtenemoslos valores de los dos esfuerzos principalesen un estado plano de esfuerzos. El tercervalor es cero.70Estado plano de esfuerzoEjes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)Elesfuerzocortantemximoencualquierplanocortadoparalelamentealejezse encuentra al igualar a cero la derivada de la ecuacin que se muestra a continuacin. u t uo ot 2 cos 22'xyyy xxxysen + =Esto da los valores de u para los que txytiene valores extremos, como sigue: xyyy xxt o ou22 tan =Porunprocedimientosimilaralqueseusoparaderivaromax,minseobtienenlos valores para tmax, min22min max,2xyyy xxto ot +||.|

\| =Estado plano de esfuerzoEjes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)La comparacin de las ecuaciones que se exhiben a continuacin muestra que los valores de 2u para esfuerzo normal mximo y cortantemximo, respectivamente, difieren en 90. En consecuencia losplanosdeesfuerzocortantemximoestnlocalizadosa45 delosplanos principales; esto es, un plano de esfuerzo cortante mximo (o mnimo) bisecta el ngulo de 90 que forman los dos planos principales71Ejercicio.Un elemento en esfuerzo plano est sometido a los esfuerzos ox=6500 psi oy= 1700 psi y txy=2750 psi, como se ilustra en la figura.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento orientado a un ngulo u =60 respecto al eje x, donde el ngulo u es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj. Muestre estos esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado segn el ngulo u.Solucin72Ejercicio.Resuelva el problema anterior para ox= 80 MPa, oy= 52 MPa, txy= 48 MPa y u = 25 Solucin73Ejercicio:Los esfuerzos que actan en el elemento A en el alma de un riel de tren son de 42 MPa en tensin en direccin horizontal y de 140 MPaen compresin en direccin vertical (vase la figura). Los esfuerzos cortantes son de 60 MPa de magnitud y actan en los sentidos mostrados.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento orientado a un ngulo contrario a las manecillas del reloj de 48 desde la horizontal. Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado segn este ngulo.Solucin74Ejercicio:Resuelve el problema anterior si los esfuerzos normal y cortante que actan sobre el elemento A son de 7500, 20500 y 4800 psi (en las direcciones que se muestran en la figura) y el ngulo es de 30 (en sentido contrario a las manecillas del reloj).Solucin:75Circulo de Mohr para el esfuerzo planoLasecuacionesdetransformacinparaelesfuerzoplano puedenrepresentarseenformagrficapormediodeun trazadoconocidocomocirculodeMohr.Esta representacingrficaesdegranutilidadporquepermite visualizarlasrelacionesentrelosesfuerzosnormales y cortantes que actan sobre diferentes planos inclinadosen un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.Circulo de Mohr para el esfuerzo planou t uo otu t uo o o oo2 cos 222 2 cos2 21 11xyy xy xxyy x y xxsensen+ =+=+LasecuacionesdelcirculodeMohrpuedendeducirsedelas ecuacionesdetransformacinparaelesfuerzoplano.Lasdos ecuacionesseobservanabajoconunreordenamientodelaprimeraexpresin.Por la geometra analtica,seobserva que ambas sonlas ecuaciones deuncrculoenformaparamtrica,dondeelngulo2u esel parmetro y los esfuerzos oxxy txyson las coordenadas.76Circulo de Mohr para el esfuerzo plano2221 1212 2xyy xy xy xxto oto oo +||.|

\| = +||.|

\| +2y xpromo oo+=Para suprimir el parmetro 2u, elevamos alcuadradoambosladosde cada ecuacin y luego sumamos ambas. El resultado es la ecuacin:Estaecuacinpuedeescribirseenformamssimpleusandola siguiente notacin:222xyy xR to o+||.|

\|=Estaltimaeslaecuacinalgebraicadeuncrculo.Las coordenadassonox1ytx1y1,elradioesRyelcentrodel crculo tiene las coordenadas ox1=opromy tx1y1=02221 1212 2xyy xy xy xxto oto oo +||.|

\| = +||.|

\| +2y xpromo oo+=222xyy xR to o+||.|

\| =( )2 21 121Ry x prom x= + t o o77Construccin del crculo de MohrEl crculodeMohrpuedeconstruirsedevariasmaneras,decualesesfuerzos seconozcanyculessedesconozcan.Parapropsitosdidcticosyquese puedanmostrarlaspropiedadesbsicasdelcrculo,sesupondr quese conocenlosesfuerzosox,oy txyqueactansobrelosplanosxyydeun elemento en el esfuerzo plano.Con ox, oyy txyconocidos, el procedimiento para construir el crculo de Mohr es como se muestra a continuacin: Dibujeunsistemadeejescoordenadosconox1comoabscisa(positivo hacia la derecha) y tx1y1como ordenada (positivo hacia abajo). LocaliceelcentroCdelcrculoenelpuntoconcoordenadasox1=opromy tx1y1=0. Localice el punto A, que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento mostrado en la figura 7.15a marcando sus coordenadas ox1=oxy tx1y1=txy. Observe que el punto A en el crculo corresponde a q=0. Observe tambin que la cara x del elemento (figura 7-15a) esta marcada A para mostrar su correspondencia con el punto A sobre el crculo. Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento mostrado en la figura 7-15a, trazando sus coordenadas ox1=oy tx1y1=-txy. Observe que el punto B sobre el crculocorresponde a u=90. Adems, la cara y del elemento (figura 7-15a) esta marcada B paramostrar su corresppondencia con el punto B en el diagrama.78 Dibuje una lnea en el punto A al punto B. Esta lnea es un dimetro delcrculoypasaporelcentroC.LospuntosAyB,que representan los esfuerzos sobre planos a 90 uno del otro (figura 7-15a),estn enextremos opuestos deldametro (y,por lotanto, estn a 180 uno del otro sobre el crculo). Con el punto C como centro, trace el crculo de Mohr por los puntosA y B. El crculo dibujado de esta manera tiene radio R.