Bioestadística Tema 3: Probabilidad. Cuando realizamos un experimento, diremos que es:...
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Bioestadística
Tema 3: Probabilidad
Cuando realizamos un experimento, diremos que es:
Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo.
Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.
SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
Un experimento que está sujeto al azar con n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es:
P(A) = nA/n Ejemplos:
Con una baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3?
12/40=3/10
Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar?
3/6=1/2
¿Qué hacemos si los sucesos no son equiprobables?
CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces
que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.
OSTEOPOROSIS
OSTEOPENIA
NORMAL
0 10 20 30 40 50
Porcentaje
CLASIFICACION OMSCLASIFICACION OMS
469 46,9%
467 46,7%
64 6,4%
1000 100,0
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
Total
VálidosFrecuencia Porcentaje
CONCEPCIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD
P(Normal)=0,469 P(Osteopenia)=0,467 P(Osteoporosis)=0,064
¿Y si el experimento no puede repetirse “demasiadas” veces? Control de calidad (tipo destructivo) Eventos poco frecuentes (asegurar unos juegos alímpicos)
Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de apuestas:
CONCEPCIÓN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD
En todas las definiciones nos referimos a sucesos.Recordemos qué son y qué las operaciones típicas.
Ejemplo: Dos individuos apuestan 5 euros por el equipo A y 12 euros por el equipo B, respectivamente, entonces La probabilidad de que gane A es 5/(5+12) La probabilidad de que gane B es 12/(5+12)
Sucesos Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio
El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E)
Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral
Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es el formado por los elementos que no están en A
Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.
Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B
E espacio muestral
E espacio muestral
A
A’
E espacio muestral
A
B
E espacio muestral
A
B
E espacio muestral
A
B
UNIÓN INTERS.
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es
{1,2,3,4,5,6}
Algunos eventos: Sacar un número impar: A={1,3,5} Sacar un número primo: B={1,2,3,5} Sacar un número que no sea impar: A’={2,4,6} Sacar un número primo no impar: B ∩ A’={2}
Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado” el espacio muestral es
{{1,C}, {1,X}, {2,C}, {2,X}, {3,C}, {3,X}, {4,C}, {4,X}, {5,C}, {5,X}, {6,C}, {6,X}}
Algunos eventos: Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}} Sacar cara B={{1,C}, {2,C}, {3,C}, {4,C}, {5,C}, {6,C}} Sacar un número par
D={{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}} Sacar cara o un número par
B U C= {{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}, {1,C}, {3,C}, {5,C}} Sacar cara y un número par
B ∩ C= {{2,C}, {4,C}, {6,C}}
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas)
P(E)=1 (E es el evento seguro)
0≤P(A) ≤1
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø Ø es el conjunto vacío.
Podéis imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro)
Definición axiomática de probabilidad
E espacio muestral
100%
B
E espacio muestral
A
A
Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B:
)(
)()|(
BP
BAPBAP
E espacio muestral
B
“tam
año”
de
uno
resp
ecto
al
otro
Error frecuentíiiiiiisimo: No confundáis probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…
En P(A∩B) con respecto a P(E)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)
Concepción clásica:
¿casos
posibles?
¿casos
favorables?
Intuir la probabilidad condicionada
B
A
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10
B
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08
Intuir la probabilidad condicionada
A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0
Los problema de probabilidad pueden resolverse a partir de los axiomas, pero es más cómodo si usas algunas reglas de cálculo: P(A’) = 1 - P(A)
P(E)=1, P(Ø)=0
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)(Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada)
P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)
P(A∩B∩C)= P(A) P(B|A) P(C|A∩B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)
Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente.Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente:
P(A)=0,9
P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
= 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956
P(C)=0,7P(B)=0,8
Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar ¿cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A?
Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A.P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28)=0,28079
Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro.
A es independiente de B
P(A|B) = P(A)
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Independencia de sucesos
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
TotalEjemplo (I)
Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga
osteoporosis? P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%
Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No menopausia)
Es la probabilidad marginal (de la ostporosis. respecto de la menopausia) ó probabilidad total.
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
TotalEjemplo (II)
¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531
Son sucesos disjuntos Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø
¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703
No son sucesos disjuntos
¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia? P(Normal)=469/1000=0,469 P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469
Ejemplo (III)
Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058
Otra forma:
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
058,01000/58697
58
1000
697
)|()()(
MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP
Ejemplo (IV)
¿Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo
P(Osteoporosis)=64/1000=0,064 P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!
¿Otra forma? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045
La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACIONOMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
Partición disjunta del espacio muestral
A1 A2
A3 A4
Es una colección de sucesos
A1, A2, A3, A4…
tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.
¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias?
Sucesoseguro
A1
A2
A3
A4
Divide y vencerás
A1 A2
A3 A4
B
Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.
Sucesoseguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
Teorema de la probabilidad total
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4)
= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)
Sucesoseguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)
Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 =13%
Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.
•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
Hombre
MujerFuman
Teorema de Bayes
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
= = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)
ii
P(B A )P(A |B)
P(B)
Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.
Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Probabilidad de que sea un hombre?
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
( ) ( ) ( | )( | )
( ) ( )
( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
0,3 0,2 0,3 0,20,46
0,3 0,2 0,7 0,1 0,13
P H F P H P F HP H F
P F P F
P H P F H
P H P F H P M P F M
FumanHombre
Mujer
¿Qué hemos visto?
Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento
Probabilidad Definiciones
Clásica Frecuentista Subjetiva Axiomática.
Probabilidad condicionada Reglas de cálculo
Complementario, Unión, Intersección Independencia de sucesos Particiones disjuntas del espacio muestral
Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes
http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/ficheros/estad_uma_04.ppt
http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/icascos/esp/presentacion_probabilidad.pdf