Biofísica - UNLP

Biofísica

Licenciatura en Kinesiología y Fisiatría

Año 2014

1er

cuatrimestre

2

ÍNDICE

Página

Capítulo 1: Introducción y conceptos útiles 3

Capítulo 2: Vectores y fuerzas 13

Capítulo 3: Fuerzas y Leyes de Newton 19

Capítulo 4: Momento 36

Capítulo 5: Estructura de la materia 51

Capítulo 6: Fluidos 58

Capítulo 7: Sólidos 69

Capítulo 8: Energía 75

Capítulo 9: Temperatura y calor 81

Capítulo 10: Transferencia de calor 87

Capítulo 11: Cambios de fase 93

Capítulo 12: Leyes de la termodinámica y su aplicación a los seres vivos 98

Capítulo 13: Electricidad 111

Capítulo 14: Magnetismo 127

Capítulo 15: Sonido 136

Capítulo 16: Ondas electromagnéticas y radiación 142

Bibliografía 151

3

Capítulo 1: Introducción y conceptos útiles

1.1 Acerca de la física y la biofísica

La física es el estudio de las propiedades medibles de las cosas. Su motivación es encontrar la

naturaleza fundamental de cosas básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la

materia, el calor, el sonido, la luz y la estructura de átomos y galaxias. Para esto se basa en

investigar sistemas simples o complejos por medio de la experimentación y el análisis

matemático. Es el lenguaje de la matemática el que nos permite que enunciemos leyes de

forma concreta, más fáciles de comprobar o de rechazar a través del experimento.

Veamos un ejemplo. Un físico muy importante, Galileo Galilei (1564 – 1642), estudió el

movimiento de los objetos que se deslizan por planos inclinados. Buscó la relación entre sus

medidas y de expresar éstas en lenguaje matemático. La conclusión de su investigación fue la

siguiente: La distancia recorrida a lo largo de una pendiente es proporcional al cuadrado del

tiempo empleado. En términos matemáticos, esto puede escribirse como:

Distancia = Constante × (Tiempo)2

Vemos entonces que el comportamiento de los objetos se expresa en este caso por una ley y

su lenguaje es la matemática.

¿Por qué es importante entender algo de física? En este curso vamos a estudiar resultados,

propiedades, leyes, que son importantes para cualquiera que se interese por la naturaleza de

las cosas, puesto que estos resultados son de aplicación universal en todo el mundo material,

incluidos los seres vivos. La física, como veremos a lo largo del curso, es esencial para

comprender como funcionan muchos procesos biológicos, tales como el movimiento del

cuerpo o el flujo de la sangre. Como un ejemplo, el estudio de las fuerzas musculares para

producir movimiento y equilibrio es de importancia para atletas y terapeutas físicos, que

necesitan saber qué fuerzas se necesitan para producir movimientos específicos en el cuerpo.

La física se ocupa del movimiento, fuerzas, energías, la materia, el calor, el sonido, las

radiaciones, etc.; conceptos que aparecen a diario en el ejercicio de una profesión como la

kinesiología, por lo que resulta importante tener un conocimiento de ellos para el buen

desenvolvimiento de nuestro trabajo.

Más específicamente, la biofísica es un puente entre la física y la biología. Abarca el campo

del conocimiento que utiliza los principios de la física para comprender cómo funcionan los

mecanismos de los sistemas biológicos. Estudia la vida a cada nivel, desde átomos y

moléculas hasta las células, los organismos y el medio ambiente.

1.2 Medida y dimensiones

La física trata de las cosas que pueden ser medidas, por ejemplo la longitud, el tiempo, la

temperatura, etc. Las medidas se hacen siempre con respecto a un patrón, denominado

unidad.

Para la longitud una unidad puede ser el metro (m). Esta unidad se puede convertir a otras, si

se conoce la longitud del metro en función de otras unidades. ¿Cómo se mide la longitud? De

manera directa, por medio de una varilla o regla graduada. En otros casos de interés no es

posible la medida directa (no podemos poner una varilla entre los dos puntos que queremos

4

medir) y debemos utilizar métodos indirectos. Por ejemplo, se presentan situaciones en las

que es preciso tener conocimientos de trigonometría para poder relacionar magnitudes que se

miden directamente de aquéllas que se hallan de forma indirecta.

Otra cantidad que puede ser medida es el tiempo. Para medir el tiempo es necesario un

dispositivo que repita de manera continua cierto suceso, tal que el intervalo entre dos sucesos

pueda tomarse como la unidad del tiempo. Un ejemplo de estos dispositivos son los relojes.

La unidad normal de tiempo es el segundo (s).

La longitud y el tiempo son dos de las magnitudes fundamentales en la física. A lo largo del

curso vamos a introducir otras tres magnitudes fundamentales: la masa, la temperatura y la

carga eléctrica. Todas las demás se definirán en función de éstas. Por ejemplo, la velocidad

media de un auto en una carrera es el desplazamiento efectuado por el auto dividido por el

tiempo total empleado. Las dimensiones de una magnitud física son los símbolos de las

magnitudes fundamentales que la definen. Designamos las dimensiones de una magnitud

escribiendo dichos símbolos entre corchetes. Así, las dimensiones de longitud y tiempo son

simplemente [l] y [t], y las dimensiones de velocidad se obtienen de su definición como

longitud dividida por tiempo, o [l/t].

Las dimensiones de área y volumen también están relacionadas con [l]. Para medir el área (o

el volumen) de alguna cosa se requieren ciertas medidas de longitud y algunos cálculos

matemáticos. Así, el área de un círculo requiere la medida de su radio r. Si, por ejemplo, el

radio es r = 2,5 m, el área A es

A = πr2= π × (2,5 m)

2 = 19,6 m

2

La unidad en este caso es el metro cuadrado (m2) y la dimensión es [l

2]. Análogamente, la

unidad de volumen es el metro cúbico (m3) y la dimensión es [l

3]. Se pueden utilizar diversas

unidades para medir el área y el volumen, pero la dimensión de cada una de estas magnitudes

es siempre la misma.

1.3 Cifras significativas y redondeo

El número de cifras significativas es el número de dígitos dignos de confianza en los

resultados de una medición. Veamos en la siguiente tabla las reglas más importantes:

320,04+80,2+20,020+20,0=440,260 redondeo a 440,3

2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77

2,4 x 0,000673 = 0,0016152, redondeado es 0,0016

Operaciones Suma/resta: el número de cifras decimales del resultado debe ser igual al de la cantidad con el menor número de ellas

División/multiplicación: el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras

8,00 tiene tres cifras significativas0,01020 tiene cuatro cifras significativas

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

0,005 tiene una cifra significativaLos ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.

105 tiene tres cifras significativasLos ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

8723 tiene cuatro cifras significativasSon significativos todos los dígitos distintos de cero.

EjemploAlgunas Reglas…

320,04+80,2+20,020+20,0=440,260 redondeo a 440,3

2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77

2,4 x 0,000673 = 0,0016152, redondeado es 0,0016

Operaciones Suma/resta: el número de cifras decimales del resultado debe ser igual al de la cantidad con el menor número de ellas

División/multiplicación: el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras

8,00 tiene tres cifras significativas0,01020 tiene cuatro cifras significativas

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

0,005 tiene una cifra significativaLos ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.

105 tiene tres cifras significativasLos ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

8723 tiene cuatro cifras significativasSon significativos todos los dígitos distintos de cero.

EjemploAlgunas Reglas…

5

1.4 Notación científica

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y

representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Consiste en representar

un número entero o decimal como potencia de diez.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la

desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10. En cambio, si el

número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos

lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la

izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la

coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051 = 7,325051 × 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612 = −5,612 × 10−3

(movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos

indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es

2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

Nota:

Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la

potencia de 10 será positivo.

Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la

potencia de 10 será negativo.

Otro ejemplo: representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede

un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561

Notamos que la coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazadas indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras

desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es

negativo si se desplaza a la derecha. Recordar que el signo positivo en el caso de los

exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 × 103

Multiplicar en notación científica

Para la operación de multiplicación, se multiplican las expresiones decimales de las

notaciones científicas y se aplica el producto de potencias para las potencias de base 10.

Cuando se realiza una multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas

son base 10) los exponentes se suman.

Ejemplo:

6

(5,24 × 106) × (6,3 × 10

8) = 5,24 × 6,3 × 10

6 + 8 = 33,012 × 10

14 = 3,3012 × 10

15,

Al considerar el redondeo según el número de cifras significativas, el resultado final es: 3,3 ×

1015

.

Dividir en notación científica

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica la división de

potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva

notación científica.

Hagamos una división:

(5,24 × 107)

(6,3 × 104) =

(5,24 ÷ 6,3) × 107−4

= 0,831746 × 103 = 8,31746 × 10

−1 × 10

3 =

8,3 × 102

Suma y resta en notación científica

Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este

ejemplo:

5,83 × 109 − 7,5 × 10

10 + 6,932 × 10

12 = ?

lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las

potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia más pequeña), y factorizamos:

109 (5,83 − 7,5 × 10

1 + 6,932 × 10

3) = 10

9 (5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 × 10

9

Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda: 6,86283 ×

1012

, al redondear según el número de decimales, tenemos que considerar solo un decimal (el

mismo número de decimales que 7,5), éste quedará 6,9 × 1012

.

Notación científica y cifras significativas

La notación científica permite expresar sin ambigüedad las cifras significativas de un número

grande. Por ejemplo, cuando la masa del Sol se escribe de la forma:

1.971.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 gramos

No se ve claro si es significativo alguno de los ceros que hay detrás del 1. Pero cuando se

escribe como 1,971 × 1033

gramos, es evidente que sólo los cuatro primeros dígitos son

significativos. Si se escribe como 1,9710 × 1033

gramos, los cinco primeros dígitos serán

significativos.

1.5 Conversión de unidades

Hay situaciones en las que es preciso convertir las unidades en las que se expresa una

magnitud física. Las unidades se pueden tratar como magnitudes algebraicas que pueden

cancelarse entre sí. Para convertir unidades, una magnitud puede multiplicarse por el factor

de conversión, lo designaremos generalmente con la letra c, para proporcionar las unidades

deseadas en el resultado final. El factor de conversión es una fracción igual a 1 cuyo

denominador y numerador tienen unidades diferentes.

Ejemplo 1: una de las equivalencias entre unidades de longitud en los sistemas SI (Sistema

Internacional) y británico es:

7

1 milla = 1,609 km

El factor de conversión se puede expresar de dos maneras diferentes:

¿Cuál de los dos utilizaremos para convertir unidades? Esto depende: si queremos pasar de

km a millas multiplicaremos por la expresión de la izquierda y si queremos pasar de millas a

km por la expresión de la derecha. Observemos los ejemplos de abajo:

a) ¿A cuántas millas equivalen 30 km?

b) ¿A cuántos kilómetros equivalen 20 millas?

Ejemplo 2: la energía es una magnitud física que puede medirse en una unidad que se llama

joule (J) o también en otra denominada caloría (cal). La relación entre estas unidades es:

1 caloría = 4,186 joules

El factor de conversión se puede expresar como:

Podemos entonces convertir de una unidad a otra:

a) ¿A cuántos joules equivalen 600 calorías?

b) ¿A cuántas calorías equivalen 400 joules?

Ejemplo 3: Conversión de unidades de área. En estos casos el factor de conversión debe

utilizarse dos veces.

¿A cuántos metros cuadrados (m

2) equivalen 15 kilómetros cuadrados (km

2)?

1 km = 1.000 m

Expresamos el factor de conversión que vamos a utilizar:

8

Ejemplo 4: Conversión de unidades de volumen. En estos casos el factor de conversión debe

utilizarse 3 veces.

¿A cuántos centímetros cúbicos (cm3) equivalen 702 metros cúbicos (m

3)?

1 m = 100 cm

Expresamos el factor de conversión que vamos a utilizar:

Ejemplo 5: Conversión de unidades utilizando más de un factor de conversión. Hay

magnitudes físicas que se expresan con más de una unidad, para convertirlas a otras unidades

tendremos que definir y utilizar tantos factores como correspondan.

Un auto de Fórmula 1 tiene una velocidad máxima de 340 km/h. ¿Cuál es la velocidad

máxima expresada en metros sobre segundos (m/s)?

1 km = 1.000 m 1hora = 3.600 segundos

Queremos pasar de km/h a m/s. Necesitamos expresar dos factores de conversión:

1.6 Ecuación lineal

Una ecuación es una relación de igualdad entre cantidades, alguna de ellas desconocidas

llamadas incógnitas. La aplicación de leyes físicas en lenguaje matemático nos lleva a

resolver ecuaciones, de las que podemos obtener el resultado o valor de una magnitud física.

Para resolverlas debemos utilizar operaciones elementales de pasajes de términos y las

propiedades de las operaciones con números reales. Las ecuaciones lineales con una

incógnita son ecuaciones del tipo:

ax b cx d

9

o cualquier otra forma equivalente a ésta, donde a, b, c, d serán números conocidos y x la

incógnita. La solución de esta ecuación es:

( ) /( )x d b a c

siempre que a – c ≠ 0

Ejemplo: Resolvamos la ecuación 3 x +1 = x – 3

1) Agrupamos todo lo que tenga x a un lado de la igualdad (por ejemplo, a la izquierda) y lo

que no tenga x en el otro lado (derecha). En este caso, sumamos -1 (o restamos 1) en ambos

miembros:

3 x +1–1= x – 3– 1; reagrupando resulta 3 x = x – 4

y sumamos – x (o restamos x) en ambos miembros,

3 x– x = x – 4 – x, reagrupando términos se obtiene 2 x = – 4

3) Para obtener el valor de la incógnita x, dividimos ambos miembros por 2, y obtenemos:

2 x/2 = – 4/2

Por lo que x = – 2

1.7 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Son las ecuaciones de la forma

ax by c

dx ey f

donde a, b, c, d, e, f serán números conocidos y x e y son las incógnitas. Veamos un ejemplo

resuelto por el método de sustitución. Consideremos el sistema de dos ecuaciones:

x – y = 4

2 x + y = 5

1) Despejamos la incógnita x de la primera ecuación: x = y + 4 (1)

2) Reemplazamos este valor en la segunda ecuación: 2(y + 4) + y = 5

3) Si resolvemos esta ecuación con una incógnita obtenemos el valor de y: y = - 1

4) Para hallar el valor de x reemplazamos el valor obtenido de y en (1): x = 3

1.8 Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas

La trigonometría resulta muy útil como método de medir distancias, cuando no podemos

hacerlo de manera directa (por medio de una regla). Un triángulo rectángulo como el que se

muestra en la figura es un triángulo en que uno de sus ángulos es de 90°. Consideremos el

ángulo α del triángulo de la figura. El lado que va del punto A al punto C se llama

hipotenusa, mientras que el lado que va de A a B recibe el nombre de cateto adyacente. El

otro segmento que falta va del punto B al punto C y se llama cateto opuesto.

10

Figura 1.1

Estos lados están relacionados por el Teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de

la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Los cocientes de los lados de un triángulo rectángulo definen las funciones trigonométricas

seno (sen), coseno(cos) y tangente (tg) del ángulo α:

Si conocemos el valor de las funciones trigonométricas y desconocemos el valor del ángulo,

podemos halla el valor de este utilizando las funciones trigonométricas inversas: seno-1

,

coseno-1

y tangente-1

. Para esto necesitamos una calculadora científica.

Ejemplo 1: En el siguiente triángulo rectángulo X = 5 y α = 60°, hallar el valor de los lados

restantes.

Los datos que tenemos son la hipotenusa y el ángulo. Para encontrar uno

de los lados faltantes utilizamos la identidad:

Utilizamos el Teorema de Pitágoras para encontrar el

lado faltante:

=

Ejemplo 2: En el siguiente triángulo rectángulo Y =7

cm y Z = 9 cm, hallar el valor del lado restante y del

11

ángulo α:

Los datos que tenemos son el cateto opuesto y el cateto adyacente, utilicemos el Teorema de

Pitágoras para obtener el valor de la hipotenusa:

=

Conociendo los tres lados del triángulo podemos utilizar cualquier identidad trigonométrica

para conocer el valor del ángulo, apliquemos , entonces:

Preguntas y ejercicios

1) Expresar con tres cifras significativas a cada uno de los siguientes números:

a) 10,061 b) 0,003538 c) 765,3 d) 34,1 e) 34 f) 6.457.876

2) Convertir los siguientes números a notación científica:

a) 4.300.000 b) 0,0004 c) 920.000.000 d) 0,02 e) 88.000.000.000 f) 0,000005

3) Pasar a representación numérica los siguientes números expresados en notación científica:

a) 6,21 x 10-5

b) 9,7 x 106 c) 4,2 x 10

-4 d) 3 x 10

-8 e) 8,127 x 10

2 f) 1,3 x 10

-3

4) Calcular las expresiones siguientes:

a) (1,3 x 105) × (3,5 x 10

3) b) (9,2 x 10

-3) × (4,1 x 10

7)

4

2

(5,2 10 )c)

(1,3 10 )

x

x

2

5

(8,2 10 )d)

(6,3 10 )

x

x

5) Empleando potencias de 10, calcular con dos cifras significativas el número de segundos

que hay en un año. (Rta.: 3,1 × 107)

6) Una milla equivale a 1,609 kilómetros. ¿A cuántos kilómetros equivalen 500 millas?

7) Una caloría, unidad de energía, equivale a 4,186 joules. (a) ¿A cuántos joules equivalen

4.500 calorías? (b) ¿A cuántas calorías equivalen 200 joules?

8) (a) ¿Cuál es la conversión de 200 metros cuadrados (m2) en centímetros cuadrados (cm

2)?

(b) ¿Cuál es la conversión de 0,3 metros cúbicos (m3) en centímetros cúbicos (cm

3)?

9) (a) ¿Cuál es el área de un círculo de 3.5 cm de diámetro? (b) Convertir el área en m2

(Rta.: (a)9,6 cm2; (b) 9,6 x 10

-4 m

2)

10) (a) ¿Cuál es el volumen de un cubo de 4 metros de lado? (b) ¿Cuál es el volumen de una

célula esférica de 2 x 10-3

cm de diámetro? (volumen de una esfera = π radio3)

11) (a) ¿A cuántos litros de agua equivalen 350 cm3? (b) ¿A cuántos m

3 equivalen 300 litros?

12

12) (a) ¿A cuántos kilómetros por hora (km/h) equivalen 23 m/s? (b) ¿A cuántos m/s

equivalen 230 km/h?

13) El corazón bombea sangre a un ritmo de 0,083 litros/seg. (a) ¿Cuáles son las dimensiones

de la velocidad del flujo de la sangre? (b) Convertir esta velocidad en metros cúbicos por

hora. (Rta. (a) [l3/t])

14) Hallar el valor de la incógnita x en las siguientes ecuaciones:

a) 8 x + 3 = - 2 b) 43 = 5 x

c) 4 x = 9 x + 3 d) - 5 x + 2 = 12

e) 2 x + 1 = - 3 - 7 x f) 36 = 5 x + 4 x

g) 12 x = - 6 x + 9 h) - 4 x + 2 = - 11 + 6 x

15) Hallar el valor de las incógnitas x e y en los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x + 2 y = 5 b) 3 x + 6 y = 24

5 x + y = 7 ` 8 x + 2 y = 22

c) 3 x + 2 y = 6 d) 4 x + 7 y = 9

3 x + y = 1 ` 6 x +3 y = 5

16) Obtener los valores de las siguientes expresiones trigonométricas utilizando la

calculadora:

a) seno 30° b) coseno 20° c) tangente 75° d) sen-1

0,3 e) tang-1

2

17) Los catetos de un triángulo rectángulo son 30 y 50 cm. (a) ¿Cuál es el ángulo opuesto al

lado de 30 cm? (b) ¿Cuál es la hipotenusa? (Rta.: (a) 31 ° (b) 58,2 cm.)

18) ¿Qué longitud debe tener una escalera para poder alcanzar un estante a 2,30 m de altura,

formando un ángulo de 6° con la horizontal?

19) Se desea conocer la altura de un árbol y no se puede medir directamente. Nos situamos de

pie a 50 m del árbol y determinamos una línea desde el suelo hasta la copa del árbol que

forma un ángulo de 25º con el suelo. ¿Cuál es la altura del árbol? (Rta.: 23,3 m)

20) Un hombre camina 100 metros hacia el norte y después, tras girar 45º, camina otros 200

metros hacia el noreste. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre el comienzo y el final del

paseo? (Sugerencia: dibuje la situación y arme los triángulos rectángulos correspondientes)

13

Capítulo 2: Vectores y fuerzas

2.1 Magnitudes escalares y vectoriales

Podemos clasificar a las magnitudes físicas que estudiaremos en dos clases:

Magnitud escalar: son magnitudes físicas, como la masa, el volumen, la temperatura, entre

otras, que pueden especificarse por medio de una magnitud y su correspondiente unidad. No

tienen dirección. Estas magnitudes satisfacen las reglas usuales de suma, resta, multiplicación

y división. O sea, si de un tanque que contiene 10 litros de agua, retiramos 2 litros, quedarán

en el tanque 8 litros. No intervienen la dirección para nada, es decir, no tiene sentido decir

que retiramos 2 litros de agua en dirección oeste, lo que importa es que quedaron 8 litros en

el tanque.

Magnitud vectorial: estas magnitudes, además de estar descriptas por su magnitud y su

unidad, tienen dirección. Son magnitudes vectoriales la fuerza, la velocidad, la aceleración, el

campo eléctrico, entre muchas otras. Cuando decimos que un auto marcha a 100 km/h,

estamos refiriéndonos a su rapidez. Pero dando solo su rapidez, nada informamos sobre su

dirección. Si agregamos que circula a 100 km/h en dirección Norte, estamos hablando de su

velocidad, que es una magnitud vectorial (magnitud + unidad + dirección).

La fuerza es una magnitud vectorial. Cuando estemos trabajando con fuerzas, siempre vamos

a tener que especificar su magnitud (o módulo) y su dirección (es decir, para donde apunta).

2.2 Vectores

Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores. En los libros de texto un

vector se lo indica con una flecha encima, por ejemplo , o en letras negritas, A. Al módulo o

magnitud del vector lo anotaremos como A o . En una representación gráfica al vector se lo indica con una flecha que indicaría su magnitud (cuánto) y su dirección (hacia dónde).

Dos vectores son iguales si tienen las mismas unidades, la misma dirección, la misma

magnitud. Todos los vectores de la Figura 2.1 son iguales aunque sus puntos de partida sean

distintos.

Figura 2.1 Figura 2. 2

14

Para poder operar con vectores (por ejemplo hacer sumas y restas) es apropiado hacer una

descomposición del vector en componentes paralelas en un sistema de ejes cartesianos x-y.

Por ejemplo, siguiendo la Figura 2.2, por el extremo del vector trazamos rectas paralelas a los ejes cartesianos (las líneas punteadas indicadas en la figura). Cuando esas rectas cortan

los ejes queda definido un punto llamado coordenada. Las coordenadas entonces del extremo

del vector (la punta de la flecha) representan las componentes Ax y Ay del vector sobre los ejes

del sistema cartesiano. Un vector en el plano queda completamente descripto al dar sus

componentes. Podemos indicar al vector como un par ordenado:

Observando el triángulo que se forma en la Figura 2.2, podemos utilizar el Teorema de

Pitágoras visto en el capítulo anterior para establecer relaciones entre las componentes del

vector (Ax y Ay), el módulo del vector A y el ángulo entre el vector y el eje x positivo,

midiendo en el sentido contrario a las agujas del reloj. Observemos que el vector representa la hipotenusa y las componentes los catetos. Las relaciones son las siguientes:

Para dar la información completa sobre un vector tenemos que dar sus componentes o el

módulo del vector y el ángulo que el vector forma con un dado eje. Las igualdades de arriba

nos permiten obtener las componentes del vector a partir de conocer su módulo y su dirección

(el ángulo θ) o viceversa.

Ejemplo 1: Dado el vector , encontrar el módulo del vector y el ángulo que el

vector forma con el eje x positivo.

Hallamos el módulo: = 10

Hallamos el ángulo: = 0,8 => θ =

Ejemplo 2: Un vector tiene un módulo de 15 y forma un ángulo de 130° con el eje x positivo, encontrar las componentes del vector.

Hallamos la componente en x:

Hallamos la componente en y:

Las componentes de un vector pueden ser positivas o

negativas, dependiendo esto de cuál sea el cuadrante en

que se encuentre el vector. Recordar siempre que el

ángulo θ que utilizamos para obtener las componentes en

las expresiones de arriba representa el ángulo que el

vector forma con el eje x positivo, medido siempre en

sentido antihorario.

Figura 2.3: Signos de las componentes de un vector según

el cuadrante en donde se localice.

15

2.3 Suma de vectores

La suma entre vectores difiere de la suma usual entre números y hay que recurrir a otros

métodos operacionales:

a) Gráficamente mediante la regla del paralelogramo: Se dibujan dos vectores con un mismo

punto inicial. Luego se traza una recta comenzando en el punto final de un vector paralela al

otro vector. Se repite el procedimiento, cambiando los vectores. Luego se une el punto inicial

con el punto de intersección entre las dos rectas paralelas y se encuentra el vector resultante o

suma R. (ver Figura 2.4).

Figura 2.4: Regla del paralelogramo Figura 2.5: Regla del polígono.

b) Gráficamente mediante la regla del triángulo: El vector resultante R A B es el vector dibujado desde el extremo del primer vector hasta el punto del último vector (ver Figura 2.5).

c) Analíticamente, mediante el uso de la proyección de los vectores a lo largo de los ejes de

un sistema de coordenadas cartesiano. Dado un vector , de componentes Ax y Ay,, y otro

vector B , de componentes Bx y By, el vector resultante será R A B , de componentes

x x xR A B y y y yR A B . Los vectores se suman o se restan componente a componente.

Ejemplo: Dado los vectores y , encontrar y .

2.4 Representación de una fuerza

Dijimos que las fuerzas son vectores. Todo lo que vimos anteriormente para los vectores en

general se aplica al caso de las fuerzas. Una dada fuerza se puede representar en

componentes en un sistema de ejes cartesianos como . Gráficamente las fuerzas

se representan por flechas. La información que proporcionan es:

- El tamaño de la flecha es proporcional al módulo o magnitud, de manera que cuando

más intensa sea la fuerza mayor tamaño tendrá la flecha.

- La dirección de la fuerza es la recta que contiene a la flecha y el sentido se indica con

su punta.

- El origen de la flecha representa el punto de aplicación de la fuerza.

16

La suma de fuerzas con direcciones paralelas es sencilla: Si tienen la misma dirección se

suman, si tienen dirección opuesta se restan (ver Figura 2.6, el símbolo N significa Newton,

una unidad en que se mide la fuerza). La suma de dos o más fuerzas se denomina fuerza neta

o resultante. Cuando queremos sumar dos o más fuerzas que no son paralelas, debemos

descomponerlas en sus componentes sobre un dado sistema de ejes cartesianos que elijamos,

y luego sumarlas componente a componente. Gráficamente las sumamos utilizando la regla

del paralelogramo o del polígono (ver Figura 2.7).

Figura 2.6 Figura 2.7: La fuerza neta de las fuerzas

de 30 N y 40 N es la fuerza de 50 N

Ejemplo 1: El tendón del bíceps de la Figura 2.8 ejerce una fuerza de mF sobre el antebrazo.

Si conocemos el módulo de esta fuerza (en este caso vamos a suponer que vale 25 kgf o kp

(kilogramos fuerza o kilogramo peso, más adelante explicaremos el significado de esta

unidad) y la dirección entre esta fuerza (en este caso forma un ángulo de 40° con el

antebrazo), podemos determinar sus componentes paralela al antebrazo (fuerza

estabilizadora) y perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén). Observemos que en este caso

lo más natural es trazar un sistema de ejes cartesianos x-y como el que se muestra en la figura

2.8, donde el eje x coincida con la línea del antebrazo y la dirección positiva sea en sentido

contrario a los dedos. Aplicando las fórmulas trigonométricas obtenemos:

La componente paralela al antebrazo es: Fx = 25 kgf × cos(40°) = 18,16 kgf

La componente perpendicular al antebrazo es Fy = 25 kgf × sen(40°) = 16,07 kgf

Figura 2.8 Figura 2.9

17

Ejemplo 2: La Figura 2.9 muestra tres fuerzas dibujadas en el plano. Conocemos el módulo

de cada una de ellas y el ángulo que estas fuerzas forman con el eje x positivo (recordar

siempre medido en sentido antihorario). Encontremos las componentes de cada una de estas

fuerzas:

F1x = 10 kp × cos(60°) = 5 kp F1y = 10 kp × sen(60°) = 8,66 kp

F2x = 5 kp × cos(180°) = -5 kp F2y = 5 kp × sen(180°) = 0

F3x = 8 kp × cos(285°) = 2,07 kp F3y = 8 kp × sen(285°) = -7,73 kp

Entonces, las componentes de estos vectores entre paréntesis se expresan así:

F 1= (5 kp , 8,66 kp) F 2= (- 5 kp , 0) F 3= (2,07 kp , -7,73 kp)

Ejemplo 3: Al empujar una podadora de césped, el hombre aplica una fuerza S que impulsa la

máquina hacia adelante y otra fuerza D contra el piso. La magnitud de S es de 70 N y la

magnitud de D es de 110 N (ver Figura 2.10). (a) Elegir un sistema de ejes cartesianos

adecuado y encontrar las componentes de la fuerza neta F. (b) Hallar el módulo de F.

Figura 2.10

(a) El sistema de ejes cartesianos natural para resolver el problema el indicado a la derecha de

la Figura 2.10 en donde el eje x positivo apunta hacia la derecha (en la dirección de S) y el eje

y positivo apunta saliendo del piso (en dirección contraria a D). Con esto, es fácil encontrar

(¡¡sin hacer ninguna cuenta!!) las componentes de S y D:

Sx = 70 N Sy = 0 => S = (70 N, 0)

Dx = 0 Dy = - 110 N D = (0, -110 N)

Y entonces la fuerza neta es: F = S + D = (70 N, 0) + (0, -110 N) = (70 N, -110 N)

(b) Teniendo las componentes de F podemos obtener su módulo:

18

Preguntas y Ejercicios

1) Un vector A , situado en el plano x-y tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa (eje x). Determinar sus componentes Ax y Ay. (Rta.: Ax= 20, Ay= 15)

2) La componente x de un vector que está en el plano xy es de 12 unidades, y la componente y

es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud del vector y el ángulo que el vector forma con el eje

x positivo? (Rta.: A= 20, x= 53,1º)

3) Utilizando la regla del paralelogramo, dibujar el vector suma de los conjuntos de vectores

mostrados en la figura (Problema 3)

Problema 3

4) A partir del gráfico de la Figura 2.9, encontrar: (a) las componentes del vector F1 + F2; (b)

el módulo del vector F1 + F2 + F3 y el ángulo que este vector forma con el eje x positivo.

5) La figura (Problema 5) muestra tres vectores, . (a) Hallar gráficamente la sumas

A B , A C y, A B C (b) Si las magnitudes de son de 5, 10 y 20 unidades,

respectivamente, hallar analíticamente las sumas A B y A C

6) El tendón del bíceps (ver figura Problema 6) ejerce una fuerza mF de 7 kgf sobre el

antebrazo. El brazo aparece doblado de tal manera que esta fuerza forma un ángulo de 40º

con el antebrazo. Hallar las componentes de mF (a) paralela al antebrazo y (b) perpendicular

al antebrazo. (Rta: (a) 5,4 kgf; (b) 4,5 kpf.)

7) Las partes posterior y anterior de músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las fuerzas

Fp y Fa (ver figura Problema 7). (a)¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total sobre el brazo?

(b) ¿qué ángulo forma con la vertical? (Rta: (a) 8,2 kp ; (b) 13,0°)

Problema 5 Problema 6 Problema 7

19

Capítulo 3: Fuerzas y Leyes de Newton

3.1 Fuerzas

Tenemos una idea intuitiva acerca de qué es una fuerza basados en experiencias cotidianas.

Por ejemplo, para mover un mueble necesitamos hacer una fuerza, también para empujar una

caja. Se ejerce una fuerza cuando se patea una pelota. En general, el concepto de fuerza se

asocia a una actividad muscular o a un cambio en el estado del movimiento de un objeto.

Pero puede ser que una fuerza no provoque un movimiento: la Tierra ejerce una fuerza

gravitatoria sobre un libro apoyado sobre una mesa, y sin embargo no lo vemos moverse, o si

aplicamos una fuerza a una roca grande, posiblemente no consigamos moverla. Una fuerza

siempre es ejercida por un objeto sobre otro, es decir, cuando hablemos de fuerza tendremos

que preguntarnos: 1)¿quién realiza la fuerza? y 2) ¿sobre quién actúa esa fuerza?. Una

definición rigurosa de fuerza debe tener en cuenta qué efectos causa, como veremos más

adelante.

3 2 Algunos ejemplos de Fuerzas

Fuerza gravitatoria o peso: Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre

cualquier objeto. Su dirección es siempre hacia el centro de la Tierra.

Fuerza normal o de contacto: La ejerce un cuerpo sobre otro en contacto con él. Su dirección

es siempre perpendicular a la superficie del cuerpo que la ejerce.

Figura 3.1: Fuerza normal y fuerza peso actuando sobre una

computadora apoyada en un escritorio. La fuerza normal es

ejercida por el escritorio sobre la computadora y está dirigida hacia

arriba. El peso es la fuerza ejercida por la Tierra sobre la

computadora y su dirección es hacia el centro de la Tierra (hacia

abajo).

Fuerza de roce o fricción: Es la fuerza aplicada por una superficie a un objeto en contacto

con ella. Es paralela a la superficie. Actúa generalmente oponiéndose a cualquier fuerza

aplicada exteriormente. (Fig. 3.2)

Tensión: Es la fuerza que las cuerdas flexibles, al estar estiradas, ejercen sobre los objetos

que tiran. Las cuerdas flexibles transmiten siempre las fuerzas a lo largo de su longitud. (Fig.

3.3)

Fuerza elástica: Fuerza que ejerce un resorte cuando se estira o se comprime una longitud

x. Tiene dirección contraria al estiramiento (o compresión) y su magnitud es proporcional a

x. (Fig. 3.4)

Fuerza eléctrica: Fuerza que las partículas con carga eléctrica se ejercen entre sí.

20

Figura 3.2 Figura 3.3 Figura 3.4

Fuerza muscular: La postura y el movimiento de los animales

están controlados por fuerzas producidas por los músculos. Un

músculo consta de un gran número de fibras cuyas células son

capaces de contraerse al ser estimulas por impulsos que llegan

a ellas procedentes de los nervios. Un músculo está

generalmente unido en sus extremos a dos huesos diferentes

por medio de tendones (Fig. 3.5). Los dos huesos están

conectados por la articulación que es flexible. La contracción

del músculo produce dos pares de fuerzas que actúan sobre los

dos huesos y los músculos en el punto donde están ligados los

tendones. La fuerza máxima que puede ejercer un músculo

depende del área de su sección transversal.

Figura 3.5

Podemos clasificar las fuerzas en:

i) Fuerzas de contacto: representan el resultado del contacto físico entre dos objetos.

Ejemplos: fuerza normal, fuerza elástica, tensión de una cuerda, fuerza de roce.

ii) Fuerzas de acción a distancia o fuerzas de campo: no implican el contacto físico entre dos

objetos sino que actúan a través de espacio vacío. Ejemplos: fuerza gravitatoria, fuerza

eléctrica, fuerza que un imán ejerce sobre un pedazo de hierro.

3.3 Primera ley de Newton: Ley de inercia

Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez

constante, a menos que se le apliquen fuerzas que lo obliguen a cambiar dicho estado.

O sea, “Las cosas tienden a seguir haciendo lo que ya estaban haciendo”.

Veamos esto mediante ejemplos: un libro apoyado sobre una mesa, decimos que se encuentra

en reposo. A menos que apliquemos una fuerza, no cambiará ese estado de reposo.

Supongamos un disco pulido deslizándose por un piso con roce. Recorrerá una cierta

distancia y en algún momento se detendrá, en todo instante actuó sobre él una fuerza de roce.

Supongamos ahora que el disco se desliza sobre una pista de hielo, la distancia que recorrerá

21

será mayor. Si se desliza sobre una mesa de aire donde el roce es prácticamente nulo, seguiría

moviéndose indefinidamente en línea recta.

No hace falta aplicar una fuerza para que un objeto se mueva. Sí es necesario aplicar una

fuerza para cambiar su estado de movimiento esto quiere decir, cambiar su velocidad). Por

ejemplo, necesito aplicar una fuerza para superar la fuerza

de roce y poner el libro en movimiento. Pero una vez que

el libro se encuentra en movimiento en un entorno libre de

fuerzas, seguirá moviéndose indefinidamente. Se requiere

una fuerza para acelerar un objeto. Una aceleración

implica un cambio de velocidad del objeto. La velocidad

es una magnitud vectorial, por lo tanto tiene un módulo

(en este caso lo llamamos rapidez) y una dirección. Que

esté acelerado, significa que cambie su rapidez o su

dirección o ambas.

Figura 3.6: Ejemplo de la Ley de la inercia. Al frenar la bici, el muchacho (si no se

encuentra sujeto a nada) sale despedido a la velocidad en la que iba, tiende a seguir

moviéndose a la velocidad que traía

¿Qué es la Masa?

Seguramente notarás la diferencia al patear una lata vacía o una lata llena de plomo. Es

probable que en este último caso resultes dañado. Decimos que la lata con plomo tiene “más

inercia”. La inercia está asociada con la cantidad de materia del objeto, o sea, a la masa del

objeto. Cuanto mayor sea la masa de un objeto, mayor será la fuerza necesaria para cambiar

su estado de movimiento.

No confundir masa con volumen: el volumen es una medida de espacio que ocupa un objeto,

se mide en unidades como en m3 o litros o equivalentes. En cambio la masa es una medida de

la cantidad de materia, se mide en kilogramos, gramos. No es lo mismo la cantidad de

kilogramos que tiene un objeto con el espacio que ocupa. Una caja vacía de 1 m3 ocupa el

mismo volumen de 1 m3

que si la caja está llena de arena. Sin embargo, la masa en mucho

mayor en la que contiene arena, ya que la cantidad de materia es mayor. Y cuesta más mover

a la caja con arena que a la caja vacía.

La masa no es lo mismo que el peso: esta es una confusión muy común. La masa depende de

la cantidad de materia que posee el objeto, o sea, de la cantidad y tipo de átomos que lo

componen. Por tanto, la masa es una propiedad inherente al objeto y vale lo mismo en todos

lados, en la Luna, en la Tierra o en cualquier lugar del espacio. Lo que conocemos como peso

de un objeto es una medida de la fuerza de atracción gravitatoria sobre ese objeto. El peso

depende de la ubicación del objeto debido a la forma que depende la fuerza gravitatoria

(depende del inverso al cuadrado de la distancia entre dos cuerpos, entre la Tierra y el objeto en este ejemplo).

Para ejemplificar, una roca tiene la misma masa en la Tierra y en la Luna, porque su cantidad

de materia no cambia. Sin embargo su peso en la Tierra es distinto que su peso en la Luna. En

la superficie de la Luna su peso es una sexta parte de su peso en la Tierra, porque la fuerza

gravitatoria en la Luna es seis veces menor que en la Tierra. Si la roca se encontrase en un

lugar del espacio donde la fuerza gravitatoria sea nula, su peso sería cero.

22

Aunque no son lo mismo, en la superficie de la Tierra (que es donde generalmente vamos a

analizar situaciones a lo largo de este curso) el peso y la masa son proporcionales. Es decir, si

duplicamos la masa, el peso se duplica, y un objeto de masa grande es muy pesado.

La relación es: Peso= masa × g (donde g es la aceleración de la gravedad y vale 9,8 m/s2).

En el Sistema métrico Internacional (SI), la masa se mide en kilogramos (kg). La unidad de

fuerza en el SI es el Newton (símbolo N). Una bolsa de 1 kg de clavos tiene un peso de 9,8 N

en la proximidad de la superficie de la Tierra, pesa mucho menos en la Luna, aunque su masa

sigue siendo de 1 kg (la cantidad de materia no cambió). La relación entre unidades es: 1 N =

1 kg x (1 m/s2).

En el Sistema técnico de unidades, la fuerza se mide en kilogramos fuerza (kgf, kp o kg ),

que es la fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg (de masa) por la gravedad en la superficie

terrestre, esto es 9,8 m/s2. Cuando veamos la 2da Ley de Newton, entenderemos mejor la

relación entre estas unidades. 1 kgf en el sistema técnico equivale a alrededor de 9,8 N en el

SI (para hacer una estimación rápida podemos decir que 1 kgf 10 N).

Se propone la unidad kgf de modo que un kilogramo de masa pese un kilogramo fuerza en la

Tierra. El uso del kgf da una idea útil porque para asegurarse que se cuenta con una masa de

4 kg basta asegurarse que pesa 4 kgf, sin tener que hacer la cuenta de cuántos Newtons

representa. Pero hay que tener cuidado porque puede llevar a confusión si no se recuerda que

el kgf es una unidad de fuerza y el kg es una unidad de masa.

3.4 Tercera ley de Newton: Principio de acción y reacción

Cuando un objeto A ejerce una fuerza sobre otro objeto B, el objeto B ejerce sobre el objeto

A una fuerza igual en magnitud y de sentido contrario.

Podemos usar la notación ABF para distinguir la fuerza sobre A ejercida por B. Y BAF para la

fuerza sobre B que ejerce A. El principio de acción-reacción en notación vectorial se escribe:

AB BAF F

A una de las fuerzas se la llama fuerza de acción y a la otra de reacción. No importa cuál de

los nombres se le da a cada una, pero en general reconocemos como fuerzas de acción las

fuerzas que actúan sobre el objeto que estamos estudiando.

No podés empujar algo sin que este algo te empuje, o no podés tocar sin ser tocado, este es el

significado del principio de acción y reacción. Presioná tus dedos entre sí y notarás que

ambos pierden color con igual intensidad, ambos experimentan una fuerza de igual magnitud,

esto es el principio de acción y reacción.

Las fuerzas de acción-reacción nunca actúan sobre el mismo objeto. Esto es importante de

tener en cuenta para identificar las fuerzas que actúan sobre un objeto. Por ejemplo, un error

muy común es identificar a la fuerza normal como reacción a la fuerza peso.

¡¡¡Desaprobado!!! Normal y peso son dos fuerzas que actúan sobre el mismo objeto, entonces

23

nunca pueden ser pares de acción y reacción. La reacción a la normal es la fuerza que el

objeto hace a la superficie con la que está en contacto, y la reacción al peso es la fuerza que el

objeto le hace a la Tierra, que apunta saliendo de la Tierra.

Figura 3.7: Ejemplos del principio de acción y reacción

Figura 3.8: Otros ejemplos del principio de acción y reacción (arriba). El boxeador puede

golpear el saco de arena con gran fuerza, pero con el mismo golpe solo puede ejercer una

fuerza diminuta sobre el pañuelo desechable en el aire (abajo). Otro ejemplo: en la

interacción entre el martillo y la estaca, cada uno ejerce la misma fuerza sobre el otro.

24

Figura 3.9: ¡¡Atención!! La reacción al peso NO es la fuerza normal. En este ejemplo

tenemos un libro apoyado sobre una mesa. Sobre el libro actúan dos fuerzas: la normal ,

que es la fuerza que ejerce la mesa, y el peso , que es la fuerza ejercida por la Tierra. Si el

libro está en equilibrio, ambas fuerzas son de igual magnitud y sentido contrario, pero no

son pares de acción y reacción, pues actúan sobre el mismo cuerpo (el libro de física). La

reacción a es la fuerza que el libro ejerce sobre la Tierra y la reacción a es la fuerza

que el libro ejerce sobre la mesa.

3.5 Equilibrio

Decimos que un cuerpo u objeto puntual está en equilibrio si se encuentra en reposo

(equilibrio estático) o en movimiento a velocidad constante (equilibrio dinámico). En este

curso nos centraremos en la resolución de problemas de equilibrio estático.

Otra forma de enunciar la 1ra Ley de Newton es:

Si un objeto está en equilibrio, la fuerza neta actuante sobre el objeto es igual a cero

Por fuerza neta o fuerza resultante entendemos a la suma vectorial de todas las fuerzas que

actúan sobre el objeto. Por tanto, si un objeto está en equilibrio, la suma de todas las fuerzas

que actúan sobre el objeto tiene que ser igual a cero.

Para resolver situaciones en las que actúen fuerzas e impliquen la aplicación de la 1º Ley de

Newton es conveniente realizar un diagrama de cuerpo libre, también llamado de cuerpo

aislado. Los pasos sugeridos para encarar estas situaciones son las siguientes:

1. Una vez identificada la situación a estudiar, dibujar un diagrama del sistema.

2. Aislar el objeto que se quiere analizar, y realizar un esquema simplificado del objeto bajo

estudio.

3. Solo debe mostrar la representación del objeto y las fuerzas que se ejercen sobre él. Esto se

llama diagrama de cuerpo libre. Nunca debe incluir fuerzas ejercidas por el objeto de interés

sobre otros cuerpos y esquemas de otros objetos que ejerzan fuerzas sobre nuestro sistema.

4. Si hay varios objetos, se hace un diagrama de cuerpo libre para cada objeto

5. Definir un sistema de ejes x-y ortogonales entre sí adecuado para cada objeto y encontrar

las componentes de las fuerzas a lo largo de dichos ejes.

25

6. Aplicar la 1ra ley de Newton a cada componente. Conviene trabajar separando en

componentes según el sistema de coordenadas elegido. Para el caso de cuerpos en equilibrio,

de la descomposición tendremos:

la suma de componentes de las fuerzas según la dirección x que actúan sobre el objeto es cero

la suma de componentes de las fuerzas según la dirección y que actúan sobre el objeto es cero

7. Resolver las ecuaciones para obtener las incógnitas del problema.

Una receta útil: En muchos problemas de equilibrio vamos a encontrar que todas las fuerzas

que actúan sobre el cuerpo son paralelas, en este caso, podemos simplificar el análisis

vectorial y decir:

La suma de los módulos de las fuerzas apuntan en una dirección es igual a la suma de los

módulos de las fuerzas apuntan en dirección opuesta. Otra manera de decir esto es: la suma

de los módulos de las fuerzas que van para un lado menos la suma de los módulos de las

fuerzas que van para el otro es igual a cero.

3.6 Cuerdas flexibles y tendones

Si sobre un bloque sólido actúan solo dos fuerzas, F1 y F2, iguales en magnitud y opuestas en

dirección F2 = -F1, el bloque estará en equilibrio (F1 + F2= 0) Sin embargo, esta situación

difiere netamente de un bloque sobre el que no actúan fuerzas. Cuando actúan fuerzas

opuestas presionando al bloque se dice que éste está en un estado de compresión. Del mismo

modo, un bloque en equilibrio puede tener dos fuerzas opuestas tirando de él, en este caso se

dice que el bloque se encuentra en un estado de tensión. El módulo T de la tensión es igual al

módulo de una u otra de las fuerzas que actúan sobre él: T = F1 = F2 (empleamos los

símbolos en cursiva para indicar sólo el módulo de la fuerza).

Una cuerda flexible tal como una cinta, una piola o un tendón, posee varias propiedades

especiales:

1) Puede hallarse en un estado de tensión pero no de compresión.

2) Sólo puede transmitir una fuerza en sentido longitudinal.

3) La tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda.

Los tendones son empleados para cambiar la dirección de una fuerza, sin modificar su

módulo. Por ejemplo, en biomecánica los tendones cambian la dirección de la fuerza de un

músculo. Estos tendones pasan por encima de los huesos que funcionan a modo de poleas.

Los fluidos lubricantes reducen casi a cero el rozamiento entre el tendón y el hueso.

Ejemplo 1: La Figura 3.10 muestra dos pesas A y B unidas por una cuerda que pasa por una

polea sin roce. Supongamos que todo el sistema está en equilibrio y sea Fg la fuerza de

gravedad sobre la pesa A. ¿Cuál es la fuerza de la gravedad F’g sobre la pesa B? De acuerdo

con la primera ley, la cuerda debe ejercer una fuerza Fc = -Fg sobre A dirigida hacia arriba y,

por la tercera ley, la pesa ejerce entonces la fuerza de reacción Rc = -Fc = -(-Fg) = Fg sobre la

cuerda y hacia abajo (Fig. 3.11).

26

Con la fuerza Rc aplicada a un extremo, la cuerda posee una tensión T = Rc = Fg. Esta

tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda (la polea carece de rozamiento), y de

este modo la fuerza R’c que ejerce hacia abajo la pesa B sobre la cuerda también es igual en

módulo a T. La reacción a R’c es F’c = -R’c, que es una fuerza dirigida hacia arriba que actúa

sobre B (Fig. 3.11). De nuevo por la primera ley, la fuerza total sobre B es cero, luego la

fuerza de la gravedad F’g es igual a -F’c = R’c y posee un módulo igual a T = Fg. Por lo

tanto, las dos pesas en equilibrio deben pesar lo mismo.

Ejemplo 2: Analicemos el dispositivo de la Figura 3.12, cuya finalidad es aplicar una tensión

sobre las estructuras cervicales.

El bloque de 6 kg está en equilibrio, entonces la suma de fuerzas que actúan sobre el bloque

es cero. Sobre el bloque actúan dos fuerzas: su peso hacia abajo y la fuerza que ejerce la

cuerda hacia arriba. De aquí se obtiene que el valor de la fuerza que ejerce la cuerda es de 6

kp. Si la cuerda ejerce sobre el bloque una fuerza de 6 kp hacia arriba, entonces, por el

principio de acción y reacción, el bloque hace sobre la cuerda una fuerza de 6 kp hacia abajo.

La cuerda posee entonces una fuerza de tensión de 6 kp, que es la misma en todos los puntos

de la cuerda (suponemos que la polea carece de rozamiento) y en particular en ambos

extremos, de aquí que la cabeza debe ejercer sobre la cuerda una fuerza de 6 kp dirigida hacia

la derecha. La reacción a ésta es una fuerza de 6 kp hacia la izquierda, ejercida por la cuerda

sobre la cabeza. Vemos entonces que la cuerda se halla en estado de tensión, con dos fuerzas

de igual magnitud que tiran de ella: la fuerza del bloque de 6 kp y la fuerza de la cabeza.

Figura 3.10 Figura 3.11 Figura 3.12

3.7 Ejemplos de aplicación de problemas de equilibrio

Con la primera y tercera ley, más todo lo que aprendimos sobre las fuerzas podemos resolver

situaciones de equilibrio:

27

Ejemplo 1: Supongamos la siguiente situación: dos personas tratan de mover un bloque muy

grande (Fig. 3.13). El bloque, sin embargo, no se mueve. Cristian empuja el bloque mientras

Pamela tira de él mediante una cuerda.

El sistema u objeto a analizar es el bloque. “Aislamos” al bloque del resto (lo separamos de

las personas que tiran/empujan, de la Tierra, del piso). Simbolizamos al bloque mediante un

punto.

Identificamos y dibujamos las fuerzas que se ejercen sobre el bloque, considerando las

direcciones de estas fuerzas que indicamos con la flecha del vector de fuerza correspondiente.

Conviene agregar el sistema de coordenadas que estamos usando (ejes x-y). Ver Figura 3.13.

Figura 3.13: A la derecha mostramos las fuerzas dibujas sobre el sistema de coordenadas.

Indicamos las fuerzas con notaciones que podamos reconocer:

CBF es la fuerza que Cristian ejerce sobre el bloque.

PBF es la fuerza que Pamela ejerce sobre el bloque.

N es la fuerza normal de contacto que el piso ejerce sobre el bloque.

rF es la fuerza de roce entre el bloque y el piso, ejercida sobre el bloque.

BP es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el bloque (Peso del

bloque).

Descomponemos las fuerzas según componentes x e y. En este caso, cada fuerza solo tiene

una componente (o bien x, o bien y), así que su componente tendrá el valor de su magnitud.

Para la componente x, la 1ra ley se escribe:

0CB PB rF F F

Al escribir la 1ra ley según la componente x, estamos trabajando con las proyecciones de las

fuerzas según x; consideramos el sentido de la fuerza según con signo positivo (si apunta

hacia la derecha) o negativo (si apunta hacia la izquierda).

Para la componente y, la 1ra ley se escribe:

0BN P

28


Ejemplo 2: La Figura 3.14 muestra un bloque B de masa 14 kg apoyado en el piso. Encima de

ese bloque se coloca otro bloque C cuya masa es de 8 kg. Encontrar el módulo de la fuerza

que el piso ejerce sobre el bloque B y de la fuerza de contacto entre ambos bloques.

La Figura 3.15 muestra el diagrama de cuerpo libre para ambos bloques. Las fuerzas que

actúan sobre el bloque B son: Fpi/B (fuerza ejercida por el piso), FC/B (fuerza ejercida por el

bloque C) y PB (el peso del bloque B, la fuerza ejercida por la Tierra). Las fuerzas que actúan

sobre el bloque C son: FB/C (fuerza ejercida por el bloque B) y PC (el peso del bloque C).

Observemos que FC/B y FB/C son pares de acción y reacción (representan justamente la fuerza

de contacto entre los bloques) y entonces sus módulos son iguales: FC/B = FB/C

Como cada uno de los bloques está en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre cada

uno de ellos es igual a cero. Como todas las fuerzas son paralelas, podemos decir que la suma

de los módulos de las fuerzas que van para arriba es igual a la suma de los módulos de las

fuerzas que van para abajo. Esto nos conduce a las relaciones:

Fpi/B = FC/B + PB ; FC/B = PC

Como PB = 14 kgf y PC = 8 kgf, reemplazando en las ecuaciones de arriba se obtiene que el

módulo de la fuerza de contacto entre los bloques es FC/B = 8 kgf y que la fuerza que el piso

ejerce sobre el bloque B tiene un módulo de Fpi/B = 22 kgf.

Es particularmente importante señalar que en este último ejemplo la fuerza ejercida por el

piso sobre el bloque inferior es mayor a la fuerza entre que el bloque inferior ejerce sobre el

superior. Es evidentemente cierto que en una estructura vertical la fuerza de contacto sobre

una parte próxima a la base de la estructura es mayor que la fuerza de contacto sobre una

parte próxima a la cúspide, ya que cada parte soporta el peso total de todas las otras partes situadas más arriba. En muchas estructuras, naturales y artificiales, las partes inferiores son

más anchas que las superiores para ser suficientemente resistentes y soportar una fuerza

mayor. Por ejemplo, en la columna vertebral del hombre, las vértebras aumentan de tamaño

continuamente de arriba abajo por esta razón.

Ejemplo 3: Supongamos un bloque de 10 N de peso (de masa 1 kg, si aproximamos g 10

m/s2) que cuelga de un solo dinamómetro (o balanza de resorte). Como el sistema está en

29

equilibrio (Fig. 3.16), el dinamómetro debe indicar 10 N (la fuerza que ejerce el dinamómetro

equilibra la fuerza peso del bloque).


Si ahora el bloque cuelga de dos dinamómetros verticales idénticos ¿cuánto indica cada uno?

Los dos dinamómetros deben equilibrar al peso del bloque de 10 N. Por tanto, la resultante de

la fuerza que ejercen los dos dinamómetros en conjunto debe ser de 10 N. Si están orientados

verticalmente, entonces 10 N= 5 N + 5 N.

¿Qué sucede si los dinamómetros no están en posición vertical? Supongamos que están

formando un ángulo con la vertical. ¿Cuánto indicará cada uno? Si el ángulo aumenta, ¿qué pasará con lo que indican los dinamómetros, la fuerza que ejercen aumenta o disminuye?

Dicho de otra forma, ¿los resortes del dinamómetro se alargan más o menos?

Se estiran más, aumenta la fuerza que indican a medida que aumenta el ángulo con la vertical.

Una forma rápida para llegar a la respuesta es aplicando la regla del paralelogramo para

encontrar la fuerza resultante de los dinamómetros que tiene que ser de 10 N (ver Fig. 3.17).

A medida que aumenta el ángulo, los lados del paralelogramo son cada vez mayores para

cumplir la condición de que la suma sea 10 N.

Ejemplo 4: Un cuadro de 2 kg se cuelga de un clavo como se muestra en la Figura 3.18.

¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda?


30

Cada segmento de la cuerda tiene una tensión Ta y Tb, como se ilustra en el diagrama de

cuerpo libre indicado en la Figura 3.19. Como el cuadro está en equilibrio, la suma de fuerzas

que actúa sobre el cuadro es igual a cero. Sumando por componentes se tiene:

Suma de fuerzas en x = Ta sen 60º + Tb sen 60º - 2 kgf = 0 (1)

Suma de fuerzas en y = - Ta cos 60º + Tb cos 60º = 0 (2)

Sustituyendo (2) en 1 se obtiene:

2 Tb sen 60º = 2 kgf

Despejando se obtiene Tb = 1,15 kgf. Como se demuestra en la ecuación (2), las tensiones en

los segmentos de cuerda son iguales y entonces Ta = 1,15 kgf.

Ejemplo 5: Un chico de 40 kg está parado encima de un bloque en reposo de 20 kg (ver

Figura 3.20) El bloque es tirado por una fuerza F de 10 kgf que forma un ángulo de 30° con

el piso. Encontrar el valor de la fuerza normal y la fuerza de roce que actúa sobre el bloque.

El bloque está en equilibrio, entonces la suma de fuerzas que actúa sobre el bloque es igual a

cero. Indicamos las fuerzas con notaciones que podamos reconocer:

Figura 3.20

Fc es la fuerza que en chico ejerce sobre el bloque.

N es la fuerza normal de contacto que el piso ejerce sobre el bloque.

Fr es la fuerza de roce entre el bloque y el piso, ejercida sobre el bloque.

P es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el bloque (Peso del bloque).

F es la fuerza de magnitud 10 kgf que tira del bloque.

Descomponemos las fuerzas según componentes x e y. El sistema de ejes cartesianos que

elegimos se muestra a la derecha de la Figura 3.20. La fuerza F es la única que tiene

componente no nula en ambos ejes. El resto de las fuerzas sólo tiene una componente (o bien

x, o bien y), así que su componente tendrá el valor de su magnitud.

31

Para la componente x, la 1ra ley se escribe:

F coseno 30° - Fr = 0

Al escribir la 1ra ley según la componente x, estamos trabajando con las proyecciones de las

fuerzas según x; consideramos el sentido de la fuerza según con signo positivo (si apunta

hacia la derecha) o negativo (si apunta hacia la izquierda).

Para la componente y, la 1ra ley se escribe:

N + F seno 30° - P - Fc = 0

Como conocemos que F = 10 kgf, P = 20 kgf y Fc = 40 kgf, reemplazando en las ecuaciones

obtenemos que Fr = 8,66 kgf y N = 55 kgf.

3.8 Segunda ley de Newton: Relación entre fuerza y aceleración

¿Qué pasa si la fuerza neta (o fuerza resultante) que actúa sobre un cuerpo es diferente de

cero? De eso trata la 2da Ley de Newton:

La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su

aceleración:

Esto quiere decir que la aceleración que adquiere un objeto es directamente proporcional a la

fuerza resultante aplicada sobre él, tiene la dirección de la fuerza resultante y es inversamente

proporcional a la masa del objeto.

¿Qué es la aceleración? Si existe un cambio en el estado de movimiento, o sea, si cambia la

rapidez o la dirección de la velocidad, hay una aceleración. La velocidad es una magnitud

vectorial, por lo tanto está caracterizada por su módulo (rapidez) y su dirección. Un cambio

en el estado de movimiento implica un cambio en su velocidad (en su módulo y/o dirección).

En un auto el acelerador produce un aumento de la rapidez, el freno una disminución de la

rapidez y el volante un cambio de dirección. La aceleración tiene dimensiones de

longitud/tiempo2, y se mide en unidades de, por ejemplo, metros/segundos

2 (m/s

2). Por otra

parte, la velocidad tiene dimensiones de [l/t] y una unidad de medida es m/s.

Aceleración = cambio en la velocidad/intervalo de tiempo

Las fuerzas resultantes son la causa que un objeto se acelere (cambie su estado de

movimiento).

Imagináte empujando un carrito de supermercado vacío que está inicialmente en reposo. Si

ahora el carrito está lleno de mercadería y lo empujás aplicando la misma fuerza que cuando

estaba vacío (igual en magnitud y dirección), la aceleración será menor. ¿Por qué? Porque la

aceleración que adquiere depende de la masa del carrito. A mayor masa menor aceleración, a

menor masa mayor aceleración. Esto se expresa diciendo que dada una fuerza, la aceleración

que produce es inversamente proporcional a la masa.

32

Figura 3.21: Ejemplos de cómo están relacionadas la fuerza, la masa y la aceleración.


1) Indicar cuál es la única afirmación falsa:

a) Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre diferentes cuerpos.

b) Si un cuerpo está en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él es cero.

c) Un cuerpo se acelera en la misma dirección que la fuerza resultante que actúa sobre él.

d) La fuerza de contacto normal sobre un cuerpo es la fuerza de reacción de su peso.

e) Si un cuerpo se mueve a velocidad constante, la suma de fuerzas que actúan sobre él es

cero.

2) Si una persona tiene una masa de 80 kg ¿cuál es su peso en Newtons?, ¿y en kgf? (b)

¿cuánto mide la masa de tu cuerpo en la Tierra? ¿y en la Luna?

3) Una persona de 70 kg se encuentra en reposo parada sobre el piso. La persona sostiene por

encima de su cabeza una barra de 20 kg. (a) Encuentre la fuerza que el piso hace sobre la

persona. (b) ¿Cuál es la fuerza que la persona hace sobre el piso?

4) Sobre un objeto de 5 kg, que se encuentra en equilibrio, actúan 3 fuerzas. La primera tiene

una magnitud de 23 N y apunta hacia la derecha, la segunda tiene una magnitud de 16 N y

apunta hacia la izquierda. Encuentre la magnitud y la dirección de la tercera fuerza.

5) Encima de un bloque de 4 kg colocado sobre una mesa se coloca otro bloque de 12 kg.

Dar el módulo y la dirección de las siguientes fuerzas: a) Fuerza gravitatoria sobre el bloque

de 4 kg. b) Fuerza de contacto ejercida por la mesa sobre el bloque de 4 kg. c) Fuerza de

33

contacto ejercida por el bloque de 12 kg sobre el bloque de 4 kg. d) Fuerza de contacto

ejercida por el bloque de 4 kg sobre el bloque de 12 kg. e) De estas fuerzas, ¿cuales son pares

de acción y reacción?

6) Comparada con tu peso, ¿cuál es la fuerza de tensión que actúa sobre tu brazo cuando estás

colgado de un brazo sin moverte? ¿Y cuando estás colgado con los dos brazos verticalmente?

Si te cuelgas con las manos muy separadas, es mayor o menor esta

fuerza?

7) Para pensar: ¿qué mide una balanza: masa o peso? ¿Depende de la

balanza, importa de qué tipo de balanza se trata, de resortes o de

platillos?

8) Un hombre pesa 1000 N y está parado sobre una tabla que pesa 200

N (ver fig. Problema 8). Los extremos de la tabla se apoyan sobre

balanzas. Indicar la lectura de la balanza más alejada del hombre.

Problema 8

9) La figura (Problema 9) muestra dos cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea

sin rozamiento. Todo el sistema se encuentra en equilibrio. El cuerpo B tiene una masa de 3

kg. Encuentre el valor de la tensión de la cuerda y la masa del cuerpo A.

10) ¿Cuáles son las tensiones T1 y T2 de las cuerdas de la figura (Problema 10)?

11) ¿Cuál es la tensión de la cuerda de la figura (Problema 11)?

Problema 9 Problema 10 Problema 11 Problema 12

12) ¿Cuáles son las tensiones T1, T2 y T3 de las cuerdas de la figura (Problema 12)?

34

13) La figura (Problema 13) representa un hombre de

70 kg de pie con los pesos de diferentes partes de su

cuerpo indicados. a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza de

contacto que sostiene la cabeza y el cuello? b) ¿Cuál es

la fuerza que sostiene a un brazo? c) ¿Cuál es la fuerza

total que sostiene al tronco en las dos articulaciones de

la cadera? d) ¿Cuál es la fuerza de contacto total en las

articulaciones de la rodilla? e) Si el hombre se apoya en

un pie, ¿cuál es la fuerza de contacto sobre la

articulación de la rodilla sobre la que está apoyado? f)

¿Cuál es la fuerza en la articulación de la rodilla que

sostiene la pierna que no se apoya en el suelo? (Rta: c)

49 kp, e) 66 kp, (f) 4 kp)

14) La figura (Problema 14) muestra la forma del

tendón del cuádriceps al pasar por la rótula. Si la

tensión T es 140 kp, ¿cuál es el módulo y la dirección

de la fuerza de contacto Fc ejercida por el fémur sobre la

rótula? (Rta: 146 kp es el módulo y 21,5° es el ángulo

indicado en la figura)

Problema 13

Problema 14

15) Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo de tracción (figura Problema 15).

35

16) Un estudiante inclina su cabeza sobre un libro (Problema 16). La cabeza pesa 4,5 kp y

está sostenida por la fuerza muscular Fm ejercida por los extensores del cuello y por la fuerza

de contacto Fc ejercida en la articulación atlanto-occipital. Dado que el módulo de Fm es 5,4

kp y que está dirigida 35° por debajo de la horizontal, hallar el módulo y la dirección de Fc.


17) Una chica sujeta en reposo una piedra que pesa 1 kgf en la palma de la mano. Los

vectores fuerzas que se ven son las fuerzas que actúan sobre la piedra. En las siguientes

consignas de abajo tachar la opción que no corresponda entre paréntesis:

a) Decir que el peso de la piedra es de 1 kgf es decir que hay una fuerza gravitacional de 1

kgf ejercida sobre la piedra por (la Tierra) (la mano).

b) La mano de la chica sostiene la piedra con una fuerza normal N, que actúa en dirección

opuesta a P. Se puede decir que N (es igual a P) (tiene la misma magnitud que P)

c) Como la piedra está en reposo, la fuerza neta sobre ella es (cero) (distinta de cero).

d) Como N es igual y opuesta a P, (se puede) (no se puede) decir que N y P forman un par de

acción y reacción. La razón es porque la acción y reacción siempre (actúan sobre el mismo

objeto) (actúan sobre distintos objetos), y aquí se ve que N y P (actúan al mismo tiempo

sobre la piedra) (actúan sobre diferentes objetos).

e) Si se dice que la acción es la Tierra tirando de la piedra hacia abajo, la reacción es (la

piedra tirando hacia arriba sobre la Tierra) (N, la mano de la chica alzando la piedra).

f) Se ve que N y P son iguales y opuestas entre sí (y forman un par de acción y reacción)

(pero no forman un par de acción y reacción).

g) Otro par de fuerzas es N y la fuerza hacia abajo que ejerce la piedra contra la mano. Este

par de fuerza (es) (no es) un par de acción y reacción.

h) Imagina que ahora la chica empuja la piedra hacia arriba con una fuerza de 2 kgf. La

piedra (sigue en equilibrio) (acelera hacia arriba), y en comparación con P, la magnitud de N

es (igual) (el doble) (no es igual ni el doble).

i) Una vez que la piedra sale de la mano de la chica, N es (cero) (todavía el doble de la

magnitud de P) y la fuerza neta sobre la piedra es (cero) (sólo P).

36

Capítulo 4: Momento

4. 1 Momento de una fuerza

La primera ley de Newton es una condición necesaria para el equilibrio de un objeto extenso,

pero no suficiente. Consideremos las dos fuerzas F1 y F2 que actúan sobre el bloque de la

Figura 4.1. Aún en el caso en que F2 = - F1, es decir la fuerza neta sobre el bloque es cero, el

bloque se moverá efectuando una rotación. La condición F1 + F2 = 0 sólo asegura que un

punto del bloque (su centro de gravedad) permanece en reposo. Se necesita una segunda

condición para asegurar que el bloque no se pone a girar.


La tendencia de una fuerza a originar una rotación alrededor de un punto depende del módulo

de la fuerza y de su distancia al punto. Veamos por ejemplo el caso de Figura 4.2: el chico

ejerce sobre la tabla una fuerza de 500 N y tiende a hacerla girar en el sentido de las agujas

del reloj, mientras que la chica ejerce sobre la tabla una fuerza de 250 N que tiende a hacerla

girar en el sentido contrario a las agujas del reloj. A pesar de la desigualdad de estas fuerzas,

el subibaja está en equilibrio si el chico se sienta más cerca del eje que la chica. El subibaja

está en equilibrio o balanceado si la fuerza que ejerce el chico multiplicada por su distancia al

eje es igual a la fuerza que ejerce la chica multiplicada por la distancia que la separa al eje.

De este modo, si el chico se sienta a 1,5 m del eje o pivote puede equilibrar a la chica sentada

a 3 m del eje, puesto que:

250 N × 3 m = 750 N × m = 500 N × 1,5 m

Para extender esta regla a otra situaciones, vamos a introducir el concepto de momento, al

considerar la fuerza F y el punto de apoyo O mostrado en la Figura 4.3. En todas figuras de

este capítulo, el eje de rotación se supone perpendicular al plano de la figura.

Definimos el módulo del momento (M) ejercido por una fuerza F alrededor de un eje que

pasa por el punto O como:

37

O sea, M es el producto del módulo de la fuerza (F) por la distancia al punto O medida

perpendicularmente ( d ). El momento lo definimos positivo (+) si tiende a producir una

rotación en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo (-) en caso contrario.

El momento es una medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza a producir rotación

alrededor de un eje perpendicular a un punto. Si se desea hacer que se mueva un objeto en

reposo hay que aplicarle una fuerza, y si se desea que comience a girar un objeto en reposo

hay que aplicarle un momento. La unidad de momento es el N.m o el kp.m.

Existen dos características muy importantes del momento:

1- El módulo y el signo del momento producido por una fuerza depende del punto O

alrededor del cual se lo calcula.

2- La distancia d que aparece en la expresión del momento es la distancia perpendicular

desde el punto O a la línea de acción de la fuerza (ver Figura 4.3). Es la distancia más

corta entre la fuerza aplicada y el eje de rotación, y se lo suele llamar “brazo de

palanca”.

Figura 4.3

Los momentos generados por las fuerzas sobres los cuerpos que actúan pueden ser:

Momentos Positivos .-Todos aquellos que hacen girar al cuerpo en el sentido contrario a las

agujas del reloj (giro Antihorario)

Momentos Negativos .- Todos aquellos que hacen girar a los cuerpos en el sentido de las

agujas del reloj (giro Horario)

Momentos nulos .- Todos aquellos donde la línea de acción de las fuerzas pasan por el punto

de giro(No genera giro).

F F

d

d

F

Momento negativo Momento positivo Momento nulo

Figura 4.4

38

Tenemos mayor probabilidad de lograr girar el tornillo de la Figura 4.5 si una misma fuerza

se aplica perpendicular al mango de la llave, en vez de en dirección oblicua. En la primera

figura el brazo de palanca es menor que la longitud del mango de la llave. En la segunda

figura el brazo de palanca es igual a la longitud del mango. En la tercera figura ese brazo se

prolonga con un tubo, para hacer mayor palanca y tener mayor momento.

Figura 4.5

4. 2 Condiciones de equilibrio

Un objeto que no tiene tendencia a ponerse a girar se dice que está en equilibrio rotacional.

Para que un objeto esté en equilibrio rotacional la suma de los momentos producidos por

todas las fuerzas que actúan sobre el objeto debe ser nula.

Para que un objeto se encuentre en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones:

1) La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto debe ser cero (1ºley de

Newton, equilibrio traslacional):

Suma de Fuerzas = 0

2) La suma de todos los momentos que se ejercen sobre el mismo debe ser cero

(equilibrio rotacional):

Suma de Momentos = 0

Al aplicar la condición de que la suma de momentos es cero, todos los momentos deben

calcularse alrededor del mismo punto. Si el objeto está en equilibrio no importa dónde esté

localizado ese punto.

4. 3 Centro de gravedad

El problema de calcular el momento producido por la fuerza de la gravedad sobre un objeto

extenso requiere una especial consideración porque la gravedad actúa sobre cada punto del

objeto. En el brazo extendido en la Figura 4.6 existen fuerzas gravitacionales sobre cada

átomo del brazo. Cada una de estas fuerzas tiene su propia línea de acción y produce su

propio momento. La suma de todas estas fuerzas es la es la fuerza total de gravedad o peso

del brazo Fg y la suma de todos los momentos es el momento total τg debido a la gravedad.

El momento gravitatorio Mg producido por la fuerza de gravedad sobre un objeto extenso se

calcula en términos del peso del objeto Fg y de la posición de un punto especial llamado

centro de gravedad.

39

Centro de gravedad: Es el punto donde puede suponerse actúa la fuerza total de gravedad, a

efectos de calcular el momento gravitatorio Mg. Por ejemplo, en la Figura 4.6, el centro de

gravedad (cg) está localizado a 28 cm de la articulación del hombro (punto O). Si el brazo

pesa 3 kp, el momento alrededor de O producido por la fuerza de gravedad o peso es:

Mg = -Fg × d = - 3 kp × 0,28m = - 0,84 kp×m

el signo menos (-), recordemos, aparece porque la fuerza de gravedad tiene a producir un giro

en sentido horario respecto a O.

Figura 4.6

El centro de gravedad posee rasgos característicos:

1) La fuerza de gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro

de gravedad. Por definición, la línea de acción de la fuerza de gravedad pasa por el centro

de gravedad y, así, la distancia del centro de gravedad a esta línea es cero.

Ejemplo: Localicemos el centro de gravedad del objeto de la Figura 4.7, que consiste en dos

masas A y B conectadas por una barra de peso despreciable.

Suponemos que el centro de gravedad está situado a una distancia x del peso A. Entonces, los

momentos alrededor del centro de gravedad debidos a las fuerzas gravitatorias individuales

de A y B son:

MA = FA x y MB = -FB (d – x)

Como el momento total alrededor del centro de gravedad debido a las fuerzas gravitatorias es

nulo, obtenemos:

FA x– FB (d – x) = 0 lo que nos lleva a x = FB d/(FA + FB)

Entonces, si por ejemplo A y B valen 10 kp y 5 kp, respectivamente, y la distancia d entre

ellos vale 3m, se obtiene que el centro de gravedad está situado a una distancia x = 1 m

medido desde A.

40


2) El centro de gravedad de un objeto rígido es el punto de equilibrio. Si se sitúa un solo

soporte directamente bajo el centro de gravedad de un objeto (ver Figura 4.8), la fuerza de

contacto Fc que el soporte ejerce sobre el objeto es igual a –Fg, y de aquí que la fuerza

total sobre el objeto sea cero. Además, tanto Fc como Fg producen momentos nulos

alrededor del centro de gravedad, ya que sus líneas de acción pasan por él. Por

consiguiente, el momento total alrededor del centro de gravedad es cero y el objeto está

en equilibrio.

3) En un objeto rígido el centro de gravedad es un punto fijo con respecto al objeto, aunque

no esté necesariamente localizado en el objeto mismo. Por ejemplo, en las Figuras 4.7 y

4.8, el centro de gravedad de la barra y de los pesos es un punto fijo de la barra y no varía

su posición cuando la barra se desplaza. La banana y la galletita de la Figura 4.9 tienen

ambas su centro de gravedad fuera de cada objeto.

Figura 4.9

4) En un objeto flexible, como el cuerpo humano, la posición del centro de gravedad varía

cuando el objeto cambia de forma. El centro de gravedad de un hombre, que permanece

de pie y derecho, está localizado al nivel de la segunda vértebra sacra sobre una línea

vertical que toca el suelo a unos 3 cm por delante de la articulación del tobillo. Si el

hombre levanta los brazos sobre su cabeza, el centro de gravedad sube unos centímetros.

Si una persona toma la posición de la Figura 4.10, su CG queda fuera del cuerpo.

Figura 4.10

41

5) Para objetos con cierta simetría, el centro de gravedad se sitúa siempre en el centro, el eje

o el plano de simetría. Por ejemplo, en una esfera, un cubo o un cilindro homogéneos, el CG

está en el centro geométrico.

6) Para un sistema formado por varios cuerpos extensos, el CG se calcula como si cada uno

de ellos fuera puntual y todo su peso estuviera concentrado en su CG.

4. 4 Principio de equilibrio

Vimos que para que un objeto esté en equilibrio, la suma de las fuerzas y la suma de los

momentos que actúan sobre él deben ser cero por separado. Si el momento neto no es cero, el

objeto está sin equilibrar y girará en el sentido del momento total, distinto de cero, que actúa

sobre él.


Consideremos el libro sobre la mesa de la Figura 4.11. La fuerza de contacto o normal Fc

que ejerce la mesa sobre el libro está distribuida por toda el área de contacto entre el libro y la

mesa, pero lo mismo que la fuerza de gravedad Fg, se puede considerar que la fuerza de

contacto total actúa en un punto único localizado dentro de esta área. Mientras el centro de

gravedad del libro esté sobre el área de contacto, el punto de aplicación de Fc estará situado

en la misma vertical como se muestra en la Figura 4.11. En este caso, el momento total y la

fuerza total sobre el libro son nulos y el libro está en equilibrio.

Cuando el libro se desplaza un poco más fuera de la mesa, el punto de aplicación de Fc se

mueve hacia el borde de la mesa a fin de permanecer bajo el centro de gravedad, pero su

punto de aplicación no se puede desplazar más allá del borde de la mesa (porque no hay

contacto). Cuando el centro de gravedad rebasa el borde de la mesa, como se muestra en la

Figura 4.12, la fuerza de contacto permanece en el borde y el momento total sobre el libro ya

no es cero. El momento total alrededor de O es -Fg d. Este es un momento en el sentido de

las agujas del reloj que hace girar al libro y que por lo tanto hace que se caiga de la mesa.

Principio de equilibrio: Si la fuerza de contacto o normal Fc y la fuerza de atracción

gravitatoria o peso Fg son las únicas fuerzas que actúan sobre un objeto, éste estará

equilibrado si y solamente si su centro de gravedad está localizado sobre su área de apoyo.

42

Para el cuerpo humano, el principio de equilibrio requiere que nuestro centro de gravedad

esté por encima de nuestra área de apoyo que viene definida por la posición de nuestros pies.

Figura 4.13

La Figura 4.13 muestra diferentes ubicaciones de nuestros pies delimitan diferentes áreas de

apoyo. Estamos en equilibrio siempre que nuestro centro de gravedad esté en la línea vertical

que pasa por algún punto dentro del área de apoyo.

En posición de firmes, el CG está normalmente sobre una línea que pasa a unos 3 cm por

delante de las articulaciones del tobillo. Según el principio de equilibrio, Fg y la fuerza de

contacto Fc en la articulación del tobillo no son las únicas fuerzas ejercidas sobre el cuerpo

por encima del tobillo. Para mantener el equilibrio y evitar que el cuerpo realice un

movimiento de rotación hacia adelante, hace falta una tercera fuerza. Esta fuerza la aplica a

cada pierna el músculo del tendón de Aquiles, que va unido al tobillo. Los CG de la mayoría

de las secciones del cuerpo no están encima de las articulaciones de apoyo, sino que hacen

falta fuerzas musculares para mantener el equilibrio (ver Fig. Problema 14)

4. 5 Estabilidad

En la práctica, el principio del equilibrio no es suficiente para garantizar el equilibrio. Por

ejemplo, sería posible mantener momentáneamente una regla en posición vertical (Figura

4.14). Sin embargo, como su centro de gravedad está tan alto por encima de un área de

apoyo muy pequeña, cualquier pequeña vibración de la mesa hace que el centro de gravedad

se salga de dicha área. Tan pronto sucede esto, el momento sobre la regla hace que ésta se

caiga, como se indica en el dibujo de la derecha de la Figura 4.14. Es decir, una regla, por su

pequeña área de apoyo y la posición elevada de su centro de gravedad se desequilibra al sufrir

la más ligera perturbación. Este tipo de equilibrio se denomina inestable.

La Figura 4.15 muestra una caja apoyada sobre una mesa. La caja está en equilibrio y este

tipo de equilibrio es estable porque si se la inclina ligeramente de modo que ya no esté en

equilibrio, el momento total sobre ella la hace volver a su posición de equilibrio, como se

indica en el dibujo de la derecha de la Figura 4.15.

Una buena estabilidad se obtiene teniendo el centro de gravedad de un objeto en una posición

baja por encima de un área de apoyo grande. Para un cuadrúpedo, el área de apoyo es el área

que hay entre las cuatro patas, lo cual hace que el animal tenga una gran estabilidad. Un

hombre erguido tiene un área de apoyo pequeña (el área delimitada por sus dos pies) y

mecánicamente no es muy estable.

43


A lo largo de la evolución los animales han desarrollado posturas cada vez más inestables.

La inestabilidad resultante permite moverse más rápidamente, pero requiere un control

neuromuscular complejo para mantener el equilibrio. A un niño le cuesta un año

aproximadamente desarrollar el control neuromuscular suficiente para mantenerse en pie sin

ayuda.

4. 6 Ejemplos de equilibrio en los que interviene el momento

Veamos algunos ejemplos donde tenemos que utilizar las dos

condiciones de equilibrio estático vistas en la sección 4.2.

Ejemplo 1: La Figura 4.16 muestra las fuerzas sobre un hombre en

posición erecta, con su centro de gravedad a mitad de la distancia entre

sus pies. Hallar las fuerzas que ejerce el suelo sobre los pies derecho

(FR) e izquierdo (FL), si el peso del hombre (Fg) es de 82 kgf. El centro

de gravedad del hombre se encuentra en la línea recta que pasa por el

punto medio de la distancia entre sus pies, que es de 30 cm.

Por la primera ley de Newton, la suma de las fuerzas ejercidas sobre el

hombre es cero,

FR + FL + Fg = 0

y por lo tanto, como estas fuerzas son paralelas, sus módulos satisfacen

la relación:

FR + FL = 82 kgf (1)

Figura 4.16

Para hallar los módulos individuales FR y FL hacemos uso de la condición de equilibrio

rotacional. Los momentos pueden tomarse alrededor de cualquier punto, pero en este caso

conviene que los tomemos alrededor del punto O, que es donde FL actúa sobre el pie

izquierdo. Si la separación entre los pies del hombre es de 30 cm, los momentos en este punto

son

44

ML = FL × 0 = 0

MR = -FR × 0,3 m

Mg = Fg × 0,15m = 82 kgf × 0,15 m = 12,3 kgf.m

Como la suma de los momentos tiene que ser cero, tenemos

- FR × 0,3 m + 12,3 kgf.m = 0

por lo tanto, despejando se obtiene que FR = 41 kgf

Poniendo este resultado en la ecuación (1) nos da

FL = 41 kgf

El punto O nos conviene en este caso porque una de las dos incógnitas pasa a través de él.

Esta incógnita es eliminada así de la primera parte del problema puesto que su momento

alrededor de O es cero. Se necesita un poco más de álgebra si los momentos los tomamos

alrededor del punto O’, que está en la línea de acción de Fg, pero el resultado final será el

mismo.

Ejemplo 2: ¿Dónde se halla el centro de gravedad de un hombre de 82 kgf cuando está de pie

de modo que la fuerza sobre su pie izquierdo, herido, no sobrepase los 20 kgf? Como en el

ejemplo 1), se supone que los pies están a 30 cm uno del otro (Figura 4.17).

Para averiguar dónde se halla el centro de gravedad, se repite el cálculo

empezando con el conocimiento de que FL = 20 kgf; la distancia d de la

línea de acción de la fuerza gravitatoria perpendicular al pie izquierdo es

desconocida. De la ecuación (1) obtenemos que FR = 62 kgf; por lo tanto

los momentos alrededor de O son

ML = 20 kgf × 0 = 0

MR = - 62 kgf × 0,3 m = -18,6 kgf.m

Mg = 82 kgf × d

y la suma es

-18,6 kgf.m + 82 kgf × d = 0

Despejando, se obtiene que la posición del centro de gravedad es: d = 0,227

m

El centro de gravedad se aparta entonces del pie herido en dirección al pie

bueno. Esto se logra doblando el cuerpo hacia la derecha y adoptando una

postura típica de cojeo (Fig. 4.17).

Figura 4.17

45


Ejemplo 3: Con el antebrazo en posición horizontal, tal como aparece en la Figura 4.18, la

mano ejerce una fuerza de 9 kp sobre la balanza. El antebrazo y la mano juntos pesan 2,5 kp

y su centro de gravedad está a 18 cm de O. Hallar los módulos de las fuerzas (Fm) y (Fc) que

ejercen sobre el antebrazo el tríceps y el húmero.

Por el principio de acción y reacción, si la mano ejerce sobre la balanza una fuerza de 9 kp

hacia abajo, la balanza hace una fuerza de 9 kp hacia arriba sobre la mano. Entonces, en total

contabilizamos 4 fuerzas actuando sobre el antebrazo y la mano: la fuerza del tríceps, la del

húmero, la de la balanza y la de la Tierra (es decir, el peso del antebrazo y la mano). Todas

estas fuerzas son paralelas y, cómo el antebrazo y la mano están en equilibrio, sus módulos

satisfacen la relación:

Fm + 9 kp = Fc + 2,5 kp (1)

Para hallar los módulos individuales Fm y Fc hacemos uso de la condición de equilibrio

rotacional. Los momentos ejercidos por las fuerzas pueden tomarse alrededor de cualquier

punto, pero en este caso conviene que los tomemos alrededor del punto O, que es donde Fc

actúa sobre el antebrazo (con MB indicamos el momento de la fuerza de la balanza):

Mc = Fc × 0 = 0

Mm = - Fm × 2,5 cm

Mg = -2,5 kp × 18cm = - 45 kp.cm

MB = 9 kp × 38cm = 342 kp.cm


- Fm × 2,5 cm - 45kp.cm + 342 kp.cm = 0

por lo tanto, despejando se obtiene que Fm = 118,8 kp


Fc = 125,3 kp

46

Ejemplo 4: El antebrazo de la Figura 4.19 está a 50° con respecto al brazo y sujeta en la mano

una pelota de 15 libras (lb). El antebrazo y la mano juntos pesan 6 lb y su centro de gravedad

está a 8 pulgadas del codo. Hallar los módulos de las fuerzas (Fm) y (Fc) que ejercen sobre el

antebrazo el bíceps y el húmero respectivamente.

En total contabilizamos 4 fuerzas actuando sobre el antebrazo y la mano: la fuerza del bíceps

(hacia arriba), la del húmero (hacia abajo), la de la pelota (como la pelota está en equilibrio es

fácil llegar a la conclusión que está ejerce una fuerza de 15 lb hacia abajo sobre la mano) y la

de la Tierra (es decir, el peso del antebrazo y la mano cuyo valor es de 6 lb). Todas estas

fuerzas son paralelas y, cómo el antebrazo y la mano están en equilibrio, sus módulos

satisfacen la relación:

Fm = Fc + 15 lb + 6 lb (1)

Para hallar los módulos individuales Fm y Fc hacemos uso de la condición de equilibrio

rotacional. Los momentos ejercidos por las fuerzas pueden tomarse alrededor de cualquier

punto, pero en este caso conviene que los tomemos alrededor del punto del codo, que es

donde Fc actúa sobre el antebrazo.

Tenemos que tener cuidado y recordar la definición de momento, dónde la distancia que

interviene es el brazo de palanca (la distancia más corta entre la línea de acción de la fuerza y

el eje de rotación). En este caso, aplicando trigonometría encontramos que el brazo de

palanca para cada una de estas fuerzas es el producto de la distancia del punto de aplicación

de la fuerza al codo por el valor seno50°.

Calculamos entonces, con este cuidado, cada uno de los momentos (con Mp indicamos el

momento de la fuerza de la pelota). La fuerza del bíceps tiende a producir una rotación en

sentido antihorario respecto al codo y el momento asociado a ella será positivo; mientras que

la fuerza peso y la fuerza de la pelota tienden a producir una rotación en sentido horario y el

momento que producen es negativo.

Mc = Fc × 0 = 0

Mm = Fm × (2 pulg . seno 50°)

Mg = -6 lb × (6 pulg . seno 50°) = - 36,77 lb.pulg

Mp = -15 lb × (16 pulg . seno 50°) = - 183,85 lb.pulg


Fm × 1,53 pulg - 36,77 lb.pulg - 183,85 lb.pulg = 0

por lo tanto, despejando se obtiene que Fm = 144,20 lb


Fc = 123,20 lb

47

Figura 4.20

Ejemplo 5: A la izquierda de la Figura 4.20 se muestran las fuerzas que actúan sobre el brazo

extendido de la Figura 4.6: el peso Fg, la fuerza muscular Fm aplicada por el músculo

deltoides y la fuerza de contacto ejercida en la articulación del hombro, Fc. Si el brazo pesa 3

kgf, ¿cuál es el módulo de Fm y el módulo de Fc?

Calculamos los momentos alrededor de la articulación del hombro (punto O) porque la fuerza

desconocida Fc ejerce un momento cero alrededor de ese punto, o sea:

Mc = Fc × 0 = 0

La Figura 4.20 muestra que el centro de gravedad del brazo está en el codo, a 28 cm de O,

por lo que el momento producido por Fg alrededor de O es:

Mg = - 3 kgf × 0,28 m = - 0,84 kgf.m

El momento producido por Fm alrededor de O es

Mm = Fm × d

en donde d es el brazo de palanca, la distancia perpendicular desde O a la línea de acción de

Fm. En el medio de la Figura 4.20 se muestra más claramente la construcción geométrica

utilizada para calcular d. El brazo de palanca se halla empleando la relación trigonométrica:

d = 12,7 cm × seno 15° = 3,28 cm

Como el brazo está en equilibrio, la suma de los momentos es cero y entonces:

-0,84 kgf.m + Fm × 0,0328 m = 0

por lo tanto, despejando se obtiene que Fm = 25,6 kgf

Como el brazo está en equilibrio, la suma de fuerzas es cero. A la derecha de la Figura 4.20

indicamos el sistema de ejes cartesianos elegido: el eje x positivo coincide con la extensión

del brazo apuntando en la dirección de los dedos y el eje y sea perpendicular en sentido

contrario a la dirección del peso. Queremos encontrar las componentes Fc x y Fc y de Fc:

Suma de Fuerzas en x = Fc x + 25,6 kgf × coseno 165° = 0

Suma de Fuerzas en y = Fc y + 25,6 kgf × seno 165° - 3 kgf = 0

Despejando se obtiene: Fc x = 24, 73 kgf y Fc y = - 3,63 kgf

Y entonces, conociendo las componentes de Fc, podemos encontrar su módulo:

= 24, 99 kgf

48



a) Si un cuerpo está en equilibrio, la suma de los momentos que actúan sobre él alrededor de

cualquier punto es cero.

b) El centro de gravedad de un objeto siempre está dentro del objeto.

c) Si las únicas fuerzas que actúan sobre un objeto son su peso y la fuerza de contacto, el

objeto está en equilibrio si su centro de gravedad está localizado sobre su área de apoyo.

d) La fuerza de gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro

de gravedad.

e) La posición del centro de gravedad varía cuando un cuerpo cambia de

forma.

2) Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos de la

forma indicada en la figura. ¿En qué situaciones se enrosca el tornillo, en

que situaciones se desenrosca el tornillo, cuáles producen el mismo

resultado (mismo momento) o son equivalentes?

3) (a) ¿Cuánto valen los momentos alrededor de la muñeca, el codo y el hombro cuando una

persona sostiene con el brazo extendido un peso de 5 kgf? (Despreciar el peso del brazo). (b)

¿Depende el valor del momento del punto alrededor del cuál se

calcula? ¿Son todos del mismo signo?

(c) ¿cuál es el momento alrededor del codo cuando se sostiene el

peso de 5 kgf de forma tal que el brazo forma con el cuerpo un

ángulo de 30º? ¿Es menor o mayor que en el caso (a)?

Rta.: (c) -0,7625 kgf.m

Problema 3

4) ¿Con cuál de estas herramientas es más fácil abrir una lata de pintura cuya tapa está

pegada: un destornillador con el mango grueso o un destornillador con el mango largo? ¿Cuál

de los dos es mejor para aflojar tornillos atascados? Explicar las respuestas.

5) Un padre y su hija que pesan 800 y 350 N,

respectivamente, se encuentran sobre un sube y

baja, que consta de una tabla uniforme de 40 N,

apoyada sobre un pivote que se encuentra bajo el

centro de gravedad (CG) de la tabla y a 1 m del

padre.

(a) ¿Cuánto vale la magnitud de la fuerza normal

que el pivote ejerce sobre la tabla? (b) ¿A qué

distancia x del pivote debe ubicarse la hija para

que el sistema se encuentre equilibrado? (Rta.: (a) 1190 N; (b) 2,29 m)

49

Problema 6

6) Un metro uniforme de madera apoyado en la marca de 25 cm se equilibra cuando una roca

de 1 kg se cuelga en el extremo de 0 cm (figura P. 6)¿Cuál es la masa del metro de madera?

7) Hallar las fuerzas que ejerce el suelo sobre los pies derecho e izquierdo de un hombre de

76 kgf que está en posición recta (ver figura P. 7). Su CG se encuentra en la línea recta que

pasa por el punto medio de la distancia entre sus pies, que es de 28 cm.

8) ¿Dónde se halla el CG de un hombre de 70 kgf cuando está de pie de modo que la fuerza

sobre su pie izquierdo, herido, es de 30 kgf? La distancia entre sus pies es de 24 cm (ver

figura P. 8).


9) Los adultos jóvenes pueden ejercer una fuerza máxima de 40 kgf sobre el aparato que se

muestra en la figura (ver figura P. 9), suponiendo que el aparato se coloca a 28 cm del codo y

el bíceps está unido a 5 cm del codo. Determinar los módulos de las fuerzas ejercidas por (a)

el bíceps y (b) el húmero. (Rta.: (a) 224 kgf; (b) 184 kgf).

10) Un antebrazo está, con respecto al brazo, a 90° y sostiene en la mano un peso de 7 kp (ver

figura P. 10). Despréciese el peso del antebrazo. (a) ¿Cuál es el momento producido por el

peso de 7 kp alrededor del codo (punto O)? (b) ¿Cuál es el momento alrededor de O

producido por la fuerza Fm ejercida sobre el antebrazo por el bíceps? (c) ¿Cuál es el módulo

de Fm? (Rta.: (a) -2,31 kp.m; (b) 2,31 kp.m; (c) 5,77 kp).

11) Repetir el Problema 10 suponiendo que el antebrazo y la mano juntos pesan 3,5 kp y que

su centro de gravedad está a 15 cm de O.

12) Un atleta de 80 kg está preparado para dar un salto hacia arriba (ver figura P.12). ¿Cuáles

son los módulos de las fuerzas que soporta el piso?

50

Problemas 10 y 11 Problema 12

13) ¿Por qué es peligroso abrir los cajones de un archivero completamente lleno que no esté

asegurado con firmeza al piso?

14) Estando en postura erecta, el centro de gravedad del cuerpo está sobre una línea que cae a

3 cm delante de la articulación del tobillo (ver Figura). El músculo de la pantorrilla (el grupo

de músculos del tendón de Aquiles) se une al tobillo a 4,5 cm por detrás de la articulación y

sube en un ángulo de 83º. (a) Hallar la fuerza Fm es este músculo para un hombre de 70 kgf

de peso que esté de pie (recordar que cada pierna soporta la mitad del peso del hombre). (b)

¿Cuál es la fuerza de contacto Fc, ejercida en la articulación del tobillo?

4,5 cm 3 cm

Problema 14 Problema 15

15) En las caricaturas que se muestran en la figura la cruz indica la posición del CG y la

línea vertical a rayas indica la línea de acción de la fuerza peso. (a) Dibujar el área de apoyo

para cada caso, (b) ¿cuál de las posturas corresponden a situaciones de equilibrio y por qué?

¿Las posturas que son de equilibrio corresponden a equilibrio estable o a equilibrio inestable?

16) Trata de tocarte los dedos de tus pies sin flexionar las rodillas y sin caerte. Ahora intenta

hacer lo mismo pero fijando tus talones contra una pared. ¿Qué observas? Señala la razón del

resultado.

17) El centro de gravedad de una persona se mide pesando la

persona sobre una plataforma apoyada en dos balanzas. Las

balanzas se ajustan para marcar cero cuando sólo soportan la

plataforma y la persona se coloca con la cabeza y los pies

justo sobre las balanzas. Deducir la fórmula de la distancia x

del centro de gravedad a la cabeza en función de los valores

W1 y W2 que marcan las balanzas, y de la altura d de la persona. Problema 17

51

Capítulo 5: Estructura de la materia

5. 1. Átomos

Toda la materia está formada por bloques constructivos diminutos, que en sí son básicamente

espacio vacío. Son los átomos, que se pueden combinar para formar moléculas, las cuales a la

vez se aglomeran para formar la materia que vemos a nuestro alrededor.

Como no podemos ver el interior de un átomo, formamos modelos del mismo. En ese sentido,

un modelo es una abstracción que nos ayuda a visualizar lo que no podemos observar, y nos

permite realizar predicciones acerca de partes de la naturaleza que no se han visto.

El modelo clásico del átomo, similar al del sistema solar, consiste en suponer que está

formado por un núcleo diminuto y denso rodeado por electrones que orbitan dentro de capas

esféricas (Fig. 5.1).

Figura 5.1: Modelo de átomo

Estructura atómica

El núcleo concentra casi toda la masa de un átomo y sólo ocupa un volumen aproximado de

10-42

m3. Por lo tanto, el núcleo es muy denso. El principal bloque constituyente del núcleo es

el nucleón. Cuando un nucleón está en estado eléctricamente neutro, es un neutrón; cuando

está cargado eléctricamente, es un protón. La masa de un protón es casi igual a la de un

neutrón. Los núcleos más livianos tienen aproximadamente el mismo número de protones que

de neutrones; los más masivos tienen más neutrones que protones. Los protones tienen carga

eléctrica positiva que repele a otras cargas positivas, pero atrae a cargas negativas. Los

protones del núcleo atraen a la nube circundante de electrones cargados negativamente para

constituir un átomo. Los electrones son casi 2.000 veces más livianos que los nucleones. La

cantidad de carga positiva que tiene un protón es igual a la cantidad de carga negativa de un

electrón. Por otro lado, los protones se mantienen juntos a pesar de su repulsión mutua

gracias a la acción de la fuerza nuclear fuerte. Esta fuerza es extremadamente intensa pero

solo se ejerce a distancias pequeñas.

El átomo es eléctricamente neutro, es decir, tiene el mismo número de protones que de

electrones. Sin embargo, cuando los átomos se juntan, a veces los electrones negativos de un

átomo pueden estar más cerca del núcleo positivo del otro átomo, lo cual da una tracción neta

entre los átomos. Esto explica porque algunos átomos se combinan para formar moléculas.

52

Cuando el número de protones no es igual al número de electrones, el átomo no es neutro

sino que tiene una carga eléctrica neta: es un ión.

Los átomos se clasifican según su número atómico, que es el número de protones que hay en

el núcleo.

Edad de los átomos

Los átomos que componen nuestro organismo son casi tan antiguos como el Universo, Por

ejemplo, cuando respiramos solo algunos átomos que se inhalan son expulsados en la

siguiente respiración. Los restantes quedan en el cuerpo y después dejan el organismo por

varios medios. Estamos hechos de los mismos átomos, estos átomos viajan de una persona a

otra cuando respiramos y cuando se evapora nuestra transpiración. El origen de los átomos

más livianos se encuentra en el origen del universo, en tanto que los más pesados son más

viejos que el Sol y la Tierra. Los átomos que conforman nuestro organismo existen desde los

primeros momentos de tiempo, y se reciclaron a través del universo entre innumerables

formas.

5. 2 Elementos

Cuando una sustancia está compuesta por átomos del mismo tipo, decimos que tal sustancia

es un elemento. Por ejemplo, un anillo de oro puro de 24 kilates está compuesto sólo por

átomos de oro. El líquido plateado de un termómetro es el elemento mercurio: todo el líquido

consiste sólo en átomos de mercurio.

Se conocen hasta el momento 109 elementos. Noventa de ellos se forman naturalmente. El

resto se crea en el laboratorio por medio de aceleradores y reactores nucleares. Estos

elementos son inestables como para darse naturalmente en cantidades apreciables.

Los materiales que encontramos en nuestra vida diaria se componen de unos 14 elementos,

pues la mayoría de los elementos son relativamente raros. El más liviano de los elementos es

el hidrogeno (H) y también el más abundante: más del 90 % de los átomos que hay en el

universo conocido son de H.

Los seres vivos están formados principalmente por 5 elementos: oxígeno (O), carbono (C),

hidrógeno (H), nitrógeno (N) y calcio (Ca). Las letras entre paréntesis son los símbolos

químicos de tales elementos. De cada 200 átomos en nuestro cuerpo, 126 son de hidrógeno,

51 de oxígeno y 19 de carbono.

Tabla periódica de los elementos

La tabla periódica es una tabla en que los átomos se clasifican según su número atómico y su

configuración electrónica. El hidrógeno (H), que contiene un protón por átomo, tiene número

atómico 1; el helio (He), que contiene dos protones por átomo, tiene número atómico 2; y así

sucesivamente, en orden hasta el elemento más pesado que se encuentre en la naturaleza, el

uranio, con número atómico 92. Los números continúan más allá del número 92 en los

elementos que se producen artificialmente.

El número de electrones va aumentando de uno en uno al avanzar de izquierda a derecha.

Avanzando hacia abajo, cada elemento tiene una capa completa más que el elemento

53

inmediato superior. Los elementos de una misma columna tienen propiedades químicas

similares. Por ejemplo, reaccionan de manera similar con otros elementos para formar nuevos

compuestos y materiales. Los elementos de una misma columna pertenecen al mismo grupo

de elementos. Los elementos de un mismo grupo tienen propiedades químicas similares

porque sus electrones están ordenados de forma similar.

Figura 5.2: Tabla periódica de los elementos.

Isótopos

La cantidad de protones en el núcleo no es necesariamente igual a la cantidad de neutrones.

Por ejemplo, todos los átomos de hidrógeno tienen un solo protón, aunque la mayoría de ellos

no tiene neutrones. Hay un pequeño porcentaje que contiene un neutrón, y otro porcentaje

todavía más pequeño que contiene dos neutrones. Asimismo, la mayoría de los núcleos de

hierro con 26 protones contienen 30 neutrones; en tanto que un porcentaje pequeño contiene

29 neutrones. Los átomos del mismo elemento que contienen cantidades diferentes de

neutrones son isótopos del elemento. Todos los distintos isótopos de un elemento tienen la

misma cantidad de electrones, así que en su mayor parte se comportan de forma idéntica. Los

átomos de hidrógeno en H2O, por ejemplo, pueden contener un neutrón o no. El oxígeno no

“nota la diferencia”; pero si hay una cantidad importante de átomos de hidrógeno que tengan

neutrones, el H2O es un poco más densa y se llama adecuadamente “agua pesada”.

Identificamos los isótopos por su número de masa, que es el número total de protones y neutrones en el núcleo. Por ejemplo, un átomo de hierro con 26 protones y 30 neutrones tiene

un número de masa de 56 y se conoce como hierro-56. Un átomo de hierro con 26 protones y

sólo 29 neutrones se llamaría hierro-55.

La masa total de un átomo se llama masa atómica. Es la suma de los masas de todos sus

componentes (electrones, protones y neutrones). Como los electrones son mucho menos

masivos que los protones y neutrones, su contribución con la masa atómica es insignificante.

54

La unidad práctica en que se expresa la masa de los átomos se llama unidad de masa

atómica o uma. Un nucleón tiene una masa aproximada de 1 uma. Por lo tanto, un átomo de

12 nucleones, como el carbono-12, tiene una masa aproximada de 12 uma.

5. 3 Moléculas

Los átomos pueden combinarse para formar partículas más grandes llamadas moléculas. Por

ejemplo, dos átomos de hidrogeno se combinan con uno de oxigeno para formar la molécula

agua H2O. Los átomos no solo están mezclados, sino que están conectados de una manera

definida. El nitrógeno y el oxigeno, gases que componen la mayor parte de la atmósfera,

están hechos de moléculas simples de dos átomos N2 y O2. En contraste, el ADN está

compuesto por millones de átomos.

Figura 5.3: Modelo de molécula de agua

Los materiales que a temperatura ambiente están en estado gaseoso o líquido se componen en

general de moléculas. Pero no toda la materia está hecha de moléculas. Los metales y los

minerales de roca (incluyendo la sal común) están hechos de átomos que no forman parte de

moléculas.

Al igual que los átomos, las moléculas individuales son demasiado pequeñas para poder

detectarlas con microscopio óptico. Hay excepciones, el ADN es una macromolécula que si

puede verse con un microscopio óptico. Pruebas más directas de la existencia de las

moléculas las tenemos mediante microscopia electrónica.

Al cambiar un átomo en una molécula se puede producir una gran diferencia. Por ejemplo, en

la clorofila hay un anillo de átomos de hidrógeno, carbono y oxígeno que rodea un solo

átomo de magnesio. Si el átomo de magnesio se sustituye por hierro, la sustancia se reordena

y forma el anillo semejante al de la hemoglobina (una proteína que lleva oxígeno a la sangre).

Así, un átomo puede ser la diferencia entre una molécula útil para las plantas y otra útil para

los seres humanos.

Podemos detectar moléculas de dióxido de azufre, amoniaco, etc., por medio de nuestro

sentido del olfato. El aroma de un perfume se debe la rápida evaporación de las moléculas del

líquido, que se dispersan aleatoriamente en el aire. Algunas de ellas entran en nuestra nariz

por accidente.

5. 4 Compuestos y mezclas

Un compuesto es un sustancia que está hecha de átomos de distintos elementos, combinados

en una proporción fija La formula química del compuesto nos dice en que proporción se

encuentra cada tipo de átomo. Por ejemplo, en el caso del dióxido de carbono, la formula CO2

indica que hay dos átomos de oxigeno (O) por cada átomo de carbono (C). Son compuestos el

http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=c59Z5AKeZ3pOnM&tbnid=7qj1VE02qRr-0M:&ved=0CAUQjRw&url=http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/el_agua/que_es2.html&ei=vm0yUouJIc_QigKfnIDoDA&bvm=bv.52164340,d.cGE&psig=AFQjCNFExu7fTKKI1-6FuvYTgL8WBl5tkQ&ust=1379122979222098

55

agua y la sal de mesa. El aire, la madera y el agua salada no son compuestos, ya que las

proporciones de sus átomos pueden variar.

Un compuesto puede estar hecho de moléculas (agua, CO2) o pueden no estarlo. La sal de

mesa (NaCl) está hecha de distintos átomos dispuestos en un patrón regular. Cada átomo de

Cl está rodeado de seis átomos de Na. Y cada átomo de Na está a su vez rodeado de seis

átomos de Cl. Hay un átomo de Cl por cada átomo de Na, pero no hay grupos separados de

átomos de Na y Cl que podamos llamar moléculas.

Las sustancias que se mezclan entre sí, sin combinarse químicamente, se llaman mezclas. La

arena combinada con sal es una mezcla. El hidrógeno y el oxígeno gaseoso forman una

mezcla hasta que se encienden, en cuyo caso forman el compuesto agua. Una mezcla común

de la que dependemos todos nosotros es la de nitrógeno y oxígeno, con un poco de argón y

pequeñas cantidades de dióxido de carbono y otros gases. Es el aire que respiramos.

Figura 5.4: Compuesto de NaCl (sal de mesa)

5.5 Estados de la materia

La materia puede existir en cuatro estados: sólido, líquido, gaseoso y plasma. Un sólido se

caracteriza por poseer un volumen y una forma definida. Su forma solo se puede modificar

por la aplicación de una fuerza considerable, como por ejemplo la que se necesita para

doblar una barra de acero. Esta rigidez de forma es el resultado de las intensas fuerzas

existentes entre las moléculas del solidó, las cuales están unidas estrechamente en posiciones

fijas. Para doblar un sólido debe alterarse esta disposición molecular que es muy estable y

ello requiere la aplicación de una fuerza intensa.

Un líquido se caracteriza por poseer volumen definido, pero no una forma definida. Un

líquido fluye para adaptar la forma del recipiente que lo contiene. Sin embargo, conserva su

volumen a pesar de los cambios de forma que pueda sufrir, debido a la fuerte atracción entre

sus moléculas. Las moléculas de un líquido están casi tan apretadas como en un sólido, pero

no tienen posiciones fijas. Un líquido no posee rigidez porque sus moléculas se mueven

libremente unas con respecto a las otras.

Un gas no tiene forma ni volumen definido. Se expande hasta llenar cualquier recipiente en el

que se lo coloque, y si el recipiente se abre, el gas escapará por la abertura. La fuerza de

atracción gravitatoria que ejerce la Tierra impide que la atmósfera gaseosa se extienda por el

espacio. La Luna, que ejerce solamente un sexto de la fuerza gravitatoria terrestre no puede

retener una atmósfera gaseosa. En un gas diluido, las moléculas están tan separadas que sólo

http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=f_NGKscneX-GgM&tbnid=KcPb4RBS630IDM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.iessanfulgencio.org/departamentos/fisicayquimica/enlaces/cristales_inicos.html&ei=I4oyUvrkHKz5igKcj4DYDA&bvm=bv.52164340,d.cGE&psig=AFQjCNF-A3aRY3vIb9gRKjbh-9zj5ethtA&ust=1379130267311706

56

ejercen fuerzas entre sí cuando chocan. Cada molécula se desplaza en línea recta hasta que

choca con otras moléculas o las paredes de su recipiente. Es este movimiento molecular libre

el que le da al gas su natural expansibilidad.

Los gases poseen propiedades específicas como su resultado de su expansibilidad mientras

que los líquidos poseen también propiedades específicas por el hecho de presentar una

superficie. Sin embargo, gases y líquidos tienen en común muchas propiedades que proceden

de su falta de rigidez. Se emplea la palabra fluido cuando se hace referencia a las propiedades

comunes a líquidos y gases.

En el estado de plasma, la materia consiste en núcleos atómicos desnudos y electrones libres,

y solo se da a altas temperaturas. A pesar de ser poco común en nuestra experiencia cotidiana,

el estado de plasma es el estado predominante de la materia en el universo. El Sol y las demás

estrellas, así como gran parte de la materia intergaláctica, están en estado de plasma. El gas

que brilla en una lámpara incandescente es un plasma.

Los átomos están en constante movimiento en cualquier estado de la materia. En el estado

sólido, los átomos y moléculas vibran alrededor de posiciones fijas. Si la razón de cambio de

la vibración molecular aumenta lo suficiente, las moléculas comenzarán a desprenderse y a

moverse por todo el material, vibrando sin posición fija. La forma del material ya no es

constante, sino que toma la forma del recipiente que lo contiene, por lo tanto se encuentra en

estado líquido. Si se añade aun más energía al material, haciendo vibrar las moléculas más de

prisa, éstas pueden separarse y adoptar el estado gaseoso.

Muchas sustancias pueden pasar de un estado o fase a otra por cambios de temperatura y de

presión. El ejemplo más familiar es el agua. En el estado sólido, este compuesto es hielo. Si

se calienta el hielo, el aumento de intensidad del movimiento molecular separa las moléculas

de sus posiciones fijas y tenemos agua líquida. Si calentamos el agua, podemos alcanzar un

punto en el que el aumento de las vibraciones moleculares separa totalmente las moléculas de

agua y tenemos vapor. Si calentamos el vapor aun más, las moléculas pueden romperse en los

átomos que la componen. Si calentamos hasta temperaturas superiores a los 2000 C los átomos se rompen convirtiéndose en un gas de electrones libres y núcleos desnudos,

alcanzando el estado de plasma.

5.6 Densidad y Peso específico

Las masas de los átomos y las distancias entre ellos determinan la densidad de los materiales.

La densidad es una medida de la compacidad de la materia, de cuánta masa ocupa

determinado espacio; es el cociente entre la masa y el volumen:

masaDensidad=

volumen

La densidad es una propiedad característica de una sustancia, independiente de su volumen o

su masa. La densidad se expresa en unidades de kg/m3, o kg/litro o g/cm

3. Por ejemplo, la

densidad del agua potable es de 1.000 kg/m3 o de 1 g/cm

3. Esto quiere decir que la masa de

un metro cúbico de agua potable es de 1.000 kg o la masa de un centímetro cúbico de agua

(más o menos el tamaño de un cubito de azúcar) es de 1 g.

57

La densidad puede expresarse en términos de peso en vez de masa, y ello define el peso

específico o densidad de peso:

pesoPeso específico=

volumen

La relación entonces entre densidad y peso específico es la misma que entre peso y masa:

Donde, recordemos, g = 9,8 m/s2 es la aceleración de la gravedad. El peso específico se

mide en unidades de fuerza dividido por unidad de volumen, Newton/m3 por ejemplo.

El iridio, un elemento metálico duro y de color blanco plateado, es la sustancia más densa de

la Tierra. Aunque el átomo individual de iridio tiene menos masa que los átomos individuales

de oro, platino, plomo o uranio, las cortas distancias entre los átomos de iridio en su forma

cristalina contribuyen a su densidad máxima. Caben más átomos de iridio en un centímetro

cúbico que otros átomos más masivos, pero con mayores distancias entre sí.


1) (a) ¿Qué contribuye más a la masa de un átomo, los electrones o los protones? (b) ¿Y al

volumen (tamaño) de un átomo?

2) (a) ¿Dos isótopos de hierro tienen el mismo número atómico? (b) ¿Tienen el mismo

número de masa atómica?

3) (a) ¿Cuántos núcleos atómicos hay en un solo átomo de oxígeno? (b) ¿Y en una sola

molécula de oxígeno?

4) Cuando el agua se congela se dilata. (a)¿Qué indica eso a cerca de la densidad del hielo en

comparación a la del agua líquida? (b) ¿Qué pesa más: un litro de hielo o un litro de agua?

5) ¿Qué tiene mayor densidad: 100 kg de plomo o 1.000 kg de aluminio?

6) (a) ¿Cuál es la densidad de 1.000 kg de agua? (b) ¿Y el volumen de 1.000 kg de agua?

7) (a) ¿Qué sucede con el volumen de un pan cuando se comprime? (b) ¿Con la masa? (c) ¿Y

con la densidad?

8) La masa de 3.000 cm3 de etanol es 2.367 gramos. (a) ¿Cuál la densidad del etanol? (b)

¿Cuál es la masa de 5 cm3 de etanol?

58

Capítulo 6: Fluidos

Un sólido es una sustancia rígida que conserva su forma frente a fuerzas externas a la que es

sometido. A diferencia de los sólidos, los fluidos son sustancias no rígidas que no conservan

su forma frente a estas fuerzas, o sea que pueden fluir. Son fluidos los líquidos y los gases.

Las moléculas que forman un fluido no están confinadas a posiciones fijas como ocurre en

los sólidos, sino que pueden moverse libremente de una posición a otra deslizándose entre sí.

Mientras que un sólido conserva una forma determinada, un fluido adopta la forma del

recipiente que lo contiene. Las moléculas de un líquido están muy cerca unas de otras, por lo

que resisten bastante a fuerzas de compresión. Por eso los líquidos como los sólidos son

difíciles de comprimir, y se los considera incompresibles. Los gases, en cambio, se

comprimen con facilidad, o sea, su volumen puede modificarse con facilidad y se dice que

son compresibles.

6. 1 Presión

La presión que una misma fuerza produce depende del área sobre la cual se aplica. Es por eso

que los clavos se clavan de punta y no de cabeza. Si una persona de 120 kgf se para sobre sus

zapatos cuya suela abarca un área de 200 cm2, su peso se reparte en esos 200 cm

2. O sea, que

sobre cada cm2 actúan 0,6 kgf. En cambio, si una persona pesa 60 kgf y se para sobre zapatos

con taco que representan un área de 60 cm2, su peso se reparte de forma tal que por cada cm

2

actúan 1 kgf.

La presión se obtiene del cociente entre el módulo de la fuerza aplicada perpendicularmente y

el área, o sea:

Contrariamente a la fuerza, que es una magnitud vectorial, la presión es una magnitud

escalar, es decir, no posee dirección ni sentido.

Para ilustrar la diferencia entre fuerza y presión, consideremos los dos bloques de la Fig. 6.1.

Son idénticos, pero están apoyados sobre lados de áreas diferentes. Ambos tienen el mismo

peso, por lo tanto ejercen la misma fuerza sobre la mesa sobre la que están apoyados. Si los

bloques se colocaran sobre una balanza, con cada uno marcaría lo mismo. Pero el bloque

vertical ejerce una mayor presión contra la superficie.

Figura 6.1: Aunque el peso de los bloques es el mismo, el

vertical ejerce una mayor presión porque tiene un área

menor.

Un fluido dentro de un recipiente ejerce fuerzas sobre las paredes de éste. Esa interacción

entre las paredes y el fluido está caracterizada por una sola magnitud, que es la presión en el

fluido.

59

Unidades de presión

Las dimensiones de presión son [p] = [fuerza/longitud2]. La unidad de presión en el Sistema

Internacional (SI) es el Pascal (Pa) que es un newton por metro cuadrado (N/m2).

En el sistema técnico se expresa en kgf/cm2. El Pascal es una unidad más pequeña que el

kgf/cm2, porque representa 1 N 0.1 kgf repartidos en 1 m

2= 10.000 cm

2, y el kgf/cm

2

representa 1 kgf actuando sobre 1 cm2.

Otra unidad utilizada para medir presión es la de libras por pulgada cuadrada (lb/plg2), que

suele expresarse como psi. Esta unidad se suele utilizar para expresar la presión de aire de los

neumáticos. También la presión se puede medir en una unidad denominada centímetros de

mercurio (cmHg) o milímetros de mercurio (mmHg). El cmHg o el mmHg son usualmente

utilizados en medicina para medir la presión sanguínea.

Presión atmosférica

Otra unidad más común es la atmósfera (atm), que es el valor de presión asociada a la fuerza

que la atmósfera (capa gaseosa de aproximadamente 10.000 km de espesor que envuelve la

tierra) hace sobre el suelo y todos los objetos. Aproximadamente, 1 atm 1 kgf/cm2

100.000 Pa, y su valor más preciso es 1 atm= 1,033 kgf/cm2.

Los informes meteorológicos suelen expresar la presión

atmosférica en hectopascales (1 hPa = 100 Pa). Una presión de

1000 hPa equivale a 105 Pa.

La presión media en un lugar situado por encima del nivel del

mar es menor que la presión media sobre el nivel del mar, debido

a que hay menos aire por encima de él.

Figura 6.2: Presión atmosférica

Decíamos que la presión atmosférica se debe al peso del aire. Estamos completamente

adaptados al aire invisible que a veces olvidamos que tiene un peso. Podemos decir que

vivimos en el fondo de un “mar” de aire, la atmósfera. La razón por la que sentimos que este

peso no nos aplasta es porque la presión dentro de nuestros organismos es igual a la del aire

que nos rodea. No hay fuerza neta que podamos sentir.

La equivalencia entre algunas de las unidades de presión que definimos arriba es la siguiente:

76 cmHg = 760 mmHg = 1 atm = 103.300 Pa = 1,033 kgf/cm2

¿Por qué la presión atmosférica tiene estos valores? ¿Qué significan? Imagina un poste hueco

de bambú vertical, tan alto que llegase a los límites de nuestra atmósfera y cuya área sea de 1

cm2. La masa aproximada de aire que encerraría ese poste sería de 1 kg aproximadamente y

por lo tanto el peso de este aire es de 1kgf y como está sobre un área de 1 cm2, causa una

presión en el suelo de 1 kgf/cm2. Si tendríamos un poste hueco de 1 m

2 que llegara hasta el

final de nuestra atmósfera, la masa de aire encerrada en ese poste sería de 10.000 kg

aproximadamente. El peso de este aire es entonces de 100.000 N y la presión ejercida sobre el

suelo es de 100.000 N/1 m2 = 100.000 Pa, que es justamente lo que llamamos presión

atmosférica.

60

Presión manométrica

La presión manométrica es la diferencia entre la presión absoluta de un fluido y la presión

atmosférica. O sea:

Presión manométrica = Presión absoluta – Presión atmosférica

Cuando se indica que la presión arterial máxima es de 12 cmHg, se refiere a la presión

manométrica. La presión absoluta en ese caso es de 12 cm Hg + 76 cmHg = 88 cmHg. La

presión manométrica es la magnitud de interés fisiológico, puesto que es la presión que es

mantenida por el sistema circulatorio. Los manómetros son aparatos que se utilizan para

medir la presión, y la mayoría mide la presión manométrica.

6. 2 Hidrostática: fluidos en equilibrio

Al sumergirnos en agua sentimos la presión que ejerce sobre los tímpanos. A mayor

profundidad, mayor será la presión. Esa presión se debe al peso del agua que está por encima.

Cuanto más profundo uno se sumerja, habrá más agua, y por tanto mayor presión. O sea, la

presión que un líquido ejerce depende de la profundidad.

Si se reemplaza el agua por otro líquido más denso, a una misma altura se sentirá una mayor

presión. Quiere decir que la presión del líquido también depende de su densidad. Cuanto más

denso sea el líquido, mayor presión ejerce.

La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio es igual al producto del

peso específico por la diferencia de altura entre esos dos puntos.

Diferencia de presión = (Peso específico) x (diferencia de altura)

Si uno de esos puntos es la superficie libre del líquido expuesta al aire, la diferencia de

presión es la presión manométrica y la diferencia de altura es la profundidad del líquido a la

que ejerce la presión. Esto entonces nos permite expresar la presión absoluta (o presión “a

secas”) en un líquido abierto a una dada profundidad de la siguiente manera:

Presión = Presión atmosférica + (Peso específico) x profundidad

Un resultado importante es que la presión hidrostática debe ser la misma en todos los puntos

que están a la misma profundidad. Porque si no fuese así, habría diferencia de presión y el

agua fluiría.

La presión no depende del volumen del líquido presente, sino de su profundidad. Sentimos la

misma presión al sumergir la cabeza un metro bajo el agua en un estanque que en un lago muy grande.

Supongamos un sistema de vasos comunicantes como muestra la Figura 6.3. Los vasos se

llenan hasta la misma altura, independientemente de su forma o volumen, por lo que la

presión del líquido será la misma en el fondo de cada uno. Si la presión del líquido en el

fondo de un vaso fuera mayor que en el vaso contiguo más angosto, la mayor presión enviaría

61

a los lados el agua y luego iría hacia arriba del recipiente

angosto hasta que se igualaran las presiones en el fondo.

Pero no sucede así, el nivel que alcanza el líquido es el

mismo en todos los vasos.

Figura 6.3: vasos comunicantes

Experimentalmente se observa que la presión en los líquidos se ejerce por igual en todas las

direcciones. Por ejemplo, si nos sumergimos en agua, independientemente de cómo

inclinemos la cabeza, sentiremos la misma cantidad de

presión en los oídos. La presión en los líquidos no solo

es hacia abajo, sino que actúa hacia todos los lados.

Eso lo observamos cuando vemos salir el líquido de un

recipiente colocado en forma vertical y que tenga un

agujero su costado (ver Figura 6.4). Sabemos que la

presión también actúa hacia arriba, cuando tratamos de

empujar una pelota para sumergirla en el agua.

Figura 6.4: La fuerza que el fluido ejerce sobre las paredes del recipiente actúa de forma

perpendicular a los lados del recipiente y aumenta conforme se incrementa la profundidad.

A causa de su falta de rigidez, un fluido en reposo no puede ejercer una fuerza paralela a la

superficie con la que está en contacto. Las fuerzas que un fluido en reposo ejerce sobre una

superficie son siempre perpendiculares a la superficie.

Manómetro

La presión manométrica se mide fácilmente con un

manómetro, que es un tubo en forma de U lleno parcialmente

con un líquido, generalmente mercurio o agua. El tubo se

monta en posición vertical con una regla graduada detrás de

él. En la Figura 6.5 el manómetro contiene mercurio y está

midiendo la presión pulmonar P durante la espiración. Un

extremo del tubo se conecta al paciente cuya presión

manométrica se desea medir y el otro extremo se deja abierto

a la atmósfera. El individua exhala en el lado izquierdo del

manómetro, de modo que la presión en el punto B es P. Dado

que la presión en el punto O es la atmosférica, la presión en

el punto A es:

Figura 6.5

Presión en A = Presión atmosférica + Peso específico del líquido × diferencia de alturas

La diferencia de alturas de las dos columnas de líquido en este caso es la resta hA - hO, las

distancias de los puntos A y O medidas a partir del borde superior de la regla graduada. La

presión en A es igual a la presión en B, porque estos puntos están al mismo nivel. Por lo tanto,

la presión absoluta P en los pulmones viene dada por:

P = Presión atmosférica + Peso específico del líquido × diferencia de alturas

62

Y por lo tanto, la presión manométrica (Pm) en los pulmones es:

Pm = P - Presión atmosférica = Peso específico del líquido × diferencia de alturas

Así, el manómetro de tubo abierto mide directamente la presión manométrica en función del

peso específico del líquido usado y la diferencia de alturas.

Presión arterial

La presión sanguínea es la presión que ejerce la sangre contra las paredes de las arterias.

Los valores de presión arterial normales en los adultos se sitúan aproximadamente en 12-8

cmHg. El primer valor se denomina presión sistólica y se refiere a la presión en el interior de

la arteria cuando el corazón se contrae y bombea sangre al cuerpo (12 cmHg de máxima). El

segundo valor es la presión diastólica y se refiere a la presión en el interior de la arteria

cuando el corazón está en reposo y se está llenando de sangre (8 cmHg de mínima).

El tensiómetro o esfignomanómetro permite determinar la presión arterial, máxima y mínima,

escuchando (con un estetoscopio) los sonidos característicos del flujo turbulento (sonidos de

Korotkoff). Consiste de un tubo flexible o manga que se sujeta alrededor del brazo

aproximadamente a la misma altura que el corazón, que normalmente está unido a un

manómetro de mercurio. La manga se infla manualmente apretando una perilla de goma,

hasta que la arteria esté completamente ocluida (unos 30 mmHg por encima de la presión

sistólica), con lo que se corta momentáneamente el flujo sanguíneo.

Figura 6.6: Funcionamiento del tensiómetro. Grafica de la evolución de la presión y su

relación con la detección del ruido turbulento. T.A. significa tensión arterial: 120/80 es la

presión máxima/mínima, respectivamente, en mmHg o torr.

A continuación se permite lentamente una entrada progresiva de aire que va

descomprimiendo gradualmente la arteria. En el momento en que la presión máxima arterial

es igual a la presión en el tubo, la sangre reanuda su circulación por la arteria produciendo

ruidos característicos del flujo turbulento que crea una pulsación sincrónica del pulso (primer

sonido de Korotkoff). La presión a la que se detecta por primera vez este sonido, que es la

presión a la que sangre puede abrirse paso por la arteria aplastada, es la presión arterial

http://www.onmeda.es/enfermedades/sistema_cardiovascular/tension_arterial/presion_sanguinea.html#valores_de_presion_arterial

http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=NzS7_cye7K6t-M&tbnid=9axms5EhyXvKRM:&ved=0CAUQjRw&url=http://bypassgastrico.net/alimentos-que-regulan-la-presion-arterial/&ei=LEcrUv_8FoTZigLBjICgDw&bvm=bv.51773540,d.cGE&psig=AFQjCNEB2jByhChyEY2IpsKs3-e6Ri1ZKA&ust=1378654361724280

63

sistólica. La presión sigue bajando y el sonido cambia de carácter hasta que no se pueda

detectar ningún sonido a la presión arterial diastólica. En este último caso, la sangre a baja

presión es capaz de pasar a través de la arteria del brazo sin producir turbulencia apreciable.

La precisión de este método y su reproducibilidad, dependen de la pericia de quien lo emplee,

además de otros factores como ser la obesidad del paciente. Valores aceptables de sístole

tienen una incertidumbre de alrededor de 2mmHg, y para la diástole de alrededor 5 mmHg.

También influye la sensibilidad auditiva del oyente.

Fuerza de empuje

Al tratar de sacar un objeto sumergido en el agua, notamos que "pesa" menos que si está

fuera del líquido. Por ejemplo, levantar un piedra grande del lecho de un rio es relativamente

fácil, mientras la piedra este bajo la superficie. Sin embargo, cuando sube de la superficie, la

fuerza que se requiere para levantarla es mucho mayor. Esto se debe a que sobre los objetos

sumergidos actúa una fuerza hacia arriba, en dirección opuesta a la fuerza gravitatoria, que es

la fuerza de empuje.

La fuerza de empuje es una consecuencia del aumento de presión con la profundidad.

Observemos la Figura 6.7. Las fuerzas debidas a las presiones del agua se ejercen en todos

los puntos contra el objeto sumergido, en dirección perpendicular a la superficie del objeto.

Los vectores fuerza contra los lados, a profundidades iguales, se anulas entre sí, de manera

que no hay fuerza de empuje horizontal.

Figura 6.7: La mayor presión contra el fondo produce una fuerza de empuje hacia arriba.

Sin embargo, las fuerzas verticales no se anulan y la presión en el fondo es mayor porque está

a mayor profundidad. Por lo tanto, las fuerzas hacia arriba serán mayores que las fuerzas

hacia abajo, y como resultado tendremos una fuerza neta hacia arriba: la fuerza de empuje.

Al sumergir un objeto en un líquido, éste desplaza un cierto volumen de líquido. Más aun, un

objeto completamente sumergido desplaza un volumen de líquido que es igual a su propio

volumen (Fig. 6.8).

Figura 6.8: El aumento del nivel del agua es el mismo que

se tendría si en vez de poner la piedra en el recipiente, se

hubiera vertido un volumen de agua igual al volumen de la

piedra.

64

Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes, válido para fluidos, establece que: Un cuerpo sumergido sufre

un empuje hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido que desplaza.

Si sumergimos en agua la mitad de un recipiente sellado de 1 litro, desplazará medio litro de

agua. La fuerza de empuje será el peso de medio litro de agua. En cambio, si se sumerge

completamente, la fuerza de empuje será el peso de 1 litro de agua.

Efecto de la densidad sobre un objeto sumergido

Que un objeto flote o se hunda en un líquido tiene que ver con la magnitud de la fuerza de

empuje en relación al peso del objeto. Si el empuje es igual al peso de un objeto sumergido,

entonces el peso del objeto debe ser igual al peso del agua que desplaza. Como el volumen

del líquido desplazado y el volumen del objeto son iguales, la densidad del objeto debe ser

igual a la densidad del agua.

En general, podemos resumir el efecto de la densidad en 3 casos:

- si un objeto es más denso que el fluido en el que está inmerso, se hundirá. (Figura 6.9 (a))

- si la densidad de un objeto es igual a la densidad del fluido en el que está inmerso, no se

hundirá ni flotará. Permanecerá en equilibrio. (Figura 6.9 (b))

- si un objeto es menos denso que el fluido en el que está inmerso, flotará. (Figura 6.9 (c))

(a) (b) (c)

Figura 6.9

Los peces regulan su densidad expandiendo o contrayendo una bolsa de aire que altera su

volumen. Un pez puede moverse hacia arriba aumentando su volumen y por ende

disminuyendo su densidad, o puede moverse hacia abajo reduciendo su volumen, lo que

aumenta su densidad.

Principio de Pascal

Un cambio de presión en cualquier parte de un fluido confinado y en reposo se transmite sin

alteración a todos los puntos del fluido. En la Figura 6.10 se ilustra el principio de Pascal. Si

65

se hace presión con la jeringa en un punto del líquido que contiene la esfera, la presión se

transmite y el líquido sale a esa presión por todos los orificios.

Figura 6.10: Principio de Pascal

Por ejemplo, si la presión de alimentación de agua de una ciudad aumenta 10 unidades de

presión en la estación de bombeo, la presión en cualquier punto del sistema de tuberías se

incrementa 10 unidades, siempre y cuando el agua esté en reposo.

Una prensa hidráulica funciona por el principio de Pascal. Si se llena con agua un tubo en

forma de U provisto de pistones (Fig. 6.11), la presión que se ejerce sobre el pistón de la

izquierda se transmite por todo el líquido hasta el pistón de la derecha. Un dispositivo de este

tipo permite multiplicar fuerzas. Por ejemplo, supongamos que el pistón de la izquierda tiene

un área A2= 1 cm2, y el de la derecha tiene una área 50 veces mayor (A1= 50 cm

2). Si

colocamos una carga F2= 1 N sobre el pistón de la izquierda, entonces se transmite la presión

adicional de 1 N/cm2 a través del líquido hasta el pistón grande. La presión adicional de 1

N/cm2 se ejerce sobre cada centímetro cuadrado del pistón grande. Como hay 50 cm

2, la

fuerza adicional F1 que se ejerce sobre el pistón grande es 50 veces mayor. O sea, que con

una fuerza de 1 N se produce una fuerza de 50 N. La igualdad de presiones conduce a la

relación:

1 2

1 2

F F

A A

Figura 6.11: Prensa hidráulica

6. 3 Hidrodinámica: fluidos en movimiento

Caudal

En un fluido en movimiento, el caudal Q es el cociente entre el volumen de fluido que fluye y

el tiempo que tarda en fluir:

66

Por ejemplo, si de una canilla salen 10 litros en 5 minutos, su caudal es de 2 lt/min.

Ecuación de continuidad

Consideremos un fluido continuo de agua que fluye a través de un tubo sin pinchaduras que

tiene tramos de distintos diámetros. Como el agua no “se amontona”, la cantidad de agua que

fluye por cualquier sección del tubo tiene que ser la misma. O sea, el caudal debe ser el

mismo en las diferentes secciones. Supongamos que un tubo por el que fluye el agua tiene

secciones transversales A1 y A2 (Fig. 6.12), entonces el caudal en ambas secciones debe ser el

mismo.

Como el volumen de agua que fluye a través de un tubo de secciones transversales diferentes

permanece constante, la rapidez del flujo v será alta donde el área es pequeña, y la rapidez

será baja donde el área es grande. Esto se enuncia con la ecuación de continuidad:

1 1 2 2A v A v

Figura 6.12: El agua aumenta su rapidez al pasar por la parte más angosta del tubo. En la

figura de la derecha se representa el movimiento del fluido mediante las líneas de flujo, que

son trayectorias suaves del fluido. Las líneas están más cerca entre sí en las regiones

angostas, donde el flujo es más rápido.

Principio de Bernoulli: La presión de un fluido es menor donde mayor es su velocidad

Sujeta frente a tu boca una hoja de papel. Cuando soplas sobre la cara superior, el papel sube.

Se debe a que la presión interna del aire en movimiento, contra la cara superior del papel, es

menor que la presión atmosférica sobre la cara inferior, produciéndose sobre el papel una

fuerza ascendente. Quien haya viajado en un auto convertible con el toldo puesto, habrá

notado que la lona se infla y trata de subir cuando el auto se mueve: es Bernoulli de nuevo.

La presión en el exterior es menor sobre la tela, donde el aire se mueve, que la presión

atmosférica estática del interior. La diferencia de presión en la tela de la lona hace que ésta se

curve hacia arriba.

67

El principio de Bernoulli explica por qué los camiones que pasan cercanamente en una

carretera se atraen entre sí y por qué los barcos que pasan unos junto a otros corren el riesgo

de chocar de lado. El agua que fluye entre ellos tiene mayor rapidez que la que pasa por los

costados externos y así la presión de agua es menor entre los barcos. A menos que estos

maniobren para compensar esas fuerzas, la mayor presión contra los lados externos los

empuja unos contra otros. El principio de Bernoulli se presenta también cuando las cortinas

de la bañera se acercan hacia ti cuando la ducha está funcionando a su máxima capacidad. La

presión en la zona de la ducha se reduce y la presión del exterior de la cortina la empuja hacia

adentro.

Figura 6.13: La presión es mayor en el fluido Figura 6.14: El principio de Bernoulli en

estacionario (aire) que en el fluido en un paraguas. La rapidez del aire es mayor

movimiento. La atmósfera empuja la arriba y la presión es mayor abajo, lo que

esfera hacia la región de menor presión. produce una fuerza ascendente.


1) Una persona de 80 kg se encuentra de pie sobre la nieve. Si la superficie total de apoyo es

de 650 cm2. (a) ¿Cuál es la presión que ejerce sobre la nieve? (b) ¿Cuál sería la presión si estuviera

provista de esquíes de 2 m de largo por 0,15 m de ancho? Expresar esta presión en atmósferas.

Despreciar el peso de los esquíes.

2) ¿Cuál es la presión del aire en atmósferas de un neumático de auto que está inflado a 30

lb/plg2 (30 psi) según los instrumentos de una estación de servicio? ¿Esa presión es la

absoluta o la manométrica?

3) Si la presión sanguínea de una persona varía entre 12 y 8 cmHg y la presión exterior es de

76 cmHg, en una herida debería entrar aire en vez de salir sangre. ¿Cómo se explica que eso

no ocurra?

4) Si la parte superior de la cabeza de una persona tiene un área de 100 cm2, ¿cuál es el peso

del aire sobre la persona? ¿Por qué no nos aplasta? Presión atmosférica = 1,033 kgf/cm2.

68

5) ¿Por qué las personas confinadas en la cama son menos propensas a tener llagas si usan un

colchón de agua y no un colchón ordinario?

6) ¿Cómo es la presión del agua a un metro de profundidad en un pequeño estanque

comparada con la presión a la misma profundidad en un gran lago?

7) ¿Por qué la presión de la atmósfera no rompe los vidrios de las ventanas?

8) Si la presión atmosférica es de 100.000 Pascales (P) y el peso específico del agua es de

10.000 Newton/m3. (a) ¿Cuánto vale la presión en el fondo de una pileta que está totalmente

llena si la profundidad de la pileta es de 4 metros? (b) Si el área de la pileta es de 250

metros2, ¿cuánto vale la fuerza que el agua hace sobre el piso?

9) En una persona que permanece erguida los pies están a unos 1,35 m por debajo del

corazón. ¿Cuál es la diferencia entre la presión de la sangre en una arteria del pie y la presión

de la sangre en la aorta? Densidad de la sangre 1,05 x 103 kg/m

3.

10) ¿A qué altura con respecto al brazo debe colocarse una bolsa de suero

(densidad 1 kg/lt) para que el líquido entre a la vena? (presión sanguínea en

la vena 10 mmHg) (Rta.: mayor a 13,6 cm)

11) Determinar el volumen en cm3 de un sólido irregular utilizando una

probeta con agua como muestra la figura y aplicando el principio de

Arquímedes. La probeta esta graduada en mililitros (ml). Si el sólido pesa

100 g, ¿cuál es su densidad en g/cm3?

12) Un huevo fresco se hunde en el agua. (a) ¿Qué puede ocurrir si diluimos

sal en el agua? (b) ¿Por qué los huevos podridos flotan?

13) Si el área de la sección transversal del pistón de salida de un dispositivo hidráulico es

diez veces mayor que el área del pistón de entrada ¿Cuánto se multiplica la fuerza de entrada?


a) La prensa hidráulica funciona multiplicando presiones

b) Una fuerza produce una presión mayor cuanto menor sea el área de aplicación

c) Un objeto más denso que el fluido en el que está inmerso se hunde

d) La presión en un fluido es la suma de la presión manométrica y la atmosférica

e) La presión de un fluido en movimiento es menor donde mayor es su velocidad

15) El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que no

presenta ramificaciones es de 1 litro por minuto. a) ¿Cuál es la velocidad media de la sangre

en un tramo en que el vaso tiene un radio interior de 0,5 cm? b) ¿y si el radio interior del vaso

es de 0,25 cm? (Rta.: 21,2 cm/s; 84,8 cm/s)

16) ¿A qué se debe que bajo los efectos del viento los techos de chapa tienen a volarse hacia

arriba?

17) ¿Por qué es peligroso pararse muy cerca del borde de un andén?

69

Capítulo 7: Sólidos

Un sólido es un objeto rígido que tiende a mantener su forma cuando se le aplican fuerzas

externas, Debido a esa rigidez los materiales sólidos se emplean en la construcción de todas

las estructuras complejas que tienen una forma fija. El ingeniero estudia las propiedades

mecánicas de los materiales, tales como acero u hormigón, empleados en las estructuras que

construye. Desde el punto de vista biológico, es de interés conocer las propiedades mecánicas

de materiales como la madera o los huesos que sirven como componentes rígidos de plantas y

animales.

7. 1 Clasificación de sólidos

Sólidos cristalinos

Las moléculas de un sólido, al igual que un líquido, están tan cerca entre sí que se ejercen

intensas fuerzas de atracción. Pero a diferencia con los líquidos en los que las moléculas

pueden moverse libremente de un lugar a otro, las moléculas en los sólidos están en

posiciones relativamente fijas. Las posiciones fijas son las que le dan al sólido su

característica de rigidez.

Un cristal es un sólido en el que las moléculas están dispuestas en una red triangular 3-D de

formas geométricas regulares que se repite en todas las partes del sólido. La disposición

ordenada de las moléculas determina la forma externa del cristal. Por ejemplo, cuando

observamos una muestra de minerales como el cuarzo (dióxido de silicio SiO2), se distinguen

superficies lisas y planas que forman ángulos definidos característicos de la red cristalina de

ese mineral. Todas las moléculas del interior de un sólido cristalino están sometidas a

idénticas condiciones y se comportan, por lo tanto, de manera idéntica.

Figura 7.1: Imagen de un cristal de cuarzo SiO2. A la derecha se representa el modelo de red

cristalina que contiene los átomos de Si (esferas negras) y de O (esferas blancas).

Un sólido se forma frecuentemente bajo condiciones que no favorecen la formación de un

cristal único. En cambio, cuando se forma el sólido, miles de diminutos cristales crecen

juntos. Dentro de cada microcristal las moléculas tienen una disposición ordenada, pero los

microcristales unos con respecto al otro están distribuidos al azar. Los metales, en general,

tienen esta clase de estructura.

70

Un sólido cristalino es un sólido que consiste ya sea en un cristal único como en un conjunto

de muchos microcristales unidos.

La propiedad más característica de un sólido cristalino es la existencia de una temperatura

definida llamada punto de fusión. Cuando un sólido se calienta, su temperatura aumenta

hasta que alcanza el punto de fusión. A partir de ahí, un posterior calentamiento transforma el

sólido en un líquido a la temperatura de fusión.

Sólidos no cristalinos

Muchos sólidos importantes como el vidrio, el caucho y los huesos, son no cristalinos. En

estos sólidos, las moléculas no están dispuestas en una red regular 3D, sino que están

dispersas al azar unas con respecto a las otras.

Un sólido no cristalino no tiene una temperatura de fusión definida. Como las moléculas

están dispuestas al azar, algunas pueden desprenderse de sus posiciones más fácilmente que

otras. Cuando aumenta la temperatura, el sólido no cristalino se hace cada vez más blando

hasta que comienza a fluir, pero no aparece una transición brusca del solido al líquido. La

manteca, la margarina y el vidrio son ejemplos de sólidos no cristalinos que carecen de punto

de fusión definido.

7. 2 Propiedades mecánicas de los sólidos

Un sólido no es absolutamente rígido; su forma y tamaño se modifican ligeramente cuando

está sometido a fuerzas considerables. Estas variaciones no son muy perceptibles y se

precisan instrumentos especialmente diseñados para el ensayo de materiales sólidos. Estos

ensayos permiten obtener las propiedades mecánicas de los sólidos.

Elasticidad

La elasticidad es la propiedad de un cuerpo de cambiar de forma cuando sobre él se ejerce

una fuerza deformadora, y de recuperar su forma original cuando la fuerza deja de actuar. El

acero es un material elástico excelente, porque puede resistir grandes fuerzas y después

regresar a su tamaño y forma originales. No todos los materiales recuperan su forma cuando

se les aplica una fuerza deformadora, esos materiales se dice que son inelásticos. La arcilla,

plastilina, el plomo son algunos ejemplos de materiales inelásticos.

Si se estira un material elástico más allá de cierto punto, no recuperará su estado original, la

deformación será permanente. La distancia más allá de la cual la cual la deformación es

permanente se llama limite elástico.

La ley de Hooke establece que existe una relación lineal entre la fuerza de tensión o

compresión T y la magnitud de alargamiento o compresión L,

T L

Esta ley es válida en tanto que la fuerza no extienda o comprima el material más allá de su

límite elástico.

71

Figura 7.2: Muestra sometida a un esfuerzo de tracción (a) y a un esfuerzo de compresión

(b). En cada caso las fuerzas F1 y F2 tienen igual módulo porque el objeto está en equilibrio.

Módulo de Young

Supongamos un material de longitud L0 sometido a fuerza de tensión o compresión como se

muestra en la Figura 7.2. La variación de su longitud L = L – L0 depende del tamaño y

composición de la muestra. En el caso de una muestra cilíndrica, es proporcional a su

longitud e inversamente proporcional al área de su sección transversal A. Es decir, una

muestra larga se estira más que una gruesa. Así, el efecto de tamaño sobre L se puede expresar como:

01 LL T

E A

donde E es una constante, llamada módulo de Young, que depende solo de la composición de

la muestra y no de su tamaño. T es el módulo de las fuerzas de tensión o compresión. En esta

relación se supone que se está por debajo del límite elástico, es decir que vale la ley de

Hooke. La tabla muestra valores de E para distintos materiales.

Material E (N/m2).

Acero 200 x 109

Aluminio 70 x 109

Cobre 120 x 109

Hueso (tracción) 16 x 109

Hueso (compresión) 9 x 109

Poliestireno 3 x 109

Madera 10 x 109

Resulta conveniente escribir las propiedades mecánicas de los sólidos en términos de otras

cantidades denominadas esfuerzo y deformación, en vez de tensión y variación de longitud,

porque la relación entre el esfuerzo y la deformación es independiente del tamaño del objeto

El esfuerzo es el cociente entre la tensión y el área de la sección transversal:

T

A

72

La deformación es adimensional, es el cociente entre el estiramiento y la longitud:

0

L

L

Por lo tanto, la relación entre esfuerzo y deformación es:

Esfuerzo = Módulo de Young × deformación

E

Como es adimensional, y tiene dimensiones de [Fuerza/longitud2], E tiene también

dimensiones de [Fuerza/longitud2]. En el SI se expresa en unidades de N/m

2.

El esfuerzo, al ser el cociente entre una fuerza y un área, es una presión. Sin embargo, el

término de presión generalmente se reserva para fluidos. En el caso de sólidos, se usa el

termino esfuerzo, ya que la fuerza por unidad de área puede ser diferente en áreas diferentes.

Por ejemplo, la fuerza por unidad de área en el sólido de la Figura 7.2 es F1/A en los extremos

del cilindro, pero es cero en la parte lateral del mismo.

La Figura 7.3 representa la relación entre esfuerzo y deformación para tracción y para

compresión. Las relaciones anteriores son válidas dentro de la región lineal, o sea la porción

recta de la curva, donde el esfuerzo es proporcional a la deformación. Los límites p y p´ de

esta región son distintos son distintos para los esfuerzos de tracción y compresión. Los

límites elásticos e y e´ son los esfuerzos de tracción y compresión máximos que pueden aplicarse al solido de modo que vuelva a su tamaño original una vez que el esfuerzo se

suprima. Si se superan estos valores, el sólido queda deformado, o sea, no recupera su estado

original. El sólido se rompe cuando el esfuerzo supera a la resistencia a la tracción u o a la

resistencia a la compresión u´.

Figura 7.3: Curva que muestra la relación esfuerzo/deformación de un sólido cristalino.

73

Si el esfuerzo sobre una barra de sostén de una estructura mecánica supera el límite elástico,

la barra queda permanentemente deformada y se modifican sus propiedades físicas. El sólido

deformado es en general más débil que el material original. Por ejemplo, una lámina de metal

puede ser doblada indefinidamente atrás y adelante siempre que no sea doblada más allá de

su límite elástico. Pero una vez que se dobla más allá de este límite, la lámina se rompe con

facilidad con unas pocas flexiones más. Por lo tanto, los miembros de una estructura animada

o inanimada, se diseñan de tal manera que los mayores esfuerzos que se les aplican no

superen nunca a sus límites elásticos.

7.3 Materiales biológicos

Los materiales sólidos tales como huesos, dientes, cuernos, uñas y cartílagos son sustancias

heterogéneas. Por ejemplo, la parte compacta de un hueso está constituida por células vivas

embutidas en una estructura sólida compuesta por una mezcla de fibras de colágeno y

cristales de hidroxiapatita. El colágeno es una proteína que se encuentra en todos los tejidos

conjuntivos y la hidroxiapatita es una sal inorgánica compuesta por calcio y fosfato, (PO4).

Los cristales de hidroxiapatita enlazan las fibras de colágeno.

Las propiedades mecánicas del hueso y de otros materiales biológicos se ensayan con los

mismos métodos empleados para los materiales de ingeniería. La principal dificultad es

obtener muestras frescas y preservarlas bastante tiempo para su estudio. La Figura 4 muestra

la curva esfuerzo-deformación para un hueso compacto, medidas realizadas empleando una

pequeña muestra de hueso compacto tomada de un fémur recientemente disecado.

Figura 7.4: Curva esfuerzo-deformación de hueso fémur.

74

Obsérvese la diferencia de comportamiento para los esfuerzos de tracción y compresión. Esto

es característico de sólidos heterogéneos, debido a que los distintos componentes del solido

tienen distintas propiedades mecánicas. Por ejemplo, en el caso del hueso, la resistencia a la

tracción es debida al colágeno y la resistencia a la compresión es debida a la hidroxiapatita.

En consecuencia, el módulo de Young del hueso es distinto para el esfuerzo de tracción que

para el de compresión. El módulo de Young para la tracción es casi dos veces mayor. Ello

significa que un esfuerzo de compresión produce una deformación del doble que uno de

tracción de igual módulo. Por otro lado, la resistencia a la tracción de un hueso es un cuarto

de la del acero, y su resistencia a la compresión es casi la del granito. Teniendo en cuenta que

el hueso es mucho más ligero que el acero y el granito, se puede equiparar a ellos, y de modo

muy favorable, como material estructural.


1) Cierto resorte se estira 4 cm cuando se le cuelga una pesa de 20 N. ¿Cuánto se estirará el

resorte si se le cuelgan 45 N? suponer que el resorte no llega a su límite elástico.

2) ¿Cuanto se estira un alambre de acero de longitud 0,5 m y diámetro 2 x 10-3

m cuando se

le aplica una tensión de 450 N?

3) Un alambre de oro de 50 cm de longitud y 1 mm de diámetro se alarga 0,2 mm cuando se

somete a una tensión de 25 N. ¿Cuál es el módulo de Young del oro?

4) Se ha demostrado por medio de ensayos que la caña del fémur (hueso de la pierna) se

rompe bajo una compresión de 5 x 104 N en el caso del hombre, 4 x 10

4 N en el de la mujer y

10 x 104 N en el caballo. ¿Cuál es el área de la sección transversal efectiva del fémur en los

hombres, mujeres y caballos? (resistencia a la compresión u´= 16,7 x 107 N/m

2 y 14,2 x 10

7

N/m2 para humanos y caballo, respectivamente). Aclaración: El centro del fémur contiene

médula ósea, una sustancia sin resistencia a la compresión, de modo que el área de la sección

transversal efectiva es el área total menos el área que contiene la médula.

5) El cabello se rompe bajo una tensión de 1,2 N. ¿Cuál es el área de la sección transversal de

un cabello? Resistencia a la tracción del cabello u = 19,6 x 107 N/m

2.

6) ¿Por qué motivo se suelen insertar barras de acero en el hormigón para formar hormigón

armado? Establecer una analogía con la composición de los huesos.

75

Capítulo 8: Energía

Todo proceso físico en el Universo involucra energía y transferencias y transformaciones de

energía. Si bien se trata de un concepto un tanto abstracto y difícil de definir, tenemos

experiencias relacionadas con transferencias y transformaciones de energía: el consumo de

nafta para que un auto marche, la energía eléctrica necesaria para que funcionen aparatos, el

alimento necesario para vivir. Por otro lado, a través del concepto de energía y sus leyes de

conservación se pueden abordar una serie de situaciones en Física de manera más sencilla que

recurriendo a las leyes de la mecánica.

La energía es una cantidad escalar asociada a un estado o condición de uno o más objetos. Es

la moneda con la que se contabilizan las pérdidas y ganancias de un proceso dinámico. En el

sistema internacional de unidades (SI) la energía se mide en Joules (J).

Para analizar situaciones físicas en base al concepto de energía, necesitamos identificar el

sistema bajo estudio. Un sistema es una pequeña parte del Universo que analizamos,

ignorando el detalle del resto del Universo (entorno o medio ambiente). Un sistema puede

tratarse de un solo objeto, de varios objetos, ser una región del espacio (por ejemplo, el

interior del motor de combustión de un auto) o variar de forma (una pelota de goma que se

deforma cuando golpea contra una pared). El sistema puede intercambiar energía con su

entorno a través de las fronteras (que puede coincidir o no con una superficie física).

Figura 8.1: El sistema intercambia energía con su entorno: se transfiere energía desde el

sistema hacia el entorno o desde el entorno hacia el sistema.

8. 1 Formas de energía

Energía cinética (Ec): Es la energía asociada al movimiento, y depende de la masa del objeto

en movimiento (m) y de su rapidez (v) de la forma:

21

2cE mv

Una pelota en movimiento posee una energía cinética. Si te pega en la cabeza su efecto será

mayor cuanto mayor sea la rapidez con la que viaja. Al golpear transfiere parte de esa energía

haciendo trabajo sobre tu cabeza, otra parte se utiliza en deformar la pelota, parte en

comprimir músculos y tejidos, y otra genera calor y sonido.

En el sistema SI la energía cinética tiene unidades kg.(m/s)2 que equivale a 1 Joule.

Energía potencial gravitatoria (Ep): Es la energía asociada a la posición del objeto respecto a

la de un nivel de referencia. Si tomamos como nivel de referencia la superficie terrestre, un

76

objeto que se encuentra a una dada altura de la superficie terrestre tiene almacenada una

energía potencial gravitatoria igual:

Ep = Peso × altura

La energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética cuando el objeto cae y

pierde altura.

Aunque más abajo enumeremos otras formas de energía, en realidad todas ellas están

asociadas al movimiento (son energías cinéticas) o a la posición (son energías potenciales).

Podemos mencionar algunas de ellas, como por ejemplo:

Energía potencial elástica: Es la energía almacenada en un material elástico (goma, resorte,

banda elástica, músculo) cuando se lo comprime o estira (se lo deforma). El sistema libera

esa energía cuando recupera su forma.

Energía química: es la energía que está almacenada en los enlaces entre átomos que forman

las moléculas. Si se rompe el enlace, el átomo que se separa gana libertad, se mueve y cambia

de posición, se combina con otros átomos, liberando energía. La energía química está

presente en todos los enlaces de todas las moléculas de todos los cuerpos, pero no lo está en

la misma cantidad en todos ni se puede extraer con la misma facilidad. Por eso no nos sirve

cualquier sustancia como combustible.

La combustión en base a petróleo es una reacción química en la que los átomos de carbono

del petróleo se combinan con los átomos de oxígeno del aire, formando dióxido de carbono,

liberando energía. Esa energía se utiliza para impulsar un motor.

Los seres vivos extraen la energía química de los alimentos y la convierten en energía

metabólica para utilizarla en sus actividades. No todos los alimentos tienen almacenada la

misma cantidad de energía química, por eso no todos tienen las mismas “calorías”.

Energía eléctrica: es la energía asociada a la corriente eléctrica, que no es más que un

movimiento de electrones. Las pilas, baterías, entre otros, producen dicho movimiento.

Energía nuclear: es la energía almacenada en los núcleos de los átomos que se libera cuando

los núcleos se rompen durante el proceso conocido como fisión nuclear. Durante la fisión

nuclear se libera una gran cantidad de energía que controlada artificialmente se puede utilizar

para su aprovechamiento. En general se emplean átomos de uranio.

Energía interna: es la energía total (cinética más potencial) de las partículas

submicroscópicas (electrones y átomos) que forman una sustancia. Los cambios de energía

interna son el tema principal de la termodinámica.

Energía sonora: La energía sonora es energía asociada a las ondas sonoras que se transmiten a través del aire u otra sustancia. Los átomos y moléculas del aire reciben un choque

(producido, por ejemplo, por la vibración del parlante de la radio). Debido al choque

empiezan a vibrar, chocan con otra molécula o átomo y le pasan la vibración, volviendo a su

sitio. La que ha recibido el choque vibra, choca con otra y le pasa la vibración y así hasta que

llega al tímpano, que también vibra y que pasa la vibración al interior del oído. Allí hay un

líquido que vibra también y produce una corriente eléctrica que excita a las neuronas A

diferencia de las ondas electromagnéticas, no pueden hacerlo a través del vacío.

77

Energía solar: es energía proveniente del Sol y que llega a nosotros en forma de radiación

electromagnética (luz visible, microondas, rayos ultravioletas, rayos X). Esta energía se

origina en los procesos de fusión nuclear que ocurren en el interior del Sol o de cualquier

estrella.

8. 2 Trabajo

En física hacer trabajo es una forma de transferir energía a un sistema a través de la acción

de una fuerza. En este caso, transferencia no significa que haya algo material que se

transfiera.

Cuando ejercemos una fuerza y movemos un objeto por una superficie hacemos trabajo. Para

levantarlo, también hacemos trabajo. En este último caso, cuanto más pesado sea el objeto o

más alto lo levantemos, más trabajo efectuaremos. Siempre que se efectúa trabajo vienen a

colación dos cuestiones:

1. la aplicación de una fuerza.

2. el movimiento de algo debido a esa fuerza.

Para el caso más sencillo, cuando la fuerza es constante y el desplazamiento se efectúa en

línea recta y en la dirección de la fuerza, el trabajo efectuado por la fuerza se define como el

producto de la fuerza por la distancia que se desplaza el objeto:

Trabajo = Fuerza × distancia

Si subimos un piso con dos pesas iguales, hacemos el doble de trabajo que si lo subimos sólo

con una, porque la fuerza necesaria para subir el doble de peso es del doble también.

Asimismo, si subimos dos pisos con una sola pesa, hacemos el doble de trabajo porque la

distancia es del doble.

Vemos que en la definición de trabajo intervienen tanto una fuerza como una distancia. Un

atleta que sujeta sobre su cabeza unas pesas de 1.000 N no hace trabajo sobre las pesas (no

transfiere energía a las pesas). Se puede cansar de hacerlo, pero si las pesas no se mueven por

la fuerza que él haga, no hace trabajo sobre las pesas. Se puede hacer trabajo sobre los

músculos, los cuales se estiran y se contraen, y ese trabajo es la fuerza por la distancia en una

escala biológica; pero ese trabajo no se hace sobre las pesas. Sin embargo, el levantar las

pesas es distinto. Cuando el atleta sube las pesas desde el piso, sí efectúa trabajo (le ha

transferido energía a las pesas).

En el caso más general, el trabajo es el producto sólo de la componente de la fuerza que actúa

en dirección del movimiento, por la distancia recorrida. Cuando una fuerza actúa en un

ángulo respecto a la dirección del desplazamiento, la componente de la fuerza paralela al

mismo se multiplica por la distancia recorrida. En cambio,

cuando una fuerza actúa a 90º de la dirección del movimiento,

no realiza trabajo. Por ejemplo, en la Figura 8.2, el trabajo

realizado sobre el bloque por la fuerza F solo depende de la

componente a lo largo de la dirección del desplazamiento (Fx =

F.cosθ). Notar que sobre el bloque también actúan la fuerza

normal y la fuerza gravitatoria. Sin embargo, ninguna de ellas

78

realiza trabajo, porque ambas actúan perpendicularmente al desplazamiento.

Figura 8.2

El trabajo es una magnitud escalar y se mide en unidades de fuerza multiplicada por unidades

de longitud. En el SI es Newton.metro (N.m) que equivale a 1 Joule (J), que es una unidad de

energía.

El trabajo puede ser positivo o negativo. Un trabajo negativo corresponde al caso en que la

componente de la fuerza en la dirección del movimiento va en sentido contrario al

desplazamiento.

Si el trabajo efectuado sobre un sistema es positivo, se transfiere energía en forma de trabajo

desde el medio ambiente hacia el sistema.

Si el trabajo efectuado sobre un sistema es negativo, se transfiere energía en forma de trabajo

desde el sistema hacia su entorno.

Si sobre el sistema actúan varias fuerzas, el trabajo total o neto realizado sobre el sistema es

la suma escalar de los trabajos realizados por cada fuerza.

En el ejemplo de la Figura 2, la energía transferida mediante el trabajo realizado por la

fuerza aplicada se traduce en energía de movimiento del bloque que inicialmente estaba en

reposo (en este caso el trabajo es positivo).

8. 3 Potencia

Cuando subís corriendo una escalera cargando algún objeto, te sentís más cansado que si la

subís caminando, a pesar que el trabajo realizado es el mismo. La diferencia reside en el

tiempo empleado en subir. Es necesario introducir el concepto de potencia, que en este caso

es la razón entre el trabajo realizado y el tiempo que toma realizarlo:

Cuando se dice que un motor es de alta potencia, significa que realiza trabajo con gran

rapidez. Al comparar dos autos, si uno posee el doble potencia que otro, significa que realizan

el mismo trabajo pero en la mitad del tiempo, o el doble de trabajo en el mismo tiempo. Un

motor más potente acelera un auto hasta determinada rapidez en menor tiempo que otro

menos potente.

En general, la potencia (P) se define para cualquier transferencia de energía, no solamente

para aquella realizada a través de trabajo. O sea, es el cociente entre el cambio de energía del

sistema, E , y el intervalo de tiempo , t , que lleva dicho cambio,E

Pt

.

La potencia se mide en unidades de energía/tiempo, y en el SI la unidad de potencia es el

Watt (W); 1 Watt (W) = 1 Joule/segundo. Por ejemplo, si hacemos un trabajo de 10 J en un

tiempo de 2 segundos, la potencia desarrollada será de 5 W.

79

8. 4 Principio de conservación de la energía

La energía no se crea ni se destruye, se puede transformar de una forma a

otra, pero la cantidad de energía no cambia jamás.

Si la cantidad de energía en un sistema cambia, es porque una cierta

cantidad de energía ha traspasado la frontera entre el sistema y su entorno

a través de algún mecanismo de transferencia.

La Figura 8.3 muestra un ejemplo de este importante principio. En el

circo un acróbata en la cúspide tiene una energía potencial de 10.000 J.

Al lanzarse su energía potencial se convierte en energía cinética.

Observemos que en las posiciones sucesivas a la cuarta parte, mitad, tres

cuartos y la bajada completa, la energía total es constante. ¿Qué pasa con

los 10.000 J de energía cinética cuándo el acróbata llega al suelo? Se

transforman en otros tipos de energía: energía térmica o interna (el

acróbata aumenta su temperatura), energía sonora por el impacto, energía

potencial elástica por la deformación del piso o colchoneta; y calor

transferido al medio ambiente. La suma de todas estas formas de energía

y transferencias de energía debe dar 10.000 J, tal cual lo indica el

principio de conservación de la energía. Los conceptos de temperatura y

calor los desarrollaremos en el próximo capítulo.

Figura 8.3

8.5 Máquinas

Una máquina es un dispositivo para multiplicar fuerzas o, simplemente, para cambiar la

dirección de éstas. El principio básico de cualquier máquina es la conservación de la

energía. Veamos el caso de la más sencilla de las máquinas: la palanca (Figura 8.4). Al

mismo tiempo que efectuamos trabajo en un extremo de la palanca, el otro extremo efectúa

trabajo sobre la carga. Si se ignora la pérdida de energía por calentamiento, el trabajo de

entrada será igual al trabajo de salida. Como el trabajo es igual a la fuerza por la distancia:

Fuerza de entrada × distancia de entrada = Fuerza de salida × distancia de salida

Cuando el punto de apoyo de una palanca está relativamente cerca de la carga, una fuerza de

entrada pequeña producirá una fuerza de salida grande. Esto se debe a que la fuerza de

entrada se ejerce en una distancia grande y la carga se mueve sólo una distancia corta.

Entonces una palanca puede ser un multiplicador de fuerza. ¡Pero ninguna máquina puede

multiplicar ni el trabajo ni la energía! ¡Esto último es una negación absoluta debida a la

conservación de la energía!

Un niño puede aplicar el principio de la palanca para levantar el frente de un auto usando un

gato: ejerciendo una fuerza pequeña durante una distancia grande es capaz de producir una

gran fuerza que actúe durante una distancia pequeña. En el ejemplo de la Figura 8.5, cada

80

vez que baja 25 cm la manija del gato, el auto sube sólo la centésima parte; pero con una

fuerza 100 veces mayor.



1) Un hombre empuja 2 metros una heladera ejerciendo una fuerza horizontal de 50 N ¿Cuál

es el trabajo que realiza el hombre? (Rta.: 100 J)

2) ¿Cuánto vale una fuerza horizontal que al empujar un bloque 3 m realiza un trabajo de 900

J?

3) Un niño arrastra 4 metros una caja ejerciendo una fuerza de magnitud 70 N que forma un

ángulo de 60° con la horizontal. ¿Cuál es el trabajo que realiza el niño? ¿Cuál es el trabajo

que realiza el peso de la caja? ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza normal? (Rta.: (a) 140

J; (b) 0; (c) 0)

4) (a) ¿Cuánta potencia se requiere para hacer un trabajo de 40 J sobre un objeto en 0,5 s? (b)

¿Cuánta potencia se requiere para hacer la misma cantidad de trabajo en 2 s? (Rta.: (a) 80 W;

(b) 20 W)

5) Calcule la potencia que se consume cuando una fuerza horizontal de 20 N empuja un

carrito 3,5 metros en un tiempo de 0,25 segundos. (Rta.: 280 W)

6) Un motor de 3 kW de potencia funciona un tiempo de 7 minutos. ¿Cuánto trabajo hizo?

7) Un hombre gasta una potencia de 100 W y realiza un trabajo de 400 J al mover una caja.

¿Durante cuánto tiempo la estuvo moviendo? (Rta.: 4 segundos)

8) (a) ¿Cuánto cuesta tener funcionando una lámpara de 100 W en forma continua durante

una semana, si la tarifa eléctrica es de 0,41 $/kWh (valor abril 2012) ? ¿Y un secador de

cabellos de 1200 W funcionando durante 1 hora? (Rta.: (a) $ 6,89; (b) $ 0,49)

9) Una roca se eleva hasta una altura tal que su energía potencial respecto de la tierra es de

200 J y se deja caer desde esta altura. ¿Cuál es su energía cinética un instante antes de llegar

al suelo?

10) Se aplica una fuerza de 50 N al extremo de una palanca y esta se mueve una dada

distancia. Si el otro extremo de la palanca se mueve la quinta parte, ¿qué fuerza puede

ejercer? (Rta.: 250 N).

81

Capítulo 9: Temperatura y calor Para describir el estado físico externo de un sistema u objeto describimos en mecánica ciertas

magnitudes físicas como velocidad, aceleración, masa. Para describir el estado interno de un

sistema se usan en termodinámica magnitudes como temperatura, presión y volumen. La

termodinámica estudia la energía interna de un sistema, y los medios por los cuales esa

energía se intercambia entre el sistema y su entorno.

La materia (sólida, líquida y gaseosa) está formada por átomos y moléculas en constante

movimiento. La energía cinética promedio de los átomos y moléculas influye en lo caliente

que se sienta algo. Siempre que algo se calienta, sus átomos y moléculas se mueven con

mayor rapidez, y por lo tanto aumenta su energía cinética.

9.1 Temperatura

La temperatura es una medida de la energía cinética de traslación promedio, por molécula, de

una sustancia. Es una cantidad que indica lo caliente o frío que está un objeto con respecto a

una determinada escala.

Para medir temperaturas se utilizan termómetros que basan su funcionamiento en la

expansión o contracción de un líquido (mercurio, alcohol) en un tubo de vidrio con escala. La

escala de temperatura más utilizada es aquella que asigna el número cero a la temperatura de

congelamiento del agua, y el 100 a su temperatura de ebullición. El espacio entre las dos

marcas se divide en 100 partes iguales llamadas grados. Un termómetro así calibrado, se

denomina termómetro centígrado o Celsius.

Otra escala de temperaturas es la escala Kelvin (K). En la misma se asigna el 0 a la mínima

temperatura posible, el cero absoluto (-273,15 ºC) , en la cual una sustancia no tiene ninguna

energía cinética que ceder. En esta escala no hay temperaturas negativas y el punto de fusión

del hielo es 273,15 K (0 ºC) y la ebullición del agua es 373,15 K (100 ºC).

La relación entre la escala Celsius y la escala Kelvin de temperaturas es:

( ) (º ) 273.15T K T C , y los intervalos de temperatura son iguales en ambas escalas.

La escala Fahrenheit, utilizada comúnmente en varios países, asigna el 0 al punto de fusión

de una mezcla de hielo y sal de amonio, y 600 al punto de ebullición del mercurio. En esta

escala el hielo se funde a 32 ºF y la ebullición de agua ocurre a 212 ºF. La relación con la

escala Celsius es 9

(º ) (º ) 325

T F T C . Notar que los intervalos de temperatura de esta

escala son diferentes a los de las escalas Celsius y Kelvin.

Resulta interesante el hecho de que lo que en realidad muestra un termómetro es su propia

temperatura. Cuando un termómetro está en contacto térmico con algo cuya temperatura se

desea conocer, entre los dos se intercambiará energía hasta que sus temperaturas sean iguales

y se establezca el equilibrio térmico. Si conocemos la temperatura del termómetro,

conoceremos la temperatura de lo que se está midiendo. Un termómetro debería ser lo

suficientemente pequeño para que no influya en la temperatura de lo que se mida. Si mides la

temperatura del aire en una habitación tu termómetro será del tamaño adecuado. Pero si debes

medir la temperatura de una gota de agua, el contacto entre ella y el termómetro cambiaría la

82

temperatura de la gota; en este caso el proceso de la mediación cambia significativamente lo

que se está midiendo.

Figura 9.1: Escalas de temperatura: Celsius, Fahrenheit y Kelvin.

9.2 Calor

Un sistema intercambia energía con su entorno mediante calor o trabajo. El calor es energía

transferida de un objeto de mayor temperatura a otro de menor temperatura. La dirección de

la transferencia espontánea de energía siempre es del objeto más caliente al objeto más frío

que está en contacto.

El calor es energía en tránsito. Es importante resaltar que la materia no contiene calor, sino

que contiene energía cinética y potencial molecular. Análogamente, el trabajo es energía en

tránsito, un cuerpo no contiene trabajo, sino que efectúa trabajo o el trabajo se realiza sobre

él.

Lo que sí contiene la materia o sustancia es energía interna. La energía interna es el total de

las energías moleculares, cinética de traslación y rotación, más potencial, que son internas en

una sustancia.

Cuando una sustancia absorbe o emite calor, aumenta o disminuye la energía interna que hay

en ella. En ciertos casos, como cuando se funde hielo, el calor agregado no aumenta la

energía cinética molecular de la sustancia (y por lo tanto su temperatura), sino que se

convierte en otras formas de energía. La sustancia sufre un cambio de fase, que describiremos

con detalle más adelante.

Cuando las cosas están en contacto térmico, el flujo de calor es de la que tiene mayor

temperatura a la que tiene menor temperatura; aunque no necesariamente es de una sustancia

que contenga mayor energía interna a otra que contenga menos energía interna. Hay más

energía interna en un vaso de agua tibia que en un alfiler calentado al rojo. Si ese alfiler se

sumerge en el agua, el flujo de calor no es del agua tibia al alfiler: es del alfiler al agua, que

está más fría. El calor nunca fluye espontáneamente de una sustancia con menor temperatura

a otra con mayor temperatura.

La cantidad de calor transferida no sólo depende de la diferencia de temperatura entre las

sustancias, sino también de la cantidad de material. Por ejemplo, un barril de agua caliente

transferirá más calor a una sustancia fría, que una taza de agua a la misma temperatura. Hay

más energía interna en volúmenes mayores de agua.

http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=aZJsCHz1EQNpbM&tbnid=5AAYCVETMnSebM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://quimicadeisy.blogspot.com/2011/03/escala-de-temperatura-la-temperatura-es.html&ei=iYJ4UdzRKO7h0wGWk4CAAQ&psig=AFQjCNFKjZMYMKCpNR6_JVeSwnDD3rQ-lA&ust=1366938633721148

83

Unidades: Como el calor en una forma de energía, se mide en Joules. También se suele

utilizar la caloría, que es la cantidad de calor necesaria para cambiar en 1 ºC la temperatura

de un gramo de agua (1 cal= 4,186 J).

Los valores energéticos de los alimentos y combustibles se determinan quemándolos y

midiendo la energía que desprenden. La unidad de calor que se emplea para clasificar los

alimentos es la kilocaloría, que equivale a 1000 calorías (calor necesario para aumentar 1 ºC

la temperatura de 1 kg de agua). Para diferenciar entre las dos unidades, es común que a la

utilizada para los alimentos se le llame Caloría (con mayúscula). Y tanto caloría como

Caloría son unidades de energía.

Potencia: El calor, como el trabajo, es una forma de transferir energía entre un sistema y su

entorno. Así como con el trabajo definíamos la potencia, podemos hacer lo mismo para el

calor. En este caso hablamos de potencia térmica, o de velocidad o tasa de flujo de calor:

El cuerpo humano mantiene una temperatura interna constante de 37 ºC. Esta temperatura es,

en general, mayor que la temperatura del medio ambiente. Por lo tanto hay un flujo de

energía en forma de calor desde el cuerpo hacia su entorno. Esta transferencia es esencial

porque el proceso de metabolismo convierte continuamente energía química en energía

térmica interna. La velocidad de generación de energía interna, o velocidad metabólica

promedio es, para un hombre adulto de alrededor de 120 Watts, pero puede ser de 1000 Watts

en períodos de intenso ejercicio. A fin de mantener los 37 ºC de temperatura corporal, el

cuerpo debe eliminar el exceso de energía interna a la misma velocidad a la que es generada.

9.3 Calor específico

Es probable que hayas notado que algunos alimentos permanecen calientes mucho más

tiempo que otros. Por ejemplo, si esperas un poco antes de comer una porción de carne asada

y una cucharada de puré de papa, que inicialmente estaban a la misma temperatura, notarás

que la carne se enfrió más que el puré.

Las distintas sustancias poseen distintas capacidades de almacenamiento de energía interna.

Por ejemplo, si calentamos una olla de agua en una estufa veríamos que tarda 15 minutos en

alcanzar el punto de ebullición. Si colocáramos una misma cantidad de masa pero de acero,

tardaría sólo 2 minutos en alcanzar la misma temperatura. Y si colocamos la misma masa

pero de plata, tardaría aún menos.

El calor específico de una sustancia es la cantidad de calor requerida para cambiar un grado la

temperatura de una unidad de masa. Es una especie de inercia térmica, porque representa la

resistencia de una sustancia a cambiar su temperatura.

La cantidad de calor Q necesaria para variar en ΔT = Tf – T i la temperatura de una sustancia

de masa m y calor específico c, se expresa:

84

es decir, el calor transferido a una sustancia es el producto de la masa de la sustancia, por el

calor específico de la sustancia y por su cambio de temperaturas (su temperatura final (Tf)

menos su temperatura inicial (Ti)). Observemos que si Tf > Ti, la sustancia absorbe calor (Q >

0), mientras que si Ti > Tf, la sustancia desprende o pierde calor (Q < 0).

A modo de ejemplo, la fórmula de arriba nos permite entender diferentes situaciones. La

Figura 9.2 muestra dos recipientes con agua a la misma temperatura, a los que se agrega la

misma cantidad de calor. La temperatura aumenta más en el recipiente que contenga menor

cantidad de agua.

La Figura 9.3 muestra a un chico haciendo chispas con una “estrellita”. Aun cuando la

temperatura de las chispas es elevada (mayor a 2.000 °C), el calor que ceden cuando chocan

con su piel es muy pequeño, pues su masa es insignificante. El calor es una cosa, la

temperatura otra.


El agua posee un calor específico mucho mayor que todas las demás sustancias, a excepción

de algunas poco conocidas. Significa que una cantidad relativamente pequeña de agua

absorbe una gran cantidad de calor con un aumento de temperatura pequeño. Por esta

particularidad, el agua se utiliza en sistemas de enfriamiento de autos y motores. Si se usara

otro líquido con menor calor específico su temperatura aumentaría más para lograr la misma

absorción de calor. Por la misma razón, el agua se enfría muy lentamente. La tendencia del

agua a resistir cambios de su temperatura mejora el clima en muchos lugares.

9.4 Dilatación térmica

En general, todas las formas de la materia (sólidos, líquidos, gases) se dilatan o expanden

cuando se calientan, y se contraen cuando se enfrían. Ello se debe a que cuando aumenta la

temperatura, sus átomos se mueven con más rapidez y, en promedio, se alejan entre sí. Lo

contrario ocurre cuando la temperatura disminuye, o sea, su rapidez disminuye y en promedio

están más cerca.

En la mayoría de los casos donde intervienen los sólidos, los cambios de volumen no son

muy notables, pero se suelen detectar con observaciones cuidadosas. Los cables de las líneas

telefónicas se alargan y se cuelgan más en un día cálido que en un día frío de invierno. Si las

líneas telefónicas tendidas no cuelgan lo suficiente en el verano, podrían contraerse

demasiado y romperse durante el invierno. Otro ejemplo del efecto de dilatación con la

temperatura es el que se observa en las tapas metálicas de los frascos de vidrio que se aflojan

85

al colocarlos en agua caliente. Si una parte de una pieza de vidrio se calienta o enfría con

mayor rapidez que sus partes vecinas, la dilatación o contracción resultantes pueden romper

el vidrio, en especial si es grueso. El vidrio Pyrex resistente al calor es una excepción, porque

se dilata muy poco al aumentar la temperatura.

En el diseño de dispositivos o estructuras debe tenerse en cuenta la expansión o contracción.

Por ejemplo, un odontólogo utiliza material de relleno que posee la misma tasa de dilatación

que los dientes.

Las diferentes sustancias se dilatan con tasas distintas. Cada material está caracterizado por

un coeficiente de dilatación o expansión lineal α. Su unidad de medida es (ºC)-1

. Cuanto

mayor sea el valor de α para un material, más se dilatara ante un dado incremento en su

temperatura. La siguiente tabla muestra valores de para algunos materiales.

Material (ºC)-1

.

Acero 11x10-6

Aluminio 24x10-6

Hormigón 12x10-6

Vidrio común 9x10-6

Vidrio Pirex 3,2x10-6

Mercurio (coef. volumétrico ) 1,82x10-4

Los líquidos se dilatan en forma apreciable al aumentar su temperatura. En la mayoría de los

casos, la dilatación en ellos es mayor que en los sólidos. La causa de que suba el mercurio de

un termómetro al aumentar la temperatura es que la expansión del mercurio líquido es mucho

mayor que la expansión del vidrio (ver tabla).


1) Indique cual es la única afirmación totalmente correcta:

a) El calor se mide en Joules y la temperatura es una medida de la energía cinética

total da las partículas de un sistema

b) La temperatura es una medida de la energía cinética de traslación promedio de una

sustancia y el calor es un forma de transferencia de energía.

c) El calor se mide en Joules y fluye de un cuerpo de mayor energía interna a otro de

menor energía interna.

d) El calor es una forma de transferencia de energía y si dos sustancias tienen la

misma energía interna, tienen la misma temperatura.

e) El calor fluye de un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura y el

calor se mide en grados.

2) ¿A cuántos Kelvin equivalen 23 ºC? ¿A cuántos Celsius equivalen 260 K?

3) Una mujer con una dieta normal ingiere y gasta unas 2000 Calorías al día. La energía que

usa su cuerpo acaba desprendiéndose en forma de calor. ¿Cuántos Joules por segundo se

desprenden de su cuerpo, o sea, cuál es la potencia térmica promedio que desarrolla? (Rta.:

96.9 W)

86

4) Imagina que pones 1 litro de agua durante cierto tiempo sobre una llama, y que su

temperatura aumenta 2 ºC. Si pones 2 litros de agua al mismo tiempo sobre la misma llama,

¿Cuánto subirá su temperatura? Justifica la respuesta.

5) De un horno se sacan al rojo vivo un alfiler y un tornillo grande, ambos de acero. Ambos

tienen la misma temperatura y se dejan caer en recipientes idénticos con la misma cantidad de

agua a la misma temperatura. ¿Cuál aumentará más la temperatura del agua? Justificar la

respuesta.

6) ¿Cuánto calor se precisa para elevar 15 ºC la temperatura de 100 kg de agua para preparar

un baño de inmersión? Expresar el resultado en calorías y en Joules. (cagua= 1 cal/g.ºC) (Rta.:

6.279 x106 J)

7) Un recipiente contiene 3 kg de agua a una temperatura de 22°C. Si se le transfiere 12.000

calorías de calor, cuál será la temperatura final del agua? (cagua= 1 cal/g.ºC) (Rta.: 26ºC)

8) El volumen de agua en un tanque abierto es de 2 x 106 litros ¿Qué cantidad de calor cede el

agua durante una tarde en que su temperatura desciende de 20 a 18 ºC? (Rta.: 4x106 kcal)

9) Si dos cuerpos de igual masa, uno de cobre y otro de hierro, ambos a la misma temperatura

inicial, reciben la misma cantidad de calor, ¿Cuál de los dos alcanzará una temperatura

mayor? (¿Qué datos sobre los materiales precisas conocer para responder la pregunta?)

10) ¿Qué tiene mayor calor específico el agua o la arena? Ejemplifica tu razonamiento.

11) Se tienen tres muestras de 1 kg cada una, de hierro, vidrio y agua y las tres se encuentran

a 100 ºC (a) ordenarlas de menor a mayor temperatura después de transferir una energía de

100 J a cada una, (b) ordenarlas de menor a mayor cantidad de energía transferida en forma

de calor si la temperatura de cada una de ellas aumenta 20 ºC. (chierro= 448 J/kg.ºC; cvidrio=

837 J/kg.ºC)

12) El té de una taza está muy caliente (100 ºC) y se decide agregarle un poco de agua fría

para poder tomarlo a 80 ºC ¿Cuánta agua de la canilla a 18 ºC habrá que agregarle teniendo

en cuenta que la taza contiene 200 g de té? Suponer que el calor específico del té es igual al

del agua. (Sugerencia: igualar el calor perdido por el té con el calor ganado por el agua) (Rta.:

64 g)

13) ¿Cuál será la temperatura final de 100 g de agua a 20º C cuando se sumergen en ella 100

g de clavos de acero a 40º C? (cacero= 0,12 cal/g.ºC. En este caso se debe igualar el calor

perdido por el acero con el ganado por el agua)

14) Los termómetros convencionales se fabrican con un tubo de vidrio en el que se introduce

mercurio. ¿En qué basan su funcionamiento?

15) Se calientan dos bandas de dimensiones iguales, una de aluminio y la otra de acero. (a)

¿Cuál se dilata más? (b) ¿Cuánto más?, esto es, ¿en qué factor es mayor una dilatación que la

otra?

87

Capítulo 10: Transferencia de calor Existen tres mecanismos básicos por los que el calor fluye espontáneamente de una región de

mayor temperatura a otra de menor temperatura, hasta alcanzar una temperatura común:

conducción, convección y radiación.

10.1 Conducción

Toma un clavo de acero y coloca la punta en una llama. Se calentará tan rápido que ya no

podrás sujetarlo. El calor entra al clavo metálico en el extremo que está en la llama, y se

transmite por toda la longitud del clavo. A esta clase de transmisión de calor se le llama

conducción. Es la transmisión de energía a través de un medio material por sucesivos

choques de los átomos vecinos sin que haya un transporte neto de materia al mismo tiempo.

En cada choque los átomos que se mueven y vibran con mayor rapidez (en una zona de

temperatura alta) transmiten algo de su energía cinética a los átomos vecinos más lentos

(zona de temperatura más baja), los cuales a la vez hacen lo mismo, y así sucesivamente. De

esta manera, los átomos más rápidos se frenan y los más lentos comienzan a vibrar con mayor

amplitud.

Qué tan bien un sólido conduzca el calor dependerá del enlace dentro de su estructura

atómica o molecular. Los sólidos formados por átomos que tienen electrones externos

“sueltos”, como los metales, conducen bien el calor (y la electricidad). Los electrones libres

se mueven a través del metal, empujándose y transfiriendo energía por colisión a los átomos y

a los demás electrones libres en todo el metal. La plata es el mejor conductor y le sigue el

cobre, y entre los metales comunes están a continuación el aluminio y el hierro. Por otro lado,

los materiales cuyos átomos tienen electrones externos más fijos, como la madera, el papel, la

paja y la lana son malos conductores del calor y se los llama aislantes. Cada sustancia está

caracterizada por un coeficiente denominado conductividad térmica, que es una medida o

referencia de cuán buen o mal conductor es el material. Las sustancias cuya conductividad

térmica es alta son buenos conductores y las de conductividad térmica baja son buenos

aisladores. Como ejemplo, la conductividad térmica del aluminio es 2.000 veces mayor que la

de la madera

La mayoría de los líquidos y gases son malos conductores del calor. El aire es muy mal

conductor y, por eso, la mano no se daña cuando se mete brevemente en el horno caliente.

Las buenas propiedades aislantes de materiales como la madera, la piel y las plumas se deben

en parte a los espacios de aire que contienen.

La nieve también es mala conductora (un buen aislador), más o menos igual que la madera

seca. Por ello, un manto de nieve puede evitar que el suelo se enfríe mucho en invierno. Las

viviendas tradicionales del Ártico se protegen del frío por sus cubiertas de nieve. Los

animales del bosque encuentran refugio contra el frío en los bancos de nieve y en agujeros en

la nieve. La nieve no da calor, solo evita la pérdida del calor que generan los animales.

La sensación de frío o calor está relacionada con las tasas de transferencia de calor (es decir

la rapidez con la que se transfiere el calor), no necesariamente con las temperaturas. En la

Figura 10.1, el piso de loseta se siente más frío que el de madera, aunque los dos estén a la

misma temperatura. Esto se debe a que la loseta es mejor conductor del calor que la madera,

por lo que el calor pasa con más facilidad del pie a la loseta.

88

El calor se transmite de las temperaturas mayores a

las menores. Con frecuencia se escucha que las

personas quieren evitar que entre el frío a sus casas.

Una mejor forma de plantearlo es decir que quieren

evitar que el calor se escape. Si una casa se enfría se

debe a que el calor sale. Las casas se aíslan para

evitar que escape el calor y no para evitar que entre

el frío. En realidad, el aislamiento de cualquier tipo

nunca es perfecto, es decir no evita que el calor pase

por él, simplemente disminuye la rapidez con que

penetra el calor. En invierno, hasta una casa caliente, bien aislada, se enfriará en forma

gradual. El aislamiento desacelera la transferencia de calor.

Figura 10.1

10.2 Convección

Los líquidos y gases transmiten el calor principalmente por convección, que es la

transferencia de energía por calor debida al movimiento real del fluido mismo. La convección

implica el movimiento general del fluido: porciones del fluido a temperatura alta se desplazan

hacia regiones de temperatura baja, y recíprocamente. Si calentamos agua en un recipiente o

si calentamos el aire de una habitación, el proceso es el mismo. El fluido de más abajo se

calienta por conducción, y las moléculas comienzan a moverse con mayor rapidez, se apartan

entre sí y el fluido se vuelve menos denso que el fluido más frío que está por encima. Como

consecuencia de ello, el fluido menos denso se eleva, y el más denso y frío ocupa el lugar del

anterior. De esta manera se forman corrientes de convección que mantienen el fluido en

circulación a medida que se calienta: el fluido más caliente se aleja de la fuente de calor y el

más frío se acerca.

Figura 10.2: Corrientes de convección en el aire dentro

de una habitación calentada por un radiador.

Figura 10.3: Corrientes de convección en el

agua dentro de una olla calentada en una hornalla.

89

igura 10.4: Corrientes de convección en la costa. Durante el día la playa se calienta con más

facilidad que el agua y entonces el aire sobre la costa es empujado hacia arriba por el aire más frío

que llega desde el agua para ocupar su lugar. Por la noche se invierte la dirección del flujo del aire,

porque la playa se enfría con más facilidad que el agua.

Corrientes de convección se forman en la atmósfera y afectan el clima. Cuando se calienta el

aire, éste se dilata. Al hacerlo se vuelve menos denso que el aire que lo rodea. Como un

globo, sube por flotación. Cuando el aire que sube llega a una altura en la que su densidad

coincide con la del aire que lo rodea, deja de subir. El aire que sube se expande y al

expandirse se enfría. Esto podemos verlo cuando con la boca abierta exhalamos sobre la

mano. El aire es tibio, pero si juntamos los labios para que el aire salga por una abertura

pequeña y se expanda, notamos que es mucho más frío al llegar a la mano. El aire se enfría al

expandirse. También podemos ver el enfriamiento por expansión en el vapor que se expande

cuando sale por el agujero de una olla a presión. El efecto de enfriamiento te permite

mantener la mano cómodamente en el chorro del vapor condensado. (Si haces la prueba,

asegúrate de poner la mano a cierta altura sobre la boquilla. Si pones la mano junto a la

boquilla, ¡cuidado! El vapor es invisible cerca de la boquilla, cuando no se ha enfriado ni

expandido lo suficiente. La nube de “vapor” que ves en realidad es vapor condensado en agua

y está mucho más frío.)

10.3 Radiación

La energía solar atraviesa primero el espacio y después la atmósfera terrestre, y calienta la

superficie de la Tierra. Esa energía no atraviesa la atmósfera por conducción, porque el aire

es mal conductor. Tampoco pasa por convección, porque ésta sólo comienza después de que

la Tierra se calentó. También sabemos que ni la conducción ni la convección son posibles en

el espacio vacío, entre nuestra atmósfera y el Sol. El calor debe transmitirse por otra forma,

que es por radiación.

Radiación es energía electromagnética que se propaga a través del espacio vacío (sin

necesidad que exista un medio material) a la velocidad de la luz (3x108 m/s). La luz es una

forma de radiación, pero existen otras como las ondas de radio, microondas, infrarrojo,

ultravioleta, rayos X, etc., que difieren unas de otras en su frecuencia y por ende, en su

energía.

Todos los cuerpos emiten radiación electromagnética. Dicha radiación está asociada al

movimiento de las cargas eléctricas que componen cualquier material. Simultáneamente, los

cuerpos absorben la energía electromagnética irradiada por los cuerpos en su entorno. Los

objetos a temperatura ambiente emiten principalmente radiación infrarroja, y los objetos a

altas temperaturas emiten radiación visible, así como también infrarroja. Ejemplo de esto

último son el Sol y la Tierra: ambos emiten radiación, la del Sol es a mayor temperatura

(mayor frecuencia) y una parte de ella es visible al ojo; la de la Tierra es a menor temperatura

90

y no llega a ser visible. Las ondas infrarrojas que absorbe nuestra piel generan sensación de

calor, por eso a veces se la denomina radiación térmica. Las fuentes comunes que dan

sensación de calor son los brasas ardientes de un fogón, el filamento de una lámpara y el Sol.

Todo ello emite radiación infrarroja, además de luz visible. Cuando esta radiación infrarroja

encuentra un objeto, parte de la energía se refleja y otra parte se absorbe. La parte que se

absorbe aumenta la energía térmica del objeto. Si ese objeto es la piel humana, la radiación se

siente como un calentamiento.

La energía de un cuerpo emisor no se agota porque al mismo tiempo recibe (absorbe) energía

de su entorno. Si la temperatura de un objeto es mayor a la de su ambiente, el objeto emitirá

más energía que la que recibe de su entorno y por lo tanto habrá un flujo neto de energía

desde el objeto hacia el entorno, y como consecuencia el objeto se enfriará.

Figura 10.5: Cuando se llenan las recipientes con agua caliente (o fría), el agua en el

recipiente negro se enfría (o se calienta) más rápido.

Los buenos emisores de energía radiante, son también buenos absorbedores . Los malos

emisores, son malos absorbedores. Cuando un cuerpo recibe radiación de su entorno, parte la

absorbe y parte la refleja. Cuánto absorben y cuánto reflejan depende de sus características.

Un buen absorbedor de energía radiante, incluyendo la luz visible, refleja muy poca energía

radiante. En consecuencia, una superficie que refleja poca energía se ve oscura. Un

absorbedor perfecto no refleja energía radiante y parece totalmente negro. Por ejemplo, la

pupila de los ojos permite que entre la luz, sin reflejarla, y es la causa que se vea negra.

Si a la luz del día observamos puertas y ventanas abiertas de casas lejanas, se verán negras.

Ello se debe a que la luz que entra por las aberturas se refleja en las paredes interiores, en

muchas direcciones y muchas veces, y en cada vez se absorbe parcialmente. El resultado es

que no queda casi luz que regrese por la abertura por donde entró y llegue a los ojos.

Por otro lado, los buenos reflectores son malos absorbedores. La nieve limpia es un buen

reflector y por ello no se funde rápido a la luz del Sol.

La emisión y absorción en la zona visible del espectro resulta afectada por el color. Pero la

emisión y absorción en la zona infrarroja resulta afectada por la textura de las superficies. Un

acabado mate emite y absorbe radiación térmica mejor que un acabado pulido, sin que

importe el color. Por ejemplo, la piel negra presenta evidentemente una buena absorción de la

91

luz visible, mientras que la piel blanca no. Pero tanto la piel negra como la blanca absorben

de manera casi perfecta e igual en el infrarrojo. La diferencia entre la piel negra y la blanca

sólo es importante cuando se trata de la absorción directa de la luz visible.

Figura 10.6: La radiación que entra a la cavidad tiene poca probabilidad de salir, porque la

mayor parte se absorbe.

10.4 Tasa de enfriamiento

La tasa de enfriamiento o calentamiento indica que tan rápido se enfría o calienta un objeto:

cuántos grados de temperatura cambia por unidad de tiempo. La tasa de enfriamiento de un

objeto depende de cuánto más caliente esté el objeto con respecto a sus alrededores. Por

ejemplo, el cambio de temperatura, en cada minuto, de una tarta de manzana caliente será

mayor si se pone en el congelador que si se deja sobre la mesa de la cocina.

La tasa de enfriamiento a lo largo de un intervalo de tiempo, ya sea por conducción,

convección o radiación, es proporcional a la diferencia de temperaturas, ΔT, entre el objeto y

la de sus alrededores. Similarmente, la ley también es válida para el calentamiento, o sea, que

si un objeto está más frío que sus alrededores, su tasa de calentamiento será proporcional a la

diferencia de temperatura ΔT. El alimento congelado se calentará más rápido en un recinto

caliente que en uno frío.


1) Dos vasos de agua, iguales, uno de plástico y uno de aluminio quedan toda la noche en una

heladera, por lo que alcanzan igual temperatura. ¿Por qué razón al tomarlos entre las manos,

el de aluminio se siente más frío que el de plástico?

2) ¿Por qué puedes colocar brevemente tu mano dentro de un horno caliente para pizzas sin

quemarte, pero te quemarías si tocaras el metal interior del horno?

3) Puedes acercar los dedos a un lado de la llama de una vela, sin dañarte, pero no por arriba

de la llama. ¿Por qué?

4) ¿Es más eficiente pintar los radiadores de una casa de negro o de plateado?

5) ¿Cuál noche es probablemente la más fría: una con el cielo estrellado o una donde no se

vean las estrellas?

6) En invierno, ¿por qué las superficies del asfalto en los puentes suelen tener más hielo que

las del asfalto sobre el terreno a ambos lados del puente?

92

7) Un termo es un recipiente de vidrio de doble pared (como se muestra en

la figura de la derecha), donde se ha hecho vacío entre sus paredes. Las

superficies de vidrio que miran una hacia la otra son plateadas. Un tapón

hermético de corcho o plástico sella la botella. Cualquier líquido dentro del

termo, esté caliente o frío, permanece varias horas casi a su temperatura

inicial. Explique cómo se logran reducir los mecanismos de transferencia de

energía por conducción, convección y radiación.

8) Una taza caliente de té pierde calor con mayor rapidez que una taza de té tibio, ¿sería

correcto decir que una taza de té caliente se enfría hasta la temperatura ambiente antes que lo

haga una taza de té tibio?

93

Capítulo 11: Cambios de fase

Cuando una sustancia intercambia energía con su entorno, en general se produce un cambio

en su temperatura. Sin embargo, existen situaciones que involucran una transferencia de

energía desde o hacia el medio que no involucran cambios en la temperatura de la sustancia.

Esto puede pasar al producirse cambios en las características físicas de la sustancia,

denominados cambios de fase. Por “fase” se entiende el estado de la sustancia: sólido,

líquido o gaseoso.

11. 1 Evaporación

Si se deja un recipiente abierto con líquido, el líquido terminará por evaporarse. La

evaporación es un cambio de fase de líquido a vapor que ocurre en la superficie de un líquido.

En el agua, las moléculas que la forman están constantemente moviéndose de forma aleatoria

y chocando unas con otras. Al producirse un choque, las moléculas más lentas reciben

energía de las más rápidas. Las moléculas de la superficie que aumentan su energía cinética

pueden adquirir energía suficiente como para escapar del líquido. Así, se transforman en

moléculas de vapor.

La energía cinética promedio del agua se reduce al producirse la evaporación (las más rápidas

han dejado el líquido). Por lo tanto, el proceso de evaporación es un proceso de enfriamiento.

Es interesante marcar que las moléculas rápidas que salen libres por la superficie pierden

rapidez al alejarse, debido a la atracción de la superficie. Así, aunque el agua se enfría por

evaporación, el aire de arriba no se calienta en forma recíproca en el proceso.

Que sea un proceso de enfriamiento explica, por ejemplo, lo que te ocurre al pasarte alcohol

por el cuerpo. El alcohol se evapora con rapidez y enfría rápidamente la piel.

Figura 11.1: Una cantimplora se mantiene fría por evaporación, cuando se moja la tela del

estuche. Cuando las moléculas más rápidas dejan la tela al evaporarse el agua, la

temperatura de la tela disminuye. La tela fría a su vez enfría por conducción al metal de la

cantimplora, el cual a su vez enfría el agua dentro de la cantimplora. Se transfiere energía

del agua de la cantimplora al aire exterior.

94

Cuando nuestros organismos se sobrecalientan, las glándulas sudoríparas producen

transpiración. La evaporación del sudor nos enfría y ayuda a mantener una temperatura

corporal estable. Muchos animales poseen pocas glándulas sudoríparas o ninguna, y por

tanto deben buscar métodos alternativos para refrescarse (por ej.: cerdos, perros).

La rapidez de evaporación es mayor a temperaturas elevadas, porque hay una proporción

mayor de moléculas con la energía cinética suficiente para escapar del líquido. También el

agua se evapora a menores temperaturas, pero más lentamente. Por ejemplo, un charco de

agua se puede evaporar hasta quedar seco un día frío.

Hasta el agua congelada “se evapora”. A esta forma de evaporación, en la que las moléculas

saltan directamente de su fase sólida a gaseosa, se le llama sublimación. Como las moléculas

de agua están tan fijas en su fase sólida, el agua congelada no se evapora (se sublima) con

tanta facilidad como se evapora el agua líquida. Sin embargo, la sublimación explica la

desaparición de grandes cantidades de nieve y hielo, en especial en los días soleados y en los

climas secos.

11. 2 Condensación

La condensación es el proceso contrario a la evaporación. Es el cambio de fase de vapor a

líquido que ocurre cerca de la superficie del líquido. Las moléculas de gas cerca de la

superficie de un líquido son atraídas por éste y terminan formando parte del líquido. Las

moléculas de gas, de mayor energía cinética que las del líquido, chocan y ceden parte de su

energía a las moléculas del líquido. Por lo tanto, la condensación es un proceso de

calentamiento del líquido.

Un ejemplo muy notable del calentamiento producido por la condensación es la energía que

cede el vapor al condensarse; es doloroso si se condensa sobre la piel. Es la razón por la que

una quemadura de vapor es mucho más dañina que una de agua hirviente a la misma

temperatura: el vapor cede mucha energía cuando se condensa en un líquido y moja la piel.

Esta liberación de energía por condensación se usa en los sistemas de calefacción con vapor.

Cuando una persona se baña, la calienta la condensación del vapor en la zona de la ducha

(aunque sea el vapor de una ducha fría). Si sale de la ducha sentirá frío por la evaporación

del agua que moja su cuerpo. Si permanece dentro de las cortinas de baño, aún con la ducha

cerrada, el efecto calefactor de la condensación contrarresta el efecto refrigerante de la

evaporación. Si se condensa tanta humedad como la que se evapora, no sentirá cambio de

temperatura. Si la condensación es mayor que la evaporación, se sentirá tibio. Si la

evaporación es mayor que la condensación sentirá frío.

En una región seca la evaporación es bastante mayor que la condensación. En verano, el

resultado de esta mayor evaporación es una sensación de mayor frescura de la que se sentiría

en una región húmeda, donde la condensación contrarresta en forma notable la evaporación, y

se siente el efecto de calentamiento cuando el vapor del aire se condensa sobre la piel.

Siempre hay algo de vapor de agua en el aire. Una medida de la cantidad de ese vapor de

agua se llama humedad (masa de agua dividida por el volumen de aire). En los informes

meteorológicos se menciona la humedad relativa, que es la relación de la cantidad de agua

que contiene el aire en ese momento con la cantidad máxima de vapor de agua que el aire

puede contener. La humedad relativa es un buen indicador del confort. Para la mayoría de las

95

personas las condiciones son ideales cuando la temperatura ronda los 20°C y la humedad

relativa entre el 50 y 60 %. Cuando la humedad relativa es mayor, el aire se siente “pegajoso”

porque la condensación contrarresta la evaporación de la transpiración.

11. 3 Ebullición

La ebullición es el cambio de fase de líquido a vapor que ocurre en todo el líquido, no solo en

su superficie como describimos que ocurre con la evaporación.

Bajo condiciones adecuadas de presión y temperatura, se forman burbujas de vapor en el

interior del líquido que flotan hacia la superficie. Por ejemplo, en el caso del agua, a presión

atmosférica normal la ebullición ocurre a 100 ºC. A grandes altitudes, el agua hierve a menor

temperatura. Si tratas de cocer alimentos con agua hirviendo a menor temperatura, debes

esperar más tiempo para que alcancen la cocción correcta. Si la temperatura de ebullición es

muy baja, los alimentos no se cuecen. Es importante observar que lo que cuece a los

alimentos es la alta temperatura, y no el proceso de ebullición.

La ebullición, al igual que la evaporación, es un proceso de enfriamiento. Cuando se hierve

agua a 100 ºC a presión atmosférica, su temperatura permanece constante. O sea que se enfría

al mismo ritmo al que se calienta. Y el mecanismo de enfriamiento es la ebullición. Si no

hubiese enfriamiento la temperatura del agua aumentaría constantemente al seguir

entregándole energía. La razón de que con una olla a presión se llegue a mayores

temperaturas es porque evita la ebullición normal, o sea, evita el enfriamiento.

11. 4 Calor latente y cambios de fase

Si se calienta un sólido o un líquido en forma continua, terminará por cambiar de fase. Un

sólido se derretirá y un líquido se evaporará. Para la fusión de un sólido y la evaporación de

un líquido se necesita agregar energía. A la inversa, se debe extraer energía de una sustancia

para cambiar su fase de gas a líquido y a sólido (Figura 11.2).

La energía Q que hay que transferir a la sustancia para que cambie de estado es:

Q=± mL

donde m es la cantidad de masa y L se denomina calor latente de la transformación. El signo

indica la dirección de transferencia de energía. El signo positivo corresponde a energía que es

transferida desde el entorno hacia la sustancia (un bloque de hielo que se funde para

transformarse en agua líquida) y el signo negativo a cuando se extrae energía de la sustancia

(cuando el agua líquida se congela para formar hielo). L es una propiedad de la sustancia y de

la naturaleza del cambio de estado, y mide la cantidad de energía necesaria para transformar

una unidad de masa de la sustancia de un estado a otro.

La cantidad de energía necesaria para cambiar una unidad de masa de sustancia de sólido a

líquido (y viceversa) se denomina calor latente de fusión (Lf). Es la energía necesaria para

romper todos los enlaces intermoleculares, de forma de pasar del estado sólido al líquido. El

calor latente de fusión del agua es Lf = 80 cal/g.

96

Figura 11.2: Cambios de fase y dirección en la que fluye la energía.

La cantidad de energía necesaria para cambiar una unidad de masa de sustancia de líquido a

vapor (y viceversa) es el calor latente de evaporación de la sustancia (Lv). Es la energía que

ha de suministrarse a una sustancia líquida para romper todos los enlaces del líquido para que

se convierta en gas. Para el agua Lv= 540 cal/g.

Veamos los cambios de fase en el agua (ver Figura 11.3). Supongamos un gramo de hielo

inicialmente a -50 ºC, y lo ponemos sobre un calentador. A medida que el hielo absorbe

energía (en forma de calor) su temperatura aumenta, hasta alcanzar los 0 ºC. Durante todo ese

proceso la cantidad total de energía que recibe A hieloQ mc T , donde m = 1 g, chielo es el calor

específico del hielo y T= 0 ºC – (-50 ºC) = 50 ºC . Una vez que el hielo alcanzó los 0 ºC, la absorción posterior de energía no causa un aumento de

temperatura sino que tiene como consecuencia que el hielo se funda. Es decir, mientras haya hielo

y agua líquida, la mezcla se mantiene a 0 ºC y a medida que absorbe energía se produce el cambio

de fase sólido a líquido. La energía total necesaria para fundir m= 1 g de hielo a 0 ºC es QB =

mLf., en este caso, QB= 80 cal (o 335 J).

Cuando el hielo termina de fundirse completamente tenemos agua líquida a 0º C. Entre 0 ºC y

100 ºC no se produce ningún cambio de fase, sino que el agua aumenta su temperatura y

recibe una cantidad total de energía de 100 cal (418 J), C aguaQ mc T .

Energía suministrada

Figura 11.3: Gráfica de la temperatura en función de la energía suministrada a 1 g de hielo

que inicialmente estaba a -50 ºC y que se convierte en vapor.

97

A 100 ºC se produce otro cambio de fase, de líquido a vapor y la cantidad de energía

necesaria para producir el cambio es de QD= 540 cal (2255 J), QD = mLv

El valor grande, de 540 calorías por gramo, del calor latente de evaporación del agua explica

por qué, bajo ciertas condiciones, el agua caliente se congela con mayor rapidez que el agua

tibia. El agua caliente no se congelará antes que el agua fría, pero sí antes que el agua tibia.

Por ejemplo, el agua que hierve caliente se congelará ante que el agua a unos 60 ºC, pero no

antes que el agua a menos de 60 ºC. Este fenómeno es evidente cuando se distribuye una

delgada capa de agua sobre una gran superficie, como cuando lavas un auto en invierno. La

tasa de enfriamiento por evaporación rápida es muy alta, porque cada gramo que se evapora

toma cuando menos 540 calorías del agua que se queda. Es una cantidad enorme de energía

en comparación con la de 1 caloría por grado Celsius que se extrae de cada gramo de agua al

enfriarla por conducción térmica. La evaporación es verdaderamente un proceso de

enfriamiento.

Por ningún motivo vayas a tocar con el dedo seco una sartén caliente colocada sobre el

calentador de la estufa; pero puedes hacerlo muy bien sin lastimarte si primero mojas el dedo

y tocas rápidamente la sartén. Hasta la puedes tocar algunas veces en sucesión, siempre que

el dedo esté húmedo. Eso se debe a que la energía, que de otro modo quemaría el dedo, se

emplea en cambiar la fase del agua en el dedo. La energía convierte la humedad en vapor,

que a continuación forma una capa aislante entre el dedo y la sartén. Del mismo modo puedes

probar lo caliente que esté una plancha para ropa, si la tocas brevemente con el dedo húmedo.


1) Indique cuál es la única afirmación falsa:

a) Una sustancia libera energía cuando pasa de su fase sólida a su fase líquida.

b) El calor latente para producir un cambio de fase líquido a vapor es igual al calor latente

para pasar de vapor a líquido.

c) La condensación es un proceso de calentamiento.

d) Una sustancia absorbe energía cuando pasa de su fase líquida a su fase gaseosa.

e) La evaporación es un proceso de enfriamiento.

2) ¿Cuánto calor se necesita para: (a) elevar 4ºC la temperatura de 3 gramos de agua, (b)

fundir 2 gramos de hielo a 0 ºC, (c) evaporar 4 gramos de agua hirviendo a 100 ºC ? (Datos

del agua: calor específico cagua=1 cal/g.ºC=4186 J/kg.ºC; calor latente de fusión Lf = 80 cal/g;

calor latente de vaporización Lv=540 cal/g) (Rta.. (a) 12 cal; (b) 160 cal; (c) 2.160 cal)

3) Cuando se condensa agua en estado de vapor, ¿el aire que la rodea se calienta o se enfría?

4) Suponte que se vierten 4 gramos de agua hirviendo (100°C) sobre una superficie fría, y

que se evapora rápidamente 1 gramo. Si la evaporación toma 540 calorías de los 3 gramos de

agua que quedan, y no hay otra transferencia de calor, ¿cuál será la temperatura de los 3

gramos que quedan?

98

Capítulo 12: Leyes de la termodinámica y su

aplicación a los seres vivos

La termodinámica es el estudio del calor y su transformación en energía mecánica. La base de

la termodinámica es la conservación de la energía y el hecho que el calor fluye en forma

espontánea de lo caliente a lo frío y no a la inversa. Los organismos vivos y las máquinas

intercambian energía con su entorno en el proceso de convertir su energía interna en trabajo.

El rendimiento de este proceso está limitado por las leyes de la termodinámica.

12.1 Primera ley de la termodinámica

La primera ley expresa la conservación de la energía, incorporando el concepto de

transferencia de energía a través de calor, además de la transferencia mediante trabajo. Por

sistema se entiende un grupo bien definido de átomos, moléculas, partículas u objetos. Lo

importante es definir el sistema, su entorno y sus fronteras, o sea, qué hay dentro del sistema

y qué hay fuera del mismo.

La primera ley se expresa como:

intE Q W

Esta ecuación indica que el cambio de energía interna de un sistema ( intE ) es igual a la

suma de la energía transferida a través de las fronteras del sistema por medio de calor (Q) y la

transferida por medio de trabajo (W).

Al estudiar mecánica vimos que el trabajo describe la transferencia de energía de un objeto a

otro por intermedio de la aplicación de una fuerza. Por ejemplo, al empujar un bloque que

inicialmente estaba en reposo, parte del trabajo que realizamos sobre el bloque aumenta su

energía cinética. Al mismo tiempo perdemos una cantidad de energía (química) almacenada

en nuestro cuerpo igual al trabajo que realizamos. Este tipo de trabajo se efectúa de forma

ordenada, es decir, diversas fuerzas en direcciones bien definidas, sobre el objeto de interés.

En la Figura 12.1 se esquematiza la dirección de transferencia de energía desde el sistema

hacia el entorno, según la convención de signos adoptada:

Si W > 0, el entorno hace trabajo sobre el sistema.

Si W < 0, el sistema hace trabajo sobre su entorno.

Si Q > 0 el entorno transfiere energía mediante calor hacia el sistema.

Si Q < 0, el sistema cede energía hacia su entorno mediante calor.

Si ΔEint > 0, el sistema aumenta su energía interna.

Si ΔEint < 0, el sistema disminuye su energía interna.

99

Figura 12.1: Primera ley de la termodinámica

La primera ley es un principio general que no se ocupa de la estructura interna del sistema en

sí. La energía que sea transferida en forma de calor tiene como función: producir un aumento

de la energía interna del sistema, permitir que el sistema efectúe trabajo sobre su entorno, o

ambas funciones al mismo tiempo. Describir a escala atómica los procesos que tienen lugar

sería muy complicado, por lo que la termodinámica ofrece una conexión entre lo que sucede a

nivel microscópico y lo que resulta observable a nivel macroscópico.

Supongamos que tenemos un sistema constituido por aire que se encuentra encerrado en un

recipiente. Nuestro sistema de estudio es el aire encerrado. Colocamos el recipiente en el

fuego, por lo que el aire se calienta y como el recipiente está cerrado herméticamente, el aire

no puede hacer trabajo sobre el recipiente (no puede desplazar la tapa, W=0). Por lo tanto,

toda la energía transferida en forma de calor se traduce en un aumento en la energía interna

del aire intE Q .

Si reemplazamos la tapa del recipiente por un pistón que puede moverse, el aire se expande al

calentarse y empuja al pistón. Por lo tanto, el aire realiza trabajo sobre su entorno. La energía

transferida en forma de calor se transforma en un aumento de energía interna y en trabajo que

realiza el sistema.

12.2 Segunda ley de la termodinámica y máquinas térmicas

La segunda ley de la termodinámica establece que: el calor nunca fluye de manera natural o

espontánea desde un objeto frío a uno caliente. Para que el calor fluya desde el foco frío al

caliente, hay que realizar trabajo sobre el sistema o bien agregar energía de otra fuente.

Por ejemplo, en invierno el calor pasa del interior de una casa con calefacción hacia el aire

frío del exterior. En verano, el calor pasa del aire caliente del exterior al interior, que está más

fresco. La dirección del flujo espontáneo de calor es desde lo caliente hacia lo frío. Se puede

lograr la dirección contraria, pero solo si se efectúa trabajo sobre el sistema, que es lo que se

logra mediante bombas térmicas y con los acondicionadores de aire, que hacen que el calor

vaya de los lugares más fríos hacia los más calientes.

Otra forma de enunciar la segunda ley: en los procesos naturales, la energía de alta calidad

tiende a transformarse en energía de menor calidad; el orden tiende al desorden. Los procesos

en los que el desorden regresa al orden, sin ayuda externa, no existen en la naturaleza.

100

Figura 12.2: Esquema de funcionamiento de una máquina térmica

A lo largo de un proceso de transformación de energía, la energía útil es siempre menor a la

energía total disponible, porque se producen pérdidas de energía en forma de calor que tiene

lugar durante la transformación.

Una máquina es cualquier dispositivo que transforme la energía interna en trabajo mecánico

(o sea, en una forma útil de energía). Puede ser un motor a combustión, una máquina de

vapor, un músculo, etc. La Figura 12.2 esquematiza el funcionamiento de una máquina

térmica. La máquina absorbe o gana energía en forma de calor a partir de conectarse con un

foco o fuente caliente. Parte de este calor absorbido lo utiliza en realizar trabajo y la otra

parte lo cede o desecha en forma de calor a un foco frío. En cualquier máquina térmica sólo

se puede transformar algo del calor en trabajo.

Es conveniente evaluar el rendimiento (o la eficiencia) de una máquina, que definimos como

el cociente entre el beneficio energético obtenido sobre la inversión energética requerida. Si

al rendimeinto lo multiplicamos por 100, tenemos su valor porcentual. Para una máquina

térmica, el rendimiento es el cociente entre el valor absoluto del trabajo útil efectuado por la

máquina y el calor consumido o absorbido en cada ciclo de funcionamiento:

Una máquina térmica ideal no se calienta ni se enfría, esto quiere decir que no cambia su

energía interna: toda la energía que absorbe (en forma de calor) es igual al trabajo que realiza

más el calor que cede.

Otro ejemplo de máquina es el motor de un auto, que en este caso transforma energía química

almacenada en el combustible en energía mecánica. La energía liberada se usa para impulsar

el motor. Sería deseable utilizar la totalidad de esa energía para obtener energía mecánica,

pero eso es imposible ya que una parte de energía se convierte en calor. No se puede lograr

una eficiencia del 100%, parte de la energía se usa para el sistema de refrigeración y pasa del

radiador al aire. Otra parte sale por el escape y casi la mitad de energía se usa para vencer la

fricción de las partes móviles del motor (ver Figura 12.3). La eficiencia máxima que se logra

es de alrededor del 30%.

Q absorbido

Foco caliente

Foco frío

Q cedido

Máquina

térmica W realizado

101

Un organismo vivo es una máquina, formada por máquinas más pequeñas que son las células.

Como cualquier máquina las células necesitan una fuente de energía: el alimento.

Similarmente a lo que ocurre con el combustible de un motor de un auto, hay más energía en

las moléculas del alimento que en los productos de la reacción después de haber

metabolizado el alimento. Esa diferencia es lo que mantiene la vida.

Figura 12.3: Representación sobre el uso de energía química liberada por el combustible de

un auto (energía de combustión). La energía utilizable representa el 30% del total.

12. 3 Termodinámica de los seres vivos

Los seres vivos requieren un aporte continuo de energía para desarrollar sus funciones. Los

organismos unicelulares captan continuamente nutrientes a través de su membrana,

aprovechan su capacidad energética y expulsan productos de desecho al exterior. Las células

de los organismos más complejos tienen un comportamiento similar, pero en estos casos se

alimentan de a ratos y, por tanto, tiene que almacenar nutrientes (energía) para suministrarlo a

todas sus células de modo continuo. Entre las funciones vitales que las células deben realizar

se encuentran las de mantener los gradientes iónicos a través de las membranas, enviar

corrientes eléctricas por las neuronas, alimentar las reacciones químicas endotérmicas y

producir tejidos nuevos para reemplazar a los viejos.

La energía disponible para la vida proviene de los alimentos consumidos (hidratos de

carbono, grasas y proteínas). Esa energía se almacena en forma de enlaces químicos en varias

sustancias orgánicas. La glucosa es la fuente principal de energía metabólica y se distribuye

por la sangre. El glucógeno, que es un polisacárido de glucosa, se concentra principalmente

en el hígado y en los músculos, y sirve para realizar esfuerzos rápidos. El principal almacén

de energía es el tejido adiposo, formado por triglicéridos deshidratados, con un elevado

contenido energético por unidad de masa. Esas reservas de energía son utilizadas en forma de

calor o de trabajo mecánico.

La energía se obtiene por oxidación de las sustancias orgánicas de los alimentos y de las

reservas acumuladas en las células del organismo. En las reacciones químicas que tienen

lugar dentro de las células se rompen enlaces de mayor energía que los que resultan de los

productos de reacción. En estas reacciones de oxidación se desprenden dióxido de carbono

CO2 y agua H2O (Figura 12.4). La diferencia de energía ( E) antes y después de la oxidación

se utiliza para realizar trabajo (W) o se convierte en calor (Q). Cuando consideramos al

cuerpo humano como un sistema termodinámico cuyas fronteras son la superficie de su piel,

la primera ley de la termodinámica (conservación de la energía) nos dice que el cambio en la

energía almacenada (alimentos, reservas) es igual al calor que el cuerpo desprende o expulsa

al entorno más el trabajo que el cuerpo realiza sobre el medio exterior (Figura 12.5).

Energía de la

Combustión =

100%

Pérdidas por

refrigeración de

agua 35%

Combustión:

100%

Trabajo útil del

motor 30%

Calor de escape

35%

102


La primera ley de la termodinámica se puede escribir en términos de potencias, si dividimos

cada uno de los términos energéticos por el intervalo de tiempo t en que se desarrolla la transferencia de energía:

intE Q W

t t t

En una célula típica se producen miles de reacciones por segundo durante el cual algunas

moléculas se rompen y se libera energía, y algunas nuevas moléculas se forman. Este alto

nivel de actividad química en las células, que mantiene el cuerpo humano a 37 º C en el

desempeño de las funciones corporales se llama metabolismo. Sólo una fracción de energía

liberada en las reacciones se aprovecha en trabajo útil (como, por ejemplo, para contraer

músculos). La mayoría de esa energía se pierde en calor, manteniendo la temperatura estable

y transfiriendo el resto al entorno por radiación, convección, conducción o por evaporación.

El consumo de energía por unidad de tiempo (potencia) se puede clasificar en tres

componentes:

1) La tasa metabólica en reposo o basal (TMR): La TMR es el consumo energético

por unidad de tiempo (potencia) necesario para desarrollar las funciones vitales básicas del

organismo en condiciones de reposo. Suele expresarse en kJ/h , watts, kcal/h o kcal/día. Para

determinarla, se mide el consumo metabólico por hora de un individuo tumbado, en un

ambiente térmicamente neutro y después de un ayuno de unas diez horas. Este consumo

energético sirve para realizar trabajo mecánico, como el del corazón, la sangre y los

pulmones, y para mantener otras funciones vitales en las células. En una persona el 50% de la

TMR se dedica al funcionamiento del cerebro, el 30% al del aparato circulatorio y el 20%

restante al de los demás órganos. En estos porcentajes se incluye la producción de calor

asociada a estos procesos. La TMR de una persona adulta es aproximadamente de una

kilocaloría por hora y por kilogramo de masa. Por ejemplo, el cuerpo de un adulto de 70

kg convierte la energía química a partir de la oxidación de los alimentos (o la grasa en el

103

cuerpo si la persona no ha comido) a un ritmo de alrededor de 70 kcal/h, o sea, lo que

equivale a una potencia de 82 W.

Los valores de TMR fluctúan con el peso del individuo, condiciones externas de temperatura,

edad, etc. El aumento con la temperatura del cuerpo se debe a que, en general todas las

reacciones químicas aumentan su velocidad con la temperatura. Por cada grado de

temperatura adicional, hay un incremento de cerca del 10% en el metabolismo en reposo.

Esto explica la conveniencia de realizar actividad física cuando se desea bajar de peso, no

sólo se queman calorías por el trabajo realizado, sino que el calentamiento local de músculos

hace más activo el proceso.

Para estimar el consumo real de un organismo hay que tener en cuenta, además de la TMR, el

hecho que debe realizar otras actividades. Eso determina la tasa metabólica de campo (TMC),

definida como el consumo promedio por unidad de tiempo que se efectúa en un día de

actividad normal. Para una persona de 70 kg de masa la TMC típicamente es de unas 2600

kcal.

2) Actividad muscular voluntaria: Es la actividad muscular involucrada en mantener la

postura, el movimiento de brazos y piernas, etc. Es muy variable, según los hábitos de vida y

trabajo. En una sociedad sedentaria como la nuestra suele representar el 15-20 % del

consumo energético por día. Cuando se realiza ejercicio físico vigoroso, el consumo de

energía puede ser diez veces mayor que la TMR, pero hay que tener en cuenta, al estimar el

consumo energético promediado en un día, la duración que ha tenido dicho ejercicio.

De este consumo metabólico para realizar trabajo, solo el 25% se transforma en trabajo

efectivo (Fig. 12.7). El 75% restante se disipa en forma de calor. Es decir, la eficiencia

metabólica de convertir energía química del organismo en trabajo muscular es muy próxima a

0.25 en todos los individuos.

3) Termogénesis: Es la energía utilizada en realizar movimientos involuntarios, como

los escalofríos, o cuando se come, la que se invierte en la asimilación, el transporte y el

almacenamiento de las reservas. El nombre de termogénesis se deriva de que los escalofríos

sirven para mantener la temperatura corporal, cuando otros mecanismos no son suficientes.

La termogénesis representa alrededor del 15 % de gasto diario.

Figura 12.6: Consumo diario típico de una persona de unos 70 kg de masa.

104

Figura 12.7: Esquema del rendimiento metabólico de un ser humano cuando realiza trabajo

mecánico que emplea en la locomoción, la sustentación del esqueleto, el movimiento del

corazón, de la sangre y de los pulmones, etc.

Los valores de la energía producida por oxidación de distintas sustancias son diferentes. Pero

típicamente se producen alrededor de 4 kcal por gramo de carbohidratos, entre 2,5 y 4 kcal/g

para proteínas y entre 7 y 10 kcal/g para grasas de distinto origen. Sin embargo, la energía

liberada en la oxidación de distintos alimentos es aproximadamente constante, y es de

4,8 kcal por cada litro de oxígeno consumido ( 5 kcal/litro).

Un procedimiento para medir las distintas tasas metabólicas consiste en determinar la

cantidad de oxígeno utilizado por una persona durante un día. Puede estimarse mediante la

diferencia entre el oxígeno inspirado con el aire y el oxígeno espirado.

En cada inspiración ingresan unos 0,5 litros de aire fresco (estando en reposo) del cual 20%

es oxígeno. O sea, el volumen de oxígeno correspondiente es 0,1 litros. De ese volumen de

oxígeno, solo entre 22 y 25% es aprovechado por el organismo. En reposo, el ritmo

respiratorio es de alrededor de 11 inspiraciones por minuto, lo que implica que se espera una

liberación de energía por reacciones de oxidación de: (0,1 litros) x (0,22 ) x (11 insp/min) x

(5 kcal/litro) = 72,6 kcal/h, cifra próxima al valor típico dado previamente para la energía

generada por el metabolismo en reposo de un adulto (80 kcal/h).

Cuando estudiamos el cuerpo humano como sistema termodinámico y escribimos la primera

ley en términos de potencia, cada uno de los términos representa lo siguiente:

intE Q W

t t t

12. 4 Regulación de la temperatura corporal

La temperatura de los seres humanos es próxima a 37 ºC. Sólo son tolerables unos pocos

grados de hipertermia o hipotermia sin que se produzca la muerte del individuo. La

temperatura corporal se regula a través del hipotálamo, una glándula situada en el cerebro,

que contiene no sólo los mecanismos de control sino también los sensores de temperatura

importantes. Neuronas termoreceptoras detectan continuamente las pequeñas variaciones de

temperatura que se producen en ese órgano y desde allí se activan los mecanismos adecuados.

En el hipotálamo se recibe también la información de las neuronas termoreceptoras de la piel

y del resto de los órganos del cuerpo.

105

La regulación de la temperatura corporal implica dos procesos básicos: (a) el calor producido

por el metabolismo debe expulsarse o disiparse del cuerpo al entorno a un ritmo suficiente

para evitar que la temperatura corporal aumente; (b) el cuerpo debe mantener su temperatura

sin enfriarse en un entorno naturalmente más frio. Estas dos funciones se realizan

complementariamente, mediante la disipación controlada de calor al entorno.

El calor específico del cuerpo es aproximadamente igual al del agua (1 cal/g.ºC). Quiere

decir que si una kilocaloría se acumula en un kilogramo de tejido humano en forma de

energía térmica, la temperatura sube 1 ºC. Siendo que el consumo metabólico es de

aproximadamente 1 kcal por kg por hora, el ritmo de incremento de temperatura corporal

sería de 1 ºC por hora. Al realizar ejercicios intensos este valor puede aumentar hasta diez

grados por hora. Como la temperatura del cuerpo humano admite sólo variaciones muy

pequeñas, el ritmo de producción de energía normal es muy peligroso si no va acompañado

de un ritmo análogo de disipación de calor.

La transferencia de calor del cuerpo al ambiente se produce mediante tres mecanismos

distintos:

a) Intercambio con el ambiente mediante conducción, convección y radiación: Las

pérdidas de energía en forma de calor ocurren cuando la piel expuesta al ambiente están más

calientes que éste. Por conducción, el ritmo de pérdida de energía depende de la diferencia

de temperatura entre la piel y el entorno. El calor fluye al aire circundante, que aumenta su

temperatura, disminuyendo su densidad y elevándose, con lo que provoca la aproximación de

aire más frío y se repite el proceso (convección).

La transferencia por radiación se produce cuando la temperatura del cuerpo es distinta de la

de las paredes u otros objetos circundantes. Todas las superficies emiten radiación térmica

proporcionalmente a su temperatura y absorben la que les llega de otras superficies. Cuando

la cantidad de radiación emitida es distinta de la absorbida, se produce una transferencia neta

de energía. Así, el cuerpo humano puede recibir aportes netos de calor de superficies más

calientes que la del cuerpo, como el Sol, estufas o lámparas, y perder calor cediéndolo a los

focos de radiación circundantes que están a una temperatura inferior a la de la piel, como las

paredes de una habitación.

La radiación es el mecanismo de transferencia de calor más importante en las temperaturas

ambiente normales. La relevancia de este mecanismo puede verse, por ejemplo, cuando uno

está en un habitación con las paredes muy frías, especialmente si está desnudo, siente mucho

frío, aún cuando el aire de la habitación se haya templado. En cambio, en una habitación o al

aire libre, en un ambiente frío, la radiación procedente de un fuego de una chimenea o de una

hoguera es suficiente para sentir una sensación reconfortante. En la montaña, en situaciones

de mucho frío y sin viento, la sensación que se siente bajo la luz solar es mucho más

agradable que en la sombra.

b) Evaporación de agua en los pulmones: el aire entra a los pulmones con una cierta

humedad relativa (la del ambiente) y sale saturado de vapor de agua. Una persona en

condiciones de metabolismo basal (consumo mínimo vital durante el sueño) pierde, por esta

vía, del orden de 1 litro de agua por día. La evaporación del agua requiere un aporte de

energía calorífica proporcionado por el organismo. La energía necesaria para evaporar un

litro de agua es 540 kcal. Por lo tanto, una persona que consume diariamente 2600 kcal

106

expulsa por esta vía aproximadamente el 20 %. La disipación por evaporación depende de la

humedad relativa del aire. Si éste es muy húmedo se evapora poca agua en los pulmones y

este proceso es menos eficaz para expulsar el calor del organismo.

c) La transpiración visible o imperceptible por la piel: éste es un mecanismo

adicional que utiliza el organismo cuando los dos anteriores no son suficientes. La

transpiración produce dos efectos. Por un lado, se expulsa una cantidad adicional de energía

del cuerpo, la necesaria para evaporar agua. Por otro, esta energía cedida al entorno desde la

piel provoca la disminución de la temperatura de ésta, lo que facilita el intercambio de calor

desde el interior del organismo a la superficie.

12. 5 Mecanismos internos de regulación de la temperatura corporal

El organismo tiene que expulsar de modo eficiente el calor que se produce en los órganos

más activos, especialmente en el cerebro, el corazón, el hígado y los riñones, y en los

músculos durante el ejercicio, manteniendo todo el interior a una temperatura muy estable. La

conducción de calor a través del organismo es una vía poco eficiente. Por ello la regulación

se realiza esencialmente controlando el flujo sanguíneo, que lleva calor del interior del cuerpo

a la parte externa o superficial. Este proceso requiere que la temperatura de la parte externa,

es decir, de la piel, sea inferior a la del interior del cuerpo (Fig. 12.8).

Adicionalmente, el organismo utiliza otros dos procedimientos de control, que son a

activación de las glándulas sudoríparas para provocar el enfriamiento por evaporación, y los

escalofríos y otros movimientos voluntarios, para producir calor como consecuencia de

trabajo muscular.

Figura 12.8: Isotermas del cuerpo humano en un ambiente caluroso (a) o frío (b). La isoterma interior señala la parte del cuerpo en que la temperatura interna es estable. En un

ambiente frío la temperatura en las extremidades alcanza valores bastante bajos.

Un procedimiento indirecto de control de la temperatura muy importante se realiza con la

piel. La temperatura de la piel puede variar en un rango mucho más amplio que los órganos

internos, alcanzándose en ella valores inferiores a 20º C. Esto se consigue mediante la

regulación del flujo sanguíneo en la epidermis, por vasoconstricción para reducirlo, o

vasodilatación para aumentarlo. Reduciendo la temperatura de la piel en un ambiente frío se

107

consigue reducir las pérdidas de calor. Naturalmente, con la utilización de ropa se reduce

drásticamente la superficie de piel expuesta al frío y, por tanto, las pérdidas.

La disipación por la transpiración depende en gran medida de las condiciones ambientales.

Una brisa cálida y seca permite que el sudor se evapore según se va produciendo, provocando

elevadas transferencias de calor del cuerpo al ambiente. Sin embargo, si el aire está saturado

de vapor de agua, la evaporación no se produce y el sudor gotea sin transferir calor.

Paradójicamente, el sudor más visible es el menos efectivo para el equilibrio térmico y

energético del cuerpo.

12. 6 Mecanismos de transferencia de calor en los seres vivos

Los mecanismos de transferencia de calor del cuerpo son la radiación, conducción,

convección y evaporación de agua (sudor) en la superficie o en los pulmones. La temperatura

corporal se regula a través del hipotálamo, una glándula situada en el cerebro, que contiene

no sólo los mecanismos de control sino también los sensores de temperatura importantes.

Veamos un modelo simplificado del proceso por el cual el cuerpo humano produce calor.

Incluso cuando está inactivo, un hombre adulto debe perder calor a un ritmo entre 90-105

watts como resultado de su metabolismo basal. La radiación es el mecanismo de transferencia

de calor más importante en las temperaturas ambiente normales. Este modelo indica que una

persona desnuda en reposo en una temperatura ambiente de 23 ºC, se sentiría incómodamente

fría (Fig. 12.9). La temperatura de la piel de 34ºC, es una temperatura típica, comparada con

la temperatura corporal normal de 37ºC.

Bajo el control de los mecanismos de transferencia de calor, la transpiración comienza

aproximadamente cuando la temperatura de la piel es de 37 ºC, y aumenta rápidamente a

medida que la temperatura de la piel se eleva por encima de este valor. La producción de

calor del cuerpo en estas condiciones se mantiene casi constante a medida que aumenta la

temperatura cutánea. Si la temperatura de la piel cae por debajo de 37°C, se ponen en marcha

una variedad de respuestas para conservar el calor en el cuerpo y aumentar su producción.

Éstos incluyen: cese de la transpiración, vasoconstricción para disminuir el flujo de calor a la

piel, temblor para aumentar la producción de calor en los músculos, secreción de

noradrenalina, adrenalina y tiroxina para aumentar la producción de calor. En animales

inferiores se produce la erección de pelos y la piel para aumentar el aislamiento.

El efecto del enfriamiento por evaporación del sudor, hace uso del muy alto calor de

vaporización del agua. Este calor de vaporización es de 540 cal/g en el punto de ebullición,

pero es más grande a la temperatura normal de la piel (580 cal/g). Aunque uno no se percata

de la transpiración, se produce una cantidad aproximada de 600 gramos por día, de "pérdida

insensible" de sudor de la piel. Considerando estos valores, el ritmo de evaporación de la

transpiración es de 17 W aproximadamente.

108

Figura 12.9: Transferencia de calor cuando la temperatura ambiente está por debajo de la

temperatura corporal.

Cuando la temperatura ambiente está por encima de la corporal, entonces toda la

transferencia del calor por radiación, conducción y convección, se dirige hacia el interior del

cuerpo en vez de hacia fuera (Figura 12.10). Puesto que debe haber una transferencia neta de

calor hacia fuera, entonces el único mecanismo que le queda al cuerpo bajo esas condiciones

es la evaporación de la transpiración de la piel y el enfriamiento por evaporación de esa

transpiración.

Así, a una temperatura de 45 ºC, el proceso de evaporación debe superar la transferencia de

calor en el cuerpo, y desprender calor suficiente para lograr un flujo neto hacia el exterior de

90 W de energía por unidad de tiempo. A través de los mecanismos de regulación de

temperatura del cuerpo humano, la temperatura de la piel se eleva hasta los 37°C, punto en el

cual comienza la transpiración, y se incrementa hasta que el enfriamiento por evaporación, es

suficiente para mantener la piel si es posible a 37ºC.

La potencia transferida por convección es proporcional a la diferencia de temperatura. La

convección hace que para aire que está en movimiento, la transferencia de calor al medio sea

mayor que si esta en reposo. La sensación térmica expresa una temperatura equivalente que

produciría la misma perdida de calor en aire en reposo.

La temperatura corporal puede subir con la fiebre. El estado febril se produce como respuesta

a ciertas agresiones al organismo, debidas, por ejemplo, a una infección bacteriana. En este

estado la temperatura corporal se sitúa muy cerca del límite superior letal, lo que le permite

que todas las reacciones químicas, incluidas las que se producen para combatir la agresión, se

realicen a una velocidad mucho mayor, y por tanto, con más eficacia. En ese caso el

termostato corporal se sitúa a una temperatura más allá de lo normal, en general próximo a 39

ºC en el exterior del cuerpo y a 41 ºC en el interior. A esta temperatura el cuerpo reacciona

frente al ambiente consecuentemente con los mecanismos descriptos más arriba. Si la persona

con fiebre está en un entorno térmicamente neutro para una temperatura corporal normal,

entonces siente frío porque su temperatura corporal es más elevada y necesita un entorno más

caliente. Por ello, se producen escalofríos, para generar calor y mantener la temperatura

febril. Cuando el estado febril cesa, una abundante exudación facilita la vuelta a la

temperatura ordinaria, ya que es necesario disipar una gran cantidad de calor del cuerpo para

reducir su temperatura en dos o tres grados.

Conducción 11 Watts

Radiación 133 Watts

Transpiración 17 Watts

Convección

Tasa metabólica basal

90 Watts

Temperatura de la piel 34 ºC

23 ºC de temperatura ambiente

109

Figura 12.10: Transferencia de calor cuando la temperatura ambiente está por encima de la

temperatura corporal.

Preguntas y Ejercicios:

1) Durante una transformación un sistema realiza 700 J de trabajo y absorbe 1200 J de calor

¿Cuál es la variación de energía interna del sistema? (Rta.: 500 J)

2) Durante un partido de básquet una persona perdió 6,5 x 105

J de calor y su energía interna

disminuyó en 1,2 x 106 J. ¿Cuánto trabajo efectuó durante el partido?

3) Un sistema realiza 300 Joules de trabajo y desprende 600 Joules en forma de calor. ¿Qué

ocurre con la energía interna del sistema? (Rta.: disminuye en 900 Joules)

4) Un competidor olímpico realiza un trabajo de 25 x 103 J cuando levanta una pesa. Al

hacerlo, su energía interna disminuye en 6 x 104 J ¿Cuánto calor en kilocalorías fluye, y en

qué dirección?

5) El rendimiento de una máquina es 0.21. Por cada 1000 J de calor absorbido por la

máquina, (a) ¿Cuánto trabajo realiza?, (b)¿cuánto calor desprende? (Rta.: (a) 210 J, (b) 790 J)

6) Una máquina desprende 450 J de calor por cada 100 J de trabajo que realizado. ¿Cuál es el

rendimiento de la máquina?

7) Calcular la energía consumida por unidad de tiempo por una persona de 70 kg de masa y la

potencia correspondiente a la tasa metabólica en reposo TMR, sabiendo que en esas

condiciones el consumo de oxígeno es de 3,5 ml por minuto y por kg de masa. (Rta.: 1690

kcal ; 82 W)

8) Calcular el consumo medio de energía en un día y su potencia media consumida (TMC),

de una persona de 70 kg que realiza una actividad normal. Considerar los resultados del

problema 7) y los porcentajes del cuadro mostrado en la Fig. 4, (Rta.: 2600 kcal; 125 W)

Tasa metabólica basal

90 Watts

Radiación 109 Watts

Conducción 8 Watts Transpiración

207 Watts

Convección

Temperatura de la piel 37 ºC

45 ºC de temperatura ambiente

110

9) ¿Qué frecuencia respiratoria debe tener una persona caminando a paso rápido para que su

ritmo metabólico sea de 350 kcal/hora? suponer que el volumen efectivo de aire inspirado en

cada inspiración es de 0,7 litros, que hay 20 % de oxigeno en el aire y que solo se usa el 22%

del mismo. (Rta.: 38 inspiraciones por minuto)

10) El consumo de energía por unidad de tiempo de los animales, incluidos los seres

humanos, en reposo pero despiertos, representa la tasa metabólica en reposo (o sea, es la

rapidez con la que varía la energía interna de un ser vivo). Si expresada por unidad de

peso corporal, es aproximadamente 1.2 W/kg para un hombre de 20 años y 1.1 W/kg para una

mujer de la misma edad. ¿Cuál es la tasa metabólica en reposo, expresada en kcal/día para un

hombre de 70 kg de peso y para una mujer de 60 kg, ambos de 20 años? (Rta: 84 W=1733

kcal/día; 66 W = 1362 kcal/día)

11) Durante 40 segundos un sistema realiza un trabajo de 2000 J y absorbe 3000 J de calor.

¿Cuál es la velocidad con la que aumenta su energía interna? (Rta: 25 W)

12) Cuando una persona desarrolla una actividad, la tasa metabólica aumenta. Parte de ese

aumento se necesita para proporcionar el trabajo realizado por la persona. El resto se debe a

las demandas internas del cuerpo para desarrollar esa actividad. La mujer del problema 10),

haciendo gimnasia durante 2 horas entrega un trabajo mecánico de 200 kJ y transfiere al

medio exterior 700 kcal en forma de calor. ¿A qué velocidad perdió energía interna (tasa

metabólica para la actividad desarrollada)? (Rta.: 434,25 W= 374 kcal/h)

13) Un hombre de 70 kg andando en bicicleta entrega una potencia mecánica de 100 W. La

tasa metabólica para la actividad "andar en bicicleta", para un hombre de 70 kg, es

aproximadamente 500 W. Calcular la cantidad de calor que el hombre entrega al medio

exterior si marcha en bicicleta durante 4 horas (Rta.: 1380 kcal)

14) Si una persona quiere bajar 4 kg de peso ¿durante cuánto tiempo deberá realizar cada una

de las siguientes actividades (se dan valores típicos en kcal/min para el consumo energético

de cada una)?(a) natación (6,8 kcal/min), (b) ciclismo (5,7 kcal/min), (c) marcha normal (3,8

kcal/min). Valor calórico de grasas: 9,3 kcal/g. (d) Suponiendo que la dieta de equilibrio de la

persona fuera de 2500 kcal/día, ¿cuántos días de una dieta reducida a 2000 kcal son

necesarios para bajar esos mismos 4 kg? (Rta: (a) 91 horas, (b) 108,8 hs, (c) 163,15 hs, (d)

74,4 días.)

111

Capítulo 13: Electricidad

La electricidad está relacionada con una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza. La

fuerza eléctrica tiene muchas similitudes con la fuerza gravitatoria: es una fuerza de acción a

distancia, y su magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Pero mientras

que la fuerza gravitatoria entre dos objetos depende de sus masas, la fuerza eléctrica depende

de sus cargas. La carga es una propiedad básica de las partículas elementales (electrones,

protones y neutrones) que componen toda la materia ordinaria. De hecho, lo que mantiene a

un átomo unido es la fuerza eléctrica entre electrones y protones del átomo.

La electricidad comprende una amplia gama de fenómenos, desde relámpagos en el cielo, el

encendido de una lámpara y el funcionamiento de diversos aparatos que facilitan la tarea

cotidiana. Por otro lado, los impulsos que se propagan por el sistema nervioso son como

pequeñas corrientes eléctricas que transportan información. La activación de músculos

también está controlada por corrientes eléctricas.

13.1 Carga eléctrica

La carga eléctrica, como la masa, es un atributo básico de la materia. La carga eléctrica puede

tener dos signos: positivo y negativo. Cuerpos que posean carga eléctrica del mismo signo se

repelen entre sí y cuerpos que posean carga eléctrica de diferentes signos se atraen entre sí.

Figura 13.1: Las cargas de igual signo se repelen, las cargas de diferente signo se atraen.

Las partículas elementales con carga positiva son los protones, y las de cargas negativas son

los electrones. La fuerza de atracción entre ellas hace que se agrupen en unidades

increíblemente pequeñas que son los átomos. Los átomos también contienen partículas

neutras, que son los neutrones. Cuando dos átomos se acercan entre sí, el equilibrio de las

fuerzas de atracción y repulsión no es perfecto, porque en el volumen de cada átomo vagan

los electrones. Entonces los átomos pueden atraerse entre sí y formar una molécula. De

hecho, todas las fuerzas de enlace químico que mantienen unidos a los átomos en las

moléculas son de naturaleza eléctrica.

La unidad de la carga es el coulomb (C). Un electrón tiene una carga negativa que llamamos

–e y su valor es – e = -1,6 x 10-19

C, y el protón una carga positiva de e = +1,6 x 10-19

C. Un

neutrón tiene carga cero. La carga de un objeto es la suma de las cargas de todos sus protones

y sus electrones. Así, si un objeto tiene la misma cantidad de electrones que de protones, su

carga neta es cero, y se dice que no está cargado o que es neutro.

Un objeto neutro adquiere carga ganando o perdiendo electrones. En un átomo, los electrones

de las capas más externas están enlazados más débilmente que los más cercanos al núcleo, y

112

son los que pueden desprenderse con más facilidad. La cantidad de trabajo que se requiere

para desprender un electrón de un átomo varía entre una sustancia y otra. Vale resaltar que la

carga total se conserva (principio de conservación de la carga).

13. 2 Fuerzas eléctricas

La fuerza eléctrica es una fuerza a distancia que actúa entre dos objetos, de cargas q1 y q2.

Puede ser atractiva o repulsiva, dependiendo del signo de las cargas y está dirigida a lo largo

de la línea que une las cargas. La magnitud de la fuerza eléctrica Fe entre dos objetos de carga

q1 y q2, separados una distancia r, está dada por la ley de Coulomb:

1 2

2e

q qF K

r

donde K es la constante eléctrica universal (K= 9,0 x 109 N.m

2/C

2).

13.3 Conductores y aislantes

En muchos materiales, tales como el cobre y otros metales, parte de los electrones pueden

moverse libremente en el seno del material. Estos materiales se denominan conductores.

Como se verá más adelante, este flujo de electrones a través del material es lo que conocemos

como corriente eléctrica. En otros materiales, como la madera o el vidrio, todos los electrones

están ligados a los átomos próximos y no pueden moverse libremente. Estos materiales se

denominan aislantes. Hay otros materiales, como el silicio o el germanio, que a veces se

comportan como aislantes y otras como conductores, dependiendo de diversos factores, y se

les llama semiconductores.

Qué tan buen conductor de la electricidad es un material está dado por una propiedad denominada

conductividad eléctrica. A temperaturas cercanas al cero absoluto, la conductividad de ciertos

metales se vuelve infinita, es decir, su resistencia al flujo de cargas se hace cero. Estos

metales se dicen que son superconductores. Desde 1987 se han descubierto varios

compuestos no metálicos que presentan superconductividad a temperaturas cercanas a los 100

K.

Cuando a un átomo se le quita o añade un electrón, con la aparición de una carga neta, se

convierte en un ión. En un metal conductor los iones positivos se distribuyen formando una

red. Normalmente, un conductor es eléctricamente neutro porque existe un ión de red que

transporta una carga +e por cada electrón libre portador de carga –e. Un conductor puede

tomar una carga neta por adición o extracción de electrones libres.

La Tierra es un conductor que puede considerarse como infinitamente grande. Cuando un

conductor se pone en contacto con el suelo, se dice que está conectado a tierra. Se representa

esquemáticamente por un cable de conducción que termina en unas pequeñas líneas

horizontales:

Símbolo de conexión a tierra.

113

13.4 Formas de electrizar un cuerpo

Carga por fricción y por contacto

Todos estamos familiarizados con los efectos eléctricos que produce la fricción. Por ejemplo,

podemos frotar nuestros zapatos con una alfombra y sentir el hormigueo al tocar el picaporte

de la puerta; cuando nos peinamos frente a un espejo en la oscuridad en un día seco, podemos

llegar a ver y oir chispas de electricidad. Esto ocurre porque electrones se transfieren por

fricción cuando un material se frota contra otro.

Por ejemplo, cuando se frota una varilla de vidrio con un trozo de seda, pasan electrones del

vidrio a la seda. Los electrones están sujetos a los átomos con más firmeza en la seda que en

el vidrio. La seda tiene más afinidad hacia los electrones que el vidrio. Así que cuando

frotamos la varilla de vidrio con la seda, los electrones pasan del vidrio a la seda, y la seda

queda con un exceso de carga negativa. A su vez, el vidrio queda con un exceso de carga

positiva.

Si el vidrio pierde N electrones, tendrá N protones más que electrones, por lo que su carga

total será Ne. La seda tendrá N electrones más que protones por lo que su carga total será

negativa, -Ne. La carga total de la varilla y la seda juntas es: Ne + N(-e)= 0. Es importante

destacar que cuando se carga algo no se crean ni se destruyen electrones, solo pasan de un

material al otro. La carga se conserva.

Figura 13.2: Carga por fricción o frotamiento

Los electrones pueden pasar de un material a otro con un simple toque. Por ejemplo, cuando

se toca un objeto neutro con una varilla con carga negativa, algunos electrones pasarán al

objeto neutro. A este método se le llama carga por contacto. Si el objeto tocado es buen

conductor, los electrones se difundirán a todas partes de su superficie, porque se repelen entre

sí. Si es un mal conductor, será necesario tocar varios lugares del objeto con la varilla cargada

para obtener una distribución de carga más o menos uniforme.

Figura 13.3: Carga por fricción y después por contacto

El cuerpo humano es un buen conductor, y en ambientes con humedad relativa baja, acumula

cargas electrostáticas, sobre todo cuando el suelo o el calzado son buenos aislantes. Por

ejemplo el ambiente aislado de los quirófanos, su baja humedad relativa y los sistemas de aire

acondicionado allí presentes, sumado a las zapatillas aisladas de la ropa quirúrgica, permiten

que el personal almacene carga en la piel, lo que expone al ambiente quirúrgico a descargas,

con el peligro que esto conlleva por la generación de chispas, en un medio que normalmente

posee alta concentración de agentes inflamables. Durante el invierno es dónde más sentimos

114

los efectos de las descargas; durante el verano el aire es más húmedo y el vapor de agua

conduce suficientemente bien la electricidad como para ayudar a que los electrones salgan de

nuestro cuerpo, por lo que resulta más difícil que nos carguemos lo suficiente para recibir

¨toques¨.

Otra manifestación de las descargas electroestáticas son los calambres al bajar de un auto.

Existen básicamente dos causas: la primera y menos frecuente es que el coche se cargue con

electricidad estática por el rozamiento producido por el aire sobre la carrocería; la segunda y

mucho más habitual es por el roce de nuestra ropa con el tapizado de los asientos. La

electricidad estática es un problema en las estaciones de servicio. Una mínima chispa podría

encender los vapores que provienen de la nafta y provocar un incendio. Una buena medida es

tocar metal para provocar la descarga estática del cuerpo antes de cargar nafta. Además, hay

que evitar utilizar el teléfono celular en estos casos.

Carga por inducción

Si acercas un objeto cargado a una superficie conductora, harás que se muevan los electrones

en la superficie del material, aunque no haya contacto físico. Examinemos las dos esferas

metálicas A y B de la Figura 13.4. a) se tocan, por lo que de hecho forman un único

conductor. b) Cuando se acerca a A una varilla con carga negativa, como los electrones del

metal tienen movimiento libre, son repelidos todos lo más lejos posible, hasta que su

repulsión mutua sea lo suficientemente grande para equilibrar la influencia de la varilla: se

redistribuye la carga. c) si A y B se separan cuando la varilla está presente, d) cada esfera

quedará cargada con la misma cantidad de carga y signo opuesto. Esto es la carga por

inducción. La varilla con carga nunca tocó las esferas.

Figura 13.4: Carga por inducción

En las tormentas con relámpagos hay carga por inducción. La parte inferior de las nubes tiene

carga negativa, que induce una carga positiva sobre la superficie de la tierra. El relámpago es

una descarga eléctrica entre una nube y el suelo, con carga opuesta, o entre partes de nubes

con carga opuesta (Figura 13.5).

La carga tiende a concentrarse más o pasa con más facilidad hacia puntas metálicas afiladas o desde ellas. Este es el principio de funcionamiento del pararrayos (Figura 13.6). Si una

varilla se coloca sobre un edificio y se conecta con el terreno, la punta del pararrayos atrae a

electrones del aire, evitando que se acumule una gran carga positiva por inducción. Esta fuga

continua de carga evita una acumulación de carga que de otra forma produciría una descarga

súbita entre la nube y el edificio. Por consiguiente, la finalidad principal del pararrayos es

evitar que suceda una descarga del relámpago. Si por alguna razón no escapa suficiente carga

del aire a la varilla y aún así cae el rayo, será atraído al pararrayos y llegará directo al suelo,

115

sin dañar el edificio. El objetivo principal del pararrayos es evitar incendios causados por

relámpagos.

Figura 13.5: Relámpago o rayo Figura 13.6: El pararrayos

Si hay amenaza de relámpagos y estás al aire libre la mejor posición para evitar la descarga

es: pies juntos, en cuclillas y cabeza entre las piernas. Debe reducirse al mínimo el contacto

con la tierra y no alzar los brazos. Hay que evitar lugares elevados o con forma de punta

(árboles aislados, postes por ejemplo). El mejor sitio para refugiarse a la intemperie durante

una tormenta es un auto cerrado. Dentro debemos apagar el motor y bajar la antena de la

radio. En caso de caída de un rayo el vehículo se cargará sólo por el exterior mientras que el

interior quedará intacto. Debe evitarse tocar las partes metálicas del vehículo, incluso al salir

de un vehículo que ha recibido una descarga.

Polarización de la carga

Cuando un objeto con carga se acerca a un aislante, no hay electrones libres que puedan

migrar por el material aislante. En cambio hay un nuevo arreglo de cargas dentro de los

átomos y las moléculas mismas. Aunque los átomos no cambian sus posiciones

relativamente fijas, sus centros de carga sí se mueven y el átomo o molécula se polariza. De

esta forma, se inducen cargas en la superficie del aislante.

Esto explica por qué trocitos de papel se pegan a objetos cargados, por ejemplo, a un peine

que se haya frotado con el cabello. Cuando el peine cargado se acerca, se polarizan las

moléculas del papel. El signo de la carga más cercana al peine es contrario al de la carga del

peine. Las cargas del mismo signo están un poco más alejadas. Gana la cercanía y los trocitos

de papel sienten una atracción neta. A veces se pegan al peine y de repente salen despedidos.

Esta repulsión se debe a que los trocitos adquieren carga del mismo signo que la del peine,

cuando lo tocan.

Muchas moléculas, como por ejemplo las de agua H2O, están polarizadas eléctricamente en

sus estados normales. El ellas, la distribución de carga eléctrica no es perfectamente uniforme. Hay un poco más de carga eléctrica de un lado que del otro. Se dice que esas

moléculas son dipolos eléctricos.

116

Figura 13.7: El material aislante (a la derecha) Figura 13.8: La molécula de agua es

se polariza al acercar un objeto cargado). un dipolo eléctrico.

13.5 Campo eléctrico

Al igual que la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica actúa entre objetos que no se tocan,

ambos son fuerzas de campo o de acción a distancia. Podemos suponer que existe un campo

de fuerzas que influye sobre cuerpos masivos (campo gravitacional) o cargados (campo

eléctrico). Cuando analizamos la caída de un objeto decimos que interactúa con la Tierra,

aunque también podríamos decir que interactúa con el campo gravitacional y no directamente

con el cuerpo masivo que lo produce. Similarmente, a un cuerpo cargado puede asociarse un

campo eléctrico que lo rodea y se extiende en el espacio. Así, el campo desempeña un papel

intermedio en la fuerza entre los cuerpos.

El campo eléctrico E es una cantidad vectorial, tiene magnitud y dirección. La magnitud del

campo E es la fuerza por la unidad de carga:

0

FE

q

O sea, si un cuerpo de carga q0 (carga de prueba) experimenta

una fuerza F es porque se encuentra bajo la influencia de un

campo eléctrico dado por la fórmula de arriba. En el ejemplo

de la Figura 13.9 al campo lo genera la esfera cargada Q). Figura 13.9

La dirección de campo en un punto del espacio se define como la dirección hacia la cual sería

empujada una pequeña carga de prueba positiva situada en reposo en ese punto. La dirección

de la fuerza y el campo son iguales.

Figura 13.10: Líneas de campo correspondiente a cargas puntuales positiva (a) y negativa

(b). Las flechas señalan la dirección hacia donde se movería una carga de prueba positiva.

117

Una representación útil es a través de las líneas de fuerza (Figura 13.10). Representan una

pequeña cantidad entre la infinidad de líneas posibles que indican la dirección del campo.

Donde las líneas están más alejadas entre sí, el campo es más débil. Para una carga aislada las

líneas se prolongan hasta el infinito; para dos o más cargas se representan como si salieran de

las cargas positivas y terminaran en las negativas.

El concepto de campo eléctrico nos ayuda no sólo a comprender las fuerzas entre los cuerpos

estacionarios cargados y aislados, sino también lo que sucede cuando las cargas se mueven.

El campo eléctrico es un almacén de energía, y la energía se puede transportar a largas

distancias en un campo eléctrico. La energía que se propaga en un campo eléctrico se puede

dirigir a través de alambres conductores, y guiarse en ellos. O bien, puede juntarse con un

campo magnético para atravesar el espacio vacío (radiación electromagnética).

13.6 Corriente eléctrica

Así como una corriente de agua es el flujo de moléculas de H2O, la corriente eléctrica es el

flujo de la carga eléctrica. La corriente eléctrica I se define como la cantidad de cargas Δq

que, por unidad de tiempo t, atraviesan un área transversal:

qI

t

En el caso de circuitos de alambres conductores metálicos son los electrones de conducción

los que forman el flujo de cargas. Éstos se mueven con cierta libertad por la red de átomos,

mientras que los protones permanecen en sus posiciones más o menos fijas dentro del núcleo.

En el caso de fluidos conductores, como en las baterías de auto, son los iones positivos los

que forman el flujo de cargas.

La corriente eléctrica se mide en amperes (A). 1 ampere = 1 coulomb/segundo; 1 coulomb es

la carga de 6,25 x 1018

electrones (Cada electrón recordemos posee una carga de -1,6 x 10-19

C). Así, un alambre por el que circulen 5 A, pasan 5 Coulombs de carga por su área

transversal por segundo, que son 31,25 x 1018

electrones.

Por convención, se toma como sentido de la corriente el sentido del flujo de cargas positivas.

Con esta convención, los electrones se mueven en sentido opuesto a la corriente. Es

interesante observar que un conductor de corriente en general no está cargado eléctricamente.

Bajo condiciones ordinarias, los electrones de conducción, negativos, pasan por la red de

átomos formada por núcleos atómicos con carga positiva. Hay entonces tantos electrones

como protones en el conductor. Si un alambre conduce corriente o no, su carga neta normal

es cero en cualquier momento.

13.7 Diferencia de Potencial y fuentes de voltaje

Vimos que cuando los extremos de un material conductor están a distinta temperatura, el

calor fluye de la temperatura más alta a la más baja y el flujo de calor cesa cuando llegan a la

misma temperatura. Análogamente, podemos definir una cantidad física denomina potencial

eléctrico que indica la tendencia de las cargas eléctricas a moverse de una región a otra. Si

entre dos puntos de un conductor existe una diferencia de potencial o voltaje habrá un flujo

de cargas desde el potencial mayor al menor. El flujo persiste siempre que se mantenga la

diferencia de potencial. Si no hay diferencia de potencial no hay flujo de cargas.

118

Los dispositivos que producen una diferencia de potencial o voltaje son los generadores, las

pilas y las baterías, que son fuentes de energía que pueden mantener un flujo de carga estable.

Las pilas, baterías y generadores efectúan trabajo para separar las cargas negativas de las

positivas. En las baterías químicas, ese trabajo lo realiza la desintegración química del zinc o

del plomo en un ácido, y la energía almacenada en los enlaces químicos se convierte en

energía potencial eléctrica. El trabajo efectuado por cualquier medio para separar las cargas

queda disponible en los terminales o bornes de la batería o del generador. Esos distintos

valores de energía entre carga establecen una diferencia de potencial. El voltaje es lo que

mueve a los electrones a través de un circuito que se conecte a esos terminales. La unidad de

voltaje es el Volt (V); 1 V= 1 Joule/coulomb.

Una batería de auto suministra un voltaje de 12 V a un circuito conectado entre sus

terminales. Significa que a cada coulomb de carga que se haga pasar por el circuito se le

suministran 12 joules de energía.

13. 8 Resistencia

La corriente eléctrica que circula por un conductor no solo depende del voltaje sino también

de la resistencia que ofrece el conductor al paso de las cargas. La resistencia R es la

propiedad del material que indica cuánto se opone al paso de la corriente.

La resistencia R se mide en ohms, que se simboliza con la letra griega mayúscula omega ( ). En un conductor la resistencia eléctrica está relacionada con su longitud l, el área transversal

A y la resistividad del material con que está hecho el conductor, y tiene la forma: l

RA

.

O sea, que la resistencia de un alambre aumenta si aumenta su longitud y disminuye si

aumenta su grosor. La resistividad es característica del material conductor y de la temperatura

a la que se encuentre. Por ejemplo, el cobre tiene mayor resistividad que el acero, y la plata

tiene mayor que el cobre.

13.9 Ley de Ohm

Para muchos materiales llamados óhmicos, entre los que se encuentran los metales, la

relación entre corriente y voltaje es de la forma:

Diferencia de Potencial = Corriente × Resistencia

Figura 13.11: Circuito por el que circula una corriente I a través de una resistencia R,

alimentado por una batería con una diferencia de potencial V.

La unidad de resistencia (ohm) es igual a Volts/ampere; 1 = 1 V/A.

119

La Ley de Ohm implica que la corriente en un circuito varía en proporción directa a la

diferencia de potencial a través del circuito y en proporción inversa a la resistencia.

13.10 Efectos de las corrientes eléctricas en el cuerpo humano

Los daños que se producen por una “descarga eléctrica” los produce el paso de la corriente

por el cuerpo. La corriente eléctrica en el cuerpo produce la contracción involuntaria de los

músculos y puede causar la parálisis del diafragma o del corazón. De acuerdo con la ley de

Ohm la corriente dependerá del voltaje aplicado y de la resistencia del cuerpo humano. La

resistencia del cuerpo depende de sus condiciones, puede ser de 100 si está empapado con

agua salina hasta unos 500.000 (0,5 M ) si la piel está muy seca. Si tocamos los dos

electrodos de una batería de 24 V con los dedos secos, cerrando el circuito de una mano a la

otra, nuestra resistencia aproximada será de 100.000 (0,1 M ) y no sentiremos la corriente. Sin embargo, si la piel está mojada los 24 V pueden ser muy desagradables. La

siguiente tabla muestra los valores de corriente con su respectivo efecto sobre el cuerpo.

Corriente

(A)

Efecto

0,001 Se puede sentir

0,005 Es doloroso

0,010 Causa contracciones musculares

0,015 Causa pérdida del control muscular

0,070 Si pasa por el corazón, lo perturba gravemente, si dura más de 1 s puede ser

fatal

Si tocás una lámpara defectuosa conectada a la línea de 220 V, estando parado sobre el piso,

en condiciones normales del organismo es posible que la corriente no baste para causar

lesiones graves. Pero si estás descalzo y con los pies mojados, la resistencia entre tu cuerpo y

la tierra es muy baja, tal que una diferencia de potencial de 220 V podría generar una

corriente dañina sobre tu cuerpo. Por eso hay que evitar tocar equipos eléctricos cuando estás

mojado. Las gotas de agua que se juntan en las llaves de apagado/encendido de los aparatos

tales como los secadores de pelo pueden conducir la corriente hasta el usuario. Aunque el

agua destilada es un buen aislante, las sales que contiene el agua ordinaria reducen mucho su

resistencia ya que aportan iones.

Para que circule una corriente se requiere una diferencia de potencial entre una parte del

organismo y otra. La mayoría de la corriente pasará por el camino de menor resistencia

eléctrica entre esos dos puntos. Mientras no toques otra cosa con distinto potencial no

recibirás una descarga eléctrica. Si te colgás con las dos manos de un cable de alta tensión, no

establecerás diferencia de potencial, y no habrá peligro. Sin embargo, si con una mano sujetas

algo a distinto potencial, sufrirás una descarga letal. Por eso a los pájaros posados sobre

cables de alta tensión no les ocurre nada, todas las partes de su cuerpo están al mismo alto

potencial que el cable.

13.11 Corriente continua y corriente alterna

La corriente eléctrica puede ser cd (corriente directa o continua) o corriente ca (alterna).

Corriente directa: es el flujo de carga en una única dirección. Una batería de auto o una pila producen una corriente continua porque sus terminales tienen siempre el mismo signo. La

120

polaridad es siempre la misma. Los electrones fluyen de la terminal negativa, que los repele,

hacia la terminal positiva, que los atrae, y siempre se mueven por el circuito en la misma

dirección.

Corriente alterna: los electrones en un circuito se mueven alternadamente en una dirección y

en la dirección contraria, con respecto a posiciones relativamente fijas. Esto se logra

alternando la polaridad en la fuente de voltaje. Casi todos los circuitos comerciales de ca

implican voltajes y corrientes que alternan a una frecuencia de 50 Hz, o sea, 50 ciclos por

segundos. O sea, que cambian de sentido 100 veces por segundo.

Las tomas de corriente de una casa suministran corriente alterna. Los electrones no se

desplazan por los cables, sino que vibran en torno a posiciones relativamente fijas. Cuando se

conecta una lámpara a una toma de corriente, ésta proporciona energía, no electrones (que ya

se encuentran en el filamento de la lámpara). En el filamento la mayor parte de esa energía se

transforma en calor, y otra parte en luz.

13.12 Circuitos en serie y en paralelo

Un circuito es una trayectoria por donde circulan las cargas. Para que se establezca una

corriente debe haber un circuito completo sin interrupciones. Los circuitos pueden tener más

de un dispositivo que recibe la energía eléctrica. Estos dispositivos (en lo siguiente serán

resistencias) pueden estar conectados en serie o en paralelo. En el caso de una alimentación

continua (cd), la presencia de una batería se simboliza de la forma , donde el borne mayor representa el potencial más alto y el menor al de más bajo potencial. Una resistencia

se indica como .

Conexión en serie

Figura 13.12: Circuito en serie

La Figura 13.12 muestra un circuito en serie sencillo. Tres lamparitas (resistencias) se

conectan en serie con una batería. Cuando se cierra el interruptor de inmediato se establece la

misma corriente en las tres lamparitas. Cuanto mayor sea la corriente en una lamparita, mayor

será su luminosidad. Las principales características de una conexión en serie son:

121

1- La corriente sólo tiene una ruta a través del circuito. Eso significa que la corriente que pasa

por cada lamparita a lo largo de la trayectoria es la misma.

2- A esta corriente se opone la resistencia de la primera lamparita, de la segunda y de la

tercera. Entonces, la resistencia total al paso de la corriente por el circuito es igual a la suma

de las resistencias individuales a lo largo de la trayectoria por el circuito.

3- La corriente en el circuito es el voltaje divido por la resistencia total (Ley de Ohm).

4- El voltaje total aplicado a través de un circuito en serie se divide entre los dispositivos

eléctricos individuales del circuito, de manera que la suma de las “caídas de voltaje” a través

de cada resistencia sea igual al voltaje total suministrado por la fuente. Esto es consecuencia

de que la cantidad de energía suministrada a la corriente es igual a la suma de las energías

suministradas a cada lamparita.

5- La caída de voltaje a través de cada dispositivo es proporcional a su resistencia: también la

Ley de Ohm se aplica por separado para cada dispositivo. Esto es consecuencia del hecho que

se use más energía para mover una carga a través de una resistencia más grande que en una

resistencia pequeña.

Es fácil ver la principal desventaja de un circuito en serie: si falla un componente (se corta o

se quema) cesa la corriente en todo el circuito. Algunas lamparitas para árboles de navidad,

poco costosas, se conectan en serie.

Conexión en paralelo

Figura 13.13: Circuito en paralelo

La mayoría de los circuitos se conectan de tal manera que es posible hacer trabajar varios aparatos eléctricos de forma independiente. En tu casa se puede encender o apagar una

lámpara sin afectar el funcionamiento de las otras, o de otros aparatos eléctricos. Esto se debe

a que esos dispositivos no están conectados en serie, sino en paralelo.

En la Figura 13.13 se ve un circuito en paralelo sencillo. Hay tres lamparitas conectadas a los

mismos dos puntos A y B. Se dice que los dispositivos eléctricos conectados a dos mismos

puntos de un circuito eléctrico están conectados en paralelo. El trayecto de la corriente de una

122

terminal de la batería a la otra puede completarse aún cuando sólo una lamparita está

encendida. En la Figura 13.13 el circuito se ramifica en las tres trayectorias separadas de A y

B. Una interrupción en cualquiera de las trayectorias no interrumpe el paso de corriente por

las otras. Cada dispositivo funciona de forma independiente de los demás. Las principales

características de un circuito en paralelo son:

1- Cada dispositivo conecta los mismos dos puntos A y B del circuito. En consecuencia, el

voltaje es igual a través de cada dispositivo.

2- La corriente total en el circuito se divide entre las ramas en paralelo. Como el voltaje a

través de cada rama es el mismo, la cantidad de corriente en cada rama es inversamente

proporcional a la resistencia de la misma; la ley de Ohm se aplica por separado a cada ramal.

3- La corriente total en el circuito es igual a la suma de las corrientes en sus ramas paralelas.

Esta suma es igual a la corriente en la batería o fuente de voltaje.

4- A medida que aumenta la cantidad de ramas en paralelo, disminuye la resistencia total en

el circuito. La resistencia total baja con cada trayectoria que se agregue entre dos puntos

cualesquiera del circuito. Esto significa que la resistencia del circuito es menor a la de

cualquier rama individual.

13.13 Instalación domiciliaria

Las instalaciones eléctricas hogareñas poseen circuitos conectados en paralelo, ya que el uso

de algún elemento no debe interrumpir el funcionamiento del resto. La electricidad en una

casa se alimenta mediante dos cables por los que circula la corriente que consumimos y que

juntos recorren toda la casa. A uno se lo llama vivo y a otro neutro. La diferencia de potencial

entre los cables es de 220 V de promedio efectivo, 50 veces por segundo el vivo es positivo

respecto del neutro y 50 veces por segundo negativo (alternadamente).

Todos los dispositivos que conectamos en nuestra casa lo hacemos en paralelo. Por lo tanto a

todos se los alimenta con el mismo voltaje. A medida que se conectan y encienden más

aparatos, como hay más trayectorias para la corriente, baja la resistencia total del circuito. Por

ende, pasa más corriente.

El circuito se sobrecarga si la corriente aumenta más que su límite de seguridad. Esto puede

ocurrir cuando alguno de los artefactos puede estar fallado y en lugar de tener una buena

resistencia en el filamento, hacer contacto directo entre el vivo y el neutro. En ese caso

tendríamos una resistencia casi nula, pero como en todo el circuito se cumple la ley de Ohm

esto produciría una corriente enorme. Corrientes elevadas producen un sobrecalentamiento de

los cables, con el peligro que se inicie un incendio. Esa corriente enorme recalienta los cables

de la instalación; y en algún lugar la temperatura es tan alta que el cable se funde, se derrite.

Inmediatamente el circuito se abre, y el peligro cesa. En un lugar previamente fijado -de fácil acceso- se hace un afinamiento en los cables. De modo que si la corriente crece demasiado

(por ejemplo, por un cortocircuito) la temperatura auemnta mucho más rápidamente en esa

sección finita, y la instalación se funde precisamente allí y no en cualquier lugar escondido.

Este dispositivo diseñado para que se funda se llama fusible. Los fusibles (porque iba uno en

cada cable) venían montados en un dispositivo de fácil reposición llamados tapones. En la

actualidad prácticamente no se usan y fueron reemplazados por la llave térmica, que está

permanentemente sensando la temperatura de los cables; cuando siente que la temperatura es

123

elevada y se encuentra en riesgo la instalación (en un cortocircuito, por ejemplo) abre el

circuito en forma automática.

En el ejemplo de la Figura 13.14, la línea de suministro está conectada en paralelo a un

tostador eléctrico que toma 8 A; un calentador que toma 10 A y a una bombilla eléctrica que

toma 2 A. Cuando solo funciona el tostador, la corriente es de 8 A. Si se conecta también el

calentador, la corriente pasa a 18 A. Cuando funcionan los tres aparatos, la corriente es de 20

A. Si se conectan más aparatos, la corriente aumenta aún más, y se puede generar una

sobrecarga.

Otro dispositivo de seguridad importante en las instalaciones hogareñas es el disyuntor. Si

metes el dedo en un enchufe o tocas accidentalmente uno de los cables de la red domiciliaria

que pasan por tu casa, el potencial al que te conectas es diferente al lugar donde tienes tus

pies, entonces (recordar la Ley de Ohm) una corriente eléctrica atravesará tu cuerpo pudiendo

causarte graves daños. Para evitar esto, la función del disyuntor es sensar la corriente que

circula por los dos cables. Si no son iguales, el disyuntor “intuye” que parte de la corriente

que entra por el vivo se está yendo a la Tierra por donde no debe, en lugar de volver por el

neutro, y abre el circuito inmediatamente.


Existe un dispositivo de protección adicional de gran utilidad e importancia. Hay muchos

electrodomésticos, sobre todo aquellos que tienen motores (típicamente la heladera y el

lavarropas), a los que comúnmente les ocurre el siguiente desperfecto: sus partes

manipulables -o sea, la manija, la carcasa, la tapa- entran en algún tipo de contacto con cargas

o corrientes peligrosas. Y no es infrecuente que cuando los usuarios tocan el artefacto reciben

un molesto (algunas veces peligroso) golpe eléctrico. Es por eso que se aconseja no abrir la

heladera con los pies descalzos o sobre un charco de agua. Se estima que cuanto mejor sea el

124

contacto entre partes de diferente potencial, mayor puede ser la corriente y el riesgo. La

protección contra este riesgo es el cable a Tierra. Resulta que no son dos los cables que

viajan por toda la instalación, sino tres. En algún lugar de la casa se conecta este tercer cable

con la Tierra mediante una jabalina: un metal conductor enterrado 1,5 metros por lo menos.

Esta conexión queda disponible en todos los enchufes de la casa (es la tercera patita, la del

medio) y los artefactos se conectan a él, quedando en contacto directo con la carcasa y las

partes manipulables. De modo que si hubiese fugas o acumulaciones de cargas que pudiesen

poner en riesgo a los usuarios del artefacto, van a encontrar -antes de que el usuario llegue-

una conexión privilegiada para descargarse a Tierra (ver Figura 13.15).

13. 14 Potencia eléctrica

Una carga que se mueve en un conductor se acelera y por lo tanto aumenta su energía

cinética. Esa energía cinética se convierte rápidamente en energía interna del conductor por

los choques entre los electrones y los iones de la red que forman el material. La energía

eléctrica transformada en otra forma (energía mecánica, energía térmica o luz) por unidad de

tiempo es la potencia eléctrica y se expresa:

Potencia eléctrica = Corriente × Diferencia de Potencial

Recordemos que la unidad de potencia es el Watt, y 1 Watt = 1 Ampere x 1 Volt.

Si una lámpara de 100 W funciona en un circuito de 220 V, tomará una corriente de 0,45 A

(100 W = 220 V x 0,45 A). Una de 40 W tomará 0,18 A.

Para materiales que obedecen la ley de Ohm, podemos expresar la potencia eléctrica como:

Potencia eléctrica = Corriente2 × Resistencia

La potencia eléctrica se suele medir en kilowatts (kW) (1 kW = 1000 W). 1 kilowatt hora

(kWh) es una unidad de energía, representa la energía transferida en una hora a una

proporción constante de 1 kW: 1kWh=(1000 W).(3600 s)= 3,6 x 106 J. La factura de

electricidad se refiere a la energía transferida desde la red eléctrica a los hogares y

usualmente viene expresado en kWh. En el caso de un foco de 100 W de potencia, significa

que si está encendido durante 1 hora, la energía transferida desde la red eléctrica al foco es de

(100 W).(3600 s)= 3,60 x 105 J

13. 15 Bioelectricidad

En la mayoría de las células animales existe una diferencia de potencial entre el interior y el

exterior de la célula. Esto es aún más pronunciado en las células nerviosas y musculares

donde, en estado de reposo, el potencial interior es de unos -85 mV con respecto al potencial

exterior. Un impulso nervioso es un cambio en ese potencial que se propaga a lo largo de una

fibra nerviosa o axón. Los impulsos nerviosos llevan señales de información desde las células

sensoriales al cerebro y mandan señales en sentido inverso desde el cerebro a las células

musculares. Un impulso nervioso, al alcanzar una fibra muscular, produce cambios de

potencial semejantes que se propagan a lo largo de la fibra, iniciando la contracción de la

misma. De este modo, la electricidad juega un papel fundamental en la organización

neuromuscular de los animales. Los músculos de algunos peces han perdido su capacidad

125

para contraerse y son utilizados exclusivamente para producir un potencial eléctrico. La

anguila eléctrica produce un gran potencial que utiliza para su defensa, pero muchos peces

producen un pequeño potencial que emplean para detectar objetos en las aguas circundantes.

Figura 13.16: Transmisión de un impulso nervioso a lo largo de un axón.

Preguntas y ejercicios:

1) Si depositás electrones en tus zapatos arrastrando los pies por la alfombra, ¿qué tipo de

carga adquirís: positiva o negativa? ¿Y la alfombra?

2) El plástico para envoltura se carga eléctricamente cuando se saca del empaque. Como

resultado, es atraído hacia objetos tales como recipientes de alimentos. ¿El plástico se adhiere

mejor a los recipientes de plástico o a los metálicos?

3) ¿Por qué un buen conductor de electricidad sea también buen conductor del calor?

4) ¿Cuánto se reduce la fuerza eléctrica entre dos iones si duplicamos la distancia que los

separa? ¿Y si la triplicamos? (Rta.: 4 veces si duplicamos y 9 veces si triplicamos)

5) Si colocaras un electrón “libre” y un protón “libre” en un campo eléctrico, ¿Cómo serían la

aceleración y dirección de desplazamiento del uno comparadas con la del otro?

6) El campo eléctrico de la Tierra es de aproximadamente 100 N/C en la superficie terrestre y

apunta hacia el centro de la Tierra. A partir de esta información, ¿es posible saber si la Tierra

tiene carga positiva o negativa?

7) Con una resistencia de 100.000 , (a) ¿Cuál será la corriente a través de tu cuerpo al tocar las terminales de una batería de 12 volts? (b) Si tu piel está muy mojada y tu resistencia es de

sólo 1000 y tocas las terminales de la batería de 12 volts, ¿cuánta corriente recibirás? ¿Qué efectos tendrán sobre tu cuerpo estas corrientes? (Rta.: (a) 1,2 x 10

-4 A; (b) 0,012 A).

8) (a) ¿Qué le sucede a la corriente en las demás lamparitas si se funde una en un circuito en

serie? (b) ¿Qué le sucede a la intensidad de la luz de una lamparita en un circuito en serie al

agregar más lamparitas al circuito?

9) Comparar el brillo de cada una de las lámparas con el brillo de la lamparita de la fig. 1,

teniendo en cuenta que todas las lamparitas y las baterías son idénticas. ¿En qué casos no se

encienden?

126

10) ¿La resistencia de una lámpara de 100 W es mayor o menor que la de una de 60 W?

Suponiendo que los filamentos de cada lámpara tienen la misma longitud y son del mismo

material, ¿Cuál bombilla tiene el filamento más grueso?

127

Capítulo 14: Magnetismo

14.1 Fuerzas magnéticas

Cuando describimos las fuerzas eléctricas, vimos que eran fuerzas entre partículas cargadas

que dependían de la magnitud de las cargas y de la distancia de separación (ley de Coulomb).

Cuando las cargas se mueven entre sí, surge otra fuerza entre partículas cargadas que depende

de su movimiento, que es la fuerza magnética. Las fuerzas tanto eléctricas como magnéticas

son en realidad distintos aspectos del mismo fenómeno del electromagnetismo.

Así como una carga eléctrica está rodeada de un campo eléctrico, si se mueve se rodeará

también de un campo magnético. Este campo magnético se debe a las “distorsiones” del

campo eléctrico causadas por el movimiento y fueron explicadas por A. Einstein en su teoría

especial de la relatividad. Las partículas cargadas en movimiento tienen asociado un campo

eléctrico y un campo magnético.

Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético es una magnitud vectorial: en cada punto del

espacio hay una propiedad a la que le podemos asignar una magnitud (la magnitud, módulo o

intensidad del campo) y una dirección. Se suele usar el símbolo B para hacer referencia al campo

magnético. Y al igual que con el campo eléctrico, la forma más ilustrativa de representar un

campo magnético es dibujando sus líneas de campo. La fuerza de atracción o repulsión entre imanes es también de carácter magnético. Se trata de

una fuerza de acción a distancia, pues los imanes no necesitan estar en contacto para atraerse

o repelerse. Basta con que se aproximen un poco para que la fuerza magnética comience a

actuar. Al igual que las fuerzas eléctricas, la magnitud de la fuerza depende de la distancia a

la que se encuentran los imanes. Las regiones llamadas polos magnéticos originan las fuerzas

magnéticas.

Figura 14.1: Líneas de campo magnético de un imán permanente. La dirección de las

brújulas indica la dirección del campo magnético en cada posición.

La propiedad magnética no está distribuida uniformemente en el imán, sino que se concentra

en las regiones llamadas polos. Hay polos de dos tipos: polo norte y polo sur. Cualquier tipo de polo atrae cuerpos de hierro por igual. Dos polos de distinto tipo se atraen entre sí. Y dos

polos de igual tipo se repelen entre sí. Los polos siempre aparecen de a dos o más y de

distinto tipo, o sea, todo imán tiene un polo norte y un polo sur al menos (Fig. 14.1). Ningún

128

cuerpo puede tener un único polo magnético (o monopolos). Esta particularidad establece una

diferencia importante entre la fuerza entre cargas y las fuerzas entre polos: mientras que las

cargas se pueden aislar, los polos magnéticos no.

Figura 14.2: Fuerzas entre imanes. Polos opuestos producen una fuerza atractiva y polos

iguales una fuerza repulsiva. La fuerza entre imanes es una fuerza de acción a distancia.

Una brújula consta de un imán en forma de aguja. Como todo imán, cuando una brújula se

encuentra en una región donde hay un campo magnético su aguja termina alineándose con la

dirección del campo. Cuando la aguja de una brújula no está alineada con el campo

magnético terrestre, las fuerzas magnéticas sobre la aguja producen un momento o torque que

hace girar la misma hasta que queda alineada en la dirección del campo (momento nulo) (Fig.

14.3).

Figura14. 3: Cuando la aguja de la brújula no está alineada con el campo magnético

(izquierda), las fuerzas sobre su aguja, en dirección opuesta, producen un momento que hace

girar la aguja hasta que queda alineada (derecha).

14. 2 Corrientes eléctricas y campos magnéticos

Dado que una carga en movimiento produce un campo magnético, una corriente de cargas

también produce un campo magnético. El campo magnético que rodea un alambre que

129

conduce corriente se puede visualizar colocando una serie de brújulas en torno a un alambre

conductor (ver Fig. 14.4). Si no circula corriente, las brújulas se orientan según el campo

magnético terrestre. Pero si se hace pasar una corriente, se alinean con el campo magnético

producido por la corriente (si es mucho mayor que el terrestre), siguiendo un patrón de

círculos concéntricos con el alambre. Si se invierte la dirección de la corriente, las agujas de

las brújulas giran 180º, indicando que la dirección del campo magnético cambia y es opuesta

a la

anterior. Para un alambre largo, la magnitud del campo magnético a una dada distancia del

alambre es directamente proporcional a la corriente que circula por él e inversamente

proporcional a la distancia.

Figura 14.4: Alambre conductor y brújulas que indican la dirección del campo magnético.

(a) No circula corriente (I=0), las brújulas se alinean con el campo magnético terrestre. (b)

circula una corriente I en el sentido indicado, las brújulas indican el alineamiento según el

campo magnético debido a la corriente. A la derecha se esquematiza el uso de la mano

derecha para hallar la dirección del campo magnético.

Debido a la simetría del alambre, las líneas de campo magnético son círculos concéntricos

con el alambre y se encuentran en un plano perpendicular al mismo. La magnitud de B es

constante sobre cualquier círculo. Una manera conveniente de determinar la dirección de B es

a través de la mano derecha, colocando el dedo pulgar apuntando en la dirección de la

corriente. Los cuatro dedos restantes de la mano envuelven la circulación de las líneas de

campo, siendo la dirección de B la dirección de la tangente en cada punto del círculo.

Si el alambre se curva y forma una espira, las líneas de campo se concentran en el interior de

ella (Fig. 14.5 (a)). Si se forma otra espira más a continuación de la primera se duplica la

concentración de líneas de campo magnético (Fig. 14.5 (b)). La intensidad del campo

magnético en esa región aumenta conforme se incrementa la cantidad de espiras. La

intensidad del campo magnético es apreciable cuando se forma una bobina (Fig. 14.5 (c)), es

decir, se juntan muchas vueltas de un conductor con corriente. Una bobina de alambre por la

que circula una corriente es un electroimán. El campo magnético aumenta al aumentar la

corriente.

130

(a) (b) (c)

Figura 14.5: Líneas de campo magnético correspondientes a: (a) una espira, (b)

bobina de cuatro espiras, (c) bobina de N espiras.

14. 3 Imanes permanentes y campos magnéticos

Si el movimiento de carga eléctrica produce el magnetismo, ¿dónde estará ese movimiento en

un imán? La respuesta es: en el movimiento constante de los electrones de los átomos que

forman el imán. Los electrones ejecutan dos clases de movimientos: orbital (alrededor del

núcleo) y de espín (en torno a su propio eje). En los imanes más comunes, el magnetismo se

debe al espín de los electrones.

Cualquier electrón que gire es un imán diminuto. Si dos electrones giran en la misma

dirección forman un imán más fuerte. Si giran en direcciones opuestas sus campos

magnéticos se anulan. La mayoría de las sustancias son no magnéticas porque los electrones

de los átomos giran en direcciones opuestas. Sin embargo, en materiales como el hierro,

níquel y cobalto, los campos debido al espín no se anulan y cada átomo es un imán diminuto.

Los imanes más comunes se fabrican con aleaciones que contienen hierro, cobalto y níquel en

diversas proporciones.

14.4 Magnitudes de campo magnético

Para medir la intensidad del campo se define una magnitud, el tesla, T . Un tesla es una

unidad grande: el campo magnético terrestre mide aproximadamente (varía de lugar a

lugar) Bt = 5 x 10-5

T. Las líneas de alta tensión generan campos magnéticos de intensidad

similar a las del campo magnético terrestre, a una distancia de unos 10 metros del cable.

Tecnológicamente se pueden crear campos mucho más intensos que el terrestre. Por ejemplo,

los equipos de imagen de resonancia magnética (también llamados de resonancia magnética

nuclear) que se utilizan en diagnóstico médico generan campos de hasta una decena de teslas.

Una unidad de intensidad de campo muy utilizada es el gauss, G, que es igual a un

diezmilésimo de tesla: 1 G = 10-4

T.

La siguiente Tabla muestra valores de campos magnéticos provenientes de distintas fuentes.

131

Fuente de Campo Magnético

Magnitud del campo

(T)

Imán superconductor de laboratorio de gran intensidad 30

Electroimán convencional de laboratorio 2

Unidad IRM 1,5 - 3

Barra imantada 10-2

Superficie de la Tierra 0,5 x 10-4

En interior de cerebro (debido a impulsos nerviosos) 10-13

14. 5 Dominios magnéticos

El campo magnético de un átomo individual de hierro es tan intenso que las interacciones

entre átomos adyacentes hacen que grandes grupos de ellos se alineen entre sí. A esos grupos

de átomos alineados se les llama dominios magnéticos.

Pero no cualquier trozo de hierro es un imán. Eso se debe a que normalmente un trozo de

hierro está constituido por un conjunto de dominios magnéticos que se encuentran orientados

al azar (Fig. 14.6 (a)). Si conseguimos que esos dominios se orienten todos en la misma

dirección, por ejemplo colocándolo en una región de campo magnético intenso B0 (ver Figura

14.6 (b)) el objeto de hierro se habrá magnetizado. Es lo que ocurre cuando juntamos un

clavo con un imán. Al separarlos el clavo ha quedado magnetizado y se comporta también

como un imán. El movimiento térmico ordinario hace que la mayor parte o todos los

dominios del clavo regresen a un ordenamiento aleatorio. Pero si el campo del imán

permanente es muy intenso, el clavo puede conservar algo de magnetismo permanente

propio, después de separarlo del imán.

Los imanes permanentes se fabrican colocando piezas de hierro o de aleaciones de hierro en

campos magnéticos intensos. Otra forma de obtener un imán permanente se logra frotando un

trozo de hierro con un imán. El frotamiento alinea los dominios en el hierro. Si se deja caer

un imán permanente, o si se calienta, algunos dominios se separan del alineamiento general y

el imán se debilita.

Figura 14.6: (a) Vista microscópica de los dominios en un material magnético (por ej,

hierro). Cada dominio consiste en miles de millones de átomos de hierro alineados entre sí.

Las flechas apuntan en direcciones distintas, lo cual indica que los dominios no están

alineados entre sí. (b) Al colocar el material magnético en una región con un campo

magnético B0, los dominios se alinean con el campo, el material se magnetiza.

132

Cuando se coloca un trozo de hierro (núcleo magnético) en el interior de la bobina de un

electroimán, el campo magnético de la bobina alinea los dominios magnéticos del hierro, los

cuales contribuyen a aumentar el campo magnético total. Pero una vez que los dominios están

todos alineados, el campo no aumenta más. Por lo tanto, la intensidad de los electroimanes

está limitada por el calentamiento de las bobinas conductoras de electricidad (por su

resistencia eléctrica) y por la saturación de los dominios del núcleo. Para lograr campos más

intensos hay que recurrir al uso de bobinas superconductoras, sin núcleos de hierro, a través

de las cuales fluye con facilidad una corriente muy grande.

En un superconductor no hay resistencia eléctrica que limite el flujo de cargas eléctricas, por

lo tanto no hay calentamiento aunque pasen corrientes enormes. Los electroimanes que usan

bobinas superconductoras producen campos magnéticos extremadamente intensos, y lo hacen

en forma económica porque no hay pérdidas por calor. (aunque se usa energía para

mantenerlos refrigerados). En los hospitales se usan imanes superconductores en los aparatos

de imágenes por resonancia magnética.

14. 6 Magnetismo terrestre

Si un imán se suspende de un hilo, siempre se orienta en la misma dirección, y todos los

imanes en la misma dirección. Teniendo en cuenta que el polo norte de un imán se atrae con

el polo sur de otro, y viceversa, podemos afirmar que la Tierra es un imán gigante. La brújula

se alinea con el campo magnético de la Tierra.

Sin embargo, los polos magnéticos terrestres no coinciden con los polos geográficos. En el

hemisferio norte, el polo magnético está a unos 1,800 km del polo geográfico, en algún lugar

de la Bahía de Hudson en el norte de Canadá. El otro polo está al sur de Australia. Esto

quiere decir que las brújulas no apuntan hacia el norte verdadero.

Si bien no se sabe a ciencia cierta por que la Tierra es un imán, está posiblemente

relacionando con las corrientes eléctricas de convección en las profundidades de la Tierra.

Figura 14.7: Líneas de campo magnético terrestre.

133

14. 7 Campos magnéticos en el cuerpo humano

La actividad eléctrica de los nervios y los músculos origina corrientes eléctricas en el

organismo. En los lugares donde esas corrientes llegan a la superficie

del cuerpo generan una diferencia de potencial que pueden medirse

mediante electrodos aplicados a la piel. Un electrocardiograma es la

representación grafica en función del tiempo de la diferencia de

potencial producida por el corazón, mientras que un

electroencefalograma es la representación grafica en función del

tiempo de la diferencia de potencial producida por el cerebro.

Los potenciales medidos se relacionan de forma indirecta con la

actividad eléctrica del órgano interno. Ello se debe a que la piel

conduce mal la electricidad, y solo una pequeña fracción de la

corriente generada por el órgano llega a la superficie. Para estudiar

más directamente la corriente de los órganos se han desarrollado

instrumentos que pueden detectar los campos magnéticos que generan

estas corrientes.

Las corrientes relativamente intensas del corazón producen campos

magnéticos de aproximadamente unos 10-6

G, las corrientes menos

intensas del cerebro producen campos del orden de 10-8

G. Estos

campos tan débiles comparados con el campo magnético terrestre (0,5

G) o el campo producido por la corriente de la instalación eléctrica

(10-4

G) necesitan técnicas especiales para ser detectados.

Figura 14.8

La Figura 14.8 muestra un magnetocardiograma (MCG) hecho en un punto situado

directamente sobre el corazón, y un electrocardiograma (ECG) típico. Los dos cardiogramas

muestran estructuras semejantes pero con magnitudes relativas diferentes.

14. 8 Terapia magnética

En el siglo XVIII un “magnetizador” célebre de Viena, Franz Mesmer, llevó los imanes a

París y se estableció como curandero de la sociedad parisina. Curaba a los pacientes haciendo

oscilar bandas magnéticas sobre la cabeza.

Benjamín Franklin estaba de visita en París, como representante de Estados Unidos, y

comenzó a sospechar que los pacientes de Mesmer realmente mejoraran con ese ritual,

porque se apartaban de las prácticas de entonces, que consistían en sacar sangre por medio de

ventosas. Ante las insistencias de la comunidad médica, el rey Luis XVI contrató a una

comisión real que investigara las afirmaciones de Mesmer. En la comisión estuvieron

Franklin y Antoine Lavoisier, el fundador de la química moderna. Los comisionados

diseñaron una serie de pruebas, en las que algunas personas pensaban que estaban recibiendo

el tratamiento de Mesmer, sin recibirlo; mientras que otros recibieron el tratamiento, pero se

les hizo creer que no lo recibían. Los resultados de tales experimentos ciegos demostraron,

sin lugar a dudas, que el éxito de Mesmer solo se debía al poder de la sugestión. En la

actualidad se considera que este informe es un modelo de claridad y raciocinio. La reputación

de Mesmer se esfumó y se retiró a Austria.

134

Aunque hay muchos testimonios acerca de los beneficios de los imanes, no hay ninguna

prueba científica de que éstos refuercen la energía del organismo o de que combatan el dolor.

Sin embargo, en las tiendas y en los catálogos se venden millones de imanes terapéuticos.

Los clientes compran pulseras, plantillas, bandas para la muñeca y la rodilla, soportes para la

espalda y cuello, almohadones, colchones, lápiz labial y hasta agua. Los vendedores dicen

que sus imanes tienen poderoso efectos sobre el cuerpo, principalmente porque aumentan el

flujo sanguíneo a las áreas lesionadas. La idea de que la sangre es atraída por un imán es pura

palabrería, porque el hierro de las moléculas de hemoglobina no es ferromagnético y no es

atraído por un imán. Además, la mayoría de los imanes que se venden con fines terapéuticos

son del tipo de los que se usan para sujetar papeles en las puertas de las heladeras, con

alcance muy limitado. Para tener una idea de lo rápido que se desvanece el campo de esos

imanes, basta con fijarse cuantas hojas de papel pueden sujetar sobre la heladera o sobre

cualquier superficie de hierro. El imán se caerá cuando lo separen unas cuantas hojas de

papel. El campo no pasa mucho más de un milímetro, y no penetra en la piel, y mucho menos

en los músculos. Y aún cuando lo hiciera, no hay pruebas científicas de que el magnetismo

tenga algunos efectos benéficos sobre el organismo.

14. 9 Imagen de resonancia magnética

El escáner de imagen de resonancia magnética (IRM) produce fotografías de alta resolución

de los tejidos en el interior del organismo. Unas bobinas superconductoras producen un

campo magnético intenso (≈ 3 Teslas) que se usa para alinear los protones de los átomos de

hidrógeno (H) que se encuentran en el cuerpo del paciente.

Al igual que los electrones, los protones tienen “espín” y se alinean con el campo magnético.

A diferencia de una brújula que se alinea con el campo magnético terrestre, el eje de un

protón oscila en torno al campo magnético aplicado. A los protones que oscilan se les golpea

con un impulso de ondas de radio, sintonizadas de forma tal que empujen al eje de giro del

protón hacia un lado, perpendicular al campo magnético aplicado. Cuando las ondas de radio

pasan y los protones regresan con rapidez a su comportamiento de oscilación, emiten señales

electromagnéticas débiles, cuya frecuencia depende del entorno químico en el que se

encuentra el protón. Las señales son captadas por un sensor y analizadas por una

computadora, y revelan densidades variables de átomos de H en el organismo y sus

interacciones con los tejidos vecinos. En las imágenes se distinguen el tejido del hueso.

Figura 14.9: Imagen IRM Figura 14.10: Equipo para estudios por IRM

135


1) Si se arma una espira con un alambre que transporta corriente, (a) ¿Por qué el campo

magnético es más intenso en el interior de la espira? (b) ¿Si el número de espiras se duplica,

que pasa con el campo magnético?


a) La magnitud del campo magnético generado por un alambre conductor rectilíneo y

largo es proporcional a la corriente que circula por el conductor e inversamente proporcional

a la distancia.

b) Las líneas de campo magnético generado por un cable paralelo que transporta una

corriente eléctrica son cerradas y concéntricas al cable.

c) Un imán no puede atraer a un pedazo de hierro que no sea un imán.

d) Cuando introducimos un pedazo de hierro dentro de un electroimán el campo

magnético dentro del electroimán aumenta.

e) Cerca del polo norte geográfico de la Tierra se encuentra su polo sur magnético.

3) ¿A qué se debe que ciertos trozos de hierro se comporten como imanes y otros no?

4) ¿Por qué aumenta la intensidad del campo magnético en el interior de una bobina que

transporta corriente si le introducimos un trozo de hierro?

5) El escáner de imagen de resonancia magnética produce fotografías de alta resolución de

los tejidos en el interior del organismo. Para ello, se utiliza un campo magnético intenso para

alinear los protones de los átomos de hidrógeno en el organismo del paciente. El tubo

horizontal en el que se introduce al paciente está rodeado por un imán superconductor.

Cuanto mayor es el campo magnético, mayor es la resolución de la imagen. La intensidad del

mismo puede alcanzar los 3 Teslas. ¿A cuántas veces el campo magnético de la Tierra

equivale?

136

Capítulo 15: Sonido

15.1 Ondas

La mayoría de la información acerca de lo que nos rodea nos llega en forma de ondas. Es a

través del movimiento ondulatorio que el sonido llega a nuestros oídos, la luz a nuestros ojos

y la radiación electromagnética a la radio y a la TV. A través del movimiento ondulatorio se

puede transferir energía de una fuente hacia un receptor, sin transferir materia entre esos dos

puntos. Una onda es una perturbación física que transmite energía, pero que no transmite

materia.

Entenderemos mejor el movimiento ondulatorio si examinamos el caso de una cuerda

horizontal estirada. Si se sube y baja un extremo de esa cuerda, a lo largo de ella viaja una

perturbación. Cada partícula de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo, en tanto que la

perturbación recorre la cuerda (el medio). La cuerda regresa a su estado inicial después de

haber pasado la perturbación. Lo que se propaga es la perturbación y no la cuerda misma.

En una onda, no hay transporte de materia, aunque sí de energía. Por ejemplo, cuando en un

estadio los espectadores hacen la “ola”, cada uno de ellos permanece en su posición mientras

la ola se propaga recorriendo las gradas.

Figura 15.1: Ondas transversales que se propagan a lo largo de una cuerda. Las flechas

verticales indican el movimiento de las partículas que forman la cuerda.

15.2 Tipos de ondas

El proceso físico implicado en la perturbación inicial que da lugar a la onda puede ser muy

variado. La luz y el sonido son los dos ejemplos más habituales de ondas electromagnéticas y

mecánicas, respectivamente. En las ondas mecánicas la perturbación corresponde a algún

tipo de movimiento o vibración. Además del sonido, son ondas mecánicas las ondas en

cuerdas, resortes, ondas en la superficie de un líquido, las ondas sísmicas, etc. En el caso de

las ondas electromagnéticas, la perturbación que se transmite son campos eléctricos y

magnéticos oscilantes. Además de la luz, son ondas electromagnéticas las ondas de radio,

TV, radiaciones ultravioletas, los rayos X, etc.

Ondas transversales: son aquellas en las que el movimiento de la perturbación es transversal

respecto a la dirección hacia donde viaja la onda (dirección de propagación). Son ejemplos de

ondas transversales las que se propagan en una cuerda, las ondas en las cuerdas tensas de los

137

instrumentos musicales, y sobre la superficie de los líquidos. También las ondas

electromagnéticas son ondas transversales

Ondas longitudinales: son aquellas en las que el movimiento de la perturbación se produce

en la misma dirección en la que se propaga la onda. Las ondas sonoras son longitudinales.

Figura 15.2: Ondas longitudinales (arriba) y ondas transversales (abajo) en un resorte.

15.3 Descripción de una onda

La fuente de todas las ondas es algo que vibra. La rapidez de repetición de una vibración se

describe por su frecuencia, que es la cantidad de vibraciones por unidad de tiempo. Por

ejemplo, la frecuencia de un péndulo oscilante indica la cantidad de oscilaciones o

vibraciones que efectúa en un segundo. Si en un segundo hay dos vibraciones, la frecuencia

es de dos vibraciónes por segundo. La unidad de frecuencia es el Hertz (Hz). Una vibración

por segundo es 1 Hz, dos vibraciones por segundo son 2 Hz, y así siguiendo. Las frecuencias

mayores se miden en kilohertz (kHz, miles de hertz) o aún mayores megahertz (MHz,

millones de hertz) o gigahertz (GHz, miles de millones de hertz). Las ondas de radio AM se

miden en kHz, en tanto que las de FM en MHz. El radar y los hornos a microondas funcionan

con ondas de frecuencias de GHz. Así, una radio AM de 750 kHz transmite ondas cuya

frecuencia es de 750.000 vibraciones por segundo. Estas frecuencias de las ondas de radio

son las que tienen los electrones que son forzados a vibrar en la antena de una torre emisora

de una estación de radio. La frecuencia de la fuente vibratoria y de la onda que produce son

iguales.

La longitud de onda es la distancia entre cualesquiera dos partes idénticas sucesivas de una

onda (señalada con la letra en la Figura 15.1). Cuanto más corta es la longitud de onda, más

alta es la frecuencia. Por ejemplo, una radio de frecuencia de 1 Mhz tiene una longitud de

onda de aproximadamente 300 metros. Los hornos de microondas utilizan una frecuencia de

2,45 Ghz y tienen una longitud de onda de 12 centímetros.

El período de una onda es el tiempo que tarda en completar una vibración. Si se conoce la

frecuencia, se puede determinar el período y viceversa:

período = 1/ frecuencia

Las ondas se propagan a una velocidad que está relacionada con su longitud de onda y su

frecuencia o período de la siguiente manera:

velocidad = longitud de onda/período = longitud de onda × frecuencia

Por ejemplo, las ondas sonoras de cualquier frecuencia se propagan en el aire a la misma

velocidad, que es aproximadamente de 340 m/s. Las ondas electromagnéticas de cualquier

frecuencia se propagan con la misma rapidez que la rapidez de la luz visible, esto es, a

138

aproximadamente 300.000 km/s. En cualquiera de los casos, dado que la velocidad de

propagación es la misma, cuanto mayor sea la frecuencia de la onda, menor será su longitud

de onda.

A los puntos más altos de la curva que representa a la onda se les llama crestas (Fig. 15.1), y

a los puntos bajos, valles. La amplitud es la distancia del punto medio de la onda a la cresta

(o al valle) de la misma. Representa el desplazamiento máximo respecto al equilibrio.

15.4 Ondas sonoras

La mayoría de los sonidos son ondas producidas por las vibraciones de objetos materiales.

En un piano, un violín o una guitarra, el sonido se produce por las cuerdas en vibración, en un

saxofón por la lengüeta vibratoria, en una flauta por una columna vacilante de aire en la

embocadura. La voz se debe a vibraciones de las cuerdas vocales.

En cada uno de estos casos, la vibración original estimula la vibración de algo mayor o más

masivo, como la caja de resonancia de un instrumento de cuerdas, la columna de aire de la

lengüeta del instrumento de viento, o el aire en la garganta y la boca del cantante. Este

material en vibración manda, entonces, una perturbación por el medio que la rodea, que

normalmente es aire, en forma de ondas longitudinales. En condiciones ordinarias, son

iguales la frecuencia de la fuente de vibración y la frecuencia de las ondas sonoras que se

producen.

Describimos nuestra impresión subjetiva de la frecuencia del sonido con la palabra altura. La

frecuencia corresponde a la altura: un sonido alto o agudo tiene frecuencia alta de vibración;

en tanto que un sonido bajo o grave tiene baja frecuencia de vibración.

El oído de una persona joven capta normalmente frecuencias en el rango 20 a 20.000 hertz.

Conforme vayamos madurando, se contraen los límites de este intervalo de audición, en

especial en el extremo de alta frecuencia. Este límite superior puede caer hasta los 8.000 Hz a

los 60 años. Las ondas sonoras con frecuencias menores a 20 Hz son infrasónicas, y las

superiores a 20.000 Hz son ultrasónicas. Muchos animales son capaces de percibir

ultrasonidos.

15. 5 Naturaleza del sonido en el aire

Una onda sonora es una perturbación que se lleva a cabo en un gas, líquido o sólido (en el

vacío no existe el sonido) y que viaja alejándose de la fuente que la genera con una velocidad

definida que depende del medio en el que está viajando. Las vibraciones provocan

incrementos locales de presión respecto a la presión atmosférica llamados compresiones, y

decrementos locales llamados rarefacciones; los cambios de presión ocurren en la misma

dirección en la que viaja la onda, pueden verse como cambios de densidad y como el

desplazamiento de los átomos y moléculas de sus posiciones de equilibrio (Fig. 15.3).

Por ejemplo, el parlante de una radio es un cono de papel que vibra al ritmo de una señal

electrónica. Las moléculas de aire cercanas al cono se ponen en vibración. Este aire, a la vez,

vibra contra las partículas vecinas, que a la vez hacen lo mismo y así sucesivamente. El aire

en vibración que resulta pone en vibración los tímpanos que a la vez envían cascadas de

impulsos eléctricos rítmicos por el canal del nervio auditivo hasta el cerebro.

139

Cuando aplaudimos, el sonido que se produce no es periódico. Está formado por un pulso

ondulatorio que se propaga en todas direcciones. El pulso perturba al aire. Cada partícula del

aire se mueve hacia delante y hacia atrás a lo largo de la dirección de la onda que se expande.

Rapidez del sonido en el aire: La rapidez del sonido depende de las condiciones del viento, la

temperatura y la humedad. No depende ni de la intensidad ni de la frecuencia del sonido;

todos los sonidos se propagan con la misma rapidez. La rapidez del sonido en aire seco a 0 ºC

es de 330 m/s. Por cada grado de aumento de temperatura sobre 0ºC, la rapidez del sonido

aumenta 0,6 m/s. Así, en el aire a la temperatura normal de 20ºC, el sonido se propaga a 340

m/s.

Medios que transmiten el sonido: La mayoría de los sonidos que escuchamos se trasmiten a

través del aire. El sonido no se propaga en el vacío porque para propagarse necesita de un

medio. Si no hay nada que se comprima o expanda, no puede haber sonido. Pero cualquier

sustancia elástica (sólida, líquida, gas o plasma) puede transmitir el sonido. La elasticidad es

la propiedad que tiene un material para cambiar de forma en respuesta a una fuerza aplicada,

para regresar después a su forma inicial cuando se retira la fuerza de distorsión. En este

sentido, el acero es una sustancia elástica, y la masilla es inelástica. En los líquidos y sólidos

elásticos, los átomos están relativamente cerca entre sí y responden con rapidez a los

movimientos relativos, y transmiten energía con baja pérdida. Por eso no es de extrañar que

el sonido se propague con mayor rapidez en sustancias que tengan mayor interacción entre

sus átomos o moléculas. La rapidez del sonido es, en general, mayor en los sólidos que en

los líquidos, y mayor en los líquidos que en el aire. El sonido se propaga unas 5 veces más

rápido en el agua que en el aire, y unas 15 veces más rápido en el acero que en el aire. En los

materiales sólidos, es el módulo de Young (E) el que caracteriza las propiedades elásticas del

material y, por ende, la velocidad de propagación de las ondas acústicas depende de E.

Cuanto mayor sea E mayor es la velocidad de propagación. Además, el sonido no sólo se

propaga más rápido en los sólidos, sino que la atenuación es menor.

Como los seres vivos están constituidos en gran parte por agua, la rapidez de propagación de

ondas acústicas a través de los tejidos orgánicos viene determinada por las propiedades de

propagación en agua. Como la sangre y los tejidos blandos tienen propiedades parecidas

(densidad y módulo de compresibilidad), la rapidez de propagación del sonido es muy similar

(agua: 1500 m/s para agua, sangre: 1570 m/s).

Figura 15.3: Onda sonora en un medio donde se crean zonas de compresión y de rarefacción

15. 6 Intensidad sonora

La intensidad I de una onda es la energía que atraviesa un área unidad en la unidad de tiempo,

o sea, la potencia por unidad de área. Se mide en Watts/m2.

140

El oído humano responde a intensidades de ondas sonoras que abarcan el amplio intervalo

desde 10-12

W/m2 (umbral de audición) hasta 1 W/m

2 (umbral del dolor). Por ser tan grande

este intervalo, las intensidades se escalan en factores de 10, y a la intensidad de 10-12

W/m2.

Así, la intensidad sonora se mide en escala decibélica (dB). En esta escala, al nivel de

intensidad de un sonido de intensidad 10-12

W/m2

se le asigna 0 dB. Un sonido 10 veces más

intenso que éste (10-11

W/m2) tiene 10 dB de intensidad en esta escala. Un sonido de 20 dB

(10-10

W/m2) es 100 veces mayor, o 10

2 veces la intensidad del umbral de audición. Un

sonido de 60 dB (10-6

W/m2) representa una intensidad sonora de 10

6 veces mayor que 0 dB.

Tabla I: Fuentes frecuentes de sonido y sus intensidades

Fuente del sonido Intensidad

(W/m2)

Nivel de sonido

(dB)

Avión a reacción a 30 m de distancia 102 140

Taladro neumático a 2 m (umbral del dolor) 1 120

Música en reproductor de discos, amplificada 10-1

115

Taller de maquinaria 10-2

100

Tráfico intenso 10-5

70

Conversación en casa 10-6

60

Radio con bajo volumen 10-8

40

Susurro 10-10

20

Murmullo de las hojas 10-11

10

Umbral de audición 10-12

0

15.7 Sonidos de aplicación en medicina

Muchas de las actividades del cuerpo humano producen ondas acústicas, en su mayor parte

de baja frecuencia, que transmiten información sobre los procesos y órganos que originan

esas ondas. La auscultación o escucha de los sonidos de origen fisiológico constituye un

método de diagnóstico utilizado habitualmente. El estetoscopio actúa como amplificador de

las ondas acústicas y es utilizado para facilitar la auscultación.

Ultrasonidos: los ultrasonidos corresponden a ondas acústicas de frecuencia superior al valor

máximo audible por los seres humanos (frecuencias > 20.000 Hz). Pueden ser producidos por

transductores piezoeléctricos (materiales donde un campo eléctrico variable provoca la

oscilación del material, lo que da lugar a una onda acústica), generándose con facilidad

ultrasonidos de frecuencias del orden de los MHz.

Los ultrasonidos se propagan con relativa facilidad a través de los diferentes tejidos

orgánicos, aunque su intensidad disminuye exponencialmente con la distancia recorrida

(siendo el coeficiente de absorción diferente para cada tipo de tejido (ver tabla II)).

Como ocurre con cualquier onda, los ultrasonidos se reflejan parcialmente al cambiar de un

medio de propagación a otro. Por tanto, si se envía un pulso ultrasónico a través del

organismo, sufrirá una reflexión parcial al pasar de un tejido a otro, dando lugar a un "eco"

que puede ser detectado externamente por medio de otro detector piezoacústico (donde ahora,

la onda acústica genera una señal eléctrica que se envía a un medio de registro. Mediante

dicho procedimiento se puede obtener información de los tejidos por los que han pasado los

ultrasonidos y, partir de ella, reconstruir una imagen del organismo, lo que constituye una

ecografía. Típicamente, la energía utilizada es muy baja, (pocos mW/cm2) lo que resulta

141

inocuo para el organismo, permitiendo incluso el examen del feto durante la etapa de

gestación, en la que el uso de técnicas basadas en rayos X resultaría peligroso.

Además de su aplicación en técnicas de imagen, los ultrasonidos pueden utilizarse también,

amentando su energía, para proporcionar calor (energía) a los tejidos absorbentes (por

ejemplo, huesos y articulaciones, donde el coeficiente de absorción es elevado) o incluso para

provocar la ruptura mecánica y la destrucción selectiva de algunas estructuras o tejidos

orgánicos, para lo que se utilizan densidades de potencia del orden de 103 W/cm

2.

Tabla II: Propiedades acústicas de algunos tejidos orgánicos a frecuencias ultrasónicas (f= 1 MHz)

Material Velocidad de

propagación

(m/s)

Coeficiente de absorción

(cm-1

)

Aire 330 0

Agua 1.480 5 x 10-4

Cerebro 1.530 0,2

Músculo 1.580 0,26

Grasa 1.450 0,1

Hueso 4.000 2,6


1) ¿Cuál es la frecuencia en hertz que corresponde a cada uno de los siguientes períodos? (a)

0.10 s, (b) 5 s. (Rta.: (a) 10 Hz)

2) ¿Cuál es el período en segundos que corresponde a cada una de las siguientes frecuencias:

(a) 10 Hz, (b) 0,2 Hz? (Rta.: (a) 0.10 s)

3) Si se abre una llave de gas durante unos pocos segundos, alguien que esté a un par de

metros oirá el escape de gas, mucho antes de captar su olor. ¿Qué indica esto acerca de la

rapidez del sonido y del movimiento de las moléculas en el medio que lo transporta?

4)¿Cuál es la longitud de una onda de ultrasonido de 34 kHz en el aire? Velocidad del sonido:

340 m/s. (Rta.: 1 cm)

5) Las frecuencias más altas que pueden escuchar los humanos son de unos 20000 Hz ¿Cuál

es la longitud de la onda sonora en el aire a esta frecuencia? ¿Cuál es la longitud de onda más

grave que podemos escuchar, con unos 20 Hz? Velocidad del sonido: 340 m/s.

6) El oído humano puede detectar sonidos con intensidades que van desde 10-12

a 1 W/m2. ¿A

qué rango de niveles de intensidad en escala decibélica corresponden? (Rta.: Desde 0 a 120

dB)

7) (a) ¿Cuántas veces más intenso es un sonido de 40 dB que uno de 0 dB? (b)¿Cuántas veces

más intenso es un sonido de 110 dB que uno de 50 dB? (Rta.: (a) 104 veces, (b) 10

6 veces)

8) Un paciente sometido a un tratamiento de ultrasonoterapia recibe de forma continua 1

W/cm2 aplicado a través de un cabezal de 5 cm

2 durante 10 minutos. (a) ¿Cuántos Joules de

energía recibe? (b) Si la zona tratada es de 80 cm2 ¿Cuántos Joules corresponden por cada

cm2? (Rta.: (a)3000 J. (b) 37,5 J por cm

2)

142

Capítulo 16: Ondas electromagnéticas y radiación

16.1 Ondas electromagnéticas

Si se agita con una varilla dentro de agua en reposo se producirán ondas en su superficie. De

manera análoga, si se agita una varilla cargada eléctricamente en el espacio vacío se

producirán ondas electromagnéticas. Esto se debe a que la carga en movimiento es una

corriente eléctrica y por ende está rodeada por un campo magnético. Como la corriente

eléctrica cambia, el campo magnético varía. Y un campo magnético variable produce un

campo eléctrico. Si el campo magnético oscila, el campo eléctrico que genera oscila también.

Y un campo eléctrico oscilante induce a su vez un campo magnético oscilante. Los campos

eléctrico y magnético se regeneran entre sí y forman una onda electromagnética que se aleja

de su fuente, esto es, de la carga vibrante. Las ondas electromagnéticas se caracterizan por su

longitud de onda, frecuencia o energía. Los tres parámetros se relacionan entre sí. La

frecuencia de una onda electromagnética es el número de veces que cambia el sentido del

campo electromagnético en la unidad de tiempo en un punto dado. La energía que transporta

una onda electromagnética es proporcional a su frecuencia. La longitud de onda de las ondas

electromagnéticas es la distancia entre dos lugares consecutivos donde los campos eléctrico y

magnético oscilantes alcanzan su máxima amplitud. Cuanto mayor sea la longitud de onda,

menor será la frecuencia de la onda.

Las ondas electromagnéticas de cualquier frecuencia se propagan con la misma velocidad que

la de la luz visible, esto es, a 300.000 km/s.

16.2 Espectro electromagnético

La clasificación de las ondas electromagnéticas (EM) según su frecuencia es el espectro

electromagnético (ver Fig. 16.1). Las ondas EM de frecuencias de varios miles de hertz (kHz)

se consideran ondas de radio de muy baja frecuencia. La banda de TV, de ondas de muy alta

frecuencia (VHF), comienza en unos 50 MHz, en tanto que las ondas de radio FM van de 88

a 108 MHz.

Después vienen las frecuencias ultra altas (UHF), seguidas de las microondas, más allá de las

cuales están las ondas infrarrojas. Más adelante está la luz visible, que forma menos de la

millonésima parte del 1% del espectro EM medido. Las frecuencias máximas de la luz visible

tienen casi el doble de la frecuencia del rojo, y son violetas. Las frecuencias aún mayores son

las ultravioletas, que son las que causan quemaduras al tomar sol. Las frecuencias mayores

que el ultravioleta se extienden hasta las regiones de los rayos X y los rayos gamma.

El rango de variación de frecuencias se traduce automáticamente en un rango igual de amplio

para las longitudes de onda, que varían desde dimensiones del núcleo atómico para rayos

gamma, hasta longitudes de cientos de kilómetros para las ondas de radio, y mayores aún para frecuencias más bajas. Estas diferencias en longitud de onda tienen importancia decisiva

en las propiedades de propagación, en la relación con la existencia (o no) de fenómenos de

difracción, y que se producen cuando las ondas encuentran obstáculos de dimensiones

comparables a su longitud de onda.

143

Figura 16.1: Espectro electromagnético

16.3 Radiaciones electromagnéticas y su efecto sobre la salud

El fenómeno de la radiación consiste en la propagación de energía en forma de ondas

electromagnéticas o partículas subatómicas a través del vacío o de un medio material. Las

radiaciones que estudiaremos en este capítulo serán las propagadas en forma de ondas

electromagnéticas, que llamamos radiaciones electromagnéticas.

En el entorno en que vivimos, hay campos electromagnéticos por todas partes. Sin embargo,

el avance del conocimiento de la humanidad en el siglo XX se ha traducido en un aumento de

los campos electromagnéticos debido a la demanda de electricidad, las tecnologías

inalámbricas y los cambios laborales y sociales. Todos estamos rodeados de un entramado de

campos eléctricos y magnéticos en el hogar y en el trabajo. La diferencia fundamental entre

unas radiaciones electromagnéticas y otras es su frecuencia; cuanto más elevada es su

frecuencia mayor es la cantidad de energía que transporta la onda. Así, podemos dividirlas en

radiaciones ionizantes y radiaciones no ionizantes.

Las radiaciones ionizantes transmiten energía suficiente como para romper los enlaces

químicos (ionización). Daños importantes en el material genético de la célula, el ADN,

pueden matar a las propias células quedando el tejido lesionado o muerto. Daños menores en

el ADN pueden provocar cambios permanentes en las células que pueden conducir al cáncer.

Las células de los tejidos vivos están formadas por moléculas de estructuras intrincadas en el

seno de una salmuera acuosa, rica en iones. Cuando la radiación ionizante encuentra esta

“sopa” muy ordenada, produce caos a escala atómica. Los rayos ionizantes ceden su energía a

electrones o iones, que pueden vagar por los tejidos rompiendo más enlaces moleculares o

pueden formar otras moléculas que pueden ser inútiles o dañinas para las células.

Las células pueden reparar la mayoría de los daños moleculares, si la radiación no es

demasiado intensa. Una célula puede sobrevivir a una dosis letal de radiación si se reparte

durante largo tiempo, para permitir intervalos de recuperación o cicatrización. Cuando la

radiación es suficiente como para matar las células, las células muertas se pueden reponer con otras nuevas. Una excepción importante son casi todas las células nerviosas, que son

irremplazables. A veces, una célula irradiada sobrevive con una molécula dañada de ADN.

Cuando se reproduce la célula dañada, su información genética defectuosa se transmitirá a las

células descendientes, y se presentará una mutación celular. En general, las mutaciones son

insignificantes, pero si son importantes probablemente den como resultado células que no

funcionen tan bien como las que fueron dañadas. Un cambio genético así podría formar parte

de la causa de un cáncer que se desarrollará más adelante. En casos raros una mutación

144

producirá una mejora: pequeñas mutaciones que la naturaleza seleccionó por sus

contribuciones a la supervivencia, a lo largo de miles de millones de años, han dado como

resultado organismos más complejos (como nosotros por ejemplo).

Son radiaciones ionizantes los rayos gamma producidos por la desintegración de materiales

radioactivos, los rayos X y la radiación ultravioleta de alta frecuencia. La más penetrante y

en consecuencia contra la que se protege con más dificultad es la radiación gamma. Eso,

combinado con la capacidad que tiene de interactuar con el organismo, la hace

potencialmente la más dañina. Se debe reducir al mínimo la exposición a ella.

A diferencia de las radiaciones ionizantes localizadas en la parte más alta del espectro

electromagnético, el resto de los campos electromagnéticos son demasiado débiles para

producir daño a las moléculas que forman nuestras células y por lo tanto no producen

ionización. Es por esto que se llaman radiaciones no ionizantes (ondas de baja frecuencia;

ondas de radio; microondas; infrarrojo, visible y ultravioleta de frecuencia infra-ionizante).

Las radiaciones no ionizantes, aún cuando sean de alta intensidad, no pueden causar

ionización en un sistema biológico. Sin embargo, se ha comprobado que esas radiaciones

producen otros efectos biológicos, como por ejemplo calentamiento, alteración de las

reacciones químicas o inducción de corrientes eléctricas en los tejidos y las células. Por

ejemplo, las ondas infrarrojas inducen vibraciones de los átomos y moléculas de los

materiales, provocando su calentamiento, y a ellas se debe la sensación de “calor” que nos

proporciona la luz solar o una lámpara. Algunos efectos biológicos pueden ser inocuos, como

por ejemplo la reacción orgánica de incremento del riego sanguíneo cutáneo en respuesta a un

ligero calentamiento producido por el sol. Algunos efectos pueden ser provechosos, como por

ejemplo la sensación cálida de la luz solar directa en un día frío, o incluso beneficiosos para

la salud, como es el caso de la función solar en la producción de vitamina D por el

organismo. Sin embargo, otros efectos biológicos, como son las quemaduras solares o el

cáncer de piel, resultan perjudiciales para la salud.

16.4 Campos electromagnéticos y salud

Los campos electromagnéticos de frecuencias menores a la radiación infrarroja se pueden

dividir en campos eléctricos y magnéticos de baja frecuencia, campos de frecuencia

intermedia y campos de alta frecuencia o radiofrecuencia. Entre las fuentes comunes de

campos de radiofrecuencias cabe citar las siguientes: monitores y pantallas (3 - 30 kHz),

aparatos de radio de amplitud modulada (30 kHz - 3 Mhz), calentadores industriales por

inducción (0,3 - 3 MHz), termoselladores, aparatos para diatermia quirúrgica (3 - 30 Mhz),

aparatos de radio de frecuencia modulada (30 - 300 Mhz), teléfonos móviles, receptores de

televisión, hornos microondas, aparatos para diatermia quirúrgica (0,3 - 3 Ghz), aparatos de

radar, dispositivos de enlace por satélite, sistemas de comunicaciones por microondas (3 - 30

Ghz) y radiaciones solares (3 - 300 Ghz).

Los campos de radiofrecuencias de más de 10 Ghz son absorbidos por la superficie de la piel, y es muy poca la energía que llega hasta los tejidos interiores. La cantidad dosimétrica básica

para campos de radiofrecuencias de más de 10 Ghz es la intensidad del campo medida como

densidad de potencia en watts por metro cuadrado (W/m2) o, para campos más débiles, en

miliwatts por metro cuadrado (mW/m2) o en microwatts por metro cuadrado ( W/m

2). Para

que la exposición a campos de más de 10 Ghz produzca efectos perjudiciales para la salud,

tales como catarata ocular y quemaduras cutáneas, se requieren densidades de potencia

superiores a 1.000 W/m2. Esas potencias, que no tienen lugar en la vida diaria, se producen en

145

las inmediaciones de radares potentes, pero las normas vigentes en materia de exposición

prohíben la presencia humana en esas zonas.

Los campos de radiofrecuencias de 1 Mhz a 10 Ghz penetran en los tejidos expuestos y

producen calentamiento debido a la absorción de energía realizada. La profundidad de

penetración del campo de radiofrecuencias en el tejido depende de la frecuencia del campo,

siendo mayor en el caso de frecuencias bajas. La absorción por los tejidos de energía

procedente de los campos de radiofrecuencias se mide como coeficiente de absorción

específica en una masa tisular determinada. La unidad de absorción específica es el watt por

kilogramo (W/kg). El coeficiente de absorción específica es la cantidad dosimétrica básica

para campos de radiofrecuencias de 1 Mhz a 10 Ghz aproximadamente. Para que se

produzcan efectos perjudiciales para la salud en las personas expuestas a campos situados en

este intervalo de frecuencia, se necesita un coeficiente de absorción específica de 4 W/kg.

Esos niveles de energía se encuentran a decenas de metros de potentes antenas de frecuencia

modulada, situadas en el extremo de altas torres, es decir, en zonas inaccesibles al público en

general. La mayor parte de los efectos perjudiciales para la salud que pueden producirse por

la exposición a campos de radiofrecuencias de 1 Mhz a 10 Ghz se asocian a respuestas a

procesos de calentamiento inducido, cuyo resultado son aumentos de la temperatura

superiores a 10 ºC. El calentamiento inducido en los tejidos corporales puede provocar

diversas respuestas fisiológicas y termorreguladoras, en particular una menor capacidad para

desempeñar tareas mentales o físicas a medida que aumenta la temperatura corporal. El

calentamiento inducido puede afectar al desarrollo del feto. Para que se produzcan anomalías

congénitas es necesario que la temperatura del feto aumente más de 10 ºC durante horas. El

calentamiento inducido puede afectar también a la fecundidad masculina y favorecer la

aparición de cataratas oculares.

Los campos de radiofrecuencias de menos de 1 Mhz no producen calentamientos apreciables.

Más bien inducen corrientes y campos eléctricos en los tejidos, que se miden en función de la

densidad de corriente en amperes por metro cuadrado (A/m2). La densidad de corriente es la

cantidad dosimétrica básica para campos con frecuencias inferiores a 1 Mhz,

aproximadamente. Las numerosas reacciones químicas inherentes a los procesos vitales se

asocian a corrientes normales "básicas" de unos 10 mA/m2. Las densidades de corriente

inducida que excedan de 100 mA/m2 como mínimo pueden perturbar el funcionamiento

normal del organismo y causar contracciones musculares involuntarias.

Los niveles de exposición en las inmediaciones de las antenas de telecomunicaciones pueden

ser altos, pero la población general no tiene acceso a esas zonas. Sólo se superarían los

niveles recomendados si una persona se acercara a menos de uno o dos metros de las antenas.

La exposición a corto plazo a campos electromagnéticos de radiofrecuencia muy intensos

puede ser perjudicial para la salud, pero la exposición a niveles altos está limitada por las

directrices nacionales e internacionales. Según los experimentos realizados con voluntarios

sanos, la exposición a corto plazo a los niveles de los campos electromagnéticos presentes en

el medio ambiente o en el hogar no produce ningún efecto perjudicial. El principal efecto de los campos electromagnéticos de radiofrecuencia, como los emitidos por la telefonía móvil,

es el calentamiento de los tejidos del organismo y la inducción de corrientes eléctricas.

Debe tenerse en cuenta que los teléfonos móviles, al igual que otros muchos aparatos

electrónicos de uso común, pueden causar interferencias en otros equipos eléctricos. Por ello,

se debe obrar con precaución al utilizar esos teléfonos, en particular en las proximidades de

equipo electromédico sensible usado en unidades hospitalarias de cuidados intensivos. En

146

raras ocasiones, los teléfonos móviles pueden asimismo causar interferencias en otros

aparatos médicos, tales como marcapasos cardiacos y audífonos. Los individuos que utilicen

esos aparatos deben ponerse en contacto con su médico para determinar la sensibilidad de sus

productos a esos efectos.

Los campos eléctricos estáticos no penetran en el organismo tanto como los campos

magnéticos, pero pueden percibirse por el movimiento del vello cutáneo. Aparte de las

descargas eléctricas de campos electrostáticos potentes, no parecen tener efectos apreciables

para la salud.

16.5 Exposición a campos electromagnéticos y cáncer

Las sustancias cancerígenas son agentes externos cuya interacción con el organismo produce

la alteración en el control del crecimiento y diferenciación celular originando un cáncer:

dieta, tabaco, virus, radiaciones ionizantes, etc.

Actualmente se dispone de varios estudios científicos realizados sobre habitantes de casas

cercanas a líneas de alta tensión industrial, residentes en domicilios con instalaciones de alta

tensión y trabajadores de la red eléctrica. A pesar de las investigaciones realizadas, la

existencia o no de efectos cancerígenos de los campos electromagnéticos todavía resulta muy

controvertida. Basándose en los criterios establecidos por la Agencia Internacional para la

Investigación del Cáncer de la Organización Mundial de la Salud, se ha concluido que los

campos electromagnéticos de baja frecuencia deben considerarse como “posible carcinógeno

humano”. Se define como posible carcinógeno humano a aquellos agentes cuyo potencial

para desarrollar cáncer está escasamente probado en las personas e insuficientemente probada

en experimentos con animales. Esto significa que no hay pruebas fiables de que la exposición

a campos electromagnéticos de baja frecuencia pueda ser causa de cáncer. En cualquier caso,

es evidente que si realmente producen algún efecto que aumente el riesgo de cáncer, el efecto

es extremadamente pequeño. No ha podido encontrase ninguna prueba científica de que haya

relación causa-efecto entre la exposición a los campos electromagnéticos y un incremento del

riesgo de leucemia. Los resultados obtenidos hasta hoy no han encontrado un aumento del

riesgo de ningún tipo de cáncer, ni en niños ni en adultos. Sí parece existir un mayor riesgo

de leucemia o tumores cerebrales entre los trabajadores de la red eléctrica de alta tensión,

aunque no hay que olvidar que estas personas pueden estar expuestas a otros factores tales

como agentes químicos con poder carcinogénico.

No hay pruebas de que la exposición a los campos electromagnéticos no ionizantes cause

directamente daño en las moléculas de los seres vivos, y en particular en su ADN. Es, pues,

improbable que a los niveles de las normativas actuales los campos electromagnéticos puedan

inducir el desarrollo de cáncer. Hasta que los teléfonos móviles empezaron a usarse de forma

generalizada, la población estaba expuesta principalmente a emisiones de radiofrecuencia de

estaciones de radio y televisión. Los teléfonos móviles funcionan mediante la comunicación

con una instalación fija conocida como estación base (antenas) utilizando como medio de transmisión las ondas electromagnéticas de radiofrecuencia. Cada estación base proporciona

cobertura a una zona determinada y, dependiendo del número de llamadas que gestionan, la

distancia entre las estaciones base puede ser corta en las grandes ciudades o de varios

kilómetros en las zonas rurales. Las antenas emiten un haz muy estrecho de ondas de radio

que se propaga de forma casi paralela al suelo y normalmente se instalan en lo alto de

edificios o en torres; en consecuencia, a nivel del suelo las intensidades de los campos de

radiofrecuencia son muy inferiores a los niveles considerados peligrosos.

147

El usuario de un teléfono móvil, al atender o realizar una llamada, está expuesto a campos de

radiofrecuencia más intensos que los del entorno general, y estos campos pueden transferir

energía en forma de calentamiento. Se ha calculado que la energía absorbida procedente de

un teléfono móvil no supera los límites actualmente recomendados, es decir, la radiación

emitida por el aparato es insuficiente para causar calor significativo en los tejidos del oído o

la cabeza. Se han planteado también dudas sobre otros efectos, llamados “efectos no

térmicos”, producidos por la exposición a las frecuencias de telefonía móvil. A este respecto,

estudios científicos recientes han demostrado que una potencia de emisión de radiofrecuencia

10 veces mayor a las de la telefonía móvil, no produce cambios en los genes reguladores de la

proliferación y muerte celular, cuya alteración es clave para originar un cáncer. Según el

estado actual de la ciencia, no parece que el uso de teléfonos móviles produzca ningún efecto

perjudicial sobre la salud de las personas. No obstante, la investigación, como en otros

campos de la ciencia debe continuar abierta.

16.6 Principios físicos del uso de rayos X en diagnóstico y tratamiento médico

Los rayos X atraviesan materiales sólidos, pueden ionizar el aire y no los desvían los campos

magnéticos. Los rayos X son ondas electromagnéticas con mayor energía (frecuencia) que la

luz visible, por ende de menor longitud de onda. Son emitidos, por lo general, por

desexcitación de los electrones orbitales más interiores en los átomos. Si bien la corriente

electrónica de una lámpara fluorescente excita los electrones externos de los átomos, y

produce radiación ultravioleta y visible, un haz más energético de electrones que choca contra

una superficie sólida excita los electrones más internos y produce radiación de mayor

frecuencia: la radiación X. En un tubo moderno de producción de rayos X, el blanco del haz

de electrones es una placa metálica (Fig. 16.2).

También hay elementos en la naturaleza que emiten rayos X en forma espontánea, como

consecuencia de la desintegración del núcleo atómico. Ejemplo de esto son el uranio, el radio

o el polonio. A este fenómeno se lo conoce como radiactividad.

Los distintos materiales difieren en sus propiedades de absorción o transmisión dependiendo

de la energía de la radiación a la que son expuestos. Por ejemplo, las microondas de altas

frecuencias (2400 MHz) penetran varios centímetros en tejidos biológicos depositando

energía. Esto tiene aplicaciones variadas, que van desde la cocina a microondas a la diatermia

usada en tratamientos de bursitis, artritis y otras inflamaciones.

La absorción de rayos X por material orgánico (constituido por elementos livianos) es

bastante baja, es decir, son bastante transparentes a los rayos X. La absorción de rayos X es

más importante en elementos pesados, que tienen más electrones.

La imagen de una placa radiográfica es la sombra de los átomos que absorben la radiación

(Fig. 16.3). Como los huesos tienen calcio, se ven con mayor facilidad. O sea, los rayos X

pasan con más facilidad a través de los tejidos que de los huesos. Es posible producir imágenes de otros tejidos si se los infiltra con agentes de contraste, que tengan una absorción

diferente.

148


16. 7 Interacción de la radiación con la materia: Absorción y atenuación

Al considerar la incidencia de radiación sobre un material, hay que tener en cuenta los

procesos de: (a) Absorción y (b) Atenuación.

La energía electromagnética que se deposita en los tejidos irradiados es la causante primaria

de los efectos biológicos de la radiación.

(a) Proceso de absorción: es el efecto que produce la imagen. Una radiografía es una sombra

proyectada sobre una placa radiográfica. La absorción depende de dos factores:

1) del número atómico Z del material (número de protones de los átomos constitutivos)

2) del voltaje V aplicado entre lso electrodos del tubo de rayos X, el cual determina cuánta

energía adquirieren los electrones y, en definitiva, la frecuencia (y energía) de los rayos X.

.

Para un voltaje dado, los distintos materiales tienen distinta absorción de los rayos X. En esto

se basa la posibilidad de su uso en producción de imágenes para diagnóstico. Los elementos

más pesados, como el calcio, absorben mucho más que el oxígeno, hidrógeno y carbono. Para

obtener imágenes de tejidos blandos, como en el caso del sistema digestivo, el paciente debe

ingerir compuestos especiales que contengan bario, por ejemplo, que aumentan el contraste

con lo que lo rodea.

(b) Proceso de atenuación: La intensidad de radiación incidente I0 se atenúa según penetra

una distancia x en un material. El valor de la intensidad de salida I, dependerá de la distancia

x, del material que produce la absorción y de la energía de la radiación incidente (Fig. 16.4).

Cuanto más energéticos son los rayos, menos se atenúan. La atenuación ocurre por la

dispersión que sufre la radiación al chocar con los átomos del material. Es decir, los rayos X

se atenúan por transferir parte o toda su energía a la materia con la que están interactuando.

Figura 16.4: Atenuación de radiación al atravesar un material c.

149

Para estimar la cantidad de radiación que penetra cada material y para diseñar la protección

de zonas que no se quieren irradiar, es necesario conocer cuánto se atenúa la intensidad al

atravesar un espesor dado. Para ello, se introduce un valor característico de cada material que

es el espesor para el cual la intensidad se redujo a la mitad del valor incidente (lo vamos a

llamar valor del espesor mitad x1/2, o capa hemirreductora CHR). La CHR depende del

material y de la energía de la radiación.

Para el aluminio, la CHR es x1/2= 2,5 mm, o sea que atravesando un espesor de aluminio de

2,5 mm, la intensidad de los rayos X se reduce a la mitad. Para el plomo, el CHR es x1/2= 0,1

mm, lo cual explica porque se usa el plomo para protección y blindaje. En la tabla I se

muestran valores de CHR para plomo, hormigón y tejido cuando distintos voltajes son

utilizados para acelerar los rayos X.

Si ahora tenemos un espesor igual a 2 veces la CHR la intensidad de la radiación se reducirá

4 veces (al atravesar la primera capa la intensidad se reduce la mitad, y esta intensidad

reducida a la mitad se vuelve a reducir a la mitad al atravesar la segunda capa). Si se agregan

N capas la reducción es de 2N.

Voltaje del

Tubo (kV)

CHR (mm)

Plomo

CHR (mm)

Hormigón

CHR (mm)

tejido

30 0,02 20

60 0,13 4,48 32,0

100 0,15 15,10

120 0,27 17,58 45,0

Tabla: Valores de CHR para plomo, hormigón y tejido con diferentes voltajes.

16.8 Dosimetría de la radiación

Las dosis de radiación se expresan en rads (abreviatura de radiaciones). Un rad es una unidad

absorbida de radiación ionizante. La cantidad de rads indica la cantidad de energía de

radiación absorbida por gramo de material expuesto. Sin embargo, cuando lo que interesa es

la capacidad potencial de la radiación para afectar a los seres humanos, las dosis se miden en

rems.

Una persona promedio está expuesta más o menos a 0,2 rem por año. Esta radiación proviene

del interior del organismo, del suelo, de las construcciones, de los rayos cósmicos, de los

rayos X utilizados en diagnósticos, de la TV, etc. Varía mucho de un lugar a otro en el

planeta, pero es más alta a mayores altitudes, donde la radiación cósmica es más intensa; y es

máxima cerca de los polos, donde el campo magnético de la Tierra no brinda protección

contra los rayos cósmicos.

La dosis letal de la radiación es del orden de 500 rem; esto es, una persona tiene una probabilidad aproximada de 50% de sobrevivir a una dosis de esta magnitud, si la recibe

durante un tiempo corto. En la radioterapia, que es el uso de radiaciones para matar las

células cancerosas, un paciente puede recibir dosis concentradas mayores de 200 rem cada

día, durante semanas. Una radiografía normal de tórax expone a una persona a recibir entre 5

y 30 milirem, menos de la diezmilésima parte de la dosis total. Sin embargo, aún las dosis

pequeñas de radiación pueden producir efectos a largo plazo, debido a las mutaciones en los

tejidos del organismo.

150

Tomando en cuenta todas las causas, la mayoría de nosotros recibirá una exposición de

menos de 20 rem en nuestra vida, durante varias décadas.


1) (a) ¿Cuáles tienen la mayor longitud de onda: la luz visible, los rayos X o las ondas de

radio? (b) ¿Cuál tiene longitud de onda más cortas, la ultravioleta o a infrarroja? ¿Cuál tiene

la mayor frecuencia? (c) ¿Qué viaja con mayor rapidez: un rayo infrarrojo o un rayo gamma?


a) Las radiaciones ionizantes son las de mayor longitud de onda.

b) La capa hemirreductora del aluminio es mayor a la del plomo.

c) Un rayo X viaja a la misma velocidad que la luz.

d) Los rayos X pasan con más facilidad a través de los tejidos que de los huesos.

e) Las radiaciones de mayor frecuencia son potencialmente las más peligrosas para el

organismo.

3) ¿Cuánto se atenúa la intensidad de rayos X al atravesar una lámina de plomo de 0,5 mm de

espesor, sabiendo que el CHR del plomo es de 0,1 mm? (Respuesta: 32 veces)

4) a) ¿Qué espesor de plomo se necesita para atenuar 8 veces la intensidad de la radiación X

obtenida con un voltaje de 60 kV? b) ¿y de hormigón?

(Rta: a) 0,39 mm. b) 13,44 mm.)

151

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