1.

BIOGRAFA Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado matemtico y fsico. Naci el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y muri el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemtico del siglo XVIII y como uno de los ms grandes de todos los tiempos. Vivi en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realiz importantes descubrimientos en reas tan diversas como el clculo o la teora de grafos. Tambin introdujo gran parte de la moderna terminologa y notacin matemtica, particularmente para el rea del anlisis matemtico, como por ejemplo la nocin de funcin matemtica.1 Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecnica, ptica y astronoma. Euler ha sido uno de los matemticos ms prolficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podran ocupar entre 60 y 80 volmenes.2 Una afirmacin atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemticos posteriores: Lean a Euler, lean a Euler, l es el maestro de todos nosotros.3 En conmemoracin suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, as como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibi ese nombre en su honor. Primeros aos Euler naci en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor calvinista, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeas llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco despus de su nacimiento, su familia se traslad de Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pas su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemtico europeo, y que ejercera una gran influencia sobre el joven Leonhard. La educacin formal de Euler comenz en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 aos se matricul en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibira el ttulo de maestro de Filosofa tras una disertacin comparativa de las filosofas de Ren Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler reciba lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sbados por la tarde, quien descubri rpidamente el increble talento de su nuevo pupilo para las matemticas. En aquella poca Euler se dedicaba a estudiar teologa, griego y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser tambin pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a ser un gran matemtico. En 1726 Euler finaliz su Doctorado con una tesis sobre la propagacin del sonido bajo el ttulo De Sono5 y en 1727 particip en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mstil en un buque. Gan el segundo puesto, detrs de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Ms adelante Euler conseguira ganar ese premio hasta en doce ocasiones.

2.

San Petersburgo Por aquella poca, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicols, se encontraban trabajando en la Academia de las ciencias de Rusia en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicols muri de apendicitis tras haber vivido un ao en Rusia y, cuando Daniel asumi el cargo de su hermano en el departamento de matemticas y fsica, recomend que el puesto que haba dejado vacante en fisiologa fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo ao Euler acept la oferta, aunque retras su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin xito, un puesto de profesor de fsica en la Universidad de Basilea. Sello del ao 1957 de la antigua Unin Sovitica conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 aos desde el nacimiento del gran matemtico y acadmico Leonhard Euler. Euler lleg a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento mdico de la Academia a un puesto en el departamento de matemticas, en el que trabaj con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboracin. Euler aprendi el ruso y se estableci finalmente en San Petersburgo a vivir. Lleg incluso a tomar un trabajo adicional como mdico de la Armada de Rusia. La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I de Rusia, tena el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia cientfica existente entre ese pas y la Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia posea amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extrada directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admita a un nmero muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigacin y se ofreca a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones cientficas. Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que haba continuado con las polticas progresistas de su marido, muri el mismo da de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte increment el poder de la nobleza, puesto que el nuevo Emperador pas a ser Pedro II de Rusia, por entonces un nio de tan slo 12 aos de edad. La nobleza sospechaba de los cientficos extranjeros de la Academia, por lo que cort la cuanta de recursos dedicados a la misma y provoc otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.

3.

Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarqua de la Academia, convirtindose en profesor de fsica en 1731. Dos aos ms tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dej la ciudad y volvi a Basilea. Euler le sucedi como director del departamento de matemticas. El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compr una casa al lado del ro Neva y lleg a concebir hasta trece hijos, si bien slo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta. Berln Sello de la antigua Repblica Democrtica Alemana en honor a Euler en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su frmula polidrica para el grafo planar. Preocupado por los acontecimientos polticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler parti de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berln, cargo que le haba sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivi

veinticinco aos en Berln, en donde escribi ms de 380 artculos. Tambin public aqu dos de sus principales obras: la Introductio in analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemticas publicado en 1748, y la Institutiones calculi differentialis,11 publicada en 1755 y que versaba sobre el clculo diferencial. Adems, se le ofreci a Euler un puesto como tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribi ms de 200 cartas dirigidas a la princesa que ms tarde seran recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofa Natural dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba la exposicin de Euler sobre varios temas de fsicas y matemticas, as como una visin de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirti en el ms ledo de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones cientficas a una audiencia menos cualificada.12 Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribucin de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a dejar Berln. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemtico y el propio Federico, que lleg a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparacin con el crculo de filsofos que el rey alemn haba logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos filsofos, y gozaba de una posicin preeminente en el crculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carcter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en 4. cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tena conocimientos limitados de retrica, y sola debatir cuestiones sobre las que tena pocos conocimientos, lo cual le haca un objetivo frecuente de los ataques del filsofo.12 Por ejemplo, Euler protagoniz varias discusiones metafsicas con Voltaire, de las que sola retirarse enfurecido por su incapacidad en la retrica y la metafsica. Federico tambin mostr su descontento con las habilidades prcticas de ingeniera de Euler: Quera tener una bomba de agua en mi jardn: Euler calcul la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caera despus a travs de canalizaciones para finalmente manar en el palacio de Sanssouci. Mi molino fue construido de forma geomtrica y no poda elevar una bocanada de agua hasta ms all de cinco pasos hacia la reserva. Vanidad de las vanidades! Vanidad de la geometra! Federico II el Grande Deterioro de la visin Retrato de Euler del ao 1753 dibujado por Emanuel Handmann. El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, as como un posible estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien ms tarde Euler tuvo problemas de cataratas.14 La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el ao 1735 Euler sufri una fiebre casi fatal, y tres aos despus de dicho acontecimiento qued casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefera acusar de este hecho al trabajo de cartografa que realizaba para la Academia de San Petersburgo. La vista de ese ojo empeor a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico haca referencia a l como el Cclope. Euler ms tarde sufri cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dej prcticamente ciego pocas semanas despus de su diagnstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visin no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compens con su gran capacidad de clculo mental y su memoria fotogrfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningn momento, y en cada pgina de la edicin era capaz de indicar qu lnea era la primera y cul era la ltima.2 Tambin se saba de memoria las frmulas de trigonometra y las primeras 6 potencias de los primeros 100 nmeros primos. 5. Pas los ltimos aos de su vida ciego, pero sigui trabajando. Muchos trabajos se los dict a su hijo mayor. Retorno a Rusia Tumba de Euler, ubicada en Monasterio de Alejandro Nevski. La situacin en Rusia haba mejorado enormemente tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler acept una invitacin para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ah el resto de su vida. Su segunda poca en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le cost su casa y casi su vida, y en 1773 perdi a su esposa, que por entonces tena 40 aos de edad. Euler se volvi a casar tres aos ms tarde. El 18 de septiembre de 1783 Euler falleci en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un ictus, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Hoy en da el cementerio en el que fue enterrado Euler no existe, dado que fue destruido por los soviticos. stos trasladaron previamente sus restos al monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski. El matemtico y filsofo francs Nicolas de Condorcet escribi su elogio funeral para la Academia francesa.

Obras matemticas - Document Transcript1. Contribucin a las matemticas y a otras reas cientficas Euler trabaj prcticamente en todas las reas de las matemticas: geometra, clculo, trigonometra, lgebra, teora de nmeros, adems de fsica continua, teora lunar y otras reas de la fsica. Ha sido uno de los matemticos ms prolficos de la historia. Su actividad de publicacin fue incesante (un promedio de 800 pginas de artculos al ao en su poca de mayor produccin, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa est sin publicar. La labor de recopilacin y publicacin completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenz en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 ttulos en 72 volmenes. Se le considera el ser humano con mayor nmero de trabajos y artculos en cualquier campo del saber, slo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparan entre 60 y 80 volmenes. Adems, y segn el matemtico Hanspeter Kraft, presidente de la Comisin

Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado ms de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler est asociado a un gran nmero de cuestiones matemticas. Notacin matemtica Euler introdujo y populariz varias convenciones referentes a la notacin en los escritos matemticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo ms notable fue la introduccin del concepto de funcin matemtica, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la funcin f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notacin ofreca ms comodidad frente a los rudimentarios mtodos del clculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basndose en las matemticas del ltimo. Tambin introdujo la notacin moderna de las funciones trigonomtricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el nmero e es conocido tambin como el nmero de Euler), la letra griega como smbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su dimetro tambin fue popularizado por Euler, aunque l no fue el primero en usar ese smbolo. Anlisis El desarrollo del clculo era una de las cuestiones principales de la investigacin matemtica del siglo XVIII, y la familia Bernoulli haba sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del clculo se convirti en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemticas no son aceptables bajo los estndares modernos de rigor matemtico, es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo. 2. e es el nico nmero real para el valor a para el cual se cumple que el valor de derivada de la funcin f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparacin se muestran las funciones 2x (lnea punteada) y 4x (lnea discontinua), que no son tangentes a la lnea de pendiente 1 (en rojo). El nmero e Euler defini la constante matemtica conocida como nmero e como aquel nmero real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su lnea tangente) en la funcin f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La funcin ex es tambin llamada funcin exponencial y su funcin inversa es el logaritmo neperiano, tambin llamado logaritmo natural o logaritmo en base e. El nmero e puede ser representado como un nmero real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fraccin continua o como el lmite de una sucesin. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos bsicos de clculo, es como el lmite: y tambin como la serie: Adems, Euler es muy conocido por su anlisis y su frecuente utilizacin de la serie de potencias, es decir, la expresin de funciones como una suma infinita de trminos como la siguiente: Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansin de series de potencias de la funcin arcotangente. Su atrevido aunque, segn los estndares modernos, tcnicamente 3. incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735, por el cual quedaba demostrado que: Interpretacin geomtrica de la frmula de Euler. Euler introdujo el uso de la funcin exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analticas. Descubri formas para expresar varias funciones logartmicas utilizando series de potencias, y defini con xito logaritmos para nmeros negativos y complejos, expandiendo enormemente el mbito de la aplicacin matemtica de los logaritmos.19 Tambin defini la funcin exponencial para nmeros complejos, y descubri su relacin con las funciones trigonomtricas. Para cualquier nmero real , la frmula de Euler establece que la funcin exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente frmula: Siendo un caso especial de la frmula lo que se conoce como la identidad de Euler: Esta frmula fue calificada por Richard Feynman como la frmula ms reseable en matemticas, porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, e, i y . En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la frmula como la ms bella frmula matemtica de la historia.23 En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras frmulas del resultado de la encuesta. Adems de eso, Euler elabor la teora de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introduccin de la funcin gamma, e introdujo un nuevo mtodo para resolver ecuaciones de cuarto grado. Tambin descubri una forma para calcular integrales con lmites complejos, en lo que sera en adelante del moderno anlisis complejo, e invent el clculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que seran llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange. Euler tambin fue pionero en el uso de mtodos analticos para resolver problemas tericos de carcter numrico. Con ello, Euler uni dos ramas separadas de las matemticas para crear un 4. nuevo campo de estudio, la teora analtica de nmeros. Para ello, Euler cre la teora de las series hper geomtricas, las series q, las funciones hiperblicas trigonomtricas y la teora analtica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostr que la cantidad de nmeros primos es infinita utilizando la divergencia de series armnicas, y utiliz mtodos analticos para conseguir una mayor informacin sobre cmo los nmeros primos se distribuyen dentro de la sucesin de nmeros naturales. El trabajo de Euler en esta rea llevara al desarrollo del teorema de los nmeros primos. Teora de nmeros El inters de Euler en la teora de nmeros procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teora de nmeros se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarroll algunas de las ideas de este matemtico francs pero descart tambin algunas de sus conjeturas. Euler uni la naturaleza de la distribucin de los nmeros primos con sus ideas del anlisis matemtico. Demostr la divergencia de la suma de los inversos de los nmeros primos y, al hacerlo, descubri la conexin entre la funcin zeta de Riemann y los nmeros primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la funcin zeta de Riemann. Euler tambin demostr las identidades de Newton, el pequeo teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro

cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. Tambin defini la funcin de Euler que, para todo nmero entero positivo, cuantifica el nmero de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Ms tarde, utilizando las propiedades de esta funcin, generaliz el pequeo teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler. Contribuy de manera significativa al entendimiento de los nmeros perfectos, tema que fascin a los matemticos desde los tiempos de Euclides, y avanz en la investigacin de lo que ms tarde se concretara en el teorema de los nmeros primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teora de nmeros, y sus ideas pavimentaron el camino del matemtico Carl Friedrich Gauss. En el ao 1772, Euler demostr que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un nmero primo de Mersenne. Esta cifra permaneci como el nmero primo ms grande conocido hasta el ao 1867. Teora de grafos y geometra 5. Artculo principal: Problema de los puentes de Knigsberg Mapa de la ciudad de Knigsberg, en tiempos de Euler, que muestra resaltado en verde el lugar en dnde se encontraban ubicados los siete puentes. En 1736, Euler resolvi el problema conocido como problema de los puentes de Knigsberg. La ciudad de Knigsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el ro Pregel, e inclua dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del ro mediante siete puentes. El problema consista en decidir si era posible seguir un camino que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler logr probarlo matemticamente demostrando que no exista un ciclo euleriano debido a que el nmero de puentes en ms de dos bloques era impar. A esta solucin se la considera el primer teorema de teora de grafos y de grafos planares. Euler tambin introdujo el concepto conocido como caracterstica de Euler del espacio, y una frmula que relacionaba el nmero de lados, vrtices y caras de un polgono convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que bsicamente consiste en buscar una relacin entre nmero de caras, aristas y vrtices en los poliedros. Utiliz esta idea para demostrar que no existan ms poliedros regulares que los slidos platnicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalizacin de esta frmula, especialmente por Cauchy28 y L'Huillier, supuso el origen de la topologa. Dentro del campo de la geometra analtica descubri adems que tres de los puntos notables de un tringulo baricentro, ortocentro y circuncentro podan obedecer a una misma ecuacin, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina Recta de Euler en su honor. Matemticas aplicadas 6. Algunos de los mayores xitos de Euler fueron en la resolucin de problemas del mundo real a travs del anlisis matemtico, en lo que se conoce como matemtica aplicada, y en la descripcin de numerosas aplicaciones de los nmeros de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el nmero de Euler, las constantes e y , las fracciones continuas y las integrales. Integr el clculo diferencial de Leibniz con el Mtodo de Fluxin de Newton, y desarroll herramientas que hacan ms fcil la aplicacin del clculo a los problemas fsicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del clculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange. Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las ms notable de estas aproximaciones son el mtodo de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la frmula de Euler-Maclaurin. Este mtodo consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. Tambin facilit el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introduccin de la constante de Euler- Mascheroni: Por otro lado, uno de los intereses ms llamativos de Euler fue la aplicacin de las ideas matemticas sobre la msica. En 1739 escribi su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemticas a la teora musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atencin del pblico, y lleg a ser descrita como demasiado matemtica para los msicos y demasiado musical para los matemticos. Fsica y astronoma Euler ayud a desarrollar la ecuacin de la Curva elstica, que se convirti en el pilar de la ingeniera. Aparte de aplicar con xito sus herramientas analticas a los problemas de mecnica clsica, Euler tambin las aplic sobre los problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronoma fue reconocido mediante varios Premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportaciones en ese campo incluyen cuestiones como la determinacin con gran exactitud de las rbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el clculo del paralaje solar. Sus clculos tambin contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud ms exactas para la navegacin.33 Tambin public trabajos sobre el movimiento de la luna. Adems, Euler llev a cabo importantes contribuciones en el rea de la ptica. No estaba de acuerdo con las teoras de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teora prevalente en aquel momento. Sus trabajos sobre ptica desarrollados en la dcada de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que propona una teora de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teora hegemnica. La nueva teora mantendra ese estatus hasta el desarrollo de la teora cuntica de la luz.34 7. En el campo de la mecnica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explcitamente los conceptos de partcula y de masa puntual y la notacin vectorial para representar la velocidad y la aceleracin, lo que sentara las bases de todo el estudio de la mecnica hasta Lagrange. En el campo de la mecnica del slido rgido defini los llamados tres ngulos de Euler para describir la posicin y public el teorema principal del movimiento, segn el cual siempre existe un eje de rotacin instantneo, y la solucin del movimiento libre (consigui despejar los ngulos en funcin del tiempo). En hidrodinmica estudi el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la

Hidrodinmica. Adelantndose ms de cien aos a Maxwell previ el fenmeno de la presin de radiacin, fundamental en la teora unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su poca. Lgica En el campo de la lgica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogstico (1768). Este tipo de representaciones reciben el nombre de diagramas de Euler. Arquitectura e ingeniera En este campo, Euler desarroll la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y gener una nueva rama de ingeniera con sus trabajos sobre la carga crtica de las columnas.

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Leonhard Euler (1707/1783)Leonhard es uno de los grandes cientficos de nuestra historia. Su obra se encuentra en todas los campos de las matemticas y tambin en astronoma, ptica, acstica y mecnica. Era un hombre entraable, animoso y alegre, adems posea una gran energa en su trabajo. Naci el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza). Su padre, pastor calvinista, deseaba que su hijo siguiera sus pasos. Aunque Euler inici estudios de Teologa, su padre que haba recibido formacin matemtica de Jakob Bernoulli (1654-1705) enseguida reconoci el talento de su hijo y abandon su idea de convertirlo en clrigo. As, el joven Leonhard estudia en la Universidad de Basilea, teologa, lenguas orientales, medicina, astronoma, fsica y tiene a Johann Bernoulli (16671748)como profesor de matemticas. A los 17 aos recibe una mencin honorfica de la Academia de las Ciencias de Pars, por un trabajo sobre la mejor disposicin de los mstiles de un barco. No sera la primera vez, Euler consigui en doce ocasiones el codiciado premio. En 1727, fue invitado por la emperatriz Catalina I(1684-1727), para que ocupara un puesto en la Academia de San Petersburgo (hoy Leningrado), donde ya trabajaban sus amigos, los hermanos Daniel y Nikolaus Bernoulli, como profesores de matemticas. Durante el viaje, se entera de la muerte de Nikolaus y al poco de llegar, estuvo a punto de volverse, pues muere la emperatriz y la Academia corri peligro de desaparecer ya que el nuevo gobierno mostraba pocas

simpatas por los sabios extranjeros. An as, en 1730, Euler ocupa la ctedra de Filosofa Natural y en 1733 sucede a su amigo Daniel, el cual abandona Rusia para hacerse cargo de una ctedra de Matemticas en la Universidad de Basilea. Por entonces, Leonhard se casa con Catherine Gsell y llega a tener trece hijos, aunque no todos sobrevivieron a la infancia. Euler publica incesantemente en la revista de la Academia. Haca clculos sin ningn esfuerzo aparente, a pesar de la prdida de visin de un ojo a los 30 aos y de la ceguera casi total durante los ltimos 17 aos de su vida. En 1741, recibe otra invitacin, esta vez de Federico el Grande de Prusia, para incorporarse a la Academia de Berln. En esta ciudad pasa 25 aos pero sin perder el contacto con la Academia de San Petersburgo a la que enva numerosos artculos. Sus relaciones con el rey se deterioran y en 1766, acepta el ofrecimiento de Catalina la Grande (1729-1796) y vuelve a Rusia. Leonhard muere en San Petersburgo el 7 de septiembre de 1783 trabajando hasta el ltimo da de su vida.

Algunos detalles de su obraA lo largo de su vida public ms de 500 libros y artculos. Aadiendo su obra pstuma, se alcanza la cifra de 886 trabajos. Algunos de sus ttulos ms importantes son:

Mecnica o ciencia del movimiento; Introduccin a la Aritmtica; Mtodo para hallar ciertas curvas; Teora de los planetas y los cometas; Tablas astronmicas del sol y de la luna; Introduccin al anlisis de lo infinito; Ciencia naval; Instituciones de clculo integral; Cartas a una princesa alemana sobre la filosofa y la fsica; Introduccin al lgebra; Diptrica, etc.Utilizar una notacin adecuada y sencilla, es uno de los factores fundamentales en el avance de la ciencia. Euler introdujo o populariz algunas notaciones en matemticas: Utiliza la letra letra griega dimetro, y la letra

e para indicar la base del logaritmo neperiano, la

para designar la razn entre la longitud de la circunferencia y su

i para designar la unidad imaginaria

. Estos tres smbolos

se relacionan con los dos nmeros enteros ms importantes en la siguiente igualdad, que aparece de forma generalizada en el ms famoso de los textos de Euler "Introductio in analysis infinitorum" (1748):

Tambin en Geometra encontramos huellas de Euler. Utiliz las letras minsculas a, b, c para los lados de un tringulo, y las maysculas para los vrtices y ngulos A, B, C opuestos a cada uno de los lados. Llama R, r y s, respectivamente a los radios de la circunferencia circunscrita, inscrita y al semipermetro del tringulo. Demostr que el ortocentro(punto donde se cortan las alturas de un tringulo), el baricentro (punto donde se cortan las medianas) y el circuncentro (punto donde se cortan las mediatrices), estn alineados formando la llamada, Recta de Euler.(Se verifica, adems que elbaricentro est entre los otros dos puntos, y su distancia al ortocentro es el doble que su distancia al circuncentro).

No podemos olvidar su contribucin a la Topologa con el enunciado del famoso problema de los Puentes de Knigsberg:"En la ciudad de Knigsberg, en Prusia, hay una isla, llamada Kneiphof, rodeada por los brazos del ro Pregel. Hay siete puentes, que cruzan los dos brazos del ro. Puede una persona realizar un paseo de tal modo que cruce cada uno de los puentes de una sola vez?" Euler demostr que este paseo es imposible y encontr una regla general para cualquier nmero de puentes. (Puedes descubrirla t mismo con la ayuda de Miguel de Guzmn en "Cuentos con Cuentas"Puedes encontrar ms informacin sobre la vida y la obra de Euler, por ejemplo en "El teorema del Loro" de Danis Guedj, "Historia de la matemtica" de Carl B. Boyer ,...

Contribuciones de Leonhard Euler a las matemticasEl dcimo octavo matemtico del suizo del siglo Leonhard Euler (1707-1783) est entre los matemticos ms prolficos y ms acertados del historia del campo. Su trabajo seminal tena un impacto profundo en reas numerosas de las matemticas y le acreditan extensamente para introducir y popularizar la notacin moderna y la terminologa, particularmente adentro anlisis.

Contenido

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Notacin matemtica Anlisis complejo Anlisis Teora del nmero Teora de grfico y topologa Matemticas aplicadas Trabajos Vea tambin Referencias

Notacin matemticaEuler introdujo mucho de hoy funcionando de la notacin matemtica, tal como la notacin f(x) para describir una funcin y la notacin moderna para funciones trigonomtricas. l era el primer para utilizar la letra e para la base del logaritmo natural, ahora tambin conocido como Nmero de Euler. El uso de la letra griega para denotar cociente de la circunferencia de un crculo a su dimetro tambin fue popularizado (no inventado sin embargo) por Euler.[1] Tambin le acreditan para inventar la notacin i para denotar [2].

Anlisis complejoEuler hizo contribuciones importantes a anlisis complejo. l descubri qu ahora se conoce como Frmula de Euler, eso para cualesquiera nmero verdadero , el complejo funcin exponencial satisface Esto se ha llamado el frmula ms notable de matemticas cerca Richard Feynman. caso especial de esto:[3]

Identidad de Euler es un

Esta identidad es particularmente notable pues implica e, , i, 1 y 0, discutible las cinco constantes ms importantes de matemticas.

AnlisisEl desarrollo de clculo estaba en la vanguardia de la investigacin matemtica del dcimo octavo siglo, y los amigos de la Bernoullis-familia de Euler-eran responsables de mucho del progreso temprano en el campo. Entender el infinito era naturalmente el foco principal de la investigacin de Euler. Mientras que algunas de las pruebas de Euler pudieron no haber sido aceptables bajo estndares modernos de rigor, sus ideas eran responsables de muchos grandes avances. Primero de todos, Euler introdujo el concepto de a funcin, e introducido el uso del funcin exponencial y logaritmos en pruebas analticas. Euler utiliz con frecuencia la funcin del logaritmo como herramienta en problemas del anlisis, y descubri las nuevas maneras por las cuales podran ser utilizadas. l descubri maneras de expresar varias funciones logartmicas en trminos de series de energa, y defini con xito los logaritmos para los nmeros complejos y negativos, as grandemente ampliando el alcance donde los logaritmos se podran aplicar en matemticas. La mayora de los investigadores en el campo desde hace mucho tiempo la visin eso registro (x) = registro ( x) para verdadero positivo x puesto que usando la caracterstica de la aditividad de logaritmos2log ( x) = log(( x)2) = registro (x2) = 2log (x). En una letra 1747 a d'Alembert de Jean Le Rond, Euler defini el logaritmo natural de -1 como i a imaginario puro. [4]. Euler es bien sabido en el anlisis para su uso y desarrollo frecuentes de serie de energa: es decir, la expresin de funciones como sumas infinitamente de muchos trminos, por ejemplo Notablemente, Euler descubri las extensiones de la serie de energa para e y tangente inversa funcin .

Su uso atrevido (y, por los estndares modernos, tcnico incorrecto) de la serie de energa le permiti solucionar el famosoProblema de Basilea en 1735:[5] Adems, Euler elabor la teora de funciones transcendental ms altas introduciendo funcin gamma e introducido un nuevo mtodo para solucionar ecuaciones quartic. l tambin encontr una manera de calcular integrales con los lmites complejos, presagiando el desarrollo de anlisis complejo. Euler invent clculo de variaciones incluyendo su resultado ms bien conocido,Ecuacin de Euler-Lagrange. Euler tambin inici el uso de mtodos analticos de solucionar problemas de la teora del nmero. Al hacer eso, l uni dos ramas dispares de matemticas e introdujo un nuevo campo del estudio, teora analtica del nmero. En romper la tierra para este nuevo campo, Euler cre la teora de serie hipergeomtrica, q-series, funciones trigonomtricas hiperblicas y la teora analtica defracciones continuadas. Por ejemplo, l prob la infinidad de prepara usar la divergencia de la serie armnica, y mtodos analticos usados para ganar una cierta comprensin de la manera nmeros primeros se distribuyen. El trabajo de Euler en esta rea condujo al desarrollo del teorema primero del nmero.[6]

Teora del nmeroLa gran teora del inters de Euler en gran nmero se puede remontar a la influencia de su amigo en el St. Academia de Peterburg,Goldbach cristiano. Los muchos de su trabajo temprano sobre teora del nmero fueron basados en los trabajos de Pierre de Fermat, y convertido algunas de las ideas de Fermat mientras que refuta algunas de sus conjeturas ms extraas. Un foco del trabajo de Euler era ligar la naturaleza de la distribucin primera a ideas en anlisis. l prob eso la suma de los reciprocals del prepara diverge. Al hacer eso, l descubri la conexin entre la funcin del zeta de Riemann y los nmeros primeros, conocidos como Frmula del producto de Euler para la funcin del zeta de Riemann. Euler prob Identidades del neutonio, Poco teorema de Fermat, Teorema de Fermat en sumas de dos cuadrados, y contribuciones distintas hechas a Teorema four-square de Lagrange. l tambin invent funcin totient (n) que asigna a un nmero entero positivo n el nmero de nmeros enteros positivos menos que n y coprimero al N. Usando caractersticas de esta funcin l poda generalizar poco teorema de Fermat a qu se conocera como Teorema de Euler. l contribuy ms lejos perceptiblemente a la comprensin de nmeros perfectos, que haba fascinado a matemticos desde entonces Euclid. Progreso hecho Euler hacia el teorema primero del nmero y conjeturado la ley de reciprocidad cuadrtica. Los dos conceptos se miran como los teoremas fundamentales de la teora del nmero, y sus ideas pavimentaron la manera para Gauss de Carl Friedrich.[7]

Teora de grfico y topologaVea tambin: Siete puentes de Knigsberg En Euler 1736 solucionado, o prob algo unsolvable, un problema conocido como los siete puentes de Knigsberg.[8] La ciudad deKnigsberg, Reino del Prussia (ahora Kaliningrad, Rusia) se fija en Pregelifique Ro, e incluido dos islas grandes que fueron conectadas el uno al otro y el continente por siete puentes. La pregunta es si es posible caminar con una ruta que cruce cada puente exactamente una vez, y vuelta al punto de partida. La solucin de Euler del problema del puente de Knigsberg se considera ser el primer teorema de teora de grfico. Adems, su reconocimiento que la informacin dominante era el nmero de puentes y la lista de sus puntos finales (ms bien que de sus posiciones exactas) presagi el desarrollo de topologa.[8] Euler tambin hizo contribuciones a la comprensin de grficos planar. l introdujo un frmula que gobernaba la relacin entre el nmero de bordes, las cimas, y las caras de un poliedro convexo. Dado tal poliedro, la suma que se alterna de cimas, los bordes y las caras iguala una constante: V-E+F=2. Esta constante, , es Caracterstica de Euler del plano. El estudio y la generalizacin de esta ecuacin, especialmente cerca Cauchy[9] y Lhuillier,[10] est en el origen de topologa. Caracterstica de Euler, que se puede generalizar a cualesquiera espacio topolgico como la suma que se alterna de Nmeros de Betti, se presenta naturalmente dehomologa. Particularmente, es igual a 22g para un cerrado orientado superficie con el gnero g y a 2 k para una superficie non-orientable con los crosscaps de k. Esta caracterstica condujo a la definicin de sistemas de la rotacin en teora de grfico topolgica.

Matemticas aplicadasAlgunos de los xitos ms grandes de Euler consistan en la aplicacin de mtodos analticos a los problemas del mundo real, describiendo usos numerosos de Nmeros de Bernoulli, Serie de Fourier, Diagramas de Venn, Nmeros de Euler, e y constantes, fracciones continuadas e integrales. l integr Leibniz's clculo diferenciado con el neutonio Mtodo de Fluxions, y herramientas desarrolladas que hicieron ms fcil aplicar clculo a los problemas fsicos. Particularmente, l hizo grandes pasos grandes en mejorar aproximacin numrica de integrales, inventando qu ahora se conocen como Aproximaciones de Euler. La persona notable de estas aproximaciones est ms Mtodo de Euler y Frmula de Euler-Maclaurin. l tambin facilit el uso de ecuaciones diferenciales, particularmente el introducir Constante de Euler-Mascheroni:

Uno de intereses ms inusuales de Euler era el uso de ideas matemticas adentro msica. En 1739 l escribi Musicae de los theoriae de las Novas de Tentamen, el esperar integrar eventual teora de la msica como parte de matemticas. Esta parte de su trabajo, no obstante no recibi la atencin amplia y fue descrito una vez como demasiado matemtico para los msicos y tambin el musical para los matemticos.[11]

TrabajosLos trabajos que Euler public por separado son:

Dissertatio physica de sono (disertacin en la fsica del sonido) (Basilea, 1727, en cuarto) Mechanica, analytice sive del scientia del motus; expasita (St Petersburg, 1736, en 2 vols. cuarto) Einleitung en el dado Arithmetik (ibid., 1738, en 2 vols. libro en octavo), en alemn y ruso Musicae de los theoriae de las Novas de Tentamen (ibid. 1739, en cuarto) Curvas de los lineas del inveniendi de Methodus, gaudentes minimive del proprietate del maximi (Lausanne, 1744, en cuarto) o Additamentum II (su Traduccin inglesa) Planetarum et cometarum (Berln, 1744 del motuum de Theoria, en cuarto) Beantwortung, &c., o respuestas a diversas preguntas que respetan los cometas (ibid., 1744, en libro en octavo) Neue Grundsatze, C., o nuevos principios de artillera, traducidos del ingls de los Robins de Benjamin, con las notas y las ilustraciones (ibid., 1745, en libro en octavo) Argumenti del varii de Opuscula (ibid., 1746-1751, en 3 vols. cuarto) Novas et computanda de los lunae del loco del anuncio de los tabulae de los carrectae (ibid., 1746, en cuarto) Solis et lunae (ibid., cuarto) de los astronomicae de Tabulae Gedanken, &c., o pensamientos en los elementos de los cuerpos (ibid. cuarto) Irritar-liquen Offenbarung, &c., defensa del der de Rettung de la revelacin divina contra los Libre-pensadores (ibid., 1747, en 4t0) Introductio en el infinitorum del analysin (introduccin al anlisis de los infinites) (Lausanne, 1748, en 2 vols. 4t0) Navalis de Scientia, navibus de los dirigendis de seu tractatus de construendis ac (St Petersburg, 1749, en 2 vols. cuarto) Exposicin l concernant' examen de la lettre de M. de Leibniz (1752, su Traduccin inglesa) Lunae del motus de Theoria (Berln, 1753, en cuarto) Los actionis de los mininiae de Dissertatio de principio, 'una cum examinan el cl del objectionum. profesor. Koenigii (ibid., 1753, en libro en octavo) Differentialis del calculi de Institutiones, cum usu del ejus en el serierum del doctrina de la CA de Intuitorum del analysi (ibid., 1755, en 410) Objectivarum del lentium de Constructio, &c. (St Petersburg, 1762, en cuarto) Rigidorum del seu del solidoruni del corporum del motus de Theoria (Rostock, 1765, en cuarto) Institutiones, integralis del calculi (St Petersburg, 1768-1770, en 3 vols. cuarto) Lettres un sur quelques sujets de physique et de philosophie (St Petersburg, 1768-1772 del d'Allernagne de Princesse del une, en 3 vols. libro en octavo) lgebra del zur de Anleitung, o Elementos de la lgebra (ibid., 1770, en libro en octavo); Dioptrica (ibid., 1767-1771, en 3 vols. cuarto) Methodo pertr.arctata (ibid., 1772 de la Nova de la estocada del motuum de Theoria, en cuarto) Lunares de los tabulae de las Novas (ibid., en libro en octavo); Thorie vaisseaux completo de de la construction del La et de de la manteuvre des (ibid., .1773, en libro en octavo) Centros comerciales tensos del DES del que de los veuves del DES del favor del en de los etablissements del svr de Eclaircissements, sin una fecha Analytica de Opuscula (St Petersburg, 1783-1785, en 2 vols. cuarto). Vea Rudio, Leonhard Euler (Basilea, 1884).

Vea tambin

Lista de los asuntos nombrados despus de Leonhard Euler Euler en serie infinita

Referencias1. 2. ^ Volframio, Stephen. Notacin matemtica: Ms all de y futuro. ^ Euler, Leonhard (1707-1783).

3.

^ Feynman, Richard [el junio de 1970]. Captulo 22: lgebra ", Las conferencias de Feynman en la fsica: Volumen I, p.10. 4. ^ Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach. Una historia de las matemticas. Juan Wiley y hijos, 439-445. ISBN 0-47154397-7. 5. ^ Wanner, Gerhard; Harrier, Ernst (el marzo de 2005). Anlisis por su historia, 1r, Springer, 62. 6. ^ Dunham, Guillermo (1999). "3,4", Euler: El amo de nosotros todo. La asociacin matemtica de Amrica. 7. ^ Dunham, Guillermo (1999). "1,4", Euler: El amo de nosotros todo. La asociacin matemtica de Amrica. 8. ^ a b Alexanderson, Gerald (el julio de 2006). "Puentes de Euler y de Knigsberg: una visin histrica" ([acoplamiento muerto] Bsqueda del erudito). Boletn de la sociedad matemtica americana 43: 567. doi:10.1090/S02730979-06-01130-X. 9. ^ Cauchy, A.L. (1813). Polydres de los les del sur de Recherche - mmoire del primero ministro. Diario de l'Ecole Polytechnique 9 (Cahier 16): 6686. 10. ^ Lhuillier, S. - A. - J. (1861). Polydromtrie del la del sur de Mmoire. Annales de Mathmatiques 3: 169 189. 11. ^ Ronald Calinger (1996). Leonhard Euler: El primer St. Aos de Petersburg (1727-1741) . Historia Mathematica 23 (2): 144145.

Frmula de EulerEste artculo est sobre el frmula de Euler adentro anlisis complejo. Para el frmula de Euler en teora de grfico y combinatorics polyhedral vea Caracterstica de Euler. Vea tambin asuntos nombrados despus de Euler. El frmula de Euler indica eso, para cualesquiera nmero verdadero x, donde e es base del logaritmo natural, i es unidad imaginaria, y lechuga romana y el pecado son funciones trigonomtricas (aqu se asume que, al calcular el seno y el coseno, x se mide adentro radianes ms bien que adentro grados). El frmula sigue siendo vlido si x es anmero complejo, y tan algunos autores refieren a la versin compleja ms general como frmula de Euler.[1] Richard Feynman frmula de Euler llamado nuestra joya y el frmula ms notable de matemticas.[2]

HistoriaEl frmula de Euler era probado por primera vez cerca Roger Cotes en 1714 en la forma (donde el ln significa logaritmo natural, es decir. registro con la base e).[3] Era Euler que public la ecuacin en su forma actual adentro 1748, basando su prueba en serie infinita de ambos lados que son iguales. Ni unos ni otros de estos hombres vieron la interpretacin geomtrica del frmula: la vista de nmeros complejos como puntos en plano complejo se presentaron solamente unos 50 aos ms adelante (vase Caspar Wessel). Euler consideraba natural introducir a estudiantes a los nmeros complejos mucho anteriores que lo hacemos hoy. En su libro de texto elemental de la lgebra, Elementos de la lgebra, l introduce estos nmeros casi inmediatamente y despus los utiliza de una manera natural en todas partes.

Usos en teora del nmero complejoFrmula de Euler, nombrado despus Leonhard Euler, es a matemtico frmula en anlisis complejo ese demuestra una relacin profunda entre funciones trigonomtricas y el complejo funcin exponencial. (Identidad de Euler es un caso especial del frmula de Euler.) Este frmula se puede interpretar como diciendo que la funcin eIX rastros hacia fuera crculo de la unidad en nmero complejoplano como x gamas con los nmeros verdaderos. Aqu, x es ngulo que una lnea que conecta el origen con un punto en las marcas del crculo de la unidad con el eje verdadero positivo, medido a la izquierda y adentro radianes. La prueba original se basa en Serie de Taylor extensiones del funcin exponencial ez (donde z es un nmero complejo) y del pecado x y lechuga romana x para los nmeros verdaderos x (vase abajo). De hecho, la misma prueba demuestra que el frmula de Euler es incluso vlido para todos complejo nmeros z. Un punto en plano complejo puede ser representado por un nmero complejo escrito adentro coordenadas cartesianos. El frmula de Euler proporciona medios de la conversin entre los coordenadas cartesianos y coordenadas polares. La forma polar reduce el nmero de trminos a partir el dos a una, que simplifica las

matemticas cuando est utilizado en la multiplicacin o energas de nmeros complejos. Cualquier nmero complejo z = x + iy puede ser escrito como donde la parte real la parte imaginaria magnitud de z atan2(y, x) es discusin de z- es decir, el ngulo entre x eje y el vector z medido a la izquierda y adentro radianes- se define que hasta adicin de 2. Ahora, tomando este frmula derivado, podemos utilizar el frmula de Euler para definir logaritmo de un nmero complejo. Para hacer esto, tambin utilizamos la definicin del logaritmo (como el operador inverso del exponentiation) eso y eso ambos vlidos para cualquieres nmeros complejos a y b. Por lo tanto, uno puede escribir: para cualesquiera . Tomar el logaritmo de ambos lados demuestra eso: y de hecho esto se puede utilizar como la definicin para logaritmo complejo. El logaritmo de un nmero complejo es as a funcin multi-valued, debido al hecho eso es multi-valued. Finalmente, la otra ley exponencial cul se puede ver para sostener para todos los nmeros enteros k, junto con el frmula de Euler, implica varios identidades trigonometric as como frmula de de Moivre.

Relacin a la trigonometraEl frmula de Euler proporciona una conexin de gran alcance en medio anlisis y trigonometra, y proporciona una interpretacin de las funciones del seno y de coseno como sumas cargadas de la funcin exponencial: Las dos ecuaciones arriba pueden ser derivadas agregando o restando los frmulas de Euler: y solucionando para el coseno o el seno. Estos frmulas pueden incluso servir como la definicin de las funciones trigonomtricas para las discusiones complejas x. Por ejemplo, el dejar x = iy, tenemos: Los exponentials complejos pueden simplificar la trigonometra, porque son ms fciles de manipular que sus componentes sinusoidales. Una tcnica es simplemente convertir sinusoids en expresiones equivalentes en trminos de exponentials. Despus de las manipulaciones, el resultado simplificado sigue siendo real-valued. Por ejemplo: Otra tcnica es representar los sinusoids en trminos de parte real de una expresin ms compleja, y realice las manipulaciones en la expresin compleja. Por ejemplo: Este frmula se utiliza para la generacin recurrente de un sinusoid en los intervalos de x radianes.

Otros usosEn ecuaciones diferenciales, la funcin eIX es de uso frecuente simplificar derivaciones, aunque la respuesta final es una funcin verdadera que implica seno y coseno. Identidad de Euler es una consecuencia fcil del frmula de Euler. En ingeniera elctrica y otros campos, las seales que varan peridicamente en un cierto plazo se describen a menudo como combinacin de las funciones del seno y de coseno (vase Anlisis de Fourier), y stos se expresan ms convenientemente como la parte real de funciones exponenciales con imaginario exponentes, usando el frmula de Euler. Tambin, anlisis del phasor de circuitos puede incluir el frmula de Euler para representar la impedancia de un condensador o de un inductor.

Definiciones del exponentiation complejoArtculos principales: Exponentiation y Funcin exponencial Generalmente el levantar e a a nmero entero positivo el exponente tiene una interpretacin simple en trminos de multiplicacin repetida de e. El levantar e a cero o al nmero entero de la negativa un exponente se puede

entender como divisin repetida. Anmero racional el exponente se puede definir cerca radicales de e, y nmero irracional el exponente puede ser definido encontrando los exponentes del racional-nmero que estn arbitrariamente cerca del exponente del irracional-nmero, en aproceso del lmite. Sin embargo, definir y entender a nmero complejo exponente de e, un diverso tipo de generalizacin se requiere para el concepto del exponentiation. De hecho, varias definiciones son posibles. Todos se pueden demostrar para ser bien definidos y equivalentes, aunque las pruebas no se incluyen en este artculo.

Definicin de la serie de TaylorEs bien sabido que, para verdadero x, la serie siguiente es igual a ex: (es decir ste es Serie de Taylor para la funcin exponencial verdadera, y ella tiene un infinito radio de convergencia). Esto invita el siguiente definicin de ez para el complejo z: Esto se puede demostrar para estar bien definido; particularmente, la serie converge para cualesquiera z.

Definicin analtica de la continuacinUn simple-a-estado, definicin equivalente es se ez, para el complejo z, es continuacin analtica de la funcin ex para verdaderox. Esto se puede demostrar para estar bien definido; particularmente, rinde una funcin solo-valorada en el plano complejo.

Definicin del lmiteEs bien sabido que, para verdadero x, el siguiente lmite es igual a ex: Esto motiva el siguiente definicin de ez para el complejo z:

Definicin de la ecuacin diferencialPara verdadero x, la funcin =e de f (x)x es bien sabido ser la funcin verdadera nica que satisface la ecuacin diferencial: para todos x. Esto motiva una definicin de =e de f (z)z para el complejo z como la funcin que satisface la ecuacin diferencial: para todo complejo z, donde el derivado adentro f(z) se define en el sentido de a derivado complejo. Esto se puede demostrar para rendir una funcin nica cul est bien definido por todas partes en el plano complejo.

Definicin Multiplicative de la caractersticaContbamos con la funcin ez para tener las caractersticas siguientes:

e0 = 1 e1 = e ez es continuo

Resulta que esto nicamente especifica una funcin en el plano complejo.

PruebasLas varias pruebas de este frmula son posibles. La primera prueba debajo del comienzo con la definicin de la serie de Taylor de ez, mientras que el otro uso dos la definicin de la ecuacin diferencial de ez (vase arriba).

Usar la serie de Taylor

Aqu est una prueba de usar del frmula de Euler Serie de Taylor extensiones as como hechos bsicos sobre las energas de i: y as sucesivamente. Las funciones ex, lechuga romana (x) y pecado (x) (asumiendo x es verdadero) puede ser expresado usando sus extensiones de Taylor alrededor de cero: Para el complejo z nosotros defina cada uno de estas funciones por la serie antedicha, substituyendo x con z. Esto es posible porque radio de convergencia de cada serie es infinito. Entonces encontramos eso El cambio de trminos se justifica porque es cada serie absolutamente convergente. El tomar z = x ser un nmero verdadero da la identidad original como Euler la descubri.

Usar clculoDefina (posiblemente la funcin del complejo) f(x), de la variable verdadera x, como La divisin por cero se imposibilita desde la ecuacin implica eso nunca es cero. derivado de f(x), segn regla del cociente, es: Por lo tanto, f(x) debe ser a funcin constante en x. Porque f(0) se sabe, la constante eso f(x) iguales para todo verdadero xtambin se sabe. As, Cambio, sigue eso Q.E.D.

Usar ecuaciones diferenciales ordinariasDefina la funcin g(x) cerca Consideracin de eso i son constantes, los primeros y segundos derivados de g(x) sea porque i 2 = 1 por la definicin. De esto los 2 siguientesnd- orden linear ecuacin diferencial ordinaria se construye: o Siendo 2nd- la ecuacin diferencial de la orden, all es dos linear independiente soluciones que lo satisfacen: Ambo lechuga romana (x) y pecado (x) son las funciones verdaderas en las cuales los 2nd el derivado es idntico a la negativa de esa funcin. Cualesquiera combinacin linear de soluciones a a homogneo la ecuacin diferencial es tambin una solucin. Entonces, la solucin a la ecuacin diferencial est generalmente

para cualquieres constantes A y B. Pero no todos los valores de estas dos constantes satisfacen sabido condiciones iniciales parag(x): . Sin embargo estas mismas condiciones iniciales (aplicadas a la solucin general) estn dando por resultado y, finalmente, Q.E.D.

Vea tambin

Leonhard Euler Identidad de Euler Nmero complejo frmula de de Moivre Exponentiation Funcin exponencial

Trigonometra

Referencias1. 2. 3. ^ Moskowitz, Martin A. (2002). Un curso en anlisis complejo en una variable. Mundo Co. que publica cientfico, P. 7. ISBN 981-02-4780-X. ^ Feynman, Richard P. (1977). Las conferencias de Feynman en la fsica, vol. I. Addison-Wesley, P. 2210. ISBN 0-201-02010-6. ^ Juan Stillwell (2002). Matemticas y su historia. Springer.

Acoplamientos externos

Prueba del frmula de Euler por Julio O. Smith III Frmula de Euler y teorema pasado de Fermat Mdulo complejo de la funcin exponencial de Juan H. Mathews Elementos de la lgebra Representacin visual del frmula de Euler