UNVERSIDAD DE INGENIERIAS Y CIENCIAS DEL NORESTE

INGENIERO INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

ING. JUAN DARÍO RUIZ ZAPATA

ESTUDIANTE: CINTHIA YANETH CANSINO BARRALES

Numero de control: 3569 Tetramestre: 6

Ejercicios.

Para cada uno de los siguientes ejercicios formule el modelo de programación

lineal.

La Swelte Glove Company fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene

una ganancia de $12 por cada unidad que vende de su producto 1, y de $4 por

cada unidad de producto 2. Los requerimientos en términos de horas de trabajo

para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se

enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores en estos

departamentos han estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas

de trabajo durante el próximo mes: 800 horas en el departamento 1, 600 horas en

el departamento 2 y 2000 horas en el departamento 3. Suponiendo que la

compañía esté interesada en maximizar las ganancias, desarrolle usted el modelo

de programación lineal correspondiente.

Requerimiento de horas de trabajo

Departamento 1 Producto 1 Producto 2

1 1 2

2 1 3

3 2 3

Función objetivo

Maximizar Z=12x+4y (Ganancias)

Restricciones:

X+ 2y≤ 800 (Horas de trabajo del departamento 1)

X+ 3y≤ 600 (Horas de trabajo del departamento 2)

2x+ 3y≤2000 (Horas de trabajo del departamento 3)

Modelo de P.L Modelo estándar (igualdades)

Maximizar z= 12x+4y---- 12x +4y+ 0S1+ 0S2+ 0S3

Sujeto a: x +2y≤800 ----- x+2y+S1+0S2+0S3=800

X+ 3y≤600 ----- x+3y+0S1+S2+0S3=600

2x+3y≤2000----- 2x+3y+0S1+0S2+S3=2000

X,y ≥0 x,y, S1,S2,S3≥0

C 12 4 0 0 0

X Y S1 S2 S3

0 S1 1 2 1 0 0 800

0 S2 1 3 0 1 0 600

0 S3 2 3 0 0 1 2000

Z 0 0 0 0 0 0

c-z 12 4 0 0 0

Paso 1: Determinar el renglón Z. Se multiplica la columna C por la columna X y se suman los resultados, y así sucesivamente con las demás columnas.

Paso 2: determinar renglón c-z. al renglón restar el renglón z

Paso 3: Determinar la variable que entra (columna). Del renglón c-z. Del renglón c-z escoger el número más positivo

Paso 4: Determinar la variable que sale (fila). Dividir la columna de resultados entre la columna de la variable que entra

800/1=800600/1=600200/2=1000

Y se escoge la menor división

Paso 5: Determinar el elemento clave. Ese elemento siempre tiene que ser 1, si no es 1 convertirlo en 1.

Paso 6: convertir a 0 todos los demás elementos de la columna clave

C 12 4 0 0 0X Y S1 S2 S3

R1 0 S1 0 1 1 1 0 200 R2(-1)+r1R2 12 x 1 3 1 0 0 600 R2(-2)+r3R3 0 S3 0 3 0 -2 1 800

Z 12 36 0 12 0 7200c-z 0 -32 0 -12 0

No se continúa con las operaciones porque en el renglón c-z no aparecen números positivos.

R2 (-1)+R1=1(-1)+1=0 R2 (-1)+R1= (1)+2R2 (-1)+R1=1(-1)+1

R2 (-2)+R3=1(-2)+2=0R2 (-2)+ R3=3(-2)+3=3R2 (-2)+R3=0(-2)+0=0R2 (-2)+R3=1(-2)+0=-2R2 (-2)+R3=0(-2)+1=1R2 (-2)+R3=600(-2)+2000=800

Maximizar z= 12x+4yRestricciones:

X+ 2y≤ 800 X+ 3y≤600

2x+ 3y≤2000

X,y≥0

X+ 2y≤ 800

600+2(0) ≤800

600≤800 Restricción inactiva horas de trabajo del dpto.1

X+3y≤600

600+3(0) ≤600

600≤600 Restricción activa

2x+3≤2000

2(600)+3(0) ≤2000

1200≤2000 Restricción inactiva horas de retrabajo del dpto.3 no utilizadas.

Conclusión: La empresa Swelte Glove obtendrá una ganancia de $7,200 de la

venta y fabricación del producto 1(x) de los cuales se venderán 600 unidades y

cero unidades del producto 2(y). Utilizando 3 dptos.para la fabricación de los

productos utilizando todas las horas del dpto.2. No se utilizaron todas las horas del

dpto. 1 y 3.

Wood Walker es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En

ese taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se

requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen,

ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Wood podrá vender todas las mesas que

consiga fabricar. Además el modelo C puede venderse sin pintar. Wood emplea a

varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo

disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro

mes. A partir de los datos siguientes, formule usted un modelo de programación

lineal que ayude a Wood a determinar la mezcla de productos que le permitirá

maximizar sus ganancias en el próximo mes.

Modelo Corte(hrs) Montaje(hrs) Pintura(hrs) Ganancia por mes

A 3 4 5 25

B 1 2 5 20

C 4 5 4 50

C sin pintar 4 5 0 30

Capacidad 150 200 300

1. Formacion del problema.

a) Determinar el objeto del problema.

Max o min. Las ganancias.

b) Definir las variables del problema.

Z= Ganancias

X1=Modelo de mesa A c1= $25

X2=Modelo de mesa B c2= $20

X3=Modelo de mesa C c3= $50

X4=Modelo de la mesa C sin Pintar C4= $30.

Z= 25x1+20x2+50x3+30x4

c) Establecer las restricciones del problema.

1. Corte (hrs) Capacidad= 150

Función objetivo

Maximizar Z=25x1+20x2+50x3+30x4 (Ganancias del prox. mes)

Restricciones:

3X1+X2+4X3+4X4≤150 (corte, montaje, pintura y sin pintura (hrs))

4X1+2X2+5X3+5X4≤200 (corte, montaje, pintura y sin pintura (hrs))

5X1+5X2+4X3+0X4≤300 (corte, montaje, pintura y sin pintura (hrs))

Modelo de P.L Modelo estándar (igualdades)

Maximizar z=25x1+20x2+50x3+30x4 25x1+20x2+50x3+30x4+0S1+0S2+0S3

Sujeto a: 3X1+X2+4X3+4X4≤150 3x1+x2+4x3+4x4+1S1+0S2+0S3=150

4X1+2X2+5X3+5X4≤200 4X1+2X2+5X3+5X4+0S1+1S2+0S3=200

5X1+5X2+4X3+0X4≤300 5X1+5X2+4X3+0X4+0S1+0S2+1S3=300

X1, x2, x3, x4≥0 X1, x2, x3, x4, 0S1, 0S2, 0S3≥0

C 25 20 50 30 0 0 0

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

0 S1 3 1 4 4 1 0 0 150

0 S2 4 2 5 5 0 1 0 200

0 S3 5 5 4 0 0 0 1 300

Z 0 0 0 0 0 0 0 0

C-Z 25 20 50 30 0 0 0

C 25 20 30 0 0 0 0

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

50 X3 ¾ 0 1 1 1/4 0 0 37 ½

0 S2 ¼ 2 0 0 -1 1/4 1 0 12 ½

0 S3 2 5 0 -4 -1 0 1 150

Z 37 ½ 0 50 50 12 1/2 0 0 1875

C-Z -12 ½ 20 -20 -50 -12 1/2 0 0

C 25 20 30 0 0 0 0

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

50 X3 ¾ 0 1 1 1/4 0 0 37 ½

20 X2 1/8 1 0 0 -5/8 1/2 0 6 ¼

0 S3 1 3/8 0 0 -4 2 1/8 -2 1/2 1 118 ¾

Z 40 20 50 50 0 10 0 2000

C-Z -15 0 -20 -50 0 -10 0

No se continúa con las operaciones porque en el renglón c-z no aparecen números positivos.

Maximizar Z=25x1+20x2+50x3+30x4Sujeto a: 3X1+0X2+4X3+4X4≤150

3(0)+0(6.25)+4(37.5)≤150

150≥150 Restriccion activa (corte, montaje, pintura y sin pintura (hrs))

4X1+2X2+5X3+5X4≤200

4(0)+2(6.25)+5(37.5)+5(0)≤200

200≤200 Restriccion inactiva (corte, montaje, pintura y sin pintura (hrs))

5X1+5X2+4X3+0X4≤300

5(0)+5(6.25)+5(37.5)+0(0) ≤300

218.75≤300 Restriccion activa (corte, montaje, pintura y sin pintura (hrs))

X1, x2, x3, x4≥0

Conclusión: La compañía Wood Walker obtendrá una ganancia de $2000 la mayor

parte del montaje y de pintura …

Cada una de las tres maquinas fábrica dos productos. Para elaborar una libra de

cada producto se requiere una cantidad determinada de horas de trabajo en cada

maquina, como se indica en la siguiente tabla. Las horas disponibles en las

maquinas 1, 2 y 3 son 10, 16 y 12 respectivamente. Las contribuciones a las

ganancias correspondientes a cada libra de los productos 1 y 2 son $4 y $3,

respectivamente.

Defina las variables de decisión, formule esté problema como un programa lineal

para la maximización de la ganancia.

Requerimiento de horas/maquina

Maquina Producto 1 Producto 21 3 2

2 1 4

3 5 3

Función objetivo

Maximizar Z=4x+5y (Ganancias)

Restricciones:

3x+2y≤10 (Horas de trabajo en maquina 1)

X+4y≤16 (Horas de trabajo en maquina 2)

5x+3y≤12 (Horas de trabajo en maquina 3)

Modelo de P.L Modelo estándar (igualdades)

Maximizar Z=4x+5y 4x+5y+0S1+0S2+0S3

Sujeto a: 3x+2y≤10 3x+2y+S1+0S2+0S3=10

X+4Y≤16 x+4y+0S1+S2+0S3=16

5X+3Y≤12 5X+3y+0S1+0S2+S3=12

X,y ≥0 x,y, S1,S2,S3≥0

C 4 5 0 0 0

X Y S1 S2 S3

0 S1 3 2 1 0 0 10

0 S2 1 4 0 1 0 16

0 S3 5 3 0 0 1 12

Z 0 0 0 0 0 0

C-Z 4 5 0 0 0

C 4 5 0 0 0

X Y S1 S2 S3

0 S1 -1/3 0 1 0 -2/3 2

0 S2 -5 2/3 0 0 1 -1 1/3 0

5 Y 1 2/3 1 0 0 1/3 4

Z 8 1/3 5 0 0 1 2/3 20

C-Z -4 1/3 0 0 0 -1 2/3

No se continúa con las operaciones porque en el renglón c-z no aparecen números positivos.

Maximizar Z=4x+5y

Sujeto a: 3x+2y≤10

3(0)+ 2(4)≤10

8≤10 Restriccion Inactiva (Horas de trabajo en maq. 1) no usada.

X+4Y≤16

(0)+ 4(4) ≤16

16≤16 Restriccion Activa (Horas de trabajo de la maq. 2)

5X+3Y≤12

5(0)+3(4) ≤12

12≤12 Restriccion Activa (Horas de trabajo de la maq. 3)

X,y ≥0

Conclusión: Cada una de las maq. 2 y 3 aportaron horas de trabajo, la maquina 1 no se uso. Y se obtuvo una ganancia de $20. Por c/maq.

RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de

productos basados en sustancias químicas. En un proceso

de producción particular, se emplean tres materias primas

para producir dos productos: un aditivo para combustible y

una base para solvente. El aditivo para combustible se

vende a compañías petroleras y se usa en la producción de

gasolina y combustibles relacionados. La base para

solvente se vende a una variedad de empresas químicas y

se emplea en productos para limpieza en el hogar e

industriales. Las tres materias primas se mezclan para

fabricar el aditivo para combustible y la base para el

solvente, tal como se muestra a continuación:

Producto

Aditivo para combustible Base para solvente

Material 1 0.4 0.5

Material 2 0.2

Material 3 0.6 0.3

Ésta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de

0.4 toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la

base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas

del material 2 y 0.3 toneladas del material 3.

La producción de RMC esta restringida por una disponibilidad limitada de las tres

materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las

siguientes cantidades de materia prima:

Material Cantidad disponible para la producción

1 20 toneladas

2 5 toneladas

3 21 toneladas

Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de producción, los

materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden

almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los

costos relevantes y llegó a precios que, para ambos productos, producirían una

contribución a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible

producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente. Ahora

usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de aditivo para

combustible y la cantidad de base para solvente para producir a fin de maximizar

la contribución a la ganancia total.

Función objetivo

Maximizar Z=40X+30Y (Contribución a la ganancia)

Restricciones:

0.4x+0.5y≤20 (toneladas de material disponibles para la producción)

0x+0.2y≤5 (toneladas de material disponibles para la producción)

0.6x+0.3y≤21 (toneladas de material disponibles para la producción)

Modelo de P.L Modelo estándar (igualdades)

Maximizar Z=40x+30y 40x+30y+0s1+0s2+0s3

Sujeto a: 0.4x+0.5y≤20 0.4x+0.5y+S1+0S2+0S3=20

0x+0.2y≤5 0.0x+0.2y+0S1+S2+0S3=5

0.6x+0.3y≤21 0.6x+0.3y+0S1+0S2+S3=21

X, y ≥0 x, y, S1, S2, S3≥0

C 40 30 0 0 0

X Y S1 S2 S3

0 S1 2/5 ½ 1 0 0 20

0 S2 0 1/5 0 1 0 5

0 S3 3/5 3/10 0 0 1 21

Z 0 0 0 0 0 0

C-Z 40 30 0 0 0

C 40 30 0 0 0

X Y S1 S2 S3

0 S1 0 3/10 1 0 -2/3 6

0 S2 0 1/5 0 1 0 5

0 S3 1 ½ 0 0 1 2/3 35

Z 0 0 0 0 0 0

C-Z 40 30 0 0 0

No se continúa con las operaciones porque ya están igualadas a uno y los demás a cero.

Maximizar Z=40x+30y

Sujeto a: 0.4x+0.5y≤20

0.4(0)+0.5(0) ≤20

0≤20 Restriccion Inactiva (toneladas de material disponibles para la producción) no usada.

0x+0.2y≤5

0(0)+0.2 (0) ≤5

0≤5 Restriccion Inactiva (toneladas de material disponibles para la producción) no usada.

0.6x+0.3y≤21

0≤21 Restriccion Inactiva (toneladas de material disponibles para la producción) no usada.

X, y ≥0

Conclusión: no se aplicaron las restricciones porque la empresa no se limita para cumplir los requerimientos del cliente.

M & D Chemicals produce dos productos que se venden como materias primas a

compañías que fabrican jabones para baño y detergentes para ropa. Basado en

un análisis de los niveles de inventario actuales y la demanda potencial para el

mes siguiente, la gerencia de M & D ha especificado que la producción combinada

para los productos A y B debe ser en total al menos 350 galones. Por separado,

también debe satisfacerse un pedido de un cliente importante de 125 galones del

producto A. El producto A requiere dos horas de procesamiento por galón,

mientras el producto B requiere una hora de procesamiento por galón, y para el

siguiente mes se dispone de 600 horas de tiempo de procesamiento. El objetivo

de M & D es satisfacer estos requerimientos con un costo total de producción

mínimo. Los costos de producción son $2 por galón para el producto A y $3 por

galón para el producto B.

Función objetivo:

Minimizar z=2x+3y (costo total)

Restricciones:

X+y≥350 (jabones de baño y detergente para ropa)

X=125 (jabones de baño y detergente para ropa)

2x+y≤600 (jabones de baño y detergente para ropa)

Modelo de P.L Modelo estándar (igualdades)

Minimizar z=2x+3y 2x+3y+MA1+MA2+0S1+0S2

Sujeto a: X+y≥350 x+y-S1+0S2+A1+0A2=350

X=125 x+0y+0S1+0S2+0A1+A2=125

2x+y≤600 2x+y+0S1+S2+0A1+0A2=600

X, y ≥0 S1, S2, A1, A2≥0

C 2 3 M M 0 0

X y A1 A2 0S1 0S2

M A1 1 1 -1 0 1 0 350

M A2 1 0 0 0 0 1 125

0 S 2 1 0 1 0 0 600

Z 2M M -M 0 M M 475M

C-Z 2-2M 3-M 2M M -M -M

C 2 3 M M 0 0

X Y A1 A2 S1 S2

M A1 0 1 -1 0 1 -1 225

2 X 1 0 0 0 0 1 125

0 S 0 1 0 1 0 -2 350

Z 2 M -M 0 M -M+2 225M+250

C-Z 0 3-M 2M M-0 -M M-2

No se continua con las operaciones porque el valor +negativo ya tiene el elemento clave igualado a uno y los que deben ser ceros ya son.

Minimizar z=2x+3y

Sujeto a: X+y≥350

X=125

125=125

2x+y≤600

2(125)+0≤600

250≤600

X, y ≥0