La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si

un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la

filosofía, matemáticas, computación, física. En las matemáticos para demostrar

teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para

revisar programas.

CONTENIDOS

1. Lógica matemática

2. Proposiciones y operaciones lógicas

3. Conectivos lógicos y jerárquicos

4. EJERCICIOS

5. Algebra de Boole

6. Tablas de la verdad – Expresión booleana

7. EJERCICIOS

8. Sistema binario

9. Conversión binario a decimal

10.EJERCICIOS

11. Suma y resta de números binarios

12.EJERCICIOS

13. Lógica matemática

14. Recursos

LOGICA MATEMATICA

La lógica matemática es una parte de la lógicay las matemáticas, que consiste en el estudiomatemático de la lógica y en la aplicación deeste estudio a otras áreas de lasmatemáticas. La lógica matemática tieneestrechas conexiones con la ciencias de lacomputación y la lógica filosófica.

En general la lógica se aplica en la tareadiaria, ya que cualquier trabajo que se realizatiene un procedimiento lógico, por el ejemplo;para ir de compras al supermercado una amade casa tiene que realizar ciertoprocedimiento lógico que permita realizardicha tarea. Si una persona desea pintar unapared, este trabajo tiene un procedimientológico, ya que no puede pintar si antes noprepara la pintura, o no debe pintar la partebaja de la pared si antes no pintó la parte altaporque se mancharía lo que ya tiene pintado,también dependiendo si es zurdo o derecho,él puede pintar de izquierda a derecha o dederecha a izquierda según el caso, todo estoes la aplicación de la lógica.

Proposiciones y operaciones lógicas

Una proposición o enunciado es una oración que puedeser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Laproposición es un elemento fundamental de la lógicamatemática.Ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y seexplica el porqué algunos enunciados no sonproposiciones. Las proposiciones se indican por mediode una letra minúscula, dos puntos y la proposiciónpropiamente dicha. Ejemplo.

p: La tierra es plana. q: -17 + 38 = 21 r: x > y-9 s: El Morelia será campeón en la

presente temporada de Futbol. t: Hola ¿como estas? w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valorde falso o verdadero; por lo tanto son proposicionesvalidas. El inciso r también es una proposiciónvalida, aunque el valor de falso o verdadero dependedel valor asignado a las variables x y y endeterminado momento. La proposición del inciso stambién esta perfectamente expresada aunque paradecir si es falsa o verdadera se tendría que esperar aque terminara la temporada de fútbol. Sin embargolos enunciados t y w no son válidos, ya que no puedentomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos esun saludo y el otro es una orden.

Conectivos Lógicos y Jerarquías

Como se mencionó en la sección anterior para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola. La NegaciónLa operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad

P ¬PV FF V

Ejemplo: Encuentre la negación de las expresiones siguientes: i) Júpiter es un planetaii) El pizarrón es verdeiii) El número real x es negativoiv) Algún elefante es de color rosav) Ningún pez respira fuera del aguavi) Todos los leones son feroces

Solución: i) Júpiter no es un planetaii) El pizarrón no es verdeiii) El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó ceroiv) Ningún elefante es de color rosav) Algún pez respira fuera del aguavi) Algún león no es feroz

La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:

p q p^q v v vv f ff v ff f f

La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos: La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos

p ^ q, donde p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos

Así también: p ^ q, donde

p: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2 se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.

EJERCICIOS DE LOGICA MATEMATICA

Ejercicios con la solución correspondiente.1. ( p’ )’ ⇔ pSolución

P p’ ( p’ )’V F VF V F

2. p ∧ p’ ⇔ FSolución

p p’ p ∧ p’V F FF V F

3. p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ pSolución

p q p ∨ q p ∧ ( p ∨ q )V V V VV F V VF V V FF F F F

4. ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’Soluciónp q p’ q’ p ∧ q ( p ∧ q )’ p’ ∨ q’

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V

5. ( p ∨ q )’ ⇔ p’ ∧ q’

Solución

p q p’ q’ p ∨ q ( p ∨ q )’ p’ ∧ q’

V V F F V F F

V F F V V F F

F V V F V F F

F F V V F V V

6. ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r )

Solución

p q r p ∨ q q ∨ r ( p ∨ q ) ∨ r p ∨ ( q ∨ r )

V V V V V V V

V V F V V V V

V F V V V V V

V F F V F V V

F V V V V V V

F V F V V V V

F F V F V V V

F F F F F F F

ALGEBRA DE BOOLE

En informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

LEYES1. Propiedad conmutativa:

x + y = y + x x . y = y . x

2. Propiedad asociativa:x + (y + z) = (x + y) + z x . (y . z) = (x . y) . z

3. Propiedad distributiva:x + (y . z) = (x + y) . (x + z) x . ( y + z) = (x . y) + (x . z)

4. Propiedad de los neutros. Existen 0,1 E B tales que:

x + 0 = x x . 1 = x

TABLAS DE LA VERDAD –EXPRESION BOOLEANA

El número de combinacionesde entrada será igual a 2para una tabla de verdad con"n" entradas.

Los teoremas másimportantes del álgebrabooleana fueron enunciadospor el matemático De Morganson de gran utilidad en lasimplificación de expresionesen las cuales se invierte unproducto o suma devariables.

La expresión booleana es:F (A, B, C, D)=

Aplicando las leyes de DEMORGANF (A, B, C, D)=F (A, B, C, D)=

Como tenemos 4 entradas entonces para la tabla sería: 2 , entonces tenemos 16 combinaciones.

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA DE BOOLE

1. De las siguientes sentencias o frases, ¿cuales representan proposiciones? a) 3 es un número primob) cuando se añade 5 a 7, la suma es 14c) Existen seres vivos en Venusd) Esta sentencia que Vd está leyendo es falsae) ¿Es primo el número ll? Si la sentencia p es

"el buen tiempo es agradable" escribir p' de varias formas.

SOLUCIONLas frases a), b) y c) SI son proposiciones porque son sentencias declarativas libres de ambigüedad. Están expresadas en modo gramatical indicativo. Las frases d) y e) NO son proposiciones. La primera de ellas porque es una paradoja y está sujeta a ambigüedad ; la segunda porque no está expresada en modo gramatical indicativo.

Para la sentencia p' de la segunda parte podemos escribir, por ejemplo :"el buen tiempo no es agradable"" No es cierto que el buen tiempo sea agradable"

2. Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada aserción o identidad algebraica deducible de los postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.

SOLUCION

Tomando los postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los operadores y elementos identidad resulta:

1 a) a + b = b + a ⇔ a . b = b . a (1 b

2 a) a + 0 = a ⇔ a . 1 = a (2 b

3 a) a + (b . c) = (a + b) . (a + c) ⇔ a . (b + c) = (a .b) + (a . c) (3 b

4 a) a + a’ = 1 ⇔ a . a’ = 0 (4 bEs decir, que a partir de los postulados (a) se obtienen los postulados (b). Esto demuestra lo que nos habíamos propuesto.

SISTEMA BINARIO

El sistema binario, en matemáticas e informática, esun sistema de numeración en el que los números serepresentan utilizando solamente las cifras cero yuno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras,debido a que trabajan internamente con dos nivelesde voltaje, por lo cual su sistema de numeraciónnatural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).Un número binario puede ser representado porcualquier secuencia de bits (dígitos binarios), quesuelen representar cualquier mecanismo capaz deestar en dos estados mutuamente excluyentes. Lassiguientes secuencias de símbolos podrían serinterpretadas como el mismo valor numérico binario:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

| - | - - | | - | -

x o x o o x x o x o

y n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso dependedel valor asignado a cada símbolo. En unacomputadora, los valores numéricos puedenrepresentar dos voltajes diferentes; también puedenindicar polaridades magnéticas sobre un discomagnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" noes necesariamente el equivalente al valor numérico deuno; esto depende de la nomenclatura usada.

CONVERSION DE BINARIO A DECIMAL

Decimal a binario

Se divide el número del sistema decimal entre2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre2, y así sucesivamente hasta que el dividendo seamenor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número adividir sea 1 finaliza la división.

Ejemplo Transformar el número decimal 131 enbinario. El método es muy simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0

16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 ->

Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

Decimal a binario:

Ejemplo Transformar el número decimal 100 en binario.

EJERCICIOS

Transformar de binario a decimal

1. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Solución

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 base2

(1X2potencia10)+(0X2potencia9)+(1X2potencia8)+(0X2potencia7)+(1X2potencia6)+(1X2potencia5)+(1X2potencia4)+(1X2potencia3)+(0X2potencia2)+(1X2potencia1)+(0X2potencia0)

respuesta=1024+0+256+0+64+32+16+8+0+2+0respuesta=140210

2. 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Solución

0 1 1 0 1 1 1 0 0base2(0X2potencia8) + (1X2potencia7)+(1X2potencia6)+(0X2potencia5)+(1X2potencia4)+(1X2potencia3)+(1X2potencia2)+(0X2potencia1)+(0X2potencia0)

respuesta=0+128+64+0+16+8+4+0+0respuesta=22010

3. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Solución

1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1base2(1X2potencia11)+(1X2potencia10)+(0X2potencia9)+(1X2potencia8)+(0X2potencia7)+(0X2potencia6)+(1X2potencia5)+(1X2potencia4)+(1X2potencia3)+(1X2potencia2)+(1X2potencia1)+(1X2potencia0)

respuesta=2048+1024+0+256+0+0+32+16+8+4+2+1respuesta=239310

4. Calcular el valor decimal del número binario 11000001.

Solución

v = 1 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 =

1 * 128 + 1 * 64 + 0 * 32 + 0 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 193

SUMA Y RESTA DE NUMEROS

BINARIOS

La tabla de sumar para números binarios es la siguiente:+ 0 1 0 0 11 1 10

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.Ejemplo

1

10011000

+ 00010101

———————————

10101101

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

Resta de números binariosEl algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 00 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

EJEMPLO

10001 11011001 -01010 -10101011 ———— ————00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.

EJERCICIO DE SUMA Y RESTA DE NUMEROSBINARIOS

1. 101101

+ 01010

--------

110111

2. Para sumas de este tamaño tenemos que sumar lasfilas de 2 en 2 para no confundirnos es decir la fila 1y 2 y se saca el resultado luego la fila 3 y 4 y se sacael resultado y así sucesivamente luego de la mismaforma se suma los resultados es decir el resultado dela fila 1 y 2 con el resultado de la fila 3 y 4 y se sacaun resultado y ese resultado con la fila 5 como seriaen el caso del ejercicio a realizar que esta debajo

Solución punto 2

RESTA DE NUMEROS BINARIOS

3.

1001

- 0101

------

0100

4.

1001

- 0111

------

0010

5.

1101

- 0010

------

1011

LOGICA DE PROGRAMACIONLa programación lógica es un tipo de paradigmas de programación dentro del paradigma de programación declarativa. El resto de los subparadigmas de programación dentro de la programación declarativa son: programación funcional, programación basada en restricciones, programas DSL (de dominio específico) e híbridos. La programación lógica gira en torno al concepto de predicado, o relación entre elementos. La programación funcional se basa en el concepto de función (que no es más que una evolución de los predicados), de corte más matemático.

Lógica programación↑

pensamiento lógico → Algebra →Algebra Boole

matemática → Teoría de conjuntos↓ contar , medir ,

ordenar

Resolver↳Problemas

↳Algoritmo

↳Lógica proposicional

↳ Lógica simbólica

Enlaces

• http://www.monografias.com/trabajos4/logica/logica.shtml

• http://www.mitecnologico.com/Main/TablasDeVerdad

• http://www.utpl.edu.ec/wikis/matematicas_discretas/index.php/Ejercicios_de_Sitemas_Num%C3%A9ricos

• http://www.arcos.inf.uc3m.es/~web/lib/exe/fetch.php?media=arcos:audiopro:problemas-capitulo-1.pdf

• http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario#Suma_de_n.C3.BAmeros_binarios

• http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbBoolePropo/problema102.htm