2 ° PARCIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Las ecuaciones diferenciales exactas son

aquellas que cuentan con la siguiente

estructura:

(M (x, y) dx + (N (x, y) dy) = 0

Para comprobar la existencia de una ecuación

diferencial exacta se debe cumplir la siguiente

condición:

aM / ay = aN / ax

Algoritmo:

1.- Comprobar que la ecuación es exacta

2.- Integrar a la función “M” con respecto a la

función “ax“ y sustituir a la constante “c” por la

función h (y)

3.- Derivar a la función encontrada con respecto

a “y” y se iguala con la función “m” (x, y)

af / ay = N (x, y)

4.- Integrar a la función con respecto a “y” y se

despeja h (y)

ʃ [af / ay = N (x, y) ] desp. h (y)

5.- Se encuentra la solución general con la

ecuación del paso 2 sustituyendo el valor h / (y)

e igualarla con una constante de integración.

Ejercicio:

(2y2x - 3) + (2yx2 +4) y’ = 0

aM / ay = 4yx aN / ax = 4yx

ʃ (2y2x - 3) dx

f (x, y) = 2y2x2 / 2 – 3x + h (y)

af / ay = 2y2x2 + h (y) = 2yx2 + 4

ʃ h (y) = ʃ 4 dy

h (y) = 4y

R= y 2 x 2 – 3x + 4y + c Sol. General

Sol. Particular (3, 2)

(2)2 (3)2 – 3 (3) + 4 (2)

(4) (9) – 9+ 8

36 – 1

= 35

ECUACIONES DIFERENCIALES

HOMOGENEAS

Para resolver una ecuación diferencial

homogénea se utiliza un cambio de variables

utilizando la variable “u” para dicho proceso con

los siguientes valores:

U = y/x

Y = ux

Dy = u*dx + x * du

Algoritmo:

1.- Sustituir “y” y “dy” en la ecuación

simplificando los términos iguales o

semejantes.

2.- Separar las variables en cada miembro de la

ecuación

3.- Se procede a resolver la integral en cada

miembro para encontrar la solución general.

4.- Se calcula el valor de la constante

5.- Posteriormente será usada para el cálculo de

las soluciones particulares

Ejemplo:

(x2 – xy – y2) dx – xydy = 0 (-3,2)

(x2 – x (ux) – (ux)2) dx – x (ux) (udx + xdu) = 0

(x2 – ux2 – u2x2) dx – ux2 (udx + xdu) = 0

X2dx – ux2dx – u2x2dx – u2x2dx – ux3du = 0

X2dx – ux2dx – 2u2x2dx – ux3du = 0

X2dx (-u -2u2) = ux3du

X2dx / x3 = udu / -2u2 – u

ʃ dx / x = ʃ udu / -2u2 – u

e(ln x = ln -2u -1 + c)

x = c * e -2u -1 Ec. General

Sol. Particular

X = c * e -2(2/-3) -1

C = -3 / e -2(2/-3) -1

C = -1.7909

X = -1.7909 * e -2(2/-3) -1

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Es aquella en donde las derivadas disminuyen

en forma proporcional y se representan de la

siguiente forma:

y’ + p (x) y – q (x) = 0

y’ + p (x) y = q (x)

Algoritmo:

1.- Identificar el factor integrante M = e ʃ p (x) dx

2.- Multiplicar la ecuación diferencial por el

factor integrante

3.- Sustituir en el primer miembro la derivada de

producto de la función por el factor integrante

d / dx y * M

4.- Integrar la ecuación y despejar la variable

independiente

Ejemplo:

y’ + 2xy = x3

p (x) = 2x

M = e ʃ 2xdx = e x2

e x2 y’ + 2xy e x2 = x3 e x2

ʃ d / dx y * e x2 = ʃ x2 e x2 xdx

y * e x2 = x2 / 2 e x2 – x / 2 e x2 + 1 / 4 e x2

+ c

y = (x2 / 2 e x2 – x / 2 e x2 + 1 / 4 e x2

+ c) / e x2

y = x 2 / 2 – x / 2 + 1 / 4 + c / e x2 Sol.

General

(1, 3)

C = y e x2 – x2 / 2 e x2 + x / 2 e x2 – 1 / 4 e x2

C = e x2 (y – x2 / 2 + x / 2 – 1 / 4)

C = e 1 (3 – 1 / 2 + 1 / 2 – 1 / 4)

C = e 1 (11 / 4)

C = 7.4752 Sol. Particular