2 PARCIALECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas que

cuentan con la siguiente estructura:

(M (x, y) dx + (N (x, y) dy) = 0

Para comprobar la existencia de una ecuacin

diferencial exacta se debe cumplir la siguiente

condicin:

aM / ay = aN / ax

Algoritmo:

1.- Comprobar que la ecuacin es exacta

2.- Integrar a la funcin M con respecto a la funcin

ax y sustituir a la constante c por la funcin h (y)

3.- Derivar a la funcin encontrada con respecto a y y

se iguala con la funcin m (x, y)

af / ay = N (x, y)

4.- Integrar a la funcin con respecto a y y se despeja

h (y)

[af / ay = N (x, y) ] desp. h (y)

5.- Se encuentra la solucin general con la ecuacin

del paso 2 sustituyendo el valor h / (y) e igualarla con

una constante de integracin.

Ejercicio:

(2y2x - 3) + (2yx2 +4) y = 0

aM / ay = 4yx aN / ax = 4yx

(2y2x - 3) dx

f (x, y) = 2y2x2 / 2 3x + h (y)

af / ay = 2y2x2 + h (y) = 2yx2 + 4

h (y) = 4 dy

h (y) = 4y

R= y 2 x 2 3x + 4y + c Sol. General

Sol. Particular (3, 2)

(2)2 (3)2 3 (3) + 4 (2)

(4) (9) 9+ 8

36 1

= 35

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Para resolver una ecuacin diferencial homognea se

utiliza un cambio de variables utilizando la variable u

para dicho proceso con los siguientes valores:

U = y/x

Y = ux

Dy = u*dx + x * du

Algoritmo:

1.- Sustituir y y dy en la ecuacin simplificando los

trminos iguales o semejantes.

2.- Separar las variables en cada miembro de la

ecuacin

3.- Se procede a resolver la integral en cada miembro

para encontrar la solucin general.

4.- Se calcula el valor de la constante

5.- Posteriormente ser usada para el clculo de las

soluciones particulares

Ejemplo:

(x2 xy y2) dx xydy = 0 (-3,2)

(x2 x (ux) (ux)2) dx x (ux) (udx + xdu) = 0

(x2 ux2 u2x2) dx ux2 (udx + xdu) = 0

X2dx ux2dx u2x2dx u2x2dx ux3du = 0

X2dx ux2dx 2u2x2dx ux3du = 0

X2dx (-u -2u2) = ux3du

X2dx / x3 = udu / -2u2 u

dx / x = udu / -2u2 u

e(ln x = ln -2u -1 + c)

x = c * e -2u -1 Ec. General

Sol. Particular

X = c * e -2(2/-3) -1

C = -3 / e -2(2/-3) -1

C = -1.7909

X = -1.7909 * e -2(2/-3) -1

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Es aquella en donde las derivadas disminuyen en

forma proporcional y se representan de la siguiente

forma:

y + p (x) y q (x) = 0

y + p (x) y = q (x)

Algoritmo:

1.- Identificar el factor integrante M = e p (x) dx

2.- Multiplicar la ecuacin diferencial por el factor

integrante

3.- Sustituir en el primer miembro la derivada de

producto de la funcin por el factor integrante

d / dx y * M

4.- Integrar la ecuacin y despejar la variable

independiente

Ejemplo:

y + 2xy = x3

p (x) = 2x

M = e 2xdx = e x2

e x2 y + 2xy e x2 = x3 e x2

d / dx y * e x2 = x2 e x2 xdx

y * e x2 = x2 / 2 e x2 x / 2 e x2 + 1 / 4 e x2 + c

y = (x2 / 2 e x2 x / 2 e x2 + 1 / 4 e x2 + c) / ex2

y = x 2 / 2 x / 2 + 1 / 4 + c / e x2 Sol. General

(1, 3)

C = y e x2 x2 / 2 e x2 + x / 2 e x2 1 / 4 e x2

C = e x2 (y x2 / 2 + x / 2 1 / 4)

C = e 1 (3 1 / 2 + 1 / 2 1 / 4)

C = e 1 (11 / 4)

C = 7.4752 Sol. Particular