Bloque 2 - Siplandisiplandi.seducoahuila.gob.mx/SIPLANDI_NIVELES_2015/...s Resolver problemas...
46
Bloque 2 Versión de evaluación 23/04/12
Transcript of Bloque 2 - Siplandisiplandi.seducoahuila.gob.mx/SIPLANDI_NIVELES_2015/...s Resolver problemas...
Bloque 2
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
• Resolver problemas utilizando el máximo común divisor
y el mínimo común múltiplo.
• Resolver problemas geométricos que impliquen
el uso de las propiedades de las alturas, las medianas,
las mediatrices y las bisectrices en triángulos
y cuadriláteros.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
80
Secuencia 10Criterios de divisibilidad
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.
Sesión 41En esta sesión determinarás los criterios para distinguir cuándo un número es divisible entre 2 o entre 3.
¿Qué sabes tú?Trabaja con un compañero para resolver el problema siguiente.
Beatriz quiere repartir los productos que se muestran en la tabla, de tal forma que al número de personas que se indica les toque exactamente la misma cantidad entera.
Escriban en la tabla la cantidad que le corresponde a cada persona, cuando esto sea posible, o pongan una cuando no se pueda dividir exactamente. Si tienen dudas con alguna reparti-ción, pueden hacer una división para comprobar.
Número de personas
$1 140 125 naranjas
77 manzanas
439 nueces
56 huevos
181 hojas de
papel
48 lápices
12 gomas
14 sacapuntas
2
3
5
7
¿Pudieron realizar la repartición de todos los productos entre el número de personas señalado en cada renglón?
De las cantidades que se repartieron:
¿Cuáles son divisibles entre 2, esto es, que se pudieron
dividir exactamente entre 2?
¿Cuáles son divisibles entre 3?
¿Cuáles son divisibles entre 5?
¿Cuáles son divisibles entre 7?
¿Podrían establecer un procedimiento para determinar cuándo un número es divisible entre 2, 3, 5 o 7, sin realizar
la división?
¿Todas las cantidades se podrán dividir exactamente entre
el 1 y ellas mismas? ¿Por qué?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
81
Manos a la obraEn parejas, realicen las actividades siguientes.
1. En un deportivo se van a dar clases de seis deportes en los que se requiere repartir a los participantes en dos o tres grupos. Con la información de alumnos inscritos que se muestra en la siguiente tabla contesten en qué disciplinas es posible formar dos o tres grupos con el mismo número de integrantes. Escriban SÍ en el caso de que sea posible, y NO cuando no lo sea. Si tienen dudas, hagan las divisiones.
Especialidad Inscritos¿Es posible formar 2 grupos
con el mismo número de integrantes?
¿Es posible formar 3 grupos con el mismo número de
integrantes?
Natación 220
Futbol 213
Beisbol 111
Volibol 146
Tenis 98
Atletismo 132
¿En qué deportes sí fue posible formar 2 grupos exactos?
¿En cuáles fue posible formar 3 grupos exactos?
Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 2, es decir que son divisi-
bles entre 2. ¿Qué característica tienen en común estos números?
Expliquen brevemente cómo es posible determinar, sin realizar la división, cuándo un núme-
ro es divisible entre 2.
Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 3, es decir que son divisi-
bles entre 3. ¿Qué característica tienen en común estos números?
¿Tiene algo que ver la terminación de los números para que sean divisibles entre 3?
¿Por qué?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
82
2. En la siguiente tabla hay diez números que al dividirlos entre 3 dejan residuo cero. Subráyenlos.
123 528 111 923 611
326 327 259 405 102
420 936 639 412 984
Busquen alguna característica que tengan en común los números divisibles entre 3.
Pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, división) con los dígitos de cada número y ver si hay alguna característica común.
Comparen sus observaciones en el grupo y saquen una conclusión respecto a cómo deter-minar cuándo un número es divisible entre 3 sin realizar la división.
Los números cuya última cifra es un número par son divisibles entre 2.
Por ejemplo:
458 es divisible entre 2, porque la última cifra es par.
1 080 es divisible entre 2, porque la última cifra es 0.
Son divisibles entre 3 los números en los que la suma de los dígitos que lo forman es un múltiplo de 3.
Ejemplos:
285 es divisible entre 3, porque la suma de 2 + 8 + 5 es 15, y 15 es múltiplo de 3.
542 319 es divisible entre 3, porque la suma de 5 + 4 + 2 + 3 + 1+ 9 es 24, y 24 es múltiplo de 3.
Un número natural a es divisible entre otro natural b distinto de cero, cuando puede dividirse exactamente entre éste, es decir que existe un natural c, de tal forma que bc = a. b a = c
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S10
83
Sesión 42En esta sesión conocerás los criterios para determinar cuándo un número es divisible entre 5 o 7.
Manos a la obraEn parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
1. Catalina quiere comprar unas estampas para repartirlas entre sus cinco hijos, pero quiere que a cada uno le toque un número exacto de estampas y que no sobre ninguna. ¿Qué paquetes puede comprar para que se cumplan estas condiciones?
Escriban qué paquetes cumplieron con las condiciones marcadas.
Escriban qué características tienen en común los paquetes que sí cumplieron las condiciones.
2. Encierren los números que sean divisibles entre 5.
¿Qué característica observan en los nú-meros que pueden dividirse entre 5?
3. Analicen el procedimiento siguiente, que permite saber cuándo un número es divisible entre 7.
a) ¿El número 386 es divisible entre 7?
Separen el dígito de las unidades: 38 6
Dupliquen el dígito de las unidades: 6 × 2 = 12
Resten el producto a las cifras de la izquierda: 38 − 12 = 26
Si el resultado es cero o múltiplo de 7 el número será divisible entre 7. Como 26 no es múltiplo de 7, entonces 386 no es divisible entre 7. Realicen la división y compruébenlo.
123 365 258 415 780 965
589 333 200 555 145 789
235 350 625 380 415 100
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
84
b) ¿El número 875 es divisible entre 7?
Separen el dígito de las unidades: 87 5
Dupliquen el dígito de las unidades: 5 × 2 = 10
Resten el producto a las cifras de la izquierda: 87 − 10 = 77
Como el 77 es múltiplo de 7, entonces el 875 es divisible entre 7. Realicen la división y compruébenlo.
c) Cuando el número es mayor, por ejemplo 2 982, el proceso se repite tantas ve-ces como sea necesario. Analicemos si 2 982 es múltiplo de 7.
Separen el dígito de las unidades: 298 2
Dupliquen el dígito separado: 2 × 2 = 4
Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 298 − 4 = 294
Se repite el procedimiento con el número obtenido en el paso anterior, para ver si es múltiplo de 7, es decir, el 294.
Separen el dígito de las unidades: 29 4
Dupliquen el dígito de las unidades: 4 × 2 = 8
Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 29 – 8 = 21
El 21 es múltiplo de 7, entonces el 2 982 es divisible entre 7.
907 2520
875
787
602
644
339
337
Un dato interesante…
Se cree, pero no se ha demostrado, que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Este resultado se conoce como la conjetura de Goldbach.
Ejemplos:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
4. Analiza los siguientes números. Emplea el procedi-miento anterior para determinar si el número es divisi-ble entre 7, y si el número es divisible, subráyalo.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si tienen resultados distintos, comprueben realizando la división.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S10
85
Sesión 43En esta sesión conocerás qué son los números primos y los números compuestos.
Manos a la obra¿Qué tipos de números conoces?
1. En parejas, escriban qué tipos de números son los siguientes:
1°, 2°, 3°…
1, 2, 3, 4,…
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 2, 4, 6, 8…
2. Escriban qué otro tipo de números conocen y den un ejemplo de ellos.
Comparen sus respuestas con las de otra pareja y en caso de duda comenten con su maestro.
3. En equipos, resuelvan el problema siguiente.
Fátima tiene un pasatiempo: le gusta analizar números y determinar cuáles son sus divisores. Ella sabe que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
Ayúdale a completar la tabla.
¿Entre qué números fue divisible el 43?
¿y el 47?
Esta fue la forma en que Jorge analizó los números 43 y 47.
No son divisibles entre 2 porque no terminan en número par. No son divisibles entre 3 porque sus dígitos no suman un múltiplo de 3. No son divisibles entre 5 porque no terminan en 0 o en 5. No son divisibles entre 7 porque al duplicar el dígito de las unidades y restarlo a lo demás no da un múltiplo de 7. ¡No son divisibles entre esos números!
¿Qué opinan del análisis que hizo Jorge?
Número Divisible entre…
240 1, 2, 3, 4, 5, 6,
43
246
47
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
86
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
• En la siguiente tabla tachen el 1 porque no es número primo.
• Encierren con un círculo el 2 y tachen to-dos sus múltiplos (4, 6, 8, etcétera).
• Encierren con otro círculo el siguiente nú-mero que no esté tachado, en este caso el 3, y tachen todos sus múltiplos (6, 9, 12, etcétera).
• Encierren con un nuevo círculo el siguiente número que no esté tachado, ahora sería el 5, y tachen todos sus múltiplos (5, 10, 15, etcétera).
• Encierren con un círculo el siguiente nú-mero que no esté tachado, que será el 7, y tachen todos sus múltiplos.
• Busquen el siguiente número sin tachar y enciérrenlo en un círculo. Después tachen todos sus múltiplos.
• Continúen así hasta que todos los núme-ros estén tachados o encerrados.
En su cuaderno dividan los números 43 y 47 entre sí mismos y comenten lo que sucede.
¿Pudieron dividirse entre sí mismos? ¿Qué cociente obtuvieron?
Ahora dividan entre 1 los números señalados.
¿Qué cociente obtuvieron?
¿Qué pueden concluir?
De acuerdo con la definición anterior, ¿el número 1 es un
número primo?
4. En equipos, realicen la actividad siguiente.
La criba de Eratóstenes
Eratóstenes (276-194 a.n.e.) fue un matemático griego que ideó una forma para reconocer cuáles números son primos. Háganla ustedes también.
Hay números que sólo tienen dos divisores diferentes: ellos mismos y la unidad. Los números que sólo tienen dos divisores diferentes se llaman números primos.
1 13 , 13 13 ; 1 43 , 43 43 ; 1 47 , 47 47
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S10
87
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• Determina entre qué números primos son divisibles los siguientes números:
210, 105, 77, 184, 91.
Consulta en…
Entra a los sitios: <http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/primos.htm> y <http://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0898/recursos/sabiasque.htm>, donde encontrarás otros aspectos interesantes de los números primos.
Los números encerrados en círculo, es decir, los que quedaron sin tachar, son los números
primos menores de 100. Escríbanlos a continuación.
Todos los números que fueron tachados, a partir del 4 reciben el nombre de números com-puestos.
Escriban con sus propias palabras lo que entienden por número compuesto.
Comparen su texto con el de otros equipos, y si tienen alguna duda coméntenla con el maestro.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
88
Secuencia 11MCD y mcm
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
¿Qué sabes tú?1. Reúnete con un compañero para resolver el problema siguiente.
Se inscribieron 240 personas en un curso de idiomas. Todas deben pertenecer a algún grupo. Si se forman grupos con el mismo número de integrantes, cuántas personas habrá en cada uno si se tienen:
Cinco grupos
Seis grupos
Ocho grupos
Doce grupos
¿Qué hicieron para saber cuántas personas correspondían a cada grupo?
Comprueben si 240 tiene como divisores a 5, 6, 8 y 12.
Sesión 44En esta sesión resolverás problemas efectuando el cálculo del máximo común divisor.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
89
Manos a la obra1. En equipos, resuelvan los problemas siguientes.
En la tabla se muestran los participantes que se han inscrito para las distintas disciplinas de las pruebas de atletismo.
Disciplina Número de participantes
Carreras 60
Salto 48
Lanzamientos 30
Marcha 120
a) Se trata de formar equipos de manera que haya el mismo número de participantes de
cada disciplina. ¿Cuál es el mayor número de equipos que se pueden crear?
¿Cuántos integrantes de cada prueba habrá por equipo?
b) Diana dice que para contestar las preguntas la operación que se necesita emplear es la
división. ¿Tiene razón? ¿Qué números son los que hay que dividir?
¿Entre qué número habría que dividir?
c) Pedro dice que hay que multiplicar. ¿Tiene razón? ¿Qué números son los que
hay que multiplicar? ¿Por qué número habría que mul-
tiplicar?
d) Escriban en la tabla todos los divisores que tiene cada número
Número Divisores
60
48
30
120
¿Cuáles divisores son comunes a todos los números?
e) Comenten lo siguiente.
De los divisores comunes, ¿cuál es el mayor?
¿Cómo se relaciona este número con la solución del problema?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
90
El máximo común divisor (mcd) de varios números corresponde al divisor que es común para todos los números dados y además es el mayor.
Por ejemplo:
El mcd de los números
108 132 120 144
Números Divisores
108 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108
132 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132
120 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
144 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144
Los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y el mayor es el 12.
Por lo tanto, el mcd de 108, 132, 120 y 144 es 12, esto quiere decir que el número 12 es el número mayor que puede dividir exactamente a todos los números mencionados.
Sesión 45En esta sesión resolverás problemas encontrando el mínimo común múltiplo.
Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) Rosa, Raúl y Rita juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 50. Rosa dice que su pulga saltará de 3 en 3 empezando en el 1, Raúl dice que su pulga saltará de 5 en 5 empezando en el 2, Rita podrá poner 2 trampas.
¿Los podrá atrapar con las dos trampas o necesitará más?
¿Podría atraparlos con una trampa o necesitará las dos?
Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno.
Rosa:
Raúl:
¿En qué números le conviene a Rita poner sus trampas para atrapar a sus compañeros?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, y en caso de duda pidan que justifiquen sus respuestas.
2. En equipos, resuelvan el problema siguiente.
Edna horneó galletas de diferentes sabo-res: nuez, 216 piezas; vainilla, 264; cho-colate, 240; fresa, 288, y con azúcar, 144. Quiere empacarlas en bolsas distri-buidas equitativamente.
¿Cuál es el número máximo de bolsas que
puede llenar sin que le sobren o le falten
galletas? ¿Cuántas galletas
de cada sabor deberá poner en cada bol-
sa?
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que jus-tifiquen su respuesta y analicen cuál con-sideran que es el procedimiento correcto.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S11
91
b) Luis, Leti, Luci y Lalo juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 100. Todos iniciarán en el cero. Luis saltará de 4 en 4, Leti de 6 en 6, Luci de 3 en 3, y Lalo solamente tendrá oportunidad de colocar una trampa.
¿Bastará una trampa para atraparlos a todos?
¿En dónde le conviene a Lalo colocar la trampa para atrapar al mayor número de com-pañeros?
Si quiere atraparlos a todos lo antes posible, ¿en qué casilla deberá poner la trampa?
Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno.
Luis:
Leti:
Luci:
Observen los números por los que pasarán las pulgas y contesten:
¿Cuáles son los números comunes a todos?
¿Cuál es el número menor por el que pasarán todas las pulgas?
¿En qué número le conviene a Lalo poner la trampa?
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las justifiquen.
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números corresponde al múltiplo positivo que es común para todos los números dados y además es el menor.
Por ejemplo:
El mcm de los números
18 12 10
Números Divisores
18 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234,…
12 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204,…
10 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,…
El primer múltiplo común es 180.
Por lo tanto, el mcm de 18, 12 y 10 es 180. Esto quiere decir que el número 180 es el menor múltiplo común y que puede ser dividido exactamente entre todos los números mencionados.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
92
Sesión 46
AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.
• Escribe una forma de calcular el mínimo común múltiplo de varios números.
• Escribe una forma de calcular el máximo común divisor de varios números.
• Usando los números 18, 12 y 36, inventa dos problemas, uno que involucre el cálculo del mínimo común múltiplo y otro que requiera el cálculo del máximo común divisor.
Avenida Central
para
da
para
dapa
rada
Enriq
ue
En esta sesión resolverás problemas realizando el cálculo del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo.
Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) Carlos tiene los dulces que se enlistan a continuación: 40 higos, 56 alegrías, 48 pepitorias y 24 calabazas. Los quiere empacar en cajas para su venta, de tal forma que use el mayor número de cajas y que en cada una haya la misma cantidad de cada tipo de dulces. ¿Cuántas cajas usará y cuántos dulces de
cada tipo habrá en cada una?
b) Para cubrir una ruta de 60 cuadras hay tres líneas de autobuses que suben o bajan pasaje al final de las cuadras de la siguiente forma: la línea verde hace parada cada 3 cuadras; la azul, cada 4 cuadras, y la rápida solamente se detiene cada 6 cuadras.
Si Enrique vive en la esquina del final de la cuadra 7 y quiere caminar hasta la calle más próxima en la que hagan parada las tres líneas, para que pueda
tomar cualquiera de ellas, ¿cuál es la cuadra a la que debe caminar?
Mónica vive en la esquina del principio de la calle 15 y quiere caminar a su casa desde cualquier cuadra en la que pare una de las líneas. ¿Cuál parada
le queda más cerca? ¿De qué línea de autobús es?
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las justifiquen.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
93
Secuencia 12
Sumas con fracciones y decimales
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
Sesión 47En esta sesión resolverás problemas utilizando la equivalencia entre fracciones.
¿Qué sabes tú?Trabajen en parejas para resolver la siguiente actividad.
Al comienzo del año, doce personas participan en una tanda, que es una modalidad de ahorro en la que todos aportan al mes la misma cantidad de dinero, la cual se entrega en su totalidad en cada ocasión a una persona diferente. En el mes de agosto un integrante salió de viaje y otro tuvo un accidente, lo que les impidió hacer su aportación.
¿Qué fracción de la tanda recibió la persona en turno?
Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.
a) Hoy en la mañana Luis Adrián tomó medio litro de leche antes de ir a la escuela. Por la tarde, al regresar a su casa, tomó otro vaso de leche, equivalente a un cuarto de litro, y finalmente, antes de irse a dormir bebió leche en un vaso con capacidad de tres cuartos de litro. Si consideramos que un vaso equivale a un cuarto de litro, ¿cuántos vasos de
leche tomó el día de hoy Luis Adrián?
b) El señor López utiliza la tercera parte de su día de trabajo en contestar llamadas; asi-mismo, durante la mitad de la jornada laboral se encuentra en juntas con clientes. El tiempo restante lo considera como su momento productivo. Conforme a la percepción del señor López, ¿a cuántos momentos productivos es equivalente el tiempo destinado a atender llamadas y a estar en juntas con clientes?
Comenta tus resultados con el grupo.
Cuando dos o más fracciones representan la misma cantidad, entonces son equivalentes;
es decir, 12 = 2
4 .
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
94
Para sumar o restar dos o más fracciones que tienen diferente denominador se deben obtener fracciones equivalentes con denominador común.
Sesión 48En esta sesión resolverás problemas que implican el empleo de fracciones.
Manos a la obraEn equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) Tres hermanos reciben cada uno de sus papás la misma cantidad de dinero para utilizarla
en lo que quieran durante la semana. Pasados tres días los niños deciden juntar la cantidad
de dinero con que cuentan en ese momento porque quieren comprar un juguete que vale
1 13 veces lo que recibió alguno de ellos. Si al primero le queda la mitad de lo que recibió,
al segundo 26
y al tercero 78 , ¿será posible que les alcance el total de su dinero para com-
prar el juguete que quieren?
b) La señora Tina decidió hacer la dieta de la luna para bajar de peso. Al terminarla pesaba 910
de lo que tenía al comienzo de su dieta, sin embargo, debido a que tuvo una descom-
pensación estuvo en el hospital una semana. Al salir pesaba 18
menos que cuando inició la
dieta. ¿Qué fracción de peso perdió en total la señora Tina?
Un denominador común es cualquier múltiplo común de los denominadores de las fracciones,
así que por conveniencia utilizaremos el mínimo común múltiplo. Por ejemplo, en el caso de 32 + 53 − 1
6 el mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, de forma que las fracciones
equivalentes son 96 , 10
6 y 16 , siendo el resultado de la operación 18
6 = 3.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S12
95
Sesión 49En esta sesión compararás fracciones.
Manos a la obraEn parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) En el siguiente cuadro se muestra la fracción que representan los maestros de secundaria con respecto al número de alumnos de ese nivel en siete países. Esto es, la tabla nos dice cuántos maestros hay por número de alumnos.
País Maestros por número de alumnos
Argentina 350
Brasil 350
Chile 125
Corea 120
España 225
Estados Unidos 7100
México 120
Fuente: Elaboración propia con base en información del INEE. Panorama educativo de México 2009, p. 40.
¿Qué países superan a México en mayor número de maestros por número de alumnos?
¿Por cuánto más?
¿Qué país es el que tiene mayor número de maestros por número de alumnos?
b) La familia Pérez fue a Acapulco, realizando el trayecto en un tiempo de 6 18 horas. Estando
allí se encontraron a la familia López, quienes llegaron por otro camino, empleando un
tiempo de 3 23 horas.
¿Cuánto tiempo se hubiera ahorrado la familia Pérez de haber tomado el mismo camino que
la familia López?
Para hacer una suma o una resta de números mixtos se acostumbra convertirlos a fracciones impropias. Luego, las fracciones impropias se transforman en fraccio-nes equivalentes con denominador común para poder efectuar la operación.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
96
Para realizar la adición o la sustracción con números decimales se escriben los números en forma vertical, de manera tal que las cifras queden alineadas a partir del punto decimal, esto permite sumar décimos con décimos, centésimos con centésimos, y así sucesivamente.
Ejemplo:
9.05 + 12.50 25.00 46.55
Sesión 50En esta sesión verás cómo se trabaja con números decimales en ciertas actividades cotidianas.
Manos a la obraTrabajen en equipos la actividad siguiente.
Los precios de algunos productos que se venden en la papelería “La Goma” son los siguientes:
Producto Precio
Lápiz de 2 12
$ 3.00
Cuaderno profesional $ 17.80
Goma $ 6.20
Bolígrafo $ 4.20
Fotocopia $ 0.60
Fólder $ 1.50
Encuentren el costo de:
Diez copias, un fólder y un bolígrafo
Un cuaderno profesional, lápiz de 2 12 y una goma
80 copias, dos fólderes y tres cuadernos
Si una persona que va a “La Goma” tiene destinado pagar $100.00, ¿qué podría comprar?
Escriban una opción.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S12
97
Sesión 51En esta sesión resolverás problemas utilizando tanto fracciones como decimales.
Manos a la obraEn parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) En un grupo de secundaria la mitad de los hombres está en el taller de electrónica, mientras que la tercera parte de las mujeres cursa el de computación, ¿cuál es la diferen-cia entre la fracción de hombres que estudian electrónica y la de mujeres que cursan
computación?
b) Una persona tiene que trabajar 40 horas a la semana. Si el lunes laboró 7 14 h, el mar-
tes 9 12 h, el miércoles 10 23 h, y el jueves 6 56 h, ¿cuánto tiempo tendrá que laborar el
viernes?
c) En una tlapalería, el señor Robles pagó por un kilogramo de cemento la cantidad de $35.60, y por dos kilogramos de estopa, $15.06. Al pagar con un billete de $200, el encargado le dice que no cuenta con centavos, por lo que el señor Robles acepta que no le dé los centavos
de cambio. ¿Cuánto recibió de cambio?
d) En el refrigerador de la casa de Juan hay un recipiente con 3.5 litros de leche; si él toma 14 L de leche por día, ¿para cuántos días le alcanza la leche que hay?
e) En un frutero hay 2 12 kg de fruta; si hay 0.125 kg de melón, 14
kg de manzana y medio
kilogramo de sandía, ¿qué cantidad de kilogramos hay de otras frutas?
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• ¿Cómo resolverías la siguiente operación?
35 + 7 2
10 + 0.85
• ¿Cuál es el resultado expresado en fracción?
• ¿Cuál es el resultado expresado con número decimal?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
98
Secuencia 13
Multiplicación y división con fracciones
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y la división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
Sesión 52En esta sesión resolverás problemas cotidianos empleando la multiplicación y la división de fracciones.
¿Qué sabes tú?1. Contesta lo siguiente.
Óscar compra 12 kg de carne, 3
4 kg de cebolla, 34 kg de tortillas, 1 1
2 kg de jitomate y
verdura que pesó 2 12 kg, y todo lo pone en una bolsa, ¿cuánto peso lleva la bolsa?
Si su hermana le ayuda con la verdura y la carne, ¿cuánto peso lleva cada uno?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
99
Manos a la obra1. En parejas, completen la tabla y contesten las preguntas.
Una persona compró en el mercado las siguientes mercancías para su despensa.
Mercancías Cantidad de kilogramos
Precios por kilogramo
Cantidad de dinero a pagar
Cebollas 3 $6
Azúcar 1 12 $18
Carne 34 $80
Huevo 14 $24
¿Por cuál de las cuatro mercancías pagó más?
¿Cuánto pagó en total?
Si compran tres veces esa cantidad de cebollas, ¿cuánto deben pagar?
¿Cuánto cuesta 12 kg de azúcar?
Si compran 2 kg de carne, ¿cuánto deben pagar?
¿Y si compran 12 kg de huevo?
¿Cómo calculan cuánto pagó esa persona por la carne?
Si por 14 de kg de huevo paga 6 pesos, ¿cuánto dinero pagará por 3
4 kg?
2. Resuelve el problema siguiente.
El señor Pedro compró una pieza de 15 m de tela. Va a utilizar 4 12 m para hacer sus pan-
talones. El resto de la tela lo va a repartir en partes iguales a sus tres hijos.
¿Cuántos metros de tela le corresponden a cada hijo?
Pedro va a confeccionar dos pantalones con la tela que tiene, ¿cuántos metros utilizará
para cada pantalón?
Analiza con un compañero la estrategia seguida para resolver los problemas anteriores.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
100
Sesión 53En esta sesión seguirás aplicando la multiplicación y la división de fracciones en diferentes contextos, ahora las estudiarás para calcular áreas.
Manos a la obra1. Contesta lo siguiente.
¿Cuánto tendrá de área un espejo rectangular que mide 2 m de alto y 5 m de largo?
alto
largo
2. En parejas, realicen la actividad siguiente y anoten los resultados en su cuaderno.
Una persona necesita comprar tres hojas de triplay con las siguientes medidas:
Hoja 1: 13 m × 1
6 m Hoja 2: 1 12 m × 3
5 m Hoja 3: 56 m × 3 m
La hoja de triplay que mide 6.10 m × 1.83 m vale $250.00.
Calculen el área y el costo de las hojas 1, 2 y 3.
Describan brevemente el método que siguieron para calcular el costo de las hojas.
Si se necesita una hoja de triplay que mida 3 m de largo y 14 m de ancho, ¿cuánto medirá
su área?, ¿y cuál será su costo?
Comparen sus respuestas y los procedimientos que emplearon con los de otras parejas.
3. Contesta lo siguiente.
Don José tiene una parcela de forma cuadrada. Si aró las 34 partes de su parcela y sembró 23 partes de la parte arada, ¿qué parte de la parcela sembró?
En la parte de la parcela que está sin arar construyó un corral que ocupa la mitad de ésta.
¿Qué parte de la parcela ocupa el corral?
Si el terreno mide de largo 15 de kilómetro, ¿cuál es el área en metros cuadrados de la
parcela de don José?
4. Comenten en grupo cómo se obtiene el producto y el cociente de dos fracciones.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S13
101
Sesión 54En esta sesión resolverás problemas de multiplicación de fracciones.
Manos a la obraEn el museo Universum de la UNAM, en la ciudad de México, se tienen simuladores en los que se representa la fuerza de gravedad de los planetas de nuestro sistema solar.
Los planetas atraen a los objetos con distinta intensidad.
La fuerza de gravedad en la Tierra es 56 veces la fuerza en Neptuno. Esto significa que en Nep-
tuno una persona saltaría 56 veces menos alto de lo que salta en la Tierra, y que su peso sería 65 veces mayor.
Si en la Tierra el récord de salto de altura es cercano a 2.5 m, ¿cuál sería la altura de este
récord en Neptuno?
Una persona que pesa 80 kg en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Neptuno?
1. En equipos, completen la tabla siguiente.
Integrantes del equipo
Peso en la Tierra (en kg)
Peso en la Luna ( 16 del peso en la Tierra)
Peso en Marte ( 25 del peso en la Tierra)
Peso en Neptuno
Cuando se multiplica cualquier número por una fracción menor que 1, el producto es menor que ese número, porque se toma sólo una parte de él:
56 × 9 = 45
6 = 7 36 = 7 1
2 ; 7 12 es menor que 9;
56 × 1
2 = 512 ; 5
12 es menor que 12 .
Y cuando se multiplica cualquier número por una fracción mayor que 1, el producto es mayor que ese número, porque se toma más de una vez:
52 × 4 = 20
2 = 10; 10 es mayor que 4;
52 × 2
3 = 106 ; 10
6 es mayor que 23 .
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
102
Sesión 55En esta sesión resolverás problemas de división de fracciones en distintos contextos.
Manos a la obra1. Resuelve el problema siguiente.
Si en una papelería tienen un rollo de hule para forrar de 12 m y necesitan cortar trozos
de 23 m cada uno, ¿cuántos trozos se obtienen?
Si el rollo tuviera 15 12 m y necesitaran cortar trozos de 14 m cada uno, ¿cuántos trozos
se obtendrían?
2. En equipos, realicen las siguientes actividades.
La siguiente figura representa un rollo de hule de 12 m de largo.
Marquen la medida del largo de los trozos ( 23 m) tantas veces como se pueda a lo
largo del hule.
¿Cuántos trozos obtuvieron?
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
2. Contesta lo siguiente.
La fracción recíproca o inversa de una fracción es otra frac-
ción que se obtiene al invertir sus términos. Por ejemplo:
de 23 su recíproca o inversa es 3
2 .
¿Cuál será el resultado de multiplicar una fracción por su
recíproca?
Consulta en…
Entra al sitio <http://www.universum.unam.mx/> y analiza la información que contiene acerca de los planetas y la fuerza de gravedad.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S13
103
Dividir un entero entre una fracción es equivalente a multiplicar el entero por el recíproco de la fracción. Por ejemplo:
12 ÷ 34 = 12 × 4
3 = 121 × 4
3 = 483 = 16
12 ÷ 12 = 12 × 2
1 = 121 × 2
1 = 241 = 24
Dividir cualquier fracción (dividendo) entre otra (divisor) es equivalente a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Por ejemplo:
95 ÷ 3
4 = 95 × 4
3 = 3615 = 12
5
Completen la siguiente tabla.
Cantidad de hule disponible
12 m 12 m 12 m 12 m 12 m 12 m 12 m
Medida del largo de los trozos
12 m 6 m 3 m 1 14 m 1 3
4 m 16 m 1
8 m
Número de trozos que se obtienen
Si el rollo de hule mide 12 m y cortan trozos de 13 de m, ¿cuántos trozos se obtienen?
Escriban la división que corresponde a cada situación:
Si el rollo de hule mide 15 12 m y cortan trozos de 1
6 m, ¿cuántos trozos se obtienen?
Escriban la división que modela esta situación:
÷ =
Si tienen 10 trozos de 12 m y los unen, ¿cuántos metros de hule tienen en total?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
104
Sesión 56En esta sesión estudiarás problemas de multiplicación y división de fracciones en diversos contextos.
Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.
a) En una planta lechera se tienen distintas presentaciones de un mismo producto. Un tanque de leche deslactosada tiene 36 000 L, con los que se llenarán 20 000 garrafo-nes, sin que sobre leche.
¿De qué capacidad deben ser los garrafones?
¿Qué operación realizaron para encontrar la respuesta?
b) Se van a repartir 6 34 L de leche light en 27 en vases. Se quiere que en cada envase haya
la misma cantidad de líquido y que no sobre.
Encierra la operación que resuelve correcta mente el problema.
6 34 ÷ 27 27 ÷ 6 3
4
274 × 18
4 6 34 × 27
¿Qué cantidad de leche quedará en cada envase?
2. En parejas, analicen las siguientes divisiones y, sin resolverlas, escriban frente a cada una: cociente entero, resultado menor que el dividendo o resultado mayor que el dividendo, se-gún sea el caso. Resuelvan las operaciones en su cuaderno y corroboren sus cálculos.
3 ÷ 24 = 2 1
3 ÷ 3=
5 34 ÷ 3 2
3 = 27 ÷ 3
5 =
47 ÷ 3
4 = 243 ÷ 14
7 =
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S13
105
AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.
En una escuela presentaron examen 240 alumnos.
1. Si 36 de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron?
a) 82 b) 104 c) 98 d) 72
2. Del total de alumnos que presentaron el examen, 512 están en primer grado, y de éstos,
45 lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado aprobaron?
a) 80 b) 65 c) 102 d) 78
3. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
a) Se tienen 9 litros de miel y se van a envasar en botellas de 34 , ¿cuántas botellas se
llenarán?
b) El rendimiento de gasolina de un automóvil A es de 11 12 km/L, y el del automóvil B es
de 15 14 km/L. Si con el tanque lleno el automóvil A recorre 690 km, ¿cuál es la capa-
cidad del tanque A? ¿Cuánto recorre el automóvil B
con la misma cantidad de gasolina?
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
106
Secuencia 14
Propiedades de la mediatriz y la bisectriz
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 57En esta sesión conocerás las aplicaciones que tienen las diferentes propiedades de la mediatriz de un segmento.
¿Qué sabes tú?En temas del bloque anterior viste el trazo de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo. Algunos problemas y situaciones generales en geometría implican el conocimiento y análisis de las propiedades de dichos lugares geométricos.
El maestro de Matemáticas de 1°B ha organizado un concurso de construcción de papalotes entre sus alumnos, con la condición de que los papalotes sean diseñados con figuras geomé-tricas y que contengan representaciones de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo. El papalote ganador será premiado.
Chucho y su amigo entraron al concurso e investigaron algunos esquemas de figuras que cum-plen con las condiciones solicitadas.
¿Qué necesitan saber Chucho y su amigo acerca de la mediatriz y la bisectriz para armar el
papalote y ganar el concurso?
Dibuja algunas figuras geométricas que conozcas, con las condiciones que puso el profesor.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
107
Manos a la obra1. En equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
En un concurso de tiro con arco se colocan cinco blancos frente al tirador en turno; a éste se le indica que debe situarse en el centro de la línea de tiro y desde ahí efectuar sus disparos.
Localiza el punto P sobre la línea de tiro desde donde su disparo al punto C sea una per-pendicular. Dibuja ahora los segmentos que parten del centro de la línea de tiro hacia cada uno de los blancos marcados con las letras A, B, D y E.
¿Cuántos pares de segmentos iguales hay y cuáles son?
Si acercamos la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales quedan?
En caso de que se decida alejar la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales
quedan?
¿Cuál es el segmento que tiene diferente medida que los demás?
¿Qué lugar geométrico representa dicho segmento si pasa por el punto medio de la línea
de blancos?
C
A
B
D
E
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
108
Sesión 58En esta sesión definiremos las propiedades de la mediatriz que nos ayuden a resolver ciertas situaciones de la vida cotidiana.
Manos a la obra1. Lee la información siguiente y contesta.
Al padre de Pepe, que es herrero, le solicitaron una puerta que tenga un diseño como el que se muestra en la siguiente figura:
Largo
Alto
Por la carga de trabajo, el papá le encargó a Pepe que realizara los cortes para la construc-ción de la puerta, considerando su diseño y el ahorro de material. Reúnanse en equipos y contesten las siguientes preguntas para ayudar a Pepe con el trabajo. Pueden hacer trazos en su cuaderno para explicar sus procedimientos.
• ¿Cómo son entre sí las varillas que forman el contorno de cada figura?
• Si se pretende utilizar dos varillas para el centro de cada figura, ¿cuántas se necesitan
para armar la secuencia?
• ¿Qué condición deben cumplir las dos varillas centrales para que la figura se arme co-
rrectamente?
• Observa la secuencia de figuras, ¿cuántas mediatrices encuentras?
¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del centro de cada rombo?
¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del contorno de cada
figura?
En equipos, y con ayuda de su profesor, concluyan qué tipo de propiedades de la mediatriz y su correcto trazo hemos analizado, y que podrían ayudar al padre de Pepe a entregar un mejor diseño en su trabajo.
Para finalizar, tracen en su cuaderno un diseño parecido al que debe entregar el padre de Pepe con las medidas que ustedes determinen, y mar-quen con color rojo la distancia de la mediatriz a los extremos del segmento que divide y con color azul el ángulo recto que forma la mediatriz con el segmento que divide.
La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio.
La mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento al que divide es la misma.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S14
109
Sesión 59En esta sesión resolverás algunos problemas usando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.
Manos a la obra1. En parejas, analicen el siguiente problema y contesten.
El maestro de Matemáticas del 1ºC propuso al grupo construir relojes de manecillas para analizar las propiedades de la bisectriz de un ángulo , y luego procedió a plantear lo siguiente:
¿Qué hora exacta será cuando el minutero esté en las doce, el horario en las cuatro y el
segundero sea la bisectriz que forman las dos anteriores?
¿Qué tuvieron que hacer para encontrar la respuesta más adecuada?
¿Cómo es la distancia que hay entre cada manecilla a esa hora?
2. Realiza lo que se indica.
Traza en tu cuaderno tres círculos de 5 cm de radio, marca la división de las horas como si fuera un reloj de manecillas y determina tres ángulos con sus bisectrices, como se hizo en la actividad anterior.
Compara tus trazos con los de tus compañeros.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
110
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.
También es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas de un ángulo.
Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres ángulos internos es también la mediatriz de los lados opuestos.
Sesión 60En esta sesión continuarás aplicando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.
Manos a la obra1. Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
Un dato interesante…
Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que esto es imposible.
Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de este punto a los lados del ángulo. Mídelas.
¿Qué observas?
En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las pro-piedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y tra-zo de esta situación.
Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tama-ños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen con color rojo las partes en las que se observen las propie-dades de dicho lugar geométrico.
En la figura de la derecha podemos observar un triángulo rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vérti-ce B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué pun-tos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre el puente?
b
ca
A
B
C
¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para colocar las tres cuerdas?
¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma distancia uno del otro?
¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S14
111
Sesión 61En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
Manos a la obra1. Resuelve lo siguiente.
a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.
b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con un color los que, además de ser ejes de simetría, también sean mediatrices de algún lado de las figu-ras, y con otro color los que sean bisectrices de algún ángulo de las figuras.
c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente triángulo (pista: re-cuerda que cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los dos lados que lo forman).
AutoevaluaciónTraza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.
Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con color rojo las distancias de los puntos a los lados del ángulo. Define la propiedad.
Consulta en…
Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
P Q
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
112
Secuencia 15
Fórmulas para calcular el área y el perímetro
Justificación de las fórmulas del perímetro y del área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Sesión 62En esta sesión trabajarás con los perímetros y las áreas de triángulos y rectángulos.
¿Qué sabes tú?Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.
Cuadrado
3 cm
Triángulo
3 cm
4 cm
Rectángulo
4 cm
3 cm
Hexágono
2 cm
Compara tus respuestas con las de otro compañero, y comenten los métodos utilizados para obtenerlas.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
113
Manos a la obraRealiza las siguientes actividades.
a) Dibuja y recorta dos triángulos rectángulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm res-pectivamente (igual al de la figura anterior).
Luego pégalos sobre el rectángulo de la figura anterior.
¿Cuál es la relación entre el área del rectángulo y la de cada uno de los triángulos?
¿Qué puedes decir del perímetro del rectángulo y de los triángulos?
b) Ahora dibuja en tu cuaderno un triángulo, con las medidas que desees. Haz dos copias de tu triángulo y recórtalas.
Recorta cada uno de estos triángulos en dos partes por la altura del lado más largo. Con las cuatro piezas obtenidas forma dos rectángulos. Describe cómo los acomodaste.
b
h hh
a c
Pega los rectángulos en tu cuaderno, a un lado del triángulo original.
¿Qué tienen en común estos rectángulos?
¿Qué relación hay entre el área de tu triángulo original y la suma de las áreas de los rectángulos obtenidos?
c) Compara y comenta tus respuestas con las de otro compañero.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
114
Sesión 63En esta sesión trabajarás con las áreas de rombos, romboides y trapecios.
Manos a la obraRealiza las actividades siguientes.
1. Dibuja en tu cuaderno un rombo del tamaño que desees. Después haz una copia del rombo y recórtala.
Dibuja en ambos rombos su diagonal mayor y su diagonal menor. Ahora recorta la copia a través de sus diagonales para que obtengas cuatro triángulos.
Utiliza los triángulos para formar un rectángulo, y pégalo a un lado del rombo original.
¿Qué relación tienen las medidas de las diagonales del rombo con los lados del rectángulo formado?
¿Cuál es la relación entre el área del rombo y la del rectángulo?
2. Dibuja un romboide en tu cuaderno. Haz una copia del romboide y recórtala.
Recorta la copia en dos partes, de modo que con éstas formes un rectángulo. Pega el rec-tángulo formado a un lado del romboide original.
¿Qué relación tienen las medidas del romboide y las del rectángulo?
¿Cuál es la relación entre sus respectivas áreas?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S15
115
3. Dibuja en tu cuaderno un trapecio. Haz dos copias del trapecio y recórtalas.
Con las dos copias recortadas forma un romboide y pégalo a un lado del trapecio original.
¿Qué relación hay entre las medidas del trapecio y las del romboide?
¿Qué relación hay entre las áreas respectivas?
Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.
Los ejercicios realizados en esta sesión justifican estas fórmulas. Comenten en grupo sus aná-lisis y con ayuda del profesor establezcan una conclusión.
En la siguiente tabla se anotan las fórmulas para calcular el área del rombo, el romboide y el trapecio.
Área
dD
(diagonal mayor × diagonal menor)
2
h
b
base × altura
h
b
B
(base mayor + base menor) × altura
2
Rombo
Romboide
Trapecio Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
116
Cualquier polígono regular se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga, uniendo cada vértice del polígono con su centro. La altura de los triángulos que va de un lado del polígono al centro se llama apotema.
El centro de un polígono regular es el punto que equidista de cada uno de sus vértices; por lo tanto, el centro del polígono es el centro de la circunferencia que circunscribe al polígono.
Sesión 64En esta sesión trabajarás con las áreas de polígonos regulares.
Manos a la obra1. Realiza las actividades siguientes.
a) Dibuja y recorta seis triángulos equiláteros con lados de 2 cm.
Utiliza los triángulos para cubrir el hexágono que aparece al principio de esta secuencia (pág. 112).
¿Qué relación hay entre el área del hexágono y la de uno de los triángulos?
¿Cómo calculas el perímetro del hexágono?
b) Dibuja un pentágono regular en tu cuaderno y ubica su centro.
Une cada uno de los vértices del pentágono con el centro mediante una línea recta.
¿En cuántos triángulos queda dividido el pentágono?
¿Qué tienen en común los triángulos?
¿Qué relación hay entre el área del pentágono y la de los triángulos?
2. En parejas, comenten lo siguiente.
¿Es posible hacer algo similar a lo realizado en el ejercicio anterior con un polígono regular de más de seis lados?
¿Y con un polígono regular de menos de cinco lados?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S15
117
Sesión 65En esta sesión continuarás trabajando las áreas de polígonos regulares.
Manos a la obra1. Realiza la siguiente actividad.
Dado un polígono regular de n lados, se puede calcular su área mediante la siguiente fórmula:
Área = perímetro × apotema
2
a) ¿Cómo calculas su perímetro? Da una fórmula.
b) Justifica la fórmula del área de un polígono regular.
2. Calcula el área de la siguiente figura.
Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.
AutoevaluaciónCompleta la siguiente tabla con las fórmulas para calcular las áreas y los perímetros que se piden.
Perímetro ÁreaTriánguloRomboRomboide
Polígono regular de n lados
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
118
Secuencia 16Proporcionalidad directa
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
Sesión 66En esta sesión comenzarás a utilizar las nociones de proporcionalidad.
¿Qué sabes tú?Para el cumpleaños de Mario se esperan veinte invitados. A cada uno le darán dos tamales oaxaqueños preparados con la receta de la abuelita Carlota.
Tamales oaxaqueños (para 10 porciones)4 hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo1 Pollo mediano14 kg de pierna de puerco12 kg de mole negro
250 g de manteca de cerdo1 kg de masa blanca para tortillasCebolla, ajo y sal al gusto
¿Para cuántos tamales es la receta?
¿Cuántos tamales necesitan preparar?
Escribe a continuación las cantidades adecuadas para preparar los tamales que se necesitan.
Tamales oaxaqueños (40 porciones)
hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo
pollo mediano
kg de pierna de puerco
kg de mole negro
g de manteca de cerdo
kg de masa blanca para tortillas
Cebolla, ajo y sal al gusto
Si disminuimos la cantidad de porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de hojas de plátano
que se requiere?
Si aumentan las porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de manteca de cerdo que se requiere?
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
119
Manos a la obra1. Con la información de la receta de la abuelita Carlota resuelve el siguiente problema. Como
gustaron tanto los tamales oaxaqueños, la mamá de Mario decidió abrir su propio negocio de tamales. Mario desea elaborar una tabla para ayudarle a calcular la cantidad de ingre-dientes que requiere, de acuerdo con el número de porciones que va a preparar. Ayúdale a completarla.
Ingredientes
(en kg)
Números de Porciones
4 10 15
Masa blanca
Carne de cerdo 38
Mole negro 12
Para 12 porciones, Ana dice que se necesita 12 kg de carne de cerdo. Explica si ella tiene o
no razón.
Verifica con otro compañero tus respuestas.
2. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) Para hornear 25 donas se requiere 14
kg de harina, ¿cuántas donas se hornearán con
7 kg de harina?
b) En la construcción de una casa, con 34 partes de un bulto de mortero se pueden pegar
300 tabiques. Si se solicitaron 2 millares de tabiques, ¿qué cantidad de mortero se
necesita para pegar todo ese material?
Expliquen cómo encontraron la solución de cada problema.
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas y reflexionen sobre lo siguiente.
Expliquen la importancia de conocer el valor unitario para resolver este tipo de problemas.
Verifiquen sus respuestas empleando el valor unitario.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
120
Sesión 67En esta sesión aplicarás la constante de proporcionalidad para resolver problemas de proporcionalidad directa.
Manos a la obra1. En parejas, realicen la siguiente actividad con las figuras que se muestran.
a) Contesten las preguntas.
¿Cuánto miden los lados del cuadrado naranja en el A?
¿Cuánto miden en el B?
¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en A?
¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en B?
¿Cuál es la constante de proporcionalidad, es de-cir, cuántas veces es ma-yor el Tangram B del A respecto a los lados?
A
B
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S16
121
Uno de los lados del triángulo rosa en el Tangram A mide 3 cm, conociendo la constan-te de proporcionalidad y sin medir el triángulo rosa en el Tangram B, ¿cómo podrían
saber la longitud de su lado?
En el Tangram B la base del romboide mide 6 cm, sin medirla en el Tangram A y usando la constante de proporcionalidad, ¿cómo obtendrían la longitud de la base del romboide?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, comprueben que sean correctas.
2. En parejas, resuelvan lo siguiente.
a) Una estatuilla de madera que se talló en una telesecundaria mide 36 cm de altura y 13 cm de ancho. La estatuilla ha gustado tanto que se mandará reproducir de manera tal que el ancho mida 87.75 cm. ¿Cuánto medirá la altura de dicha reproducción?
b) En una telesecundaria de Guanajuato se tiene la maqueta del taller de carpintería, el cual mide 28 cm de largo y 12 cm de ancho. Si realmente el taller mide de ancho 14 m y 3.2 m de altura, ¿cuántos centímetros mide la altura del taller en la maqueta?
¿Cuántos metros de ancho mide el taller?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.
Cuando una cantidad aumenta o disminuye en la misma constante de proporcionalidad respecto de otra, se dice que están en proporción directa.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
B2
122
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) Para ilustrar una revista se va a utilizar una foto-grafía original de 16 cm de largo por 8 cm de alto. La ilustración para la portada se obtendrá de re-ducir la fotografía original a la mitad, ¿cuáles se-rán las medidas de la reproducción?
Si la ilustración de un reportaje se obtendrá de redu-cir la fotografía de la portada a la cuarta parte, ¿cuá-les serán las medidas de esta reproducción?
b) Óscar sabe que requiere 4.5 litros de gasolina para recorrer aproximadamente una distancia de 42.75 km, ¿qué cantidad de gasolina requiere para llegar a cada uno de los lugares menciona-dos en la tabla?
Distancia recorrida (km)
Cantidad de gasolina (l)
San Juan de los Lagos
38
Arandas 60.05
Tepatitlán 70.63
Tonalá 130
AutoevaluaciónResponde lo siguiente.
• ¿Cómo se puede identificar un problema de proporción directa?
• ¿Qué es la constante de proporcionalidad y cómo se emplea?
Consulta en…
Entra al sitio <http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Proporcionalidad_lbc/magdirectprop.htm>, y consulta acerca de la proporcionalidad directa.
¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer la distancia de un kilómetro?
¿Cuántos kilómetros recorrerá con un litro de ga-solina?
c) Para limpiar un terreno de tres hectáreas, Andrés y María emplearon 22 jornadas de trabajo de 6 horas cada una. Si ellos trabajan al mismo ritmo, ¿cuán-tas horas se tardarán en limpiar un terreno de 7.5 hectáreas?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comprueben que sean correctas empleando un método diferente al que usaron.
Planteen en su cuaderno un problema de proporcionalidad directa, resuélvanlo e intercámbienlo con otro compañero.
A lo largo de esta secuencia hemos visto que los proble-mas de proporción directa se pueden resolver empleando el valor unitario o la constante de proporcionalidad, esta última se determina al comparar dos magnitudes; por ejemplo, en el problema del Tangram, como cada lado del A mide 6 cm y el del B 12 cm, la constante de proporcio-
nalidad es 612, o bien 1
2. La constante se multiplica o se
divide según se quiera determinar una cantidad mayor o una menor a la que se tiene.
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
S16
123
Sesión 68
Evaluación
Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.
1. La respuesta a la siguiente operación 34 + 1
9 – 0.8 es:
a) 11180
b) 11360 c) 11
18d) 22
18
2. La distancia de cada uno de sus puntos a los lados del ángulo que divide siempre es la misma:
a) mediana b) mediatriz c) recta d) bisectriz
3. Juan desea comprar un vidrio para cubrir una mesa rectangular, cuyos lados miden 1 m y 1.5 m. Si el me-tro cuadrado de vidrio cuesta $70, ¿cuánto le costara el vidrio a Juan?
a) $75 b) $85 c) $95 d) $105
4. Entre qué números primos son divisibles los siguientes números: 945, 735, 525.
a) 2, 3 b) 2, 3, 5 c) 3, 5, 7 d) 3, 7
5. Una línea de autobuses viaja a tres ciudades distintas, A, B y C. Rumbo a la ciudad A sale un camión cada 3 horas, a la ciudad B cada 4, y a la ciudad C cada 5. Si a las 7 de la mañana del lunes salieron los 3 camiones al mismo tiempo, ¿qué día y a qué hora volverán a salir al mismo tiempo los camiones?
a) El mismo lunes a las 7 p.m.
b) El mismo lunes a las 10 p.m.
c) El martes a las 3 a.m.
d) El miércoles a las 7 p.m.
6. Se tiene un terreno de forma irregular, como el de la imagen. Si se desea saber cuál es su superficie, ¿con cuál de los procedimientos siguientes se puede obte-ner esa información?
a) Se mide la longitud de los lados del terreno y se suman.
b) Se divide el terreno en cuadrados y la suma de las superficies de cada cuadrado será la superficie del terreno completo.
c) Se encuentra el centro del terreno, se calcula el apotema y se multiplica por el número de lados del terreno.
d) Se segmenta el terreno en triángulos, se calcula la superficie de cada uno, se suman las superficies obtenidas y esa es la superficie del terreno.
7. Mariana y Adriana sembraron 280 arbolitos. Si trabaja-ron 5 horas diarias durante 4 fines de semana sem-brando arbolitos, ¿cuántas horas se tardarán en sembrar 1 400 arbolitos?
a) 280 horas c) 56 horas
b) 200 horas d) 25 horas
Ver
sión
de
eval
uaci
ón 2
3/04
/12
