Bloque 4.4

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

297ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (2), 297-308

LA ENSEÑANZA DE ESTRATEGIASDE RESOLUCIÓN DE PROBLEMASMATEMÁTICOS EN LA ESO1:UN EJEMPLO CONCRETO

PIFARRÉ, MANOLI y SANUY, JAUMEDepartamento de Pedagogía y Psicología. Facultad de Ciencias de la Educación.Universidad de Lleida. Campus de la Caparrella s/n. 25192 LleidaE-mail: [email protected] - [email protected]

SUMMARY

Within this article is included a description and justification of a didactical sequence to improve the learning ofproblem solving strategies of Secondary Education students. The design of the didactical sequence is guided by fourprinciples: a) to context the activities and problems to solve in students’ every day practices; b) to use teaching methodsthat show the problem solving processes; c) to design didactical materials in order to guide strategies such as selection,organisation and control; d) to facilitate the co-operative learning of problem solving strategies.

Uno de los principales objetivos a conseguir en el área delas matemáticas es que los alumnos sean competentes enla resolución de problemas. Diferentes motivos avalanesta afirmación. Carrillo (1998) los sintetiza en diezaspectos, de entre los cuales cabe destacar, por un lado,la utilidad de la enseñanza de la resolución de problemaspara la vida cotidiana de los alumnos y, por otro lado, elincremento en la significatividad del aprendizaje decontenidos matemáticos (tanto de tipo conceptual, comode procedimental y como de tipo actitudinal). Conseguireste objetivo no es una tarea fácil, dado que resolver unproblema es un proceso complejo y difícil en el cualintervienen un gran número de variables.

Entre las variables que inciden en conseguir que losalumnos aprendan a resolver problemas se señalan dife-rentes variables que hacen referencia tanto a la dimen-sión del aprendizaje como a la dimensión de la enseñan-za. Entre las primeras se destacan las cuatro siguientes:a) la importancia del conocimiento declarativo sobre elcontenido específico del problema; b) el repertorio deestrategias generales y específicas que es capaz de poner

en marcha el sujeto para resolver el problema concreto;c) el papel de las estrategias metacognitivas; y d) lainfluencia de los componentes individuales y afectivosde la persona que resuelve el problema –entre los múlti-ples factores incluidos en esta dimensión destacan lasactitudes, las emociones y las creencias sobre la resolu-ción de un problema matemático (Schoenfeld, 1992;Lester, 1994, Puig, 1993; entre otros).

Entre las variables que hacen referencia a la dimensiónde la enseñanza del proceso de resolución de problemasdestacan las tres siguientes: a) el tipo y las característi-cas de los problemas; b) los métodos de enseñanzautilizados por el profesor; y c) los conocimientos, lascreencias y las actitudes del profesor sobre las matemá-ticas y su enseñanza-aprendizaje (Puig, 1993; Blanco,1998).

El gran número de variables implicadas en el proceso deenseñanza-aprendizaje de resolución de problemas con-lleva la necesidad de investigar cómo incorporarlas enuna situación de aula. En este sentido, nuestro estudio


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pretende aportar nuevos datos sobre cómo abordar laenseñanza-aprendizaje de estrategias de resolución deproblemas matemáticos en la enseñanza secundaria obli-gatoria. Concretamente, en este artículo presentaremoslas características del diseño, la implementación y laevaluación de una propuesta didáctica que tiene comoobjetivo la enseñanza-aprendizaje de estrategias genera-les o heurísticas (de tipo cognitivo y metacognitivo) y deestrategias específicas de resolución de problemas sobreproporcionalidad directa.

De este modo, nuestro estudio centra sus esfuerzos endiseñar e implementar un proceso de enseñanza queamplíe y mejore el repertorio de estrategias de los alum-nos de ESO para resolver problemas en un campo espe-cífico: la proporcionalidad.

Nuestro trabajo, conscientemente, no ha estudiado lamodificación de los componentes individuales y afecti-vos del sujeto que resuelve el problema. Esta decisión seha tomado por dos motivos: a) Por un lado, dado el grannúmero de factores que influyen en la dimensión afecti-va y de motivación del sujeto y la complejidad de losmismos, lo cual precisaría un estudio específico queanalizase con detenimiento esta dimensión. b) Por otrolado, coincidimos con diferentes autores (Schoenfeld,1992; De Corte, 1993; Carrillo, 1998) que afirman que elproceso de enseñanza dirigido a mejorar las estrategiasde resolución de problemas, al incrementar el rendi-miento del sujeto, puede modificar su sistema de creen-cias, actitudes y emociones en relación con el área de lasmatemáticas.

LA ENSEÑANZA DE ESTRATEGIAS DE RE-SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Un gran número de estudios ha mostrado que los buenosresolutores de problemas se caracterizan por disponer deun conjunto de estrategias generales o heurísticas queguían su acción y que les ayudan a superar las dificulta-des que van encontrando durante el proceso de resolu-ción. Estas formas de actuación son más o menos cons-tantes en la resolución de problemas difíciles para elresolutor y en los cuales no se domina el contenidoespecífico del problema (Polya, 1945; Schoenfeld, 1985;Puig, 1993).

Este hecho ha propiciado un conjunto de investigacionesque, a partir de la observación y el estudio detallado delas diferentes acciones que realizan los expertos cuandoresuelven problemas desconocidos o de una cierta difi-cultad, extraen las acciones y los procesos uniformes,constantes y generales que sirven para construir unmodelo ideal o una actuación competente en resolverproblemas. En estos modelos se definen un conjunto deprocedimientos, habilidades y competencias necesariospara resolver un problema que, posteriormente, seestructuran en etapas o fases que facilitan su enseñanza-aprendizaje.

Partiendo de estos estudios, se ha diseñado un grannúmero de propuestas para la enseñanza de estrategiasgenerales o heurísticas. Entre estas propuestas, y sinanimo de ser exhaustivos sino citar las que nos han sidoútiles para el diseño de nuestro trabajo, destacamos, enprimer lugar, el modelo «ideal» de Bransford y Stein(1986) y el de Krulik y Rudnik (1989) como modelosinstruccionales que han seguido de manera fiel el pro-puesto por Polya (1945). Y, en segundo lugar, los mode-los de Schoenfeld (1985) y Lester (1985), los cualestoman como punto de partida las estrategias heurísticasde Polya pero incorporan la enseñanza-aprendizaje deestrategias metacognitivas de planificación, de regula-ción y de control del proceso de resolución.

Si bien la mejora del proceso de resolución de problemasde los alumnos a partir de la enseñanza de las estrategiasgenerales o heurísticas es ampliamente reconocida porla investigación especializada en este campo, también seha cuestionado la manera en que esta enseñanza se hapuesto en práctica. Entre las principales críticas, y a suvez aspectos a tener en cuenta en el diseño de procesosde enseñanza-aprendizaje de estrategias de resoluciónde problemas, destacamos las cinco siguientes:

En primer lugar, se trata de modelos formales construi-dos a partir de un a priori: el proceso ideal, conceptualo lógico de resolver problemas. De este modo, el procesode resolución de problemas es tratado más como unproceso lógico-matemático que como un proceso deconstrucción personal, en el cual los factores de tipocultural, social y cognitivo son también importantes(Alonso, González y Sáenz, 1988). Así pues, en el diseñode propuestas de enseñanza de estrategias generales deresolución de problemas será necesario incorporar as-pectos contextuales como: características y conocimien-tos previos de los alumnos, adaptación del modelo deresolución a las características de los problemas a resol-ver, características de los profesores que van a impartirsu enseñanza.

En segundo lugar, el hecho de segmentar el proceso deresolución en fases o momentos para organizar y facili-tar su enseñanza puede propiciar un aprendizaje de esteproceso en el cual se ejecutan secuencias ordenadas yprefijadas de procedimientos aplicados algorítmicamente.De este modo, será necesario diseñar situaciones deenseñanza-aprendizaje que incorporen la toma de deci-siones del alumno sobre los procedimientos más adecua-dos y su secuenciación para dar respuesta a las caracte-rísticas de una tarea concreta y evitar el aprendizajelineal y algorítmico (Derry, 1990; Puig, 1992).

En tercer lugar, Schoenfeld (1985) destaca, a partir de unexhaustivo estudio de las características de los progra-mas de instrucción de estrategias heurísticas de resolu-ción de problemas, que en estos programas no se tiene encuenta la enseñanza de estrategias más específicas yvinculadas al contenido del problema. Una estrategiaheurística es una etiqueta que engloba todo un conjuntode estrategias más específicas; por lo tanto, su enseñanzadebe comportar la instrucción de los diferentes procedi-mientos más específicos y relacionados con el contenido


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o la materia específica de que trata el problema. Elconocimiento sobre cómo ajustar la estrategia general alas características del campo conceptual específico so-bre el que versa el problema es un factor decisivo de laresolución de los expertos. En este sentido, nuestroestudio contextualiza la enseñanza de estrategias deresolución de problemas a un campo conceptual especí-fico, la proporcionalidad, y combina la enseñanza deestrategias generales y específicas.

En cuarto lugar, Schoenfeld (1985) también destaca quelos programas de instrucción de estrategias heurísticasque incorporan la enseñanza de estrategias metacogniti-vas de gestión, planificación, regulación y evaluación delos procesos implicados en la resolución del problemaobtienen mejores resultados.

En quinto lugar, se destaca el importante papel quedesempeña el profesor en el aprendizaje de estrategiasgenerales de resolución de problemas. De este modo seránecesario planificar la actuación del profesor en el pro-ceso de enseñanza-aprendizaje. De acuerdo con Lester(1985), básicamente, el profesor ha de desempeñar tresfunciones en la enseñanza de estrategias de resoluciónde problemas: a) ha de facilitar el aprendizaje de estra-tegias, bien con su instrucción directa o bien con eldiseño de los materiales didácticos adecuados; b) ha deser un modelo de pensamiento para sus alumnos; y c) hade ser un monitor externo del proceso de aprendizaje delos alumnos, aportando, en un primer momento, lasayudas necesarias que faciliten la ejecución por parte delalumno de determinadas actuaciones cognitivas que sinesta ayuda externa no podría realizar y que, en un segundomomento, irá retirando gradualmente a medida que elalumno sea capaz de utilizarlas de manera autónoma.

Para conseguir que el profesor realice estas tres funcio-nes y facilite el aprendizaje de estrategias generales deresolución de problemas, tanto de tipo cognitivo comometacognitivo, y de estrategias específicas, es necesarioestudiar e incorporar en un proceso de enseñanza-aprendizaje qué métodos de enseñanza pueden ser másapropiados para conseguir este objetivo, aspecto sobre elcual nos ocupamos a continuación.

Análisis de entornos instruccionales para laenseñanza-aprendizaje de estrategias de resoluciónde problemas

El estudio sobre cómo enseñar estrategias para resolverproblemas destaca la importancia de los entornos ins-truccionales de la instrucción guiada y el aprendizajecooperativo como instrumentos para mejorar el procesode resolución de los alumnos (Hembree, 1992; Jitendray Ping, 1997).

La instrucción guiada

Este entorno instruccional está representado por lasinvestigaciones fuertemente influenciadas por las ideasde Vigotsky en que se defiende que el alumno aprende ensituaciones interpersonales y se enfatiza el papel de la

interacción entre profesor y alumno y el guiaje querealiza el primero en el proceso de aprendizaje delalumno.

Desde esta perspectiva de trabajo, la intervención educa-tiva destinada a promover el uso de determinadas estra-tegias se realiza a través del diseño de situaciones inter-personales de aula, en las que el profesor, mediante eldiálogo y el diseño de diferentes ayudas pedagógicas,modela el aprendizaje de estrategias de resolución deproblemas. La reducción y la retirada progresiva de estasayudas permitirán al alumno el uso independiente deestas estrategias y la resolución con éxito de nuevosproblemas.

En el campo de la enseñanza-aprendizaje de estrategiasde resolución de problemas este guiaje del profesor y lasayudas que éste proporciona ha tenido diferentes con-creciones según los objetivos de cada trabajo, entre lascuales destacamos las tres siguientes:

– Modelado. Un experto, maestro o un compañero másadelantado explica verbalmente el proceso de resoluciónde una tarea, sirviendo de modelo de actuación. En laexplicación, el modelo muestra qué acciones cognitivasrealiza y qué variables (referidas a la persona, la tarea yel contexto) son relevantes en la toma de decisionessobre la utilización de una determinada estrategia.

– Autointerrogación. Este método consiste en la formu-lación de preguntas orientadas a optimizar el procesocognitivo que sigue el alumno cuando realiza una deter-minada tarea. Estas preguntas se presentan en forma deguías e intentan regular externamente el proceso deaprendizaje del alumno de diferentes procedimientos deresolución de problemas. El objetivo de esta interroga-ción es doble: por un lado, favorecer la reflexión sobrelas propias decisiones, el control y la regulación de laspropias actuaciones; y, por otro lado, conseguir que elalumno utilice los diferentes procedimientos de maneraautónoma e independiente.

– Análisis y discusión del proceso de resolución. Estemétodo consiste en analizar y discutir el proceso depensamiento seguido en la resolución de una tarea con elobjetivo de que el alumno sea consciente de la bondad yeficacia de sus propios mecanismos de resolución, demanera que pueda, en caso necesario, modificarlos.

El aprendizaje cooperativo

Básicamente, este método instruccional se centra en elalumno y pretende favorecer el aprendizaje de determi-nadas estrategias a partir del intercambio de informaciónque tiene lugar en las actividades en pequeños grupos.La oportunidad que tienen los alumnos de ayudarsemutuamente en la resolución de una tarea, de negociarnuevos significados, de desarrollar nuevas estrategias yde construir nuevo conocimiento puede repercutir posi-tivamente en su aprendizaje.

La extensa investigación realizada, en referencia al apren-dizaje cooperativo en la resolución de problemas, desta-



ca la importancia del tipo y de las características de laayuda que se proporcionan los alumnos durante el pro-ceso de resolución para explicar el aprendizaje promovi-do por la interacción entre iguales.

Respecto al tipo de ayuda que presentan los alumnos enentornos cooperativos, Webb (1989) concluye, en pri-mer lugar, que el aprendizaje de los alumnos es mayorcuando el tipo de ayuda es de un nivel de elaboración altoy hace referencia a aspectos del proceso de resolucióndel problema. Este tipo de ayuda beneficia tanto alalumno que la ofrece como al alumno que la recibe. Ensegundo lugar, la correlación de la ayuda recibida y elaprendizaje que los diferentes miembros del grupo con-siguen depende de dos factores: de la calidad de la ayudarecibida y de la adecuación de la ayuda a la peticiónrealizada.

Por lo tanto, y a partir de lo expuesto hasta este momen-to, para conseguir que la interacción entre iguales mejo-re el aprendizaje de sus miembros, será necesario dise-ñar procesos instruccionales que faciliten los procesosde dar y recibir la ayuda adecuada durante el proceso deresolución de un problema concreto. Para conseguir esteobjetivo, diferentes autores destacan la organización y laestructuración de los procesos de interacción entre igua-les a partir de la formulación de preguntas y respuestassobre el proceso de resolución del problema entre losmiembros del grupo como instrumento que puede favo-recer que los procesos de interacción entre éstos versensobre aspectos relevantes de la tarea y de su resolución,aspectos que no aparecen espontáneamente en todos losgrupos de iguales y que pueden repercutir positivamenteen el aprendizaje de los alumnos (King, 1991, 1997;Shaw, 1997).

Nuestro estudio incorpora los métodos de enseñanza dela instrucción guiada y el aprendizaje cooperativo parafacilitar el aprendizaje de estrategias cognitivas y meta-cognitivas de resolución de problemas sobre proporcio-nalidad numérica de alumnos de 3º de ESO. A continua-ción, expondremos los principios educativos que hanguiado el diseño y la implementación de la propuestadidáctica que presentamos en este artículo, así como losprincipales resultados conseguidos por los alumnos des-pués de realizarla en un contexto natural de aula.

UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA-APREN-DIZAJE DE ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LA ESO

Contextualización y principales características de lapropuesta de enseñanza-aprendizaje

Los diferentes problemas que forman la propuesta di-dáctica de nuestro estudio versan sobre un contenidomatemático concreto: la proporcionalidad directa. Estadecisión se toma, en primer lugar, por la conveniencia decombinar la enseñanza de estrategias generales y espe-cíficas de resolución de problemas. En segundo lugar,otorgar a la enseñanza de estrategias de resolución de

problemas dos funciones: un contenido de aprendizaje(contenido procedimental) y un vehículo metodológicopara el aprendizaje significativo de contenidos matemá-ticos (Contreras y Carrillo, 1997).

La propuesta de enseñanza-aprendizaje de nuestro estu-dio se aplicó en el IES Ronda de la ciudad de Lleida conalumnos de 3º de ESO. La selección de este nivel educa-tivo se realizó porque, en el proyecto curricular de dichocentro, el contenido de la proporcionalidad está ubicadoen este nivel. El tiempo utilizado para la realización dela propuesta didáctica se ajustó al tiempo programadopor el Departamento de Matemáticas del centro, untrimestre académico.

En líneas generales, la propuesta de enseñanza-aprendi-zaje se divide en dos partes bien diferenciadas.

a) Una primera parte que tiene como principal objetivoel aprendizaje del contenido de la proporcionalidaddirecta, concretamente se trabajan los contenidos con-ceptuales de: proporción, razón y porcentaje.

En esta primera parte, se plantean problemas cotidianossencillos y se favorece que el alumno aplique, perfeccio-ne y amplíe las estrategias de resolución de este tipo deproblemas adquiridas de manera intuitiva y espontánea-mente en la vida cotidiana. Para resolver estos proble-mas se enfatizó el uso de la estrategia específica del«cálculo del operador funcional» y el caso específico delcálculo del «valor de la unidad» (Vergnaud, 1983).

b) Una segunda parte, que tiene un doble objetivo: por unlado, favorecer el aprendizaje de estrategias de resolu-ción de problemas numéricos complejos sobre propor-cionalidad directa; y, por otro lado, la utilización signi-ficativa de los contenidos matemáticos previamentetrabajados en la resolución de problemas cotidianos. Enesta segunda parte de la propuesta se plantea la resolu-ción de problemas cuyo enunciado presenta situacionesproblemáticas amplias, que implican la selección y laarticulación de diferentes procedimientos de resoluciónpara encontrar la solución al problema y vinculadas alentorno cotidiano del alumno. Así, el enunciado delproblema hace referencia a conceptos de la vida diaria,como, por ejemplo: el IVA, valoración de las condicio-nes de diferentes préstamos bancarios, la interpretaciónde facturas de luz, gas, teléfono, el cálculo de unanómina o la organización de una fiesta.

El tipo de respuesta que se pide al alumno para solucio-nar el problema combina la respuesta de tipo numéricoy la respuesta de tipo verbal. En todos los problemas, larespuesta de tipo numérico no es un fin en sí mismo sinoun instrumento para razonar y justificar la toma depostura del alumno ante la situación planteada en elproblema. Así, por ejemplo, el alumno debe decidir yjustificar en qué tienda decide comprar unos productosrebajados, qué coche se compraría en función del costeeconómico en los próximos años, cómo puede rebajar lafactura de la luz de su casa en función del uso y delconsumo de diferentes electrodomésticos… En nuestraopinión, esta toma de postura razonada desde un punto



¡ORGANIZAMOS UNA FIESTA!

Imagina que quieres organizar una cena en tu casa con 8 amigos. Tienes la lista de los ingredientes a comprar. Vuestro presupuesto es reducido. Dosamigos te ayudan a organizar la fiesta. Entre los tres habéis recogido las ofertas de tres supermercados cercanos. Teniendo en cuenta estos precios,realiza los cálculos necesarios para decidir dónde y cómo comprareis los productos necesarios para la fiesta. Nosotros te proponemos las dos opcionessiguientes:

a) Si compras todos los productos en un mismo supermercado, ¿en qué supermercado os sale la compra más económica? ¿En qué porcentaje os resultamás barato?

b) Si entre los tres organizadores de la fiesta os repartís la lista de la compra y cada uno compra los productos en el supermercado que están más baratos,¿cuál sería el coste total de la fiesta?, ¿cuánto dinero os ahorraríais respecto a la opción anterior?, ¿qué porcentaje de ahorro supone?

Lista de productos a comprar1 k de espaguetis; 750 c/c de tomate; 700 g de carne picada; 200 g de queso rallado; 2 pollos; 600 g de patatas fritas; 2 k de pan; 1 k de pastel;5 l de coca-cola; 3 l de limonada.

Cuadro IEjemplo de un problema de la propuesta didáctica (Anexo I. Adaptado de Pifarré, 1998, pp. 111-112). Ejemplo de una transcripción del proceso

de resolución del problema de una pareja de alumnos.

PRECIOS DE LOS PRODUCTOS A COMPRAR DE LOS TRES SUPERMERCADOS

SUPERMERCADO A SUPERMERCADO B SUPERMERCADO C

200 g espaguetis 250 g espaguetis 400 g espaguetis104 Pta. 88 Pta. 168 Pta.

250 c/c tomate 150 c/c tomate 125 c/c tomate200 Pta. 75 Pta. 85 Pta.

1 k carne picada 1/2 k carne picada 1/4 k carne picada850 Pta. 425 Pta. 238 Pta.

200 g queso rayado 250 g queso rallado 100 g queso rallado360 Pta. 550 Pta. 180 Pta.

1 pollo 1 pollo 1/2 pollo350 Pta. 389 Pta. 178 Pta.

150 g patatas fritas 100 g patatas fritas 85 g patatas fritas159 Pta. 106 Pta. 95 Pta.

1 k pan 1/2 k pan 1 k pan250 Pta. 189 Pta. 249 Pta.

1 pastel 1 pastel 1 pastel1200 Pta. 999 Pta. 1099 Pta.

33 c/c coca-cola 1 l coca-cola 1,5 l coca-cola56 Pta. 190 Pta. 290 Pta.

1 l limonada 33 c/c limonada 25 c/c limonada175 Pta. 38 Pta. 35 Pta.



de vista matemático puede facilitar el aprendizaje deestrategias de resolución de problemas, especialmentelas de evaluación y de valoración del proceso de resolu-ción y de los datos numéricos obtenidos, así comoaumentar la funcionalidad y significatividad de loscontenidos matemáticos aprendidos.

En el cuadro I se presenta un ejemplo de los problemasplanteados en la propuesta didáctica.

Características del proceso de enseñanza-aprendi-zaje de estrategias cognitivas y metacognitivas deresolución de problemas

Con el objetivo de conseguir que los alumnos resuelvancon éxito los problemas complejos que se le plantean enla segunda parte de la propuesta didáctica, se ha diseña-do un proceso de enseñanza-aprendizaje que guía elaprendizaje de estrategias generales (de tipo cognitivoy metacognitivo) y de estrategias específicas de resolu-ción de problemas. Los elementos más importantes yque, desde nuestro punto de vista, definen y ejemplifi-can el proceso de enseñanza-aprendizaje diseñado sonlos tres siguientes: a) el diseño de un material didácticoformado por un conjunto de instrucciones-guía y decuestiones sobre diferentes aspectos del proceso deresolución de un problema y que denominamos comohojas para pensar el problema (Pifarré, 1998); b) laplanificación y utilización por parte del profesor deestrategias de enseñanza de modelaje y de autointerro-gación; y c) el diseño de un contexto de aprendizaje quefavorece la resolución de problemas de manera colabo-rativa entre parejas de alumnos. A continuación pasa-mos a exponer las principales características de estostres elementos.

a) La guía Hojas para pensar el problema

El material didáctico Hojas para pensar el problematiene como principal objetivo guiar y enriquecer elproceso de resolución del problema. En este material seplantea al alumno diferentes interrogantes, indicacio-nes y sugerencias sobre los posibles procedimientos autilizar para resolver el problema. De este modo, estematerial didáctico ha sido diseñado para ser una ayudaexterna que el alumno utiliza mientras resuelve el pro-blema.

Concretamente, la guía se estructura en cinco apartadoso estrategias generales que la investigación en resolu-ción de problemas ha observado en los expertos cuandoresuelven un problema. Las cinco estrategias generalestrabajadas en la guía son: a) entender y analizar elproblema; b) planificar un plan de resolución; c) or-ganizar los datos y el plan de resolución en un cuadrode doble entrada; d) resolver el problema; y e) evaluarel proceso de resolución del problema y el resultadoobtenido.

Cada estrategia define un objetivo general que el alum-no puede alcanzar realizando diferentes procedimientosen función de las características del problema. Para

enfatizar el concepto de estrategia como la definiciónde un objetivo y la planificación, selección e implemen-tación de diferentes procedimientos para alcanzarlo,cada estrategia general se acompaña de un icono queresume e ilustra el objetivo general a conseguir en cadamomento.

En el cuadro II se presentan dos ejemplos de la guía,concretamente, los interrogantes, indicaciones y suge-rencias sobre los posibles procedimientos a utilizar paraentender la situación planteada en el problema y evaluarel proceso y el/los resultado/s del problema.

b) Función del profesor y estrategias de enseñanzautilizadas

Partiendo de la revisión teórica realizada, nuestro traba-jo considera muy importante la función del profesor enel proceso de enseñanza-aprendizaje de estrategias deresolución de problemas. El profesor debe crear espa-cios de análisis, discusión y reflexión sobre los diferen-tes procedimientos de resolución de problemas utiliza-dos por él mismo y por los alumnos como un instrumentoútil para que el alumno observe, identifique e interioricenuevas maneras de afrontar la resolución de un proble-ma, principal objetivo de nuestra propuesta didáctica.

Para conseguir este objetivo, y previo al diseño de lapropuesta didáctica, los profesores del departamento dematemáticas que participaron en nuestro estudio reali-zaron un seminario de formación del profesorado orga-nizado por el Instituto de Ciencias de la Educación de laUniversidad de Lleida, en la modalidad de formación aequipos de docentes de centros de secundaria y de unaduración de 30 horas.

Básicamente, dos fueron los objetivos a conseguir en elseminario. Por un lado, formar a los profesores en losdiferentes métodos de enseñanza de estrategias de reso-lución de problemas. Y, por otro lado, diseñar e imple-mentar una propuesta didáctica sobre esta temática quese adecuara a las características del centro (principal-mente, diseño curricular, características de los profeso-res y de los alumnos, y recursos didácticos del centro).De este modo, los profesores no realizaban una pro-puesta impuesta externamente sino que ellos seleccio-naban y organizaban los contenidos en función de losobjetivos educativos fijados en el seminario y se diseña-ban las actividades de acuerdo con las características desu contexto educativo.

La metodología utilizada en el aula por el profesor parala enseñanza-aprendizaje de estrategias de resoluciónde problemas se ha basado, principalmente, en el desa-rrollo de los cuatro métodos siguientes:

– Instrucción directa: Introducción de la guía Hojaspara pensar el problema. El profesor con la ayuda de unretroproyector presenta las características de la guía yse establece un diálogo con el grupo-clase en el que sevalora, por un lado, los procedimientos que la guíapropone y que ya son utilizados por los alumnos (co-nexión con los conocimientos previos de los alumnos)



Lee el enunciado del problema. Subraya los datos más relevantes: ¿Qué te pide elproblema? ¿Qué datos del enunciado son los más importantes? .......................................

¿Qué te pide el problema? ¿Qué tienes que encontrar? ¿Dónde tienes que llegar?...............................................................................................................................................¿Qué datos ya conoces? Anótalos brevemente................................................................................................................................................Anota los datos que tienes que encontrar para solucionar el problema................................................................................................................................................

Cuadro IIPautas para analizar y para evaluar el resultado y el proceso de resolución del problema.

¿Has conseguido encontrar la solución del problema?

¿Por qué? Justifica tu respuesta explicando los indicadores en que te basas para saber si hasconseguido hallar la solución al problema.

................................................................................................................................................Haz un gráfico con los principales datos del problema (datos del enunciado y datos que túhas calculado). ¿Cómo puedes explicar la evolución que siguen los datos en el gráfico?

................................................................................................................................................¿Has encontrado algún error en la representación de los datos? ........................................................................................................................................................................................¿Alguna de las partes del problema se podría calcular de alguna otra manera? ................¿Cómo? ..................................................................................................................................Repasa los cálculos que has realizado. ¿Has encontrado algún error? ...............................................................................................................................................................................¿De qué tipo de error se trata? ..............................................................................................¿Cómo puedes evitar en el futuro cometer este tipo de error? ............................................................................................................................................................................................

1) Entender el problema

5) Evaluar el resultado del problema

y, por otro lado, se especula sobre las ventajas y losinconvenientes de realizar los procedimientos que pro-pone la guía.

– Instrucción guiada: Modelaje por parte del profesorsobre cómo utilizar la guía como instrumento de ayudapara pensar y resolver el problema. En este método, elprofesor piensa y resuelve un problema en voz altarealizando las diferentes acciones que se proponen en laguía. El profesor escribe y realiza todas las acciones enuna transparencia y con el uso de un retroproyector.

El profesor debe mostrar delante de los alumnos todo elproceso de pensamiento y cómo la respuesta a las dife-rentes preguntas e indicaciones de la guía le ayudan aconseguir el objetivo planteado en el enunciado delproblema.

– Instrucción guiada y autointerrogación: El profesor ylos alumnos resuelven conjuntamente el problema. Acriterio del profesor y de manera periódica, cuando lamayoría de las parejas han realizado una de las estrate-gias propuestas en la guía, el profesor y los alumnosdiscuten y valoran las diferentes acciones realizadas y la

respuesta a las preguntas propuestas en la guía. Final-mente, por consenso entre todo el grupo-clase, se anotanen la transparencia del profesor las respuestas más ade-cuadas.

Para el desarrollo de este método de enseñanza son muyimportantes las preguntas y el guiaje que realice elprofesor. Por este motivo, el grupo de profesores dematemáticas, en las sesiones del seminario, resolvíaconjuntamente los problemas a plantear a los alumnos yse proponían un conjunto de preguntas a formular y quepodían favorecer el hecho de que éstos se plantearancuestiones importantes del proceso de resolución.

– Análisis y discusión del proceso de resolución. Demanera progresiva, los alumnos resuelven autónoma-mente los problemas. El profesor dinamiza el trabajo delas parejas supervisando su proceso de resolución yrealizando diferentes preguntas y orientaciones que pue-den dirigir la resolución del problema. Finalmente, unapareja de alumnos del grupo expone los principalesprocedimientos utilizados para resolver el problema y elresto del grupo analiza y valora el proceso y el productoobtenido.



Figura 1Puntuaciones medias obtenidas por los alumnos en la resolución individual y en pareja en las pruebas de evaluación inicial y final.

La puntuación máxima de los problemas resueltos individualmente es de 5 puntos y la puntuación máxima de los problemas resueltos en parejaes de 2 puntos.

Resultado del aprendizaje

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Inicial Final

Pruebas de evaluación

Individual

Pareja

c) Aprendizaje cooperativo

Los alumnos resuelven todos los problemas planteadosen la propuesta didáctica en parejas y se favorece untrabajo colaborativo entre los alumnos con las tres accio-nes siguientes:

En primer lugar, los alumnos resuelven el problemautilizando una sola copia del material Hojas para pensarel problema. Esta acción pretende conseguir dos objeti-vos, por un lado, facilitar que los dos alumnos discutan,reflexionen y lleguen a acuerdos sobre los diferentesprocedimientos para resolver el problema. Y, por otrolado, favorecer que se establezcan, entre los dos alum-nos, procesos de pedir y recibir ayuda sobre los procedi-mientos para resolver un problema, procesos que desdela investigación educativa realizada en este ámbito semuestran determinantes para potenciar el aprendizajeentre iguales.

En segundo lugar, el profesor enfatiza la necesidad depensar, valorar e implementar conjuntamente los dife-rentes procedimientos para resolver el problema.

En tercer lugar, se utilizan procedimientos de evaluaciónen pareja, tanto durante el proceso de enseñanza-aprendi-zaje en el que los dos miembros de la pareja deben exponerconjuntamente al resto de compañeros de la clase cómohan pensado y han resuelto el problema, como al final delproceso de enseñanza-aprendizaje en el que una parte de laprueba escrita de evaluación se realiza en pareja y seevalúa el proceso de pensamiento seguido.

EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APREN-DIZAJE DE ESTRATEGIAS COGNITIVASY METACOGNITIVAS DE RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS Y PRINCIPALES RESUL-TADOS OBTENIDOS

A continuación, vamos a analizar algunos de los resulta-dos obtenidos en un estudio educativo que ha utilizadolas características de la propuesta de enseñanza-aprendizaje que presentamos en este artículo y en el queparticipan 60 alumnos (tres grupos-clase) de tercer cursode ESO del instituto de secundaria IES Ronda de laciudad de Lleida. Los alumnos pertenecen a un nivelsociocultural medio-bajo.

El estudio se realizó en tres fases o momentos: evalua-ción inicial, intervención o realización de la propuestadidáctica durante un trimestre de clase (30 horas declase, aproximadamente) y evaluación final. Las prue-bas de evaluación inicial y final consistieron en la reso-lución de siete problemas sobre proporcionalidad, cincode los cuales se resolvían individualmente y dos enpareja. La formación de las parejas de alumnos pararealizar la propuesta didáctica y las pruebas de evalua-ción se realizan a partir de la puntuación obtenida en laresolución individual de los cinco problemas de la prue-ba de evaluación inicial. Se agrupan los alumnos en trestipos de parejas: homogéneas altas, homogéneas bajas yheterogéneas.

La corrección de las pruebas de evaluación inicial y finalse ha realizado con una pauta en la que se detallan los



criterios de evaluación de cada problema. Cada proble-ma se puntúa de 0 a 1. Para garantizar la fiabilidad de lacorrección de las pruebas, el 25% de éstas han sidocorregidas por un sistema de dos jueces. El análisisestadístico de los resultados obtenidos por los dos juecesse ha realizado mediante la prueba estadística de corre-lación de Pearson. La fiabilidad entre los dos jueces esmuy alta: las correlaciones se sitúan entre 0,86 y 1.

Los resultados obtenidos en referencia al nivel de apren-dizaje después de realizar la propuesta didáctica sonmuy positivos, tal y como se observa en la figura 1. Se harealizado una comparación de medias aplicando unat-student de SPPS y se observa un incremento estadísti-camente significativo respecto al nivel de aprendizajeinicial, tanto en la resolución individual de problemas(t (1,59) = 8,93; p = ,000) como en la resolución deproblemas en pareja (t (1,59) = 5,65; p = ,000). Esteresultado nos permite afirmar que las características dela propuesta didáctica inciden positivamente en el pro-ceso de aprendizaje de los alumnos.

A pesar de los buenos resultados conseguidos, somosconscientes de que los alumnos no han finalizado elaprendizaje de los contenidos matemáticos de la propor-cionalidad, ya que resuelven correctamente alrededor deun 50% de los problemas de la prueba de evaluaciónfinal. Desde nuestro punto de vista, y siguiendo a Rico(1997), explicamos este resultado por el hecho de que elproceso de aprendizaje de un contenido matemáticodifícil, como es el de la proporcionalidad, necesita declaves de procesamiento continuados nunca está total-

mente acabado, y, por lo tanto, no se puede dar porfinalizado su dominio en un período breve de tiempo,como el que hemos utilizado en nuestro trabajo.

Con el objetivo de conocer las características del proce-so de resolución de los alumnos que han participado ennuestro estudio después de seguir la propuesta didácticadiseñada, se recogen datos a partir de la grabación envídeo del proceso de resolución de un problema de laprueba de evaluación final de 6 parejas de alumnos: 2parejas homogéneas altas, 2 homogéneas bajas y 2 hete-rogéneas. Las parejas son escogidas al azar entre lamuestra total de alumnos. Posteriormente, la informa-ción grabada se transcribe en unos protocolos que reco-gen simultáneamente las acciones y las verbalizacionesde los dos alumnos; en el anexo I se presenta un ejemplode una transcripción.

Finalmente, se categoriza la información grabada y transcritaen función de las diferentes categorías elaboradas en uninstrumento de evaluación específicamente diseñado ennuestro estudio, y que pasamos a exponer a continua-ción. El proceso de categorización se ha realizado utili-zando un procedimiento de toma de decisiones porconsenso entre dos jueces. El procedimiento utilizado hasido el siguiente: en primer lugar, a partir de la visuali-zación del vídeo y de las transcripciones, los dos juecescategorizan, por separado, el proceso de resolución deuna pareja en intervalos aproximados de 20 minutos. Ensegundo lugar, los dos jueces contrastan la categoriza-ción realizada y en los segmentos en que se observandiferencias se llega a un acuerdo por consenso.

Figura 2

Porcentaje de tiempo en que los alumnos realizan una estrategia cognitiva y metacognitiva durante la resolución de un problema en parejade la prueba de evaluación final.

ANÁLISIS PLANIFICACIÓN EJECUCIÓN REVISIÓN NO-ACCIÓN METACOGNICIÓN

00,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

ANÁLISIS PLANIFICACIÓN EJECUCIÓN REVISIÓN METACOGNICIÓN

Categorías

Estrategias cognitivas y metacognitivas



Se ha utilizado este procedimiento dada la imposibilidadde definir previamente todas las posibles acciones que elalumno puede realizar para resolver el problema porque,si bien en cada categoría se ha definido el objetivogeneral que dirige la acción del alumno y algunas de lasdiferentes acciones que el alumno puede realizar paraconseguir este objetivo, éstas no son las únicas.

En nuestro trabajo se utilizan cuatro categorías cogniti-vas que, en líneas generales, corresponden a las estrate-gias trabajadas en la guía Hojas para pensar el problemay que pretenden describir las diferentes acciones querealizan los alumnos para resolver el problema. Lascategorías utilizadas son las siguientes:

– Análisis. El alumno divide el problema en componen-tes más básicos, examina y busca las relaciones entre losdiferentes elementos. El alumno realiza acciones como:leer, releer, seleccionar datos, anotar datos del enuncia-do, representar datos del enunciado.

– Planificación. El alumno organiza el proceso de reso-lución del problema. Se realizan acciones como: selec-cionar la estrategia general de resolución del problema;tantear o explorar posibles acciones para resolver elproblema; explicitar un conjunto de procedimientos or-denados a ejecutar; organizar los datos o las accionesque realizará para resolver el problema.

– Ejecución. El alumno realiza un conjunto de accionesy de procedimientos matemáticos para resolver el pro-blema. El alumno realiza acciones como: ejecutar unprocedimiento matemático (correcto o incorrecto), rea-lizar cálculos, introducir o copiar datos.

– Revisión. El alumno realiza acciones para controlar,revisar la validez del proceso de resolución o de losresultados que va obteniendo y detectar posibles errores.El alumno realiza acciones como: cuestionar verbal-mente la validez de algún resultado o del procedimientode resolución; buscar errores de forma poco sistemática;revisar de manera sistemática los datos introducidos, losprocedimientos de resolución utilizados y los cálculosmatemáticos realizados.

Nuestro trabajo también ha analizado en qué acciones,para resolver el problema, el alumno presenta procesosmetacognitivos con la categoría metacognición.

En esta categoría se han codificado las dos vertientesclásicas en el estudio de la metacognición: el conoci-miento declarativo sobre la propia actividad cognitiva yel conocimiento relacionado con la gestión, la regula-ción y el control de los procesos cognitivos implicadosen la resolución de una tarea (Flavell, 1992; Martí,1995). Los indicadores utilizados en nuestro estudiopara codificar la categoría de metacognición son lossiguientes: a) reflexiones sobre el enunciado y la estruc-tura del problema; b) reflexiones sobre las capacidadesdel alumno para resolver el problema; y c) reflexiones ocomentarios sobre el proceso de resolución o bien cuan-do se observa que el alumno realiza una acción demanera consciente, controlada o regulada.

Como se observa en la figura 2, los resultados obtenidosen referencia a las características del proceso de resolu-ción del problema analizado muestran, en primer lugar,que los alumnos de nuestro estudio utilizan un elevadonúmero de estrategias encaminadas a obtener una repre-sentación significativa del enunciado del problema y aplanificar el proceso de resolución –se dedica a este tipode estrategias alrededor de un 15% del tiempo empleadopara resolver el problema. Un gran número de estudiosmuestra, por un lado, la importancia de este tipo deestrategias para conseguir resolver un problema y, porotro lado, el incremento de este tipo de estrategiasdespués de un período de instrucción específicamentediseñado para conseguir este objetivo (Lester, 1985;Schoenfeld, 1985, 1992; Delclos y Harrington, 1991;King, 1991, 1997; entre los más destacados).

En segundo lugar, observamos que los alumnos de nues-tro estudio no utilizan estrategias de revisión y valora-ción del proceso y del resultado obtenido en el problema.Desde nuestro punto de vista, dos argumentos explica-rían este resultado. Por un lado, se trata de estrategiascomplejas que deben adaptarse a las características es-pecíficas del problema, del proceso de resolución con-creto del alumno y de los diferentes «subresultados» queéste va obteniendo. Este hecho dificulta también suenseñanza en grupos clase relativamente numerosos.Por otro lado, la complejidad de este tipo de estrategiasrequiere de períodos de instrucción largos en el tiempo,continuados y en los que se resuelvan problemas dediferentes campos temáticos. En nuestra opinión, nues-tro trabajo ha iniciado la enseñanza-aprendizaje de estetipo de estrategias, pero sería necesario continuar elproceso iniciado con el trabajo y la resolución de proble-mas sobre otros contenidos matemáticos.

En tercer lugar, los alumnos de nuestro estudio presen-tan un componente metacognitivo en un elevado númerode las acciones realizadas para resolver el problema –sededica a este tipo de estrategias alrededor de un 23% deltiempo–; es decir, los alumnos realizan paradas, re-flexiones o comentarios sobre el proceso de resolucióndel problema y muestran más consciencia y control deeste proceso. Como hemos señalado en este artículo,diferentes estudios también muestran la importancia delas estrategias metacognitivas para conseguir resolvercon éxito un problema (Lester, 1985; Schoenfeld, 1985,1992; King, 1991, 1997).

Finalmente, queremos señalar que el análisis de losresultados obtenidos por los alumnos de los tres profeso-res que han participado en nuestro estudio presentaalgunas diferencias, aunque éstas no son estadística-mente relevantes. Uno de los tres profesores consigueque sus alumnos obtengan mejores resultados tanto en elnivel de aprendizaje como en el uso de estrategias deresolución de problemas. Desde nuestro punto de vista,dos argumentos explicarían este hecho. Por un lado, laamplitud y la diversidad de los problemas planteados enla propuesta didáctica y de las estrategias heurísticastrabajadas en la guía para pensar los problemas hanpropiciado una actuación no uniforme del profesorado.Este hecho también se observa en otros trabajos de



formación del profesorado realizados en este ámbito(Puig, 1996). Por otro lado, las diferencias en las carac-terísticas de los profesores (p.e., creencias y actitudesante la enseñanza de estrategias de resolución de proble-mas, estrategias de dirección del grupo clase, modelosde enseñanza o experiencias previas), las cuales no hansido estudiadas en nuestro trabajo, son variables impor-tantes que también inciden en el nivel de aprendizaje delos alumnos.

elementos de la propuesta didáctica analizada y que,desde nuestro punto de vista, tendrían que estar presen-tes en el diseño de propuestas de enseñanza-aprendizajeque tengan como objetivo mejorar el proceso y lasestrategias para resolver problemas matemáticos de losalumnos de ESO: a) contextualizar los problemas aresolver por el alumno en situaciones cotidianas de suentorno; b) utilizar métodos de enseñanza que haganvisibles las acciones para resolver un problema, procesopoco conocido desde el punto de vista del alumno;c) diseñar diferentes tipos de materiales didácticos queguíen la selección, la organización, la gestión y el con-trol de los diferentes procedimientos para resolver unproblema; y d) crear espacios de discusión y de reflexiónalrededor de este proceso como, por ejemplo, el trabajoen pequeños grupos o en parejas.

NOTA1 Enseñanza secundaria obligatoria.

AGRADECIMIENTOS

Esta investigación ha sido realizada gracias a una ayuda parala financiación de proyectos de investigación de la Universidadde Lleida, proyecto núm. 812.

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CONCLUSIONES

A modo de consideraciones finales, queremos destacarpor un lado que nuestro trabajo ha mostrado la posibili-dad de mejorar las estrategias para resolver problemasde los alumnos de ESO y la incidencia positiva que esteaprendizaje tiene en su rendimiento en el área de lasmatemáticas. A pesar de ello, somos conscientes quepara obtener mejores resultados, tanto en el rendimientocomo en el aprendizaje de estrategias de resolución deproblemas (tanto generales como específicas), deberíacontinuarse la línea de trabajo iniciada en nuestro estu-dio con el diseño de propuestas didácticas que versensobre otros contenidos matemáticos.

Por otro lado, nuestro trabajo ha mostrado la incidenciapositiva, en el aprendizaje de los alumnos, de cuatro



TIEMPO VERBAL / NO VERBAL ACCIONES

Entrevis- Alumno 1 Alumno 2 Alumno 1 Alumno 2tador

0’- 2’ 0’- 2’ Sitúa la hoja 0’-2’ Lecturaen el centro, individual,lectura individual, en silencioen silencio.

2’04’’ Tenemos quesacar el porcentaje.

2’15’’ [Lee en voz alta.]

2’06’’ [Continúa2’30” De descuento. El porcentaje… leyendoEsto es lo que [Piensa.] en silencio.]tenemos. [Señalalos datos del problema.]

2’40’’ ¿Y si hacemos2’ - 4’ un cuadro?

2’45’’ Mira lo que haceel compañero. 2’45’’ [Coge una

hoja en blanco,dibuja un cuadro dedoble entrada concuatro columnas.Escribe comoetiquetas: Precio

3’40” Ahora escribimos los actual, preciodatos, luego restamos y rebajado, descuento.]calculamos el porcentaje. 3’50” Vale. Yo te dicto.

Anexo I

Ejemplo de una transcripción del proceso de resolución del problema de una pareja de alumnos.

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[Artículo recibido en enero de 2000 y aceptado en enero de 2001.]

Bloque 4.4

Education

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