Boletin Polinomios

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MONOMIO

Trmino algebraico cuyas variables tienen exponentes naturales e incluido el cero.

-51xy5z4 Claramente observamos que los exponentes de las variables son

naturales.

2x-3y No es un Monomio ya que el exponente de la variables x es -3

que no es un nmero natural, tener mucho cuidado !!!

POLINOMIOS

Suma limitada de monomios no semejantes.

5434 zxz2yx7yx3 ++++++++ Notamos que es la suma de 4 monomios.

CARACTERSTICAS DE LAS MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. VALOR NUMRICO (VN)

Al cambiar las variables por nmeros en un monomio o polinomio stos se

convertirn en VN.

Ejm.: Valor numrico de M = 4x2y3 Para x = 2; y = 3

VN(M) = 4(2)2(3)3 = 432

Hallar el VN de las siguientes expresiones para x = 1; y = 2; z = 3 M = 2x3y = ___________

N = 5x2y2z = ___________

P = 3x3 + 2y =___________

2. NOTACIN

Las variables en un monomio o polinomio pueden ser expresadas en forma explcita mediante una cierta notacin.

M(x, y) Monomio de variables x e y

P(x, y, z) Polinomio de variables x, y, z

P(x - 4) Polinomio de variable (x 4)

P(5) Valor numrico

Ejm 1: Calcular el VN de:

P(x) = x2 + 10x 1 para x = -2 Se est pidiendo: P(-2) P(-2) = (-2)

2 + 10(-2) 1 P(-2) = -17 (VN)

BOLETN DE TEORA Y EJERCICIOS RESUELTOS 5TO

Normalmente a los polinomios se les

representa de la forma: P(x); Q(x); R(x);

El valor numrico de un polinomio P(x) para x = a se representa por

P(a)

Ao de la Inversin para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria


Ejm. 2: Si: P(x-4) = x2 x + 10 Hallar: P(3)

x 4 = 3 x = 7

P(7-4) = 72 7 + 10

P(3) = 52

Ejm. 3: Si: P(x) = 3x + 1 Hallar: P(x+7)

Colocamos (x + 7) en vez de x

P(x+7) = 3(x + 7) + 1

P(x+7) = 3x + 22 (cambio de variable)

Ejm. 4: Si: P(x) = 4x + 10 Hallar: ])x(P[P

10P4P )x(])x(P[++++====

10)10x4(4P ])x(P[++++++++====

50x16P ])x(P[++++====

AAhhoorraa TT::

Si: P(x) = 5x2 2x + 3 Hallar: P(-3)

Si: P(x+5) = 2x2 + 7 Hallar: P(2)

Si: P(x) = 2x 3 Hallar: P(5x + 4)

Si: P(x) = 2x + 3 Hallar: ])x(P[P

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2



3. GRADO

El grado es una caracterstica exclusiva de los monomios y polinomios referida

a los exponentes de sus variables. En consecuencia los grados no podrn ser

enteros negativos. El grado puede ser:

Absoluto: Cuando se refiere a todas sus variables.

Relativo: Cuando se refiere a una variable en particular.

PARA EL MONOMIO:

El GA estar definido por la suma de los exponentes de las variables. El GR de un monomio se refiere al exponente de una variable en

particular.

Ejm.:

====

====

====++++====

====

5GR

2GR

752GA

yx4M

y

x523

)y,x(

====

====

====

====

y

x735

)y,x(GR

GR

GA

yx2M

====

====

====

====++++====

====

0GR

7GR

3GR

1073GA

zyx9M

z

y

x573)y,x(

====

====

====

====

====

z

y

x1048)y,x(

GR

GR

GR

GA

zyx7M

PARA EL POLINOMIO:

El GA est definido por el monomio de mayor grado.

El GR de un polinomio est definido por el mayor exponente que afecta a dicha variable.

Para el Polinomio:

7131012

yyx4yx7yx10P 7856493)y,x(

++++====

====

====

====

9GR

5GR

13GA

y

x

++++++++==== 47941085)y,x( yyxyx12yx2P

====

====

====

y

x

GR

GR

GA

Si el polinomio fuese de una sola variable su grado estar determinado por el

mximo exponente de dicha variable.

As: P(x) = 4x2 x5 + 7x + 2x6 x4 G = 6

P(x) = 5x7 + 2x3 4x10 + x2 9x G = 10

El grado de toda constante es siempre cero.



OPERACIONES CON GRADOS:

1. En la suma o resta colocamos el grado del mayor.

2

2

5

5

7

7 )1x()1xx()1xx( ++++++++++++ Grado = 7

2. En la multiplicacin los grados se suman.

10

10

2

2

2

2 )1xx()3xx()1x7( ++++++++ Grado = 2 + 2 + 10 = 14

3. En la divisin los grados se restas.

9

15

9xxx

1xx7x29

2415

++++++++

++++++++ Grado = 15 9 = 6

4. En la potencia los grados se multiplican.

5

45 )7x10x( ++++ Grado = 5 x 4 = 20

5. En la radicacin los grados se dividen.

12 236 7xxx ++++++++ Grado = 312

36====

Ejm.: Calcular el valor de n si la expresin se reduce a una de primer grado.

37 1n

7 n32n

)y,x(y

xxM

++++

====

Por teora:

Grado = 121

1n

21

n3

3

2n====

++++++++

121

1nn314n7====

++++

9n 15 = 21

9n = 36

n = 4

Ahora t!

Hallar el valor de k en cada caso:

(x3 + x - 3)k Grado = 21

(x5 + x)(2xk - 1)(x4 + 3) Grado = 20

)4x)(2x(

)1x)(3x(3k

64

++++++++

++++ Grado = 5

4 2k 3xx ++++++++ Grado = 6

36



POLINOMIOS ESPECIALES

Para entender bien los polinomios especiales debemos tener presente lo siguiente:

IGUALDAD, EQUIVALENCIA O IDENTIDAD DE POLINOMIOS Se dice que dos polinomios son idnticos () cuando ambos poseen siempre el mismo valor numrico.

La igualdad: 5x2 3x + 1 = 5x2 3x + 1; es una identidad porque los VN de ambos polinomios son iguales.

5x2 3x + 1 5x2 3x + 1

CARACTERSTICAS DE LA IDENTIDAD Tienen variables por lo cual se usa el smbolo (). Tienen los mismos coeficientes. Tienen el mismo grado.

POLINOMIOS ESPECIALES P. Homogneo.- Aquel en donde todos los trminos tienen igual grado.

Ejm.: x6y4 5x9y + 7x5y5 y10 10 10 10 10

P. Ordenado.- Aquel en donde los exponentes de las variables se ubican en un mismo sentido.

Ejm.: 2x14 3x9 + x7 + x2 + 5 Ordenado en forma decreciente.

P. Completo.- Aquel en donde se encuentran todos los exponentes de la variable desde el mayor hasta el grado cero (llamado trmino independiente). Ejm.: P(x) = x3 + 7 x2 + 4x5 x4 + 5x Trmino Independiente

P. Idnticamente Nulo.- Es aquel en donde el VN del polinomio es siempre igual a cero.

Ejm.: 0x + 0 0 Para cualquier valor de x el VN es igual a cero.

Si: ax2 + bx + c 0

Se cumplir que: a = 0; b = 0; c = 0

En un polinomio completo y de una

sola variable se cumplir lo siguiente: # de trminos = Grado + 1

Los coeficientes han de ser considerados con el signo que los

precede.

Ejm.:

x4 + x 3x2 + x3 8

Grado = 4

# de Trminos = 5

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