BOLETÍN: �LAS MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA� Número 21 año 2 20 de noviembre de 2004 URUGUAY www.matematicaparatodos.com Tomás Queralt ESPAÑA

Las VI Jornadas de Educación Matemática organizadas por la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana

�Al-Khwarizmi � todo un éxito.

Los pasados días 1, 2 y 3 de octubre tuvo lugar en el Museo �Príncipe Felipe� de Valencia, y en Florida Centro de Formación de Catarroja, un encuentro de profesores de Infantil, Primaria, Secundaria y Universidad en el que se intercambiaron experiencias de aula, propusieron ideas, se discutieron modelos metodológicos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y, en general, se reflexionó sobre la labor profesional de los profesores, para mejorar la práctica docente y contribuir a la constante actualización de los mismos.

Se realizaron dos conferencias: • Conferencia Inaugural: "Divulgar ciencia, ¿por qué y para qué?", a cargo de D. Manuel Toharia, licenciado en Ciencias Físicas y actual director del Museo Príncipe Felipe de Valencia.

Planteó la idea de potenciar la divulgación de las ciencias no sólo en círculos académicos y científicos, si no, más allá, para conseguir también de este modo una mayor calidad de vida, un mejor conocimiento de las cosas que nos rodean y sobre todo un menor sometimiento a la influencia de las seudo ciencias y de las magias fraudulentas que hoy en día se han puesto tan de moda. Mayor libertad, en suma. • Conferencia de clausura: "Cosas que las matemáticas nos hacen ver en el mundo", a cargo de Luis Puig Espinosa, Catedrático de Universidad de Didáctica de la Matemática de la Universitat de València y Presidente de la Sociedad.

Algunos de los datos que nos rodean desde diferentes ámbitos, prensa, televisión,... etc, pueden parecer diferentes según la manera de presentarse. En esta conferencia se da claro ejemplo de ello.

Las Jornadas se dividieron en tres bloques:

1 . Bloque Infantil- Primaria. 2 . Bloque Secundaria- Universidad. 3 . Bloque Popularización de las matemáticas.

En cada uno de ellos se incluían ponencias, talleres y comunicaciones. Todos ellos tuvieron una gran afluencia de público y una acogida muy favorable.

! En el bloque correspondiente a Infantil-Primaria cabe destacar la presencia de Antonio R. Martín Adrián, que con su conferencia: �Los algoritmos tradicionales de las operaciones aritméticas: ¡Han muerto pero no han sido enterrados! ¡Vivan las calculadoras y los algoritmos que desarrollan el cálculo mental!" y con los talleres que dirigió tuvo encandilado a todos los asistentes, que le pidieron que profundizara más en alguno de ellos y por este motivo gran parte de ellos hicieron en un hueco �horas extras� para seguir deleitándose con los videos que Antonio Martín utilizaba en sus exposiciones.

! En el bloque correspondiente a Secundaria- Universidad, Juan Monterde, profesor de la

Universitat de Valencia nos invitó con una ponencia muy interesante sobre curvas de Bézier: �Automóbiles, edificios y tipografía: curvas y superfícies en la era del diseño�, algo muy actual, ya que en los últimos diseños de coches tunnig, en la arquitectura de Calatrava, en las últimas películas diseñadas por ordenador,... las curvas y superfícies de Bézier tienen mucho que ver.

! En el bloque correspondiente de Popularización de las matemáticas Antonio Pérez Sanz, autor de

las series de Matemáticas de RTVE, �Más por Menos� y �Universo Matemático�, y asesor de matemáticas de Medios audiovisuales del Ministerio de Educación, Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (PNTIC-MEC), realizó su ponencia "Matemáticas en televisión", y demostró que, aunque parezca que decir matemáticas y televisión en la misma frase no tenga sentido si no es para afirmar que son incompatibles y que parecen dos universos enfrentados, se trató el beneficio de la imagen en movimiento como herramienta de investigación y de enseñanza de las Matemáticas, poniendo como ejemplo audiovisuales educativos y de divulgación de matemáticas en España y en otros países de nuestro entorno.

Algunos de los talleres con más éxito fueron los que impartieron Anton Aubanell, con "Geometria con burbujas de jabón", porque ¿quien no ha jugado alguna vez con pompas de jabón?, detrás de estas inocentes y divertidas figuras se esconde un formidable entramado matemático que puede aprovecharse como herramienta didáctica en diversos niveles; y el de José Muñoz Santonja: "Las matemáticas son mágicas". En este taller se repasaron una serie de trucos de magia, estudiando su fundamento matemático y se vió la forma de llevarlos a cabo en clase.

Las exposiciones que se presentaron: • Josef Cchaix: Ingeniero y Matemático. Exposición del I.E.S " La Costera" de Xàtiva presentada por Alfred Mollá. • Matemática a la vista. Exposición de fotografía matemática del IX concurso de fotografía de la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana "Al-Khwarizmi" coordinada por Salvador Caballero.

• De Natura Reticular. Exposición de la Universitat de València. Autores: Javier Carvajal, Eliseo Borrás, Pilar Moreno, Daniel Carvajal, Vicent Calixte Juan y Juan Carlos Orero.

fueron seguidas de cerca por todos los participantes y ambientaron todas las jornadas que se desarrollaron con muy buen ambiente lúdico y de trabajo.

Esperamos todos que hayan sido del agrado de la gran mayoría y que nos reunamos en las próximas con muchas más novedades para el profesorado de la Comunidad. Podeis encontrar información más detallada en nuestra web: www.semcv.org Pascual PEIRÓ CODINA ESPAÑA

El Problema del Recorrido del Caballo de Ajedrez

La peregrinación del caballo de ajedrez consiste en su paseo por todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por la misma, utilizando sus movimientos: dos

casillas horizontales y una vertical o a la inversa. Cuando desde la última casilla podamos pasar a la primera se trata de una "peregrinación cerrada".

A lo largo de los siglos, matemáticos de todo el mundo dedicaron un especial interés a este problema. Uno de ellos se destacó por sus ingeniosas e increíbles

soluciones, Leonard Euler (Basilea - Suiza, 1707-1783). Una de sus soluciones es un recorrido en el que las filas y columnas suman 260. El desarrollo de los

movimientos del caballo por las 64 casillas ya es, en sí, muy difícil de conseguir como para, además, lograr que filas y columnas sumen lo mismo.

Leonard Euler

Podemos imaginarnos cómo Euler, en el siglo XVIII, trabajó para resolver el acertijo, sus herramientas fueron una pluma, papel, mucha paciencia y una

grandísima dosis de algo que demostró toda su vida: genialidad. Así, la técnica empleada sería, básicamente, la misma que he utilizado con ayuda de un programa

informático diseñado en B.A.S.I.C. para este estudio, realizar movimientos del caballo de una a otra casilla hasta que, en el caso de que no queden casillas vacías,

es necesario volver atrás, borrar el movimiento anterior y realizar un salto de caballo distinto. El proceso se repite hasta que se complete el recorrido.

A Euler le hubiera encantado disponer de la capacidad de cálculo de un ordenador. Al programa en B.A.S.I.C., en cambio, me encantaría añadirle la genialidad que

demostró este gran matemático. A diferencia de los programas para jugar a ajedrez, este no da prioridad a los movimientos, el caballo puede mover, como máximo, a ocho casillas y, como mínimo, a dos realizándose los ocho posibles

movimientos por orden. Así, intenta el primer movimiento, y si este no es posible porque la casilla está ocupada, intenta el segundo y así, sucesivamente, hasta que

completa todas las posibilidades.

Teniendo en cuenta que disponemos de 64 casillas y en cada movimiento de dos a ocho posibles casillas para mover el caballo, podemos hacernos una idea del gran número de posibilidades. Sin entrar en cálculos con grandes números, traducido a

tiempo real, el algoritmo podría resultar �infinito�. Por supuesto, se puede encontrar una solución en unos minutos o segundos si el ordenador realiza los movimientos adecuados. Esto me indujo a pensar en realizar recorridos con menos casillas que

se pueden completar en pocos segundos, por ejemplo en un tablero de 4x4, de 5x5, de 3x8, etc,.

Para recorrer el tablero de ajedrez de 8x8 se pueden enlazar varios recorridos comenzando uno de ellos en una casilla a la que se accede desde el último

movimiento del anterior. Por ejemplo dos recorridos de 3x3 se podrían enlazar como se muestra -desde la casilla de movimiento 8 pasamos al siguiente con el

movimiento 9-:

Aunque es posible acceder a la casilla que ha quedado vacía (movimiento 13), resulta más cómodo buscar recorridos completos .

El siguiente paso es pensar de qué forma dividir el tablero en recorridos, por ejemplo:

Como es preferible que sean completos, hemos de analizar todas las posibilidades en cada uno de ellos. A continuación se describen algunos recorridos completos y

otros que no es posible realizar (en estos se refleja un ejemplo, pero se han analizado todas las posibilidades):

3x3

3x4 3x5 4x4

No hay solución No hay solución No hay solución

4x5 5x8

Una vez que tenemos claro qué recorridos son posibles, es necesario enlazarlos hasta completar el tablero. Como ejemplo, el siguiente se ha realizado con uno de

8x5 y uno de 8x3. Dado que desde la casilla número 64 se puede acceder a la número 1, se trata de un recorrido cerrado que nos permite comenzar en cualquier

casilla y siguiendo el orden de los números completar el recorrido del caballo.

Por último, aquí está la increíble solución de EULER, en la que filas y columnas suman 260 (¡cuadrado mágico!).

Pascual PEIRÓ CODINA ppeirocodina@educaragon.org